Үшінші ретті матрицаны желіде анықтаушы. Детерминанттарды есептеу әдістері

Жалпы жағдайда $n$-ші ретті анықтауыштарды есептеу ережесі өте қиын. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар үшін оларды есептеудің ұтымды жолдары бар.

Екінші ретті анықтауыштарды есептеу

Екінші ретті матрицаның анықтауышын есептеу үшін негізгі диагональ элементтерінің көбейтіндісінен екінші ретті диагональ элементтерінің көбейтіндісін алып тастау керек:

$$\сол| \begin(массив)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(массив)\оң|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

Мысал

Жаттығу.$\left| екінші ретті анықтауышты есептеңіз \begin(массив)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(массив)\right|$

Шешім.$\left| \begin(массив)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(массив)\оң|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

Жауап.$\left| \begin(массив)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(массив)\оң|=69$

Үшінші ретті анықтауыштарды есептеу әдістері

Үшінші ретті анықтауыштарды есептеу үшін келесі ережелер бар.

Үшбұрыш ережесі

Схемалық түрде бұл ережені келесідей бейнелеуге болады:

Бірінші анықтауыштағы түзу сызықтармен қосылған элементтердің көбейтіндісі қосу белгісімен алынады; сол сияқты, екінші анықтауыш үшін сәйкес туындылар минус белгісімен алынады, яғни.

$$\сол| \begin(массив)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(массив)\оң|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

Мысал

Жаттығу.$\left| анықтауышын есептеңіз \begin(массив)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\соңы (массив)\right|$ үшбұрыш әдісі арқылы.

Шешім.$\left| \begin(массив)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\соңы (массив)\оң|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Жауап.

Саррус ережесі

Анықтауыштың оң жағында алғашқы екі бағанды ​​қосып, негізгі диагональ бойынша және оған параллель диагональдардағы элементтердің көбейтінділерін қосу белгісімен алыңыз; және қосалқы диагональ элементтерінің көбейтінділері мен оған параллель диагональдар, минус таңбасы бар:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

Мысал

Жаттығу.$\left| анықтауышын есептеңіз \begin(массив)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\соңы (массив)\right|$ Саррус ережесі арқылы.

Шешім.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

Жауап.$\left| \begin(массив)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\соңы (массив)\right|=54$

Анықтауышты жол немесе баған бойынша кеңейту

Анықтауыш анықтауыш қатарының элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Әдетте нөлдерден тұратын жол/баған таңдалады. Бөлу жүргізілетін жол немесе баған көрсеткі арқылы көрсетіледі.

Мысал

Жаттығу.Бірінші жолды кеңейтіп, $\left| анықтауышын есептеңіз \begin(массив)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(массив) \right|$

Шешім.$\left| \begin(массив)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(массив) \оң| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(массив)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(массив)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(массив)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(массив)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(массив)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(массив)\right|=-3+12-9=0$

Жауап.

Бұл әдіс анықтауыштың есебін төменгі ретті анықтауыштың есебіне келтіруге мүмкіндік береді.

Мысал

Жаттығу.$\left| анықтауышын есептеңіз \begin(массив)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(массив) \right|$

Шешім.Анықтауыштың жолдарында келесі түрлендірулерді орындайық: екінші қатардан бірінші төртеуін алып тастаймыз, ал үшіншіден бірінші қатарды жетіге көбейтеміз, нәтижесінде анықтауыштың қасиеттеріне сәйкес анықтауыш аламыз. берілгенге тең.

$$\сол| \begin(массив)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(массив) \right|=\left| \begin(массив)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(массив)\оң|=$$

$$=\сол| \begin(массив)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(массив)\right|=\left| \begin(массив)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(массив)\оң|=0$$

Анықтаушы нөлге тең, себебі екінші және үшінші жолдар пропорционал.

Жауап.$\left| \begin(массив)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(массив) \right|=0$

Төртінші ретті және одан жоғары детерминанттарды есептеу үшін жолды/бағанды ​​кеңейту немесе үшбұрышты пішінге келтіру немесе Лаплас теоремасын пайдалану қолданылады.

Анықтауышты жол немесе баған элементтеріне бөлшектеу

Мысал

Жаттығу.$\left| анықтауышын есептеңіз \begin(массив)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(array)\right|$ , оны кейбір жолдың немесе кейбір бағанның элементтеріне ыдырату.

Шешім.Алдымен анықтауыштың жолдарында элементар түрлендірулерді орындап, жолға немесе бағанға мүмкіндігінше көп нөлдерді енгізейік. Ол үшін алдымен бірінші жолдан үштен тоғызды, екіншіден үштен бесті, төртіншіден үштен үшті алып тастаймыз:

$$\сол| \begin(массив)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(массив)\оң|=\сол| \бастау(массив)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(массив)\оң|=\ сол жақ| \begin(массив)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(массив)\оң|$$

Алынған анықтауышты бірінші бағанның элементтеріне бөлейік:

$$\сол| \begin(массив)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\соңы(массив)\оң|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(массив)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(массив)\right|+0$$

Алынған үшінші ретті анықтауышты жол мен бағанның элементтеріне кеңейтеміз, мысалы, бірінші бағанда бұрын нөлдер алған. Ол үшін бірінші жолдан екінші екі жолды, үшіншіден екінші жолды алып тастаңыз:

$$\сол| \begin(массив)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(массив)\right|=\left| \begin(массив)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( массив)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(массив)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(массив)\right|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

Жауап.$\left| \begin(массив)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(массив)\оң|=0$

Түсініктеме

Соңғы және соңғы детерминанттарды есептеу мүмкін болмады, бірақ олар пропорционалды жолдарды қамтитындықтан, олар нөлге тең деген қорытындыға келеді.

Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіру

Жолдар немесе бағандар бойынша элементар түрлендірулерді қолдана отырып, анықтауыш үшбұрышты түрге келтіріледі, содан кейін анықтауыштың қасиеттеріне сәйкес оның мәні негізгі диагональдағы элементтердің көбейтіндісіне тең болады.

Мысал

Жаттығу.$\Delta=\left| анықтауышын есептеңіз \begin(массив)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(массив)\right|$ үшбұрышты пішінге дейін азайтады.

Шешім.Алдымен біз негізгі диагональ астындағы бірінші бағанда нөлдерді жасаймыз. $a_(11)$ элементі 1-ге тең болса, барлық түрлендірулерді орындау оңайырақ болады. Ол үшін анықтауыштың бірінші және екінші бағандарын ауыстырамыз, ол анықтауыштың қасиеттеріне сәйкес оны тудырады. оның таңбасын керісінше өзгерту үшін:

$$\Delta=\left| \begin(массив)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(массив)\right|=-\left| \begin(массив)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(массив)\оң|$$

$$\Дельта=-\сол| \begin(массив)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\соңы(массив)\оң|$$

Содан кейін біз негізгі диагональ астындағы элементтердің орнына екінші бағандағы нөлдерді аламыз. Қайтадан, егер диагональ элементі $\pm 1$ тең болса, онда есептеулер оңайырақ болады. Ол үшін екінші және үшінші жолдарды ауыстырыңыз (және сонымен бірге анықтауыштың қарама-қарсы белгісіне ауысыңыз):

$$\Delta=\left| \begin(массив)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\соңы(массив)\оң|$$

Лаплас теоремасын еске түсірейік:
Лаплас теоремасы:

n ретті d анықтауышында k жол (немесе k баған) ерікті түрде таңдалсын. Сонда таңдалған жолдардағы барлық k-ші ретті минорлардың және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы анықтауыш d-ға тең болады.

Детерминанттарды есептеу үшін жалпы жағдайда k 1-ге тең қабылданады. Яғни, n ретті d анықтауышында жол (немесе баған) ерікті түрде таңдалады. Сонда таңдалған жолдағы (немесе бағандағы) барлық элементтердің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы анықтауыш d-ға тең болады.

Мысалы:
Анықтаушыны есептеу

Шешімі:

Ерікті жолды немесе бағанды ​​таңдайық. Біраз уақыттан кейін белгілі болатын себептерге байланысты біз таңдауымызды үшінші жолға немесе төртінші бағанға шектейміз. Ал үшінші қатарға тоқталайық.

Лаплас теоремасын қолданайық.

Таңдалған жолдың бірінші элементі 10, ол үшінші жолда және бірінші бағанда пайда болады. Оған алгебралық толықтауышты есептейік, яғни. Осы элемент тұрған баған мен жолды (10) сызу арқылы алынған анықтауышты тауып, таңбасын табайық.

«Кіші M орналасқан барлық жолдар мен бағандар сандарының қосындысы жұп болса, плюс, ал егер бұл қосынды тақ болса, минус».
Ал біз үшінші жолдың бірінші бағанында орналасқан бір ғана 10 элементтен тұратын минорды алдық.

Сонымен:


Бұл қосындының төртінші мүшесі 0-ге тең, сондықтан нөлдік элементтердің ең көп саны бар жолдарды немесе бағандарды таңдаған жөн.

Жауап: -1228

Мысалы:
Анықтаушыны есептеңіз:

Шешімі:
Бірінші бағанды ​​таңдайық, себебі... ондағы екі элемент 0-ге тең. Анықтауышты бірінші баған бойымен кеңейтейік.


Үшінші ретті анықтауыштардың әрқайсысын бірінші екінші жол бойымен кеңейтеміз


Екінші ретті анықтауыштардың әрқайсысын бірінші баған бойымен кеңейтеміз


Жауап: 48
Пікір:бұл мәселені шешу кезінде 2-ші және 3-ші ретті анықтауыштарды есептеу формулалары пайдаланылмаған. Тек жол немесе баған ыдырауы қолданылды. Бұл анықтауыштардың ретінің төмендеуіне әкеледі.

Мәселенің тұжырымы

Тапсырма қолданушыдан анықтауыш және кері матрица сияқты сандық әдістердің негізгі ұғымдарымен және оларды есептеудің әртүрлі тәсілдерімен танысуды талап етеді. Бұл теориялық баяндамада алдымен қарапайым және қолжетімді тілде негізгі ұғымдар мен анықтамалар енгізіліп, соның негізінде әрі қарай зерттеулер жүргізіледі. Қолданушының сандық әдістер мен сызықтық алгебра саласында арнайы білімі болмауы мүмкін, бірақ бұл жұмыстың нәтижелерін оңай пайдалана алады. Түсінікті болу үшін С++ программалау тілінде жазылған бірнеше әдістерді қолданып матрицаның анықтаушысын есептеу бағдарламасы берілген. Бағдарлама есептің иллюстрацияларын жасау үшін зертханалық стенд ретінде пайдаланылады. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін зерттеу де жүргізілуде. Кері матрицаны есептеудің пайдасыздығы дәлелденді, сондықтан жұмыс оны есептемей-ақ теңдеулерді шешудің оңтайлы жолдарын ұсынады. Ол анықтауыштар мен кері матрицаларды есептеудің әртүрлі әдістерінің неліктен көп екенін түсіндіреді және олардың кемшіліктерін талқылайды. Анықтаушыны есептеудегі қателер де қарастырылады және қол жеткізілген дәлдік бағаланады. Жұмыста орыс тіліндегі терминдерден басқа, кітапханалардағы сандық процедураларды қандай атаулармен іздеу керектігін және олардың параметрлері нені білдіретінін түсіну үшін олардың ағылшын тіліндегі баламалары да қолданылады.

Негізгі анықтамалар және қарапайым қасиеттер

Анықтаушы

Кез келген ретті квадрат матрицаның анықтауышының анықтамасын енгізейік. Бұл анықтама болады қайталанатын, яғни реттік матрицаның анықтауышы не екенін анықтау үшін реттік матрицаның анықтауышы не екенін білу керек. Сондай-ақ анықтауыш тек шаршы матрицалар үшін бар екенін ескеріңіз.

Квадрат матрицаның анықтауышын немесе det арқылы белгілейміз.

Анықтама 1. Анықтаушышаршы матрица екінші реттік нөмір шақырылады .

Анықтаушы ретті квадрат матрицасы сан деп аталады

мұндағы бірінші жолды және нөмірі бар бағанды ​​өшіру арқылы матрицадан алынған реттік матрицаның анықтаушысы.

Түсінікті болу үшін төртінші ретті матрицаның анықтауышын қалай есептеуге болатынын жазайық:

Түсініктеме.Анықтама негізінде үшінші реттен жоғары матрицалар үшін анықтауыштардың нақты есебі ерекше жағдайларда қолданылады. Әдетте, есептеу кейінірек талқыланатын және аз есептеу жұмысын қажет ететін басқа алгоритмдер арқылы жүзеге асырылады.

Түсініктеме. 1-анықтамада анықтаушы ретті квадрат матрицалар жиынында анықталған және сандар жиынында мәндерді қабылдайтын функция деп айту дұрысырақ болар еді.

Түсініктеме.Әдебиеттерде «анықтауыш» терминінің орнына «анықтауыш» термині де қолданылады, оның мағынасы бірдей. «Анықтауыш» сөзінен det белгісі пайда болды.

Анықтауыштардың кейбір қасиеттерін қарастырайық, біз оларды мәлімдеме түрінде тұжырымдаймыз.

Мәлімдеме 1.Матрицаны ауыстыру кезінде анықтауыш өзгермейді, яғни .

Мәлімдеме 2.Квадрат матрицалардың көбейтіндісінің анықтауышы факторлардың анықтауыштарының көбейтіндісіне тең, яғни.

Мәлімдеме 3.Егер матрицаның екі жолы ауыстырылса, оның анықтауышы таңбасын өзгертеді.

Мәлімдеме 4.Егер матрицаның екі бірдей жолы болса, онда оның анықтауышы нөлге тең болады.

Болашақта жолдарды қосып, жолды санға көбейту керек болады. Бұл әрекеттерді жолдардағы (бағандардағы) жол матрицаларында (баған матрицаларында), яғни элемент бойынша элемент бойынша орындайтындай орындаймыз. Нәтижесінде, әдетте, бастапқы матрицаның жолдарымен сәйкес келмейтін жол (баған) болады. Жолдарды (бағандарды) қосу және оларды санға көбейту операциялары бар болса, жолдардың (бағандардың) сызықтық комбинациялары, яғни сандық коэффициенттері бар қосындылар туралы да айтуға болады.

Мәлімдеме 5.Егер матрицаның жолы санға көбейтілсе, оның анықтауышы осы санға көбейтіледі.

Мәлімдеме 6.Егер матрицада нөлдік жол болса, оның анықтаушысы нөлге тең болады.

Мәлімдеме 7.Егер матрицаның бір жолы екіншісіне тең болса, санға көбейтілсе (жолдар пропорционал), онда матрицаның анықтаушысы нөлге тең болады.

Мәлімдеме 8.Матрицадағы i-ші жолдың пішіні болсын. Содан кейін, мұнда матрицадан i-ші жолды жолға ауыстыру арқылы матрица алынады, ал i-ші жолды жолға ауыстыру арқылы матрица алынады.

Мәлімдеме 9.Егер матрицалық жолдардың біріне санға көбейтілген басқа жол қосылса, онда матрицаның анықтауышы өзгермейді.

Мәлімдеме 10.Егер матрицаның бір жолы оның басқа жолдарының сызықтық комбинациясы болса, онда матрицаның анықтаушысы нөлге тең болады.

Анықтама 2. Алгебралық толықтауышматрица элементіне - тең сан, мұндағы - i-ші жолды және j-ші бағанды ​​жою арқылы матрицадан алынған матрицаның анықтаушысы. Матрица элементінің алгебралық толықтауышы арқылы белгіленеді.

Мысал.Болсын . Содан кейін

Түсініктеме.Алгебралық қосындыларды пайдаланып 1 анықтауыштың анықтамасын былай жазуға болады:

Мәлімдеме 11. Анықтауыштың ерікті жолдағы кеңеюі.

Матрицаның анықтауышының формуласы

Мысал.Есептеу .

Шешім.Үшінші жол бойымен кеңейтуді қолданайық, бұл тиімдірек, өйткені үшінші жолда үш санның екеуі нөлге тең. Біз алып жатырмыз

Мәлімдеме 12.Кезекті квадрат матрицасы үшін қатынас келесідей болады: .

Мәлімдеме 13.Жолдар үшін тұжырымдалған анықтауыштың барлық қасиеттері (1 - 11 мәлімдемелер) бағандар үшін де жарамды, атап айтқанда j-ші бағандағы анықтауыштың ыдырауы жарамды және теңдік кезінде.

Мәлімдеме 14.Үшбұрышты матрицаның анықтаушысы оның негізгі диагоналінің элементтерінің көбейтіндісіне тең.

Салдары.Сәйкестік матрицасының анықтауышы біреуге тең, .

Қорытынды.Жоғарыда аталған қасиеттер салыстырмалы түрде аз мөлшердегі есептеулермен жеткілікті жоғары ретті матрицалардың анықтауыштарын табуға мүмкіндік береді. Есептеу алгоритмі келесідей.

Бағандағы нөлдерді құру алгоритмі.Тапсырыс анықтауышын есептеу керек делік. Егер болса, бірінші жолды және бірінші элемент нөлге тең емес кез келген басқа жолды ауыстырыңыз. Нәтижесінде , анықтауышы қарама-қарсы таңбасы бар жаңа матрицаның анықтауышына тең болады. Егер әрбір жолдың бірінші элементі нөлге тең болса, онда матрицаның нөлдік бағаны болады және 1, 13 мәлімдемелеріне сәйкес оның анықтаушысы нөлге тең.

Сонымен, біз бастапқы матрицада екеніне сенеміз. Бірінші жолды өзгеріссіз қалдырамыз. Екінші жолға бірінші жолды санға көбейтіңіз. Сонда екінші жолдың бірінші элементі тең болады .

Жаңа екінші жолдың қалған элементтерін , арқылы белгілейміз. 9 мәлімдемеге сәйкес жаңа матрицаның анықтауышы мынаған тең. Бірінші жолды санға көбейтіп, үшіншіге қосыңыз. Жаңа үшінші жолдың бірінші элементі тең болады

Жаңа үшінші қатардың қалған элементтерін , арқылы белгілейміз. 9 мәлімдемеге сәйкес жаңа матрицаның анықтауышы мынаған тең.

Біз жолдардың бірінші элементтерінің орнына нөлдерді алу процесін жалғастырамыз. Соңында, бірінші жолды санға көбейтіп, оны соңғы жолға қосыңыз. Нәтиже матрица болып табылады, оны белгілейік, оның пішіні бар

және . Матрицаның анықтаушысын есептеу үшін бірінші бағандағы кеңейтуді қолданамыз

Сол уақыттан бері

Оң жағында реттік матрицаның анықтаушысы орналасқан. Біз оған бірдей алгоритмді қолданамыз және матрицаның анықтаушысын есептеу реттік матрицаның анықтауышын есептеуге дейін қысқарады. Анықтама бойынша есептелетін екінші ретті анықтауышқа жеткенше процесті қайталаймыз.

Егер матрицаның қандай да бір спецификалық қасиеттері болмаса, онда ұсынылған алгоритммен салыстырғанда есептеулер көлемін айтарлықтай азайту мүмкін емес. Бұл алгоритмнің тағы бір жақсы жағы - үлкен ретті матрицалардың детерминанттарын есептеуге арналған компьютерлік бағдарламаны құру үшін оны пайдалану оңай. Детерминанттарды есептеуге арналған стандартты бағдарламалар бұл алгоритмді дөңгелектеу қателерінің және компьютерлік есептеулердегі кіріс деректерінің қателерінің әсерін азайтуға байланысты шамалы өзгерістермен пайдаланады.

Мысал.Матрицаның детерминантын есептеу .

Шешім.Бірінші жолды өзгеріссіз қалдырамыз. Екінші жолға біз біріншіні қосамыз, оны санға көбейтеміз:

Анықтаушы өзгермейді. Үшінші жолға бірінші санды қосамыз:

Анықтаушы өзгермейді. Төртінші жолға бірінші санды қосамыз:

Анықтаушы өзгермейді. Нәтижесінде біз аламыз

Сол алгоритмді пайдалана отырып, оң жақта орналасқан 3 ретті матрицаның анықтауышын есептейміз. Бірінші жолды өзгеріссіз қалдырамыз, екінші жолға бірінші жолды санға көбейтеміз :

Үшінші жолға біріншіні қосамыз, санға көбейтеміз :

Нәтижесінде біз аламыз

Жауап. .

Түсініктеме.Есептерде бөлшек сандар қолданылғанымен, нәтиже бүтін сан болып шықты. Шынында да, анықтауыштардың қасиеттерін және бастапқы сандар бүтін сандар екенін пайдалана отырып, бөлшектермен операцияларды болдырмауға болады. Бірақ инженерлік тәжірибеде сандар өте сирек бүтін сандар болып табылады. Сондықтан, әдетте, анықтауыштың элементтері ондық бөлшектер болады және есептеулерді жеңілдету үшін кез келген трюктерді пайдалану орынсыз.

кері матрица

Анықтама 3.матрица деп аталады кері матрицашаршы матрица үшін, егер .

Анықтамадан кері матрица матрицамен бірдей ретті шаршы матрица болатыны шығады (әйтпесе туындылардың бірі немесе анықталмайды).

Матрицаның кері шамасы арқылы белгіленеді. Осылайша, егер бар болса, онда .

Кері матрицаның анықтамасынан матрица матрицаға кері матрица екені шығады, яғни . Матрицалар туралы олардың бір-біріне кері немесе өзара кері екенін айта аламыз.

Егер матрицаның анықтауышы нөлге тең болса, онда оның кері мәні болмайды.

Кері матрицаны табу үшін матрицаның детерминанты нөлге тең немесе тең емес екендігі маңызды болғандықтан, біз келесі анықтамаларды енгіземіз.

Анықтама 4.Квадрат матрицаны шақырайық азғындаунемесе арнайы матрица, егер дегенерацияланбағаннемесе сингулярлы емес матрица, Егер .

Мәлімдеме.Егер кері матрица бар болса, онда ол бірегей.

Мәлімдеме.Егер квадрат матрица сингулярлы емес болса, онда оған кері матрица бар және (1) мұндағы элементтердің алгебралық толықтауыштары.

Теорема.Квадрат матрица үшін кері матрица бар, егер матрица сингулярлы емес болса, кері матрица бірегей болса және формула (1) жарамды болса.

Түсініктеме.Кері матрицалық формулада алгебралық толықтырулар алатын орындарға ерекше назар аудару керек: бірінші индекс санды көрсетеді баған, ал екіншісі - сан сызықтар, онда есептелген алгебралық қосуды жазу керек.

Мысал. .

Шешім.Анықтауышты табу

Өйткені, матрица дегенерацияланбаған және оның кері мәні бар. Алгебралық толықтауыштарды табу:

Табылған алгебралық қосындыларды бірінші индекс бағанға, ал екіншісі жолға сәйкес келетіндей етіп орналастырып, кері матрицаны құрастырамыз: (2)

Алынған матрица (2) есептің жауабы ретінде қызмет етеді.

Түсініктеме.Алдыңғы мысалда жауапты былай жазған дұрысырақ болар еді:
(3)

Дегенмен (2) белгілеу ықшамырақ және қажет болған жағдайда онымен қосымша есептеулерді жүргізу ыңғайлырақ. Сондықтан матрица элементтері бүтін сандар болса, жауапты (2) түрінде жазған дұрыс. Ал керісінше матрицаның элементтері ондық бөлшектер болса, онда кері матрицаны алдына көбейткішсіз жазған дұрыс.

Түсініктеме.Кері матрицаны табу кезінде сіз өте көп есептеулерді орындауыңыз керек және соңғы матрицадағы алгебралық толықтыруларды ұйымдастыру ережесі әдеттен тыс. Сондықтан қателік ықтималдығы жоғары. Қателерді болдырмау үшін мыналарды тексеру керек: бастапқы матрица мен соңғы матрицаның көбейтіндісін бір немесе басқа ретпен есептеңіз. Егер нәтиже сәйкестік матрицасы болса, онда кері матрица дұрыс табылды. Әйтпесе, қатені іздеу керек.

Мысал.Матрицаның кері мәнін табыңыз .

Шешім. - бар.

Жауап: .

Қорытынды.Формула (1) арқылы кері матрицаны табу тым көп есептеулерді қажет етеді. Төртінші ретті және одан жоғары матрицалар үшін бұл қабылданбайды. Кері матрицаны табудың нақты алгоритмі кейінірек беріледі.

Гаусс әдісімен анықтауыш пен кері матрицаны есептеу

Анықтаушы және кері матрицаны табу үшін Гаусс әдісін қолдануға болады.

Атап айтқанда, матрицаның анықтаушысы det-ке тең.

Кері матрицаны Гаусс жою әдісін пайдаланып сызықтық теңдеулер жүйесін шешу арқылы табады:

Сәйкестік матрицасының j-ші бағаны қайда орналасқан, қажетті вектор.

Алынған шешім векторлары матрицаның бағандарын құрайды, өйткені .

Анықтаушының формулалары

1. Егер матрица сингулярлы емес болса, онда және (жетекші элементтердің туындысы).

ЖОО-да біз жоғары математикадан қажетті есептерді жиі кездестіреміз матрицаның анықтауышын есептеңіз. Айтпақшы, анықтауыш тек шаршы матрицаларда болуы мүмкін. Төменде біз негізгі анықтамаларды қарастырамыз, анықтауыштың қандай қасиеттері бар және оны қалай дұрыс есептеу керек.Сонымен қатар мысалдар арқылы толық шешімді көрсетеміз.

Матрицаның анықтаушысы дегеніміз не: анықтаманы пайдаланып анықтауышты есептеу

Матрицалық анықтауыш

Екінші ретті сан.

Матрицаның анықтаушысы – (анықтауыштардың латын атауының қысқартылған) немесе таңбаланған.

Егер:, онда ол шығады

Тағы бірнеше көмекші анықтамаларды еске түсірейік:

Анықтама

Элементтерден тұратын реттелген сандар жиыны ретті ауыстыру деп аталады.

Құрамында элементтері бар жиын үшін факториал (n) бар, ол әрқашан леп белгісімен белгіленеді: . Орын ауыстырулар бір-бірінен тек пайда болу ретімен ғана ерекшеленеді. Түсінікті болу үшін мысал келтірейік:

Үш элементтен тұратын жиынды қарастырайық (3, 6, 7). Барлығы 6 ауыстыру бар, өйткені .:

Анықтама

Тәртіпті ауыстырудағы инверсия - бұл реттелетін сандар жиыны (оны бижекция деп те атайды), мұнда олардың екеуі бір ретсіздікті құрайды. Бұл берілген ауыстырудағы үлкен сан кіші санның сол жағында орналасқан кезде.

Жоғарыда біз сандар болған ауыстырудың инверсиясы бар мысалды қарастырдық. Ендеше, екінші жолды алайық, мұнда осы сандарға қарағанда, , a болып шығады, өйткені екінші элемент үшінші элементтен үлкен. Салыстыру үшін сандар орналасқан алтыншы жолды алайық: . Мұнда үш жұп бар: , және , title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="QuickLaTeX.com ұсынған" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="QuickLaTeX.com ұсынған" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Біз инверсияның өзін зерттемейміз, бірақ тақырыпты әрі қарай қарастыру үшін ауыстырулар бізге өте пайдалы болады.

Анықтама

x матрицасын анықтауыш – сан:

1-ден шексіз санға дейінгі сандарды ауыстыру және ауыстырудағы инверсиялар саны. Осылайша, анықтауышқа «анықтауыштың шарттары» деп аталатын терминдер кіреді.

Екінші, үшінші, тіпті төртінші ретті матрицаның анықтауышын есептей аласыз. Сондай-ақ атап өткен жөн:

Анықтама

Матрицаның анықтаушысы - тең болатын сан

Бұл формуланы түсіну үшін оны толығырақ сипаттайық. Квадрат матрицаның анықтаушысы х - мүшелері бар қосынды және әрбір мүше белгілі бір матрица элементтерінің көбейтіндісі болып табылады. Сонымен қатар, әрбір өнімде матрицаның әрбір жолынан және әрбір бағанынан элемент бар.

Өнімдегі матрица элементтері ретімен (жол нөмірі бойынша) және көптеген баған нөмірлерінің орнын ауыстырудағы инверсиялар саны тақ болса, ол белгілі бір терминнің алдында пайда болуы мүмкін.

Жоғарыда матрицаның анықтаушысы немесе арқылы белгіленетіні айтылды, яғни анықтауыш көбінесе анықтауыш деп аталады.

Сонымен, формулаға оралайық:

Формуладан бірінші ретті матрицаның анықтаушысы сол матрицаның элементі екені анық.

Екінші ретті матрицаның анықтауышын есептеу

Көбінесе тәжірибеде матрицаның детерминанты екінші, үшінші және сирек төртінші ретті әдістермен шешіледі. Екінші ретті матрицаның анықтаушысы қалай есептелетінін қарастырайық:

Екінші ретті матрицада факториал болатыны шығады. Формула қолданбас бұрын

Қандай деректерді алатынымызды анықтау керек:

2. жиындардың ауыстырулары: және ;

3. ауыстырудағы инверсиялар саны : және , өйткені title=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. сәйкес жұмыстар: және.

Шығарылады:

Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, екінші ретті квадрат матрицаның анықтаушысын есептеу формуласын аламыз, яғни х:

Екінші ретті квадрат матрицаның анықтауышын есептеудің нақты мысалын қарастырайық:

Мысал

Тапсырма

x матрицасының анықтауышын есептеңіз:

Шешім

Сонымен, біз , , , аламыз.

Шешу үшін бұрын талқыланған формуланы пайдалану керек:

Мысалдағы сандарды ауыстырып, табамыз:

Жауап

Екінші ретті матрица анықтауышы = .

Үшінші ретті матрицаның анықтауышын есептеу: мысал және формула арқылы шешу

Анықтама

Үшінші ретті матрицаның анықтаушысы квадрат кестеде орналасқан тоғыз берілген саннан алынған сан,

Үшінші ретті анықтауыш екінші ретті анықтауыш сияқты дерлік табылған. Жалғыз айырмашылық формулада. Сондықтан, егер сіз формуланы жақсы түсінсеңіз, онда шешімде проблемалар болмайды.

Үшінші ретті квадрат матрицаны қарастырайық *:

Осы матрицаға сүйене отырып, біз сәйкесінше факторлық = екенін түсінеміз, бұл жалпы ауыстырулар

Формуланы дұрыс қолдану үшін деректерді табу керек:

Сонымен, жиынның жалпы ауыстырулары:

Орын ауыстырудағы инверсиялар саны , ал сәйкес туындылар = ;

Орналастыру тақырыбындағы инверсиялар саны=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Орналастыру тақырыбындағы инверсиялар=" QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; ауыстыру тақырыбы = " QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; ауыстыру тақырыбы = " QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; ауыстыру тақырыбы = " QuickLaTeX.com арқылы көрсетілген" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Енді біз аламыз:

Осылайша, бізде х ретті матрицаның анықтаушысын есептеу формуласы бар:

Үшбұрыш ережесі арқылы үшінші ретті матрицаны табу (Саррус ережесі)

Жоғарыда айтылғандай, 3-ші ретті анықтауыштың элементтері үш қатарда және үш бағанда орналасқан. Егер сіз жалпы элементтің белгілеуін енгізсеңіз, онда бірінші элемент жол нөмірін, ал индекстердің екінші элементі баған нөмірін білдіреді. Анықтауыштың негізгі (элементтер) және қосалқы (элементтер) диагональдары болады. Оң жағындағы мүшелер анықтауыштың мүшелері деп аталады).

Диаграммада анықтауыштың әрбір мүшесі әрбір жолда және әр бағанда бір ғана элементтен тұратынын көруге болады.

Диаграмма түрінде бейнеленген тіктөртбұрыш ережесін пайдаланып анықтауышты есептеуге болады. Негізгі диагональ элементтерінен анықтауыштың мүшелері қызыл түспен бөлектеледі, сондай-ақ белгісімен алынған негізгі диагональға бір жағы параллель үшбұрыштардың төбесінде орналасқан элементтердің мүшелері (сол диаграмма) .

Бүйірлік диагональ элементтерінен, сондай-ақ бүйірлік диагональға параллель қабырғалары бар үшбұрыштардың төбесінде орналасқан элементтерден (оң диаграмма) белгісімен көк көрсеткілері бар терминдер алынады.

Келесі мысалды пайдалана отырып, үшінші ретті квадрат матрицаның анықтауышын есептеуді үйренеміз.

Мысал

Тапсырма

Үшінші ретті матрицаның анықтауышын есептеңіз:

Шешім

Бұл мысалда:

Жоғарыда қарастырылған формула немесе схема арқылы анықтауышты есептейміз:

Жауап

Үшінші ретті матрицаның анықтаушысы =

Үшінші ретті матрицаның анықтауыштарының негізгі қасиеттері

Алдыңғы анықтамалар мен формулаларға сүйене отырып, негізгісін қарастырайық матрицалық анықтауыштың қасиеттері.

1. Сәйкес жолдар мен бағандарды ауыстыру кезінде анықтауыштың өлшемі өзгермейді (мұндай ауыстыру транспозиция деп аталады).

Мысалды қолдана отырып, біз матрицаның анықтаушысы ауыстырылған матрицаның анықтауышына тең екеніне көз жеткіземіз:

Анықтаушыны есептеу формуласын еске түсірейік:

Матрицаны ауыстырыңыз:

Транспозицияланған матрицаның анықтауышын есептейміз:

Біз тасымалданатын матрицаның детерминанты дұрыс шешімді көрсететін бастапқы матрицаға тең екенін тексердік.

2. Анықтауыштың кез келген екі бағанасы немесе екі жолы ауыстырылса, оның таңбасы керісінше өзгереді.

Мысал қарастырайық:

Екі үшінші ретті матрица (x) берілген:

Бұл матрицалардың анықтауыштары қарама-қарсы болатынын көрсету керек.

Шешім

Матрицадағы және матрицадағы жолдар өзгерді (біріншіден үшіншіге, біріншіден үшіншіге). Екінші қасиет бойынша екі матрицаның анықтауыштары таңбалары бойынша ерекшеленуі керек. Яғни, бір матрица оң таңбаға, ал екіншісі теріс таңбаға ие. Бұл сипатты анықтауышты есептеу үшін формуланы пайдаланып тексерейік.

Меншік шын, өйткені .

3. Анықтаушы екі қатарда (бағандарда) бірдей сәйкес элементтері болса, ол нөлге тең болады. Анықтаушы бірінші және екінші бағандардың бірдей элементтеріне ие болсын:

Бірдей бағандарды ауыстыру арқылы біз 2-қасиетке сәйкес жаңа анықтауышты аламыз: = . Екінші жағынан, жаңа анықтауыш бастапқымен сәйкес келеді, өйткені элементтердің жауаптары бірдей, яғни = . Осы теңдіктерден аламыз: = .

4. Егер бір жолдың (бағанның) барлық элементтері нөлге тең болса, анықтауыш нөлге тең болады. Бұл тұжырым (1) формула бойынша анықтауыштың әрбір мүшесінің бір және әрбір жолдан (бағаннан) тек нөлдері бар бір ғана элементі болатынынан туындайды.

Мысал қарастырайық:

Матрицаның анықтауышы нөлге тең екенін көрсетейік:

Біздің матрицада екі бірдей баған бар (екінші және үшінші), сондықтан осы қасиетке негізделген анықтауыш нөлге тең болуы керек. Тексерейік:

Шынында да, екі бірдей бағандары бар матрицаның анықтаушысы нөлге тең.

5. Бірінші жолдың (бағанның) элементтерінің ортақ көбейткішін анықтауыш таңбадан шығаруға болады:

6. Егер анықтауыштың бір жолының немесе бір бағанының элементтері екінші жолдың (бағанның) сәйкес элементтеріне пропорционал болса, онда мұндай анықтауыш нөлге тең болады.

Шынында да, 5-қасиеттен кейін пропорционалдық коэффициентін анықтауыштың белгісінен шығаруға болады, содан кейін 3-қасиетті қолдануға болады.

7. Егер анықтауыштың жолдарының (бағандарының) элементтерінің әрқайсысы екі мүшенің қосындысы болса, онда бұл анықтауыш сәйкес анықтауыштардың қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін:

Тексеру үшін (1) теңдіктің сол жағындағы анықтауышқа сәйкес кеңейтілген түрде жазу жеткілікті, содан кейін элементтері және элементтері бар мүшелерді бөлек топтаңыз.Нәтижедегі терминдердің әрбір тобы сәйкесінше болады. , теңдіктің оң жағындағы бірінші және екінші анықтауыш.

8. Егер екінші жолдың (бағанның) сәйкес элементтері бір жолдың немесе бағанның элементіне бірдей санға көбейтілген болса, анықтау мәндері өзгермейді:

Бұл теңдік 6 және 7 қасиеттер негізінде алынады.

9. Матрицаның анықтауышы, , кез келген жолдың немесе бағанның элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең.

Мұнда матрица элементінің алгебралық толықтауышы арқылы. Бұл сипатты пайдалана отырып, тек үшінші ретті матрицаларды ғана емес, сонымен қатар жоғары ретті матрицаларды (х немесе х) есептеуге болады.Басқаша айтқанда, бұл кез келген ретті матрицаның анықтауышын есептеу үшін қажет қайталанатын формула. . Оны есте сақтаңыз, өйткені ол тәжірибеде жиі қолданылады.

Айта кету керек, тоғызыншы қасиет арқылы тек төртінші ретті емес, сонымен қатар жоғары дәрежелі матрицалардың анықтауыштарын есептеуге болады. Дегенмен, бұл жағдайда сіз көптеген есептеу операцияларын орындауыңыз керек және мұқият болуыңыз керек, өйткені белгілердегі ең аз қате дұрыс емес шешімге әкеледі. Жоғары ретті матрицаларды Гаусс әдісімен шешу өте ыңғайлы, бұл туралы кейінірек айтатын боламыз.

10. Бір ретті матрицалардың көбейтіндісінің анықтауышы олардың анықтауыштарының көбейтіндісіне тең.

Мысал қарастырайық:

Мысал

Тапсырма

Екі матрицаның анықтауышы және олардың анықтауыштарының көбейтіндісіне тең екеніне көз жеткізіңіз. Екі матрица берілген:

Шешім

Біріншіден, біз екі матрицаның анықтауыштарының көбейтіндісін табамыз және.

Енді екі матрицаны да көбейтіп, анықтауышты есептейік:

Жауап

Біз бұған көз жеткіздік

Гаусс әдісі арқылы матрицаның анықтауышын есептеу

Матрицалық анықтауышжаңартылды: 2019 жылдың 22 қарашасында: Ғылыми мақалалар.Ru

Жаттығу.Анықтауышты кейбір жолдың немесе кейбір бағанның элементтеріне бөлу арқылы есептеңіз.

Шешім.Алдымен анықтауыштың жолдарында элементар түрлендірулерді орындап, жолға немесе бағанға мүмкіндігінше көп нөлдерді енгізейік. Ол үшін алдымен бірінші жолдан үштен тоғызды, екіншіден үштен бесті, төртіншіден үштен үшті алып тастаймыз:

Алынған анықтауышты бірінші бағанның элементтеріне бөлейік:

Алынған үшінші ретті анықтауышты жол мен бағанның элементтеріне кеңейтеміз, мысалы, бірінші бағанда бұрын нөлдер алған. Ол үшін бірінші жолдан екінші екі жолды, үшіншіден екінші жолды алып тастаңыз:

Жауап.

12. 3-ші ретті кесу

1. Үшбұрыш ережесі

Схемалық түрде бұл ережені келесідей бейнелеуге болады:

Бірінші анықтауыштағы түзу сызықтармен қосылған элементтердің көбейтіндісі қосу белгісімен алынады; сол сияқты, екінші анықтауыш үшін сәйкес туындылар минус белгісімен алынады, яғни.

2. Саррус ережесі

Анықтауыштың оң жағында алғашқы екі бағанды ​​қосып, негізгі диагональ бойынша және оған параллель диагональдардағы элементтердің көбейтінділерін қосу белгісімен алыңыз; және қосалқы диагональ элементтерінің көбейтінділері мен оған параллель диагональдар, минус таңбасы бар:

3. Анықтауыштың қатардағы немесе бағандағы кеңеюі

Анықтауыш анықтауыш қатарының элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысына тең. Әдетте нөлдерден тұратын жол/баған таңдалады. Бөлу жүргізілетін жол немесе баған көрсеткі арқылы көрсетіледі.

Жаттығу.Бірінші жолды кеңейтіп, анықтауышты есептеңіз

Шешім.

Жауап.

4. Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіру

Жолдар немесе бағандар бойынша элементар түрлендірулерді қолдана отырып, анықтауыш үшбұрышты түрге келтіріледі, содан кейін анықтауыштың қасиеттеріне сәйкес оның мәні негізгі диагональдағы элементтердің көбейтіндісіне тең болады.

Мысал

Жаттығу.Анықтаушыны есептеу оны үшбұрышты пішінге келтіру.

Шешім.Алдымен біз негізгі диагональ астындағы бірінші бағанда нөлдерді жасаймыз. Егер элемент 1-ге тең болса, барлық түрлендірулерді орындау оңайырақ болады. Ол үшін анықтауыштың бірінші және екінші бағандарын ауыстырамыз, бұл анықтауыштың қасиеттеріне сәйкес оның таңбасын келесіге өзгертуге әкеледі. қарама-қарсы:

Содан кейін біз негізгі диагональ астындағы элементтердің орнына екінші бағандағы нөлдерді аламыз. Қайтадан, егер диагональ элементі -ге тең болса, онда есептеулер оңайырақ болады. Ол үшін екінші және үшінші жолдарды ауыстырыңыз (және сонымен бірге анықтауыштың қарама-қарсы белгісіне ауысыңыз):

Содан кейін біз негізгі диагональ астындағы екінші бағанға нөлдерді жасаймыз, мұны істеу үшін келесідей әрекет етеміз: үшінші жолға үш екінші жолды, төртіншіге екі екінші жолды қосамыз, біз аламыз:

Әрі қарай, үшінші жолдан анықтауыштан (-10) алып, негізгі диагональ астындағы үшінші бағанға нөлдерді қоямыз, бұл үшін соңғы жолға үшіншісін қосамыз:

Бөлімдегі соңғы материалдар: