Практикалық жұмыс: Функциялардың графиктерін түрлендіру. Туынды Туындының геометриялық мағынасы

$y = f(x)$ функциясының берілген $х_0$ нүктесіндегі туындысы соңғысы нөлге ұмтылған жағдайда, функция өсімінің оның аргументінің сәйкес өсіміне қатынасының шегі болып табылады:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Дифференциалдау – туындыны табу операциясы.

Кейбір элементар функциялардың туындыларының кестесі

Дифференциацияның негізгі ережелері

1. Қосындының (айырмасының) туындысы туындылардың қосындысына (айырымы) тең.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ функциясының туындысын табыңыз.

Қосындының (айырмасының) туындысы туындылардың қосындысына (айырымы) тең.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Өнімнің туындысы

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ туындысын табыңыз

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. Бөлімшенің туындысы

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ туындысын табыңыз

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Күрделі функцияның туындысы сыртқы функцияның туындысы мен ішкі функцияның туындысының көбейтіндісіне тең.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Туындының физикалық мағынасы

Егер материалдық нүкте түзу бойымен қозғалса және оның координаты $x(t)$ заңы бойынша уақытқа байланысты өзгерсе, онда бұл нүктенің лездік жылдамдығы функцияның туындысына тең болады.

Нүкте координаталық түзу бойымен $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$ заңы бойынша қозғалады, мұнда $x(t)$ $t$ уақытындағы координат. Уақыттың қай нүктесінде нүктенің жылдамдығы $12$-ға тең болады?

1. Жылдамдық $x(t)$ туындысы, сондықтан берілген функцияның туындысын табайық.

$v(t) = x"(t) = 1,5 2т -3 = 3т -3$

2. $t$ уақыттың қай нүктесінде жылдамдық $12$-ға тең болғанын табу үшін теңдеуді құрастырамыз және шешеміз:

Туындының геометриялық мағынасы

Координаталық осьтерге параллель емес түзудің теңдеуін $y = kx + b$ түрінде жазуға болатынын еске түсірейік, мұндағы $k$ - түзудің еңісі. $k$ коэффициенті түзу сызық пен $Ox$ осінің оң бағыты арасындағы еңістің тангенсіне тең.

$f(x)$ функциясының $x_0$ нүктесіндегі туындысы берілген нүктедегі графикке жанаманың $k$ көлбеуіне тең:

Осылайша, біз жалпы теңдік жасай аламыз:

$f"(x_0) = k = tgα$

Суретте $f(x)$ функциясына жанама өсуде, демек $k > 0$ коэффициенті. $k > 0$ болғандықтан, онда $f"(x_0) = tgα > 0$. Тангенс пен оң бағыт $Ox$ арасындағы $α$ бұрышы өткір.

Суретте $f(x)$ функциясына жанама кемуде, демек $k коэффициенті< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Суретте $f(x)$ функциясына жанама $Ох$ осіне параллель, демек $k = 0$ коэффициенті, демек $f"(x_0) = tg α = 0$. $ нүктесі. x_0$, онда $f "(x_0) = 0$, шақырылады экстремум.

Суретте $y=f(x)$ функциясының графигі және $x_0$ абсциссасы бар нүктеде сызылған осы графикке жанама көрсетілген. $f(x)$ функциясының $x_0$ нүктесіндегі туындысының мәнін табыңыз.

Графикке жанама өседі, сондықтан $f"(x_0) = tg α > 0$

$f"(x_0)$ табу үшін $Ox$ осінің жанама мен оң бағыты арасындағы еңістің тангенсін табамыз. Ол үшін $ABC$ үшбұрышының жанамасын аяқтаймыз.

$BAC$ бұрышының тангенсін табыңыз. (Тікбұрышты үшбұрыштағы сүйір бұрыштың тангенсі – қарама-қарсы катеттің көршілес катетке қатынасы.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$

$f"(x_0) = тг СІЗ = $0,25

Жауабы: $0,25

Туынды функциялардың өсу және кему аралықтарын табу үшін де қолданылады:

Егер $f"(x) > 0$ интервалда болса, онда $f(x)$ функциясы осы аралықта өседі.

Егер $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Суретте $y = f(x)$ функциясының графигі көрсетілген. $х_1,х_2,х_3...х_7$ нүктелерінің арасынан функцияның туындысы теріс болатын нүктелерді табыңыз.

Жауап ретінде деректер нүктелерінің санын жазыңыз.

Математикадан базалық деңгейде Бірыңғай мемлекеттік емтиханның № 13 тапсырмасында функцияның әрекеті туралы түсініктердің бірін білу дағдылары мен дағдыларын көрсету керек: нүктедегі туындылар немесе өсу немесе кему жылдамдықтары. Бұл тапсырманың теориясы сәл кейінірек қосылады, бірақ бұл бірнеше типтік нұсқаларды егжей-тегжейлі талдауға кедергі болмайды.

Негізгі деңгейдегі математикадан № 14 ҚОЛДАНУ тапсырмаларының типтік нұсқаларын талдау

Опция 14MB1

График автомобильдің қозғалтқышын жылыту процесінде температураның уақытқа тәуелділігін көрсетеді. Көлденең ось қозғалтқышты іске қосқаннан бері өткен уақытты минуттармен көрсетеді; тік осьте қозғалтқыш температурасы Цельсий бойынша градус болып табылады.

Графикті пайдалана отырып, әрбір уақыт аралығын осы аралықтағы қозғалтқышты қыздыру процесінің сипаттамаларымен сәйкестендіріңіз.

Кестеде әр әріптің астына сәйкес санды көрсетіңіз.

Орындау алгоритмі:

1. Температура төмендеген уақыт аралығын таңдаңыз.
2. Сызғышты 30°C-қа бекітіп, температура 30°C төмен болған уақыт аралығын анықтаңыз.

Шешімі:

Температура төмендеген уақыт аралығын таңдайық. Бұл бөлім қарапайым көзге көрінеді, ол қозғалтқыш іске қосылған сәттен бастап 8 минуттан кейін басталады.

Сызғышты 30°C температураға қойып, температура 30°C төмен болған уақыт аралығын анықтаңыз.

Сызғыштың астында 0 - 1 мин уақыт аралығына сәйкес бөлім болады.

Қарындаш пен сызғыштың көмегімен біз қай уақыт аралығында температура 40 ° C-тан 80 ° C аралығында болғанын анықтаймыз.

40°С және 80°С сәйкес нүктелерден графикке перпендикулярларды, ал алынған нүктелерден уақыт осіне перпендикулярларды түсіреміз.

Бұл температура аралығы 3 – 6,5 мин уақыт аралығына сәйкес келетінін көреміз. Яғни 3-шартта берілгендерден 6 мин.

Жою әдісі арқылы жетіспейтін жауапты таңдаңыз.

Опция 14MB2

Шешімі:

А функциясының графигін талдаймыз.Егер функция өссе, онда туынды оң болады және керісінше. Функцияның туындысы экстремум нүктелерінде нөлге тең.

Біріншіден, А функциясы артады, яғни. туынды оң болады. Бұл 2 және 3 туындылардың графиктеріне сәйкес келеді. х = -2 функциясының ең үлкен нүктесінде, яғни осы нүктеде туынды нөлге тең болуы керек. Бұл шарт №3 графикке сәйкес келеді.

Біріншіден, В функциясы төмендейді, яғни. туынды теріс. Бұл 1 және 4 туындыларының графиктеріне сәйкес келеді. x \u003d -2 функциясының максималды нүктесі, яғни бұл нүктеде туынды нөлге тең болуы керек. Бұл шарт №4 графикке сәйкес келеді.

Біріншіден, В функциясы артады, яғни. туынды оң болады. Бұл 2 және 3 туындылардың графиктеріне сәйкес келеді. Функцияның ең үлкен нүктесі x = 1, яғни бұл нүктеде туынды нөлге тең болуы керек. Бұл шарт №2 графикке сәйкес келеді.

Жою әдісі бойынша Г функциясының графигі 1-ші нөмірдегі туындының графигіне сәйкес келетінін анықтауға болады.

Жауабы: 3421.

Опция 14MB3

Функциялардың әрқайсысы үшін орындалу алгоритмі:

1. Функциялардың өсу және кему аралықтарын анықтаңыз.
2. Функциялардың ең үлкен және ең кіші нүктелерін анықтаңыз.
3. Қорытынды жасаңыз, ұсынылған кестелерді сәйкестендіріңіз.

Шешімі:

А функциясының графигін талдап көрейік.

Егер функция өсетін болса, онда туынды оң болады және керісінше. Функцияның туындысы экстремум нүктелерінде нөлге тең.

Экстремум нүктесі - функцияның ең үлкен немесе ең төменгі мәніне жеткен нүкте.

Біріншіден, А функциясы артады, яғни. туынды оң болады. Бұл 3 және 4 туындылардың графиктеріне сәйкес келеді. x=0 функциясының ең үлкен нүктесінде, яғни осы нүктеде туынды нөлге тең болуы керек. Бұл шарт №4 графикке сәйкес келеді.

В функциясының графигін талдап көрейік.

Біріншіден, В функциясы төмендейді, яғни. туынды теріс. Бұл 1 және 2 туындылардың графиктеріне сәйкес келеді. функциясының минимум нүктесі x=-1, яғни бұл нүктеде туынды нөлге тең болуы керек. Бұл шарт №2 графикке сәйкес келеді.

В функциясының графигін талдап көрейік.

Біріншіден, B функциясы төмендейді, яғни. туынды теріс. Бұл 1 және 2 туындыларының графиктеріне сәйкес келеді. x \u003d 0 функциясының минималды нүктесі, яғни осы нүктеде туынды нөлге тең болуы керек. Бұл шарт №1 графикке сәйкес келеді.

Жою әдісі бойынша Г функциясының графигі 3 санындағы туындының графигіне сәйкес келетінін анықтауға болады.

Жауабы: 4213.

Опция 14MB4

Суретте функцияның графигі және оған A, B, C және D абсциссалары бар нүктелердегі жанамалары көрсетілген.Оң жақ бағанда туындының A, B, C және D нүктелеріндегі мәндері көрсетілген. Графикті пайдаланып, әрбір нүктені ондағы функцияның туындысының мәнімен сәйкестендіріңіз.

Ұпайлар
БІРАҚ
AT
FROM
D

ТУЫНДЫ МӘНДЕР
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Туынды нені білдіретінін, атап айтқанда оның нүктедегі мәнін еске түсіріңіз - нүктедегі туынды функцияның мәні жанаманың көлбеу (коэффициент) тангенсіне тең.

Жауаптарда бізде екі оң және екі теріс нұсқа бар. Біздің есімізде, егер коэффициент тікелей болса (график y = kx + b) оң болса, онда сызық өседі, ал теріс болса, онда сызық кемиді.

Бізде екі өсетін түзу бар - А және D нүктесінде. Енді k коэффициентінің мәні нені білдіретінін еске түсірейік?

k коэффициенті функцияның қаншалықты жылдам өсетінін немесе төмендейтінін көрсетеді (шын мәнінде k коэффициентінің өзі y = kx + b функциясының туындысы болып табылады).

Сондықтан k \u003d 2/3 жұмсақ түзу сызыққа сәйкес келеді - D, және k \u003d 3 - A.

Сол сияқты теріс мәндер жағдайында: B нүктесі k = -4, ал С нүктесі - -1/2 болатын тік түзу сызыққа сәйкес келеді.

Опция 14MB5

Суретте нүктелер тұрмыстық техника дүкеніндегі жылытқыштарды ай сайынғы сату көлемін көрсетеді. Айлар көлденеңінен, сатылған жылытқыштар саны тігінен көрсетілген. Түсінікті болу үшін нүктелер сызықпен қосылған.

Суретті пайдаланып, көрсетілген уақыт кезеңдерінің әрқайсысын жылытқыштарды сату сипаттамаларымен сәйкестендіріңіз.

Орындау алгоритмі

Графиктің әр маусымға сәйкес бөліктерін талдаймыз. Біз графикте көрсетілген жағдайларды тұжырымдаймыз. Біз оларға ең қолайлы жауаптарды табамыз.

Шешімі:

Қыста сатылымдар саны айына 120 данадан асты және ол үнемі өсіп отырды. Бұл жағдай 3-жауапқа сәйкес келеді. Анау. Біз алып жатырмыз: A-3.

Көктемде сатылымдар бірте-бірте айына 120 жылытқыштан 50-ге дейін төмендеді. №2 нұсқа осы тұжырымға ең жақын. Бізде бар: B–2.

Жазда сатылымдар саны өзгерген жоқ және минималды болды. Бұл тұжырымның 2-ші бөлігі жауаптарда көрсетілмеген, біріншісіне тек No 4 сәйкес келеді. Демек, бізде: 4.

Күзде сатылымдар өсті, бірақ олардың саны айлардың ешқайсысында 100 данадан аспады. Бұл жағдай №1 нұсқада сипатталған. Біз алып жатырмыз: G–1.

Опция 14MB6

График тұрақты автобус жылдамдығының уақытқа тәуелділігін көрсетеді. Тік ось автобустың жылдамдығын км/сағ көрсетеді, көлденең ось автобус басталғаннан бергі уақытты минутпен көрсетеді.

Графикті пайдаланып, әрбір уақыт аралығын осы аралықтағы автобус қозғалысының сипаттамасымен сәйкестендіріңіз.

Орындау алгоритмі

1. Бөлу бағасын көлденең және тік шкала бойынша анықтаймыз.
2. Оң жақ бағандағы («Сипаттамалар») 1–4 ұсынылған мәлімдемелерді кезекпен талдаймыз. Біз оларды кестенің сол жақ бағанынан уақыт аралықтарымен салыстырамыз, жауап үшін «әріп-сан» жұптарын табамыз.

Шешімі:

Көлденең шкаланың бөлу мәні 1 с, тік шкала 20 км/сағ.

1. Автобус тоқтаған кезде оның жылдамдығы 0. 2 минут қатарынан автобус тек 9-нан 11-ші минутқа дейін нөлдік жылдамдыққа ие болды. Бұл уақыт 8-12 минут аралығына келеді. Сонымен, бізде жауап алу үшін жұп бар: B–1.
2. Бірнеше уақыт аралығында автобустың жылдамдығы 20 км/сағ немесе одан да көп болды. Оның үстіне, бұл жерде А нұсқасы жарамайды, өйткені, мысалы, 7-ші минутта жылдамдық 60 км/сағ болды, В нұсқасы - ол қолданылғандықтан, D нұсқасы - өйткені интервалдың басында және соңында автобус нөлдік жылдамдыққа ие болды. Бұл жағдайда В нұсқасы қолайлы (12–16 минут); осы аралықта автобус 40 км/сағ жылдамдықпен қозғала бастайды, содан кейін 100 км/м-ге дейін жылдамдатады, содан кейін жылдамдықты бірте-бірте 20 км/сағ дейін төмендетеді. Сонымен, бізде: 2-ДЕ.
3. Бұл жерде жылдамдық шегі белгіленген. Біз В және С нұсқаларын қарастырмаймыз. Қалған A және G аралықтарының екеуі де қолайлы. Сондықтан алдымен 4-ші нұсқаны қарастырып, содан кейін 3-ші нұсқаға қайта оралу дұрыс болар еді.
4. Қалған екі аралықтан тек 4–8 минут №4 сипаттамаға жарамды, өйткені бұл аралықта (6-шы минутта) тоқтау болды. 18-22 минут аралықта тоқтаулар болған жоқ. Біз алып жатырмыз: A-4. Бұдан шығатыны, No3 сипаттама үшін Г интервалын алу керек, яғни. жұп болып шығады G–3.

Опция 14MB7

Нүктелі сан Қытай халқының 2004-2013 жылдардағы өсімін көрсетеді. Жыл көлденең, халық санының өсімі пайызбен (алдыңғы жылмен салыстырғанда халық санының өсуі) тігінен көрсетіледі. Түсінікті болу үшін нүктелер сызықпен қосылған.

Диаграмманы пайдаланып, көрсетілген уақыт кезеңдерінің әрқайсысын осы кезеңдегі Қытай халқының өсу сипаттамасымен сәйкестендіріңіз..

Орындау алгоритмі

1. Суреттің тік масштабының бөліну мәнін анықтаңыз. Ол 2-ге бөлінген көршілес шкала мәндерінің жұбы арасындағы айырмашылық ретінде табылады (себебі көршілес екі мән арасында 2 бөлім бар).
2. Шартта берілген 1–4 сипаттамаларды (сол жақ кестелік баған) талдаймыз. Біз олардың әрқайсысын белгілі бір уақыт кезеңімен салыстырамыз (оң жақ кесте бағаны).

Шешімі:

Тік шкаланың бөлу мәні 0,01% құрайды.

1. Өсудің төмендеуі 2004 жылдан 2010 жылға дейін үздіксіз жалғасты. 2010-2011 жылдары өсім тұрақты түрде минималды болды, ал 2012 жылдан бастап өсе бастады. Анау. Өсім 2010 жылы тоқтады. Биылғы жыл 2009-2011 жылдар аралығы. Тиісінше, бізде: IN 1.
2. Өсудің ең үлкен төмендеуі суреттегі графиктің ең «тік» құлау сызығы деп қарастырылуы керек. Ол 2006-2007 жылдар аралығына келеді. және жылына 0,04% құрайды (2006 жылы 0,59–0,56=0,04% және 2007 жылы 0,56–0,52=0,04%). Осыдан біз аламыз: A-2.
3. №3 сипаттамада көрсетілген өсім 2007 жылы басталып, 2008 жылы жалғасып, 2009 жылы аяқталды. Бұл В уақыт кезеңіне сәйкес келеді, яғни. бізде бар: B–3.
4. Халықтың өсімі 2011 жылдан кейін өсе бастады, яғни. 2012–2013 жж Сондықтан біз аламыз: G–4.

Опция 14MB8

Суретте функция графигі және оған A, B, C және D абсциссалары бар нүктелерде жүргізілген жанамалар көрсетілген.

Оң жақ бағанда A, B, C және D нүктелеріндегі функция туындысының мәндері көрсетілген. Графикті пайдаланып, әрбір нүктені ондағы функцияның туындысының мәнімен сәйкестендіріңіз.

Орындау алгоритмі

1. Х осінің оң бағытымен сүйір бұрышы бар жанама жұбын қарастырамыз. Біз оларды салыстырамыз, туындылардың сәйкес мәндерінің жұбынан сәйкестікті табамыз.
2. Біз x осінің оң бағытымен доғал бұрышты құрайтын жанама жұбын қарастырамыз. Біз оларды модуль бойынша салыстырамыз, оң жақ бағанда қалған екеуінің туындыларының мәндеріне сәйкестігін анықтаймыз.

Шешімі:

Х осінің оң бағыты бар сүйір бұрышты t.B және t.C туындылары құрайды. Бұл туындылардың оң мәндері бар. Сондықтан, мұнда № 1 және 3 мәндерінің арасында таңдау керек. Егер бұрыш 45 0-ден аз болса, туынды 1-ден аз, ал көп болса, 1-ден көп деген ережені қолдану, біз қорытынды жасаймыз: t.B-де модуль туындысы 1-ден үлкен, t.C-де - 1-ден аз. Бұл жауап үшін жұптар жасауға болатынын білдіреді: 3-тежәне S-1.

t.A және t.D туындылары х осінің оң бағытымен доғал бұрыш жасайды. Мұнда біз дәл сол ережені қолданамыз, оны аздап қайталаймыз: нүктедегі жанама абсцисса осінің сызығына (оның теріс бағытына) неғұрлым «басылған» болса, соғұрлым ол абсолютті мәнде үлкен болады. Сонда мынаны аламыз: А нүктесіндегі туынды D нүктесіндегі туындыға қарағанда абсолютті мәні жағынан аз. Осы жерден бізде жауап үшін жұптар бар: A-2және D–4.

Опция 14MB9

Суреттегі нүктелер 2011 жылғы қаңтардағы Мәскеудегі орташа тәуліктік ауа температурасын көрсетеді. Айдың күндері көлденеңінен, Цельсий градусындағы температуралар тігінен көрсетілген. Түсінікті болу үшін нүктелер сызықпен қосылған.

Суретті пайдаланып, көрсетілген уақыт кезеңдерінің әрқайсысын температураның өзгеру сипаттамасымен сәйкестендіріңіз.

Орындау алгоритмі

Суреттегі графикті пайдаланып, 1–4 (оң жақ баған) сипаттамаларды дәйекті түрде талдаймыз. Біз олардың әрқайсысын белгілі бір уақыт кезеңіне (сол жақ баған) сәйкестендіреміз.

Шешімі:

1. Температураның жоғарылауы 22-28 қаңтарда кезеңнің соңында ғана байқалды. Мұнда 27 және 28-де сәйкесінше 1 және 2 градусқа көтерілді. Мерзімнің соңында 1–7 қаңтарда ауа температурасы тұрақты болды (–10 градус), 8–14 және 15–21 қаңтардың аяғында төмендеді (–1-ден –2-ге және –11-ден –12-ге дейін). тиісінше дәреже). Сондықтан біз аламыз: G–1.
2. Әрбір уақыт аралығы 7 күнді қамтитындықтан, температураны әр кезеңнің 4-ші күнінен бастап талдау керек. 4-7 қаңтар аралығында ғана температура 3-4 күн бойы өзгеріссіз қалды. Сонымен, біз жауап аламыз: A-2.
3. Айлық ең төменгі температура 17 қаңтарда байқалды. Бұл сан 15-21 қаңтар аралығына келеді. Осы жерден бізде жұп бар: 3-те.
4. Ең жоғары температура 10 қаңтарда төмендеп, +1 градусты құрады. Бұл күн 8-14 қаңтар аралығына сәйкес келеді. Сонымен, бізде: B-4.

Опция 14MB10

Орындау алгоритмі

1. Нүктедегі функцияның мәні оң болады, егер бұл нүкте Ox осінен жоғары болса.
2. Нүктедегі туынды нөлден үлкен, егер сол нүктеге жанама х осінің оң бағытымен сүйір бұрыш түзсе.

Шешімі:

А нүктесі. Ол Ox осінен төмен, яғни ондағы функцияның мәні теріс. Егер оған жанама салсақ, онда оның оң бағыты мен Ox арасындағы бұрыш шамамен 90 0 болады, яғни. сүйір бұрыш жасайды. Сонымен, бұл жағдайда №3 сипаттама қолайлы. Анау. бізде бар: A-3.

B нүктесі. Ол Ox осінен жоғары орналасқан, яғни. нүкте оң функция мәніне ие. Бұл нүктедегі жанама абсцисса осіне өте жақын болады, оның оң бағыты бар доғал бұрышты (180 0-ден сәл аз) құрайды. Тиісінше, осы нүктедегі туынды теріс. Осылайша, мұнда 1 сипаттама қолайлы. Біз жауап аламыз: IN 1.

С нүктесі. Нүкте Ox осінен төмен орналасқан, ондағы жанама абсцисса осінің оң бағытымен үлкен доғал бұрыш жасайды. Анау. t.C-де функцияның да, туындының да мәні теріс, ол No 2 сипаттамаға сәйкес келеді. Жауап: S-2.

D нүктесі. Нүкте Ox осінен жоғары орналасқан, ал ондағы жанама осьтің оң бағытымен сүйір бұрыш жасайды. Бұл функцияның мәні де, туындының мәні де мұнда нөлден үлкен екенін көрсетеді. Жауап: D–4.

Опция 14MB11

Суретте нүктелер тұрмыстық техника дүкеніндегі тоңазытқыштардың ай сайынғы сатылым көлемін көрсетеді. Айлар көлденеңінен, сатылған тоңазытқыштар саны тігінен көрсетілген. Түсінікті болу үшін нүктелер сызықпен қосылған.

Суретті пайдаланып, көрсетілген уақыт кезеңдерінің әрқайсысын тоңазытқыштарды сату сипаттамаларымен сәйкестендіріңіз.

y=3x+2 түзуі y=-12x^2+bx-10 функциясының графигіне жанама. Жанасу нүктесінің абсциссасы нөлден кіші екенін ескере отырып, b табыңыз.

Шешім

y=-12x^2+bx-10 функциясының графигіндегі осы графиктің жанамасы өтетін нүктенің абсциссасы x_0 болсын.

x_0 нүктесіндегі туындының мәні жанаманың еңісіне тең, яғни y"(x_0)=-24x_0+b=3. Екінші жағынан, жанама нүкте функцияның графигіне де, тангенс, яғни -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Теңдеулер жүйесін аламыз. \бастау(жағдайлар) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \соңы(жағдайлар)

Бұл жүйені шеше отырып, біз x_0^2=1 аламыз, бұл не x_0=-1 немесе x_0=1 дегенді білдіреді. Абциссаның шарты бойынша жанасу нүктелері нөлден аз, сондықтан x_0=-1, онда b=3+24x_0=-21.

Жауап

Шарт

Суретте y=f(x) функциясының графигі берілген (ол үш түзу кесіндіден тұратын сынық сызық). Суретті пайдаланып, F(9)-F(5) есептеңдер, мұндағы F(x) f(x) туындыларының бірі болып табылады.

Шешім

Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша F(9)-F(5) айырмасы, мұндағы F(x) f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады, шектелген қисық сызықты трапеция ауданына тең. y=f(x) функциясының графигі бойынша, y=0 , x=9 және x=5 түзулері. Графикке сәйкес, көрсетілген қисық сызықты трапеция табандары 4 пен 3-ке тең, биіктігі 3-ке тең трапеция екенін анықтаймыз.

Оның ауданы тең \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Шарт

Суретте y \u003d f "(x) - (-4; 10) интервалында анықталған f (x) функциясының туындысы графигі көрсетілген. f (x) функциясының кему аралықтарын табыңыз. Жауабыңызда , олардың ең үлкенінің ұзындығын көрсетіңіз.

Шешім

Өздеріңіз білетіндей, f (x) функциясы сол аралықтарда кемиді, олардың әрбір нүктесінде f "(x) туындысы нөлден кіші. Олардың ең үлкенінің ұзындығын табу қажет екенін ескерсек, осындай үш интервал. фигурадан табиғи түрде ажыратылады: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Олардың ең үлкенінің ұзындығы - (5; 9) 4-ке тең.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Шарт

Суретте y \u003d f "(x) графигі көрсетілген - (-8; 7) интервалында анықталған f (x) функциясының туындысы. f (x) функциясына жататын максимал нүктелерінің санын табыңыз. [-6; -2] аралығына.

Шешім

График f (x) функциясының f "(x) туындысы [ интервалынан дәл бір нүктеде (-5 пен -4 арасында) таңбаны плюстен минусқа (мұндай нүктелерде максимум болады) өзгертетінін көрсетеді. -6;-2 Сондықтан [-6;-2] интервалында дәл бір максимум нүктесі бар.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Шарт

Суретте (-2; 8) интервалда анықталған y=f(x) функциясының графигі көрсетілген. f(x) функциясының туындысы 0-ге тең болатын нүктелер санын анықтаңыз.

Шешім

Егер нүктедегі туынды нөлге тең болса, онда осы нүктеде сызылған функцияның графигіне жанама Ox осіне параллель болады. Сондықтан функция графигіне жанама Ох осіне параллель болатын нүктелерді табамыз. Бұл диаграммада мұндай нүктелер экстремум нүктелері болып табылады (максималды немесе ең төменгі ұпайлар). Көріп отырғаныңыздай, 5 экстремум нүктесі бар.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Шарт

y=-3x+4 түзуі y=-x^2+5x-7 функциясының графигіне жанамаға параллель. Жанасу нүктесінің абсциссасын табыңыз.

Шешім

Ерікті x_0 нүктесіндегі y=-x^2+5x-7 функциясының графигіне түзудің еңісі у"(x_0). Бірақ y"=-2x+5, сондықтан у"(x_0)=- 2x_0+5. Шартта көрсетілген y=-3x+4 түзуінің бұрыштық коэффициенті -3. Параллель түзулердің еңістері бірдей.Сондықтан =-2x_0 +5=-3 болатын x_0 мәнін табамыз.

Біз мынаны аламыз: x_0 = 4.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Шарт

Суретте y=f(x) функциясының графигі және х осінде белгіленген -6, -1, 1, 4 нүктелері көрсетілген. Осы нүктелердің қайсысында туындының мәні ең кіші болады? Жауабыңызда осы тармақты көрсетіңіз.

Артқа алға

Назар аударыңыз! Слайдты алдын ала қарау тек ақпараттық мақсаттарға арналған және презентацияның толық көлемін көрсетпеуі мүмкін. Егер сізді осы жұмыс қызықтырса, толық нұсқасын жүктеп алыңыз.

Сабақтың түрі:қайталау және жалпылау.

Сабақтың формасы:кеңес беру сабағы.

Сабақтың мақсаттары:

• тәрбиелік: «Туындының геометриялық мағынасы» және «Туындыны функцияларды зерттеуде қолдану» тақырыптары бойынша теориялық білімдерін қайталау және қорыту; математикадан емтиханда кездесетін В8 тапсырмаларының барлық түрлерін қарастыру; студенттерге есептерді өз бетінше шешу арқылы білімдерін тексеруге мүмкіндік беру; жауаптардың емтихан бланкісін толтыруды үйрету;
• дамуда: ғылыми танымның, мағыналық есте сақтаудың және ерікті зейіннің әдісі ретінде қарым-қатынастың дамуына ықпал ету; салыстыру, салыстыру, объектілерді жіктеу, берілген алгоритмдер негізінде оқу мәселесін шешудің адекватты жолдарын анықтау, белгісіздік жағдайында өз бетінше әрекет ете білу, өз қызметін бақылау және бағалау, өз әрекетін табу және жою сияқты негізгі құзыреттіліктерді қалыптастыру. туындаған қиындықтардың себептері;
• тәрбиелік: оқушылардың коммуникативтік құзыреттіліктерін (қарым-қатынас мәдениеті, топпен жұмыс істей білу) дамыту; өзін-өзі тәрбиелеу қажеттілігін дамытуға ықпал ету.

Технологиялар: дамыта оқыту, АКТ.

Оқыту әдістері:ауызша, көрнекілік, практикалық, проблемалық.

Жұмыс формалары:жеке, фронтальды, топтық.

Оқу-әдістемелік қамтамасыз ету:

1. Алгебра және математикалық талдаудың басталуы 11-сынып: оқулық. Жалпы білім беруге арналған Мекемелер: негізгі және профильді. деңгейлері / (Ю. М. Колягин, М.В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин); Жижченконың редакциясымен А.Б. - 4-ші басылым. - М .: Білім, 2011.

2. ҚОЛДАНУ: математикадан жауаптары бар 3000 тапсырма. В/А.Л тобының барлық тапсырмалары. Семёнов, И.В. Ященко және басқалар; өңдеген A.L. Семёнова, И.В. Ященко. - М .: «Емтихан» баспасы, 2011 ж.

3. Жұмыс банкін ашыңыз.

Сабаққа қажетті құрал-жабдықтар мен материалдар:проектор, экран, әрбір студентке презентация орнатылған компьютер, барлық студенттер үшін жадынаманы басып шығару (1-қосымша)және ұпай парағы 2-қосымша) .

Сабаққа алдын ала дайындық:Үйге тапсырма ретінде оқушыларға «Туындының геометриялық мағынасы», «Туындыны функцияларды зерттеуге қолдану» тақырыптары бойынша оқулықтағы теориялық материалды қайталау ұсынылады; сынып топтарға бөлінген (әрқайсысы 4 адам), олардың әрқайсысында әртүрлі деңгейдегі оқушылар бар.

Сабаққа түсініктеме:Бұл сабақ 11-сыныпта қайталау және емтиханға дайындық кезеңінде өткізіледі. Сабақ теориялық материалды қайталауға және жалпылауға, оны емтихан есептерін шешуде қолдануға бағытталған. Сабақтың ұзақтығы – 1,5 сағат .

Бұл сабақ оқулыққа қосылмаған, сондықтан оны кез келген оқу материалдарымен жұмыс істеу кезінде өткізуге болады. Сондай-ақ бұл сабақты екі бөлек сабаққа бөліп, қарастырылатын тақырыптар бойынша қорытынды сабақтар ретінде өткізуге болады.

Сабақтар кезінде

I. Ұйымдастыру кезеңі.

II. Мақсат қою сабағы.

III. «Туындының геометриялық мағынасы» тақырыбын қайталау.

Проектор арқылы ауызша фронтальды жұмыс (№3-7 слайдтар)

Топтық жұмыс: Нұсқаулар, жауаптар, мұғалімнің кеңесімен есептер шығару (No8-17 слайдтар)

IV. Өзіндік жұмыс 1.

Оқушылар дербес компьютерде жұмыс жасайды (No18-26 слайдтар), олардың жауаптары бағалау парағына енгізіледі. Қажет болса, мұғалімнің кеңесін алуға болады, бірақ бұл жағдайда студент 0,5 ұпай жоғалтады. Егер студент жұмысты ертерек орындаса, онда ол жинақтағы қосымша тапсырмаларды шешуді таңдай алады, 242, 306-324 б. (қосымша тапсырмалар бөлек бағаланады).

V. Өзара тексеру.

Оқушылар бағалау парақтарымен алмасады, досының жұмысын тексереді, ұпай береді (слайд No27)

VI. Білімді түзету.

VII. «Туындыны функцияларды зерттеуге қолдану» тақырыбын қайталау.

Проектор арқылы ауызша фронтальды жұмыс (слайдтар №28-30)

Топтық жұмыс: түрткі, жауап, мұғалімнің кеңесімен есептер шығару (слайд No31-33).

VIII. Өзіндік жұмыс 2.

Студенттер дербес компьютерде жұмыс істейді (No34-46 слайдтар), жауаптарын жауап парағына енгізеді. Қажет болса, мұғалімнің кеңесін алуға болады, бірақ бұл жағдайда студент 0,5 ұпай жоғалтады. Егер студент жұмысты ертерек орындаса, онда ол жинақтан қосымша тапсырмаларды шешуді таңдай алады, 243-305 б. (қосымша тапсырмалар бөлек бағаланады).

IX. Өзара тексеру.

Оқушылар бағалау парақтарымен алмасады, досының жұмысын тексереді, ұпай береді (слайд No47).

X. Білімді түзету.

Оқушылар қайтадан өз топтарында жұмыс жасайды, шешімін талқылайды, қателерін түзетеді.

XI. Қорытындылау.

Әр оқушы өз ұпайларын есептеп, бағалау парағына бағасын қояды.

Оқушылар мұғалімге бағалау парағын және қосымша есептердің шешімін тапсырады.

Әр оқушы жадынама алады (слайд No53-54).

XII. Рефлексия.

Оқушыларға сөз тіркестерінің бірін таңдау арқылы білімдерін бағалау ұсынылады:

• Мен бәрін алдым!!!
• Біз тағы бірнеше мысалды шешуіміз керек.
• Бұл математиканы кім ойлап тапты!

XIII. Үй жұмысы.

Үй тапсырмасын орындау үшін студенттерге жинақтан, 242-334 беттерден, сондай-ақ ашық тапсырмалар банкінен тапсырмаларды шешу ұсынылады.

Алдымен, функцияның ауқымын табуға тырысыңыз:

Сіз басқардыңыз ба? Жауаптарды салыстырайық:

Барлығы дұрыс? Жарайсың!

Енді функцияның ауқымын табуға тырысайық:

Табылды ма? Салыстыру:

Келісті ме? Жарайсың!

Графиктермен қайтадан жұмыс жасайық, тек қазір бұл сәл қиынырақ – функцияның анықталу облысын да, функцияның ауқымын да табу.

Функцияның доменін де, ауқымын да қалай табуға болады (қосымша)

Міне, оқиға:

Графика арқылы сіз оны түсіндіңіз деп ойлаймын. Енді формулаларға сәйкес функцияның облысын табуға тырысайық (егер мұны қалай жасау керектігін білмесеңіз, келесі бөлімді оқыңыз):

Сіз басқардыңыз ба? Тексеру жауаптар:

1. , өйткені түбір өрнегі нөлден үлкен немесе оған тең болуы керек.
2. , өйткені нөлге бөлу мүмкін емес және радикалды өрнек теріс болуы мүмкін емес.
3. , бері, тиісінше, барлығы үшін.
4. өйткені нөлге бөлуге болмайды.

Дегенмен, бізде әлі шешілмеген бір сәт бар ...

Анықтаманы қайталап, оған тоқталуға рұқсат етіңіз:

Байқадыңыз ба? «Тек» сөзі біздің анықтамамыздың өте маңызды элементі болып табылады. Мен сізге саусақпен түсіндіруге тырысамын.

Бізде түзу арқылы берілген функция бар делік. . Қашан, біз бұл мәнді «ережеге» ауыстырамыз және оны аламыз. Бір мән бір мәнге сәйкес келеді. Біз тіпті әртүрлі мәндердің кестесін жасай аламыз және оны тексеру үшін берілген функцияны сыза аламыз.

«Қараңдар! – дейсің, – «» екі рет кездеседі!» Мүмкін парабола функция емес шығар? Жоқ, солай!

«» екі рет орын алуы параболаны анық емес деп айыптауға негіз емес!

Өйткені, есептегенде бізде бір ойын болды. Ал есептегенде бізде бір ойын болды. Дұрыс, парабола – функция. Диаграмманы қараңыз:

Түсіндім? Олай болмаса, математикадан алыс өмірден алынған мысал сізге!

Айталық, бізде құжат тапсыру кезінде кездескен бір топ талапкерлер бар делік, олардың әрқайсысы әңгімеде қай жерде тұратынын айтты:

Келісіңіз, бір қалада бірнеше жігіт тұруы әбден шындық, бірақ бір адамның бір уақытта бірнеше қалада тұруы мүмкін емес. Бұл, біздің «параболамыздың» логикалық көрінісі - Бір у-ға бірнеше түрлі х сәйкес келеді.

Енді тәуелділік функция болып табылмайтын мысал келтірейік. Дәл осы жігіттер қандай мамандықтарға тапсырғандарын айтып берді делік:

Бұл жерде бізде мүлде басқа жағдай бар: бір адам бір немесе бірнеше бағытқа оңай өтініш бере алады. Яғни бір элементжиынтықтары корреспонденцияға қойылады бірнеше элементтержинақтар. Сәйкесінше, бұл функция емес.

Сендердің білімдеріңді практикада сынап көрейік.

Суреттерден функцияның не екенін және ненің емес екенін анықтаңыз:

Түсіндім? Ал міне жауаптар:

• Функция - B, E.
• Функция емес - A, B, D, D.

Сіз неге сұрайсыз? Иә, міне, себебі:

Басқа барлық сандарда AT)және E)біреу үшін бірнеше бар!

Енді сіз функцияны функция еместен оңай ажырата алатыныңызға сенімдімін, аргументтің не екенін және тәуелді айнымалының не екенін айта аласыз, сонымен қатар аргументтің және функцияның ауқымын анықтай аласыз. Келесі бөлімге көшейік – функцияны қалай анықтауға болады?

Функцияны орнату тәсілдері

Бұл сөздер нені білдіреді деп ойлайсыңдар «функцияны орнату»? Дұрыс, бұл барлық адамдарға бұл жағдайда қандай функция туралы сөйлесетінімізді түсіндіруді білдіреді. Оның үстіне, барлығы сізді дұрыс түсінетіндей етіп түсіндіріңіз және сіздің түсіндіруіңіз бойынша адамдар салған функциялардың графиктері бірдей болды.

Мұны қалай жасауға болады? Функцияны қалай орнатуға болады?Осы мақалада бірнеше рет қолданылған ең оңай әдіс - формуланы қолдану.Біз формула жазамыз және оған мәнді қою арқылы мәнді есептейміз. Естеріңізде болса, формула - бұл заң, ереже, оған сәйкес бізге және басқа адамға Х-тің Y-ге айналуы түсінікті болады.

Әдетте, олар дәл осылай істейді - тапсырмаларда біз формулалармен анықталған дайын функцияларды көреміз, дегенмен функцияны орнатудың басқа жолдары бар, оны бәрі ұмытады, сондықтан «функцияны тағы қалай орнатуға болады?» Деген сұрақ туындайды. шатастырады. Барлығын ретімен қарастырып, аналитикалық әдіспен бастайық.

Функцияны анықтаудың аналитикалық тәсілі

Аналитикалық әдіс – формуланы қолданатын функцияның тапсырмасы. Бұл ең әмбебап және жан-жақты және бір мәнді жол. Егер сізде формула болса, онда сіз функция туралы толықтай білесіз - сіз оған мәндер кестесін жасай аласыз, график құра аласыз, функция қай жерде артып, қай жерде төмендейтінін анықтай аласыз, жалпы оны зерттей аласыз. толығымен.

Функцияны қарастырайық. Оның не маңызы бар?

«Бұл нені білдіреді?» - сен сұрадың. Мен қазір түсіндіремін.

Еске салайын, белгілерде жақшадағы өрнек аргумент деп аталады. Және бұл аргумент кез келген өрнек болуы мүмкін, міндетті түрде қарапайым емес. Сәйкесінше, қандай аргумент болса да (жақшадағы өрнек), біз оны өрнектің орнына жазамыз.

Біздің мысалда ол келесідей болады:

Емтиханда болатын функцияны көрсетудің аналитикалық әдісіне қатысты басқа тапсырманы қарастырыңыз.

Өрнектің мәнін табыңыз, at.

Бастапқыда сіз мұндай өрнекті көргенде қорқып кеткеніңізге сенімдімін, бірақ онда қорқынышты ештеңе жоқ!

Барлығы алдыңғы мысалдағыдай: қандай аргумент болса да (жақшадағы өрнек), біз оны өрнектің орнына жазамыз. Мысалы, функция үшін.

Біздің мысалда не істеу керек? Оның орнына сізге жазу керек, ал орнына -:

алынған өрнекті қысқартыңыз:

Осымен болды!

Өзіндік жұмыс

Енді мына өрнектердің мағынасын өзіңіз тауып көріңіз:

1. , егер
2. , егер

Сіз басқардыңыз ба? Жауаптарымызды салыстырайық: Функцияның пішіні бар екеніне үйреніп қалдық

Біздің мысалдарымызда да біз функцияны осылай анықтаймыз, бірақ аналитикалық түрде функцияны жасырын түрде анықтауға болады, мысалы.

Бұл функцияны өзіңіз құрастырып көріңіз.

Сіз басқардыңыз ба?

Міне, мен оны қалай құрастырдым.

Біз қандай теңдеумен аяқталдық?

Дұрыс! Сызықтық, яғни график түзу болады. Түзуімізге қай нүктелер жататынын анықтау үшін кесте құрайық:

Бұл туралы біз айтып едік ... Біреуі бірнешеге сәйкес келеді.

Не болғанын суреттеп көрейік:

Бізде функция бар ма?

Дұрыс, жоқ! Неліктен? Бұл сұраққа сурет арқылы жауап беруге тырысыңыз. Сіз не алдыңыз?

«Себебі бір мән бірнеше мәнге сәйкес келеді!»

Бұдан қандай қорытынды шығаруға болады?

Дұрыс, функцияны әрқашан анық көрсету мүмкін емес және функция ретінде «жасырынған» әрқашан функция бола бермейді!

Функцияны анықтаудың кестелік тәсілі

Атауынан көрініп тұрғандай, бұл әдіс қарапайым пластина. Иә Иә. Біз жасаған сияқты. Мысалға:

Мұнда сіз бірден үлгіні байқадыңыз - Y X-тен үш есе үлкен. Ал енді «жақсы ойла» тапсырмасы: кесте түрінде берілген функция функцияға эквивалентті деп ойлайсыз ба?

Ұзақ сөйлеспей, сурет салайық!

Сонымен. Екі жолмен берілген функцияны саламыз:

Айырмашылықты көріп тұрсыз ба? Бұл белгіленген нүктелер туралы емес! Жақынырақ қараңыз:

Енді көрдіңіз бе? Функцияны кестелік түрде орнатқанда, біз кестеде бар нүктелерді ғана графикте бейнелейміз және сызық (біздің жағдайымыздағыдай) олар арқылы ғана өтеді. Функцияны аналитикалық жолмен анықтаған кезде біз кез келген нүктелерді аламыз және біздің функциямыз олармен шектелмейді. Міне, осындай қасиет. Есіңізде болсын!

Функцияны құрудың графикалық тәсілі

Функцияны құрудың графикалық тәсілі кем емес ыңғайлы. Біз өз функциямызды сызамыз, ал басқа бір қызығушылық танытқан адам белгілі бір х-те y-нің не тең екенін таба алады және т.б. Графикалық және аналитикалық әдістер ең кең таралғандардың қатарына жатады.

Дегенмен, бұл жерде сіз ең басында не туралы айтқанымызды есте сақтауыңыз керек - координаталар жүйесінде сызылған әрбір «қиыршық» функция емес! Есте қалды ма? Мүмкін болса, мен мұнда функцияның анықтамасын көшіремін:

Әдетте, адамдар әдетте біз талдаған функцияны көрсетудің дәл осы үш әдісін атайды - аналитикалық (формула арқылы), кестелік және графикалық, функцияны ауызша сипаттауға болатынын мүлдем ұмытып кетеді. Қалай сонда? Иә, өте оңай!

Функцияның ауызша сипаттамасы

Функцияны ауызша қалай сипаттауға болады? Біздің соңғы мысалды алайық - . Бұл функцияны «х-тің әрбір нақты мәні оның үштік мәніне сәйкес келеді» деп сипаттауға болады. Осымен болды. Күрделі ештеңе жоқ. Әрине, сіз қарсы боласыз - «соншалықты күрделі функциялар бар, оларды ауызша орнату мүмкін емес!» Иә, бар, бірақ формуламен орнатудан гөрі ауызша сипаттау оңайырақ функциялар бар. Мысалы: "х-тің әрбір натурал мәні ол тұратын цифрлар арасындағы айырмашылыққа сәйкес келеді, ал сан жазбасындағы ең үлкен цифр минуенд ретінде қабылданады." Енді функцияның ауызша сипаттамасы іс жүзінде қалай жүзеге асырылатынын қарастырыңыз:

Берілген сандағы ең үлкен цифр - сәйкесінше - азайтылады, сонда:

Функциялардың негізгі түрлері

Енді ең қызықтысына көшейік - біз сіз жұмыс істеген / жұмыс істеген және мектеп пен институт математика курсында жұмыс істейтін функциялардың негізгі түрлерін қарастырамыз, яғни біз олармен танысамыз, былайша айтқанда, және оларға қысқаша сипаттама беріңіз. Әрбір функция туралы сәйкес бөлімде толығырақ оқыңыз.

Сызықтық функция

Пішіннің функциясы, мұндағы, нақты сандар.

Бұл функцияның графигі түзу, сондықтан сызықтық функцияның құрылысы екі нүктенің координаталарын табуға дейін қысқарады.

Түзудің координаталық жазықтықтағы орны еңіске байланысты.

Функция ауқымы (аргумент ауқымы деп аталады) - .

Мәндер ауқымы болып табылады.

квадраттық функция

Пішіннің қызметі, мұндағы

Функцияның графигі парабола болады, параболаның тармақтары төменге бағытталған кезде, жоғары бағытталғанда.

Квадраттық функцияның көптеген қасиеттері дискриминанттың мәніне байланысты. Дискриминант формула бойынша есептеледі

Параболаның координаталық жазықтықтағы мәні мен коэффициентіне қатысты орны суретте көрсетілген:

Домен

Мәндер диапазоны берілген функцияның экстремумына (парабола төбесі) және коэффициентке (парабола тармақтарының бағыты) байланысты.

Кері пропорционалдық

Формула арқылы берілген функция, мұндағы

Сан кері пропорционалдық коэффициенті деп аталады. Қандай мәнге байланысты гиперболаның тармақтары әртүрлі квадраттарда болады:

Домен - .

Мәндер ауқымы болып табылады.

ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛА

1. Функция - бұл жиынның әрбір элементіне жиынның бірегей элементі тағайындалған ереже.

• - бұл функцияны, яғни бір айнымалының екіншісіне тәуелділігін білдіретін формула;
• - айнымалы немесе аргумент;
• - тәуелді мән – аргумент өзгерген кезде өзгереді, яғни бір мәннің екіншісіне тәуелділігін көрсететін қандай да бір нақты формула бойынша.

2. Жарамды аргумент мәндері, немесе функцияның ауқымы - бұл функция мағынасы болатын мүмкін болатын нәрсе.

3. Функция мәндерінің диапазоны- бұл жарамды мәндері бар құндылықтарды қабылдайды.

4. Функцияны орнатудың 4 жолы бар:

• аналитикалық (формулаларды қолдану);
• кестелік;
• графика
• ауызша сипаттау.

5. Функциялардың негізгі түрлері:

• : , мұндағы, нақты сандар;
• : , қайда;
• : , қайда.