Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу мысалдары. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу әдісі: формуласы Үшмүшелік теңдеу

Өнімді алу үшін көпмүшелерді кеңейту кейде түсініксіз болып көрінеді. Бірақ егер сіз процесті кезең-кезеңімен түсінсеңіз, бұл соншалықты қиын емес. Мақалада квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу жолы егжей-тегжейлі сипатталады.

Көбісі төртбұрышты үшмүшені көбейткіштерге бөлуді және бұл не үшін жасалатынын түсінбейді. Басында бұл пайдасыз жаттығу болып көрінуі мүмкін. Бірақ математикада бұлай ештеңе жасалмайды. Трансформация өрнекті жеңілдету және есептеу ыңғайлылығы үшін қажет.

- ax² + bx + c түрінде болатын көпмүше, шаршы үшмүше деп аталады.«А» термині теріс немесе оң болуы керек. Практикада бұл өрнек квадрат теңдеу деп аталады. Сондықтан кейде олар басқаша айтады: квадрат теңдеуді қалай кеңейту керек.

Қызықты!Шаршы көпмүше оның ең үлкен дәрежесіне байланысты аталады - шаршы. Ал үшмүше – 3 құрамды мүше болғандықтан.

Көпмүшелердің кейбір басқа түрлері:

• сызықтық биномдық (6x+8);
• текше төртбұрыш (x³+4x²-2x+9).

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу

Алдымен өрнек нөлге тең, содан кейін x1 және x2 түбірлерінің мәндерін табу керек. Тамыр болмауы мүмкін, бір немесе екі тамыр болуы мүмкін. Түбірлердің болуы дискриминантпен анықталады. Оның формуласын жатқа білу керек: D=b²-4ac.

Егер D нәтижесі теріс болса, түбірлер болмайды. Оң болса, екі түбір бар. Нәтиже нөл болса, түбір бір болады. Түбірлер де формула бойынша есептеледі.

Егер дискриминанттың есебі нөлге тең болса, формулалардың кез келгенін қолдануға болады. Іс жүзінде формула жай ғана қысқартылған: -b / 2a.

Дискриминанттың әртүрлі мәндерінің формулалары әртүрлі.

Егер D оң болса:

Егер D нөл болса:

Онлайн калькуляторлар

Интернетте онлайн калькулятор бар. Оны көбейткіштерге бөлу үшін пайдалануға болады. Кейбір ресурстар шешімді кезең-кезеңімен көруге мүмкіндік береді. Мұндай қызметтер тақырыпты жақсы түсінуге көмектеседі, бірақ жақсы түсінуге тырысу керек.

Пайдалы бейне: Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу

Мысалдар

Квадрат теңдеуді көбейткіштерге бөлудің қарапайым мысалдарын қарастыруды ұсынамыз.

1-мысал

Мұнда нәтиже екі х болатыны анық көрсетілген, себебі D оң. Оларды формулаға ауыстыру керек. Егер түбірлер теріс болса, формуладағы белгі керісінше болады.

Біз квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласын білеміз: a(x-x1)(x-x2). Мәндерді жақшаға аламыз: (x+3)(x+2/3). Көрсеткіште мүшеден бұрын сан жоқ. Бұл бірлік бар, ол төмендетілді дегенді білдіреді.

2-мысал

Бұл мысалда бір түбірі бар теңдеуді шешу жолы анық көрсетілген.

Алынған мәнді ауыстырыңыз:

3-мысал

Берілген: 5x²+3x+7

Алдымен, алдыңғы жағдайлардағыдай дискриминантты есептейміз.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминант теріс, яғни түбірлер жоқ.

Нәтижені алғаннан кейін жақшаларды ашып, нәтижені тексерген жөн. Түпнұсқа триномия пайда болуы керек.

Балама шешім

Кейбір адамдар дискриминантпен ешқашан дос бола алмады. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлудің тағы бір жолы бар. Ыңғайлы болу үшін әдіс мысалда көрсетілген.

Берілген: x²+3x-10

Біз 2 жақшамен аяқтау керектігін білеміз: (_) (_). Өрнек келесідей болған кезде: x² + bx + c, әрбір жақшаның басына x қоямыз: (x_) (x_). Қалған екі сан «c» беретін көбейтінді, яғни бұл жағдайда -10. Бұл сандар не екенін білу үшін таңдау әдісін ғана қолдануға болады. Ауыстырылған сандар қалған мүшеге сәйкес келуі керек.

Мысалы, келесі сандарды көбейткенде -10 шығады:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Жоқ.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Жоқ.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Жоқ.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Сәйкес келеді.

Сонымен, x2+3x-10 өрнегін түрлендіру келесідей болады: (x-2)(x+5).

Маңызды!Белгілерді шатастырмау үшін абай болу керек.

Күрделі үшмүшенің ыдырауы

Егер «а» біреуден үлкен болса, қиындықтар басталады. Бірақ бәрі көрінгендей қиын емес.

Бөлшектеу үшін алдымен бір нәрсені факторға бөлуге болатынын білу керек.

Мысалы, өрнек берілген: 3x²+9x-30. Мұнда 3 саны жақшадан алынады:

3(x²+3x-10). Нәтиже бұрыннан белгілі триномия болып табылады. Жауап келесідей: 3(x-2)(x+5)

Квадраты болатын мүше теріс болса, қалай бөлшектеуге болады? Бұл жағдайда жақшадан -1 саны алынады. Мысалы: -x²-10x-8. Содан кейін өрнек келесідей болады:

Схема алдыңғысынан аз ерекшеленеді. Тек бірнеше жаңа нәрселер бар. Өрнек берілген делік: 2x²+7x+3. Жауап та 2 жақшаға жазылады, оны (_) (_) толтыру керек. 2-ші жақшаға X жазылады, ал 1-де не қалды. Ол келесідей көрінеді: (2x_)(x_). Әйтпесе, алдыңғы схема қайталанады.

3 саны сандарды береді:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Берілген сандарды алмастыру арқылы теңдеулерді шешеміз. Соңғы нұсқа сәйкес келеді. Сонымен 2x²+7x+3 өрнегін түрлендіру келесідей болады: (2x+1)(x+3).

Басқа жағдайлар

Өрнекті түрлендіру әрқашан мүмкін бола бермейді. Екінші әдісте теңдеуді шешу қажет емес. Бірақ терминдерді өнімге айналдыру мүмкіндігі тек дискриминант арқылы тексеріледі.

Формулаларды қолдануда қиындықтар болмауы үшін квадрат теңдеулерді шешуге машықтану керек.

Пайдалы бейне: үшмүшені көбейткіштерге бөлу

Қорытынды

Сіз оны кез келген жолмен пайдалана аласыз. Бірақ автоматизмге екеуін де жұмыс істеген дұрыс. Сондай-ақ, өз өмірін математикамен байланыстырғысы келетіндер квадрат теңдеулерді жақсы шешуді және көпмүшелерді көбейткіштерге ыдыратуды үйренуі керек. Төмендегі барлық математикалық тақырыптар осыған негізделген.

Байланыста

Бұл онлайн калькулятор функцияны көбейткіштерге бөлуге арналған.

Мысалы, көбейткіштерге жіктеу: x 2 /3-3x+12 . Оны x^2/3-3*x+12 түрінде жазайық. Сондай-ақ, барлық есептеулер Word пішімінде сақталатын бұл қызметті пайдалануға болады.

Мысалы, терминдерге бөліңіз. Оны (1-x^2)/(x^3+x) түрінде жазайық. Шешімнің орындалу барысын көру үшін Қадамдарды көрсету түймесін басыңыз. Нәтижені Word форматында алу қажет болса, осы қызметті пайдаланыңыз.

Ескерту: «pi» (π) саны pi түрінде жазылады; квадрат түбірі sqrt ретінде, мысалы sqrt(3) , tg тангенсі tan түрінде жазылады. Жауап алу үшін Балама бөлімін қараңыз.

1. Егер қарапайым өрнек берілсе, мысалы, 8*d+12*c*d , онда өрнекті көбейткіштерге бөлу өрнекті көбейту дегенді білдіреді. Ол үшін жалпы факторларды табу керек. Бұл өрнекті былай жазамыз: 4*d*(2+3*c) .
2. Көбейтіндіні екі бином түрінде өрнектеңіз: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Мұнда біз бірнеше жалпы факторларды табуымыз керек: x(x + 7z) + 3y (x + 7z). (x+7z) шығарып, мынаны аламыз: (x+7z)(x + 3y) .

Сондай-ақ көпмүшелерді бұрышпен бөлуді қараңыз (бағанға бөлудің барлық қадамдары көрсетілген)

Бөлшектеу ережелерін үйренуде пайдалы қысқартылған көбейту формулалары, оның көмегімен жақшаларды шаршымен қалай ашу керектігі анық болады:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Факторинг әдістері

1. Қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.
2. Жалпы факторды іздеңіз.

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлуС3 есебінің немесе С5 параметрі бар есептің теңсіздіктерін шешу кезінде пайдалы болуы мүмкін. Сондай-ақ, егер сіз Виетаның теоремасын білсеңіз, B13 сөзінің көптеген мәселелері әлдеқайда жылдам шешіледі.

Бұл теореманы, әрине, ол бірінші өткен 8-сынып тұрғысынан қарастыруға болады. Бірақ біздің міндет - емтиханға жақсы дайындалу және емтихан тапсырмаларын мүмкіндігінше тиімді шешуді үйрену. Сондықтан бұл сабақта әдіс мектептегіден сәл өзгеше.

Виет теоремасы бойынша теңдеудің түбірлерінің формуласыкөп біледі (немесе кем дегенде көрдім):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

Мұндағы `a, b` және `c` - `ax^2+bx+c` шаршы үшмүшесінің коэффициенттері.

Теореманы оңай пайдалануды үйрену үшін оның қайдан шыққанын түсінейік (бұл жолмен есте сақтау оңайырақ болады).

`ax^2+ bx+ c = 0` теңдеуін алайық. Одан әрі ыңғайлы болу үшін оны `a`-ға бөліп, `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` аламыз. Мұндай теңдеу келтірілген квадрат теңдеу деп аталады.

Сабақтың маңызды сәттері: түбірлері бар кез келген шаршы көпмүшені жақшаға ыдыратуға болады.Біздікі `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)` түрінде ұсынылуы мүмкін делік, мұндағы `k` және `l` - кейбір тұрақтылар.

Жақшалар қалай ашылатынын көрейік:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Осылайша, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Бұл классикалық интерпретациядан біршама ерекшеленеді Виетаның теоремалары- онда біз теңдеудің түбірлерін іздейміз. шарттарын іздеуді ұсынамын жақшаның кеңеюлері- сондықтан формуладағы минус туралы есте сақтаудың қажеті жоқ ( `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)` дегенді білдіреді). Қосындысы орташа коэффициентке, ал көбейтіндісі бос мүшеге тең болатын осындай екі санды таңдау жеткілікті.

Егер теңдеудің шешімі қажет болса, онда бұл анық: `x=-k` немесе `x=-l` түбірлері (өйткені бұл жағдайларда жақшалардың бірі нөлге тең болады, яғни бүкіл өрнек болады нөлге тең).

Мысалы, мен алгоритмді көрсетемін, шаршы көпмүшені жақшаға қалай бөлшектеуге болады.

Бір мысал. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу алгоритмі

Бізде бар жол – `x^2+5x+4` квадрат үшмүшесі.

Ол төмендетілді (`x^2` коэффициенті бірге тең). Оның тамыры бар. (Сенімді болу үшін дискриминантты бағалауға және оның нөлден үлкен екеніне көз жеткізуге болады.)

Әрі қарайғы қадамдар (оларды барлық оқу тапсырмаларын орындау арқылы үйрену керек):

1. Келесі белгілерді жасаңыз: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Нүктелердің орнына бос орын қалдырыңыз, біз оған сәйкес сандар мен белгілерді қосамыз.
2. «4» санын екі санның көбейтіндісіне қалай бөлшектеуге болатынының барлық мүмкін нұсқаларын қарастырыңыз. Теңдеудің түбірлері үшін «үміткерлер» жұптарын аламыз: `2, 2` және `1, 4`.
3. Орташа коэффициентті қай жұптан алуға болатынын бағалаңыз. Бұл '1, 4' екені анық.
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ деп жазыңыз.
5. Келесі қадам - ​​кірістірілген сандардың алдына белгілер қою.

   Жақшадағы сандардың алдында қандай белгілер болуы керек екенін қалай түсінуге және мәңгі есте сақтауға болады? Оларды кеңейтуге тырысыңыз (жақшалар). Бірінші дәрежеге дейінгі `x` коэффициенті `(± 4 ± 1)` болады (белгілерді әлі білмейміз - таңдау керек) және ол `5`-ке тең болуы керек. Мұнда $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ екі плюс болатыны анық.

   Бұл әрекетті бірнеше рет орындаңыз (сәлеметсіз бе, жаттығу тапсырмалары!) және осыған байланысты ешқашан проблемалар болмайды.

`x^2+5x+4` теңдеуін шешу керек болса, енді оның шешімі қиын емес. Оның түбірлері `-4, -1`.

Екінші мысал. Әртүрлі таңбалы коэффициенттері бар шаршы үшмүшені көбейткіштерге бөлу

`x^2-x-2=0` теңдеуін шешуіміз керек. Кездейсоқ, дискриминант оң.

Біз алгоритмді ұстанамыз.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 2-нің бір ғана бүтін көбейткіштері бар: `2 · 1`.
3. Біз нүктені өткізіп жібереміз - таңдауға ештеңе жоқ.
4. $$x^2-x-2=(x \төрт 2) (x \төрт 1).$$
5. Біздің сандардың көбейтіндісі теріс (`-2` - бос термин), яғни олардың біреуі теріс, екіншісі оң болады.
   Олардың қосындысы `-1` (`x` коэффициенті) тең болғандықтан, `2` теріс болады (интуитивті түсініктеме - екі екі санның үлкені, ол теріс бағытта көбірек «тартады»). Біз $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) аламыз.$$

Үшінші мысал. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу

`x^2+5x -84 = 0` теңдеуі.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84-ті бүтін көбейткіштерге бөлу: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Сандардың айырмасы (немесе қосындысы) 5 болуы керек болғандықтан, `7, 12` жұбы орындалады.
4. $$x+ 5x-84=(x\төрт 12) (x \төрт 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Үміт, осы шаршы үшмүшенің жақшаға ыдырауыОл түсінікті.

Егер сізге теңдеудің шешімі қажет болса, онда ол: `12, -7`.

Тренингке арналған тапсырмалар

Мұнда оңай болатын бірнеше мысал келтірілген Виет теоремасы арқылы шешіледі.(Математикадан алынған мысалдар, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Мақала жазылғаннан кейін бірнеше жыл өткен соң, Виета теоремасы арқылы квадраттық көпмүшені кеңейтуге арналған 150 тапсырмадан тұратын топтама пайда болды.

Лайк басып, түсініктемелерде сұрақтар қойыңыз!

Бұл сабақта біз шаршы үшмүшелерді сызықтық көбейткіштерге ыдыратуды үйренеміз. Ол үшін Виетаның теоремасын және оның кері теоремасын еске түсіру керек. Бұл дағды квадрат үшмүшелерін сызықтық көбейткіштерге тез және ыңғайлы түрде ыдыратуға көмектеседі, сонымен қатар өрнектерден тұратын бөлшектерді азайтуды жеңілдетеді.

Сонымен, квадрат теңдеуге оралайық, мұндағы.

Бізде сол жақта орналасқан нәрсе шаршы үшмүше деп аталады.

Теорема дұрыс:Егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, сәйкестік ақиқат болады

Мұндағы жетекші коэффициент, теңдеудің түбірлері.

Сонымен, бізде квадрат теңдеу – квадрат үшмүше бар, мұнда квадрат теңдеудің түбірлері квадрат үшмүшенің түбірлері деп те аталады. Демек, егер бізде шаршы үшмүшенің түбірлері болса, онда бұл үшмүше сызықтық көбейткіштерге ыдырайды.

Дәлелдеу:

Бұл фактіні дәлелдеу алдыңғы сабақтарда қарастырған Виета теоремасы арқылы жүзеге асырылады.

Виетаның теоремасы бізге не айтқанын еске түсірейік:

Егер квадрат үшмүшесінің түбірлері болса, онда .

Бұл теорема келесі бекітуді білдіреді.

Виета теоремасы бойынша, яғни жоғарыдағы формулаға осы мәндерді ауыстырсақ, келесі өрнекті аламыз.

Q.E.D.

Еске салайық, егер квадрат үшмүшенің түбірлері болса, онда ыдырау дұрыс болады деген теореманы дәлелдедік.

Енді квадрат теңдеудің мысалын еске түсірейік, оның түбірін Виет теоремасы арқылы таңдадық. Осы фактіден дәлелденген теорема арқасында келесі теңдік алуға болады:

Енді жақшаларды жай ғана кеңейту арқылы бұл фактінің дұрыстығын тексерейік:

Біз дұрыс көбейткенімізді көреміз және кез келген үшмүшені, егер оның түбірі болса, осы теорема бойынша формула бойынша сызықтық көбейткіштерге көбейтуге болады.

Дегенмен, кез келген теңдеу үшін мұндай көбейткіштерге бөлу мүмкіндігі бар-жоғын тексерейік:

Мысалы, теңдеуді алайық. Алдымен дискриминанттың белгісін тексерейік

Және біз үйренген теореманы орындау үшін D 0-ден үлкен болуы керек екенін есте ұстаймыз, сондықтан бұл жағдайда зерттелген теорема бойынша факторинг мүмкін емес.

Сондықтан біз жаңа теореманы тұжырымдаймыз: егер шаршы үшмүшенің түбірі болмаса, онда оны сызықтық көбейткіштерге ыдыратуға болмайды.

Сонымен, біз Виета теоремасын, квадрат үшмүшені сызықтық көбейткіштерге ыдырату мүмкіндігін қарастырдық, енді бірнеше есептерді шығарамыз.

№1 тапсырма

Бұл топта біз қойылған мәселеге керісінше мәселені шешеміз. Бізде теңдеу болды және біз көбейткіштерге ыдырай отырып, оның түбірін таптық. Мұнда біз керісінше жасаймыз. Квадрат теңдеудің түбірі бар делік

Кері есеп мынада: квадрат теңдеуді оның түбірі болатындай етіп жаз.

Бұл мәселені шешудің 2 жолы бар.

Теңдеудің түбірлері болғандықтан түбірлері сандар берілген квадрат теңдеу болып табылады. Енді жақшаларды ашып, тексерейік:

Бұл басқа түбірлері жоқ берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрудың бірінші жолы болды, өйткені кез келген квадрат теңдеудің ең көбі екі түбірі болады.

Бұл әдіс кері Виета теоремасын қолдануды қамтиды.

Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар шартты қанағаттандырады.

Келтірілген квадрат теңдеу үшін , , яғни бұл жағдайда және .

Осылайша, біз берілген түбірлері бар квадрат теңдеуді құрдық.

№2 тапсырма

Бөлшекті азайту керек.

Бізде бөлгіште үшмүше бар, ал бөлгіште үшмүше бар, ал үшмүшелер көбейткіштерге жіктелуі де мүмкін. Егер алым да, бөлгіш те көбейткіштерге жіктелсе, онда олардың арасында азайтылатын бірдей көбейткіштер болуы мүмкін.

Ең алдымен алымды көбейткіштерге бөлу керек.

Алдымен бұл теңдеуді көбейткіштерге бөлуге болатындығын тексеру керек, дискриминантты табу керек. Өйткені, таңба көбейтіндіге байланысты (0-ден аз болуы керек), бұл мысалда , яғни берілген теңдеудің түбірлері бар.

Шешу үшін Виета теоремасын қолданамыз:

Бұл жағдайда, біз тамырлармен айналысатындықтан, тамырларды жай ғана жинау өте қиын болады. Бірақ біз коэффициенттердің теңестірілгенін көреміз, яғни деп болжасақ және бұл мәнді теңдеуге ауыстырсақ, онда келесі жүйе шығады: яғни 5-5=0. Осылайша, біз осы квадрат теңдеудің түбірлерінің бірін таңдадық.

Біз екінші түбірді теңдеулер жүйесіне бұрыннан белгілі нәрсені қою арқылы іздейміз, мысалы, , яғни. .

Осылайша, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де таптық және оны көбейту үшін олардың мәндерін бастапқы теңдеуге ауыстыра аламыз:

Бастапқы есепті еске түсірейік, бізге бөлшекті азайту керек болды.

Есептің алымының орнына қойып, шешуге тырысайық .

Бұл жағдайда бөлгіш 0-ге тең бола алмайтынын ұмытпау керек, яғни.

Егер бұл шарттар орындалса, біз бастапқы бөлшекті пішінге келтірдік.

№3 тапсырма (параметрі бар тапсырма)

Квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы параметрдің қандай мәндерінде болады

Егер бұл теңдеудің түбірлері бар болса, онда , мәселе қашан.

Онлайн калькулятор.
Биномның квадратын таңдау және квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу.

Анау. есептер \(p, q \) және \(n, m \) сандарын табуға азайтылады.

Бағдарлама мәселенің жауабын беріп қана қоймайды, сонымен қатар оны шешу процесін де көрсетеді.

Бұл бағдарлама жоғары сынып оқушылары үшін тесттер мен емтихандарға дайындалуда, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімдерін тексеру кезінде, ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін пайдалы болуы мүмкін. Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе математика немесе алгебра бойынша үй тапсырмасын мүмкіндігінше тез орындағыңыз келе ме? Бұл жағдайда сіз біздің бағдарламаларды егжей-тегжейлі шешіммен пайдалана аласыз.

Осылайша сіз өзіңіздің оқуыңызды және/немесе іні-қарындастарыңызды оқытуды жүргізе аласыз, бұл ретте шешілетін міндеттер саласындағы білім деңгейі көтеріледі.

Егер сіз шаршы үшмүшені енгізу ережелерімен таныс болмасаңыз, олармен танысуды ұсынамыз.

Квадрат көпмүшені енгізу ережелері

Кез келген латын әрпі айнымалы ретінде әрекет ете алады.
Мысалы: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) т.б.

Сандарды бүтін немесе бөлшек түрінде енгізуге болады.
Оның үстіне бөлшек сандарды ондық бөлшек түрінде ғана емес, жай бөлшек түрінде де енгізуге болады.

Ондық бөлшектерді енгізу ережелері.
Ондық бөлшектерде бүтін санның бөлшек бөлігін нүктемен немесе үтірмен бөлуге болады.
Мысалы, ондықтарды келесідей енгізуге болады: 2,5x - 3,5x^2

Жай бөлшектерді енгізу ережелері.
Бөлшектің алымы, бөлімі және бүтін бөлігі ретінде тек натурал сан әрекет ете алады.

Бөлгіш теріс болуы мүмкін емес.

Сандық бөлшекті енгізу кезінде алым бөлгіштен бөлу белгісімен бөлінеді: /
Бүтін бөлік бөлшектен амперсанд арқылы бөлінеді: &
Енгізу: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Нәтиже: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Өрнекті енгізу кезінде жақшаларды қолдануға болады. Бұл жағдайда шешу кезінде енгізілген өрнек алдымен жеңілдетіледі.
Мысалы: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Егжей-тегжейлі шешім мысалы

Биномның квадратын таңдау.$$ ax^2+bx+c \оң жақ көрсеткі a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\сол( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\сол (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\сол(x+\frac(1)(2) \оң)^2-\frac(9)(2) $$ Жауап:$$2x^2+2x-4 = 2\сол(x+\frac(1)(2) \оң)^2-\frac(9)(2) $$ Факторизация.$$ ax^2+bx+c \оң жақ көрсеткі a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\сол(x^2+x-2 \оң) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \оң) = $$ $$ 2 \left(x -1 \оң) \left(x +2 \оң) $$ Жауап:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Бұл тапсырманы шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екендігі анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.
Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.

Өйткені Мәселені шешкісі келетіндер көп, өтінішіңіз кезекте тұр.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Өтінемін, күте тұрыңыз сек...

Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін сіз бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпаңыз қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.

Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:

Біраз теория.

Квадрат биномды шаршы үшмүшеден алу

Егер 2 + bx + c квадрат үшмүшесі a (x + p) 2 + q түрінде ұсынылса, мұндағы p және q нақты сандар, онда олар мынаны айтады: шаршы үшмүше, биномның квадраты ерекшеленеді.

2x 2 +12x+14 үшмүшесінен биномның квадратын шығарайық.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Ол үшін 6x-ті 2 * 3 * x көбейтіндісі ретінде көрсетеміз, содан кейін 3 2 қосып, алып тастаймыз. Біз алып жатырмыз:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Бұл. Біз квадрат үшмүшеден биномның квадратын таңдады, және мынаны көрсетті:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу

Егер 2 +bx+c квадрат үшмүшелі a(x+n)(x+m) түрінде ұсынылса, мұндағы n және m нақты сандар, онда операция орындалады деп аталады. квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу.

Бұл түрлендірудің қалай жасалатынын көрсету үшін мысалды қолданайық.

2x 2 +4x-6 үшмүшесінің квадратын көбейткіштерге жіктейік.

А коэффициентін жақшадан шығарайық, яғни. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Жақшадағы өрнекті түрлендірейік.
Ол үшін 2x-ті 3x-1x айырмасы ретінде, ал -3-ті -1*3 түрінде көрсетеміз. Біз алып жатырмыз:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Бұл. Біз квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу, және мынаны көрсетті:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу осы үшмүшеге сәйкес квадрат теңдеудің түбірлері болған кезде ғана мүмкін болатынын ескеріңіз.
Анау. біздің жағдайда 2x 2 +4x-6 үшмүшені көбейткіштерге бөлуге болады, егер 2x 2 +4x-6 =0 квадрат теңдеуінің түбірі болса. Факторинг процесінде 2x 2 +4x-6 =0 теңдеуінің екі түбірі 1 және -3 болатынын анықтадық, өйткені осы мәндермен 2(x-1)(x+3)=0 теңдеуі шын теңдікке айналады.