Географиялық координаталардағы екі нүкте арасындағы қашықтық. Екі нүктенің арақашықтығын тек ұзындық координаталары арқылы анықтау

Тік бұрышты координаталар жүйесі берілсін.

Теорема 1.1.Жазықтықтың кез келген екі M 1 (x 1; y 1) және M 2 (x 2; y 2) нүктелері үшін олардың арасындағы d қашықтық формуламен өрнектеледі.

Дәлелдеу. M 1 және M 2 нүктелерінен сәйкесінше M 1 B және M 2 A перпендикулярларын түсірейік.

Oy және Ox осьтерінде және M 1 B және M 2 A түзулерінің қиылысу нүктесін K арқылы белгілеңіз (1.4-сурет). Келесі жағдайлар мүмкін:

1) M 1, M 2 және K нүктелері әртүрлі. К нүктесінің координаталары (х 2; у 1) болатыны анық. M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô екенін байқау қиын емес. Өйткені ∆M 1 KM 2 тікбұрышты, онда Пифагор теоремасы бойынша d = M 1 M 2 = = .

2) К нүктесі М 2 нүктесімен сәйкес келеді, бірақ М 1 нүктесінен өзгеше (1.5-сурет). Бұл жағдайда y 2 = y 1

және d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) К нүктесі М 1 нүктесімен сәйкес келеді, бірақ М 2 нүктесінен өзгеше. Бұл жағдайда x 2 = x 1 және d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) М 2 нүктесі М 1 нүктесімен сәйкес келеді. Содан кейін x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 және

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Осыған байланысты сегменттің бөлінуі.

Жазықтықта еркін M 1 M 2 кесіндісі берілсін және M оның кез келген нүктесі болсын.

M 2 нүктесінен басқа сегмент (1.6-сурет). l = теңдігімен анықталатын l саны , аталады көзқарас,онда М нүктесі M 1 M 2 кесіндісін бөледі.

Теорема 1.2.Егер M (x; y) нүктесі M 1 M 2 кесіндісін l-ге қатысты бөлсе, онда оның координаталары формулалар арқылы анықталады.

x = , y = , (4)

Мұндағы (х 1; у 1) М 1 нүктесінің координаталары, (х 2; у 2) М 2 нүктесінің координаталары.

Дәлелдеу.(4) формулалардың біріншісін дәлелдейміз. Екінші формула дәл осылай дәлелденді. Екі жағдай болуы мүмкін.

x = x 1 = = = .

2) M 1 M 2 түзу Ox осіне перпендикуляр емес (1.6-сурет). M 1 , M, M 2 нүктелерінен Ox осіне перпендикулярларды түсіріп, олардың Ox осімен қиылысу нүктелерін сәйкесінше P 1 , P, P 2 деп белгілейік. Пропорционал сегменттер теоремасы бойынша =л.

Өйткені P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô және (x - x 1) және (x 2 - x) сандарының таңбалары бірдей (x 1 үшін)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 теріс), онда

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Қорытынды 1.2.1.Егер M 1 (x 1; y 1) және M 2 (x 2; y 2) екі ерікті нүкте және M (x; y) нүктесі M 1 M 2 кесіндісінің ортасы болса, онда

x = , y = (5)

Дәлелдеу. M 1 M = M 2 M болғандықтан, онда l = 1 және (4) формулалар арқылы (5) формулаларды аламыз.

Үшбұрыштың ауданы.

Теорема 1.3.Бір жерде жатпайтын кез келген A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) және C (x 3; y 3) нүктелері үшін

түзу, ABC үшбұрышының S ауданы формуламен өрнектеледі

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Дәлелдеу.∆ ABC ауданы суретте көрсетілген. 1.7, біз келесідей есептейміз

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Трапецияның ауданын есептеңіз:

S-ADEC=
,

SBCEF =

Қазір бізде

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x) 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Басқа ∆ ABC орны үшін формула (6) дәл осылай дәлелденген, бірақ оны «-» белгісімен алуға болады. Сондықтан (6) формулаға модуль таңбасын қойыңыз.

Дәріс 2

Жазықтықтағы түзудің теңдеуі: негізгі коэффициенті бар түзудің теңдеуі, түзудің жалпы теңдеуі, кесінділердегі түзудің теңдеуі, екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі. Түзулер арасындағы бұрыш, жазықтықтағы түзулердің параллелдік және перпендикулярлық шарттары.

2.1. Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесі және кейбір L түзуі берілсін.

Анықтама 2.1. x және y айнымалыларына қатысты F(x;y) = 0 түріндегі теңдеу деп аталады. L сызықтық теңдеуі(берілген координаталар жүйесінде) егер бұл теңдеу осы түзуде жатпайтын кез келген нүктенің координаталарымен емес, L түзуінде жатқан кез келген нүктенің координаталарымен қанағаттандырылса.

Жазықтықтағы түзулердің теңдеулерінің мысалдары.

1) Тік бұрышты координаталар жүйесінің Oy осіне параллель түзуін қарастырайық (2.1-сурет). Осы түзудің Ox осімен қиылысу нүктесін А әрпімен белгілейік, (a; o) ─ оның немесе-

Dynati. x = a теңдеуі берілген түзудің теңдеуі. Шынында да, бұл теңдеу түзудің бойында жатпайтын кез келген нүктенің координаталарымен емес, осы түзудің кез келген М(а; у) нүктесінің координаталарымен қанағаттандырылады. Егер a = 0 болса, онда түзу x = 0 теңдеуі бар Oy осімен сәйкес келеді.

2) x - y \u003d 0 теңдеуі I және III координаталық бұрыштардың биссектрисаларын құрайтын жазықтықтағы нүктелер жиынын анықтайды.

3) x 2 - y 2 \u003d 0 теңдеуі координаталық бұрыштардың екі биссектрисасының теңдеуі болып табылады.

4) x 2 + y 2 = 0 теңдеуі жазықтықтағы жалғыз О(0;0) нүктесін анықтайды.

5) x 2 + y 2 \u003d 25 теңдеуі центрі 5 радиусы бас нүктесінде орналасқан шеңбердің теңдеуі.

Математика

§2. Жазықтықтағы нүкте координаталары

3. Екі нүкте арасындағы қашықтық.

Біз енді сандар тілінде нүктелер туралы сөйлесуді білеміз. Мысалы, бізге енді түсіндірудің қажеті жоқ: осьтің оң жағында үш бірлік және осьтен бес бірлік төмен болатын нүктені алыңыз. Қарапайым айтсаңыз жеткілікті: ұпай алыңыз.

Бұл белгілі бір артықшылықтар туғызатынын жоғарыда айттық. Сонымен, біз нүктелерден тұратын сызбаны телеграф арқылы жібере аламыз, оны сызбаларды мүлде түсінбейтін, бірақ сандарды жақсы түсінетін компьютерге жеткізе аламыз.

Алдыңғы абзацта біз сандар арасындағы қатынастарды пайдалана отырып, жазықтықтағы нүктелердің кейбір жиындарын анықтадық. Енді басқа геометриялық ұғымдар мен фактілерді сандар тіліне дәйекті түрде аударуға тырысайық.

Біз қарапайым және қарапайым тапсырмадан бастаймыз.

Жазықтықтағы екі нүктенің арасындағы қашықтықты табыңыз.

Шешімі:
Әдеттегідей, біз нүктелер олардың координаталары арқылы берілген деп есептейміз, содан кейін біздің міндетіміз олардың координаттарын біле отырып, нүктелер арасындағы қашықтықты есептей алатын ережені табу болып табылады. Бұл ережені шығарған кезде, әрине, сызбаға жүгінуге рұқсат етіледі, бірақ ереженің өзінде сызбаға ешқандай сілтемелер болмауы керек, тек берілген сандар бойынша қандай әрекеттерді және қандай тәртіпте орындалуы керек екенін көрсету керек - координаттар нүктелердің, қажетті санды алу үшін - нүктелер арасындағы қашықтық.

Мүмкін, кейбір оқырмандар мәселені шешудің бұл тәсілін оғаш және алыс деп санайтын шығар. Қарапайымырақ, олар айтады, нүктелер координаталар болса да беріледі. Осы нүктелерді сызыңыз, сызғышты алыңыз және олардың арасындағы қашықтықты өлшеңіз.

Бұл әдіс кейде соншалықты жаман емес. Дегенмен, сіз компьютермен жұмыс істеп жатқаныңызды елестетіп көріңіз. Оның сызғышы жоқ, сурет салмайды, бірақ тез санайтыны соншалық, бұл оған мүлдем қиындық тудырмайды. Біздің тапсырмамыз екі нүкте арасындағы қашықтықты есептеу ережесі машина орындай алатын командалардан тұратындай етіп орнатылғанын ескеріңіз.

Берілген нүктелердің бірі координат басында жатқан ерекше жағдай үшін мәселені алдымен шешкен дұрыс. Бірнеше сандық мысалдардан бастаңыз: нүктелердің басынан қашықтықты табыңыз ; және .

Нұсқау. Пифагор теоремасын қолданыңыз.

Енді нүктенің басынан қашықтығын есептеудің жалпы формуласын жаз.

Нүктенің басынан қашықтығы мына формуламен анықталады:

Бұл формуламен өрнектелген ереже жоғарыдағы шарттарды қанағаттандыратыны анық. Атап айтқанда, оны сандарды көбейтуге, қосуға және квадрат түбірлерді алуға болатын машиналарда есептеулерде қолдануға болады.

Енді жалпы мәселені шешейік

Жазықтықта екі нүкте берілген және олардың арасындағы қашықтықты табыңыз.

Шешімі:
Нүктелердің және координат осьтеріндегі проекцияларын , , , арқылы белгілеңіз.

Түзулердің қиылысу нүктесі және әріппен белгіленеді. Пифагор теоремасы бойынша тікбұрышты үшбұрыштан біз мынаны аламыз:

Бірақ кесіндінің ұзындығы кесіндінің ұзындығына тең. Нүктелері және , осьте жатыр және сәйкесінше координаталары және болады. 2-тармақтың 3-тармағында алынған формула бойынша олардың арасындағы қашықтық .

Осыған ұқсас дәлелдей отырып, біз кесіндінің ұзындығы -ға тең екенін аламыз. Табылған мәндерді формулаға қойып, аламыз.

Бұл мақалада біз теориялық және нақты тапсырмалар мысалында нүктеден нүктеге дейінгі қашықтықты анықтау жолдарын қарастырамыз. Кейбір анықтамалардан бастайық.

Анықтама 1

Нүктелер арасындағы қашықтық- бұл қолданыстағы масштабта оларды байланыстыратын сегменттің ұзындығы. Өлшеу үшін ұзындық бірлігі болуы үшін масштабты орнату қажет. Сондықтан негізінен нүктелер арасындағы қашықтықты табу мәселесі олардың координаттарын координаталық түзуде, координаталық жазықтықта немесе үш өлшемді кеңістікте пайдалану арқылы шешіледі.

Бастапқы деректер: О х координаталық түзу және оның үстінде жатқан еркін А нүктесі.Түзудің кез келген нүктесіне бір нақты сан тән: бұл А нүктесі үшін белгілі бір сан болсын. xA,бұл А нүктесінің координатасы.

Жалпы алғанда, белгілі бір кесіндінің ұзындығын бағалау берілген масштабта ұзындық бірлігі ретінде алынған кесіндімен салыстырғанда орын алады деп айта аламыз.

Егер А нүктесі бүтін нақты санға сәйкес келсе, О нүктесінен О А түзуінің бойындағы нүктеге - ұзындық бірліктерін ретімен қойып, О А кесіндісінің ұзындығын күтудегі бірлік сегменттерінің жалпы саны бойынша анықтауға болады.

Мысалы, А нүктесі 3 санына сәйкес келеді - О нүктесінен оған жету үшін үш бірлік сегментті бөліп алу қажет болады. Егер А нүктесінің координатасы - 4 болса, жеке кесінділер ұқсас, бірақ басқа, теріс бағытта салынады. Сонымен, бірінші жағдайда О А қашықтығы 3; екінші жағдайда, O A \u003d 4.

Егер А нүктесі координат ретінде рационал санға ие болса, онда координаталық нүктеден (О нүктесі) бірлік сегменттердің бүтін санын, содан кейін оның қажетті бөлігін бөліп аламыз. Бірақ геометриялық тұрғыдан өлшем жасау әрқашан мүмкін емес. Мысалы, 4 111 координаталық тура бөлшекті бір жаққа қою қиын сияқты.

Жоғарыда келтірілген жолмен иррационал санды түзу сызықта кейінге қалдыру мүлде мүмкін емес. Мысалы, А нүктесінің координатасы 11 болғанда. Бұл жағдайда абстракцияға көшуге болады: егер А нүктесінің берілген координатасы нөлден үлкен болса, онда O A \u003d x A (сан қашықтық ретінде алынады); координатасы нөлден кіші болса, онда O A = - x A . Жалпы алғанда, бұл тұжырымдар кез келген x A нақты саны үшін дұрыс.

Қорытындылау: координаталық түзудегі нақты санға сәйкес келетін басынан нүктеге дейінгі қашықтық мынаған тең:

0, егер нүкте координаталық нүктемен бірдей болса;

x A, егер x A > 0;

- x A, егер x A< 0 .

Бұл жағдайда кесіндінің ұзындығының өзі теріс болуы мүмкін емес екені анық, сондықтан модуль белгісін пайдаланып, О нүктесінен А нүктесіне дейінгі қашықтықты координатасы арқылы жазамыз. x А: O A = x A

Дұрыс мәлімдеме келесідей болады: бір нүктеден екіншісіне дейінгі қашықтық координаталар айырмасының модуліне тең болады.Анау. кез келген жерде бір координаталық түзуде жатқан және сәйкесінше координаталары бар А және В нүктелері үшін x Ажәне x B: A B = x B - x A .

Бастапқы деректер: координаталары берілген O xy тік бұрышты координаталар жүйесіндегі жазықтықта жатқан А және В нүктелері: A (x A , y A) және B (x B , y B) .

А және В нүктелері арқылы О х және О у координаталық осьтерге перпендикулярлар жүргізіп, нәтижесінде проекция нүктелерін алайық: A x , A y , B x , B y . А және В нүктелерінің орналасуына байланысты келесі нұсқалар мүмкін:

Егер А және В нүктелері сәйкес келсе, онда олардың арасындағы қашықтық нөлге тең болады;

Егер А және В нүктелері O x осіне перпендикуляр түзу бойында жатса (абсцисса осі), онда нүктелер және нүктелер сәйкес келеді, және | A B | = | A y B y | . Нүктелер арасындағы қашықтық олардың координаталары арасындағы айырмашылық модуліне тең болғандықтан, онда A y B y = y B - y A , демек, A B = A y B y = y B - y A .

Егер А және В нүктелері O y осіне перпендикуляр түзуде жатса (у осі) - алдыңғы абзацқа ұқсас: A B = A x B x = x B - x A

Егер А және В нүктелері координаталар осінің біріне перпендикуляр түзу бойында жатпаса, олардың арасындағы қашықтықты есептеу формуласын шығару арқылы табамыз:

А В С үшбұрышының құрылысы бойынша тік бұрышты екенін көреміз. Бұл жағдайда A C = A x B x және B C = A y B y. Пифагор теоремасын пайдаланып, теңдікті құрастырамыз: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, содан кейін оны түрлендіреміз: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Алынған нәтижеден қорытынды жасайық: жазықтықтағы А нүктесінен В нүктесіне дейінгі қашықтық осы нүктелердің координаталары арқылы формуланы қолданып есептеу арқылы анықталады.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Алынған формула нүктелердің сәйкес келу жағдайлары немесе нүктелер осьтерге перпендикуляр түзулерде жатқан жағдайлар үшін бұрын қалыптасқан мәлімдемелерді де растайды. Сонымен, А және В нүктелерінің сәйкес келуі үшін теңдік ақиқат болады: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

А және В нүктелері х осіне перпендикуляр түзуде жатқан жағдай үшін:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

А және В нүктелері у осіне перпендикуляр түзуде жатқан жағдай үшін:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Бастапқы деректер: берілген A (x A , y A , z A) және B (x B , y B , z B) координаталары берілген ерікті нүктелері бар O x y z тікбұрышты координаталар жүйесі. Бұл нүктелер арасындағы қашықтықты анықтау қажет.

А және В нүктелері координаталық жазықтықтардың біріне параллель жазықтықта жатпайтын жалпы жағдайды қарастырайық. А және В нүктелері арқылы координаталық осьтерге перпендикуляр жазықтықтар жүргізіп, сәйкес проекция нүктелерін алыңыз: A x , A y , A z , B x , B y , B z

А және В нүктелерінің арасындағы қашықтық алынған қораптың диагоналы болып табылады. Бұл қораптың өлшемінің құрылысы бойынша: A x B x , A y B y және A z B z

Геометрия курсынан параллелепипедтің диагоналінің квадраты оның өлшемдерінің квадраттарының қосындысына тең екені белгілі. Осы мәлімдемеге сүйене отырып, біз теңдікті аламыз: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Бұрын алынған қорытындыларды пайдалана отырып, біз келесіні жазамыз:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Өрнекті түрлендірейік:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Финал кеңістіктегі нүктелер арасындағы қашықтықты анықтау формуласыкелесідей болады:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Алынған формула келесі жағдайларда да жарамды:

Нүктелер сәйкес келеді;

Олар бір координат осінде немесе координат остерінің біріне параллель түзуде жатыр.

Нүктелер арасындағы қашықтықты табуға есептер шығару мысалдары

1-мысал

Бастапқы деректер: координаталық түзу және онда жатқан нүктелер берілген координаталары А (1 - 2) және В (11 + 2) берілген. О тірек нүктесінен А нүктесіне дейінгі және А мен В нүктелерінің арасындағы қашықтықты табу керек.

Шешім

Анықтамалық нүктеден нүктеге дейінгі қашықтық осы нүктенің координатасының модуліне тең, сәйкесінше O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
А және В нүктелерінің арақашықтығы осы нүктелердің координаталарының айырмасының модулі ретінде анықталады: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Жауабы: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2-мысал

Бастапқы деректер: тікбұрышты координаталар жүйесі және оның үстінде жатқан екі нүкте берілген A (1 , - 1) және B (λ + 1 , 3) . λ қандай да бір нақты сан. Бұл санның A B қашықтығы 5-ке тең болатын барлық мәндерін табу керек.

Шешім

А және В нүктелерінің арасындағы қашықтықты табу үшін A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 формуласын қолдану керек.

Координаталардың нақты мәндерін қойып, мынаны аламыз: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Сондай-ақ біз A B = 5 бар шартты қолданамыз, сонда теңдік ақиқат болады:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Жауап: A B \u003d 5, егер λ \u003d ± 3 болса.

3-мысал

Бастапқы деректер: тік бұрышты координаталар жүйесіндегі үш өлшемді кеңістік O x y z және онда жатқан А (1 , 2 , 3) және В - 7 , - 2 , 4 нүктелері берілген.

Шешім

Есепті шешу үшін A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 формуласын қолданамыз.

Нақты мәндерді қойып, мынаны аламыз: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Жауабы: | A B | = 9

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Жазықтықтағы екі нүкте арасындағы қашықтық.
Координаталық жүйелер

Жазықтықтың әрбір А нүктесі оның координаталарымен (х, у) сипатталады. Олар 0 нүктесінен шығатын 0А векторының координаталарымен сәйкес келеді - координаталар.

А және В сәйкесінше (x 1 y 1) және (x 2, y 2) координаталары бар жазықтықтың еркін нүктелері болсын.

Сонда АВ векторының координаталары (x 2 - x 1, y 2 - y 1) болатыны анық. Вектордың ұзындығының квадраты оның координаталарының квадраттарының қосындысына тең екені белгілі. Демек, шарттан А және В нүктелерінің арасындағы d қашықтық немесе бірдей АВ векторының ұзындығы анықталады.

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Алынған формула жазықтықтың кез келген екі нүктесінің арасындағы қашықтықты табуға мүмкіндік береді, егер осы нүктелердің координаталары ғана белгілі болса

Әр жолы жазықтықтың бір немесе басқа нүктесінің координаталары туралы айтқанда, біз x0y нақты анықталған координаталар жүйесін еске түсіреміз. Жалпы, жазықтықтағы координаталар жүйесін әртүрлі тәсілдермен таңдауға болады. Сонымен, x0y координаталар жүйесінің орнына ескі координаталар осін бастапқы 0 нүктесінің айналасында айналдыру арқылы алынатын х"0y" координаталар жүйесін қарастыруға болады. сағат тіліне қарсыбұрыштағы көрсеткілер α .

Егер x0y координаталар жүйесіндегі жазықтықтың қандай да бір нүктесінің координаталары (х, у) болса, онда жаңа x"0y" координаталар жүйесінде оның басқа координаталары (x,y") болады.

Мысал ретінде 0х" осінде орналасқан және 0 нүктесінен 1-ге тең қашықтықта орналасқан М нүктесін қарастырайық.

Әлбетте, x0y координаттар жүйесінде бұл нүктенің координаталары (cos α , күнә α ), ал x"0y" координаталар жүйесінде координаталар (1,0) болады.

А және В жазықтығының кез келген екі нүктесінің координаталары координаталар жүйесінің осы жазықтықта қалай орнатылғанына байланысты. Бірақ бұл нүктелер арасындағы қашықтық координаталар жүйесінің қалай көрсетілгеніне байланысты емес. Біз келесі тарауда осы маңызды жағдайды маңызды түрде пайдаланамыз.

Жаттығулар

I. Координаталары бар жазықтық нүктелерінің арасындағы қашықтықтарды табыңдар:

1) (3.5) және (3.4); 3) (0,5) және (5, 0); 5) (-3.4) және (9, -17);

2) (2, 1) және (- 5, 1); 4) (0,7) және (3,3); 6) (8, 21) және (1, -3).

II. Қабырғалары теңдіктермен берілген үшбұрыштың периметрін табыңыз:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 және у = 1.

III. x0y координаталар жүйесінде M және N нүктелерінің сәйкесінше (1, 0) және (0,1) координаталары болады. Жаңа координаталар жүйесінде осы нүктелердің координаталарын табыңыз, ол да ескі осьтерді бастапқы нүктенің айналасында сағат тіліне қарсы 30° бұрышқа айналдыру арқылы алынады.

IV. x0y координаталар жүйесінде M және N нүктелерінің координаттары (2, 0) және (\) / 3/2, - 1/2) тиісінше. Бұл нүктелердің координаталарын жаңа координаталар жүйесінде табыңыз, ол ескі осьтерді бастапқы нүктенің айналасында сағат тілімен 30 ° бұрышқа айналдыру арқылы алынады.

Оқушыларға математикадан есептерді шығару көбінесе көптеген қиындықтармен бірге жүреді. Студентке осы қиындықтарды жеңуге көмектесу, сонымен қатар «Математика» пәні курсының барлық бөлімдеріндегі нақты есептерді шешуде теориялық білімін қолдана білуге үйрету біздің сайттың негізгі мақсаты болып табылады.

Тақырып бойынша есептер шығаруға кірісе отырып, оқушылар оның координаталары бойынша жазықтықта нүкте тұрғыза білуі керек, сонымен қатар берілген нүктенің координаталарын таба білуі керек.

А (х А; у А) және В (х В; у В) жазықтығында алынған екі нүктенің арақашықтығын есептеу формула бойынша орындалады. d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), мұндағы d – жазықтықтағы осы нүктелерді қосатын кесіндінің ұзындығы.

Егер кесіндінің ұштарының бірі координаталар басымен сәйкес келсе, ал екіншісінде M (x M; y M) координаталары болса, онда d-ті есептеу формуласы OM = √ (x M 2 + y M 2) түрінде болады.

1. Осы нүктелердің координаталары берілген екі нүкте арасындағы қашықтықты есептеу

1-мысал.

Координаталық жазықтықтағы А(2; -5) және В(-4; 3) нүктелерін қосатын кесіндінің ұзындығын табыңыз (1-сурет).

Шешім.

Есептің шарты берілген: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 және y B = 3. d табыңыз.

d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2 формуласын қолданып, біз аламыз:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Берілген үш нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан нүктенің координаталарын есептеу

2-мысал

Үш А(7; -1) және В(-2; 2) және С(-1; -5) нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан О 1 нүктесінің координаталарын табыңыз.

Шешім.

Есептің шартын тұжырымдаудан O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C болатыны шығады. Қалаған O 1 нүктесінің координаталары (a; b) болсын. d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) формуласы бойынша біз табамыз:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Біз екі теңдеу жүйесін құрастырамыз:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Теңдеулердің сол және оң жақтарын квадраттағаннан кейін жазамыз:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Жеңілдету, біз жазамыз

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

Жүйені шешіп, аламыз: a = 2; b = -1.

О 1 (2; -1) нүктесі бір түзу бойында жатпайтын шартта берілген үш нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан. Бұл нүкте берілген үш нүкте арқылы өтетін шеңбердің центрі. (Cурет 2).

3. Абсцисса (ордината) осінде жатқан және осы нүктеден берілген қашықтықта орналасқан нүктенің абсциссасын (ординатасын) есептеу.

3-мысал

В(-5; 6) нүктесінен х осінде жатқан А нүктесіне дейінгі қашықтық 10. А нүктесін табыңыз.

Шешім.

Есептің шартын құрастырудан А нүктесінің ординатасы нөлге тең және АВ = 10 болатыны шығады.

А нүктесінің абсциссасын а арқылы белгілеп, А(а; 0) деп жазамыз.

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

√((a + 5) 2 + 36) = 10 теңдеуін аламыз. Оны оңайлататын болсақ, бізде

a 2 + 10a - 39 = 0.

Бұл теңдеудің түбірлері a 1 = -13; және 2 = 3.

Біз екі ұпай аламыз A 1 (-13; 0) және A 2 (3; 0).

Емтихан:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Алынған екі нүкте де есептің шартына сәйкес келеді (Cурет 3).

4. Абсцисса (ордината) осінде жатқан және берілген екі нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан нүктенің абсциссасын (ординатасын) есептеу.

4-мысал

Oy осінде А (6; 12) және В (-8; 10) нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан нүктені табыңыз.

Шешім.

Есептің шарты талап ететін нүктенің Ой осінде жатқан координаталары О 1 (0; б) болсын (Ой осінде жатқан нүктеде абсцисса нөлге тең). О 1 A \u003d O 1 В деген шарттан шығады.

d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) формуласы бойынша біз табамыз:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Бізде √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) немесе 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 теңдігі бар.

Жеңілдетілгеннен кейін мынаны аламыз: b - 4 = 0, b = 4.

Есеп нүктесінің шарты бойынша талап етіледі O 1 (0; 4) (Cурет 4).

5. Координаталар осьтерінен және кейбір берілген нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан нүктенің координаталарын есептеу

5-мысал

Координаталық жазықтықта координата осьтерінен және А нүктесінен бірдей қашықтықта орналасқан М нүктесін табыңыз (-2; 1).

Шешім.

Қажетті М нүктесі А (-2; 1) нүктесі сияқты екінші координаталық бұрышта орналасқан, өйткені ол A, P 1 және P 2 нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. (Cурет 5). М нүктесінің координата осьтерінен қашықтығы бірдей, сондықтан оның координаталары (-a; a) болады, мұндағы a > 0.

Есептің шарттарынан MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

анау. |-а| = а.

d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) формуласы бойынша біз табамыз:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Теңдеу құрайық:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

Квадраттау және оңайлатудан кейін бізде: a 2 - 6a + 5 = 0. Теңдеуді шешеміз, 1 = 1 табамыз; және 2 = 5.

Есептің шартын қанағаттандыратын M 1 (-1; 1) және M 2 (-5; 5) екі нүктесін аламыз.

6. Абсцисса (ордината) осінен және осы нүктеден бірдей көрсетілген қашықтықта орналасқан нүктенің координаталарын есептеу.

6-мысал

Оның у осінен және А (8; 6) нүктесінен қашықтығы 5-ке тең болатындай М нүктесін табыңыз.

Шешім.

Есептің шартынан MA = 5 және М нүктесінің абсциссасы 5-ке тең болатыны шығады. М нүктесінің ординатасы b-ге тең болсын, онда M(5; b) (Cурет 6).

d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) формуласына сәйкес бізде:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Теңдеу құрайық:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Оны ықшамдасақ, мынаны аламыз: b 2 - 12b + 20 = 0. Бұл теңдеудің түбірлері b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Демек, мәселенің шартын қанағаттандыратын екі нүкте бар: M 1 (5; 2) және M 2 (5; 10).

Көптеген студенттер есептерді өз бетімен шешуде оларды шешудің әдістемелері мен әдістері туралы үнемі кеңес алуды қажет ететіні белгілі. Көбінесе оқушы мұғалімнің көмегінсіз мәселені шешудің жолын таба алмайды. Студент біздің веб-сайтта мәселелерді шешу бойынша қажетті кеңес ала алады.

Сұрақтарыңыз бар ма? Жазықтықтағы екі нүкте арасындағы қашықтықты қалай табуға болатынын білмейсіз бе?
Тәрбиешінің көмегін алу үшін – тіркеліңіз.
Бірінші сабақ тегін!

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.