Жазықтықтағы нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты қалай табуға болады? М нүктесінен түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз: формула Жазықтықтағы нүктеден векторға дейінгі қашықтық

Бұл мақалада тақырып туралы айтылады « нүктеден түзуге дейінгі қашықтық », нүктеден түзуге дейінгі қашықтықтың анықтамалары координаталар әдісімен көрнекі мысалдармен қарастырылады. Соңында теорияның әрбір блогы ұқсас есептерді шешу мысалдарын көрсетті.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық нүктеден нүктеге дейінгі қашықтықты анықтау арқылы табылады. Толығырақ қарастырайық.

Берілген түзуге жатпайтын а түзуі мен М 1 нүктесі болсын. Ол арқылы а түзуіне перпендикуляр болатын түзу сызыңыз. Түзулердің қиылысу нүктесін H 1 деп алыңыз. M 1 H 1 перпендикуляр екенін аламыз, ол M 1 нүктесінен а түзуіне түсірілген.

Анықтама 1

М 1 нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтықМ 1 және Н 1 нүктелерінің арасындағы қашықтық деп аталады.

Перпендикуляр ұзындығының фигурасы бар анықтаманың жазбалары бар.

Анықтама 2

Нүктеден сызыққа дейінгі қашықтықберілген нүктеден берілген түзуге жүргізілген перпендикуляр ұзындығы.

Анықтамалар эквивалентті. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық барлық мүмкін болатын ең кішісі екені белгілі. Мұны мысалмен қарастырайық.

Егер а түзуінде жатқан, M 1 нүктесімен сәйкес келмейтін Q нүктесін алсақ, онда M 1 Q кесіндісі қиғаш деп аталатынын, M 1-ден а түзуіне түсірілгенін аламыз. М 1 нүктесінен перпендикуляр нүктеден түзу сызыққа жүргізілген кез келген басқа қиғаштан кіші екенін көрсету керек.

Мұны дәлелдеу үшін M 1 Q 1 H 1 үшбұрышын қарастырайық, мұндағы M 1 Q 1 гипотенуза. Оның ұзындығы әрқашан кез келген аяқтың ұзындығынан үлкен болатыны белгілі. Демек, бізде M 1 H 1 бар< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Нүктеден түзуге дейін табудың бастапқы деректері бірнеше шешу әдістерін қолдануға мүмкіндік береді: Пифагор теоремасы арқылы, синус, косинус, бұрыш тангенсі және т.б. анықтамалар. Мұндай типтегі тапсырмалардың көпшілігі мектепте геометрия сабақтарында шешіледі.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты тапқан кезде тікбұрышты координаталар жүйесін енгізуге болады, онда координаталар әдісі қолданылады. Бұл тармақта біз берілген нүктеден қажетті қашықтықты табудың негізгі екі әдісін қарастырамыз.

Бірінші әдіс М 1-ден а түзуіне жүргізілген перпендикуляр ретіндегі қашықтықты табуды қамтиды. Екінші әдіс қажетті қашықтықты табу үшін а түзуінің қалыпты теңдеуін пайдаланады.

Егер жазықтықта координаталары M 1 (x 1, y 1) тік бұрышты координаталар жүйесінде орналасқан нүкте, а түзу болса және M 1 H 1 арақашықтықты табу керек болса, екі әдіспен есептеуге болады. Оларды қарастырайық.

Бірінші жол

Егер H 1 нүктесінің х 2, у 2 координаталары болса, онда нүктеден түзуге дейінгі қашықтық координаталар бойынша M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y) формуласы бойынша есептеледі. 2 - ж 1) 2.

Енді Н 1 нүктесінің координаталарын табуға көшейік.

O x y-дегі түзу жазықтықтағы түзудің теңдеуіне сәйкес келетіні белгілі. Түзудің жалпы теңдеуін немесе еңісі бар теңдеуді жазу арқылы а түзуін анықтау тәсілін алайық. Берілген а түзуіне перпендикуляр М 1 нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін құрастырамыз. Сызықты бук b арқылы белгілейік. H 1 - a және b түзулерінің қиылысу нүктесі, сондықтан координаталарды анықтау үшін екі түзудің қиылысу нүктелерінің координаталары қарастырылатын мақаланы пайдалану керек.

Берілген M 1 (x 1, y 1) нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтықты табу алгоритмі нүктелер бойынша орындалатынын көруге болады:

Анықтама 3

A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 түріндегі a түзуінің жалпы теңдеуін немесе y \u003d k 1 x + b 1 түріндегі көлбеу коэффициенті бар теңдеуді табу;
A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 түріндегі b түзуінің жалпы теңдеуін немесе егер b түзуі M 1 нүктесін қиып өтсе, y \u003d k 2 x + b 2 көлбеу теңдеуін алу және берілген а түзуіне перпендикуляр;
a және b қиылысу нүктесі болып табылатын Н 1 нүктесінің x 2, y 2 координаталарын анықтау, ол үшін сызықтық теңдеулер жүйесі шешіледі A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 немесе y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 формуласын қолданып, нүктеден түзуге дейінгі қажетті қашықтықты есептеу.

Екінші жол

Теорема жазықтықта берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табу туралы сұраққа жауап беруге көмектеседі.

Теорема

Тікбұрышты координаталар жүйесінде O x y нүктесі бар M 1 (x 1, y 1) нүктесі бар, одан жазықтыққа а түзу жүргізілген, ол жазықтықтың нормаль теңдеуі арқылы берілген, cos α x + cos β түрінде болады. y - p \u003d 0, x = x 1, y = y 1 кезінде есептелген қалыпты түзу теңдеуінің сол жағында алынған мәннің модуліне тең, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - б.

Дәлелдеу

a түзуі cos α x + cos β y - p = 0 түріндегі жазықтықтың нормаль теңдеуіне сәйкес келеді, онда n → = (cos α , cos β) а нүктесіндегі а түзуінің нормаль векторы болып саналады. басынан a түзуіне дейінгі қашықтық p бірліктерімен. Суреттегі барлық деректерді бейнелеу керек, координаталары бар нүктені қосыңыз M 1 (x 1, y 1) , мұндағы нүктенің радиус векторы M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Нүктеден түзу сызыққа дейін түзу сызық жүргізу керек, оны біз M 1 H 1 деп белгілейміз. n → = (cos α , cos β) түріндегі бағыттаушы векторымен О нүктесі арқылы өтетін түзуде M 1 және H 2 нүктелерінің M 2 және H 2 проекцияларын және сандық проекциясын көрсету керек. векторының n → = (cos α , cos β) бағытына O M 1 → = (x 1 , y 1) ретінде n p n → O M 1 → ретінде белгіленеді.

Вариациялар M 1 нүктесінің өзінің орналасуына байланысты. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Нәтижелерді M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p формуласы арқылы бекітеміз. Сонда n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 алу үшін M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p теңдігін осы түрге келтіреміз.

Векторлардың скаляр көбейтіндісі n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → түріндегі түрлендірілген формуланы береді, ол координаталық түрдегі көбейтінді болып табылады. n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 пішіні. Демек, n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 болатынын аламыз. Бұдан M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p болатыны шығады. Теорема дәлелденді.

Жазықтықтағы M 1 (x 1, y 1) нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтықты табу үшін бірнеше әрекеттерді орындау керек екенін аламыз:

Анықтама 4

a cos α · x + cos β · y - p = 0 түзудің қалыпты теңдеуін алу, егер ол тапсырмада жоқ болса;
cos α · x 1 + cos β · y 1 - p өрнегін есептеу, мұндағы алынған мән M 1 H 1 қабылдайды.

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табуға берілген есептерді шығару үшін осы әдістерді қолданайық.

1-мысал

Координаталары M 1 (- 1 , 2) нүктеден 4 x - 3 y + 35 = 0 түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

Шешім

Шешудің бірінші әдісін қолданайық.

Ол үшін 4 х - 3 у + 35 = 0 түзуіне перпендикуляр берілген M 1 (- 1 , 2) нүктесі арқылы өтетін b түзуінің жалпы теңдеуін табу керек. Оны b түзуі а түзуіне перпендикуляр, онда оның бағыт векторының координаталары (4, - 3) тең болатын шарттан көруге болады. Сонымен б түзуінің канондық теңдеуін жазықтықта жазу мүмкіндігіне ие болдық, өйткені M 1 нүктесінің координаталары бар, b түзуіне жатады. b түзуінің бағыттаушы векторының координаталарын анықтайық. Біз x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 болатынын аламыз. Алынған канондық теңдеуді жалпыға айналдыру керек. Сонда біз мұны аламыз

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Н 1 белгілеу ретінде қабылдайтын түзулердің қиылысу нүктелерінің координаталарын табайық. Трансформациялар келесідей көрінеді:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Жоғарыда айтылғандардан H 1 нүктесінің координаталары (- 5; 5) болатынын көреміз.

М 1 нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтықты есептеу керек. Бізде M 1 (- 1, 2) және H 1 (- 5, 5) нүктелерінің координаталары бар, содан кейін қашықтықты табу формуласына ауыстырамыз және біз мынаны аламыз

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Екінші шешім.

Басқа жолмен шешу үшін түзудің қалыпты теңдеуін алу керек. Нормалдаушы коэффициенттің мәнін есептеп, 4 х - 3 у + 35 = 0 теңдеуінің екі жағын көбейтеміз. Осы жерден нормалау коэффициенті - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , ал қалыпты теңдеу - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - түрінде болатынын аламыз. 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Есептеу алгоритмі бойынша түзудің қалыпты теңдеуін алу және оны x = - 1 , y = 2 мәндерімен есептеу керек. Сонда біз мұны аламыз

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Осыдан M 1 (- 1 , 2) нүктесінен берілген 4 x - 3 y + 35 = 0 түзуіне дейінгі қашықтық - 5 = 5 мәніне ие екенін аламыз.

Жауап: 5 .

Бұл әдісте түзудің қалыпты теңдеуін пайдалану маңызды екенін көруге болады, өйткені бұл әдіс ең қысқа. Бірақ бірінші әдіс ыңғайлы, өйткені ол дәйекті және логикалық, бірақ оның есептеу нүктелері көбірек.

2-мысал

Жазықтықта нүктесі M 1 (8, 0) және у = 1 2 x + 1 түзу тікбұрышты O x y координаталар жүйесі бар. Берілген нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз.

Шешім

Бірінші әдіс бойынша шешім көлбеу коэффициенті бар берілген теңдеуді жалпы теңдеуге келтіруді білдіреді. Жеңілдету үшін оны басқаша жасауға болады.

Егер перпендикуляр түзулердің еңістерінің көбейтіндісі - 1 болса, онда берілген у = 1 2 x + 1 перпендикуляр түзудің еңісі 2 болады. Енді координаталары M 1 (8, 0) нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін аламыз. Бізде y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Біз H 1 нүктесінің координаталарын, яғни y \u003d - 2 x + 16 және y \u003d 1 2 x + 1 қиылысу нүктелерін табуға кірісеміз. Теңдеулер жүйесін құрастырамыз және мынаны аламыз:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Бұдан шығатыны, координаталары M 1 (8 , 0) нүктеден у = 1 2 x + 1 түзуіне дейінгі қашықтық M 1 (8 , 0) және H координаталары бар бастапқы және соңғы нүктеден қашықтыққа тең. 1 (6 , 4) . М 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 болатынын есептеп, алайық.

Екінші жолмен шешу коэффициенті бар теңдеуден оның қалыпты түріне өту болып табылады. Яғни, біз y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 аламыз, содан кейін нормалау коэффициентінің мәні - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 болады. . Бұдан түзудің қалыпты теңдеуі - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 түрін алатыны шығады. М 1 8 , 0 нүктесінен - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 түріндегі түзу сызыққа дейін есептейік. Біз алып жатырмыз:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Жауап: 2 5 .

3-мысал

Координаталары M 1 (- 2 , 4) нүктеден 2 x - 3 = 0 және у + 1 = 0 түзулеріне дейінгі қашықтықты есептеу керек.

Шешім

2 x - 3 = 0 түзуінің қалыпты түрінің теңдеуін аламыз:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Содан кейін М 1 - 2, 4 нүктесінен х - 3 2 = 0 түзуіне дейінгі қашықтықты есептеуге кірісеміз. Біз алып жатырмыз:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

y + 1 = 0 түзу теңдеуінде -1 мәні бар нормалау коэффициенті бар. Бұл теңдеу - y - 1 = 0 түрінде болатынын білдіреді. М 1 (- 2 , 4) нүктесінен түзу сызыққа дейінгі қашықтықты есептеуге кірісеміз - y - 1 = 0 . Біз оның - 4 - 1 = 5 екенін аламыз.

Жауап: 3 1 2 және 5 .

Жазықтықтың берілген нүктесінен О х және О у координаталық осьтерге дейінгі қашықтықты анықтауды егжей-тегжейлі қарастырайық.

Тікбұрышты координаттар жүйесінде O y осінде толық емес және x \u003d 0 және O x - y \u003d 0 түрінде болатын түзу теңдеуі бар. Теңдеулер координаталық осьтер үшін қалыпты, онда координаталары M 1 x 1 , y 1 нүктеден түзулерге дейінгі қашықтықты табу керек. Бұл M 1 H 1 = x 1 және M 1 H 1 = y 1 формулалары негізінде жасалады. Төмендегі суретті қарастырыңыз.

4-мысал

М 1 (6, - 7) нүктесінен О х у жазықтығында орналасқан координаталық түзулерге дейінгі қашықтықты табыңдар.

Шешім

y \u003d 0 теңдеуі O x сызығына қатысты болғандықтан, формуланы қолдана отырып, координаталары берілген M 1-ден осы сызыққа дейінгі қашықтықты табуға болады. Біз 6 = 6 аламыз.

x \u003d 0 теңдеуі O y сызығына қатысты болғандықтан, формуланы пайдаланып M 1-ден осы сызыққа дейінгі қашықтықты табуға болады. Сонда біз мынаны аламыз - 7 = 7 .

Жауап:М 1-ден О х-қа дейінгі қашықтық 6-ға тең, ал M 1-ден O y-ге дейін 7 мәні бар.

Үш өлшемді кеңістікте координаталары M 1 (x 1, y 1, z 1) нүкте болған кезде, А нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтықты табу керек.

Кеңістікте орналасқан a нүктесінен түзу сызыққа дейінгі қашықтықты есептеуге мүмкіндік беретін екі жолды қарастырыңыз. Бірінші жағдайда М 1 нүктесінен түзуге дейінгі қашықтық қарастырылады, мұндағы түзудегі нүкте Н 1 деп аталады және M 1 нүктесінен а түзуіне жүргізілген перпендикуляр негізі болып табылады. Екінші жағдай осы жазықтықтың нүктелерін параллелограмның биіктігі ретінде іздеу керек екенін көрсетеді.

Бірінші жол

Анықтамадан біз а түзуінде орналасқан М 1 нүктесінен қашықтығы перпендикуляр M 1 H 1 ұзындығы екенін білеміз, содан кейін Н 1 нүктесінің табылған координаталарымен оны аламыз, содан кейін қашықтықты табамыз. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) және H 1 (x 1, y 1, z 1) арасында M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z формуласы негізінде 2 - z 1 2 .

Барлық шешім M 1-ден а түзуіне жүргізілген перпендикуляр табанының координаталарын табуға баратынын көреміз. Бұл келесідей орындалады: H 1 - а түзуінің берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықпен қиылысу нүктесі.

Бұл M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесінен кеңістіктің а түзу сызығына дейінгі қашықтықты анықтау алгоритмі бірнеше нүктені білдіреді:

Анықтама 5

түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі ретінде χ жазықтығының теңдеуін құру;
a түзуі мен χ жазықтығының қиылысу нүктесі болып табылатын H 1 нүктесіне жататын координаталарды (x 2 , y 2 , z 2) анықтау;
М 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 формуласы арқылы нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеу.

Екінші жол

Шарттан біз а түзуін аламыз, онда координаталары x 3, y 3, z 3 болатын a → = a x, a y, a z бағыт векторын және а түзуіне жататын белгілі М 3 нүктесін анықтауға болады. M 1 (x 1 , y 1) және M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → нүктелерінің координаталарын ескере отырып есептеуге болады:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

M 3 нүктесінен a → \u003d a x, a y, a z және M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 векторларын кейінге қалдырып, қосу және алу керек. параллелограмм фигурасы. M 1 H 1 - параллелограмның биіктігі.

Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Бізде M 1 H 1 биіктігі - қалаған қашықтық, содан кейін оны формула арқылы табу керек. Яғни, біз M 1 H 1 іздейміз.

Параллелограмның ауданын S әрпімен белгілеңіз, a → = (a x , a y , a z) және M 3 M 1 → = x 1 - x 3 векторының көмегімен формула бойынша табылады. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Аудан формуласында S = a → × M 3 M 1 → пішіні бар. Сондай-ақ, фигураның ауданы оның қабырғаларының ұзындығы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең, біз S \u003d a → M 1 H 1 → \u003d a x 2 + a y 2 + болатынын аламыз. a z 2, бұл a → \u003d (a x, a y, a z) векторының ұзындығы, ол параллелограмның қабырғасына тең. Демек, M 1 H 1 - нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Ол M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → формуласы бойынша табылады.

Координаталары M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктеден кеңістіктегі а түзуіне дейінгі қашықтықты табу үшін алгоритмнің бірнеше нүктесін орындау керек:

Анықтама 6

a - a → = (a x , a y , a z) түзуінің бағыт векторын анықтау ;
a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 бағыт векторының ұзындығын есептеу;
а түзуінде орналасқан М 3 нүктесіне жататын x 3 , y 3 , z 3 координаталарды алу;
M 3 M 1 векторының координаталарын есептеу → ;
a → (a x, a y, a z) және M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 векторларының көлденең көбейтіндісін a → × M 3 M 1 → = i түрінде табу → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → формуласы бойынша ұзындықты алу үшін;
нүктеден M 1 түзуіне дейінгі қашықтықты есептеу H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Кеңістікте берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табуға есептер шығару

5-мысал

M 1 2 , - 4 , - 1 координаталары бар нүктеден x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

Шешім

Бірінші әдіс M 1 арқылы өтетін және берілген нүктеге перпендикуляр χ жазықтығының теңдеуін жазудан басталады. Біз келесідей өрнек аламыз:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Шартпен берілген түзу сызыққа χ жазықтығымен қиылысу нүктесі болып табылатын Н 1 нүктесінің координаталарын табу керек. Канондық формадан қиылысуға көшу керек. Сонда біз келесі түрдегі теңдеулер жүйесін аламыз:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 жүйесін есептеу керек. Крамер әдісі бойынша 2 x - y + 5 z = 3, онда мынаны аламыз:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ у = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = z0 - 60 = 0

Демек, бізде H 1 (1, - 1, 0) болады.

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Екінші әдісті канондық теңдеудегі координаталарды іздеу арқылы бастау керек. Ол үшін бөлшектің бөлгіштеріне назар аударыңыз. Сонда a → = 2, - 1, 5 - x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 түзуінің бағыт векторы. Ұзындықты a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 формуласы арқылы есептеу керек.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 түзуінің M 3 (- 1 , 0 , - 5) нүктесін қиып өтетіні анық, демек, координат басы M 3 (- 1 , 0) болатын векторды аламыз. , - 5) және оның M 1 2 , - 4 , - 1 нүктесіндегі соңы M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4. a → = (2, - 1, 5) және M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) векторлық көбейтіндісін табыңыз.

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j түрінің өрнегін аламыз. → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

біз көлденең көбейтіндінің ұзындығы a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 екенін аламыз.

Түзу сызық үшін нүктеден қашықтықты есептеу формуласын пайдалану үшін бізде барлық деректер бар, сондықтан біз оны қолданып, аламыз:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Жауап: 11 .

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Жазықтықтағы нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеу формуласы

Егер Ax + By + C = 0 түзуінің теңдеуі берілсе, онда M(M x , M y) нүктесінен түзуге дейінгі қашықтықты мына формула арқылы табуға болады.

Жазықтықтағы нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеуге арналған тапсырмалардың мысалдары

1-мысал

3x + 4y - 6 = 0 түзуі мен М(-1, 3) нүктесінің арасындағы қашықтықты табыңыз.

Шешім.Формуладағы түзудің коэффициенттерін және нүктенің координаталарын ауыстырыңыз

Жауап:нүктеден түзуге дейінгі қашықтық 0,6.

векторға перпендикуляр нүктелер арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі Жазықтықтың жалпы теңдеуі

Берілген жазықтыққа перпендикуляр нөлге тең емес вектор деп аталады қалыпты вектор (немесе қысқаша айтқанда, қалыпты ) осы ұшақ үшін.

Координаталық кеңістікте (тікбұрышты координаттар жүйесінде) берілген:

а) нүкте ;

б) нөлдік емес вектор (4.8, а-сурет).

Нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу талап етіледі векторға перпендикуляр Дәлелдеудің соңы.

Енді жазықтықтағы түзу теңдеулерінің әртүрлі түрлерін қарастырайық.

1) Жазықтықтың жалпы теңдеуіП .

Теңдеуді шығарудан бір мезгілде болатыны шығады А, Бжәне C 0-ге тең емес (неге екенін түсіндіріңіз).

Нүкте жазықтыққа жатады Поның координаталары жазықтықтың теңдеуін қанағаттандырса ғана. Коэффициенттерге байланысты А, Б, Cжәне Dұшақ Пбір немесе басқа позицияны алады.

- жазықтық координаталар жүйесінің басынан өтеді, - жазықтық координаталар жүйесінің басынан өтпейді;

- жазықтық осіне параллель X,

- жазықтық осіне параллель Ы,

- жазықтық осіне параллель емес Ы,

- жазықтық осіне параллель З,

- жазықтық осіне параллель емес З.

Бұл мәлімдемелерді өзіңіз дәлелдеңіз.

(6) теңдеу (5) теңдеуден оңай шығарылады. Шынында да, нүкте жазықтықта болсын П. Сонда оның координаталары теңдеуді қанағаттандырады (5) теңдеуден (7) теңдеуді алып, мүшелерін топтасақ, (6) теңдеуді аламыз. Енді сәйкесінше координаталары бар екі векторды қарастырайық. (6) формуладан олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болатыны шығады. Демек, вектор векторға перпендикуляр Соңғы вектордың басы мен соңы сәйкесінше жазықтыққа жататын нүктелерде болады. П. Демек, вектор жазықтыққа перпендикуляр П. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық П, оның жалпы теңдеуі формуласымен анықталады Бұл формуланың дәлелі нүкте мен түзудің арасындағы қашықтық формуласының дәлелдеуіне толығымен ұқсас (2-суретті қараңыз).
Күріш. 2. Жазықтық пен түзудің арақашықтығының формуласын шығаруға.

Шынында да, қашықтық гтүзу мен жазықтық арасында

жазықтықта жатқан нүкте қай жерде. Осыдан No11 дәрістегідей жоғарыдағы формула шығады. Екі жазықтық параллель болады, егер олардың нормаль векторлары параллель болса. Осыдан екі жазықтықтың параллельдік шартын аламыз - жазықтықтардың жалпы теңдеулерінің коэффициенттері. Екі жазықтық, егер олардың нормаль векторлары перпендикуляр болса, перпендикуляр болады, демек, егер олардың жалпы теңдеулері белгілі болса, екі жазықтықтың перпендикулярлық шартын аламыз.

Бұрыш fекі жазықтықтың арасындағы олардың нормаль векторларының арасындағы бұрышқа тең (3-суретті қараңыз) сондықтан формула бойынша есептеуге болады.
Жазықтықтар арасындағы бұрышты анықтау.

(11)

Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық және оны қалай табуға болады

Нүктеден дейінгі қашықтық ұшақнүктеден осы жазықтыққа түсірілген перпендикуляр ұзындығы. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табудың кем дегенде екі жолы бар: геометриялықжәне алгебралық.

Геометриялық әдіспеналдымен перпендикуляр нүктеден жазықтыққа қалай орналасқанын түсіну керек: мүмкін ол қандай да бір ыңғайлы жазықтықта жатыр, ол қандай да бір ыңғайлы (немесе ондай емес) үшбұрыштағы биіктік немесе мүмкін бұл перпендикуляр әдетте қандай да бір пирамидадағы биіктік болуы мүмкін. .

Осы бірінші және ең қиын кезеңнен кейін есеп бірнеше нақты планиметриялық есептерге бөлінеді (мүмкін әр түрлі жазықтықтарда).

Алгебралық жолменнүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу үшін координаталар жүйесін енгізу керек, нүктенің координаталары мен жазықтықтың теңдеуін табу керек, содан кейін нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық формуласын қолдану керек.

Мысалды шешу кезінде жазықтықта берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табудың талданған әдістерін қолдануды қарастырыңыз.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз:

Алдымен мәселені бірінші жолмен шешейік.

Есептің шартында бізге мына түрдегі а түзуінің жалпы теңдеуі берілген:

Түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін b түзуінің жалпы теңдеуін табайық:

b түзуі а түзуіне перпендикуляр болғандықтан, b түзуінің бағыт векторы берілген түзудің нормаль векторы болады:

яғни b түзуінің бағыт векторының координаталары бар. Енді b түзуінің канондық теңдеуін жазықтықта жаза аламыз, өйткені бізге b түзуі өтетін М 1 нүктесінің координаталары және b түзуінің бағыттаушы векторының координаталары белгілі:

Алынған b түзуінің канондық теңдеуінен түзудің жалпы теңдеуіне өтеміз:

Енді a және b түзулерінің жалпы теңдеулерінен құралған теңдеулер жүйесін шешу арқылы a және b түзулерінің қиылысу нүктесінің координаталарын табайық (оны H 1 деп белгілейік) (қажет болса, мақаланы шешу жүйелерін қараңыз). сызықтық теңдеулер):

Осылайша, Н 1 нүктесінің координаттары бар.

M 1 нүктесінен а түзуіне дейінгі қажетті қашықтықты нүктелер арасындағы қашықтық ретінде есептеу қалады және:

Мәселені шешудің екінші жолы.

Берілген түзудің нормаль теңдеуін аламыз. Ол үшін нормалау коэффициентінің мәнін есептеп, түзудің бастапқы жалпы теңдеуінің екі бөлігін де оған көбейтеміз:

(Бұл туралы түзудің жалпы теңдеуін қалыпты түрге келтіру бөлімінде айттық).

Нормалау коэффициенті мынаған тең

онда түзудің қалыпты теңдеуі келесідей болады:

Енді түзудің алынған қалыпты теңдеуінің сол жағындағы өрнекті алып, оның мәнін мыналар үшін есептейміз:

Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қажетті қашықтық:

алынған мәннің абсолютті мәніне тең, яғни бес ().

нүктеден түзуге дейінгі қашықтық:

Түзудің қалыпты теңдеуін қолдануға негізделген жазықтықтағы нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу әдісінің артықшылығы салыстырмалы түрде азырақ есептеу жұмысы болып табылатыны анық. Өз кезегінде, нүктеден сызыққа дейінгі қашықтықты табудың бірінші жолы интуитивті және жүйелілік пен логикамен ерекшеленеді.

Тік бұрышты координаталар жүйесі Oxy жазықтықта бекітілген, нүкте мен түзу берілген:

Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз.

Бірінші жол.

Сіз еңісі бар түзудің берілген теңдеуінен осы түзудің жалпы теңдеуіне өтіп, жоғарыда қарастырылған мысалдағыдай әрекет ете аласыз.

Бірақ сіз мұны басқаша жасай аласыз.

Перпендикуляр түзулердің еңістерінің көбейтіндісі 1-ге тең екенін білеміз (перпендикуляр түзулер, түзулердің перпендикулярлығы мақаласын қараңыз). Демек, берілген түзуге перпендикуляр түзудің көлбеуі:

2-ге тең. Сонда берілген түзуге перпендикуляр және нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі келесідей болады:

Енді Н 1 нүктесінің координаталарын табайық – түзулердің қиылысу нүктесі:

Сонымен, нүктеден түзуге дейінгі қажетті қашықтық:

нүктелер арасындағы қашықтыққа тең және:

Екінші жол.

Берілген көлбеу түзудің теңдеуінен осы түзудің қалыпты теңдеуіне көшейік:

нормалау коэффициенті мынаған тең:

сондықтан берілген түзудің нормаль теңдеуі келесідей болады:

Енді нүктеден түзуге дейінгі қажетті қашықтықты есептейміз:

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеңіз:

және түзу сызыққа:

Түзудің қалыпты теңдеуін аламыз:

Енді нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеңіз:

Түзу теңдеу үшін нормалау коэффициенті:

1-ге тең. Сонда бұл түзудің нормаль теңдеуі келесідей болады:

Енді нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептей аламыз:

ол тең.

Жауабы: және 5.

Қорытындылай келе, жазықтықтың берілген нүктесінен Ox және Oy координаталық түзулеріне дейінгі қашықтық қалай табылатынын бөлек қарастырамыз.

Oxy тікбұрышты координаталар жүйесінде Oy координаталық сызығы х=0 түзуінің толық емес жалпы теңдеуімен, ал Ox координаталық түзуі у=0 теңдеуімен берілген. Бұл теңдеулер Oy және Ox түзулерінің қалыпты теңдеулері болып табылады, сондықтан нүктеден осы түзулерге дейінгі қашықтық мына формулалармен есептеледі:

тиісінше.

5-сурет

Тік бұрышты координаталар жүйесі Oxy жазықтыққа енгізілген. Нүктеден координаталық түзулерге дейінгі қашықтықтарды табыңыз.

Берілген М 1 нүктесінен Ox координаталық түзуіне дейінгі қашықтық (ол y=0 теңдеуімен берілген) М 1 нүктесінің ординатасының модуліне тең, яғни .

Берілген М 1 нүктесінен Oy координаталық түзуіне дейінгі қашықтық (ол х=0 теңдеуіне сәйкес келеді) М 1 нүктесі абсциссасының абсолютті мәніне тең: .

Жауабы: М 1 нүктесінен Ox түзуіне дейінгі қашықтық 6, ал берілген нүктеден Oy координаталық түзуіне дейінгі қашықтық тең.

Координат әдісі (нүкте мен жазықтық, түзулер арасындағы қашықтық)

Нүкте мен жазықтық арасындағы қашықтық.

Нүкте мен түзудің арасындағы қашықтық.

Екі сызық арасындағы қашықтық.

Бірінші пайдалы нәрсе - нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты қалай табу керек:

A, B, C, D мәндері - жазықтықтың коэффициенттері

x, y, z - нүкте координаталары

Тапсырма. А = (3; 7; −2) нүктесі мен 4x + 3y + 13z - 20 = 0 жазықтығы арасындағы қашықтықты табыңыз.

Барлығы берілген, теңдеудегі мәндерді бірден ауыстыруға болады:

Тапсырма. K = (1; −2; 7) нүктесінен V = (8; 6; −13) және T = (−1; −6; 7) нүктелері арқылы өтетін түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз.

Біз түзу векторын табамыз.
Қажетті нүктеден және түзудің кез келген нүктесінен өтетін векторды есептейміз.
Матрицаны орнатып, 1-ші және 2-ші абзацтағы алынған екі вектордың анықтауышын табамыз.
Матрица коэффициенттерінің квадраттарының қосындысының квадрат түбірін түзуді анықтайтын вектордың ұзындығына бөлген кезде қашықтықты аламыз.(Менің ойымша, бұл түсініксіз, сондықтан нақты мысалға көшейік).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) К және Т нүктелері арқылы векторды табамыз, бірақ ол K және V арқылы немесе осы түзудің кез келген басқа нүктесі арқылы мүмкін болады.

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) D коэффициенті жоқ матрицаны аласыз (мұнда ол шешім үшін қажет емес):

4) Жазықтық A = 80, B = 40, C = 12 коэффициенттерімен шықты,

x, y, z - түзу векторының координаталары, бұл жағдайда векторлық теледидардың координаттары (9; 12; −20) болады.

Тапсырма. E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1) нүктелері арқылы өтетін түзу мен M = (4; −1; 4) нүктелері арқылы өтетін түзудің арасындағы қашықтықты табыңыз, L = ( −2;3;0).

Екі жолдың да векторларын орнатамыз.
Әрбір түзуден бір нүкте алу арқылы векторды табамыз.
3 вектордан тұратын матрицаны (1-ші нүктеден екі жол, 2-ден бір жол) жазып, оның сандық анықтауышын табамыз.
Алғашқы екі вектордың матрицасын орнатамыз (1-қадамда). Бірінші жолды x, y, z ретінде орнатамыз.
3-нүктеден алынған нәтижені модуль бойынша 4-нүктенің квадраттарының қосындысының квадрат түбіріне бөлген кезде қашықтықты аламыз.

Енді сандарға көшейік.

Тікбұрышты координаталар жүйесі үш өлшемді кеңістікте бекітілсін Oxyz, берілген нүкте, түзу ажәне нүктеден қашықтықты табу талап етіледі БІРАҚтүзу а.

Кеңістіктегі нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты есептеудің екі әдісін көрсетеміз. Бірінші жағдайда нүктеден қашықтықты табу М 1 түзу анүктеге дейінгі қашықтықты табуға келеді М 1 Нүктеге Х 1 , қайда Х 1 - нүктеден түсірілген перпендикуляр негізі М 1 тікелей а. Екінші жағдайда нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық параллелограмның биіктігі ретінде табылады.

Ендеше, бастайық.

Кеңістіктегі нүктеден а түзуіне дейінгі қашықтықты табудың бірінші жолы.

Өйткені, анықтама бойынша, нүктеден қашықтық М 1 түзу аперпендикуляр ұзындығы болып табылады М 1 Х 1 , содан кейін нүктенің координаталарын анықтап Х 1 , біз қалаған қашықтықты нүктелер арасындағы қашықтық ретінде есептей аламыз және формула бойынша.

Осылайша, мәселе нүктеден салынған перпендикуляр табанының координаталарын табуға дейін қысқарады. М 1 түзу сызыққа а. Мұны істеу оңай: нүкте Х 1 түзудің қиылысу нүктесі болып табылады анүкте арқылы өтетін жазықтықпен М 1 түзуге перпендикуляр а.

Демек, нүктеден қашықтықты анықтауға мүмкіндік беретін алгоритм түзуа ғарышта, бұл:

Кеңістіктегі нүктеден а түзуіне дейінгі қашықтықты табуға мүмкіндік беретін екінші әдіс.

Өйткені есеп шартында бізге түзу берілген а, онда оның бағыт векторын анықтай аламыз және қандай да бір нүктенің координаттары М 3 түзу сызықта жатыр а. Содан кейін нүктелердің координаталарына сәйкес және вектордың координаталарын есептей аламыз:

Векторларды шетке қойыңыз және нүктеден М 3 және оларға параллелограмм сал. Осы параллелограммда биіктікті сызыңыз М 1 Х 1 .

Биіктігі анық М 1 Х 1 салынған параллелограмм нүктеден қалаған қашықтыққа тең М 1 түзу а. Табайық.

Бір жағынан, параллелограмның ауданы (біз оны белгілейміз С) векторлардың векторлық көбейтіндісі арқылы табуға болады және формула бойынша . Екінші жағынан, параллелограммның ауданы оның қабырғасының ұзындығы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең, яғни , қайда - вектор ұзындығы , қарастырылып отырған параллелограмның қабырғасының ұзындығына тең. Демек, берілген нүктеден қашықтығы М 1 берілген жолға атеңдігінен табуға болады Қалай .

Сонымен, нүктеге дейінгі қашықтықты табу түзуа ғарышта қажет

Кеңістікте берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табуға есептер шығару.

Мысал шешімді қарастырайық.

Мысал.

Нүктеден қашықтықты табыңыз түзу .

Шешім.

Бірінші жол.

нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазайық М 1 берілген түзуге перпендикуляр:

Нүктенің координаталарын табыңыз Х 1 - жазықтық пен берілген түзудің қиылысу нүктелері. Ол үшін түзудің канондық теңдеулерінен қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулеріне көшуді орындаймыз.

содан кейін сызықтық теңдеулер жүйесін шешеміз Крамер әдісі:

Осылайша, .

Нүктеден сызыққа дейінгі қажетті қашықтықты нүктелер арасындағы қашықтық ретінде есептеу қалады және : .

Екінші жол.

Түзудің канондық теңдеулеріндегі бөлшектердің бөлгіштеріндегі сандар осы түзудің бағыттаушы векторының сәйкес координаталары болып табылады, яғни - бағыт векторы түзу . Оның ұзындығын есептейік: .

Түзу сызық екені анық нүкте арқылы өтеді , содан кейін нүктесінде басы бар вектор және бір нүктеде аяқталады сонда бар . Векторлардың көлденең көбейтіндісін табыңыз және :
онда бұл көлденең көбейтіндінің ұзындығы болады .

Енді бізде берілген нүктеден берілген жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеу формуласын қолдану үшін барлық деректер бар: .

Жауап:

Кеңістіктегі сызықтардың өзара орналасуы