Өздік жұмыс «көрсету қызметі». Көрсеткіштік функция – қасиеттері, графиктері, формулалары Оның қасиеттері мен графигінің дербес көрсеткіштік функциясы

Сабақ №2

Тақырыбы: Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі.

Мақсат:«Көрсеткіштік функция» ұғымын меңгеру сапасын тексеру; көрсеткіштік функцияны тану, оның қасиеттері мен графиктерін қолдану дағдыларын қалыптастыру, оқушыларды көрсеткіштік функцияны жазудың аналитикалық және графикалық формаларын қолдануға үйрету; сыныпта жұмыс ортасын қамтамасыз ету.

Жабдық:тақта, плакаттар

Сабақ формасы: сынып

Сабақтың түрі: практикалық оқыту

Сабақтың түрі: дағдыны қалыптастыру сабағы

Сабақ жоспары

1. Ұйымдастыру кезеңі

2. Өздік жұмыс және үй тапсырмасын тексеру

3. Мәселені шешу

4. Қорытындылау

5. Үйге тапсырма

Сабақтар кезінде.

1. Ұйымдастыру кезеңі :

Сәлеметсіз бе. Дәптерлерін ашып, бүгінгі күнді және сабақтың тақырыбын «Көрсеткіштік функция» жазу. Бүгін біз көрсеткіштік функцияны, оның қасиеттерін және графигін зерттеуді жалғастырамыз.

2. Өздік жұмыс және үй тапсырмасын тексеру .

Мақсат:«көрсеткіштік функция» түсінігін меңгеру сапасын тексеру және үй тапсырмасының теориялық бөлігінің орындалуын тексеру

Әдіс:тест тапсырмасы, фронтальды шолу

Үйге тапсырма ретінде есептер кітабынан сандар мен оқулықтан абзац берілді. Біз қазір оқулықтағы сандардың орындалуын тексермейміз, бірақ сабақ соңында дәптерлеріңді тапсырасыңдар. Енді теория шағын тест түрінде тексерілетін болады. Тапсырма барлығына бірдей: сізге функциялар тізімі беріледі, олардың қайсысы индикативті екенін табу керек (астын сызу). Ал экспоненциалды функцияның жанына оның өсу немесе кемуін жазу керек.

Енді қандай функция экспоненциалды деп аталатынын бірге еске түсірейік?

Мұндағы және , түріндегі функция көрсеткіштік функция деп аталады.

Бұл функцияның ауқымы қандай?

Барлық нақты сандар.

Көрсеткіштік функцияның ауқымы неге тең?

Барлық оң нақты сандар.

Негіз нөлден үлкен, бірақ бірден аз болса, азаяды.

Көрсеткіштік функция өз облысындағы қай кезде кемиді?

Негіз біреуден үлкен болса артады.

3. Мәселені шешу

Мақсат: көрсеткіштік функцияны тану, оның қасиеттері мен графиктерін қолдану дағдыларын қалыптастыру, оқушыларды көрсеткіштік функцияны жазудың аналитикалық және графикалық формаларын қолдануға үйрету.

Әдіс: мұғалімнің типтік есептерді шығаруды көрсетуі, ауызша жұмыс, тақтада жұмыс, дәптермен жұмыс, мұғалімнің оқушылармен әңгімесі.

Көрсеткіштік функцияның қасиеттерін 2 немесе одан да көп сандарды салыстыру кезінде пайдалануға болады. Мысалы: № 000. Мәндерді салыстырыңыз және егер а) ..gif" width="37" height="20 src=">, онда бұл өте қиын жұмыс: біз 3 және 9-дың текше түбірін алып, оларды салыстыруымыз керек еді. Бірақ біз бұл өсетінін білеміз, бұл өз кезегінде аргумент өскен кезде функцияның мәні өсетінін білдіреді, яғни бізге аргумент мәндерін бір-бірімен салыстыру жеткілікті және, әрине, (көрсеткіштік функциясы өсетін плакатта көрсетуге болады). Әрқашан мұндай мысалдарды шешкенде, алдымен көрсеткіштік функцияның негізін анықтап, 1-мен салыстырып, монотондылықты анықтап, аргументтерді салыстыруға көшіңіз. Азайған функция жағдайында: аргумент өскен сайын функцияның мәні азаяды, сондықтан аргументтердің теңсіздігінен функциялар теңсіздігіне өткенде теңсіздік белгісі өзгереді. Сонда ауызша шешеміз: ә)

-

AT)

-

G)

-

- No 000. Сандарды салыстыр: а) және

Демек, функция өседі

Неліктен?

Функцияны арттыру және

Демек, функция кемиді

Екі функция да анықтаудың барлық доменінде артады, себебі олар бірден үлкен базамен экспоненциалды болып табылады.

Оның мәні неде?

Біз диаграммаларды құрастырамыз:

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> ұмтылу кезінде қай функция жылдамырақ өседі

https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25"> ұмтылу кезінде қай функция жылдамырақ төмендейді

Интервалда белгілі бір нүктеде функциялардың қайсысы ең үлкен мәнге ие?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Алдымен осы функциялардың ауқымын анықтап алайық. Олар сәйкес келеді?

Иә, бұл функциялардың облысы нақты сандар болып табылады.

Осы функциялардың әрқайсысының ауқымын атаңыз.

Бұл функциялардың диапазондары сәйкес келеді: барлық оң нақты сандар.

Функциялардың әрқайсысының монотондылық түрін анықтаңыз.

Үш функцияның барлығы анықтаманың барлық облысы бойынша азаяды, өйткені олар базасы бірден кіші және нөлден үлкен экспоненциалды.

Көрсеткіштік функция графигінің сингулярлық нүктесі қандай?

Оның мәні неде?

Көрсеткіштік функцияның дәрежесінің негізі қандай болса да, егер көрсеткіш 0-ге тең болса, онда бұл функцияның мәні 1-ге тең.

Біз диаграммаларды құрастырамыз:

Диаграммаларды талдап көрейік. Функция графиктерінің қанша қиылысу нүктесі бар?

Талпыну кезінде қай функция жылдамырақ төмендейді? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Талпыну кезінде қай функция жылдам өседі? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Интервалда белгілі бір нүктеде функциялардың қайсысы ең үлкен мәнге ие?

Интервалда белгілі бір нүктеде функциялардың қайсысы ең үлкен мәнге ие?

Неліктен негіздері әртүрлі экспоненциалды функциялардың тек бір ғана қиылысу нүктесі болады?

Көрсеткіштік функциялар олардың барлық анықтау облысы бойынша қатаң монотонды, сондықтан олар тек бір нүктеде қиылыса алады.

Келесі тапсырма осы сипатты пайдалануға бағытталған. № 000. Берілген функцияның берілген интервалдағы ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз a). Еске салайық, қатаң монотонды функция берілген интервалдың соңында өзінің минималды және максималды мәндерін қабылдайды. Ал егер функция ұлғайып жатса, онда оның ең үлкен мәні сегменттің оң жағында, ал ең кішісі сегменттің сол жағында болады (мысал ретінде экспоненциалды функцияны пайдаланып постерде демонстрация). Егер функция азайып бара жатса, онда оның ең үлкен мәні сегменттің сол жағында, ал ең кішісі сегменттің оң жағында болады (мысал ретінде экспоненциалды функцияны пайдалану арқылы постерде демонстрация). Функция ұлғаюда, сондықтан функцияның ең кіші мәні https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" нүктесінде болады. >. ұпай b) , ішінде) г) дәптерлерді өз бетімен шешу, ауызша тексереміз.

Оқушылар дәптерлеріне есепті шығарады

- № 000. Берілген функцияның берілген интервалдағы ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз a) . Бұл тапсырма алдыңғы тапсырмамен бірдей дерлік. Бірақ мұнда сегмент емес, сәуле берілген. Біз функцияның өсіп келе жатқанын білеміз және оның бүкіл сан жолында ең үлкен де, ең кіші де мәні жоқ https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, және -ге ұмтылады, яғни сәуледе функция 0-ге ұмтылады, бірақ оның ең кіші мәні жоқ, бірақ нүктедегі ең үлкен мәнге ие. . ұпай б) , ішінде) , G) Дәптерлерін өздері шешіңдер, ауызша тексереміз.

Көрсеткіштік функция бойынша анықтамалық деректер – негізгі қасиеттер, графиктер және формулалар берілген. Келесі мәселелер қарастырылады: анықтау облысы, мәндер жиыны, монотондылық, кері функция, туынды, интегралдық, дәрежелік қатарларды кеңейту және комплекс сандар арқылы көрсету.

Көрсеткіштік функцияның қасиеттері

y = a x көрсеткіштік функциясы нақты сандар жиынында () келесі қасиеттерге ие:
(1.1) анықталған және үздіксіз, үшін , барлығы үшін ;
(1.2) a ≠ болғанда 1 көптеген мағыналары бар;
(1.3) -де қатаң өседі, -де қатаң төмендейді,
тұрақты болып табылады;
(1.4) бойынша;
бойынша;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Басқа пайдалы формулалар
.
Басқа дәрежелік базасы бар экспоненциалды функцияға түрлендіру формуласы:

b = e үшін экспоненциалды функцияның көрсеткіші бойынша өрнегін аламыз:

Жеке құндылықтар

, , , , .

Суретте көрсеткіштік функцияның графиктері көрсетілген
ж (x) = x
төрт мән үшін дәреже негіздері:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 және a = 1/8 . > үшін екенін көруге болады 1 экспоненциалды функция монотонды түрде өседі. А дәрежесінің негізі неғұрлым үлкен болса, өсу соғұрлым күшті болады. Сағат 0 < a < 1 экспоненциалды функция монотонды түрде кемиді. Көрсеткіш а неғұрлым кіші болса, соғұрлым азаяды.

Көтерілу, төмендеу

Көрсеткіштік функция қатаң монотонды, сондықтан оның экстремумы жоқ. Оның негізгі қасиеттері кестеде көрсетілген.

Кері функция

Дәрежесі а болатын көрсеткіштік функцияның кері мәні а негізіне логарифм болып табылады.

Егер болса, онда
.
Егер болса, онда
.

Көрсеткіштік функцияны дифференциалдау

Көрсеткіштік функцияны дифференциалдау үшін оның негізін e санына келтіру керек, туындылар кестесін және күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану керек.

Ол үшін логарифмдердің қасиетін пайдалану керек
және туындылар кестесіндегі формула:
.

Көрсеткіштік функция берілсін:
.
Біз оны e негізіне жеткіземіз:

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз. Ол үшін айнымалыны енгіземіз

Содан кейін

Туындылар кестесінен бізде (x айнымалысын z -мен ауыстырыңыз):
.
Тұрақты шама болғандықтан, z-тің х-ке қатысты туындысы болады
.
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша:
.

Көрсеткіштік функцияның туындысы

.
n-ші ретті туынды:
.
Формулаларды шығару > > >

Көрсеткіштік функцияны дифференциалдауға мысал

Функцияның туындысын табыңыз
у= 35 x

Шешім

Көрсеткіштік функцияның негізін e саны арқылы өрнектейміз.
3 = e log 3
Содан кейін
.
Біз айнымалыны енгіземіз
.
Содан кейін

Туындылар кестесінен мынаны табамыз:
.
Өйткені 5 млн 3тұрақты шама болса, онда z-тің х-ке қатысты туындысы:
.
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне сәйкес бізде:
.

Жауап

Ажырамас

Күрделі сандармен берілген өрнектер

Комплекс сан функциясын қарастырайық z:
f (z) = az
мұндағы z = x + iy ; мен 2 = - 1 .
Комплекс константасын a модулі r және φ аргументі арқылы өрнектейміз:
a = r e i φ
Содан кейін


.
φ аргументі біркелкі анықталмаған. Жалпы алғанда
φ = φ 0 + 2 pn,
мұндағы n – бүтін сан. Демек, f функциясы (z)да түсініксіз. Көбінесе оның негізгі маңыздылығын қарастырады
.

Мысалдар:

Мысал №1. (Функцияның ауқымын табу үшін). Функциялар үшін қандай аргумент мәндері жарамды:

Мысал № 2. (Функцияның ауқымын табу үшін). Суретте функцияның графигі көрсетілген. Функцияның ауқымы мен ауқымын көрсетіңіз:

Мысал № 3. (Бірлікпен салыстыру аралықтарын көрсету үшін). Төмендегі қуаттардың әрқайсысын біреуімен салыстырыңыз:

Мысал № 4. (Функцияны монотондылық үшін зерттеу үшін). m және n нақты сандарды шамасы бойынша салыстырыңыз, егер:

Мысал № 5. (Функцияны монотондылық үшін зерттеу үшін). Егер a базасы туралы қорытынды жасаңыз:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

x > 0, x = 0, x кезінде көрсеткіштік функциялардың графиктері бір-біріне қатысты қалай болады?< 0?

Кесте. Қорытынды:

Кесте. Қорытынды:

Бір координаталық жазықтықта функциялардың графиктері салынады:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

x > 0, x = 0, x кезінде көрсеткіштік функциялардың графиктері бір-біріне қатысты қалай болады?< 0?

Қорытынды

Бұл курстық жұмыста «Көрсеткіштік функция» тақырыбы бойынша оның түсінігін, негізгі қасиеттерін және графиктерін қарастырдым.

Көрсеткіштік функция тақырыбы, жалпы алғанда, есептеулерде және әртүрлі есептерді шешуде жиі қолданылатын тақырыптардың бірі болып табылады.

Жұмыста күрделілігі мен мазмұны жағынан әртүрлі мысалдар мен тапсырмалар берілді.

Курстық жұмыс, менің ойымша, математиканы оқыту әдістемесі шеңберінде жасалған және күндізгі және сырттай бөлімдердің студенттеріне көрнекі құрал ретінде пайдалануға болады.

Тақырып бойынша өзіндік жұмыс«Көрсеткіштік функция». Өздік жұмыста әрқайсысы үш тапсырманың 2 нұсқасы бар. Өзіндік жұмыс мәтіндері күрделілік бойынша үш деңгейге бөлінеді. Нұсқаның әрбір тапсырмасы оның қиындық деңгейіне сәйкес келеді. Microsoft Word мәтіндік редакторында өзіндік жұмыс жасалды. Ыңғайлы болу үшін дұрыс жауаптар берілген.

Құжат мазмұнын көру
«Көрсеткіштік функция» өздік жұмысы»

Беларусь Республикасы

«Новополоцк лицейі» мемлекеттік білім беру мекемесі

Математикадан, алгебра бөлімінен өзіндік жұмыс

Тақырыбы: Көрсеткіштік функция

Дайындаған: Коновалёнок

Ольга,

жоғары математика мұғалімі

1 нұсқа

1. Салыстыру:

1) және

2)
және

а) а мәні;

б) анықтау облысы;

Опция2

1. Салыстыру:

1) және

2)
және

2. Суретте формула бойынша берілген функцияның графигі көрсетілген
жиынтықта D. Ол үшін көрсетіңіз:

а) а мәні;

б) анықтау облысы;

в) мәндер жиыны (домені);

г) ұлғаю (азаю) интервалдары;

д) графтың Ой осімен қиылысу нүктелерінің координаталары;

f) x1= -1 және x2= 1 нүктелеріндегі мән;

ж) ең үлкен және ең кіші мәндер.

3. (а1) өрнектің табиғи облысын көрсетіңіз:

1 нұсқа

1. 1) ; 2)

Тақырып бойынша өзіндік жұмыс«Көрсеткіштік функция». Өздік жұмыста әрқайсысы үш тапсырманың 2 нұсқасы бар. Өзіндік жұмыс мәтіндері күрделілік бойынша үш деңгейге бөлінеді. Нұсқаның әрбір тапсырмасы оның қиындық деңгейіне сәйкес келеді. Microsoft Word мәтіндік редакторында өзіндік жұмыс жасалды. Ыңғайлы болу үшін дұрыс жауаптар берілген.

Құжат мазмұнын көру
«Көрсеткіштік функция» өздік жұмысы»

Беларусь Республикасы

«Новополоцк лицейі» мемлекеттік білім беру мекемесі

Математикадан, алгебра бөлімінен өзіндік жұмыс

Тақырыбы: Көрсеткіштік функция

Дайындаған: Коновалёнок

Ольга,

жоғары математика мұғалімі

1 нұсқа

1. Салыстыру:

1) және

2)
және

а) а мәні;

б) анықтау облысы;

Опция2

1. Салыстыру:

1) және

2)
және

2. Суретте формула бойынша берілген функцияның графигі көрсетілген
жиынтықта D. Ол үшін көрсетіңіз:

а) а мәні;

б) анықтау облысы;

в) мәндер жиыны (домені);

г) ұлғаю (азаю) интервалдары;

д) графтың Ой осімен қиылысу нүктелерінің координаталары;

f) x1= -1 және x2= 1 нүктелеріндегі мән;

ж) ең үлкен және ең кіші мәндер.

3. (а1) өрнектің табиғи облысын көрсетіңіз:

1 нұсқа

1. 1) ; 2)