Менелай теоремасының анықтамасы. Емтихан бойынша Чева мен Менелайдың теоремалары

Сынып: 9

Сабақтың мақсаттары:

1. оқушылардың білімдері мен дағдыларын жалпылау, кеңейту және жүйелеу; күрделі есептерді шешуде білімді пайдалануды үйрету;
2. есептерді шешуде білімді өз бетінше қолдану дағдыларын дамытуға ықпал ету;
3. оқушылардың логикалық ойлауын және математикалық сөйлеуін, талдау, салыстыру және жалпылау қабілеттерін дамыту;
4. оқушыларды өзіне деген сенімділікке, еңбексүйгіштікке тәрбиелеу; командада жұмыс істей білу.

Сабақтың мақсаттары:

• Тәрбиелік:Менелай мен Цева теоремаларын қайталау; оларды проблеманы шешуге қолданыңыз.
• Әзірлеуші:гипотезаны алға тартып, өз пікірін дәлелдермен шебер қорғай білуге ​​үйрету; алған білімдерін жалпылау және жүйелеу қабілетін тексеру.
• Тәрбиелік:пәнге қызығушылығын арттыру және күрделі есептерді шешуге дайындау.

Сабақтың түрі:білімді жалпылау және жүйелеу сабағы.

Жабдық:берілген тақырып бойынша сабақта ұжымдық жұмысқа арналған карточкалар, өзіндік жұмысқа жеке карточкалар, компьютер, мультимедиялық проектор, экран.

Сабақтар кезінде

I кезең. Ұйымдастыру кезеңі (1 мин.)

Мұғалім сабақтың тақырыбы мен мақсатын түсіндіреді.

II кезең. Негізгі білім мен дағдыларды өзектендіру (10 мин.)

Мұғалім:Сабақта есептерді шешуге сәтті өту үшін Менелай мен Цева теоремаларын еске түсіреміз. Сіздермен бірге экранды тамашалайық. Бұл сурет қандай теоремаға арналған? (Менелай теоремасы). Теореманы анық айтуға тырысыңыз.

1-сурет

А 1 нүктесі ABC үшбұрышының ВС қабырғасында, С 1 нүктесі АВ қабырғасында, В 1 нүктесі АС қабырғасының С нүктесінен тыс жалғасында жатсын. A 1 , B 1 және C 1 нүктелері бір түзудің бойында жатса, және теңдік болған жағдайда ғана

Мұғалім:Келесі суретті бірге тамашалайық. Осы фигураға теореманы тұжырымдаңыз.

2-сурет

AD сызығы BMC үшбұрышының екі қабырғасы мен үшінші қабырғасының созылуын қиып өтеді.

Менелай теоремасы бойынша

MB сызығы ADC үшбұрышының екі қабырғасы мен үшінші қабырғасының жалғасын қиып өтеді.

Менелай теоремасы бойынша

Мұғалім:Сурет қандай теоремаға сәйкес келеді? (Цева теоремасы). Теореманы тұжырымдаңыз.

3-сурет

ABC үшбұрышында А 1 нүктесі ВС қабырғасында, В 1 нүктесі АС қабырғасында, С 1 нүктесі АВ қабырғасында жатсын. AA 1 , BB 1 және CC 1 сегменттері бір нүктеде қиылысады, егер теңдік болған жағдайда ғана

III кезең. Мәселені шешу. (22 мин.)

Сынып 3 командаға бөлінеді, әрқайсысы екі түрлі тапсырма жазылған карточка алады. Шешуге уақыт беріледі, содан кейін экран көрсетіледі<Рисунки 4-9>. Тапсырмалардың дайын сызбалары бойынша топтардың өкілдері кезекпен олардың шешімін түсіндіреді. Әр түсіндіруден кейін талқылау, сұрақтарға жауаптар және экранда шешімнің дұрыстығын тексеру жүргізіледі. Талқылауға барлық топ мүшелері қатысады. Топ неғұрлым белсенді болса, соғұрлым қорытындылау кезінде жоғары бағаланады.

Карточка 1.

1. ABC үшбұрышында ВС қабырғасында N нүктесі NC = 3BN болатындай етіп алынған; АС жағының ұзартуында М нүктесі А нүктесі ретінде қабылданады, осылайша MA = АС болады. MN түзуі АВ қабырғасын F нүктесінде қиып өтеді. Қатынасты табыңыз

2. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.

Шешім 1

4-сурет

Есептің шарты бойынша MA = AC, NC = 3BN. MA = AC =b, BN = k, NC = 3k болсын. MN сызығы АВС үшбұрышының екі қабырғасын және үшіншісінің созылуын қиып өтеді.

Менелай теоремасы бойынша

Жауап:

Дәлелдеу 2

5-сурет

AM 1 , BM 2 , CM 3 ABC үшбұрышының медианалары болсын. Бұл кесінділердің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін оны көрсету жеткілікті

Содан кейін (кері) Ceva теоремасы бойынша AM 1 , BM 2 және CM 3 кесінділері бір нүктеде қиылысады.

Бізде бар:

Сонымен, үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысатыны дәлелденді.

Карточка 2.

1. PQR үшбұрышының PQ қабырғасында N нүктесі, ал PR қабырғасында L нүктесі алынады, ал NQ = LR. QL және NR кесінділерінің қиылысу нүктесі QL нүктесін Q нүктесінен санайтын m:n қатынасында бөледі.

2. Үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.

Шешім 1

6-сурет

NQ = LR болжамы бойынша, NA = LR =a, QF = км, LF = kn болсын. NR сызығы PQL үшбұрышының екі жағын және үшіншісінің ұзартуын қиып өтеді.

Менелай теоремасы бойынша

Жауап:

Дәлелдеу 2

7-сурет

Соны көрсетейік

Сонда (кері) Цева теоремасы бойынша AL 1 , BL 2 , CL 3 бір нүктеде қиылысады. Үшбұрыштың биссектрисаларының қасиеті бойынша

Алынған теңдіктерді мүшеге көбейтіп, аламыз

Үшбұрыштың биссектрисалары үшін Цева теңдігі орындалады, сондықтан олар бір нүктеде қиылысады.

Карточка 3.

1. ABC AD үшбұрышында медиана, О нүктесі медиананың ортасы. BO түзуі АС қабырғасын К нүктесінде қиып өтеді. К нүктесі А нүктесінен санағанда, АС қабырғасын қандай қатынасқа бөледі?

2. Егер үшбұрышқа шеңбер сызылған болса, онда үшбұрыштың төбелерін қарама-қарсы қабырғаларының жанасу нүктелерімен қосатын кесінділер бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.

Шешім 1

8-сурет

BD = DC = a, AO = OD = m болсын. VC сызығы ADC үшбұрышының екі қабырғасы мен үшінші қабырғасының созылуын қиып өтеді.

Менелай теоремасы бойынша

Жауап:

Дәлелдеу 2

9-сурет

A 1 , B 1 және C 1 ABC үшбұрышының іштей сызылған шеңберінің жанама нүктелері болсын. AA 1 , BB 1 және CC 1 кесінділерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу үшін Цева теңдігі орындалатынын көрсету жеткілікті:

Шеңберге бір нүктеден жүргізілген жанамалардың қасиетін пайдаланып, белгілеуді енгіземіз: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Цева теңдігі орындалады, яғни үшбұрыштың биссектрисалары бір нүктеде қиылысады.

IV кезең. Есептер шығару (өздік жұмыс) (8 мин.)

Мұғалім: Топтардың жұмысы аяқталды, енді 2 нұсқа бойынша жеке карточкалар бойынша өзіндік жұмысты бастаймыз.

Студенттердің өзіндік жұмысына арналған сабаққа арналған материалдар

1 нұсқа.АВС үшбұрышында ауданы 6, АВ қабырғасында осы жағын AK:BK = 2:3 қатынасында бөлетін К нүктесі алынады, ал AC қабырғасында АС-ті екіге бөлетін L нүктесі алынады. AL:LC = 5:3 қатынасы. СК және BL түзулерінің қиылысуының Q нүктесі АВ түзуінен қашықтықта жойылады . АВ қабырғасының ұзындығын табыңыз. (Жауабы: 4.)

2-нұсқа. ABC үшбұрышының АС қабырғасында К нүктесі алынған.AK = 1, KS = 3. L нүктесі АВ қабырғасында алынған.AL:LВ = 2:3, Q - BK және CL түзулерінің қиылысу нүктесі. В төбесінен түсірілген АВС үшбұрышының биіктігінің ұзындығын табыңыз.(Жауабы: 1.5.)

Жұмыс мұғалімнің қарауына беріледі.

V кезең. Сабақты қорытындылау (2 мин.)

Қателер талданады, түпнұсқа жауаптар мен пікірлер ескертіледі. Әр топтың жұмысының қорытындысы шығарылып, баға қойылады.

VI кезең. Үйге тапсырма (1 мин.)

Үй тапсырмасы No 11, 12 289-290 б., No 10 301 б. тапсырмалардан тұрады.

Мұғалімнің қорытынды сөзі (1 мин).

Бүгін бір-бірлеріңнің математикалық сөйлеген сөздерін сыртынан тыңдап, өз мүмкіндіктеріңді бағаладыңдар. Болашақта біз тақырыпты жақсырақ түсіну үшін осындай талқылауларды қолданамыз. Сабақта дәлелдер фактілермен, ал теория практикамен дос болды. Баршаңызға рахмет.

Әдебиет:

1. Ткачук В.В. Талапкерге арналған математика. – М.: МЦНМО, 2005 ж.

— Менелай теоремасы мен дәрілік заттардың ортақтығы қандай?
Олар туралы бәрі біледі, бірақ олар туралы ешкім айтпайды.
Студентпен әдеттегі әңгіме

Бұл ештеңе көмектеспейтіндей болған сәтте сізге көмектесетін керемет теорема. Сабақта біз теореманың өзін тұжырымдаймыз, оны қолданудың бірнеше нұсқасын қарастырамыз және десерт ретінде сізді қатты үй тапсырмасы күтіп тұр. Бар!

Жаңадан бастаушылар үшін сөз тіркесі. Мүмкін мен теореманың ең «әдемі» нұсқасын емес, ең түсінікті және ыңғайлы нұсқасын беремін.

Менелай теоремасы. $ABC$ ерікті үшбұрышын және біздің үшбұрыштың екі қабырғасын іштей және бір қабырғасын жалғасында қиып өтетін $l$ түзуін қарастырайық. $M$, $N$ және $K$ қиылысу нүктелерін белгілейік:

$ABC$ үшбұрышы және $l$ секант

Сонда келесі қатынас дұрыс болады:

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

Айта кеткім келеді: осы зұлым формуладағы әріптердің орнын қыспаңыз! Енді мен сізге алгоритмді айтып беремін, оның көмегімен сіз әрқашан барлық үш фракцияны бірден қалпына келтіре аласыз. Тіпті емтихан кезінде стрессте. Таңғы 3-те геометрияда отырсаңыз да, ештеңе түсінбесеңіз де. :)

Схема қарапайым:

1. Біз үшбұрыш пен кесінді саламыз. Мысалы, теоремада көрсетілгендей. Біз төбелер мен нүктелерді кейбір әріптермен белгілейміз. Бұл $ABC$ ерікті үшбұрышы және $M$, $N$, $K$ немесе басқа нүктелері бар түзу болуы мүмкін - бұл мәселе емес.
2. Біз қаламсапты (қарындаш, маркер, қалам) үшбұрыштың кез келген шыңына қойып, осы үшбұрыштың қабырғаларын айналып өте бастаймыз. сызықпен қиылысу нүктелеріне міндетті түрде жақындаумен. Мысалы, егер біз алдымен $A$ нүктесінен $B$ нүктесіне барсақ, онда біз сегменттерді аламыз: $AM$ және $MB$, содан кейін $BN$ және $NC$, содан кейін (назар аударыңыз!) $CK$ және $KA$ . $K$ нүктесі $AC$ жағының ұзартуында жатқандықтан, $C$-дан $A$-ға ауысқан кезде үшбұрыштан уақытша шығуға тура келеді.
3. Ал енді біз іргелес сегменттерді айналып өту кезінде алған ретімен бір-біріне бөлеміз: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - біз үш бөлшек аламыз, көбейтіндісі бұл бізге бірлік береді.

Сызбада ол келесідей болады:

Және бір-екі түсініктеме. Дәлірек айтқанда, бұл тіпті түсініктемелер емес, әдеттегі сұрақтарға жауаптар:

• $l$ түзуі үшбұрыштың төбесінен өтсе не болады? Жауап: ештеңе. Бұл жағдайда Менелай теоремасы жұмыс істемейді.
• Бастау үшін басқа шыңды таңдасаңыз немесе басқа жолмен жүрсеңіз не болады? Жауап: солай болады. Ол жай бөлшектердің ретін өзгертеді.

Менің ойымша, біз сөзді дұрыс алдық. Осы ойынның барлығы күрделі геометриялық есептерді шешу үшін қалай қолданылатынын көрейік.

Мұның бәрі не үшін қажет?

Ескерту. Планиметриялық есептерді шешу үшін Менелай теоремасын шамадан тыс пайдалану сіздің психикаңызға орны толмас зиян келтіруі мүмкін, өйткені бұл теорема есептеулерді айтарлықтай жылдамдатады және мектеп геометрия курсындағы басқа да маңызды фактілерді есте сақтауға мүмкіндік береді.

Дәлелдеу

Мен оны дәлелдемеймін. :)

Жарайды, дәлелдеуге рұқсат етіңіз.

Енді $CT$ сегменті үшін алынған екі мәнді салыстыру қалады:

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

Сонымен бітті. Бұл формуланы сегменттердің ішіне әріптерді дұрыс орналастырып, «тарақтау» ғана қалады - және формула дайын. :)

А.В. Шевкин

FMS № 2007

Бірыңғай мемлекеттік емтихан туралы Цева және Менелай теоремалары

«Цева мен Менелаус теоремаларының айналасында» егжей-тегжейлі мақала біздің веб-сайтта МАҚАЛАЛАР бөлімінде жарияланған. Ол математиканы жақсы білуге ​​ынталы математика мұғалімдері мен жоғары сынып оқушыларына арналған. Мәселені толығырақ түсінгіңіз келсе, оған оралуға болады. Бұл жазбада біз аталған мақаладан қысқаша ақпарат береміз және 2016 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалу жинағындағы мәселелердің шешімдерін талдаймыз.

Цева теоремасы

Үшбұрыш берілсін ABCжәне оның жағында AB, BCжәне ACнүктелер белгіленеді C 1 , А 1 және Б 1 тиісінше (Cурет 1).

а) сегменттер болса А.А 1 , BB 1 және CC 1 бір нүктеде қиылысады, содан кейін

ә) Егер (1) теңдігі ақиқат болса, онда кесінділер А.А 1 , BB 1 және CC 1 бір нүктеде қиылысады.

1-сурет сегменттер болған жағдайды көрсетеді А.А 1 , BB 1 және CC 1 үшбұрыштың ішіндегі бір нүктеде қиылысады. Бұл ішкі нүкте деп аталатын жағдай. Цева теоремасы нүктелердің бірі болған кезде сыртқы нүкте жағдайында да жарамды БІРАҚ 1 , Б 1 немесе FROM 1 үшбұрыштың қабырғасына, ал қалған екеуі үшбұрыш қабырғаларының ұзартуларына жатады. Бұл жағдайда кесінділердің қиылысу нүктесі А.А 1 , BB 1 және CC 1 үшбұрыштың сыртында жатыр (Cурет 2).

Чева теңдеуін қалай есте сақтауға болады?

Теңдік жаттау әдісіне назар аударайық (1). Әрбір қатынастағы үшбұрыштың төбелері және қатынастардың өзі үшбұрыштың төбелерін айналып өту бағытында жазылады. ABC, нүктесінен бастап А. нүктесінен Анүктеге өтіңіз Б, біз бір нүктені кездестіреміз FROM 1, бөлшекті жаз
. Нүктеден әрі қарай ATнүктеге өтіңіз FROM, біз бір нүктені кездестіреміз БІРАҚ 1, бөлшекті жаз
. Ақырында, нүктеден FROMнүктеге өтіңіз БІРАҚ, біз бір нүктені кездестіреміз AT 1, бөлшекті жаз
. Сыртқы нүкте жағдайында кесіндінің екі «бөлу нүктесі» олардың кесінділерінен тыс болғанымен, бөлшектерді жазу тәртібі сақталады. Мұндай жағдайларда нүкте кесіндіні сыртқа бөледі деп айтамыз.

Үшбұрыштың төбесін оның қарама-қарсы қабырғасы бар түзудің кез келген нүктесімен қосатын кез келген кесінді деп аталатынын ескеріңіз. цевиана.

Ішкі нүкте жағдайы үшін Цева теоремасының а) бекітуін дәлелдеудің бірнеше жолдарын қарастырайық. Цева теоремасын дәлелдеу үшін а) тұжырымын төменде ұсынылған әдістердің кез келгенімен, сонымен қатар b) тұжырымын дәлелдеу керек. Б) бекітудің дәлелі а) бекітудің бірінші әдісінен кейін беріледі. Сыртқы нүкте жағдайына арналған Цева теоремасының дәлелдеулері де дәл осылай орындалады.

Пропорционал кесінділер туралы теореманы пайдалана отырып, а) Цева теоремасын бекітуді дәлелдеу

Үш севиан болсын АА 1 , ББ 1 және CC 1 нүктеде қиылысады Зүшбұрыштың ішінде ABC.

Дәлелдеу идеясы (1) теңдіктегі кесінділердің қатынасын бір түзуде жатқан кесінділердің қатынасымен ауыстыру болып табылады.

Нүкте арқылы ATцевианаға параллель түзу сызыңыз SSбір . Түзу А.А 1 нүктесінде салынған түзуді қиып өтеді М, және нүкте арқылы өтетін түзу Cжәне параллель А.А 1 , - нүктесінде Т. нүктелер арқылы БІРАҚжәне FROMсевиандарға параллель түзулер сызу BBбір . Олар сызықты кесіп өтеді В.Мнүктелерде Нжәне Ртиісінше (Cурет 3).

П Пропорционал кесінділер туралы теорема туралы бізде:

,
және
.

Содан кейін теңдіктер

.

Параллелограммдарда ZCTMжәне ZCRBсегменттер TM, СZжәне BRпараллелограмның қарама-қарсы қабырғаларына тең. Демек,
және теңдік ақиқат

.

Бекітуді дәлелдеуде b) біз келесі бекітуді қолданамыз. Күріш. 3

Лемма 1.Егер ұпайлар FROM 1 және FROM 2 кесіндіні бөліңіз ABішкі (немесе сыртқы) суретті бір нүктеден санайтын болсақ, онда бұл нүктелер сәйкес келеді.

Нүктелер болған жағдай үшін лемманы дәлелдеп көрейік FROM 1 және FROM 2 кесіндіні бөліңіз ABішкі жағынан бірдей:
.

Дәлелдеу.Теңдіктен
теңдіктерден кейін
және
. Олардың соңғысы мына жағдайда ғана орындалады FROM 1 Бжәне FROM 2 Бтең, яғни ұпайлар болған жағдайда FROM 1 және FROM 2 сәйкестік.

Нүктелер болған жағдайға арналған лемманы дәлелдеу FROM 1 және FROM 2 кесіндіні бөліңіз ABсырттай ұқсас жолмен жүзеге асырылады.

Б) Цева теоремасын бекітуді дәлелдеу

Енді (1) теңдігі ақиқат болсын. кесінділер екенін дәлелдейміз А.А 1 , BB 1 және CC 1 бір нүктеде қиылысады.

Кевилер болсын А.А 1 және BB 1 нүктеде қиылысады З, осы нүкте арқылы кесінді сызыңыз CC 2 (FROM 2 сегментте жатыр AB). Содан кейін a) бекітуге сүйене отырып, біз дұрыс теңдік аламыз

. (2)

Және (1) және (2) теңдіктерін салыстыра отырып, мынандай қорытындыға келеміз
, яғни ұпайлар FROM 1 және FROM 2 кесіндіні бөліңіз ABбірдей қатынаста, бір нүктеден санау. Лемма 1 нүктелерді білдіреді FROM 1 және FROM 2 сәйкестік. Бұл сегменттер дегенді білдіреді А.А 1 , BB 1 және CC 1 бір нүктеде қиылысады, ол дәлелденуі керек еді.

(1) теңдігін жазу процедурасы үшбұрыштың төбелері қай нүктеден және қай бағытта айналып өтетініне байланысты емес екенін дәлелдеуге болады.

1-жаттығу.Кесіндінің ұзындығын табыңыз БІРАҚНбасқа сегменттердің ұзындықтарын көрсететін 4-суретте.

Жауап. 8.

2-тапсырма. cevians AM, Б.Н, CKүшбұрыштың ішіндегі бір нүктеде қиылысады ABC. Күйін табыңыз
, егер
,
. Күріш. төрт

Жауап.
.

П мақаладан Цева теоремасының дәлелін келтіреміз. Дәлелдеу идеясы (1) теңдіктегі кесінділердің қатынасын параллель түзулерде жатқан кесінділердің қатынасымен ауыстыру болып табылады.

Түзу болсын АА 1 , ББ 1 , CC 1 нүктеде қиылысады Оүшбұрыштың ішінде ABC(Cурет 5). Жоғарғы арқылы FROMүшбұрыш ABCпараллель түзу сызыңыз AB, және оның сызықтармен қиылысу нүктелері АА 1 , ББ 1 сәйкесінше білдіреді А 2 , Б 2 .

Екі жұп үшбұрыштың ұқсастығынан CB 2 Б 1 және ABB 1 , BAA 1 және CA 2 А 1, сур. 5

бізде теңдік бар

,
. (3)

Үшбұрыштардың ұқсастығынан BC 1 Ожәне Б 2 CO, АFROM 1 Ожәне А 2 COбізде теңдік бар
, бұдан былай шығады

. (4)

П (3) және (4) теңдіктерін көбейтіп, (1) теңдігін аламыз.

Цева теоремасының а) бекітуі дәлелденді.

Ішкі нүктенің аудандарының көмегімен Цева теоремасының а) бекітуінің дәлелдерін қарастырайық. Бұл туралы А.Г. Мякишев және біз тапсырмалар түрінде тұжырымдайтын тұжырымдарға негізделген 3 және 4 .

3-тапсырма.Бір түзудің бойында табандары мен төбесі ортақ екі үшбұрыштың аудандарының қатынасы осы табандардың ұзындықтарының қатынасына тең. Бұл мәлімдемені дәлелдеңіз.

4-тапсырма.Дәлелдеңіз, егер
, содан кейін
және
. Күріш. 6

Сегменттерге рұқсат етіңіз А.А 1 , BB 1 және CC 1 нүктеде қиылысады З(Cурет 6), содан кейін

,
. (5)

Және теңдіктерден (5) және тапсырманың екінші тұжырымы 4 соны ұстанады
немесе
. Сол сияқты, біз оны аламыз
және
. Соңғы үш теңдікті көбейтсек, мынаны аламыз:

,

яғни (1) теңдігі рас, ол дәлелденуі керек еді.

Цева теоремасының а) бекітуі дәлелденді.

15-тапсырма.Кевиандарды үшбұрыштың ішіндегі бір нүктеде қиылысып, аудандары тең 6 үшбұрышқа бөлейік. С 1 , С 2 , С 3 , С 4 , С 5 , С 6 (Cурет 7). Дәлелдеңіз. Күріш. 7

6-тапсырма.Ауданды табыңыз Сүшбұрыш CNZ(басқа үшбұрыштардың аудандары 8-суретте көрсетілген).

Жауап. 15.

7-тапсырма.Ауданды табыңыз Сүшбұрыш CNOүшбұрыштың ауданы болса БІРАҚЖОҚ 10 және
,
(Cурет 9).

Жауап. 30.

8-тапсырма.Ауданды табыңыз Сүшбұрыш CNOүшбұрыштың ауданы болса БІРАҚBCтең 88 және ,
(Cурет 9).

Р шешім.болғандықтан, біз белгілейміз
,
. Өйткені , содан кейін белгілейміз
,
. Бұл Цева теоремасынан шығады
, содан соң
. Егер а
, содан кейін
(Cурет 10). Бізде үш белгісіз ( x, ж және С), сондықтан табу үшін СҮш теңдеу құрайық.

Өйткені
, содан кейін
= 88. Содан бері
, содан кейін
, қайда
. Өйткені
, содан кейін
.

Сонымен,
, қайда
. Күріш. он

9-тапсырма. Үшбұрышта ABCұпай Қжәне Лтиісінше тараптарға жатады AB және БC.
,
. П ALжәне CK. Үшбұрыштың ауданы PBCтең 1. Үшбұрыштың ауданын табыңыз ABC.

Жауап. 1,75.

Т Менелай теоремасы

Үшбұрыш берілсін ABCжәне оның жағында ACжәне CBнүктелер белгіленеді Б 1 және А 1 тиісінше және жағының жалғасы бойынша ABбелгіленген нүкте C 1 (Cурет 11).

а) Егер нүктелер болса БІРАҚ 1 , Б 1 және FROM 1 сол сызықта жатыр, содан кейін

. (6)

б) (7) теңдігі ақиқат болса, онда нүктелер БІРАҚ 1 , Б 1 және FROM 1 бірдей сызықта жатыр. Күріш. он бір

Менелайдың теңдігін қалай есте сақтау керек?

Теңдікті есте сақтау техникасы (6) теңдікпен бірдей (1). Әрбір қатынастағы үшбұрыштың төбелері және қатынастардың өзі үшбұрыштың төбелерін айналып өту бағытында жазылады. ABC- төбеден шыңға, бөлу нүктелері арқылы өтетін (ішкі немесе сыртқы).

10-тапсырма.(6) теңдігін үшбұрыштың кез келген төбесінен кез келген бағытта жазғанда бірдей нәтиже шығатынын дәлелдеңдер.

Менелай теоремасын дәлелдеу үшін а) тұжырымын төменде ұсынылған әдістердің кез келгенімен, сонымен қатар b) тұжырымын дәлелдеу керек. Б) бекітудің дәлелі а) бекітудің бірінші әдісінен кейін беріледі.

Бекітуді дәлелдеу а) пропорционал кесінділер туралы теореманы қолдану

Iжол.а) Дәлелдеу идеясы (6) теңдіктегі кесінділердің ұзындықтарының қатынасын бір түзуде жатқан кесінділердің ұзындықтарының қатынасымен ауыстыру болып табылады.

Ұпайлар болсын БІРАҚ 1 , Б 1 және FROM 1 бірдей сызықта жатыр. Нүкте арқылы Cтүзу сызық сызайық л, сызыққа параллель БІРАҚ 1 Б 1 , ол сызықты қиып өтеді ABнүктесінде М(Cурет 12).

Р
болып табылады. 12

Пропорционал сегменттер теоремасы бойынша бізде:
және
.

Содан кейін теңдіктер
.

Б) Менелай теоремасын бекітуді дәлелдеу

Енді (6) теңдігі дұрыс болсын, нүктелер екенін дәлелдейміз БІРАҚ 1 , Б 1 және FROM 1 бірдей сызықта жатыр. Түзу болсын ABжәне БІРАҚ 1 Б 1 нүктеде қиылысады FROM 2 (Cурет 13).

Ұпайлардан бері БІРАҚ 1 Б 1 және FROM 2 бір түзуде жатыр, содан кейін Менелай теоремасының а) тұжырымы бойынша

. (7)

(6) және (7) теңдіктерін салыстырудан бізде
, осыдан теңдіктер шығады

,
,
.

Соңғы теңдік шарт бойынша ғана дұрыс болады
, яғни ұпайлар болса FROM 1 және FROM 2 сәйкестік.

Менелай теоремасының б) бекітуі дәлелденді. Күріш. 13

Бекітуді дәлелдеу а) үшбұрыштардың ұқсастығын қолдану

Дәлелдеу идеясы (6) теңдіктегі кесінділердің ұзындықтарының қатынасын параллель түзулерде жатқан кесінділердің ұзындықтарының қатынасымен ауыстыру болып табылады.

Ұпайлар болсын БІРАҚ 1 , Б 1 және FROM 1 бірдей сызықта жатыр. Ұпайлардан А, Бжәне Cперпендикулярлар сызу А.А 0 , ББ 0 және SS 0 осы түзу сызыққа (Cурет 14).

Р
болып табылады. он төрт

Үш жұп үшбұрыштың ұқсастығынан А.А 0 Б 1 және CC 0 Б 1 , CC 0 А 1 және BB 0 А 1 , C 1 Б 0 Бжәне C 1 А 0 А(екі бұрышта) бізде дұрыс теңдіктер бар

,
,
,

оларды көбейтсек, мынаны аламыз:

.

Менелай теоремасының а) бекітуі дәлелденді.

Бекіту дәлелі а) аймақтарды қолдану

Дәлелдеу идеясы теңдіктен (7) кесінділердің ұзындықтарының қатынасын үшбұрыштардың аудандарының қатынасымен ауыстыру болып табылады.

Ұпайлар болсын БІРАҚ 1 , Б 1 және FROM 1 бірдей сызықта жатыр. Нүктелерді қосыңыз Cжәне Cбір . Үшбұрыштардың аудандарын белгілеңіз С 1 , С 2 , С 3 , С 4 , С 5 (Cурет 15).

Содан кейін теңдіктер

,
,
. (8)

Теңдіктерді (8) көбейтсек, мынаны аламыз:

Менелай теоремасының а) бекітуі дәлелденді.

Р
болып табылады. он бес

Цеваның қиылысу нүктесі үшбұрыштың сыртында болса, Цева теоремасы жарамды болып қалатыны сияқты, егер секант үшбұрыштың қабырғаларының ұзартуларын ғана қиып өтсе, Менелай теоремасы жарамды болып қалады. Бұл жағдайда үшбұрыштың қабырғаларының сыртқы нүктелердегі қиылысуы туралы айтуға болады.

Бекітудің дәлелі а) сыртқы нүктелер жағдайы үшін

П секанттың аузы үшбұрыштың қабырғаларын қиып өтеді ABCсыртқы нүктелерде, яғни жақтардың ұзартуларын қиып өтеді AB,BCжәне ACнүктелерде C 1 , А 1 және Б 1, сәйкесінше және бұл нүктелер бір түзуде жатыр (16-сурет).

Пропорционал сегменттер теоремасы бойынша бізде:

және .

Содан кейін теңдіктер

Менелай теоремасының а) бекітуі дәлелденді. Күріш. 16

Жоғарыда келтірілген дәлел Менелай теоремасының секант үшбұрыштың екі қабырғасын ішкі нүктелерде және бір қабырғасын сыртқы нүктеде қиып өтетін жағдайға сәйкес келетінін ескеріңіз.

Сыртқы нүктелер жағдайына арналған Менелай теоремасының b) бекітуінің дәлелі жоғарыда келтірілген дәлелге ұқсас.

З тозақ11. Үшбұрышта ABCұпай БІРАҚ 1 , AT 1 бүйірлерінде тиісінше жату Күнжәне АFROM. П- кесінділердің қиылысу нүктесі А.А 1 және BB 1 .
,
. Күйін табыңыз
.

Шешім.Белгілеу
,
,
,
(Cурет 17). Менелайдың үшбұрыш үшін теоремасы бойынша BCAT 1 және секант PA 1 дұрыс теңдікті жаз:

,

осыдан келіп шығады

. Күріш. 17

Жауап. .

З тозақ12 (Мәскеу мемлекеттік университеті, сырттай дайындық курстары). Үшбұрышта ABC, оның ауданы 6, жағында ABнүкте алынды Кімге, қатысты осы жағын бөлу
, және жағында AC- нүкте Л, бөлу ACқарым-қатынаста
. Нүкте П сызықтардың қиылысулары SCжәне ATЛ сызықтан шығарылды AB 1,5 қашықтықта. Қабырғасының ұзындығын табыңыз AB.

Шешім.Ұпайлардан Ржәне FROMперпендикулярларды түсірейік PRжәне СМтікелей AB. Белгілеу
,
,
,
(Cурет 18). Менелайдың үшбұрыш үшін теоремасы бойынша AKCжәне секант PLдұрыс теңдеуді жаз:
, біз оны қайдан аламыз
,
. Күріш. он сегіз

Үшбұрыштардың ұқсастығынан КімгеMCжәне КімгеRP(екі бұрышта) біз оны аламыз
, осыдан келіп шығады
.

Енді жағына сызылған биіктіктің ұзындығын білу ABүшбұрыш ABS, және осы үшбұрыштың ауданы, біз қабырғасының ұзындығын есептейміз:
.

Жауап. 4.

З тозақ13. Орталары бар үш шеңбер БІРАҚ,AT,FROM, радиустары келесідей байланысты
, нүктелерде бір-біріне сырттан тигізіңіз X, Ы, З 19-суретте көрсетілгендей. Сегменттер AXжәне BYнүктеде қиылысады О. Қандай қатынаста, нүктеден санау Б, сызық сегменті czсегментін бөледі BY?

Шешім.Белгілеу
,
,
(Cурет 19). Өйткені
, содан кейін Ceva теоремасының b) бекітуі бойынша, кесінділер БІРАҚX, BYжәне FROMЗбір нүктеде қиылысады О. Содан кейін сегмент czсегментін бөледі BYқарым-қатынаста
. Осы қатынасты табайық. Күріш. 19

Менелайдың үшбұрыш үшін теоремасы бойынша BCYжәне секант ӨҚбізде бар:
, осыдан келіп шығады
.

Жауап. .

14-тапсырма (ҚОЛДАНУ-2016).

ұпай AT 1 және FROM ACжәне ABүшбұрыш ABC, оның үстіне AB 1:Б 1 FROM =
= AC 1:FROM 1 Б. Тікелей BB 1 және SS 1 нүктеде қиылысады О.

а ) түзу екенін дәлелдеңдер АҚжағын екіге бөліңіз Күн.

AB 1 OC 1 үшбұрыштың ауданына ABCегер бұл белгілі болса AB 1:Б 1 FROM = 1:4.

Шешім.а) Сызық болсын А.О жағын кесіп өтеді BC нүктесінде А 1 (Cурет 20). Цева теоремасы бойынша бізде:

. (9)

Өйткені AB 1:Б 1 FROM = AC 1:FROM 1 Б, онда (9) теңдіктен шығады
, яғни CA 1 = БІРАҚ 1 Б, ол дәлелдеуге тиіс болды. Күріш. жиырма

б) Үшбұрыштың ауданы болсын AB 1 О тең С. Өйткені AB 1:Б 1 FROM CB 1 О тең 4 С, және үшбұрыштың ауданы AOC 5-ке тең С. Содан кейін үшбұрыштың ауданы AOB да 5-ке тең С, үшбұрыштардан бері AOB және AOCортақ негіз бар А.О, және олардың шыңдары Бжәне Cсызықтан бірдей қашықтықта А.О. Және үшбұрыштың ауданы AOC 1 тең С, өйткені AC 1:FROM 1 Б = 1:4. Содан кейін үшбұрыштың ауданы ABB 1 тең 6 С. Өйткені AB 1:Б 1 FROM= 1:4, содан кейін үшбұрыштың ауданы CB 1 О 24-ке тең С, және үшбұрыштың ауданы ABC 30-ға тең С. Енді төртбұрыштың ауданына қатынасын табайық AB 1 OC 1 (2С) үшбұрыштың ауданына ABC (30С), ол 1:15-ке тең.

Жауап. 1:15.

15-тапсырма (ҚОЛДАНУ-2016).

ұпай AT 1 және FROM 1 тиісінше бүйірлерде жату ACжәне ABүшбұрыш ABC, оның үстіне AB 1:Б 1 FROM =
= AC 1:FROM 1 Б. Тікелей BB 1 және SS 1 нүктеде қиылысады О.

а) түзу екенін дәлелде АҚжағын екіге бөліңіз Күн.

б) Төртбұрыштың ауданына қатынасын табыңыз AB 1 OC 1 үшбұрыштың ауданына ABCегер бұл белгілі болса AB 1:Б 1 FROM = 1:3.

Жауап. 1:10.

З 1 тапсырма6 (ҚОЛДАНУ-2016).Сегментте BDнүкте алынды FROM. биссектриса BL ABCнегізімен Күн BLDнегізімен BD.

а) Үшбұрыш екенін дәлелде DCLтең қабырғалы.

б) cos екені белгілі
ABC DL, яғни BD үшбұрышынүкте алынды FROM. биссектриса BLтең қабырғалы үшбұрыш ABCнегізімен Күнтең қабырғалы үшбұрыштың бүйір қабырғасы болып табылады BLDнегізімен BD.

а) Үшбұрыш екенін дәлелде DCLтең қабырғалы.

б) cos екені белгілі ABC=. Қандай жолмен тікелей DL жағын бөледі AB?

Жауап. 4:21.

Әдебиет

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Керемет үшбұрыш нүктелері мен сызықтары. М.: Математика, 2006, No17.

2. Мякишев А.Г. Үшбұрыш геометрия элементтері. («Математикалық білім» кітапханасы» сериясы). М.: МЦНМО, 2002. - 32 б.

3. Геометрия. 8-сынып оқулығына қосымша тараулар: Тереңдетіліп оқытылатын мектеп және сынып оқушыларына арналған оқулық / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев және басқалары – М.: Вита-Пресс, 2005. – 208 б.

4. Эрдниев П., Манцаев Н.Чева және Менелай теоремалары. М.: Квант, 1990, No3, 56–59 б.

5. Шарыгин И.Ф. Цева және Менелай теоремалары. Мәскеу: Квант, 1976, No 11, 22–30 б.

6. Вавилов В.В. Үшбұрыштың медианалары мен ортаңғы сызықтары. М.: Математика, 2006, No1.

7. Ефремов Дм. Жаңа үшбұрыш геометриясы. Одесса, 1902. - 334 б.

8. Математика. Типтік тест тапсырмаларының 50 нұсқасы / И.В. Ященко, М.А. Волкевич, И.Р. Высоцкий және басқалар; ред. И.В. Ященко. - М .: «Емтихан» баспасы, 2016. - 247 б.

Мәселені шешудің өзі қарапайым - оны төменде оқи аласыз. Бұл мақалада, алайда, бізді, негізінен, аздап басқа тұс қызықтырады, ол жиі ескерілмей қалады, өздігінен түсінікті, айқын деп түсініледі. Бірақ дәлелдеуге болатын нәрсе анық. Және мұны әртүрлі жолдармен дәлелдеуге болады - әдетте олар тек ұқсастық көмегімен дәлелдейді - бірақ Менелай теоремасының көмегімен де мүмкін.
Трапецияның төменгі табанындағы бұрыштар 90°-қа дейін қосылатындықтан, егер сіз қабырғаларды ұзартсаңыз, сіз тікбұрышты үшбұрыш аласыз деген шарттан шығады. Әрі қарай, бүйір жақтардың ұзартуларының қиылысу нүктесінен табандардың ортаңғы нүктелері арқылы өтетін кесінді сызылады. Неліктен бұл сегмент барлық осы үш нүктеден өтеді? Әдетте, Интернетте табылған мәселенің шешімдерінде бұл туралы бірде-бір сөз айтылмайды. Бұл бекітудің дәлелі былай тұрсын, төрт нүктелі трапеция теоремасына сілтеме де жоқ. Бұл арада үш нүктенің бір түзуге жататын шарты болып табылатын Менелай теоремасы арқылы дәлелдеуге болады.

Менелай теоремасының тұжырымдары
Теореманы тұжырымдайтын кез келді. Айта кету керек, әртүрлі оқулықтар мен оқу құралдарында оның мәні өзгермегенімен, оның әртүрлі тұжырымдары бар. Атанасян және басқалардың 10-11 сыныптарға арналған оқулығында Менелай теоремасының келесі тұжырымы берілген, оны «вектор» деп атаймыз:

«Геометрия 10-11 сынып» оқулығында Александров т.б., сондай-ақ сол авторлардың оқулығында «Геометрия. 8-сыныпта Менелай теоремасының сәл басқаша тұжырымы берілген, ал 10-11 сыныптар мен 8-сыныптар үшін бірдей:
Бұл жерде үш ескертпе айту керек.
Ескертпе 1. Емтихандарда тек векторлардың көмегімен шешуді қажет ететін есептер жоқ, олар үшін дәл «минус бір» қолданылады. Сондықтан практикалық қолдану үшін ең қолайлы тұжырымдау, шын мәнінде, сегменттер үшін теореманың салдары болып табылады (бұл қалың әріптермен жазылған екінші тұжырым). Менелай теоремасын одан әрі зерттеу үшін біз мұнымен шектелеміз, өйткені біздің мақсатымыз оны есептерді шешу үшін қолдануды үйрену.
Ескерту 2. Барлық оқулықтарда барлық үш нүктенің А 1 , В 1 және С 1 үшбұрыш қабырғаларының ұзартуларында (немесе үшбұрыштың қабырғалары бар сызықтарда) бірнеше нүктелерде жатуы мүмкін болатын жағдай анық көрсетілгеніне қарамастан. Интернет-репетиторлық сайттарда екі нүкте екі жағында, ал үшіншісі үшінші жақтың ұзартуында жатқан жағдайда ғана тұжырымдалады. Емтиханда тек бірінші типтегі есептердің ғана кездесетіндігімен және осы нүктелердің барлығы үш жақтың ұзартуында жатқанда проблемалардың шығуы мүмкін еместігімен ақталу қиын.
3-ескерту: Кері теорема, яғни. үш нүктенің бір түзуде жату шарты әдетте мүлде қарастырылмайды, ал кейбір тәлімгерлер тіпті (???) тек тура теореманы қарастыруға кеңес береді, ал кері теореманы қарастырмайды. Сонымен қатар, қарама-қарсы пікірді дәлелдеу өте ғибратты және 1-есепті шешуде берілгендерге ұқсас тұжырымдарды дәлелдеуге мүмкіндік береді. Керісінше теореманы дәлелдеу тәжірибесі студентке есептерді шешуде нақты пайда әкелетіні сөзсіз.

Сызбалар мен үлгілер

Студентке есептердегі Менелай теоремасын көруге және оны шешуде қолдануға үйрету үшін белгілі бір жағдайға арналған теорема жазбасындағы сызбалар мен үлгілерге назар аудару қажет. Ал теореманың өзі өзінің «таза» түрінде болғандықтан, яғни. басқа кесінділермен қоршалмаған есептердегі әртүрлі фигуралардың жақтары әдетте болмайды, онда нақты есептер бойынша теореманы көрсету мақсатқа сай. Түсіндірме ретінде суреттерді көрсетсеңіз, оларды көп нұсқалы етіп жасаңыз. Бұл ретте бір түспен (мысалы, қызыл) үш нүктеден құралған түзуді, ал көк түспен Менелай теоремасын жазуға қатысатын үшбұрыштың кесінділерін белгілеңіз. Сонымен қатар, қатыспайтын элементтер қара болып қалады:

Бір қарағанда, бұл теореманы тұжырымдау өте күрделі және әрқашан анық емес сияқты көрінуі мүмкін; өйткені ол үш бөлшекті қамтиды. Шынында да, егер студенттің тәжірибесі жеткіліксіз болса, онда ол жазуда оңай қателесіп, соның салдарынан мәселені қате шешуі мүмкін. Міне, кейде қиындықтар басталады. Өйткені, оқулықтар әдетте теореманы жазғанда «айналма жолды» қалай жасауға болатынына назар аудармайды. Теореманың өзін жазу заңдылықтары туралы ештеңе айтылмаған. Сондықтан кейбір репетиторлар формуланы қандай ретпен жазу керектігі туралы әртүрлі көрсеткілерді салады. Және олар студенттерден осы нұсқауларды қатаң сақтауды сұрайды. Бұл ішінара дұрыс, бірақ теореманың мәнін түсіну оны «айналып өту ережесі» мен көрсеткілерді пайдаланып таза механикалық түрде жазудан әлдеқайда маңызды.
Шын мәнінде, «айналмаудың» логикасын ғана түсіну маңызды және оның дәлдігі сонша, формуланы жазуда қателесу мүмкін емес. Екі жағдайда да a) және b) AMC үшбұрышының формуласын жазамыз.
Алдымен біз үш нүктені - үшбұрыштың төбелерін анықтаймыз. Бізде бұл A, M, C нүктелері бар. Содан кейін қиылысатын түзуде жатқан нүктелерді анықтаймыз (қызыл сызық), бұл B, P, K. Біз «қозғалысты» үшбұрыштың төбесінен бастаймыз, мысалы, С нүктесі. Осы нүктеден біз қиылысу арқылы құрылған нүктеге «өтеміз, мысалы, АС жағы мен қиылысу түзу - бізде бұл К нүктесі бар. Бірінші бөлшектің алымына - SK жазамыз. Әрі қарай K нүктесінен АС түзуінің қалған нүктесіне – А нүктесіне «барамыз». Бірінші бөлшектің бөлгішіне – KA деп жазамыз. А нүктесі де AM сызығына жататындықтан, AM жолындағы кесінділермен де солай істейміз. Міне, тағы да төбеден бастаймыз, содан кейін қиылысатын түзудегі нүктеге «өтеміз», одан кейін М шыңына шығамыз. ВС түзуінен «өзімізді тауып» алғаннан кейін, осының кесінділерімен де солай істейміз. түзу. Әрине, біз M-дан В-ге «барамыз», содан кейін біз C-ге ораламыз. Бұл «айналмауды» сағат тілімен де, сағат тіліне қарсы да жасауға болады. Тек айналып өту ережесін түсіну маңызды - төбеден түзу сызықтағы нүктеге және түзу сызықтағы нүктеден басқа шыңға. Мұндай нәрсе әдетте бөлшектердің көбейтіндісін жазу ережесімен түсіндіріледі. Нәтиже:
Барлық «айналмалы жол» жазбада көрсетілетініне және ыңғайлы болу үшін көрсеткілермен көрсетілгеніне назар аударайық.
Дегенмен, алынған жазбаны ешбір «өткізу» орындамай-ақ алуға болады. Үшбұрыштың төбелері (A, M, C) және қиылысатын түзуде жатқан нүктелер (B, P, K) жазылғаннан кейін, олар сонымен қатар әрбір нүктеде жатқан нүктелерді белгілейтін үштік әріптерді жазады. үш жол. Біздің жағдайларда бұл I) B , M , C ; II) A , P , M және III) A , C , K . Осыдан кейін формуланың дұрыс сол жақ бөлігін тіпті сызбаға қарамай және кез келген ретпен жазуға болады. Бізге ережеге бағынатын әр үштік әріптерден ақиқат бөлшектерді жазу жеткілікті - шартты түрде «ортаңғы» әріптер қиылысатын сызықтың нүктелері болып табылады (қызыл). Шартты түрде «төтенше» әріптер үшбұрыштың шыңдарының нүктелері болып табылады (көк). Формуланы осылай жазғанда кез келген «көк» әріптің (үшбұрыштың төбесі) алымға да, бөлгішке де бір рет тиетінін ғана қамтамасыз ету керек.Мысалы.
Бұл әдіс әсіресе b) сияқты жағдайлар үшін, сондай-ақ өзін-өзі тексеру үшін пайдалы.

Менелай теоремасы. Дәлелдеу
Менелай теоремасын дәлелдеудің бірнеше түрлі тәсілдері бар. Кейде олар үшбұрыштардың ұқсастығын пайдаланып дәлелдейді, олар үшін М нүктесінен АС-қа параллель кесінді жүргізеді (осы сызбадағыдай). Басқалары қиылысатын түзуге параллель емес қосымша сызық сызады, содан кейін қиылысатын түзуге параллель түзулермен олар барлық қажетті кесінділерді осы түзуге «проекциялау» және Фалес теоремасының жалпылауын (яғни, пропорционал кесінділер туралы теорема) формуласын шығарыңыз. Дегенмен, мүмкін оны дәлелдеудің ең қарапайым жолы М нүктесінен қиылысатын нүктеге параллель түзу жүргізу арқылы алынады. Менелай теоремасын осылай дәлелдеп көрейік.
Берілген: ABC үшбұрышы. PK түзуі үшбұрыштың қабырғалары мен MC қабырғасының созылуын В нүктесінде қиып өтеді.
Теңдік орындалатынын дәлелде:
Дәлелдеу. БҚ-ға параллель ММ 1 сәулені салайық. Менелай теоремасының формуласына кіретін кесінділер қатысатын қатынастарды жазайық. Бір жағдайда А нүктесінде қиылысатын, ал екінші жағдайда С нүктесінде қиылысатын түзулерді қарастырайық. Мына теңдеулердің сол және оң бөліктерін көбейтейік:

Теорема дәлелденді.
Теорема б) жағдайына ұқсас дәлелденген.

С нүктесінен BK түзуіне параллель CC 1 кесіндісін жүргіземіз. Менелай теоремасының формуласына кіретін кесінділер қатысатын қатынастарды жазайық. Бір жағдайда А нүктесінде қиылысатын түзулерді, ал екінші жағдайда М нүктесінде қиылысатын түзулерді қарастырамыз. Фалес теоремасы екі қиылысатын түзудегі кесінділердің орналасуы туралы ештеңе айтпағандықтан, кесінділер қарама-қарсы жақтарда да орналасуы мүмкін. нүктесінің М. Сондықтан

Теорема дәлелденді.

Енді қарама-қарсы теореманы дәлелдейміз.
Берілген:
B, P, K нүктелері бір түзудің бойында жатқанын дәлелдеңдер.
Дәлелдеу. BP түзуі К нүктесімен сәйкес келмейтін қандай да бір K 2 нүктесінде АС қиылысатын болсын. BP K 2 нүктесін қамтитын түзу болғандықтан, ол үшін жаңа ғана дәлелденген Менелай теоремасы дұрыс. Сонымен, біз ол үшін жазамыз
Дегенмен, біз мұны жаңа ғана көрсеттік
Бұдан шығатыны, K және K 2 нүктелері сәйкес келеді, өйткені олар АС жағын бірдей қатынаста бөліседі.
b) жағдайы үшін теорема дәл осылай дәлелденеді.

Менелай теоремасын пайдаланып есептер шығару

Алдымен 1-есепке оралып, оны шешейік. Қайтадан оқып көрейік. Сурет салайық:

ABCD трапециясы берілген. ST - трапецияның ортаңғы сызығы, яғни. осы қашықтықтардың бірі. A және D бұрыштарының қосындысы 90°-қа жетеді. AB және CD қабырғаларын ұзартып, олардың қиылысында К нүктесін аламыз.К нүктесін N нүктесімен - ВС ортасымен қосамыз. Енді AD табанының ортасы болып табылатын Р нүктесі де KN түзуіне жататынын дәлелдеп көрейік. ABD және ACD үшбұрыштарын ретімен қарастырайық. KP сызығы әр үшбұрыштың екі қабырғасын қиып өтеді. KN түзуі AD негізін қандай да бір X нүктесінде қиып өтсін делік. Менелай теоремасы бойынша:
AKD үшбұрышы тік бұрышты болғандықтан, AD гипотенузасының ортасы болып табылатын Р нүктесі A, D және K нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. Сол сияқты N нүктесі B, C және K нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. Бір негіз 36, екіншісі 2 болатын жерден.
Шешім. BCD үшбұрышын қарастырайық. Оны AX сәулесі кесіп өтеді, мұндағы X - бұл сәуленің ВС қабырғасының ұзартуымен қиылысу нүктесі. Менелай теоремасы бойынша:
(1) дегенді (2) орнына қойсақ:

Шешім. S 1 , S 2 , S 3 және S 4 сәйкесінше AOB, AOM, BOK үшбұрыштарының және MOKC төртбұрыштарының аудандары болсын.

BM медиана болғандықтан, S ABM = S BMC .
Сонымен S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
S 1 және S 4 аудандарының қатынасын табу керек болғандықтан, теңдеудің екі жағын да S 4-ке бөлеміз:
Осы мәндерді формулаға (1) ауыстырайық: АК секанты бар BMC үшбұрышынан Менелай теоремасы бойынша бізде: BM секанты бар AKC үшбұрышынан Менелай теоремасы бойынша бізде: Барлық қажетті қатынас k арқылы өрнектеледі, енді оларды (2) өрнекке ауыстыруға болады:
Бұл мәселені Менелай теоремасын қолдану арқылы шешу бетте қарастырылады.

Математика мұғалімінің жазбасы.Менелай теоремасын бұл мәселеде қолдану бұл әдіс емтихан уақытын айтарлықтай үнемдейтін жағдай болып табылады. Бұл тапсырма 9-сыныпқа (2019 ж.) Жоғары экономика мектебі жанындағы лицейге түсу емтиханының демо нұсқасында ұсынылған.

© Мәскеудегі математика пәнінің мұғалімі, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589.

Өзіңіз шешіңіз

1) Тапсырма оңайырақ. ABC үшбұрышының BD медианасында М нүктесі BM: MD = m: n болатындай етіп белгіленген. AM сызығы ВС қабырғасын К нүктесінде қиып өтеді.
BK:KC қатынасын табыңыз.
2) Тапсырма қиынырақ. ABCD параллелограммының А бұрышының биссектрисасы BC қабырғасын P нүктесінде, ал BD диагоналы T нүктесінде қиылысады. AB: AD = k (0 3) екені белгілі. Тапсырма нөмірі 26 OGE. ABC үшбұрышында BE биссектрисасы мен AD медианасы перпендикуляр және ұзындығы бірдей 36-ға тең. ABC үшбұрышының қабырғаларын табыңыз.
Математика мұғаліміне кеңес.Интернетте мұндай мәселеге қосымша құрылыстың көмегімен шешім бар, содан кейін ұқсастық немесе аймақтарды табу, содан кейін ғана үшбұрыштың қабырғалары. Анау. осы екі әдіс қосымша құрылысты қажет етеді. Бірақ биссектриса қасиеті мен Менелай теоремасын пайдаланып мұндай есепті шешу ешқандай қосымша конструкцияларды қажет етпейді. Бұл әлдеқайда қарапайым және ұтымды.