Бұрыштық орын ауыстыру, бұрыштық жылдамдық, бұрыштық үдеу, олардың байланысы. Бұрыштық орын ауыстыру, бұрыштық жылдамдық, бұрыштық үдеу, олардың арақатынасы Айналу бұрышының векторы дегеніміз не

Эйлер бұрыштары, ұшақ (кеме) бұрыштары.

Дәстүрлі түрде Эйлер бұрыштары келесідей енгізіледі. Анықтамалық позициядан нақтыға көшу үш айналыммен жүзеге асырылады (4.3-сурет):

1. Бұрышпен айналдырыңыз прецессияБұл жағдайда ол (c) позициясына өтеді .

2. Бұрышпен айналдырыңыз қоректену. Бола тұра, . (4.10)

4. Бұрышпен айналдырыңыз меншікті (таза) айналым

Жақсырақ түсіну үшін 4.4-суретте жоғарғы және оны сипаттайтын Эйлер бұрыштары көрсетілген.

1. Бұрышпен айналдырыңыз иә, Сонымен бірге

2. (4.12) кезінде көлбеу бұрышпен айналдырыңыз.

3.Айналмалы бұрышпен айналдырыңыз

«Орындауға болады» деген сөз кездейсоқ емес; басқа опциялардың мүмкін екенін түсіну оңай, мысалы, қозғалмайтын осьтер айналасында айналу

1. Бұрышпен айналдырыңыз орам(қанаттарын сындыру қаупі бар)

2. Бұрышпен айналдырыңыз қадам(мұрын көтеру) (4.13)

3. Бұрышпен айналдырыңыз иә

Алайда (4.12) және (4.13) сәйкестігі де дәлелденуді қажет етеді.

Нүктенің орналасу векторының айқын векторлық формуласын (4.6-сурет) матрицалық түрде жазайық. Анықтамалық базиске қатысты вектордың координаталарын табайық. Векторды нақты базиске сәйкес кеңейтіп, анықтамалық негізде координаталары нақтыдағы вектордың координатасына тең болатын «берілген» векторды енгізейік; басқаша айтқанда, вектор денемен бірге «айналды» (4.6-сурет).

Айналмалы матрицаны және бағандарды енгізейік,

Матрицалық белгілердегі векторлық формуланың пішіні бар

1. Айналу матрицасы ортогональды, яғни.

Бұл тұжырымның дәлелі формула (4.9)

(4.15) туындысының анықтауышын есептей отырып, біз аламыз және анықтамалық позицияда болғандықтан, (+1) анықтауышқа тең ортогональды матрицалар деп аталады. шын мәніндеортогональды немесе айналмалы матрицалар). Векторларға көбейткенде, айналу матрицасы векторлардың ұзындықтарын да, олардың арасындағы бұрыштарды да өзгертпейді, яғни. шынымен олар бұрылады.

2. Айналу матрицасында айналу осін көрсететін бір меншікті (тіркелген) векторы бар. Басқаша айтқанда, теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі бар екенін көрсету керек. Жүйені (. Бұл біртекті жүйенің анықтауышы нөлге тең, өйткені

сондықтан жүйенің нөлдік емес шешімі бар. Екі шешім бар деп есептесек, біз бірден қорытындыға келеміз: оларға перпендикуляр да шешім (векторлар арасындағы бұрыштар өзгермейді), яғни т.б. кезек жоқ..

Ортонормальдық негіздегі матрица

көзқарасы бар.

2. Дифференциалдау (4.15) аламыз немесе белгілей отырып – матрицаны spin (ағылшынша - айналдыру - айналдыру).Осылайша, спиндік матрица қисаю-симметриялы: . Оң жақтан көбейту арқылы айналу матрицасы үшін Пуассон формуласын аламыз:

Біз матрицалық сипаттама аясында ең қиын сәтке келдік - бұрыштық жылдамдық векторын анықтау.

Сіз, әрине, стандартты нәрсені жасай аласыз (мысалы, әдісті қараңыз және мынаны жазыңыз: « Қисық-симметриялық матрицаның элементтерін белгілеуді енгізейікС формула бойынша

Егер сіз вектор жасасаңыз , онда матрицаны векторға көбейту нәтижесін векторлық көбейтінді ретінде көрсетуге болады" Жоғарыдағы дәйексөзде - бұрыштық жылдамдық векторы.

(4.14) дифференциалдау арқылы қатты дененің кинематикасының негізгі формуласының матрицалық көрінісін аламыз. :

Матрицалық тәсіл есептеулер үшін ыңғайлы болғанымен, қатынастарды талдау және шығару үшін өте жарамсыз; Векторлық және тензор тілінде жазылған кез келген формуланы матрицалық түрде оңай жазуға болады, бірақ кез келген физикалық құбылысты матрицалық түрде сипаттау үшін жинақы және экспрессивті формуланы алу қиын.

Сонымен қатар, матрицаның элементтері қандай да бір негізде тензордың координаталары (компоненттері) болып табылатынын ұмытпауымыз керек. Тензордың өзі негізді таңдауға байланысты емес, бірақ оның құрамдас бөліктері. Матрицалық пішінде қатесіз жазу үшін өрнекке кіретін барлық векторлар мен тензорлар бір негізде жазылуы керек, және бұл әрқашан қолайлы емес, өйткені әртүрлі тензорлар әртүрлі негізде «қарапайым» пішінге ие, сондықтан сізге қажет өтпелі матрицаларды пайдаланып матрицаларды қайта есептеу.

Шеңберде ол шеңбердің центрінен сызылған $ \overrightarrow (r)$ радиус векторымен анықталады. Радиус векторының модулі R шеңберінің радиусына тең (1-сурет).

Сурет 1. Нүкте шеңбер бойымен қозғалғанда радиус векторы, орын ауыстыруы, жолы және айналу бұрышы

Бұл жағдайда дененің шеңбер бойымен қозғалысын айналу бұрышы, бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу сияқты кинематикалық сипаттамалар арқылы бір мағыналы сипаттауға болады.

∆t уақыт ішінде дене А нүктесінен В нүктесіне жылжи отырып, АВ хордасына тең $\triangle r$ орын ауыстыруын жасайды және l доғасының ұзындығына тең жолды басып өтеді. Радиус векторы ∆$ \varphi $ бұрышы арқылы айналады.

Айналу бұрышын $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ бұрыштық орын ауыстыру векторымен сипаттауға болады, оның шамасы айналу бұрышына ∆$ \varphi $ тең, ал бағыты сәйкес келеді. айналу осі және $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ векторының бағытына қатысты айналу бағыты оң бұранда ережесіне сәйкес болуы үшін.

$d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ векторы осьтік вектор (немесе псевдовектор) деп аталады, ал $\triangle \overrightarrow(r)$ орын ауыстыру векторы полярлық вектор болып табылады (оларға сонымен қатар жылдамдық пен үдеу векторлары). Олардың айырмашылығы полярлық вектордың ұзындық пен бағыттан басқа қолдану нүктесі (полюсі) бар, ал осьтік вектордың тек ұзындығы мен бағыты бар (axis – латын тілінде ось), бірақ қолдану нүктесі жоқ. Бұл түрдегі векторлар физикада жиі қолданылады. Олар, мысалы, екі полярлық вектордың векторлық көбейтіндісі болып табылатын барлық векторларды қамтиды.

Радиус векторының айналу бұрышының осы айналу орын алған уақыт кезеңіне қатынасына сандық түрде тең скаляр физикалық шама орташа бұрыштық жылдамдық деп аталады: $\left\langle \omega \right\rangle =\ frac(\triangle \varphi )(\triangle t)$. Бұрыштық жылдамдықтың SI бірлігі секундына радиан $(\frac (rad) (c))$.

Анықтама

Айналудың бұрыштық жылдамдығы деп дененің уақыт бойынша айналу бұрышының бірінші туындысына сан жағынан тең және оң бұранда ережесіне сәйкес айналу осі бойымен бағытталған векторды айтады:

\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]

Шеңбердегі бірқалыпты қозғалыс кезінде бұрыштық жылдамдық пен сызықтық жылдамдықтың шамасы тұрақты мәндер болып табылады: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.

$\triangle \varphi =\frac(l)(R)$ екенін ескере отырып, сызықтық және бұрыштық жылдамдық арасындағы байланыстың формуласын аламыз: $\omega =\frac(l)(R\triangle t)=\frac( v)( R)$. Бұрыштық жылдамдық қалыпты үдеумен де байланысты: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$

Шеңбердегі біркелкі емес қозғалыс кезінде бұрыштық жылдамдық векторы уақыттың векторлық функциясы болып табылады $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega ))_0+\overrightarrow(\varepsilon )\ left(t\right) t$, мұндағы $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ - бастапқы бұрыштық жылдамдық, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ бұрыштық үдеу болып табылады. Бірқалыпты айнымалы қозғалыс жағдайында $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$ және $\left|\overrightarrow((\mathbf) \omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.

2-суретте көрсетілген 1 және 2 графиктерге сәйкес бұрыштық жылдамдық өзгеретін жағдайларда айналмалы қатты дененің қозғалысын сипаттаңыз.

2-сурет.

Айналу екі бағытта жүреді - сағат тілімен және сағат тіліне қарсы. Айналу бағыты айналу бұрышының псевдовекторымен және бұрыштық жылдамдықпен байланысты. Айналу бағытын сағат тілімен оң деп қарастырайық.

1-қозғалыс үшін бұрыштық жылдамдық өседі, бірақ бұрыштық үдеу $\varepsilon $=d$\omega $/dt (туынды) оң болып қалады. Демек, бұл қозғалыс жылдамдықтың төмендеуімен сағат тілімен жеделдетіледі.

2-қозғалыс үшін бұрыштық жылдамдық төмендейді, содан кейін абсцисса осімен қиылысу нүктесінде нөлге жетеді, содан кейін теріс мәнге ие болады және абсолютті шамада өседі. Бұрыштық үдеу теріс және шамасы азаяды. Осылайша, алдымен нүкте сағат тілімен баяу қозғалып, абсолютті шамада төмендейтін бұрыштық үдеумен тоқтады және абсолюттік мәнде төмендеген үдеумен жылдам айнала бастады.

Шетінде жатқан нүктенің $v_1$ сызықтық жылдамдығы $r = 5 см$ қашықтықта жатқан нүктенің $v_2$ сызықтық жылдамдығынан 2,5 есе үлкен екені белгілі болса, айналмалы дөңгелектің R радиусын табыңыз. доңғалақ осіне жақынырақ.

3-сурет.

$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2,5v_2$$ $$R_1 = ?$$

Нүктелер концентрлік шеңберлер бойымен қозғалады, олардың бұрыштық жылдамдықтарының векторлары тең, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\ сондықтан omega $ скаляр түрінде жазылуы мүмкін:

Жауабы: дөңгелектің радиусы R = 8,3 см

Бағыт бұрмаланған кристалдық мөлшері торлар, шартты дислинация: бұралу – кристалдың бір бөлігінің басқасына қатысты айналу бұрышы; симметрия осінің реті өзгерген кезде сынаның айналу бұрышының a өзгерісі. ... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық

Фрэнк векторы- дисклинацияға байланысты кристалдық тордың бұрмалануының бағытталған шамасы: бұралу, кристалдың бір бөлігінің басқасына қатысты айналу бұрышы; симметрия осінің реті өзгерген кезде сынаның айналу бұрышының а өзгеруі. Қараңыз…… Металлургияның энциклопедиялық сөздігі

Айналу матрицасы- Ақпаратты тексеріңіз. Осы мақалада келтірілген фактілердің дұрыстығын және ақпараттың сенімділігін тексеру қажет. Талқылау бетінде түсініктеме болуы керек... Википедия

Басқарылатын күш векторы- Реактивті қозғалтқыштың итеру векторын басқару (TCV) - қозғалтқыш ағыны ағынының круиздік режимге сәйкес бағыттан ауытқуы. Қазіргі уақытта итеру векторын басқару негізінен бүкіл саптаманы айналдыру арқылы қамтамасыз етіледі... ... Wikipedia

ГИРОСКОП- негізгі элементі жылдам айналатын ротор болып табылатын, оның айналу осін айналдыруға болатындай бекітілген навигациялық құрылғы. Гироскоп роторының үш еркіндік дәрежесі (мүмкін айналу осьтері) екі жақтаумен қамтамасыз етілген... ... Collier энциклопедиясы

ФАРАДЕЙ ӘСЕРІ- магнитоптиканың әсерлерінің бірі. Ол сызықтық поляризацияланған поляризаторлардың поляризация жазықтығын айналдырудан тұрады. баған бойымен веге тараған жарық. маг. өрістер, онда ол ромда орналасқан. 1845 жылы М.Фарадей ашқан және оның алғашқы дәлелі болды... ... Физикалық энциклопедия

Графикалық құбыр- Үш өлшемді графиканы визуализациялауға арналған графикалық құбыр, аппараттық-бағдарламалық кешен. Мазмұны 1 Үш өлшемді көріністің элементтері 1.1 Аппараттық құрал 1.2 Бағдарламалық қамтамасыз ету интерфейстері ... Wikipedia

Магнитизм- Классикалық электродинамика ... Википедия

ГОСТ 22268-76: Геодезия. Терминдер мен анықтамалар- Терминология ГОСТ 22268 76: Геодезия. Терминдер мен анықтамалар құжаттың түпнұсқасы: 114. NDP контуры. Kroki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Контурлық өріс эскизі F. Croquis Жер бедерінің схемалық сызбасы Түрлі құжаттардан терминнің анықтамалары ... Нормативтік-техникалық құжаттама терминдерінің сөздік-анықтамалығы

Күн панелін бағдарлау жүйесі– Бұл мақаланың стилі энциклопедиялық емес немесе орыс тілінің нормаларын бұзады. Мақала Уикипедия... Википедия стилистикалық ережелеріне сәйкес түзетілуі керек

БҰРЫШТЫҚ ЖЫЛДАМДЫҚ- қатты дененің айналу жылдамдығын сипаттайтын векторлық шама. Дене қозғалмайтын осьтің айналасында біркелкі айналса, оның V.s. w=Dj/Dt, мұндағы Dj - Dt уақыт периодындағы j айналу бұрышының өсімі, ал жалпы жағдайда w=dj/dt. U векторы....... Физикалық энциклопедия

Қарастырылып отырған мәселенің жағдайында өлшемдерін елемеуге болмайтын кеңейтілген дененің қозғалыстары. Біз денені деформацияланбайтын, басқаша айтқанда, абсолютті қатты деп қарастырамыз.

Қандай қозғалыс кез келгенқозғалатын дененің өзіне параллель болып қалатынымен байланысты түзу деп аталады прогрессивті.

«Денемен қатты байланысқан» түзу деп біз қозғалыс кезінде оның кез келген нүктесінен дененің кез келген нүктесіне дейінгі қашықтық тұрақты болып қалатын осындай түзуді айтамыз.

Абсолют қатты дененің ілгерілемелі қозғалысын осы дененің кез келген нүктесінің қозғалысымен сипаттауға болады, өйткені ілгерілемелі қозғалыс кезінде дененің барлық нүктелері бірдей жылдамдықпен және үдеумен қозғалады, ал олардың қозғалысының траекториялары сәйкес келеді. Қатты дененің кез келген нүктесінің қозғалысын анықтай отырып, біз бір уақытта оның барлық басқа нүктелерінің қозғалысын анықтаймыз. Демек, ілгерілемелі қозғалысты сипаттағанда, материалдық нүктенің кинематикасымен салыстырғанда жаңа мәселелер туындамайды. Трансляциялық қозғалыстың мысалы суретте көрсетілген. 2.20.

2.20-сурет. Дененің алға қозғалысы

Трансляциялық қозғалыстың мысалы келесі суретте көрсетілген:

2.21-сурет. Тегіс дене қозғалысы

Қатты дене қозғалысының тағы бір маңызды ерекше жағдайы - дененің екі нүктесі қозғалыссыз қалатын қозғалыс.

Дененің екі нүктесі қозғалыссыз қалатын қозғалыс деп аталады бекітілген ось айналасында айналу.

Осы нүктелерді қосатын түзу де стационарлық және деп аталады айналу осі.

2.22-сурет. Қатты дененің айналуы

Бұл қозғалыспен дененің барлық нүктелері айналу осіне перпендикуляр жазықтықта орналасқан шеңберлерде қозғалады. Шеңберлердің орталықтары айналу осінде жатыр. Бұл жағдайда айналу осі дененің сыртында орналасуы мүмкін.

Бейне 2.4. Трансляциялық және айналмалы қозғалыстар.

Бұрыштық жылдамдық, бұрыштық үдеу.Дене кез келген ось айналасында айналғанда, оның барлық нүктелері әртүрлі радиусты шеңберлерді сипаттайды, сондықтан олардың орын ауыстырулары, жылдамдықтары және үдеулері әртүрлі болады. Дегенмен, дененің барлық нүктелерінің айналу қозғалысын бірдей сипаттауға болады. Ол үшін олар қозғалыстың басқа (материалдық нүктемен салыстырғанда) кинематикалық сипаттамаларын – айналу бұрышын, бұрыштық жылдамдықты, бұрыштық үдеулерді пайдаланады.

Күріш. 2.23. Шеңбер бойымен қозғалатын нүктенің үдеу векторы

Айналмалы қозғалыста орын ауыстыру рөлін атқарады шағын айналу векторы, айналу осінің айналасында 00" (2.24-сурет). Бұл кез келген нүкте үшін бірдей болады абсолютті қатты дене(мысалы, ұпайлар 1, 2, 3 ).

Күріш. 2.24. Абсолютті қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналуы

Айналу векторының шамасы айналу бұрышының шамасына тең және бұрыш радианмен өлшенеді.

Айналу осі бойымен шексіз аз айналу векторы денемен бір бағытта бұрылған оң бұранданың (гимлет) қозғалысына бағытталған.

Бейне 2.5. Ақырғы бұрыштық орын ауыстырулар векторлар емес, өйткені олар параллелограмм ережесіне сәйкес қосылмайды. Шексіз аз бұрыштық орын ауыстырулар векторлар болып табылады.

Бағыттары гимлет ережесімен байланысты векторлар деп аталады осьтік(ағылшын тілінен ось- ось) айырмашылығы полярлық. біз бұрын қолданған векторлар. Полярлық векторлар, мысалы, радиус векторы, жылдамдық векторы, үдеу векторы және күш векторы. Осьтік векторларды псевдовекторлар деп те атайды, өйткені олар айнадағы шағылысу әрекеті кезіндегі шынайы (полярлық) векторлардан мінез-құлқында ерекшеленеді (инверсия немесе сол сияқты оң жақ координаталар жүйесіне көшу). . Шексіз аз айналымдардың векторларын қосу ақиқат векторларды қосу сияқты, яғни параллелограмм (үшбұрыш) ережесі бойынша болатынын (бұл кейінірек орындалатынын) көрсетуге болады. Демек, егер айнадағы шағылысу операциясы қарастырылмаса, онда псевдовекторлар мен шынайы векторлар арасындағы айырмашылық ешқандай түрде көрінбейді және оларды қарапайым (шын) векторлар сияқты қарастыруға болады және қарастырылуы керек.

Шексіз аз айналу векторының осы айналу орын алған уақытқа қатынасы

шақырды бұрыштық айналу жылдамдығы.

Бұрыштық жылдамдықтың негізгі өлшем бірлігі болып табылады рад/с. Баспа басылымдарында физикаға қатысы жоқ себептермен олар жиі жазады 1/снемесе s -1, бұл, қатаң айтқанда, дұрыс емес. Бұрыш – өлшемсіз шама, бірақ оның өлшем бірліктері әртүрлі (градустар, нүктелер, градтар...) және кем дегенде түсініспеушіліктерді болдырмау үшін оларды көрсету керек.

Бейне 2.6. Стробоскопиялық эффект және оны бұрыштық жылдамдықты қашықтықтан өлшеу үшін қолдану.

Бұрыштық жылдамдық, ол пропорционал болатын вектор сияқты, осьтік вектор болып табылады. Айналғанда қозғалыссызось, бұрыштық жылдамдық оның бағытын өзгертпейді. Біркелкі айналу кезінде оның шамасы да тұрақты болып қалады, сондықтан вектор . Бұрыштық жылдамдық уақытында жеткілікті тұрақтылық болған жағдайда айналуды оның периоды бойынша сипаттаған ыңғайлы. Т :

Айналу кезеңі- бұл дененің айналу осінің айналасында бір айналым жасайтын (2π бұрыш арқылы айналу) уақыты.

«Жеткілікті тұрақтылық» сөздері кезең ішінде (бір революция уақыты) бұрыштық жылдамдық модулінің шамалы өзгеретінін білдіреді.

Сондай-ақ жиі қолданылады уақыт бірлігіндегі айналымдар саны

Сонымен қатар, техникалық қосымшаларда (ең алдымен қозғалтқыштардың барлық түрлері) уақыт бірлігі ретінде секундты емес, минутты алу әдеттегідей. Яғни, айналудың бұрыштық жылдамдығы минутына айналымдармен көрсетіледі. Көріп отырғаныңыздай, (секундына радианмен) және (минутына айналыммен) арасындағы қатынас келесідей:

Бұрыштық жылдамдық векторының бағыты суретте көрсетілген. 2.25.

Сызықтық үдеумен ұқсастығы бойынша бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдық векторының өзгеру жылдамдығы ретінде енгізіледі. Бұрыштық үдеу де осьтік вектор (псевдовектор) болып табылады.

Бұрыштық үдеу – бұрыштық жылдамдықтың уақыт туындысы ретінде анықталған осьтік вектор

Қозғалмайтын ось айналасында айналу кезінде немесе жалпы алғанда өзіне параллель қалатын ось айналасында айналу кезінде бұрыштық жылдамдық векторы да айналу осіне параллель бағытталған. Бұрыштық жылдамдықтың өсуімен || бұрыштық үдеу онымен бағытта сәйкес келеді, кему кезінде ол қарама-қарсы бағытта болады; Бұл жалпы жағдайда айналу осі бағытының өзгермейтіндігінің (нүктенің айналасындағы айналудың) ерекше жағдайы екенін атап өтеміз, айналу осінің өзі айналады, содан кейін жоғарыда айтылғандар дұрыс емес;

Бұрыштық және сызықтық жылдамдықтар мен үдеулердің байланысы.Айналмалы дененің әрбір нүктесі сәйкес шеңберге тангенциалды бағытталған белгілі бір сызықтық жылдамдықпен қозғалады (19-суретті қараңыз). Материалдық нүкте ось айналасында айналсын 00" радиусы бар шеңбер бойымен Р. Қысқа уақыт ішінде ол айналу бұрышына сәйкес келетін жолды басып өтеді. Содан кейін

Шектіге жылжып, айналатын дене нүктесінің сызықтық жылдамдығының модулінің өрнегін аламыз.

Осы жерде еске саламыз Р- дененің қарастырылатын нүктесінен айналу осіне дейінгі қашықтық.

Күріш. 2.26.

Өйткені қалыпты үдеу

онда бұрыштық және сызықтық жылдамдықтың қатынасын ескере отырып, аламыз

Айналмалы қатты денедегі нүктелердің қалыпты үдеуі жиі аталады центрге тартқыш үдеу.

Уақытқа қатысты өрнекті ажырата отырып, табамыз

мұндағы радиусы бар шеңбер бойымен қозғалатын нүктенің тангенциалды үдеуі Р.

Осылайша, тангенциалды да, қалыпты үдеу де радиустың өсуімен сызықты түрде артады Р- айналу осінен қашықтығы. Толық үдеу де сызықты түрде байланысты Р :

Мысал.Жер бетіндегі экваторда және Мәскеу ендігінде жатқан нүктелердің сызықтық жылдамдығын және центрге тартқыш үдеуін табайық ( = 56°). Жердің өз осінің айналасында айналу периоды бізге белгілі T = 24 сағат = 24x60x60 = 86 400 с. Осы жерден айналудың бұрыштық жылдамдығын табамыз

Жердің орташа радиусы

Ендіктегі айналу осіне дейінгі қашықтық тең

Осы жерден сызықтық жылдамдықты табамыз

және центрге тартқыш үдеу

Экваторда = 0, cos = 1, сондықтан,

Мәскеу ендігі бойынша cos = cos 56° = 0,559және біз аламыз:

Жердің айналуының әсері соншалықты үлкен емес екенін көреміз: экватордағы центрге тартқыш үдеудің еркін түсу үдеуіне қатынасы мынаған тең:

Соған қарамастан, кейінірек көретініміздей, Жердің айналуының әсері айтарлықтай байқалады.

Сызықтық және бұрыштық жылдамдық векторларының арасындағы байланыс.Жоғарыда алынған бұрыштық және сызықтық жылдамдық арасындағы байланыстар және векторларының модульдері үшін жазылған. Бұл қатынастарды векторлық түрде жазу үшін векторлық туынды ұғымын қолданамыз.

Болсын 0z- абсолютті қатты дененің айналу осі (2.28-сурет).

Күріш. 2.28. Сызықтық және бұрыштық жылдамдық векторларының арасындағы байланыс

Нүкте Арадиусы бар шеңберде айналады Р. Р- айналу осінен дененің қарастырылатын нүктесіне дейінгі қашықтық. Бір нүктені алайық 0 шығу тегі үшін. Содан кейін

және содан бері

содан кейін дененің барлық нүктелері үшін векторлық көбейтіндінің анықтамасы бойынша

Мұнда еркін бекітілген жерде жатқан дененің О нүктесінен басталатын нүктесінің радиус векторы берілген, міндетті түрде айналу осінде

Бірақ басқа жақтан

Бірінші мүшесі нөлге тең, өйткені коллинеар векторлардың векторлық көбейтіндісі нөлге тең. Демек,

вектор қайда Райналу осіне перпендикуляр және одан алыс бағытталған, ал оның модулі материал нүктесі қозғалатын шеңбердің радиусына тең және бұл вектор осы шеңбердің ортасынан басталады.

Күріш. 2.29. Айналудың лездік осін анықтауға қарай

Қалыпты (центрге тартқыш) үдеу векторлық түрде де жазылуы мүмкін:

ал «–» белгісі оның айналу осіне қарай бағытталғанын көрсетеді. Уақытқа қатысты сызықтық және бұрыштық жылдамдықтардың қатынасын дифференциялай отырып, толық үдеу өрнекін табамыз.

Бірінші мүше айналмалы денедегі нүктенің траекториясына жанама бағытталған және оның модулі -ге тең, өйткені

Тангенциалды үдеу өрнекімен салыстыра отырып, бұл тангенциалды үдеу векторы деген қорытындыға келеміз.

Демек, екінші мүше сол нүктенің қалыпты үдеуін білдіреді:

Шынында да, ол радиус бойымен бағытталған Райналу осіне және оның модулі тең

Сондықтан қалыпты үдеу үшін бұл қатынас бұрын алынған формуланы жазудың басқа түрі болып табылады.

қосымша ақпарат

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Жалпы физика курсы, 1 том, Механика Ред. Ғылым 1979 – 242–243 б. (§46, 7-параграф): қатты дененің бұрыштық айналуларының векторлық табиғаты туралы түсіну қиын сұрақ талқыланады;

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Жалпы физика курсы, 1 том, Механика Ред. Ғылым 1979 – 233–242 б. (§45, §46 1–6 бет): қатты дененің лездік айналу осі, айналуларды қосу;

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - «Квант» журналы – баскетболды лақтыру кинематикасы (Р. Винокур);

http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - «Квант» журналы, 2003 ж., No 6, – 5–11 б., қатты дененің лездік жылдамдықтарының өрісі (С. Кротов);

Элементар айналу бұрышы, бұрыштық жылдамдық

Сурет 9. Элементар айналу бұрышы ()

Элементар (шексіз аз) айналымдар векторлар ретінде қарастырылады. Вектордың шамасы айналу бұрышына тең, ал оның бағыты бұранда ұшының трансляциялық қозғалысының бағытымен сәйкес келеді, оның басы шеңбер бойымен нүктенің қозғалысы бағытында айналады, яғни ол бағынады. оң бұранда ережесі.

Бұрыштық жылдамдық

Вектор оң бұранда ережесіне сәйкес айналу осі бойымен бағытталған, яғни вектормен бірдей (10-суретті қараңыз).

10-сурет.

11-сурет

Дененің айналу бұрышының уақытқа қатысты бірінші туындысы арқылы анықталатын векторлық шама.

Сызықтық және бұрыштық жылдамдық модульдері арасындағы байланыс

12-сурет

Сызықтық және бұрыштық жылдамдық векторларының арасындағы байланыс

Қарастырылып отырған нүктенің орны радиус векторымен (айналу осінде жатқан 0 басынан сызылған) көрсетіледі. Көлденең көбейтінді вектормен бағытта сәйкес келеді және оған тең модуль бар

Бұрыштық жылдамдықтың өлшем бірлігі.

Псевдовекторлар (осьтік векторлар) бағыттары айналу бағытымен байланысты векторлар (мысалы,). Бұл векторлардың нақты қолдану нүктелері жоқ: оларды айналу осінің кез келген нүктесінен салуға болады.

Материалдық нүктенің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы

Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс деп материалдық нүктенің (дененің) ұзындығы тең шеңбер доғасынан бірдей уақыт аралықтарында өтетін қозғалысын айтады.

Бұрыштық жылдамдық

: (-- айналу бұрышы).

Айналу периоды T – материалдық нүктенің шеңбер бойымен бір толық айналым жасайтын уақыты, яғни бұрыш арқылы айналады.

Ол уақыт кезеңіне сәйкес болғандықтан, онда.

Айналу жиілігі – материалдық нүктенің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы кезінде уақыт бірлігінде жасаған толық айналымдар саны.

13-сурет

Бірқалыпты айналмалы қозғалысқа тән қасиет

Бірқалыпты айналмалы қозғалыс қисық сызықты қозғалыстың ерекше жағдайы болып табылады. Абсолютті мәнде () жылдамдық тұрақтысы бар айналмалы қозғалыс жеделдетілген. Бұл тұрақты модуль кезінде жылдамдық бағыты барлық уақытта өзгеретініне байланысты.

Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалатын материалдық нүктенің үдеуі

Нүкте шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалған кездегі үдеудің тангенциалды компоненті нөлге тең.

Үдеудің қалыпты құрамдас бөлігі (центрге тартқыш үдеу) шеңбердің центріне қарай радиалды бағытталған (13-суретті қараңыз). Шеңбердің кез келген нүктесінде нормаль үдеу векторы жылдамдық векторына перпендикуляр болады. Кез келген нүктеде шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалатын материалдық нүктенің үдеуі центрге тартқыш.

Бұрыштық үдеу. Сызықтық және бұрыштық шамалар арасындағы байланыс

Бұрыштық үдеу – бұрыштық жылдамдықтың уақытқа қатысты бірінші туындысымен анықталатын векторлық шама.

Бұрыштық үдеу векторының бағыты

Дене қозғалмайтын ось айналасында айналғанда, бұрыштық үдеу векторы айналу осінің бойымен бұрыштық жылдамдықтың элементар өсімінің векторына қарай бағытталады.

Қозғалыс үдетілгенде вектор векторға кодирекциялы, баяу болғанда оған қарама-қарсы болады. Вектор псевдовектор болып табылады.

Бұрыштық үдеу бірлігі болып табылады.

Сызықтық және бұрыштық шамалар арасындағы байланыс

(-- шеңбердің радиусы; - сызықтық жылдамдық; - тангенциалды үдеу; - қалыпты үдеу; - бұрыштық жылдамдық).