Теңдеудің тікелей онлайн калькуляторы. Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі, мысалдар, шешімдер

Түзу M 1 (x 1; y 1) және M 2 (x 2; y 2) нүктелері арқылы өтсін. M 1 нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуі y- y 1 \u003d түрінде болады. к (x - x 1), (10.6)

Қайда к - әлі белгісіз коэффициент.

Түзу M 2 (x 2 y 2) нүктесі арқылы өтетіндіктен, бұл нүктенің координаталары (10.6) теңдеуді қанағаттандыруы керек: y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Осы жерден біз Табылған мәнді ауыстыруды табамыз к (10.6) теңдеуінде M 1 және M 2 нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін аламыз:

Бұл теңдеуде x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 деп қабылданады.

Егер x 1 \u003d x 2 болса, онда M 1 (x 1, y I) және M 2 (x 2, y 2) нүктелері арқылы өтетін түзу у осіне параллель болады. Оның теңдеуі x = x 1 .

Егер y 2 \u003d y I болса, онда түзудің теңдеуін y \u003d y 1 деп жазуға болады, M 1 M 2 түзу x осіне параллель.

Кесінділердегі түзудің теңдеуі

Түзу Ox осін M 1 (a; 0) нүктесінде, ал Oy осі - M 2 (0; b) нүктесінде қиылсын. Теңдеу келесі формада болады:
анау.
. Бұл теңдеу деп аталады кесінділердегі түзудің теңдеуі, өйткені a және b сандары координаталық осьтерде түзу сызықтың қай сегменттерді кесіп тастайтынын көрсетеді.

Берілген векторға перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

Берілген нөлдік емес n = (A; B) векторына перпендикуляр Mo (x O; y o) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін табайық.

Түзудің еркін M(x; y) нүктесін алып, M 0 M (x - x 0; y - y o) векторын қарастырайық (1-суретті қараңыз). n және M o M векторлары перпендикуляр болғандықтан, олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең: яғни,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) теңдеу шақырылады берілген векторға перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі .

Түзуге перпендикуляр n = (A; B) векторы нормаль деп аталады осы сызықтың нормаль векторы .

(10.8) теңдеу келесі түрде қайта жазылуы мүмкін Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

мұндағы A және B қалыпты вектордың координаталары, C \u003d -Ax o - Vu o - бос мүше. Теңдеу (10.9) түзудің жалпы теңдеуі болып табылады(2-суретті қараңыз).

1-сурет 2-сурет

Түзудің канондық теңдеулері

,

Қайда
түзу өтетін нүктенің координаталары, және
- бағыт векторы.

Екінші ретті шеңбердің қисықтары

Шеңбер - бұл центр деп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтың барлық нүктелерінің жиыны.

Радиусы бар шеңбердің канондық теңдеуі Р нүктеге центрленген
:

Атап айтқанда, егер ставканың центрі координат басына сәйкес келсе, онда теңдеу келесідей болады:

Эллипс

Эллипс — жазықтықтағы нүктелер жиыны, олардың әрқайсысынан берілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтардың қосындысы Және фокустары деп аталатын , тұрақты шама болып табылады
, ошақтар арасындағы қашықтықтан үлкенірек
.

Фокустары Ох осінде жатқан және басы ошақтардың ортасында орналасқан эллипстің канондық теңдеуі келесідей болады.
Г деа негізгі жарты осьтің ұзындығы;б кіші жарты осьтің ұзындығы (2-сурет).

Эллипс параметрлері арасындағы байланыс
Және қатынасымен өрнектеледі:

(4)

Эллипс эксцентриситетфокустық қашықтықтың қатынасы деп аталады2снегізгі осіне2а:

Директорлар эллипс осы осьтен қашықтықта орналасқан у осіне параллель түзулер деп аталады. Директриса теңдеуі:
.

Эллипс теңдеуінде болса
, онда эллипстің ошақтары у осінде болады.

Сонымен,

Бұл мақала жазықтықтағы түзудің теңдеуі тақырыбын жалғастырады: түзудің жалпы теңдеуі сияқты теңдеудің түрін қарастырыңыз. Теореманы анықтап, оның дәлелін келтірейік; Түзудің толық емес жалпы теңдеуі дегеніміз не және жалпы теңдеуден түзудің басқа теңдеу түрлеріне қалай өту керектігін анықтайық. Біз бүкіл теорияны иллюстрациялармен және практикалық есептерді шешумен бекітеміз.

Жазықтықта O x y тік бұрышты координаталар жүйесі берілсін.

Теорема 1

A x + B y + C \u003d 0 түріндегі бірінші дәрежелі кез келген теңдеу, мұнда A, B, C кейбір нақты сандар (A және B бір уақытта нөлге тең емес) түзу сызықты анықтайды. жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесі. Өз кезегінде, жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесіндегі кез келген түзу A, B, C мәндерінің белгілі бір жиыны үшін A x + B y + C = 0 түріндегі теңдеумен анықталады.

Дәлелдеу

Бұл теорема екі нүктеден тұрады, олардың әрқайсысын дәлелдейміз.

1. A x + B y + C = 0 теңдеуі жазықтықтағы түзуді анықтайтынын дәлелдеейік.

Координаталары A x + B y + C = 0 теңдеуіне сәйкес келетін кейбір M 0 (x 0 , y 0) нүктесі болсын. Осылайша: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 теңдеулерінің сол және оң жақтарынан A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 теңдеуінің сол және оң жақтарын алып тастасақ, біз A сияқты жаңа теңдеу аламыз. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ол A x + B y + C = 0 тең.

Алынған A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 теңдеуі n → = (A, B) және M 0 M → = (x - x) векторларының перпендикулярлығының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады. 0, y - y 0 ) . Сонымен, М (х, у) нүктелер жиыны тікбұрышты координаталар жүйесінде n → = (А, В) векторының бағытына перпендикуляр түзуді анықтайды. Бұл олай емес деп болжауға болады, бірақ онда n → = (A, B) және M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторлары перпендикуляр болмайды, ал A (x -) теңдігі. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 дұрыс болмас еді.

Демек, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 теңдеуі жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесіндегі кейбір түзуді анықтайды, сондықтан A x + B y + C \u003d 0 эквивалентті теңдеуі анықтайды бірдей сызық. Осылайша біз теореманың бірінші бөлігін дәлелдедік.

1. Жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесіндегі кез келген түзуді бірінші дәрежелі A x + B y + C = 0 теңдеуімен беруге болатынын дәлелдейік.

Жазықтықта тікбұрышты координаталар жүйесінде а түзуін орнатайық; осы түзу өтетін M 0 (x 0 , y 0) нүктесі, сондай-ақ осы түзудің нормаль векторы n → = (A , B) .

Сондай-ақ кейбір M (x , y) нүктесі - түзудің өзгермелі нүктесі болсын. Бұл жағдайда n → = (A , B) және M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) векторлары өзара перпендикуляр, ал олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 теңдеуін қайта жазып, C: C = - A x 0 - B y 0 анықтап, соңында A x + B y + C = 0 теңдеуін алайық.

Сонымен, біз теореманың екінші бөлігін дәлелдедік, ал теореманы тұтастай дәлелдедік.

Анықтама 1

ұқсайтын теңдеу A x + B y + C = 0 - Бұл түзудің жалпы теңдеуітікбұрышты координаталар жүйесіндегі жазықтықтаO x y.

Дәлелденген теоремаға сүйене отырып, қозғалмайтын тікбұрышты координаталар жүйесінде жазықтықта берілген түзу мен оның жалпы теңдеуі бір-бірімен тығыз байланысты деген қорытынды жасауға болады. Басқаша айтқанда, бастапқы жол оның жалпы теңдеуіне сәйкес келеді; түзудің жалпы теңдеуі берілген түзуге сәйкес келеді.

Теореманы дәлелдеуден де х және у айнымалылары үшін А және В коэффициенттері түзудің нормаль векторының координаталары болып табылады, ол A x + B y + түзуінің жалпы теңдеуі арқылы беріледі. C = 0.

Түзудің жалпы теңдеуінің нақты мысалын қарастырайық.

Берілген тікбұрышты координаталар жүйесіндегі түзуге сәйкес келетін 2 х + 3 у - 2 = 0 теңдеуі берілсін. Бұл сызықтың нормаль векторы вектор болып табылады n → = (2 , 3) ​​. Сызбада берілген түзу сызықты сызыңыз.

Мынаны да дәлелдеуге болады: сызбада біз көріп отырған түзу 2 x + 3 y - 2 = 0 жалпы теңдеуімен анықталады, өйткені берілген түзудің барлық нүктелерінің координаталары осы теңдеуге сәйкес келеді.

Жалпы түзу теңдеуінің екі жағын нөлдік емес λ санына көбейту арқылы λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 теңдеуін алуға болады. Алынған теңдеу бастапқы жалпы теңдеумен тең, сондықтан ол жазықтықтағы бірдей түзуді сипаттайды.

Түзудің толық жалпы теңдеуі- A x + B y + C \u003d 0 сызығының осындай жалпы теңдеуі, онда A, B, C сандары нөлге тең емес. Әйтпесе, теңдеу болады толық емес.

Түзудің толық емес жалпы теңдеуінің барлық вариацияларын талдап көрейік.

1. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 болғанда, жалпы теңдеу B y + C \u003d 0 болады. Мұндай толық емес жалпы теңдеу O x осіне параллель болатын тікбұрышты координаталар жүйесіндегі O xy түзуін анықтайды, өйткені х-тің кез келген нақты мәні үшін у айнымалысы мәнді қабылдайды. - C B. Басқаша айтқанда, A x + B y + C \u003d 0 сызығының жалпы теңдеуі, A \u003d 0, B ≠ 0 болғанда, координаталары бірдей санға тең нүктелердің (x, y) локусын анықтайды. - C B.
2. Егер A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 болса, жалпы теңдеу у \u003d 0 болады. Мұндай толық емес теңдеу х осін анықтайды O x .
3. A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 болғанда, у осіне параллель түзуді анықтайтын толық емес жалпы A x + C \u003d 0 теңдеуін аламыз.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 болсын, сонда толық емес жалпы теңдеу x \u003d 0 түрінде болады және бұл O y координаталық сызығының теңдеуі.
5. Ақырында, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 болғанда, толық емес жалпы теңдеу A x + B y \u003d 0 түрінде болады. Ал бұл теңдеу координат басы арқылы өтетін түзуді сипаттайды. Шынында да, (0 , 0) сандар жұбы A x + B y = 0 теңдігіне сәйкес келеді, өйткені A · 0 + B · 0 = 0 .

Түзудің толық емес жалпы теңдеуінің жоғарыда аталған барлық түрлерін графикалық түрде көрсетейік.

1-мысал

Берілген түзу у осіне параллель және 2 7 , - 11 нүктесі арқылы өтетіні белгілі. Берілген түзудің жалпы теңдеуін жазу керек.

Шешім

У осіне параллель түзу A x + C \u003d 0 түріндегі теңдеумен берілген, онда A ≠ 0. Шарт сонымен қатар түзу өтетін нүктенің координаталарын көрсетеді және бұл нүктенің координаталары толық емес жалпы теңдеу A x + C = 0 шарттарына сәйкес келеді, яғни. теңдік дұрыс:

A 2 7 + C = 0

Одан А кейбір нөлдік емес мән беру арқылы С анықтауға болады, мысалы, A = 7 . Бұл жағдайда біз аламыз: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Біз A және C коэффициенттерінің екеуін де білеміз, оларды A x + C = 0 теңдеуіне қойып, сызықтың қажетті теңдеуін аламыз: 7 x - 2 = 0

Жауап: 7 x - 2 = 0

2-мысал

Сызбада түзу сызық көрсетілген, оның теңдеуін жазу керек.

Шешім

Берілген сызба мәселені шешу үшін бастапқы деректерді оңай алуға мүмкіндік береді. Сызбада берілген түзудің O x осіне параллель екенін және (0 , 3) ​​нүктесі арқылы өтетінін көреміз.

Абциссаға параллель болатын түзу В y + С = 0 толық емес жалпы теңдеуімен анықталады. В және С мәндерін табыңыз. (0, 3) нүктесінің координаталары, берілген түзу ол арқылы өтетіндіктен, B y + С = 0 түзуінің теңдеуін қанағаттандырады, онда теңдік дұрыс болады: В · 3 + С = 0. В мәнін нөлден басқа мәнге орнатайық. B \u003d 1 делік, бұл жағдайда B · 3 + C \u003d 0 теңдігінен біз C: C \u003d - 3 таба аламыз. B және C белгілі мәндерін пайдалана отырып, біз түзудің қажетті теңдеуін аламыз: y - 3 = 0.

Жауап: y - 3 = 0.

Жазықтықтың берілген нүктесі арқылы өтетін түзудің жалпы теңдеуі

Берілген түзу M 0 (x 0, y 0) нүктесі арқылы өтсін, онда оның координаталары түзудің жалпы теңдеуіне сәйкес келеді, яғни. теңдігі ақиқат: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Түзудің жалпы толық теңдеуінің сол және оң жақтарынан осы теңдеудің сол және оң жақтарын алып тастаңдар. Біз аламыз: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, бұл теңдеу бастапқы жалпыға тең, M 0 (x 0, y 0) нүктесінен өтеді және қалыпты вектор n → \u003d (A, B) .

Біз алған нәтиже түзудің қалыпты векторының белгілі координаталары және осы түзудің белгілі нүктесінің координаталары үшін түзудің жалпы теңдеуін жазуға мүмкіндік береді.

3-мысал

Түзу өтетін M 0 (- 3, 4) нүктесі және осы түзудің нормаль векторы берілген. n → = (1 , - 2) . Берілген түзудің теңдеуін жазу керек.

Шешім

Бастапқы шарттар теңдеуді құрастыру үшін қажетті деректерді алуға мүмкіндік береді: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Содан кейін:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Мәселені басқаша шешуге болар еді. Түзудің жалпы теңдеуі A x + B y + C = 0 түрінде болады. Берілген қалыпты вектор A және B коэффициенттерінің мәндерін алуға мүмкіндік береді, сонда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Енді түзу өтетін есеп шартымен берілген М 0 (- 3, 4) нүктесін пайдаланып, С мәнін табайық. Бұл нүктенің координаталары x - 2 · y + C = 0 теңдеуіне сәйкес келеді, яғни. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Демек, C = 11. Қажетті түзу теңдеуі мына пішінді алады: x - 2 · y + 11 = 0 .

Жауап: x - 2 y + 11 = 0 .

4-мысал

2 3 x - y - 1 2 = 0 түзуі және осы түзудің бойында жатқан М 0 нүктесі берілген. Бұл нүктенің абсциссасы ғана белгілі және ол - 3-ке тең. Берілген нүктенің ординатасын анықтау керек.

Шешім

М 0 нүктесінің координаталарының белгіленуін x 0 және у 0 етіп белгілейік. Бастапқы деректер x 0 \u003d - 3 екенін көрсетеді. Нүкте берілген түзуге жататындықтан, оның координаталары осы түзудің жалпы теңдеуіне сәйкес келеді. Сонда келесі теңдік ақиқат болады:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 анықтаңыз: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Жауап: - 5 2

Түзудің жалпы теңдеуінен түзудің басқа теңдеу түрлеріне және керісінше көшу

Біз білетіндей, жазықтықта бір түзудің теңдеуінің бірнеше түрі бар. Теңдеу түрін таңдау есептің шарттарына байланысты; оны шешуге ыңғайлысын таңдауға болады. Бұл жерде бір түрдегі теңдеуді басқа түрдегі теңдеуге түрлендіру дағдысы өте ыңғайлы.

Алдымен A x + B y + C = 0 түріндегі жалпы теңдеуден x - x 1 a x = y - y 1 a y канондық теңдеуіне өтуді қарастырайық.

Егер A ≠ 0 болса, онда В у мүшесін жалпы теңдеудің оң жағына көшіреміз. Сол жақта жақшаның ішінен А-ны шығарамыз. Нәтижесінде мынаны аламыз: A x + C A = - B y .

Бұл теңдікті пропорция түрінде жазуға болады: x + C A - B = y A .

Егер B ≠ 0 болса, жалпы теңдеудің сол жағында тек A x мүшесін қалдырамыз, қалғандарын оң жаққа ауыстырамыз, біз мынаны аламыз: A x \u003d - B y - C. Біз жақшалардан - B шығарамыз, содан кейін: A x \u003d - B y + C B.

Теңдікті пропорция түрінде қайта жазайық: x - B = y + C B A .

Әрине, алынған формулаларды жаттап алудың қажеті жоқ. Жалпы теңдеуден канондық теңдеуге көшу кезіндегі әрекеттер алгоритмін білу жеткілікті.

5-мысал

3 у - 4 = 0 жолының жалпы теңдеуі берілген. Оны канондық теңдеуге түрлендіру қажет.

Шешім

Бастапқы теңдеуді 3 у - 4 = 0 деп жазамыз. Әрі қарай, біз алгоритм бойынша әрекет етеміз: 0 x термині сол жақта қалады; ал оң жақта біз шығарамыз - жақшадан 3; мынаны аламыз: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Алынған теңдікті пропорция түрінде жазайық: x - 3 = y - 4 3 0 . Осылайша, біз канондық түрдің теңдеуін алдық.

Жауабы: х - 3 = у - 4 3 0.

Түзудің жалпы теңдеуін параметрлік теңдеулерге түрлендіру үшін алдымен канондық түрге көшу, содан кейін түзудің канондық теңдеуінен параметрлік теңдеулерге көшу жүргізіледі.

6-мысал

Түзу 2 x - 5 y - 1 = 0 теңдеуі арқылы берілген. Осы жолдың параметрлік теңдеулерін жазыңыз.

Шешім

Жалпы теңдеуден канондық теңдеуге көшейік:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Енді λ-ге тең алынған канондық теңдеудің екі бөлігін де алайық, сонда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Жауап:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Жалпы теңдеуді y = k x + b көлбеуі бар түзу теңдеуге түрлендіруге болады, бірақ тек B ≠ 0 болғанда ғана. Сол жақтағы ауысу үшін біз B y терминін қалдырамыз, қалғандары оңға ауыстырылады. Біз аламыз: B y = - A x - C . Алынған теңдіктің екі бөлігін де нөлден өзгеше B ге бөлейік: y = - A B x - C B .

7-мысал

Түзудің жалпы теңдеуі берілген: 2 x + 7 y = 0 . Ол теңдеуді көлбеу теңдеуге түрлендіру керек.

Шешім

Алгоритмге сәйкес қажетті әрекеттерді орындаймыз:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Жауап: y = - 2 7 x .

Түзу сызықтың жалпы теңдеуінен x a + y b \u003d 1 түріндегі сегменттердегі теңдеуді алу жеткілікті. Мұндай ауысуды жасау үшін С санын теңдіктің оң жағына көшіреміз, алынған теңдіктің екі бөлігін де - С-ге бөлеміз және ең соңында х және у айнымалылары үшін коэффициенттерді бөлгіштерге ауыстырамыз:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8-мысал

x - 7 y + 1 2 = 0 түзуінің жалпы теңдеуін кесінділердегі түзудің теңдеуіне түрлендіру қажет.

Шешім

1 2 санын оң жаққа жылжытайық: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Теңдеудің екі жағын -1/2-ге бөлеміз: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Жауап: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Жалпы, кері ауысу да оңай: теңдеулердің басқа түрінен жалпыға.

Кесінділердегі түзу теңдеуі мен көлбеу теңдеуді теңдеудің сол жағындағы барлық мүшелерді жинау арқылы оңай жалпыға түрлендіруге болады:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Канондық теңдеу келесі схема бойынша жалпыға түрлендіріледі:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Параметрліктен өту үшін алдымен канондыққа, содан кейін жалпыға көшу жүзеге асырылады:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9-мысал

x = - 1 + 2 · λ y = 4 түзуінің параметрлік теңдеулері берілген. Осы жолдың жалпы теңдеуін жазу керек.

Шешім

Параметрлік теңдеулерден канондық теңдеулерге көшуді жасайық:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Канондықтан жалпыға көшейік:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Жауап: y - 4 = 0

10-мысал

x 3 + y 1 2 = 1 кесінділеріндегі түзудің теңдеуі берілген. Теңдеудің жалпы түріне көшуді жүзеге асыру қажет.

Шешімі:

Теңдеуді қажетті түрде қайта жазайық:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Жауап: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Түзудің жалпы теңдеуін құру

Жоғарыда біз жалпы теңдеуді нормаль вектордың белгілі координаталарымен және түзу өтетін нүктенің координаталарымен жазуға болатынын айттық. Мұндай түзу A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 теңдеуі арқылы анықталады. Сол жерде біз сәйкес мысалды талдадық.

Енді күрделірек мысалдарды қарастырайық, онда алдымен нормаль векторының координаталарын анықтау қажет.

11-мысал

2 x - 3 y + 3 3 = 0 түзуіне параллель түзу берілген. Берілген түзу өтетін M 0 (4 , 1) нүктесі де белгілі. Берілген түзудің теңдеуін жазу керек.

Шешім

Бастапқы шарттар түзулердің параллель екенін айтады, ал теңдеуі жазылуы қажет түзудің қалыпты векторы ретінде n → \u003d (2, - 3) түзудің бағыттаушы векторын аламыз : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Енді біз түзудің жалпы теңдеуін құру үшін барлық қажетті мәліметтерді білеміз:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Жауап: 2 x - 3 y - 5 = 0.

12-мысал

Берілген түзу х - 2 3 = у + 4 5 түзуіне перпендикуляр координаталар басы арқылы өтеді. Берілген түзудің жалпы теңдеуін жазу керек.

Шешім

Берілген түзудің нормаль векторы x - 2 3 = y + 4 5 түзуінің бағыттаушы векторы болады.

Сонда n → = (3 , 5) . Түзу сызық координат басынан өтеді, яғни. О нүктесі арқылы (0, 0) . Берілген түзудің жалпы теңдеуін құрайық:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Жауап: 3 x + 5 y = 0 .

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Бұл мақала алынды берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуіжазықтықтағы тікбұрышты декарттық координаталар жүйесінде, сондай-ақ үш өлшемді кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеулері. Теорияны ұсынғаннан кейін осы түзудің екі нүктесінің координаталары белгілі болған кезде әртүрлі типтегі түзудің теңдеулерін құру қажет болатын типтік мысалдар мен есептердің шешімдері көрсетіледі.

Бетті шарлау.

Жазықтықта берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін алмас бұрын, кейбір фактілерді еске түсірейік.

Геометрия аксиомаларының бірі жазықтықтағы сәйкес келмейтін екі нүкте арқылы бір түзу сызық жүргізуге болатынын айтады. Басқаша айтқанда, жазықтықта екі нүктені көрсету арқылы біз осы екі нүкте арқылы өтетін түзуді бірегей түрде анықтаймыз (қажет болса, жазықтықтағы түзуді көрсету бөлімін қараңыз).

Oxy ұшақта бекітілсін. Бұл координаттар жүйесінде кез келген түзу жазықтықтағы түзудің кейбір теңдеуіне сәйкес келеді. Сызықтың бағыт векторы бір түзумен ажырамас байланысқан. Бұл білім екі берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құруға жеткілікті.

Есептің шартын тұжырымдаймыз: тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінде Окси сәйкес келмейтін екі нүкте және арқылы өтетін а түзуінің теңдеуін құрастырайық.

Бұл мәселенің ең қарапайым және әмбебап шешімін көрсетейік.

Түзудің канондық теңдеуі пішіннің жазықтығында екенін білеміз нүктесі арқылы өтетін және бағыт векторы бар Oxy тікбұрышты координаталар жүйесінде түзу сызықты анықтайды .

Берілген екі нүкте арқылы өтетін а түзуінің канондық теңдеуін жазайық.

Әлбетте, M 1 және M 2 нүктелері арқылы өтетін а түзуінің бағыттаушы векторы вектор, оның координаталары бар. (қажет болса, мақаланы қараңыз). Осылайша, бізде а түзуінің канондық теңдеуін жазу үшін барлық қажетті мәліметтер бар - оның бағыты векторының координаталары. және оның үстінде жатқан нүктенің координаталары (және ). ұқсайды (немесе ).

Екі нүкте арқылы өтетін жазықтықтағы түзудің параметрлік теңдеулерін де жаза аламыз. Олар ұқсайды немесе .

Мысал шешімді қарастырайық.

Мысал.

Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз. .

Шешім.

Координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуі келесідей болатынын білдік. .

Біздегі мәселенің жай-күйінен . Осы деректерді теңдеуге ауыстырыңыз . Біз алып жатырмыз .

Жауап:

.

Егер бізге түзудің канондық теңдеуі және екі берілген нүкте арқылы өтетін түзудің параметрлік теңдеулері емес, басқа түрдегі түзудің теңдеуі қажет болса, онда түзудің канондық теңдеуінен әрқашан бір шығуға болады. оған.

Мысал.

Тік бұрышты координаталар жүйесінде жазықтықтағы Окси екі нүкте арқылы өтетін түзудің жалпы теңдеуін құрыңыз.

Шешім.

Алдымен берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуін жазамыз. ұқсайды. Енді алынған теңдеуді қажетті түрге келтіреміз: .

Жауап:

.

Мұны жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуімен аяқтауға болады. Бірақ мен мұндай мәселені орта мектепте алгебра сабақтарында қалай шешкенімізді еске салғым келеді.

Мектепте біз тек пішіннің еңісі бар түзудің теңдеуін білдік. Теңдеу Oxy тікбұрышты координаталар жүйесінде жазықтықтағы нүктелер арқылы өтетін түзуді анықтайтын k және b санының мәнін табайық. (Егер x 1 \u003d x 2 болса, онда түзудің еңісі шексіз, ал M 1 M 2 түзу x-x 1 \u003d 0 түріндегі түзу сызығының жалпы толық емес теңдеуін анықтайды).

М 1 және М 2 нүктелері түзудің бойында жататындықтан, бұл нүктелердің координаталары түзудің теңдеуін, яғни теңдіктерін қанағаттандырады және дұрыс болады. Пішіннің теңдеулер жүйесін шешу белгісіз айнымалыларға қатысты k және b , табамыз немесе . Бұл k және b мәндері үшін екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі пішінді алады немесе .

Бұл формулаларды жаттау мағынасы жоқ, мысалдарды шешу кезінде көрсетілген әрекеттерді қайталау оңайырақ.

Мысал.

Еңісі бар түзудің теңдеуін жазыңыз, егер бұл түзу нүктелер арқылы өтетін болса.

Шешім.

Жалпы жағдайда еңісі бар түзудің теңдеуі . Теңдеуі екі нүкте арқылы өтетін түзуге сәйкес келетін k және b табыңыз.

M 1 және M 2 нүктелері түзудің бойында жатқандықтан, олардың координаталары түзудің теңдеуін қанағаттандырады, яғни теңдіктері ақиқат болады. Және . k және b мәндері теңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табылады (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Табылған мәндерді және теңдеуге ауыстыру қалады. Осылайша, екі нүкте арқылы өтетін түзудің қалаған теңдеуі .

Үлкен жұмыс, солай ма?

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуін жазу әлдеқайда оңай және оның пішіні бар. , және одан еңісі бар түзудің теңдеуіне өтіңіз: .

Жауап:

Үш өлшемді кеңістікте берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеулері.

Тік бұрышты координаталар жүйесі Oxyz үш өлшемді кеңістікте бекітіліп, екі сәйкес келмейтін нүкте берілсін. Және ол арқылы M 1 M 2 түзуі өтеді. Осы сызықтың теңдеулерін аламыз.

Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулері пішіннің кеңістігінде екенін білеміз және пішін кеңістігіндегі түзудің параметрлік теңдеулері Oxyz тікбұрышты координаталар жүйесінде координаталары бар нүкте арқылы өтетін және бағыт векторы бар түзуді анықтаңыз. .

M 1 M 2 түзуінің бағыттаушы векторы вектор болып табылады және бұл түзу нүкте арқылы өтеді (Және ), онда осы жолдың канондық теңдеулері (немесе ) және параметрлік теңдеулер - (немесе ).

.

Егер екі қиылысатын жазықтықтың теңдеулерін пайдаланып M 1 M 2 түзуін орнату қажет болса, онда алдымен екі нүкте арқылы өтетін түзудің канондық теңдеулерін құрастыру керек. Және , және осы теңдеулерден жазықтықтардың қажетті теңдеулерін алу.

Әдебиеттер тізімі.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 - 9 сыныптар: оқу орындарына арналған оқулық.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Орта мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық.
• Погорелов А.В., Геометрия. Білім беру мекемелерінің 7-11 сыныптарына арналған оқулық.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Жоғары математика. Бірінші том: Сызықтық алгебра және аналитикалық геометрия элементтері.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитикалық геометрия.

Евклид геометриясындағы түзудің қасиеттері.

Кез келген нүкте арқылы сызуға болатын шексіз көп сызықтар бар.

Кез келген екі сәйкес келмейтін нүкте арқылы бір ғана түзу болады.

Жазықтықтағы сәйкес келмейтін екі түзу не бір нүктеде қиылысады, не болады

параллель (алдыңғыдан кейін).

Үш өлшемді кеңістікте екі жолдың өзара орналасуының үш нұсқасы бар:

• сызықтар қиылысады;

• түзулер параллель;

• түзу сызықтар қиылысады.

Түзу түзу- бірінші ретті алгебралық қисық: декарттық координаталар жүйесінде түзу

жазықтықта бірінші дәрежелі теңдеу (сызықтық теңдеу) арқылы беріледі.

Түзудің жалпы теңдеуі.

Анықтама. Жазықтықтағы кез келген түзуді бірінші ретті теңдеумен беруге болады

Ah + Wu + C = 0,

және тұрақты А, Ббір уақытта нөлге тең емес. Бұл бірінші ретті теңдеу деп аталады жалпы

түзу теңдеуі.Тұрақтылардың мәндеріне байланысты А, БЖәне МЕНКелесі ерекше жағдайлар мүмкін:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- сызық координат нүктесі арқылы өтеді

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- оське параллель түзу О

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- оське параллель түзу OU

. B = C = 0, A ≠ 0- сызық осімен сәйкес келеді OU

. A = C = 0, B ≠ 0- сызық осімен сәйкес келеді О

Түзу теңдеуі кез келген берілгенге байланысты әртүрлі формада көрсетілуі мүмкін

бастапқы шарттар.

Түзудің нүкте және нормаль вектор бойынша теңдеуі.

Анықтама. Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінде құрамдас бөліктері (A, B) бар вектор

теңдеуімен берілген түзуге перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Мысал. Нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз A(1, 2)векторға перпендикуляр (3, -1).

Шешім. A \u003d 3 және B \u003d -1 кезінде түзудің теңдеуін құрайық: 3x - y + C \u003d 0. C коэффициентін табу үшін

алынған өрнекке берілген А нүктесінің координаталарын қоямыз: 3 - 2 + С = 0, демек

C = -1. Барлығы: қажетті теңдеу: 3x - y - 1 \u003d 0.

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

Кеңістікте екі нүкте берілсін M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Және M2 (x 2, y 2 , z 2),Содан кейін түзу теңдеуі,

осы нүктелерден өту:

Егер бөлгіштердің кез келгені нөлге тең болса, сәйкес алым нөлге тең болуы керек. Қосулы

жазықтықта жоғарыда жазылған түзудің теңдеуі жеңілдетілген:

Егер x 1 ≠ x 2Және x = x 1, Егер x 1 = x 2 .

Бөлшек = kшақырды көлбеу коэффициенті Түзу.

Мысал. А(1, 2) және В(3, 4) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім. Жоғарыдағы формуланы қолданып, аламыз:

Түзудің нүкте және көлбеу бойынша теңдеуі.

Егер түзудің жалпы теңдеуі Ah + Wu + C = 0пішінге келтіріңіз:

және белгілеу , содан кейін алынған теңдеу шақырылады

Көлбеулігі k болатын түзудің теңдеуі.

Нүктедегі түзу мен бағыттаушы вектордың теңдеуі.

Қалыпты вектор арқылы өтетін түзудің теңдеуін қарастыратын нүктеге ұқсастық бойынша тапсырманы енгізуге болады

нүкте арқылы өтетін түзу және түзудің бағыт векторы.

Анықтама. Әрбір нөлдік емес вектор (α 1 , α 2), оның құрамдастары шартты қанағаттандырады

Aα 1 + Bα 2 = 0шақырды түзудің бағыт векторы.

Ah + Wu + C = 0.

Мысал. Бағыты векторы (1, -1) және А(1, 2) нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз.

Шешім. Біз қалаған түзудің теңдеуін келесі түрде іздейміз: Ax + By + C = 0.Анықтамаға сәйкес,

коэффициенттер келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:

1 * A + (-1) * B = 0, яғни. A = B.

Сонда түзу теңдеуі келесідей болады: Ax + Ay + C = 0,немесе x + y + C / A = 0.

сағ x=1, y=2Біз алып жатырмыз C/ A = -3, яғни. қалаған теңдеу:

x + y - 3 = 0

Кесінділердегі түзудің теңдеуі.

Егер Ah + Wu + C = 0 C≠0 түзуінің жалпы теңдеуінде болса, онда -С-ге бөлгенде мынаны аламыз:

немесе , қайда

Коэффициенттердің геометриялық мағынасы мынада: а коэффициенті қиылысу нүктесінің координатасы болып табылады

осьпен түзу О,А б- түзудің осімен қиылысу нүктесінің координатасы OU.

Мысал. Түзудің жалпы теңдеуі берілген x - y + 1 = 0.Осы түзудің кесінділердегі теңдеуін табыңыз.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Түзу сызықтың қалыпты теңдеуі.

Егер теңдеудің екі жағы да болса Ah + Wu + C = 0санға бөлу , деп аталады

нормалаушы фактор, содан кейін аламыз

xcosφ + ysinφ - p = 0 -түзудің қалыпты теңдеуі.

Қалыптастырушы фактордың ± белгісін таңдау керек μ * С< 0.

Р- басынан түзуге түсірілген перпендикуляр ұзындығы,

А φ - осьтің оң бағытымен осы перпендикуляр түзетін бұрыш О.

Мысал. Түзудің жалпы теңдеуі берілген 12x - 5y - 65 = 0. Әртүрлі типтегі теңдеулерді жазу қажет

бұл түзу сызық.

Бұл түзудің кесінділердегі теңдеуі:

Бұл түзудің еңіспен теңдеуі: (5-ке бөлу)

Түзудің теңдеуі:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Айта кету керек, әрбір түзуді кесінділердегі теңдеумен көрсетуге болмайды, мысалы, түзулер,

осьтерге параллель немесе координат басынан өтетін.

Жазықтықтағы түзулер арасындағы бұрыш.

Анықтама. Егер екі жол берілсе y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, содан кейін осы сызықтар арасындағы сүйір бұрыш

ретінде анықталатын болады

Екі түзу параллель болса k 1 = k 2. Екі түзу перпендикуляр

Егер k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Тікелей Ah + Wu + C = 0Және A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициенттер пропорционал болғанда параллель болады

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Егер де С 1 \u003d λС, содан кейін сызықтар сәйкес келеді. Екі түзудің қиылысу нүктесінің координаталары

осы түзулердің теңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табылады.

Берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі берілген түзуге перпендикуляр.

Анықтама. Нүкте арқылы өтетін түзу M 1 (x 1, y 1)және түзуге перпендикуляр y = kx + b

теңдеу арқылы көрсетіледі:

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.

Теорема. Егер ұпай берілсе M(x 0, y 0),содан кейін сызыққа дейінгі қашықтық Ah + Wu + C = 0ретінде анықталады:

Дәлелдеу. Нүкте болсын M 1 (x 1, y 1)- нүктеден түсірілген перпендикуляр негізі Мберілген үшін

тікелей. Содан кейін нүктелер арасындағы қашықтық МЖәне М 1:

(1)

Координаттар x 1Және 1теңдеулер жүйесінің шешімі ретінде табуға болады:

Жүйенің екінші теңдеуі берілген М 0 нүктесі арқылы перпендикуляр өтетін түзудің теңдеуі.

берілген сызық. Жүйенің бірінші теңдеуін келесі түрге түрлендірсек:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

онда шешіп, біз аламыз:

Осы өрнектерді (1) теңдеуге қойып, табамыз:

Теорема дәлелденді.

Бұл мақалада жазықтықта орналасқан тікбұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуінің туындысы ашылады. Тік бұрышты координаталар жүйесінде берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін шығарамыз. Өтілген материалға байланысты бірнеше мысалдарды көрнекі түрде көрсетіп, шешеміз.

Берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін алудан бұрын кейбір фактілерге назар аудару қажет. Жазықтықтағы сәйкес келмейтін екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады деген аксиома бар. Басқаша айтқанда, жазықтықтың берілген екі нүктесі осы нүктелер арқылы өтетін түзу арқылы анықталады.

Егер жазықтық Oxy тікбұрышты координаталар жүйесімен берілсе, онда бейнеленген кез келген түзу жазықтықтағы түзудің теңдеуіне сәйкес болады. Түзудің бағыттаушы векторымен де байланыс бар.Бұл мәліметтер берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін құруға жеткілікті.

Ұқсас мәселені шешудің мысалын қарастырыңыз. Декарттық координаталар жүйесінде орналасқан M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) сәйкес келмейтін екі нүкте арқылы өтетін а түзуінің теңдеуін құру керек.

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y түріндегі жазықтықтағы түзудің канондық теңдеуінде тікбұрышты координаталар жүйесі O x y онымен координаталары M нүктеде қиылысатын түзумен көрсетілген. 1 (x 1, y 1) бағыттаушы векторымен a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін а түзуінің канондық теңдеуін құру қажет.

a түзуінің координаталары (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → бағыттаушы векторы бар, өйткені ол M 1 және M 2 нүктелерін қиып өтеді. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) бағыт векторының координаталары және оларда жатқан M 1 нүктелерінің координаталары бар канондық теңдеуді түрлендіру үшін қажетті мәліметтерді алдық. (x 1, y 1) және M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 немесе x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 түріндегі теңдеуді аламыз.

Төмендегі суретті қарастырыңыз.

Есептеулерден кейін M 1 (x 1, y 1) және M 2 (x 2, y 2) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін жазықтықтағы түзудің параметрлік теңдеулерін жазамыз. Біз x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ немесе x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ түріндегі теңдеуді аламыз. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Бірнеше мысалды толығырақ қарастырайық.

1-мысал

Координаталары М 1 - 5 , 2 3 , М 2 1 , - 1 6 берілген 2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңдар.

Шешім

Координаталары x 1 , y 1 және x 2 , y 2 болатын екі нүктеде қиылысатын түзудің канондық теңдеуі x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 түрін алады. Мәселенің шарты бойынша бізде x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 теңдеуіндегі сандық мәндерді ауыстыру қажет. Осы жерден канондық теңдеу x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 түрінде болатынын көреміз.

Жауабы: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Егер теңдеудің басқа түрімен мәселені шешу қажет болса, онда сіз канондық теңдеулерге баруға болады, өйткені одан кез келген басқасына келу оңайырақ.

2-мысал

O xy координаталар жүйесіндегі M 1 (1, 1) және M 2 (4, 2) координаталары бар нүктелер арқылы өтетін түзудің жалпы теңдеуін құрастырыңыз.

Шешім

Алдымен берілген екі нүкте арқылы өтетін берілген түзудің канондық теңдеуін жазу керек. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 түріндегі теңдеуді аламыз.

Канондық теңдеуді қажетті пішінге келтіреміз, содан кейін аламыз:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Жауап: x - 3 y + 2 = 0 .

Мұндай тапсырмалардың мысалдары мектеп оқулықтарында алгебра сабақтарында қарастырылды. Мектеп тапсырмалары y \u003d k x + b түріндегі көлбеу коэффициенті бар түзудің теңдеуі белгілі болуымен ерекшеленді. Егер y \u003d k x + b теңдеуі O x y жүйесіндегі M 1 (x 1, y 1) және M нүктелері арқылы өтетін сызықты анықтайтын k көлбеуінің мәнін және b санын табу қажет болса. 2 (x 2, y 2) , мұндағы x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 болғанда , онда еңіс шексіздік мәнін қабылдайды, ал M 1 M 2 түзу x - x 1 = 0 түріндегі жалпы толық емес теңдеумен анықталады. .

Өйткені нүктелер М 1Және М 2түзу сызықта болса, онда олардың координаталары y 1 = k x 1 + b және y 2 = k x 2 + b теңдеуін қанағаттандырады. k және b-ке қатысты y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b теңдеулер жүйесін шешу керек.

Ол үшін k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 немесе k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x мәнін табамыз. 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Мұндай k және b мәндерімен берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі у = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - түрінде болады. x 1 x 1 немесе y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Мұндай көп формулаларды бірден жаттау жұмыс істемейді. Ол үшін есептерді шығаруда қайталау санын көбейту қажет.

3-мысал

Координаталары M 2 (2, 1) және y = k x + b нүктелері арқылы өтетін еңісі бар түзудің теңдеуін жазыңыз.

Шешім

Мәселені шешу үшін біз y \u003d k x + b пішіні бар көлбеу формуланы қолданамыз. k және b коэффициенттері бұл теңдеу M 1 (- 7 , - 5) және M 2 (2 , 1) координаталары бар екі нүкте арқылы өтетін түзуге сәйкес келетіндей мән алуы керек.

ұпай М 1Және М 2түзуде орналасқан, онда олардың координаталары у = k x + b теңдеуін дұрыс теңдікке айналдыруы керек. Осыдан біз мынаны аламыз - 5 = k · (- 7) + b және 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b жүйесіне теңдеуді біріктіріп, шешейік.

Ауыстыру кезінде біз оны аламыз

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Енді k = 2 3 және b = - 1 3 мәндері y = k x + b теңдеуіне ауыстырылды. Берілген нүктелерден өтетін қажетті теңдеу у = 2 3 x - 1 3 түріндегі теңдеу болатынын аламыз.

Шешімнің бұл жолы көп уақыттың шығынын алдын ала анықтайды. Тапсырманы сөзбе-сөз екі қадаммен шешудің жолы бар.

M 2 (2, 1) және M 1 (- 7, - 5) арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуін x - (- 7) 2 - (- 7) = у - (- 5) түрінде жазамыз. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Енді көлбеу теңдеуіне көшейік. Біз мынаны аламыз: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Жауабы: у = 2 3 x - 1 3 .

Егер үш өлшемді кеңістікте координаталары M 1 (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2) берілген екі сәйкес келмейтін нүктесі бар O x y z тікбұрышты координаталар жүйесі болса, олар арқылы 1 M 2 өтетін M түзу сызығын, осы түзудің теңдеуін алу керек.

Бізде x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z түріндегі канондық теңдеулер және x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + түріндегі параметрлік теңдеулер бар. a z λ бағыттаушы векторы a → = (a x, a y, a z) болатын координаталары (x 1, y 1, z 1) бар нүктелер арқылы өтетін O x y z координаттар жүйесінде түзуді орнатуға қабілетті.

Тікелей M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) түріндегі бағыт векторы бар, мұндағы түзу M 1 (x 1 , y 1 , z) нүктесі арқылы өтеді. 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2), демек, канондық теңдеу x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z түрінде болуы мүмкін. 2 - z 1 немесе x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, өз кезегінде, параметрлік x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ немесе x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Кеңістікте берілген 2 нүктені және түзу теңдеуін көрсететін суретті қарастырайық.

4-мысал

Координаталары M 1 (2, - 3, 0) және M 2 (1, - 3, - 5) берілген екі нүкте арқылы өтетін үш өлшемді кеңістіктің O x y z тік бұрышты координаталар жүйесінде анықталған түзудің теңдеуін жазыңыз. ).

Шешім

Бізге канондық теңдеуді табу керек. Әңгіме үш өлшемді кеңістік туралы болғандықтан, бұл түзу берілген нүктелер арқылы өткенде, қалаған канондық теңдеу x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = түрінде болатынын білдіреді. z - z 1 z 2 - z 1 .

Шарт бойынша бізде x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 болады. Бұдан шығатыны, қажетті теңдеулерді былай жазуға болады:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Жауабы: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз