Лимиттің анықтамасын жазыңыз. Манекендерге арналған математикадағы шектеулер: түсіндіру, теория, шешімдер мысалдары

(x) x нүктесінде 0 :
,
Егер
1) х нүктесінің осындай тесілген маңайы бар 0
2) кез келген реттілік үшін (xn), х-ке жинақтау 0 :
, оның элементтері көршілестікке жатады,
кейінгі реттілік (f(xn))келесіге біріктіріледі:
.

Мұнда x 0 және a ақырлы сандар немесе шексіздіктегі нүктелер болуы мүмкін. Көршілес екі жақты немесе бір жақты болуы мүмкін.

.

Функция шегінің екінші анықтамасы (Коши бойынша)

a саны f функциясының шегі деп аталады (x) x нүктесінде 0 :
,
Егер
1) х нүктесінің осындай тесілген маңайы бар 0 , онда функция анықталған;
2) кез келген оң ε саны үшін > 0 мұндай δ ε саны бар > 0 , ε-ға байланысты, тесілген δ ε-ке жататын барлық х үшін - x нүктесінің маңайы. 0 :
,
функция мәндері f (x)а нүктесінің ε-көршілігіне жатады:
.

Ұпайлар x 0 және a ақырлы сандар немесе шексіздіктегі нүктелер болуы мүмкін. Көршілес екі жақты немесе бір жақты болуы мүмкін.

Бұл анықтаманы болмыстың және әмбебаптың логикалық белгілерін пайдаланып жазайық:
.

Бұл анықтамада ұштары бірдей қашықтықта орналасқан аудандар қолданылады. Баламалы анықтаманы нүктелердің ерікті аудандарының көмегімен беруге болады.

Ерікті аудандарды қолдану арқылы анықтау
a саны f функциясының шегі деп аталады (x) x нүктесінде 0 :
,
Егер
1) х нүктесінің осындай тесілген маңайы бар 0 , онда функция анықталған;
2) кез келген U ауданы үшін (а)а нүктесінің х нүктесінің осындай тесілген маңайы бар 0 х нүктесінің тесілген төңірегіне жататын барлық х үшін 0 :
,
функция мәндері f (x)У төңірегіне жатады (а)а нүктелері:
.

Болмыс пен әмбебаптылықтың логикалық нышандарын пайдалана отырып, бұл анықтаманы келесідей жазуға болады:
.

Бір жақты және екі жақты шектеулер

Жоғарыда келтірілген анықтамалар әмбебап болып табылады, өйткені олар кез келген көршілестік түріне қолданылады. Ақырғы нүктенің сол жақты тесілген маңайы ретінде пайдалансақ, сол жақты шектің анықтамасын аламыз. Шексіздіктегі нүктенің маңайын көршілестік ретінде қолдансақ, шексіздіктегі шектің анықтамасын аламыз.

Гейне шегін анықтау үшін бұл келесіге жақындайтын ерікті реттілікке қосымша шектеу қойылады: оның элементтері нүктенің сәйкес тесілген маңайына жатуы керек.

Коши шегін анықтау үшін әрбір жағдайда нүктенің маңайының сәйкес анықтамаларын пайдалана отырып, өрнектерді және теңсіздіктерге түрлендіру қажет.
"Нүктенің көршілестігі" бөлімін қараңыз.

Бұл а нүктесін анықтау функцияның шегі емес

Көбінесе а нүктесі функцияның шегі емес деген шартты пайдалану қажет болады. Жоғарыдағы анықтамаларға терістеулерді құрастырайық. Оларда f функциясы деп есептейміз (x)х нүктесінің кейбір тесілген төңірегінде анықталады 0 . a және x нүктелері 0 ақырлы сандар немесе шексіз қашықтықта болуы мүмкін. Төменде айтылғандардың барлығы екіжақты және біржақты шектеулерге қолданылады.

Гейне бойынша.
саны а емесфункциясының шегі f (x) x нүктесінде 0 : ,
егер мұндай реттілік болса (xn), х-ке жинақтау 0 :
,
элементтері көршілестікке жататын,
реті қандай (f(xn))келесіге жақындамайды:
.
.

Коши бойынша.
саны а емесфункциясының шегі f (x) x нүктесінде 0 :
,
егер мұндай оң ε саны болса > 0 , сондықтан кез келген оң δ саны үшін > 0 , x нүктесінің тесілген δ-төңірегіне жататын x бар 0 :
,
Бұл f функциясының мәні (x)а нүктесінің ε-көршілігіне жатпайды:
.
.

Әрине, егер а нүктесі функцияның шегі болмаса, бұл оның шегі болуы мүмкін емес дегенді білдірмейді. Шектеу болуы мүмкін, бірақ ол а-ға тең емес. Сондай-ақ функция нүктенің тесілген төңірегінде анықталған болуы мүмкін, бірақ шегі жоқ.

Функция f(x) = sin(1/x)х → 0 сияқты шегі жоқ.

Мысалы, функция кезінде анықталған, бірақ шектеу жоқ. Оны дәлелдеу үшін тізбекті алайық. Ол бір нүктеге жақындайды 0 : . Өйткені, содан кейін.
Тізімді алайық. Ол сондай-ақ нүктеге жақындайды 0 : . Бірақ содан бері.
Сонда шек кез келген а санына тең бола алмайды. Шынында да, үшін , оның бар тізбегі бар. Демек, кез келген нөлдік емес сан шек емес. Бірақ бұл да шектеу емес, өйткені оның реттілігі бар.

Шектің Гейне және Коши анықтамаларының эквиваленттілігі

Теорема
Функция шегінің Гейне және Коши анықтамалары эквивалентті.

Дәлелдеу

Дәлелдеуде функция нүктенің кейбір тесілген маңайында (ақырлы немесе шексіздікте) анықталған деп есептейміз. a нүктесі ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін.

Гейне дәлелі ⇒ Коши дәлелі

Бірінші анықтамаға сәйкес (Гейне бойынша) функцияның нүктесінде а шегі болсын. Яғни, нүктенің маңайына жататын және шегі бар кез келген реттілік үшін
(1) ,
реттілік шегі мынаған тең:
(2) .

Функцияның нүктеде Коши шегі бар екенін көрсетейік. Яғни, әркім үшін бәріне бірдей нәрсе бар.

Керісінше делік. (1) және (2) шарттары орындалсын, бірақ функцияның Коши шегі жоқ. Яғни, кез келген адам үшін бар нәрсе бар, сондықтан
.

Алайық, мұндағы n – натурал сан. Сонда бар, және
.
Осылайша біз -ге жақындайтын тізбекті құрдық, бірақ реттілік шегі a -ға тең емес. Бұл теореманың шарттарына қайшы келеді.

Бірінші бөлігі дәлелденді.

Коши дәлелі ⇒ Гейне дәлелі

Функцияның екінші анықтамасы бойынша (Коши бойынша) нүктесінде a шегі болсын. Яғни, кез келген адам үшін бұл бар
(3) барлығына .

Функцияның Гейне бойынша нүктесінде a шегі бар екенін көрсетейік.
Ерікті санды алайық. Коши анықтамасы бойынша сан бар, сондықтан (3) орындалады.

Тесілген маңайға жататын және -ге жақындайтын ерікті тізбекті алайық. Конвергентті тізбектің анықтамасы бойынша кез келген адам үшін бұл бар
кезінде.
Содан кейін (3) дегеннен келесі шығады
кезінде.
Өйткені бұл кез келген адамға қатысты
.

Теорема дәлелденді.

Қолданылған әдебиет:
Л.Д. Кудрявцев. Математикалық талдау курсы. 1-том. Мәскеу, 2003 ж.

Тұрақты сан Ашақырды шектеу тізбектер(x n ), егер кез келген ерікті аз оң сан үшінε > 0 барлық мәндері бар N саны бар x n, ол үшін n>N, теңсіздікті қанағаттандырыңыз

|x n - a|< ε. (6.1)

Оны келесідей жазыңыз: немесе x n →а.

(6.1) теңсіздік қос теңсіздікке тең

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ұпай дегенді білдіреді x n, кейбір n>N санынан бастап, интервалдың ішінде жатыңыз (a-ε, a+ ε ), яғни. кез келген кішкентайға түседіε - нүктенің көршілігі А.

Шегі бар тізбек деп аталады конвергентті, әйтпесе - дивергентті.

Функция шегі ұғымы реттілік шегі ұғымының жалпылауы болып табылады, өйткені реттілік шегі бүтін аргументтің x n = f(n) функциясының шегі ретінде қарастырылуы мүмкін. n.

f(x) функциясы берілсін а - шекті нүктеосы функцияның анықталу облысы D(f), яғни. кез келген көршілес D(f) жиынының нүктелері бар мұндай нүкте а. Нүкте а D(f) жиынына жатуы да, болмауы да мүмкін.

Анықтама 1.Тұрақты А саны деп аталады шектеу функциялары f(x) сағ x→a, егер аргумент мәндерінің кез келген тізбегі үшін (x n ) бейім А, сәйкес тізбектер (f(x n)) бірдей А шегіне ие.

Бұл анықтама деп аталады Гейне бойынша функцияның шегін анықтау арқылы,немесе « реттілік тілінде”.

Анықтама 2. Тұрақты А саны деп аталады шектеу функциялары f(x) сағ x→a, егер, ерікті аз оң ε санын көрсету арқылы, мұндай δ табуға болады>0 (ε байланысты), бұл барлығына арналған x, жатуε-санның аудандары А, яғни. Үшін x, теңсіздігін қанағаттандыру
0 < х-а< ε , f(x) функциясының мәндері орналасадыε-А санының көршілігі, яғни.|f(x)-A|< ε.

Бұл анықтама деп аталады Коши бойынша функцияның шегін анықтау арқылы,немесе «ε - δ тілінде “.

1 және 2 анықтамалары баламалы. Егер f(x) функциясы х →а бар шектеу, А-ға тең, бұл түрінде жазылады

. (6.3)

Кез келген жуықтау әдісі үшін (f(x n)) реттілік шектеусіз артқан (немесе азайған) жағдайда xсіздің шегіңізге дейін А, онда f(x) функциясы бар екенін айтамыз шексіз шек,және оны келесі түрде жазыңыз:

Шегі нөлге тең айнымалы (яғни реттілік немесе функция) шақырылады шексіз кішкентай.

Шегі шексіздікке тең айнымалы деп аталады шексіз үлкен.

Тәжірибеде шекті табу үшін келесі теоремалар қолданылады.

1-теорема . Әрбір шектеу болса

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Түсініктеме. 0/0 сияқты өрнектер, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - анық емес, мысалы, екі шексіз аз немесе шексіз үлкен шамалардың қатынасы және мұндай түрдегі шекті табу «белгісіздіктерді ашу» деп аталады.

2-теорема. (6.7)

анау. тұрақты көрсеткіші бар қуатқа негізделген шекке баруға болады, атап айтқанда, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

Қайда e » 2.7 – натурал логарифм негізі. (6.10) және (6.11) формулалары бірінші деп аталады тамаша шекжәне екінші керемет шегі.

(6.11) формуланың салдары тәжірибеде де қолданылады:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

атап айтқанда, шектеу,

Егер x → a және бір уақытта x > a, содан кейін x деп жазыңыз→a + 0. Егер, атап айтқанда, a = 0 болса, 0+0 символының орнына +0 деп жазыңыз. Сол сияқты, егер x→a және бір уақытта x a-0. Сандар және сәйкес шақырылады оң шекЖәне сол жақ шегі функциялары f(x) нүктесінде А. f(x) функциясының х→ сияқты шегі болуы үшінa қажет және жеткілікті, сондықтан . f(x) функциясы шақырылады үздіксіз нүктесінде x 0 шектеу болса

. (6.15)

(6.15) шартты келесідей қайта жазуға болады:

,

яғни функция таңбасының астындағы шекке өту, егер ол берілген нүктеде үздіксіз болса, мүмкін болады.

Егер (6.15) теңдік бұзылса, оны айтамыз сағ x = x o функциясы f(x) Онда бар алшақтық y = 1/x функциясын қарастырайық. Бұл функцияның анықталу облысы жиын болып табылады Р, x = 0 қоспағанда. x = 0 нүктесі D(f) жиынының шекті нүктесі болып табылады, өйткені оның кез келген маңайында, яғни. 0 нүктесін қамтитын кез келген ашық интервалда D(f) нүктелері бар, бірақ оның өзі бұл жиынға жатпайды. f(x o)= f(0) мәні анықталмаған, сондықтан x o = 0 нүктесінде функцияда үзіліс болады.

f(x) функциясы шақырылады нүктесінде оң жақта үздіксіз x o егер шектеу болса

,

Және нүктесінде сол жақта үздіксіз x o, егер шектеу болса

.

Функцияның нүктедегі үздіксіздігі xoоңға да, солға да осы нүктедегі оның үздіксіздігіне тең.

Функция нүктеде үздіксіз болу үшін xo, мысалы, оң жақта, біріншіден, шекті шек болуы керек, екіншіден, бұл шек f(x o) тең болуы керек. Демек, егер осы екі шарттың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда функцияның үзілуі болады.

1. Егер шек бар болса және f(x o) тең болмаса, онда олар осылай дейді функциясы f(x) нүктесінде x o бар бірінші түрдегі жырту,немесе секіру.

2. Егер шектеу болса+∞ немесе -∞ немесе жоқ болса, онда олар бұл туралы айтады нүкте xo функцияда үзіліс бар екінші түрі.

Мысалы, y = x x at x функциясы→ +0 шегі +∞-ке тең, бұл x=0 нүктесінде екінші түрдегі үзілістің бар екенін білдіреді. y = E(x) функциясы (бүтін бөлігі x) бүтін абсциссалары бар нүктелерде бірінші түрдегі үзілістер немесе секірулер бар.

Интервалдың әрбір нүктесінде үздіксіз болатын функция шақырылады үздіксіз V . Үздіксіз функция тұтас қисық сызықпен берілген.

Кейбір шаманың үздіксіз өсуімен байланысты көптеген мәселелер екінші керемет шекке әкеледі. Мұндай міндеттерге, мысалы: күрделі пайыз заңы бойынша кен орындарының өсуі, ел халқының өсуі, радиоактивті заттардың ыдырауы, бактериялардың көбеюі және т.б.

қарастырайық Я.И.Перельманның мысалы, санға түсінік беру eкүрделі пайыз мәселесінде. Сан eшегі бар . Жинақ кассаларында пайыздық ақша жыл сайын негізгі капиталға қосылады. Егер қосылу жиі жасалса, онда капитал тез өседі, өйткені қызығушылықты қалыптастыруға көбірек сома қатысады. Таза теориялық, өте жеңілдетілген мысалды алайық. Банкке 100 деньер салынсын. бірлік жылдық 100% негізінде. Егер пайыздық ақша негізгі капиталға бір жылдан кейін ғана қосылса, онда осы кезеңге қарай 100 ден. бірлік 200 ақша бірлігіне айналады. Енді 100 теңізші қандай болатынын көрейік. бірлігі, егер пайыздық ақша негізгі капиталға алты ай сайын қосылса. Алты айдан кейін 100 ден. бірлік 100-ге дейін өседі× 1,5 = 150, ал тағы алты айдан кейін - 150-де× 1,5 = 225 (ден. бірлік). Егер қосылу әр 1/3 жыл сайын жасалса, бір жылдан кейін 100 ден. бірлік 100-ге айналады× (1 +1/3) 3 дюйм 237 (ден. бірлік). Біз пайыздық ақшаны қосу шарттарын 0,1 жылға, 0,01 жылға, 0,001 жылға және т.б. Содан кейін 100 ден. бірлік бір жылдан кейін келесідей болады:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. бірлік),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. бірлік),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. бірлік).

Пайыздарды қосу шарттарын шектеусіз қысқарту кезінде жинақталған капитал шексіз өспейді, бірақ шамамен 271-ге тең белгілі бір шекке жақындайды. Жылдық 100% депозитке салынған капитал, тіпті есептелген пайыз болса да, 2,71 еседен аспайды. лимиті болғандықтан астанаға секунд сайын қосылып отырды

3.1-мысал.Сандар тізбегінің шегінің анықтамасын пайдаланып, x n =(n-1)/n тізбегінің 1-ге тең шегі бар екенін дәлелдеңіз.

Шешім.Біз мұны қандай жағдай болмасын, дәлелдеуіміз керекε > 0, нені алсақ та, ол үшін барлық n N үшін теңсіздік орындалатын N натурал саны бар.|x n -1|< ε.

Кез келген e > 0 алайық. Өйткені ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, онда N табу үшін 1/n теңсіздігін шешу жеткілікті.< e. Демек, n>1/ e сондықтан N 1/ санының бүтін бөлігі ретінде қабылдануы мүмкін. e , N = E(1/ e ). Сол арқылы біз шек екенін дәлелдедік.

3-мысал.2 . Ортақ мүше арқылы берілген тізбектің шегін табыңыз .

Шешім.Қосындылар теоремасының шегін қолданып, әрбір мүшенің шегін табайық. Қашан n→ ∞ әрбір мүшенің алымы мен бөлгіші шексіздікке ұмтылады және біз бөлгіштер шегі теоремасын тікелей қолдана алмаймыз. Сондықтан алдымен біз түрлендіреміз x n, бірінші мүшесінің алымы мен бөлімін бөлу n 2, ал екіншісі қосулы n. Содан кейін бөліндінің шегін және қосынды теоремасының шегін қолданып, біз мынаны табамыз:

.

3.3-мысал. . Табыңыз.

Шешім. .

Мұнда біз дәреженің шегі теоремасын қолдандық: дәреже шегі базаның шегінің дәрежесіне тең.

3-мысал.4 . табу ( ).

Шешім.Айырма шегі теоремасын қолдану мүмкін емес, өйткені бізде форманың белгісіздігі бар ∞-∞ . Жалпы термин формуласын түрлендірейік:

.

3-мысал.5 . f(x)=2 1/x функциясы берілген. Шектеу жоқ екенін дәлелдеңіз.

Шешім.Функцияның реттілік арқылы шегінің 1 анықтамасын қолданайық. 0-ге жақындайтын ( x n ) тізбегін алайық, яғни. f(x n)= мәні әртүрлі тізбектер үшін әртүрлі әрекет ететінін көрсетейік. x n = 1/n болсын. Әлбетте, содан кейін шегі Енді келесідей таңдайық x nжалпы мүшесі x n = -1/n, сонымен қатар нөлге ұмтылатын қатар. Сондықтан шектеу жоқ.

3-мысал.6 . Шектеу жоқ екенін дәлелдеңіз.

Шешім.x 1 , x 2 ,..., x n ,... ол үшін тізбек болсын
. (f(x n)) = (sin x n) тізбегі әртүрлі x n → ∞ үшін қалай әрекет етеді

Егер x n = p n болса, онда sin x n = sin p барлығы үшін n = 0 nжәне шегі болса
x n =2 p n+ p /2, онда sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = барлығы үшін 1 nсондықтан шектеу. Сондықтан ол жоқ.

Онлайнда шектеулерді есептеуге арналған виджет

Жоғарғы терезеде sin(x)/x орнына шегін тапқыңыз келетін функцияны енгізіңіз. Төменгі терезеде x тенденциясы бар санды енгізіңіз және Есептеу түймесін басыңыз, қажетті шекті алыңыз. Ал егер нәтиже терезесінде жоғарғы оң жақ бұрыштағы Қадамдарды көрсету түймесін бассаңыз, толық шешімді аласыз.

Функцияларды енгізу ережелері: sqrt(x) - квадрат түбір, cbrt(x) - текше түбір, exp(x) - көрсеткіш, ln(x) - натурал логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, тан (х) - тангенс, cot(x) - котангенс, арксин(х) - арксинус, arccos(x) - арккосин, арктан(х) - арктангенс. Белгілері: * көбейту, / бөлу, ^ дәреже, орнына шексіздікШексіздік. Мысал: функция sqrt(tan(x/2)) ретінде енгізіледі.

Анықтама 1. рұқсат етіңіз Е- шексіз сан. Кез келген маңайда жиынның нүктелері болса Е, нүктесінен басқа А, Бұл Ашақырды түпкілікті жиынның нүктесі Е.

Анықтама 2. (Генрих Гейне (1821-1881)). Функция болсын
жиынтықта анықталады XЖәне Ашақырды шектеу функциялары
нүктесінде (немесе қашан
, егер аргумент мәндерінің кез келген тізбегі үшін
, жақындау , функция мәндерінің сәйкес тізбегі санға жинақталады А. Олар жазады:
.

Мысалдар. 1) Функция
тең шегі бар бірге, сандар түзуінің кез келген нүктесінде.

Шынында да, кез келген нүкте үшін және аргумент мәндерінің кез келген тізбегі
, жақындау және басқа сандардан тұрады , функция мәндерінің сәйкес тізбегі пішінге ие
, және біз бұл реттілік келесіге жақындайтынын білеміз бірге. Сондықтан
.

2) Функция үшін

.

Бұл анық, өйткені егер
, содан кейін
.

3) Дирихле функциясы
кез келген уақытта шектеу жоқ.

Расында, рұқсат етіңіз
Және
, және барлығы – рационал сандар. Содан кейін
барлығына n, Сондықтан
. Егер
болды онда иррационал сандар
барлығына n, Сондықтан
. Демек, 2-анықтаманың шарттары орындалмағанын көреміз
жоқ.

4)
.

Шынында да, ерікті тізбекті алайық
, жақындау

саны 2. Содан кейін . Q.E.D.

Анықтама 3. (Коши (1789-1857)). Функция болсын
жиынтықта анықталады XЖәне осы жиынның шекті нүктесі болып табылады. Сан Ашақырды шектеу функциялары
нүктесінде (немесе қашан
, егер бар болса
мында болады
, осылайша аргументтің барлық мәндері үшін X, теңсіздігін қанағаттандыру

,

теңсіздік ақиқат

.

Олар жазады:
.

Коши анықтамасын аудандар арқылы да беруге болады, егер мынаны ескерсек, a:

функцияға рұқсат етіңіз
жиынтықта анықталады XЖәне осы жиынның шекті нүктесі болып табылады. Сан Ашегі деп аталады функциялары
нүктесінде , егер бар болса - нүктенің көршілігі А
тесілгені бар - нүктенің маңы
, осындай
.

Бұл анықтаманы сызба арқылы көрсету пайдалы.

Мысал 5.
.

Шынымен, алайық
кездейсоқ және табыңыз
, барлығына бірдей X, теңсіздігін қанағаттандыру
теңсіздік сақталады
. Соңғы теңсіздік теңсіздікке тең
, сондықтан алу жеткілікті екенін көреміз
. Мәлімдеме дәлелденді.

Жәрмеңке

Теорема 1. Гейне және Коши бойынша функция шегінің анықтамалары эквивалентті.

Дәлелдеу. 1) рұқсат етіңіз
Коши бойынша. Гейне бойынша сол санның да шек екенін дәлелдейік.

Алайық
ерікті түрде. 3-анықтамаға сәйкес бар
, барлығына бірдей
теңсіздік сақталады
. Болсын
– осындай ерікті реттілік
сағ
. Содан кейін нөмір бар Нбарлығы үшін солай
теңсіздік сақталады
, Сондықтан
барлығына
, яғни.

Гейне бойынша.

2) Енді рұқсат етіңіз
Гейне бойынша. Соны дәлелдеп көрейік
және Коши бойынша.

Керісінше делік, яғни. Не
Коши бойынша. Сонда бар
кез келген адам үшін солай
мында болады
,
Және
. Тізбекті қарастырыңыз
. Белгіленгендер үшін
және кез келген nбар

Және
. Бұл дегеніміз
, Дегенмен
, яғни. саны Ашек емес
нүктесінде Гейне бойынша. Біз мәлімдемені дәлелдейтін қарама-қайшылықты алдық. Теорема дәлелденді.

Теорема 2 (шектік бірегейлігі бойынша). Егер нүктеде функцияның шегі болса , онда ол жалғыз.

Дәлелдеу. Егер шек Гейне бойынша анықталса, онда оның бірегейлігі реттілік шегінің бірегейлігінен туындайды. Егер шек Коши бойынша анықталса, онда оның бірегейлігі Коши бойынша және Гейне бойынша шек анықтамаларының баламалылығынан туындайды. Теорема дәлелденді.

Тізбектерге арналған Коши критерийіне ұқсас функция шегінің бар болуының Коши шарты орындалады. Оны тұжырымдамас бұрын, берейік

Анықтама 4. Функция деп айтады
нүктедегі Коши шартын қанағаттандырады , егер бар болса
бар

, солай
Және
, теңсіздік орындалады
.

Теорема 3 (Шектеудің болуының Коши критерийі). Функция үшін
нүктесінде болды шектеулі шек болса, бұл нүктеде функция Коши шартын қанағаттандыруы қажет және жеткілікті.

Дәлелдеу.Қажеттілік. Болсын
. Біз мұны дәлелдеуіміз керек
нүктесінде қанағаттандырады Коши жағдайы.

Алайық
ерікті түрде және қойыңыз
. үшін шекті анықтау бойынша бар
, кез келген мәндер үшін
, теңсіздіктерді қанағаттандыру
Және
, теңсіздіктер орындалады
Және
. Содан кейін

Қажеттілігі дәлелденді.

Адекваттылық. Функция болсын
нүктесінде қанағаттандырады Коши жағдайы. Біз оның бар екенін дәлелдеуіміз керек соңғы шек.

Алайық
ерікті түрде. Анықтама бойынша 4 бар
, сондықтан теңсіздіктерден
,
соны ұстанады
- бұл берілген.

Алдымен оны кез келген реттілік үшін көрсетейік
, жақындау , қатар
функция мәндері жинақталады. Шынында да, егер
, онда реттілік шегін анықтаудың күшімен берілген үшін
саны бар Н, кез келген үшін

Және
. Өйткені
нүктесінде Коши шартын қанағаттандырады, бізде бар
. Содан кейін, тізбектерге арналған Коши критерийі бойынша, реттілік
жинақталады. Осындай тізбектердің барлығын көрсетейік
бірдей шекке жиналады. Керісінше делік, яғни. тізбектер дегеніміз не
Және
,
,
, солай. Кезектілігін қарастырайық. жақындайтыны анық , демек, жоғарыда дәлелденген нәрсе бойынша, реттілік жинақталады, бұл мүмкін емес, өйткені ішкі тізбектер
Және
әртүрлі шектеулері бар Және . Осыдан шыққан қайшылық соны көрсетеді =. Демек, Гейне анықтамасы бойынша функция нүктеде болады соңғы шек. Жеткіліктілік, демек теорема дәлелденді.

Функция y = f (x)— Х жиынының әрбір х элементі У жиынының бір және бір ғана у элементімен байланысатын заң (ереже).

x элементі ∈ Xшақырды функция аргументінемесе тәуелсіз айнымалы.
y элементі ∈ Yшақырды функция мәнінемесе тәуелді айнымалы.

X жиыны деп аталады функцияның облысы.
Элементтердің жиыны y ∈ Y X жиынында алдын ала бейнелері бар , деп аталады аумақ немесе функция мәндерінің жиыны.

Нақты функция шақырылады жоғарыдан шектелген (төменнен), теңсіздік барлығы үшін орындалатындай M саны болса:
.
Сандық функция шақырылады шектелген, егер барлығы үшін М саны болса:
.

Жоғарғы жиегінемесе дәл жоғарғы шегіНақты функция оның мәндер ауқымын жоғарыдан шектейтін ең кіші сан деп аталады. Яғни, бұл әркім үшін және кез келген адам үшін функция мәні s′ мәнінен асатын аргумент бар s саны: .
Функцияның жоғарғы шегін келесідей белгілеуге болады:
.

Сәйкесінше төменгі жиегінемесе дәл төменгі шегіНақты функция оның мәндер ауқымын төменнен шектейтін ең үлкен сан деп аталады. Яғни, бұл әркім үшін және кез келген адам үшін функция мәні i′-ден кіші аргумент бар i саны: .
Функцияның инфимумын былай белгілеуге болады:
.

Функцияның шегін анықтау

Коши бойынша функцияның шегін анықтау

Соңғы нүктелердегі функцияның шекті шектері

Функция нүктенің өзін қоспағанда, соңғы нүктенің кейбір маңайында анықталсын. нүктесінде, егер кез келген үшін теңсіздік орындалатын барлық x үшін -ге байланысты болатын нәрсе бар.
.
Функцияның шегі келесі түрде белгіленеді:
.
Немесе сағат.

Болмыстың және әмбебаптың логикалық таңбаларын пайдалана отырып, функцияның шегін анықтауды былай жазуға болады:
.

Бір жақты шектеулер.
Нүктедегі сол жақ шегі (сол жақ шегі):
.
Нүктедегі оң жақ шегі (оң жақ шегі):
.
Сол және оң жақ шегі жиі келесідей белгіленеді:
; .

Функцияның шексіздік нүктелеріндегі шекті шектері

Шексіздіктегі нүктелердегі шектер дәл осылай анықталады.
.
.
.
Олар жиі аталады:
; ; .

Нүктенің көршілестігі ұғымын қолдану

Егер нүктенің тесілген маңайы түсінігін енгізетін болсақ, онда функцияның шекті және шексіз алыс нүктелердегі соңғы шегінің бірыңғай анықтамасын беруге болады:
.
Мұнда соңғы нүктелер үшін
; ;
.
Шексіздіктегі нүктелердің кез келген маңы тесілген:
; ; .

Функцияның шексіз шектері

Анықтама
Функция нүктенің кейбір тесілген маңайында анықталсын (ақырлы немесе шексіздікте). Функция шегі f (x) x → x ретінде 0 шексіздікке тең, егер кез келген ерікті үлкен сан үшін М > 0 , δ M саны бар > 0 , М-ге байланысты, тесілген δ M - нүктенің маңайына жататын барлық х үшін: , келесі теңсіздік орындалады:
.
Шексіз шек келесідей белгіленеді:
.
Немесе сағат.

Болмыстың және әмбебаптың логикалық белгілерін пайдалана отырып, функцияның шексіз шегінің анықтамасын былай жазуға болады:
.

Сондай-ақ және тең белгілі бір белгілердің шексіз шектерінің анықтамаларын енгізуге болады:
.
.

Функция шегінің әмбебап анықтамасы

Нүктенің көршілестігі ұғымын пайдалана отырып, функцияның ақырлы және шексіз шегінің әмбебап анықтамасын бере аламыз, ол ақырлы (екі жақты және бір жақты) және шексіз алыс нүктелер үшін де қолданылады:
.

Гейне бойынша функцияның шегін анықтау

Функция кейбір X: жиынында анықталсын.
a саны функцияның шегі деп аталадынүктесінде:
,
х-ке жинақталатын кез келген реттілік үшін 0 :
,
элементтері Х жиынына жататындар: ,
.

Бұл анықтаманы болмыстың және әмбебаптың логикалық белгілерін пайдаланып жазайық:
.

Егер х нүктесінің сол жақ төңірегін Х жиыны ретінде алсақ 0 , содан кейін сол жақ шегінің анықтамасын аламыз. Егер ол оң қол болса, онда біз дұрыс шектің анықтамасын аламыз. Егер Х жиыны ретінде шексіздіктегі нүктенің маңайын алсақ, функцияның шексіздік шегінің анықтамасын аламыз.

Теорема
Функция шегінің Коши мен Гейне анықтамалары эквивалентті.
Дәлелдеу

Функция шегінің қасиеттері мен теоремасы

Әрі қарай қарастырылатын функциялар нүктенің сәйкес маңайында анықталған деп есептейміз, ол ақырлы сан немесе символдардың бірі: . Ол сондай-ақ бір жақты шекті нүкте болуы мүмкін, яғни пішіні немесе. Көршілес екі жақты шек үшін екі жақты және бір жақты шектеу үшін бір жақты.

Негізгі қасиеттер

Егер f функциясының мәндері болса (x) x нүктелерінің соңғы санын өзгерту (немесе анықталмаған ету). 1, x 2, x 3, ... x n, онда бұл өзгеріс ерікті x нүктесіндегі функция шегінің бар болуы мен мәніне әсер етпейді. 0 .

Егер шекті шек болса, онда х нүктесінің тесілген маңайы бар 0 , онда f функциясы (x)шектеулі:
.

Функция х нүктесінде болсын 0 нөлдік емес шекті шек:
.
Сонда , аралықтағы кез келген c саны үшін х нүктесінің осындай тесілген маңайы бар 0 , не үшін ,
, Егер;
, Егер .

Егер нүктенің кейбір тесілген маңайында , тұрақты болса, онда .

Егер х нүктесінің кейбір тесілген маңайында шекті шектеулер болса 0
,
Бұл.

Егер , және нүктенің кейбір төңірегінде
,
Бұл.
Атап айтқанда, егер нүктенің кейбір төңірегінде болса
,
онда егер , онда және ;
егер , онда және .

Егер х нүктесінің кейбір тесілген төңірегінде болса 0 :
,
және шекті (немесе белгілі бір белгінің шексіз) тең шектері бар:
, Бұл
.

Негізгі қасиеттердің дәлелдері бетте берілген
«Функция шектерінің негізгі қасиеттері».

Функция шегінің арифметикалық қасиеттері

Функциялар және нүктенің кейбір тесілген маңайында анықталсын. Және шекті шектеулер болсын:
Және .
Ал С тұрақты, яғни берілген сан болсын. Содан кейін
;
;
;
, Егер .

Егер, онда.

Арифметикалық қасиеттердің дәлелдері бетте берілген
«Функция шектерінің арифметикалық қасиеттері».

Функция шегінің болуының Коши критерийі

Теорема
Ақырлы немесе шексіздік х нүктесінің кейбір тесілген төңірегінде анықталған функция үшін 0 , осы нүктеде шекті шегі болды, бұл кез келген ε үшін қажет және жеткілікті > 0 х нүктесінің осындай тесілген маңайы болды 0 , кез келген нүктелер үшін және осы маңайдан келесі теңсіздік орындалады:
.

Күрделі функцияның шегі

Күрделі функцияның шегі туралы теорема
Функцияның шегі болсын және нүктенің тесілген төңірегін нүктенің тесілген маңайымен салыстырыңыз. Функция осы маңайда анықталсын және оған шектеу қойылсын.
Міне, соңғы немесе шексіз алыс нүктелер: . Көршiлiктер және олардың сәйкес шектерi екi жақты немесе бiр жақты болуы мүмкiн.
Сонда күрделі функцияның шегі бар және ол мынаған тең:
.

Күрделі функцияның шектік теоремасы функция нүктеде анықталмаған немесе шегінен басқа мәнге ие болған кезде қолданылады. Бұл теореманы қолдану үшін функция мәндерінің жиынында нүкте жоқ нүктенің тесілген маңайы болуы керек:
.

Егер функция нүктесінде үзіліссіз болса, онда шекті белгіні үздіксіз функцияның аргументіне қолдануға болады:
.
Төменде осы жағдайға сәйкес теорема берілген.

Функцияның үздіксіз функциясының шегі туралы теорема
g функциясының шегі болсын (t) t → t ретінде 0 , және ол х-ке тең 0 :
.
Мұнда t нүктесі 0 ақырлы немесе шексіз қашықтықта болуы мүмкін: .
Және f функциясы болсын (x)х нүктесінде үздіксіз болады 0 .
Сонда f комплексті функциясының шегі болады (g(t)), және ол f-ке тең (x0):
.

Теоремалардың дәлелдері бетте берілген
«Күрделі функцияның шегі және үзіліссіздігі».

Шексіз аз және шексіз үлкен функциялар

Шексіз аз функциялар

Анықтама
Функция шексіз аз деп аталады, егер
.

Қосынды, айырма және өнімшексіз аз функциялардың ақырлы санының нүктесі - нүктесінде шексіз аз функция.

Шектелген функцияның туындысынүктенің кейбір тесілген төңірегінде, шексіз азға at - нүктедегі шексіз аз функция.

Функцияның шекті шегі болуы үшін бұл қажет және жеткілікті
,
мұндағы шексіз аз функция.

«Шексіз аз функциялардың қасиеттері».

Шексіз үлкен функциялар

Анықтама
Функция шексіз үлкен деп аталады, егер
.

Нүктенің кейбір тесілген төңірегінде шектелген функцияның қосындысы немесе айырмасы және нүктесіндегі шексіз үлкен функция нүктесінде шексіз үлкен функция болады.

Егер функция үшін шексіз үлкен болса және функция нүктенің кейбір тесілген төңірегінде шектелген болса, онда
.

Егер нүктенің кейбір тесілген маңайындағы функциясы теңсіздікті қанағаттандырса:
,
және функция шексіз аз:
, және (нүктенің кейбір тесілген төңірегінде), содан кейін
.

Қасиеттердің дәлелдері бөлімде берілген
«Шексіз үлкен функциялардың қасиеттері».

Шексіз үлкен және шексіз аз функциялар арасындағы байланыс

Алдыңғы екі қасиеттен шексіз үлкен және шексіз аз функциялар арасындағы байланыс шығады.

Егер функция -де шексіз үлкен болса, онда функция -де шексіз аз болады.

Егер функция , және үшін шексіз аз болса, онда функция үшін шексіз үлкен болады.

Шексіз аз және шексіз үлкен функция арасындағы байланысты символдық түрде көрсетуге болады:
, .

Егер шексіз аз функцияның белгілі бір таңбасы болса, яғни нүктенің кейбір тесілген маңайында оң (немесе теріс) болса, онда бұл фактіні келесі түрде көрсетуге болады:
.
Сол сияқты, шексіз үлкен функцияның белгілі бір белгісі болса, онда олар былай жазады:
.

Сонда шексіз кіші және шексіз үлкен функциялар арасындағы символдық байланысты келесі қатынастармен толықтыруға болады:
, ,
, .

Шексіздік белгілеріне қатысты қосымша формулаларды бетте табуға болады
«Шексіздік нүктелері және олардың қасиеттері».

Монотонды функциялардың шектері

Анықтама
X нақты сандар жиынында анықталған функция деп аталады қатаң ұлғайту, егер барлығы үшін келесі теңсіздік орындалса:
.
Сәйкесінше, үшін қатаң төмендейдіфункциясы үшін келесі теңсіздік орындалады:
.
Үшін төмендемейтін:
.
Үшін өспейтін:
.

Бұдан қатаң өсетін функцияның да кемімейтіні шығады. Қатаң төмендейтін функция да өспейді.

Функция шақырылады монотонды, егер ол төмендемейтін немесе өспейтін болса.

Теорема
Функция аралықта кемімейтін болсын.
Егер ол жоғарыда М санымен шектелсе: онда шекті шек бар. Жоғарыдан шектелмесе, онда .
Егер ол төменнен m санымен шектелсе: онда шекті шек бар. Егер төменнен шектелмесе, онда .

Егер a және b нүктелері шексіздікте болса, онда өрнектерде шектік белгілер мынаны білдіреді.
Бұл теореманы неғұрлым ықшам тұжырымдауға болады.

Функция аралықта кемімейтін болсын. Сонда a және b нүктелерінде бір жақты шектеулер бар:
;
.

Ұқсас теорема өспейтін функция үшін.

Функция аралықта өспесін. Сонда бір жақты шектеулер бар:
;
.

Теореманың дәлелі бетте берілген
«Монотонды функциялардың шектері».

Қолданылған әдебиет:
Л.Д. Кудрявцев. Математикалық талдау курсы. 1-том. Мәскеу, 2003 ж.
СМ. Никольский. Математикалық талдау курсы. 1-том. Мәскеу, 1983 ж.

Бүгін сабақта біз қарастырамыз қатаң реттілікЖәне функцияның шегін қатаң анықтау, сонымен қатар теориялық сипаттағы өзекті мәселелерді шешуді үйренеді. Мақала негізінен математикалық талдау теориясын зерттей бастаған және жоғары математиканың осы бөлімін түсінуде қиындықтарға тап болған жаратылыстану және инженерлік мамандықтардың бірінші курс студенттеріне арналған. Сонымен қатар, материал жоғары сынып оқушылары үшін өте қолжетімді.

Сайт жұмыс істеген жылдар ішінде мен шамамен келесі мазмұндағы оншақты хат алдым: «Мен математикалық талдауды жақсы түсінбеймін, не істеуім керек?», «Мен математиканы мүлде түсінбеймін, мен оқуымды тастауды ойлау» және т.б. Расында да, студенттік топты бірінші сессиядан кейін жиі жұқартатын да – матан. Неліктен бұл жағдай? Өйткені пән елестете алмайтын күрделі? Мүлдем жоқ! Математикалық талдау теориясы ерекше болғандықтан қиын емес. Сіз оны сол күйінде қабылдап, жақсы көруіңіз керек =)

Ең қиын жағдайдан бастайық. Бірінші және ең бастысы - оқуды тастамау керек. Дұрыс түсініңіз, сіз әрқашан тастай аласыз;-) Әрине, егер бір-екі жылдан кейін таңдаған мамандығыңыздан ауырып қалсаңыз, онда иә, бұл туралы ойлану керек. (және ашуланбаңыз!)белсенділіктің өзгеруі туралы. Бірақ әзірге оны жалғастырған жөн. «Мен ештеңе түсінбеймін» деген сөзді ұмытыңыз - сіз мүлде ештеңе түсінбейсіз.

Теория нашар болса не істеу керек? Бұл, айтпақшы, математикалық талдауға ғана қатысты емес. Теория нашар болса, алдымен тәжірибеге байыпты көңіл бөлу керек. Бұл жағдайда бірден екі стратегиялық міндет шешіледі:

– Біріншіден, теориялық білімнің едәуір бөлігі тәжірибе арқылы пайда болды. Сондықтан көптеген адамдар теорияны ... арқылы түсінеді - бұл дұрыс! Жоқ, жоқ, сіз бұл туралы ойламайсыз =)

– Ал, екіншіден, практикалық дағдылар сізді емтиханнан «тартып» алатыны әбден мүмкін, тіпті егер... бірақ қатты қуанып қалмайық! Барлығы нақты және бәрін қысқа мерзімде «көтеруге» болады. Математикалық талдау - менің жоғары математиканың сүйікті бөлімі, сондықтан мен сізге көмек қолын соза алмадым:

1-ші семестрдің басында әдетте реттілік шектеулері мен функция шектеулері қамтылады. Бұл не екенін түсінбейсіз бе және оларды қалай шешуге болатынын білмейсіз бе? Мақаладан бастаңыз Функция шектеулері, онда тұжырымдаманың өзі «саусақпен» қарастырылады және ең қарапайым мысалдар талданады. Содан кейін тақырып бойынша басқа сабақтарды, соның ішінде туралы сабақты пысықтаңыз тізбектер ішінде, ол бойынша мен қазірдің өзінде қатаң анықтаманы тұжырымдадым.

Теңсіздік белгілері мен модульден басқа қандай белгілерді білесіңдер?

– ұзын тік таяқша былай деп жазылған: «андай», «мұндай», «мұндай» немесе «мұндай», біздің жағдайда, анық, біз сан туралы айтып отырмыз - сондықтан «мұндай»;

– барлық «en» -ден үлкен үшін;

– модуль белгісі қашықтықты білдіреді, яғни. бұл жазба мәндер арасындағы қашықтық эпсилоннан аз екенін айтады.

Бұл өлімге әкелетін қиын ба? =)

Тәжірибені меңгергеннен кейін мен сізді келесі абзацта күтемін:

Ал шын мәнінде, аздап ойланайық - реттіліктің қатаң анықтамасын қалай тұжырымдау керек? ...Дүниеде бірінші ойға келетін нәрсе практикалық сабақ: «тізбектің шегі – тізбектің мүшелері шексіз жақындайтын сан».

Жарайды, жазып алайық кейінгі реттілік :

Мұны түсіну қиын емес кейінгі реттілік –1 санына шексіз жақын және жұп санды мүшелерге жақындау – «бірге».

Немесе екі шектеу бар шығар? Бірақ неге ешбір реттілікте олардың он немесе жиырма болуы мүмкін емес? Сіз бұл жолмен алыс жүре аласыз. Осыған байланысты бұлай деп болжауға әбден болады егер тізбектің шегі болса, онда ол бірегей.

Ескерту : реттілік шегі жоқ, бірақ одан екі ішкі тізбекті ажыратуға болады (жоғарыдан қараңыз), олардың әрқайсысының өз шегі бар.

Осылайша, жоғарыдағы анықтама негізсіз болып шығады. Иә, ол сияқты жағдайларда жұмыс істейді (тәжірибелік мысалдардың жеңілдетілген түсіндірмелерінде мен дұрыс пайдаланбадым), бірақ енді біз қатаң анықтама табуымыз керек.

Екінші әрекет: «тізбегінің шегі – олардың мүмкін болатынын қоспағанда, реттіліктің БАРЛЫҚ мүшелері жақындайтын сан. финалшамалар.» Бұл шындыққа жақынырақ, бірақ әлі де толығымен дәл емес. Мәселен, мысалы, реттілік Терминдердің жартысы нөлге мүлдем жақындамайды - олар жай ғана оған тең =) Айтпақшы, «жыпылықтайтын шам» әдетте екі тұрақты мәнді қабылдайды.

Тұжырымдаманы нақтылау қиын емес, бірақ содан кейін тағы бір сұрақ туындайды: анықтаманы математикалық белгілерде қалай жазу керек? Ғылым әлемі бұл мәселемен жағдай шешілгенше ұзақ уақыт күресті атақты маэстро, ол мәні бойынша классикалық математикалық талдауды өзінің барлық қатаңдығымен ресімдеді. Коши операция жасауды ұсынды орта , бұл теорияны айтарлықтай алға жылжытты.

Кейбір нүктені және оны қарастырыңыз ерікті-орта:

«Эпсилонның» мәні әрқашан оң, сонымен қатар, оны өзіміз таңдауға құқығымыз бар. Бұл ауданда көптеген мүшелер бар деп есептейік (міндетті түрде барлығы емес)кейбір реттілік. Мысалы, оныншы мүшенің маңайында екенін қалай жазуға болады? Оның оң жағында болсын. Сонда және нүктелерінің арасындағы қашықтық «эпсилоннан» аз болуы керек: . Алайда, егер «х ондық» «а» нүктесінің сол жағында орналасса, онда айырмашылық теріс болады, сондықтан оған белгіні қосу керек. модуль: .

Анықтама: егер сан реттілік шегі деп аталады кез келген үшіноның айналасы (алдын ала таңдалған)ОСЫНДАЙ натурал сан бар БАРЛЫҚсандары жоғары қатардың мүшелері көршілестікте болады:

Немесе қысқаша: егер

Басқаша айтқанда, біз қанша «эпсилон» мәнін алсақ та, ерте ме, кеш пе дәйектіліктің «шексіз құйрығы» ТОЛЫҚТЫ осы маңайда болады.

Мысалы, дәйектіліктің «шексіз құйрығы». нүктенің кез келген ерікті шағын төңірегіне ТОЛЫҒЫ кіреді. Демек, бұл мән анықтама бойынша реттілік шегі болып табылады. Еске сала кетейін, шегі нөлге тең тізбек шақырылады шексіз аз.

Айта кету керек, енді реттілік үшін «шексіз құйрық» деп айту мүмкін емес. кіреді«- тақ сандары бар мүшелер шын мәнінде нөлге тең және «ешқайда кетпеңіз» =) Сондықтан анықтамада «пайда болады» етістігі қолданылады. Және, әрине, мұндай тізбектің мүшелері де «ешқайда кетпейді». Айтпақшы, бұл сан оның шегі екенін тексеріңіз.

Енді біз тізбектің шегі жоқ екенін көрсетеміз. Мысалы, нүктенің көршілестігін қарастырайық. БАРЛЫҚ терминдер белгілі бір аумақта аяқталатын мұндай сан жоқ екені анық - тақ терминдер әрқашан «минус бірге» «секіреді». Осыған ұқсас себеппен нүктеде шектеу жоқ.

Материалды практикамен бекітейік:

1-мысал

Тізбектің шегі нөлге тең екенін дәлелдеңдер. Нүктенің кез келген еркін шағын төңірегінде тізбектің барлық мүшелеріне кепілдік берілген нөмірді көрсетіңіз.

Ескерту : Көптеген тізбектер үшін қажетті натурал сан мәнге байланысты - демек таңбалау.

Шешім: қарастырыңыз ерікті бар масан – саны жоғары БАРЛЫҚ мүшелер осы маңайда болады:

Қажетті санның бар екенін көрсету үшін оны арқылы өрнектейміз.

Кез келген «en» мәні үшін модуль белгісін алып тастауға болады:

Мен сыныпта қайталаған теңсіздіктері бар «мектеп» әрекеттерін қолданамыз Сызықтық теңсіздіктерЖәне Функция домені. Бұл жағдайда маңызды жағдай «epsilon» және «en» оң болады:

Біз сол жақтағы натурал сандар туралы, ал оң жағы жалпы бөлшек болғандықтан, оны дөңгелектеу керек:

Ескерту : кейде қауіпсіз жағында болу үшін оң жаққа бірлік қосылады, бірақ шын мәнінде бұл артық. Салыстырмалы түрде айтқанда, егер біз дөңгелектеу арқылы нәтижені әлсірететін болсақ, онда ең жақын қолайлы сан («үш») бұрынғыша бастапқы теңсіздікті қанағаттандырады.

Енді біз теңсіздікке қарап, бастапқыда не қарастырғанымызды еске түсіреміз ерікті-көрші, яғни. «эпсилон» тең болуы мүмкін кез келгеноң сан.

Қорытынды: нүктенің кез келген ерікті шағын -көршілестігі үшін мән табылды . Сонымен, сан анықтамасы бойынша тізбектің шегі болып табылады. Q.E.D.

Айтпақшы, алынған нәтижеден табиғи үлгі анық көрінеді: көршілестік неғұрлым кіші болса, соғұрлым көп сан болады, содан кейін тізбектің БАРЛЫҚ мүшелері осы маңайда болады. Бірақ «эпсилон» қаншалықты кішкентай болса да, оның ішінде әрқашан «шексіз құйрық» болады, ал сыртында - үлкен болса да, бірақ финалмүшелер саны.

Алған әсерлерің қалай? =) Біртүрлі екеніне келісемін. Бірақ қатаң түрде!Қайта оқып шығыңыз және бәрін қайта ойлаңыз.

Ұқсас мысалды қарастырайық және басқа техникалық әдістермен танысайық:

2-мысал

Шешім: реттілік анықтамасы арқылы дәлелдеу керек (дауыстап айт!!!).

қарастырайық ерікті- пункт пен чектің көршілігі, бар манатурал сан – барлық үлкен сандар үшін келесі теңсіздік орындалатындай:

Мұндай бар екенін көрсету үшін «en» сөзін «epsilon» арқылы көрсету керек. Модуль белгісінің астындағы өрнекті жеңілдетеміз:

Модуль минус белгісін жояды:

Бөлгіш кез келген «en» үшін оң, сондықтан таяқтарды алып тастауға болады:

Араластыру:

Енді квадрат түбірді шығару керек, бірақ кейбір «эпсилон» үшін оң жағы теріс болады. Бұл қиындықты болдырмау үшін күшейтейікмодуль бойынша теңсіздік:

Неліктен мұны істеуге болады? Салыстырмалы түрде айтсақ, , онда шарты да орындалады. Модуль мүмкін тек ұлғайтуҚалаған нөмір, бұл бізге де сәйкес келеді! Дөрекі сөзбен айтқанда, жүздік жараса, екі жүздік те жарайды! Анықтамаға сәйкес көрсету керек санның бар екендігінің өзі(кем дегенде кейбіреулері), одан кейін тізбектің барлық мүшелері -neighbourhood ішінде болады. Айтпақшы, сондықтан біз оң жақтың жоғары қарай дөңгелектенуінен қорықпаймыз.

Түбірді шығару:

Ал нәтижені дөңгелектеңіз:

Қорытынды: өйткені «эпсилон» мәні ерікті түрде таңдалды, содан кейін нүктенің кез келген еркін шағын төңірегі үшін мән табылды , сондықтан барлық үлкен сандар үшін теңсіздік орындалады . Осылайша, а- приорит. Q.E.D.

кеңес беремін әсіресетеңсіздіктердің күшеюі мен әлсіреуін түсіну математикалық талдаудағы типтік және өте кең таралған әдіс болып табылады. Бақылау қажет жалғыз нәрсе - бұл немесе басқа әрекеттің дұрыстығы. Мәселен, теңсіздік ешбір жағдайда мүмкін емес босату, шегеру, айталық, бір:

Тағы да, шартты түрде: егер сан дәл сәйкес келсе, бұрынғысы енді сәйкес келмеуі мүмкін.

Тәуелсіз шешім үшін келесі мысал:

3-мысал

Тізбектің анықтамасын пайдаланып, дәлелдеңдер

Сабақ соңында қысқаша шешім және жауап.

Егер реттілік шексіз үлкен, онда шектің анықтамасы ұқсас түрде тұжырымдалады: нүкте реттілік шегі деп аталады, егер бар болса, қалағаныңызша үлкенсан болса, барлық үлкен сандар үшін теңсіздік орындалатындай сан бар. Нөмір шақырылады «плюс шексіздік» нүктесінің маңайы:

Басқаша айтқанда, біз қаншалықты үлкен мәнді алсақ та, тізбектің «шексіз құйрығы» міндетті түрде нүктенің маңайына еніп, сол жақта шектеулі сандарды ғана қалдырады.

Стандартты мысал:

Ал қысқартылған белгі: , егер

Жағдай үшін анықтаманы өзіңіз жазыңыз. Дұрыс нұсқасы сабақтың соңында.

Тәжірибелік мысалдармен танысып, реттілік шегінің анықтамасын анықтағаннан кейін есептеулер бойынша әдебиеттерге және/немесе дәріс дәптеріне жүгінуге болады. Мен Bohan 1 томын жүктеп алуды ұсынамын (қарапайым – сырттай оқитын студенттер үшін)және Фихтенхольц (толығырақ және егжей-тегжейлі). Басқа авторлардың арасында мен курсы техникалық университеттерге бағытталған Пискуновты ұсынамын.

Тізбектілік шегіне, олардың дәлелдеріне, салдарына қатысты теоремаларды саналы түрде зерттеуге тырысыңыз. Бастапқыда теория «бұлтты» болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл қалыпты жағдай - сіз оған үйренуіңіз керек. Көптеген адамдар тіпті оның дәмін татады!

Функция шегінің қатаң анықтамасы

Бір нәрседен бастайық - бұл тұжырымдаманы қалай тұжырымдау керек? Функция шегінің ауызша анықтамасы әлдеқайда қарапайым тұжырымдалған: «сан дегеніміз функцияның шегі, егер «x» (сол және оң), сәйкес функция мәндері » (суретті қараңыз). Барлығы қалыпты сияқты, бірақ сөздер - сөз, мағына - мағына, белгіше - белгіше және қатаң математикалық белгілер жеткіліксіз. Ал екінші абзацта біз бұл мәселені шешудің екі тәсілімен танысамыз.

Функция нүктені қоспағанда, белгілі бір интервалда анықталсын. Оқу әдебиетінде бұл жерде қызмет атқаратыны жалпы қабылданған Жоқанықталған:

Бұл таңдау ерекше мән береді функция шегінің мәні: "x" шексіз жақынтәсілдер, ал функцияның сәйкес мәндері болады шексіз жақын-ге. Басқаша айтқанда, шек ұғымы нүктелерге «дәл көзқарас» дегенді білдірмейді, бірақ дәлірек айтқанда шексіз жақын жуықтау, функцияның нүктеде анықталғаны немесе анықталмағаны маңызды емес.

Функция шегінің бірінші анықтамасы екі реттіліктің көмегімен тұжырымдалғаны таңқаларлық емес. Біріншіден, ұғымдар өзара байланысты, екіншіден, функциялардың шектері әдетте реттілік шегінен кейін зерттеледі.

Тізбекті қарастырыңыз ұпай (сызбада емес), интервалына жататын және айырмашылығы, қай жинақталады-ге. Содан кейін сәйкес функция мәндері де мүшелері ордината осінде орналасқан сандық тізбекті құрайды.

Гейне бойынша функцияның шегі кез келген үшіннүктелер тізбегі (тиісті және басқаша)нүктесіне жинақталатын , функция мәндерінің сәйкес тізбегі -ге жинақталады.

Эдуард Гейне - неміс математигі. ...Ал олай ойлаудың қажеті жоқ, Еуропада бір ғана гей бар - Гей-Люссак =)

Шектеудің екінші анықтамасы жасалды... иә, иә, дұрыс айтасыз. Бірақ алдымен оның дизайнын түсінейік. Нүктенің ерікті -көршілестігін қарастырайық («қара» аудан). Алдыңғы абзацқа сүйене отырып, жазба мынаны білдіреді кейбір құндылықфункциясы «эпсилон» төңірегінде орналасқан.

Енді берілген -төңірегіне сәйкес келетін -көршіні табамыз (ойша қара нүктелі сызықтарды солдан оңға, содан кейін жоғарыдан төменге қарай сызыңыз). Мән таңдалғанын ескеріңіз кіші сегменттің ұзындығы бойынша, бұл жағдайда - қысқа сол сегменттің ұзындығы бойынша. Сонымен қатар, «таңқурай» - нүктенің көршілігін тіпті азайтуға болады, өйткені келесі анықтамада өмір сүру фактісінің өзі маңыздыосы маңай. Сол сияқты, белгі қандай да бір мәннің «дельта» төңірегінде екенін білдіреді.

Коши функциясының шегі: сан функцияның нүктесіндегі шегі деп аталады if кез келген үшін алдын ала таңдалғанКөршілестік (қалағаныңызша кішкентай), бар- нүктенің маңы, ОСЫНДАЙ, бұл: ТЕК мәндер РЕТІНДЕ (тиісті)осы аймаққа кіреді: (қызыл көрсеткілер)– СОНДЫҚТЫ ДЕРЕКЕ сәйкес функция мәндерінің -neighborhood кіруіне кепілдік беріледі: (көк көрсеткілер).

Сізге ескертуім керек, түсінікті болу үшін мен аздап импровизация жасадым, сондықтан артық қолданбаңыз =)

Қысқаша жазба: , егер

Анықтаманың мәні неде? Бейнелеп айтқанда, -neighbourhood-ды шексіз азайту арқылы біз функция мәндерін олардың шегіне дейін «сүйемелдетіп», басқа жерге жақындауға балама қалдырмаймыз. Өте ерекше, бірақ тағы да қатаң! Ойды толық түсіну үшін сөзді қайта оқып шығыңыз.

! Назар аударыңыз: тек тұжырымдау қажет болса Гейне анықтамасынемесе жай Коши анықтамасытуралы ұмытпаңыз маңыздыалдын ала пікірлер: «Нүктені қоспағанда, белгілі бір аралықта анықталған функцияны қарастырыңыз». Мен мұны басында бір рет айттым және әр жолы қайталамадым.

Математикалық талдаудың сәйкес теоремасы бойынша Гейне мен Коши анықтамалары эквивалентті, бірақ екінші нұсқа ең танымал болып табылады. (Әрине!), ол «тіл шегі» деп те аталады:

4-мысал

Шектеу анықтамасын пайдаланып, дәлелдеңдер

Шешім: функция нүктеден басқа бүкіл сан түзуінде анықталады. Анықтаманы пайдалана отырып, берілген нүктеде шектің бар екенін дәлелдейміз.

Ескерту : «дельта» маңайының мәні «эпсилонға» байланысты, демек белгілеу

қарастырайық ерікті-орта. Тапсырма осы мәнді тексеру үшін пайдалану болып табылады бар ма-орта, ОСЫНДАЙ, ол теңсіздіктен теңсіздік шығады .

деп есептесек, соңғы теңсіздікті түрлендіреміз:
(квадрат үшмүшені кеңейтті)