정점이 있는 오른쪽 원형 원뿔이 주어집니다. 수업 "원뿔의 부피

V 실린더 \u003d S 메인. 시간

예 2직각 원뿔 ABC 등변이 주어지면 BO = 10입니다. 원뿔의 부피를 찾으십시오.

해결책

원뿔 밑면의 반경을 찾으십시오. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

운영 체제 = ㅏ, BC = 2 ㅏ. 피타고라스의 정리에 따르면:

답변: .

예 3. 지정된 선으로 둘러싸인 영역의 회전에 의해 형성된 도형의 부피를 계산합니다.

y2=4x; y=0; x=4.

적분 한계 a = 0, b = 4.

V= | =32π

작업

옵션 1

1. 실린더의 축 단면은 정사각형이며 대각선은 4dm입니다. 실린더의 부피를 찾으십시오.

2. 중공 구의 외경은 18cm, 벽 두께는 3cm이고 구 벽의 부피를 구하십시오.

엑스 선으로 둘러싸인 도형 y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

옵션 2

1. 3개의 공의 반지름은 6cm, 8cm, 10cm이고, 부피가 이 공의 부피의 합과 같은 공의 반지름을 결정합니다.

2. 원뿔 밑면의 면적은 9cm 2이고 총 표면적은 24cm 2입니다. 원뿔의 부피를 찾으십시오.

3. O축을 중심으로 회전하여 형성되는 몸체의 부피를 계산합니다. 엑스선으로 둘러싸인 도형 y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

제어 질문:

1. 체적의 속성을 쓰십시오.

2. Oy 축 주위의 회전체의 부피를 계산하는 공식을 작성하십시오.

공과의 텍스트 설명:

우리는 솔리드 기하학 "Body of Revolution" 섹션을 계속 연구합니다.

회전체에는 실린더, 원뿔, 공이 포함됩니다.

정의를 기억합시다.

높이는 도형 또는 몸체의 상단에서 도형(본체)의 바닥까지의 거리입니다. 그렇지 않으면 그림의 상단과 하단을 연결하고 수직으로 연결하는 세그먼트입니다.

원의 면적을 찾으려면 파이에 반지름의 제곱을 곱하십시오.

원의 면적은 같습니다.

직경을 알고 원의 면적을 찾는 방법을 기억하십니까? 왜냐하면

공식에 대입해보자:

원뿔은 또한 회전체입니다.

원뿔 (보다 정확하게는 원형 원뿔)은 원으로 구성된 몸체입니다 - 원뿔의 밑면,이 원의 평면에 있지 않은 점 - 원뿔의 상단 및 상단을 연결하는 모든 세그먼트 베이스의 포인트가 있는 원뿔.

원뿔의 부피를 구하는 공식에 대해 알아봅시다.

정리. 원뿔의 부피는 밑면적의 1/3에 높이를 곱한 것과 같습니다.

이 정리를 증명해 봅시다.

주어지면 원뿔, S는 밑면의 면적,

h는 원뿔의 높이입니다.

증명하다: V=

증명: 부피가 V, 밑면 반지름이 R, 높이가 h이고 정점이 O인 원뿔을 고려하십시오.

원뿔의 축인 OM을 통해 축 Ox를 소개하겠습니다. x축에 수직인 평면에 의한 원뿔의 임의 단면은 점을 중심으로 하는 원입니다.

M1 - 이 평면과 축 Ox의 교차점. 이 원의 반지름을 R1로, 단면적을 S(x)로 표시합니다. 여기서 x는 점 M1의 가로 좌표입니다.

직각 삼각형 OM1A1과 OMA의 유사성(ے OM1A1 = ے OMA - 직선, ےMOA-common, 삼각형이 두 각도에서 유사함을 의미)에서 다음과 같습니다.

그림은 OM1=x, OM=h임을 보여줍니다.

또는 비율의 속성에 의해 우리는 R1 = .

섹션은 원이므로 S (x) \u003d πR12이므로 R1 대신 이전 식을 대체합니다. 단면적은 파이 에르 제곱 x 제곱 대 높이 제곱의 비율과 같습니다

기본 공식을 적용해 보자

a=0, b=h로 체적을 계산하면 식 (1)을 얻습니다.

원뿔의 밑면이 원이므로 밑면의 넓이 S는 π er 제곱과 같습니다.

몸의 부피를 계산하는 공식에서 파이 에르 제곱의 값을 밑면의 면적으로 바꾸고 원뿔의 부피가 면적의 곱의 1/3과 같다는 것을 얻습니다. 베이스와 높이

정리가 입증되었습니다.

정리의 추론(잘린 원뿔의 부피 공식)

높이가 h인 잘린 원뿔의 부피 V와 밑면 S 및 S1의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.

Ve는 밑면 면적의 합과 밑면 면적 곱의 제곱근을 곱한 재의 1/3과 같습니다.

문제 해결

다리가 3cm와 4cm인 직각삼각형이 빗변을 중심으로 회전합니다. 결과 몸체의 부피를 결정하십시오.

삼각형이 빗변을 중심으로 회전하면 원뿔이 생깁니다. 이 문제를 해결할 때 두 가지 경우가 가능하다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 그들 각각에서 원뿔의 부피를 찾는 공식을 적용합니다. 원뿔의 부피는 밑면과 높이의 곱의 1/3과 같습니다.

첫 번째 경우 도면은 다음과 같습니다. 원뿔이 제공됩니다. 반지름 r = 4, 높이 h = 3

밑면의 면적은 반지름의 제곱에 π를 곱한 것과 같습니다.

그러면 원뿔의 부피는 π 곱하기 반지름의 제곱 곱하기 높이의 1/3과 같습니다.

공식의 값을 대입하면 원뿔의 부피가 16π임을 알 수 있습니다.

두 번째 경우에는 다음과 같습니다. 원뿔이 주어집니다. 반지름 r = 3, 높이 h = 4

원뿔의 부피는 밑면의 1/3에 높이를 곱한 것과 같습니다.

밑면의 면적은 반지름의 제곱에 π를 곱한 것과 같습니다.

그러면 원뿔의 부피는 π 곱하기 반지름의 제곱 곱하기 높이의 1/3과 같습니다.

공식의 값을 대입하면 원뿔의 부피가 12π임을 알 수 있습니다.

답: 원뿔 V의 부피는 16π 또는 12π입니다.

문제 2. 반지름이 6cm인 직원뿔이 주어지면 각 BCO = 45 입니다.

원뿔의 부피를 찾으십시오.

솔루션: 이 작업을 위해 기성 도면이 제공됩니다.

원뿔의 부피를 구하는 공식을 작성해 봅시다.

기본 R의 반지름으로 표현합니다.

우리는 건설에 의해 h \u003d BO를 찾습니다-직사각형 각도 BOC=90(삼각형 내각의 합), 밑면의 내각은 동일하므로 삼각형 ΔBOC는 이등변이고 BO=OC=6cm입니다.

오른쪽 원형 실린더가 주어지면 투영의 수평면이 밑면과 평행합니다. 원통이 일반적인 위치에서 평면과 교차할 때(평면이 원통의 밑면과 교차하지 않는다고 가정) 교차선은 타원이고 단면 자체는 타원 모양이며 수평 투영은 다음과 일치합니다. 원기둥 바닥의 투영이며 전면도 타원 모양입니다. 그러나 절단면이 원통 축과 45 °의 각도를 이루면 타원 모양의 단면이 단면이 동일하게 기울어지는 투영면에 원으로 투영됩니다. 각도.

절단면이 원통의 측면과 밑면 중 하나와 교차하는 경우(그림 8.6) 교차선은 불완전한 타원(타원의 일부) 모양을 갖습니다. 이 경우 섹션의 수평 투영은 원의 일부(기본 투영)이고 정면은 타원의 일부입니다. 평면은 모든 투영 평면에 수직으로 위치할 수 있으며 단면은 직선(할선 평면 추적의 일부)으로 이 투영 평면에 투영됩니다.

원통이 모선에 평행한 평면과 교차하면 측면과의 교차선은 직선이며 원통이 직선이면 단면 자체가 직사각형 모양이고 원통이 기울어지면 평행 사변형입니다.

아시다시피 원통과 원뿔 모두 선직면으로 형성됩니다.

일반적인 경우 괘선과 평면의 교차선(절단선)은 발전기와 절단면의 교차점으로 구성된 특정 곡선입니다.

그것이 주어 지도록하십시오 직선 원형 콘.평면과 교차할 때 교차선은 평면의 위치에 따라 삼각형, 타원, 원, 포물선, 쌍곡선(그림 8.7)의 형태를 취할 수 있습니다.

원뿔을 가로지르는 절단 평면이 꼭지점을 통과하면 삼각형이 생성됩니다. 이 경우 측면과의 교차선은 원뿔의 상단에서 교차하는 직선이며 밑면의 교차선과 함께 왜곡과 함께 투영면에 투영되는 삼각형을 형성합니다. 평면이 원뿔의 축과 교차하면 섹션에서 삼각형이 얻어지며, 원뿔의 꼭지점과 일치하는 꼭지점과의 각도는 주어진 원뿔의 삼각형 부분에 대해 최대가 됩니다. 이 경우 섹션은 직선 세그먼트에 의해 수평 투영 평면(베이스와 평행)에 투영됩니다.

평면과 원뿔의 교차선은 평면이 원뿔의 발생기와 평행하지 않으면 타원이 됩니다. 이는 평면이 모든 생성기(원뿔의 전체 측면)와 교차한다는 사실과 동일합니다. 절단면이 원뿔의 바닥과 평행하면 교차선은 원이고 단면 자체는 왜곡없이 수평 투영면에 투영되고 직선 세그먼트로 정면 평면에 투영됩니다.

할선면이 원뿔의 한 모선에만 평행할 때 교차선은 포물선이 됩니다. 절단 평면이 동시에 두 생성기에 평행하면 교차선은 쌍곡선입니다.

원뿔대가 밑면에 평행하고 원뿔의 축에 수직인 평면과 교차하고 윗부분이 버려지면 원뿔대를 얻습니다. 수평 투영면이 원뿔대 밑면과 평행한 경우 이들 밑면은 동심원에 의한 왜곡 없이 수평 투영면에 투영되며 정면 투영은 사다리꼴이다. 잘린 원뿔이 평면과 교차할 때 절단선은 그 위치에 따라 사다리꼴, 타원, 원, 포물선, 쌍곡선 또는 이러한 곡선 중 하나의 일부 형태를 취할 수 있습니다. 일직선.

진단 작업은 19개의 작업을 포함하여 두 부분으로 구성됩니다. 파트 1에는 간단한 답변이 포함된 기본 수준의 복잡한 8가지 작업이 포함되어 있습니다. 파트 2에는 짧은 답변이 포함된 난이도가 높은 4개의 작업과 자세한 답변이 포함된 난이도가 높고 높은 수준의 7개의 작업이 포함되어 있습니다.
3시간 55분(235분)은 수학 진단 작업을 수행하는 데 할당됩니다.
작업 1-12에 대한 답변은 정수 또는 마지막 소수로 작성됩니다. 작업 텍스트의 답안 필드에 숫자를 쓴 다음 답안지 1 번으로 옮깁니다. 작업 13-19를 완료하면 전체 솔루션과 답안지 1 번에 대한 답을 적어야합니다. 2.
모든 양식은 밝은 검정색 잉크로 작성됩니다. 젤, 모세관 또는 만년필의 사용이 허용됩니다.
과제를 완료할 때 초안을 사용할 수 있습니다. 초안 항목은 작업 평가에 포함되지 않습니다.
완료된 작업에 대해 얻은 포인트가 합산됩니다.
성공을 기원합니다!

작업 조건

1. 경우 찾기
2. 실험실 화면에서 전구의 확대 영상을 얻기 위해 주초점거리 = 30cm인 수렴렌즈를 사용하는데, 렌즈에서 전구까지의 거리는 40~65cm로 다양하며, 렌즈에서 화면까지 - 75 ~ 100cm 범위 비율이 충족되면 화면의 이미지가 선명합니다. 화면의 이미지가 선명하도록 전구를 배치할 수 있는 렌즈로부터의 최대 거리를 지정합니다. 답을 센티미터로 표현하십시오.
3. 배는 강을 따라 목적지까지 300km를 통과하고 주차 후 출발 지점으로 돌아갑니다. 유속을 구하고, 잔잔한 물속의 배의 속력이 15km/h라면 정박시간은 5시간, 배는 출항 50시간 후에 출발지점으로 돌아온다. km/h 단위로 답하십시오.
4. 세그먼트에서 함수의 가장 작은 값 찾기
5. a) 방정식을 푼다 b) 세그먼트에 속하는 이 방정식의 모든 근을 찾으십시오.
6. 정점이 있는 오른쪽 원형 원뿔이 주어집니다. 중. 원뿔의 축 단면 - 정점에서 120 ° 각도의 삼각형 중. 콘 제너레이터는 . 점을 통해 중원뿔의 단면은 생성기 중 하나에 수직으로 그려집니다.
   a) 결과 삼각형이 둔각 삼각형임을 증명하십시오.
   b) 중심으로부터의 거리 구하기 에 대한단면의 평면에 대한 원뿔의 밑면.
7. 방정식 풀기
8. 중심이 있는 원 에 대한측면에 닿다 AB이등변 삼각형 알파벳,사이드 익스텐션 교류그리고 기초의 계속 해그 시점에 N. 점 중- 베이스 중간 해.
   a) 증명 미네소타 = AC.
   b) 찾기 OS,삼각형의 변이 있으면 알파벳 5, 5, 8입니다.
9. 비즈니스 프로젝트 "A"는 처음 2년 동안 매년 34.56%, 다음 2년 동안 매년 44%씩 투자 금액이 증가한다고 가정합니다. 프로젝트 B는 일정한 정수로 성장한다고 가정합니다. N매년 퍼센트. 가장 작은 값 찾기 N, 처음 4년 동안 프로젝트 "B"가 프로젝트 "A"보다 수익성이 더 높을 것입니다.
10. 매개 변수의 모든 값 찾기 , 각 방정식 시스템에 대해 유일한 해결책이 있다
11. Anya는 게임을 합니다. 두 개의 서로 다른 자연수가 보드에 기록됩니다. 및 , 둘 다 1000 미만입니다. 둘 다 자연수이면 Anya가 이동합니다. 이전 값을이 두 숫자로 바꿉니다. 이 숫자 중 적어도 하나가 자연수가 아니면 게임이 종료됩니다.
    a) 정확히 3수까지 게임을 계속할 수 있습니까?
    b) 게임이 최소 9 이동을 지속하도록 하는 두 개의 초기 숫자가 있습니까?
    c) Anya가 게임에서 첫 번째 이동을 했습니다. 얻은 두 숫자의 곱과 곱의 가능한 가장 큰 비율을 찾으십시오.