원형 운동. 원형 운동 방정식

이 단원에서는 곡선 운동, 즉 원 안에서 물체의 등속 운동을 살펴보겠습니다. 우리는 선속도가 무엇인지, 즉 몸이 원을 그리며 움직일 때의 구심 가속도가 무엇인지 배울 것입니다. 또한 회전 운동(회전 주기, 회전 주파수, 각속도)을 특성화하는 수량을 소개하고 이러한 수량을 서로 연결합니다.

원을 그리며 균일하게 움직인다는 것은 신체가 동일한 시간 동안 동일한 각도로 회전한다는 것을 의미합니다(그림 6 참조).

쌀. 6. 균일한 원운동

즉, 순간 속도 모듈은 변경되지 않습니다.

이 속도를 선의.

속도의 계수는 변하지 않지만 속도의 방향은 계속해서 바뀝니다. 점에서 속도 벡터를 고려하십시오. ㅏ그리고 비(그림 7 참조). 서로 다른 방향으로 향하므로 동일하지 않습니다. 그 지점에서 속도를 빼면 비포인트 속도 ㅏ, 우리는 벡터를 얻습니다.

쌀. 7. 속도 벡터

이 변화가 발생한 시간()에 대한 속도 변화()의 비율이 가속입니다.

따라서 모든 곡선 운동은 가속됩니다..

그림 7에서 얻은 속도 삼각형을 고려하면 매우 가까운 점 배열을 사용합니다. ㅏ그리고 비서로에 대해 속도 벡터 사이의 각도(α)는 0에 가깝습니다.

또한 이 삼각형은 이등변이므로 속도 모듈이 동일합니다(균일한 움직임).

따라서 이 삼각형 밑면의 두 각도는 다음과 무한히 가깝습니다.

이것은 벡터를 따라 향하는 가속도가 실제로 접선에 수직임을 의미합니다. 접선에 수직인 원의 선은 반지름으로 알려져 있으므로 가속도는 반지름을 따라 원의 중심을 향합니다. 이 가속도를 구심력이라고 합니다.

그림 8은 앞에서 설명한 속도의 삼각형과 이등변 삼각형(두 변이 원의 반지름임)을 보여줍니다. 이 삼각형은 서로 수직인 선(벡터와 마찬가지로 반지름이 접선에 수직임)에 의해 형성된 동일한 각도를 갖기 때문에 유사합니다.

쌀. 8. 구심가속도 공식 유도 그림

라인 세그먼트 AB이동()입니다. 우리는 균일한 원형 운동을 고려하고 있으므로:

우리는 결과 표현식을 AB삼각형 유사성 공식으로:

"선형 속도", "가속", "좌표"의 개념은 곡선 궤적을 따라 이동하는 것을 설명하기에 충분하지 않습니다. 따라서 회전 운동을 특징짓는 양을 도입할 필요가 있습니다.

1. 회전 기간(티 ) 하나의 완전한 혁명의 시간이라고합니다. 초 단위로 SI 단위로 측정됩니다.

주기의 예: 지구는 24시간() 동안 축을 중심으로 회전하고 1년() 동안 태양을 중심으로 회전합니다.

기간 계산 공식:

총 회전 시간은 어디에 있습니까? - 회전 수.

2. 회전수(N ) - 신체가 단위 시간당 만드는 회전 수. 역초 단위로 SI 단위로 측정됩니다.

주파수를 찾는 공식:

총 회전 시간은 어디에 있습니까? - 회전수

빈도와 기간은 반비례합니다.

3. 각속도 () 이 회전이 발생한 시간에 대한 신체가 회전하는 각도의 변화 비율이라고합니다. 라디안을 초로 나눈 SI 단위로 측정됩니다.

각속도를 구하는 공식:

각도의 변화는 어디에 있습니까? 턴이 발생하는 데 걸린 시간입니다.

원형 운동은 신체의 곡선 운동의 가장 단순한 경우입니다. 물체가 특정 지점 주위를 이동할 때 변위 벡터와 함께 라디안 단위로 측정된 각도 변위 Δ φ(원의 중심에 대한 회전 각도)를 도입하는 것이 편리합니다.

각도 변위를 알면 본체가 통과한 원호(경로)의 길이를 계산할 수 있습니다.

∆ l = R ∆ φ

회전각이 작으면 ∆ l ≈ ∆ s .

말한 내용을 설명하겠습니다.

각속도

곡선 운동에서는 각속도 ω의 개념, 즉 회전 각도의 변화율이 도입됩니다.

정의. 각속도

궤적의 주어진 지점에서의 각속도는 그것이 발생한 시간 간격 Δt에 대한 각변위 Δφ의 비율의 한계입니다. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

각속도의 측정 단위는 초당 라디안(rad s)입니다.

원을 그리며 움직일 때 몸의 각속도와 선형 속도 사이에는 관계가 있습니다. 각속도를 구하는 공식:

원을 그리며 등속 운동을 하면 속도 v와 ω는 변하지 않습니다. 선형 속도 벡터의 방향만 변경됩니다.

이 경우 신체의 원을 따라 균일한 움직임은 원의 반지름을 따라 중심으로 향하는 구심 또는 정상 가속도의 영향을 받습니다.

n = ∆v → ∆t , ∆t → 0

구심 가속도 모듈은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

n = v2R = ω2R

이 관계를 증명해 보자.

벡터 v →가 짧은 시간 동안 어떻게 변하는지 생각해 봅시다 ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

점 A와 B에서 속도 벡터는 원에 접선 방향으로 향하는 반면 두 점의 속도 모듈은 동일합니다.

가속의 정의:

a → = ∆v → ∆t , ∆t → 0

그림을 보자:

삼각형 OAB와 BCD는 비슷합니다. 이것으로부터 O A A B = B C C D .

각도 ∆ φ의 값이 작으면 거리 A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . 위에서 고려한 유사한 삼각형에 대해 OA \u003d R 및 C D \u003d ∆ v를 고려하면 다음을 얻습니다.

R v ∆ t = v ∆ v 또는 ∆ v ∆ t = v 2 R

Δ φ → 0일 때 벡터 Δ v → = v B → - v A →의 방향은 원의 중심 방향에 가까워진다. ∆ t → 0 이라고 가정하면 다음을 얻습니다.

a → = an → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; n → = v 2 R .

원을 따라 균일하게 움직이는 경우 가속도 모듈은 일정하게 유지되고 벡터의 방향은 원의 중심 방향을 유지하면서 시간에 따라 변경됩니다. 이것이 바로 이 가속도를 구심력이라고 부르는 이유입니다. 벡터는 언제든지 원의 중심을 향합니다.

벡터 형식의 구심 가속도 기록은 다음과 같습니다.

n → = - ω 2 R → .

여기서 R →는 원점을 중심으로 하는 원 위의 한 점의 반지름 벡터입니다.

일반적으로 원을 따라 이동할 때의 가속도는 법선과 접선의 두 가지 구성 요소로 구성됩니다.

몸이 원을 따라 불균일하게 움직이는 경우를 생각해보자. 접선(접선) 가속의 개념을 소개하겠습니다. 그 방향은 신체의 선속도 방향과 일치하며 원의 각 지점에서 접선 방향으로 향합니다.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

여기서 ∆ v τ \u003d v 2 - v 1은 간격 ∆ t 동안 속도 모듈의 변화입니다.

최대 가속도의 방향은 법선 가속도와 접선 가속도의 벡터 합으로 결정됩니다.

평면의 원형 운동은 x와 y의 두 좌표를 사용하여 설명할 수 있습니다. 각 순간에 신체의 속도는 성분 v x 와 v y 로 분해될 수 있습니다.

움직임이 균일하면 값 v x 및 v y와 해당 좌표는 주기 T = 2 π R v = 2 π ω의 조화 법칙에 따라 시간에 따라 변경됩니다.

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