각도의 사인으로 삼각형의 면적을 찾는 공식. 삼각형 면적 정리, 사인 및 코사인 정리

밑변과 높이를 알면 알 수 있습니다. 이 계획의 전체 단순성은 높이가 밑면 a를 1과 2의 두 부분으로 나누고 삼각형 자체를 두 개의 직각 삼각형으로 나눈다는 사실에 있습니다. 그런 다음 전체 삼각형의 면적은 표시된 두 영역의 합이 될 것이며 브래킷에서 높이의 절반을 빼면 전체적으로 밑면을 얻습니다.

계산을 위한 더 어려운 방법은 3면을 모두 알아야 하는 헤론 공식입니다. 이 공식의 경우 먼저 삼각형의 반둘레를 계산해야 합니다. 헤론의 공식 자체는 반둘레의 제곱근에 각 측면의 차이를 곱한 값을 의미합니다.

모든 삼각형과 관련된 다음 방법을 사용하면 두 변을 통해 삼각형의 면적과 그 사이의 각도를 찾을 수 있습니다. 이에 대한 증명은 높이 공식에서 따릅니다. 알려진 변에 높이를 그리고 각도 α의 사인을 통해 h=a⋅sinα를 얻습니다. 면적을 계산하려면 높이의 절반에 두 번째 변을 곱합니다.

또 다른 방법은 2개의 각과 그 사이의 변이 주어진 삼각형의 면적을 찾는 것입니다. 이 공식의 증명은 매우 간단하며 다이어그램에서 명확하게 볼 수 있습니다.

세 번째 모서리의 상단에서 알려진 측면까지 높이를 낮추고 결과 세그먼트를 각각 x라고 합니다. 직각삼각형에서 첫 번째 세그먼트 x가 곱과 같다는 것을 알 수 있습니다.

간단히 말해서 특별한 조리법에 따라 물에 익힌 야채입니다. 나는 두 가지 초기 구성 요소 (야채 샐러드와 물)와 완성 된 결과 - borscht를 고려할 것입니다. 기하학적으로 이것은 한 면이 상추를 나타내고 다른 면이 물을 나타내는 직사각형으로 나타낼 수 있습니다. 이 두 변의 합은 borscht를 나타냅니다. 이러한 "borscht"직사각형의 대각선과 면적은 순전히 수학적 개념이며 borscht 조리법에는 사용되지 않습니다.

수학 교과서에서 선형 각도 함수에 대한 내용을 찾을 수 없습니다. 그러나 그것들 없이는 수학이 있을 수 없습니다. 자연의 법칙과 마찬가지로 수학의 법칙은 존재하는지 여부에 관계없이 작동합니다.

선형 각도 함수는 덧셈의 법칙입니다.대수학이 기하학으로, 기하학이 삼각법으로 어떻게 변하는지 보십시오.

선형 각 함수 없이 할 수 있습니까? 수학자들은 여전히 ​​그것들 없이도 관리하기 때문에 가능합니다. 수학자들의 속임수는 그들이 항상 스스로 풀 수 있는 문제에 대해서만 우리에게 이야기하고 그들이 풀지 못하는 문제에 대해서는 결코 우리에게 말하지 않는다는 사실에 있습니다. 보다. 덧셈과 한 항의 결과를 알고 있으면 빼기를 사용하여 다른 항을 찾습니다. 모든 것. 우리는 다른 문제를 알지 못하며 해결할 수 없습니다. 덧셈의 ​​결과만 알고 두 항을 모두 모르는 경우 어떻게 해야 합니까? 이 경우 덧셈의 결과는 선형 각도 함수를 사용하여 두 항으로 분해되어야 합니다. 또한, 우리는 한 항이 될 수 있는 것을 스스로 선택하고 선형 각도 함수는 덧셈의 결과가 정확히 우리가 필요로 하는 것이 되기 위해 두 번째 항이 무엇이어야 하는지를 보여줍니다. 이러한 항의 쌍은 무한히 있을 수 있습니다. 일상 생활에서 우리는 합을 분해하지 않고 아주 잘 하고 뺄셈으로 충분합니다. 그러나 자연 법칙에 대한 과학적 연구에서 합을 용어로 확장하는 것은 매우 유용할 수 있습니다.

수학자들이 이야기하는 것을 좋아하지 않는 또 다른 덧셈 법칙(또 다른 속임수)은 항이 동일한 측정 단위를 가질 것을 요구합니다. 양상추, 물, 보르쉬의 경우 무게, 부피, 비용 또는 측정 단위가 될 수 있습니다.

그림은 수학에 대한 두 가지 수준의 차이를 보여줍니다. 첫 번째 수준은 표시된 숫자 필드의 차이입니다. ㅏ, 비, 씨. 이것이 수학자들이 하는 일입니다. 두 번째 수준은 대괄호로 표시되고 문자로 표시되는 측정 단위 영역의 차이입니다. 유. 이것이 물리학자들이 하는 일입니다. 우리는 세 번째 수준인 설명된 개체 범위의 차이를 이해할 수 있습니다. 다른 개체는 동일한 측정 단위의 동일한 수를 가질 수 있습니다. 이것이 얼마나 중요한지, 우리는 보르시 삼각법의 예에서 볼 수 있습니다. 다른 물체의 측정 단위에 대해 동일한 표기법에 첨자를 추가하면 특정 물체를 설명하는 수학적 양이 정확히 무엇이며 시간이 지남에 따라 또는 우리의 행동과 관련하여 어떻게 변하는지 말할 수 있습니다. 편지 여나는 문자로 물을 표시 할 것입니다 에스나는 편지로 샐러드를 표시 할 것입니다 비- 보쉬. borscht의 선형 각도 함수는 다음과 같습니다.

우리가 물의 일부와 샐러드의 일부를 취하면 함께 보르시 1인분으로 바뀔 것입니다. 여기서 나는 보르시에서 잠시 휴식을 취하고 먼 어린 시절을 기억할 것을 제안합니다. 우리가 토끼와 오리를 함께 놓는 법을 배웠던 것을 기억하십니까? 얼마나 많은 동물이 나올지 찾아야했습니다. 그러면 우리는 무엇을 하라고 배웠습니까? 우리는 숫자에서 단위를 분리하고 숫자를 더하는 방법을 배웠습니다. 예, 모든 번호를 다른 번호에 추가할 수 있습니다. 이것은 현대 수학의 자폐증으로 가는 직접적인 경로입니다. 우리는 무엇을 이해하지 못하고, 왜 그런지도 명확하지 않으며, 이것이 현실과 어떻게 관련되는지 매우 잘 이해하지 못합니다. 세 가지 수준의 차이로 인해 수학자들은 한 가지 수준에서만 작동합니다. 한 측정 단위에서 다른 측정 단위로 이동하는 방법을 배우는 것이 더 정확할 것입니다.

그리고 토끼, 오리, 작은 동물은 조각으로 셀 수 있습니다. 서로 다른 개체에 대한 하나의 공통 측정 단위를 사용하면 함께 추가할 수 있습니다. 이것은 문제의 어린이 버전입니다. 성인을 위한 유사한 문제를 살펴보겠습니다. 토끼와 돈을 추가하면 무엇을 얻을 수 있습니까? 여기에 두 가지 가능한 솔루션이 있습니다.

첫 번째 옵션. 우리는 토끼의 시장 가치를 결정하고 사용 가능한 현금에 추가합니다. 우리는 돈의 관점에서 우리 부의 총 가치를 얻었습니다.

두 번째 옵션. 보유하고 있는 지폐 수에 토끼 수를 추가할 수 있습니다. 우리는 동산의 금액을 조각으로 얻을 것입니다.

보시다시피, 동일한 추가 법칙을 사용하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 그것은 모두 우리가 정확히 알고 싶은 것에 달려 있습니다.

그러나 우리의 보르시로 돌아갑니다. 이제 선형 각도 함수의 각도 값에 따라 어떤 일이 일어날지 알 수 있습니다.

각도는 0입니다. 샐러드는 있지만 물은 없습니다. 우리는 보르시를 요리할 수 없습니다. borscht의 양도 0입니다. 이것은 0 보르시가 0 물과 같다는 것을 전혀 의미하지 않습니다. 제로 보쉬는 제로 샐러드(직각)에 있을 수도 있습니다.

개인적으로 이것은 . 0은 추가될 때 숫자를 변경하지 않습니다. 한 항만 있고 두 번째 항이 없으면 덧셈 자체가 불가능하기 때문입니다. 원하는 대로 이에 대해 설명할 수 있지만 기억하십시오. 0이 있는 모든 수학 연산은 수학자 자신이 발명한 것이므로 논리를 버리고 수학자가 발명한 정의를 어리석게 벼락치기로 밀어넣습니다. "0으로 나누는 것은 불가능합니다", "0을 곱한 모든 수 0과 같음", "0점 뒤에서" 및 기타 말도 안되는 소리입니다. 0은 숫자가 아니라는 것을 기억하는 것으로 충분합니다. 0이 자연수인지 아닌지에 대한 질문은 결코 없을 것입니다. 그러한 질문은 일반적으로 모든 의미를 잃기 때문입니다. 어떻게 숫자가 아닌 숫자를 고려할 수 있습니까? . 그것은 보이지 않는 색에 어떤 색을 부여할지 묻는 것과 같습니다. 숫자에 0을 더하는 것은 존재하지 않는 페인트로 그림을 그리는 것과 같습니다. 그들은 마른 붓을 흔들며 모두에게 "우리가 그렸습니다."라고 말했습니다. 그러나 나는 약간 빗나간다.

각도는 0보다 크고 45도 미만입니다. 우리는 상추를 많이 가지고 있지만 물은 적습니다. 결과적으로 우리는 두꺼운 보르시를 얻습니다.

각도는 45도입니다. 우리는 같은 양의 물과 양상추를 가지고 있습니다. 이것은 완벽한 보르시입니다.

각도는 45도보다 크고 90도보다 작습니다. 우리는 많은 물과 작은 상추를 가지고 있습니다. 액체 보르시를 얻으십시오.

직각. 물이 있습니다. 한때 양상추를 표시한 선에서 각도를 계속 측정하므로 양상추에 대한 기억만 남아 있습니다. 우리는 보르시를 요리할 수 없습니다. 보르시 양은 0입니다. 그런 경우에는 물이 있는 동안 잡고 마시십시오.)))

여기. 이 같은. 여기에서 적절하지 않은 다른 이야기를 할 수 있습니다.

두 친구는 공동 사업에서 지분을 가지고 있었습니다. 그들 중 하나가 살해 된 후 모든 것이 다른쪽으로 갔다.

우리 행성에서 수학의 출현.

이 모든 이야기는 선형 각도 함수를 사용하여 수학 언어로 설명됩니다. 다른 시간에 나는 수학 구조에서 이러한 함수의 실제 위치를 보여줄 것입니다. 그 동안 보르쉬의 삼각법으로 돌아가서 투영법을 생각해 봅시다.

2019년 10월 26일 토요일

에 대한 흥미로운 비디오를 보았습니다. 그란디의 행 하나 빼기 하나 더하기 하나 빼기 - Numberphile. 수학자들은 거짓말을 합니다. 그들은 추론에서 평등 테스트를 수행하지 않았습니다.

이것은 에 대한 나의 추론과 일치한다.

수학자들이 우리를 속이고 있다는 신호를 자세히 살펴보자. 추론의 맨 처음에 수학자들은 시퀀스의 합이 요소의 개수가 짝수인지 아닌지에 따라 달라진다고 말합니다. 이것은 객관적으로 확립된 사실입니다. 다음에 무슨 일이?

다음으로 수학자들은 1에서 수열을 뺍니다. 이것은 무엇으로 이어지는가? 이로 인해 시퀀스의 요소 수가 변경됩니다. 짝수는 홀수로 변경되고 홀수는 짝수로 변경됩니다. 결국, 우리는 시퀀스에 1과 동일한 하나의 요소를 추가했습니다. 모든 외부 유사성에도 불구하고 변환 전의 순서는 변환 후의 순서와 같지 않습니다. 우리가 무한 수열에 대해 이야기하고 있더라도, 홀수개의 원소를 갖는 무한 수열은 짝수개의 원소를 갖는 무한 수열과 같지 않다는 것을 기억해야 합니다.

요소 수가 다른 두 시퀀스 사이에 등호를 넣으면 수학자들은 시퀀스의 합이 시퀀스의 요소 수에 의존하지 않는다고 주장하며, 이는 객관적으로 확립된 사실과 모순됩니다. 무한 수열의 합에 대한 추가 추론은 거짓 평등을 기반으로 하기 때문에 거짓입니다.

수학자들이 증명 과정에서 대괄호를 배치하고, 수학적 표현의 요소를 재배열하고, 무언가를 추가하거나 제거하고, 매우 조심하십시오. 아마도 그들이 당신을 속이려고 할 가능성이 큽니다. 카드 마술사처럼 수학자들은 결국 잘못된 결과를 주기 위해 다양한 표현 조작으로 주의를 분산시킵니다. 부정 행위의 비밀을 모르고 카드 트릭을 반복할 수 없다면 수학에서 모든 것이 훨씬 간단합니다. 부정 행위에 대해 의심하지 않아도 됩니다. 그러나 모든 조작을 수학적 표현으로 반복하면 다른 사람들에게 당신을 설득했을 때와 마찬가지로 결과의 정확성.

청중의 질문: 그리고 무한대(시퀀스 S의 요소 수)는 짝수입니까 아니면 홀수입니까? 패리티가 없는 항목의 패리티를 어떻게 변경할 수 있습니까?

수학자에게 무한은 성직자를위한 천국과 같습니다. 아무도 거기에 가본 적이 없지만 모든 사람은 모든 것이 어떻게 작동하는지 정확히 알고 있습니다.))) 동의합니다. 죽은 후에는 짝수일이든 홀수일이든 상관없이 절대적으로 무관심할 것입니다. , 하지만 ... 당신의 인생이 시작될 때 단 하루만 추가하면 완전히 다른 사람을 얻게 될 것입니다. 그의 성, 이름 및 후원은 정확히 동일하고 생년월일 만 완전히 다릅니다. 그는 태어났습니다. 하루 전에.

그리고 이제 요점으로))) 패리티가 있는 유한 시퀀스가 ​​무한대로 갈 때 이 패리티를 잃는다고 가정합니다. 그러면 무한 시퀀스의 유한 세그먼트도 패리티를 잃어야 합니다. 우리는 이것을 관찰하지 않습니다. 무한 수열의 원소의 개수가 짝수인지 홀수인지 확실히 말할 수 없다는 사실이 패리티가 사라진 것을 의미하지는 않습니다. 패리티가 존재한다면, 카드의 슬리브가 샤프한 것처럼 흔적 없이 무한대로 사라질 수 없습니다. 이 경우에는 아주 좋은 비유가 있습니다.

시계 바늘이 회전하는 방향으로 시계에 앉아있는 뻐꾸기에게 물어 본 적이 있습니까? 그녀에게 화살표는 우리가 "시계 방향"이라고 부르는 것과 반대 방향으로 회전합니다. 역설적으로 들릴 수 있지만 회전 방향은 회전을 관찰하는 쪽에 전적으로 의존합니다. 그래서 회전하는 바퀴가 하나 있습니다. 회전 평면의 한쪽과 다른 쪽에서 모두 관찰할 수 있기 때문에 회전이 어느 방향으로 발생하는지 말할 수 없습니다. 우리는 회전이 있다는 사실만 증언할 수 있습니다. 무한 시퀀스의 패리티와 완전한 유추 에스.

이제 회전 평면이 첫 번째 회전 바퀴의 회전 평면과 평행한 두 번째 회전 바퀴를 추가해 보겠습니다. 우리는 여전히 이 바퀴가 회전하는 방향을 정확히 말할 수 없지만 두 바퀴가 같은 방향으로 회전하는지 반대 방향으로 회전하는지 절대적으로 확실하게 알 수 있습니다. 두 개의 무한 시퀀스 비교 에스그리고 1-S, 나는 수학의 도움으로 이러한 시퀀스가 ​​서로 다른 패리티를 가지고 있고 그들 사이에 등호를 넣는 것은 실수라는 것을 보여주었습니다. 개인적으로 나는 수학을 믿고 수학자를 믿지 않는다)) 그런데 무한 수열의 변환 기하학을 완전히 이해하려면 개념을 도입해야합니다 "동시성". 이것은 그려야 합니다.

2019년 8월 7일 수요일

에 대한 대화를 마치면서 무한 집합을 고려해야 합니다. "무한"의 개념은 토끼의 보아뱀처럼 수학자에게 작용합니다. 무한의 떨리는 공포는 수학자들의 상식을 박탈합니다. 다음은 예입니다.

원본 소스가 있습니다. 알파는 실수를 나타냅니다. 위 식에서 등호는 무한대에 숫자나 무한대를 더하면 아무 것도 변경되지 않고 결과가 동일한 무한대가 됨을 나타냅니다. 무한한 자연수의 집합을 예로 들면 고려된 예는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그들의 경우를 시각적으로 증명하기 위해 수학자들은 다양한 방법을 생각해 냈습니다. 개인적으로 나는 이 모든 방법을 탬버린을 든 무당의 춤으로 본다. 본질적으로, 그들은 모두 방 중 일부가 점유되지 않고 새 손님이 그 안에 정착하거나 손님 중 일부가 손님을위한 공간을 만들기 위해 복도로 쫓겨났다는 사실로 귀결됩니다 (매우 인간적). 나는 금발에 관한 환상적인 이야기의 형태로 그러한 결정에 대한 나의 견해를 제시했습니다. 내 추론은 무엇을 기반으로 합니까? 무한한 수의 방문자를 이동하려면 무한한 시간이 걸립니다. 우리가 첫 번째 객실을 비운 후 방문자 중 한 명은 시간이 끝날 때까지 항상 복도를 따라 그의 방에서 다음 방으로 걸어갈 것입니다. 물론 시간 요소는 어리석게 무시할 수 있지만 이것은 이미 "법은 바보를 위해 쓰여지지 않았습니다."라는 범주에 속합니다. 그것은 모두 우리가 하는 일에 달려 있습니다. 현실을 수학적 이론에 맞추거나 그 반대로 조정하는 것입니다.

"인피니트 호텔"이란 무엇입니까? 인피니티 인(infinity inn)은 방이 아무리 많아도 빈자리가 항상 있는 여관이다. "방문객을 위한" 끝없는 복도의 모든 방이 점유되어 있다면 "손님"을 위한 공간이 있는 또 다른 끝없는 복도가 있습니다. 그러한 복도는 무한히 많을 것입니다. 동시에 '무한 호텔'은 무한 수의 신이 창조한 무한 수의 우주, 무한 수의 행성, 무한 수의 건물에 무한 층수를 가지고 있다. 반면에 수학자들은 진부한 일상 문제에서 벗어날 수 없습니다. 신-알라-부처는 항상 하나이고, 호텔은 하나이며, 복도는 하나입니다. 그래서 수학자들은 호텔 방의 일련 번호를 저글링하여 "밀어내지 않은 채 밀어내는" 것이 가능하다고 우리를 설득하고 있습니다.

나는 무한한 자연수 집합의 예를 사용하여 내 추론의 논리를 설명할 것입니다. 먼저 매우 간단한 질문에 답해야 합니다. 몇 개의 자연수 집합이 존재합니까 - 하나 또는 여러 개? 이 질문에 대한 정답은 없습니다. 우리 스스로 숫자를 발명했기 때문에 자연에는 숫자가 없습니다. 예, 자연은 완벽하게 계산하는 방법을 알고 있지만 이를 위해 우리에게 익숙하지 않은 다른 수학적 도구를 사용합니다. 자연이 생각하는 대로, 나는 또 다른 시간에 당신에게 말할 것입니다. 우리는 숫자를 발명했기 때문에 자연수의 집합이 몇 개인지 스스로 결정할 것입니다. 실제 과학자에게 적합한 두 가지 옵션을 모두 고려하십시오.

옵션 1. 선반 위에 고요히 놓여 있는 단일 세트의 자연수를 "주어진 것입니다." 우리는 선반에서 이 세트를 가져옵니다. 즉, 선반에 다른 자연수가 남아 있지 않으며 가져올 곳이 없습니다. 이미 가지고 있기 때문에 이 세트에 추가할 수 없습니다. 정말 하고 싶다면? 문제 없어요. 우리는 이미 가져온 세트에서 한 단위를 가져와 선반으로 되돌릴 수 있습니다. 그런 다음 선반에서 한 단위를 가져와 남은 항목에 추가할 수 있습니다. 결과적으로 우리는 다시 무한한 자연수 집합을 얻습니다. 다음과 같이 모든 조작을 작성할 수 있습니다.

나는 대수 표기법과 집합 이론 표기법으로 연산을 기록했으며 집합의 요소를 자세히 나열했습니다. 아래 첨자는 자연수 집합이 하나뿐임을 나타냅니다. 자연수 집합은 자연수에서 하나를 빼고 같은 수를 더하는 경우에만 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

옵션 2. 우리는 선반에 많은 다른 무한한 자연수 집합을 가지고 있습니다. 나는 그들이 실질적으로 구별 할 수 없다는 사실에도 불구하고 - DIFFERENT를 강조합니다. 우리는 이 세트 중 하나를 선택합니다. 그런 다음 다른 자연수 집합에서 하나를 가져와 이미 취한 집합에 더합니다. 두 집합의 자연수를 더할 수도 있습니다. 우리가 얻은 것은 다음과 같습니다.

아래 첨자 "one" 및 "two"는 이러한 요소가 다른 집합에 속함을 나타냅니다. 예, 무한 집합에 하나를 추가하면 결과도 무한 집합이 되지만 원래 집합과 같지는 않습니다. 다른 무한 집합이 하나의 무한 집합에 추가되면 결과는 처음 두 집합의 요소로 구성된 새로운 무한 집합입니다.

자연수 집합은 측정을 위한 자와 같은 방식으로 계산에 사용됩니다. 이제 눈금자에 1센티미터를 추가했다고 상상해 보십시오. 이것은 이미 원본과 같지 않은 다른 줄이 될 것입니다.

내 추론을 수락하거나 수락하지 않을 수 있습니다. 이것은 당신 자신의 일입니다. 그러나 수학적 문제에 부딪히게 된다면, 수 세대에 걸친 수학자들이 밟아온 잘못된 추론의 길을 걷고 있는지 생각해 보십시오. 결국, 수학 수업은 우선 우리의 사고에 대한 고정 관념을 형성하고 그 다음에야 우리에게 정신적 능력을 추가합니다 (또는 그 반대의 경우도 우리에게 자유로운 사고를 박탈합니다).

pozg.ru

2019년 8월 4일 일요일

나는 기사에 대한 포스트 스크립트를 작성하고 있었고 Wikipedia에서 다음과 같은 멋진 텍스트를 보았습니다.

우리는 다음과 같이 읽습니다. "... 바빌로니아 수학의 풍부한 이론적 기초는 전체론적 특성을 갖지 않았고 공통 시스템과 증거 기반이 없는 일련의 이질적인 기술로 축소되었습니다."

우와! 우리가 얼마나 똑똑하고 다른 사람들의 결점을 얼마나 잘 볼 수 있는지. 같은 맥락에서 현대 수학을 보는 것이 우리에게 약한가? 위의 텍스트를 약간 바꿔서 개인적으로 다음을 얻었습니다.

현대 수학의 풍부한 이론적 기초는 전체론적 성격을 갖지 않으며 공통 시스템과 증거 기반이 없는 일련의 이질적인 섹션으로 축소됩니다.

나는 내 말을 확인하기 위해 멀리 가지 않을 것입니다. 그것은 다른 많은 수학 분야의 언어 및 관례와 다른 언어와 관례를 가지고 있습니다. 수학의 다른 분야에서 같은 이름은 다른 의미를 가질 수 있습니다. 나는 현대 수학의 가장 명백한 실수에 대해 출판물의 전체 주기를 바치고 싶습니다. 곧 봐요.

2019년 8월 3일 토요일

집합을 부분 집합으로 나누는 방법은 무엇입니까? 이렇게 하려면 선택한 세트의 일부 요소에 있는 새 측정 단위를 입력해야 합니다. 예를 들어보겠습니다.

우리가 많이 가질 수 있기를 하지만 4명으로 구성. 이 집합은 "사람"을 기준으로 구성되어 있으며, 이 집합의 구성요소를 문자로 지정해 봅시다. ㅏ, 숫자가 있는 아래 첨자는 이 집합에 있는 각 사람의 서수를 나타냅니다. 새로운 측정 단위 "성적 특성"을 도입하고 문자로 표시합시다 비. 성적 특성은 모든 사람에게 내재되어 있으므로 집합의 각 요소를 곱합니다. 하지만성별에 비. "사람" 집합이 이제 "성별이 있는 사람" 집합이 되었습니다. 그 후, 우리는 성적 특성을 남성으로 나눌 수 있습니다 비엠그리고 여성용 bw성별 특성. 이제 수학적 필터를 적용할 수 있습니다. 이러한 성적 특성 중 하나를 선택합니다. 어느 것이 남성인지 여성인지는 중요하지 않습니다. 그것이 사람에게 있으면 1을 곱하고 그러한 표시가 없으면 0을 곱합니다. 그런 다음 일반적인 학교 수학을 적용합니다. 무슨 일이 일어 났는지보십시오.

곱셈, 축소 및 재배열 후에 우리는 두 개의 하위 집합을 얻었습니다. 남성 하위 집합 비엠그리고 여성의 하위 집합 bw. 수학자들이 집합론을 실제로 적용할 때 추론하는 것과 거의 같은 방식입니다. 그러나 그들은 우리에게 세부 사항을 알려주지 않고 최종 결과를 제공합니다. "많은 사람들이 남성의 부분 집합과 여성의 부분 집합으로 구성됩니다." 당연히 위의 변환에서 수학을 얼마나 올바르게 적용했는지에 대한 질문이 있을 수 있습니다. 실제로 변환이 올바르게 수행되었으며 산술, 부울 대수 및 기타 수학 섹션의 수학적 정당성을 아는 것으로 충분하다고 감히 확신합니다. 그것은 무엇입니까? 다른 시간에 나는 그것에 대해 말할 것입니다.

상위 집합의 경우 이 두 집합의 요소에 있는 측정 단위를 선택하여 두 집합을 하나의 상위 집합으로 결합할 수 있습니다.

보시다시피, 측정 단위와 일반적인 수학은 집합 이론을 과거의 것으로 만듭니다. 집합론이 옳지 않다는 신호는 수학자들이 집합론에 대한 고유한 언어와 표기법을 생각해 냈다는 것입니다. 수학자들은 한때 무당들이 했던 일을 했습니다. 샤먼만이 자신의 "지식"을 "올바르게" 적용하는 방법을 알고 있습니다. 이 "지식"은 우리에게 가르쳐줍니다.

결론적으로, 나는 수학자들이 어떻게 조작하는지 보여주고 싶습니다.
아킬레스가 거북이보다 10배 빨리 달리고 거북이보다 1000보나 뒤진다고 가정해 봅시다. 아킬레우스가 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 아킬레우스가 100보를 달리면 거북이는 또 10보를 기어가고 이런 식으로 계속됩니다. 이 과정은 무기한 계속될 것이며 아킬레스는 거북이를 따라잡지 못할 것입니다.

이 추론은 모든 후속 세대에게 논리적 충격이 되었습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 길베르트... 그들 모두는 어떤 식으로든 제노의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서 " ... 토론은 현재 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통된 의견에 도달하지 못했습니다 ... 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적 및 철학적 접근이 문제 연구에 참여했습니다 ; 그들 중 누구도 문제에 대한 보편적인 해결책이 되지 못했습니다 ..."[위키피디아," Zeno's Aporias "]. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만 속임수가 무엇인지는 아무도 이해하지 못한다.

수학의 관점에서 Zeno는 그의 아포리아에서 가치에서 가치로의 전환을 분명히 보여주었습니다. 이 전환은 상수 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 적용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성에 의해 일정한 시간 단위를 역수에 적용합니다. 물리적인 관점에서 보면 아킬레스가 거북이를 따라잡는 순간에 시간이 완전히 멈추는 것처럼 보입니다. 시간이 멈추면 아킬레스는 더 이상 거북이를 따라갈 수 없습니다.

우리가 익숙한 논리를 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달립니다. 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트보다 10배 더 짧습니다. 따라서 그것을 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10 배 적습니다. 이 상황에서 '무한'이라는 개념을 적용한다면 '아킬레스는 거북이를 무한히 빠르게 추월할 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.

이 논리적 함정을 피하는 방법은 무엇입니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 상호 값으로 전환하지 마십시오. Zeno의 언어로 보면 다음과 같습니다.

아킬레우스가 천 걸음을 달리는 데 걸리는 시간에 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 첫 번째 시간과 동일한 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 천 걸음을 더 달리고 거북이는 백 걸음을 기어갑니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.

이 접근 방식은 논리적 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것은 문제에 대한 완전한 해결책이 아닙니다. 빛의 속도의 극복 불가능성에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno의 아포리아 "아킬레스와 거북이"와 매우 유사합니다. 우리는 아직 이 문제를 연구하고 재고하고 해결하지 못했습니다. 그리고 솔루션은 무한히 많은 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.

Zeno의 또 다른 흥미로운 아포리아는 날아가는 화살에 대해 다음과 같이 알려줍니다.

날아가는 화살은 매 순간 정지해 있기 때문에 움직이지 않고, 매 순간 정지해 있기 때문에 항상 정지해 있다.

이 아포리아에서 논리적 역설은 매우 간단하게 극복됩니다. 비행 화살은 시간의 매 순간에 공간의 다른 지점에 놓여 있음을 명확히 하는 것으로 충분합니다. 이는 실제로 움직임입니다. 여기서 주목해야 할 또 다른 점이 있다. 도로 위의 한 장의 자동차 사진에서 그 움직임의 사실이나 거리를 결정하는 것은 불가능합니다. 자동차의 이동 사실을 확인하기 위해서는 같은 지점에서 다른 시점에 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 거리를 판단하는 데 사용할 수는 없다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 동시에 공간의 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 이동 사실을 결정할 수는 없습니다(물론 계산을 위해 여전히 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다). 특히 지적하고 싶은 것은 두 점의 시간과 공간은 서로 다른 탐색의 기회를 제공하므로 혼동해서는 안 되는 두 가지 점이다.
그 과정을 예시로 보여드리겠습니다. 우리는 "여드름에 붉은색 고체"를 선택합니다. 이것이 우리의 "전체"입니다. 동시에 우리는 이것들이 활이 있는 것과 활 없는 것이 있음을 봅니다. 그런 다음 "전체"의 일부를 선택하고 "활과 함께"세트를 형성합니다. 이것이 샤먼이 자신의 집합 이론을 현실에 연결하여 스스로를 먹여 살리는 방법입니다.

이제 약간의 트릭을 수행해 보겠습니다. "활이있는 여드름에 단단한"을 가져 와서 빨간색 요소를 선택하여 "전체"를 색상으로 결합합시다. 우리는 "빨간색"을 많이 얻었습니다. 이제 까다로운 질문입니다. 받은 세트가 "활 포함"과 "빨간색"이 같은 세트입니까 아니면 두 개의 다른 세트입니까? 주술사만이 답을 알고 있습니다. 더 정확하게 말하면, 그들 자신은 아무것도 모르지만 그들이 말하는 것처럼 그렇게 될 것입니다.

이 간단한 예는 집합 이론이 현실에서 완전히 쓸모가 없다는 것을 보여줍니다. 비밀은 무엇입니까? 우리는 "활이있는 붉은 단단한 여드름"세트를 형성했습니다. 색상(빨간색), 강도(단색), 거칠기(범프), 장식(활 포함)의 네 가지 측정 단위에 따라 형성되었습니다. 측정 단위 집합만이 수학 언어로 실제 대상을 적절하게 설명하는 것을 가능하게 합니다.. 다음은 어떻게 생겼는지입니다.

인덱스가 다른 문자 "a"는 다른 측정 단위를 나타냅니다. 괄호 안에는 "전체"가 예비 단계에서 할당되는 측정 단위가 강조 표시됩니다. 세트가 형성되는 측정 단위는 브래킷에서 제거됩니다. 마지막 줄은 최종 결과인 집합의 요소를 보여줍니다. 보시다시피, 단위를 사용하여 집합을 구성하면 결과가 작업 순서에 따라 달라지지 않습니다. 그리고 이것은 수학이지 탬버린을 든 무당의 춤이 아닙니다. 샤먼은 측정 단위가 "과학적" 무기고에 포함되어 있지 않기 때문에 "직관적으로" 동일한 결과에 도달하여 "자명함"으로 주장할 수 있습니다.

측정 단위의 도움으로 하나를 나누거나 여러 세트를 하나의 상위 세트로 결합하는 것이 매우 쉽습니다. 이 과정의 대수학을 자세히 살펴보겠습니다.

문제에 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이의 각도가 주어지면 사인을 통해 삼각형의 면적에 대한 공식을 적용할 수 있습니다.

사인을 사용하여 삼각형의 면적을 계산하는 예. 주어진 변 a = 3, b = 4, 각도 γ= 30°. 각도 30°의 사인은 0.5입니다.

삼각형의 면적은 3제곱미터가 됩니다. 센티미터.

면적은 변의 제곱의 절반에 분수를 곱한 것과 같습니다. 분자에는 인접한 각의 사인의 곱이 있고 분모에는 반대 각도의 사인이 있습니다. 이제 다음 공식을 사용하여 면적을 계산합니다.

예를 들어, 한 변이 a=3이고 각이 γ=60°, β=60°인 삼각형이 있다고 가정합니다. 세 번째 각도를 계산합니다.
데이터를 공식에 대입
삼각형의 면적은 3.87제곱미터입니다. 센티미터.

Ⅱ. 코사인 측면에서 삼각형의 면적

삼각형의 넓이를 구하려면 모든 변의 길이를 알아야 합니다. 코사인 정리에 의해 미지의 변을 찾을 수 있고 그 다음에야 사용할 수 있습니다.
코사인의 법칙에 따르면 삼각형의 미지의 변의 제곱은 나머지 변의 제곱의 합에서 두 변 사이의 각도의 코사인 곱을 뺀 값과 같습니다.

정리에서 우리는 알려지지 않은 변의 길이를 찾는 공식을 도출합니다.

누락된 면을 찾는 방법, 두 면과 그 사이의 각도를 알면 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다. 코사인에 대한 삼각형 면적 공식은 다양한 문제에 대한 솔루션을 빠르고 쉽게 찾는 데 도움이 됩니다.

코사인을 통해 삼각형의 면적 공식을 계산하는 예
알려진 변 a = 3, b = 4, 각도 γ = 45°인 삼각형이 주어집니다. 먼저 부족한 부분을 찾아보자. 와 함께. 코사인 45°=0.7에 의해. 이를 위해 데이터를 코사인 정리에서 파생된 방정식으로 대체합니다.
이제 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.

삼각형 면적 정리

정리 1

삼각형의 면적은 두 변 사이의 각도의 사인 곱의 절반입니다.

증거.

임의의 삼각형 $ABC$가 주어집니다. 이 삼각형의 변의 길이를 $BC=a$, $AC=b$로 표시합시다. $C=(0,0)$ 지점, $B$ 지점이 오른쪽 반축 $Ox$에, $A$ 지점이 첫 번째 좌표 사분면에 있도록 데카르트 좌표계를 도입하겠습니다. 점 $A$에서 높이 $h$를 그립니다(그림 1).

그림 1. 정리 1의 예시

높이 $h$는 점 $A$의 세로좌표와 같으므로

사인 정리

정리 2

삼각형의 변은 반대 각도의 사인에 비례합니다.

증거.

임의의 삼각형 $ABC$가 주어집니다. 이 삼각형의 변의 길이를 $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$라고 합시다(그림 2).

그림 2.

그것을 증명하자

정리 1에 의해 우리는

쌍으로 동일시하면 다음을 얻습니다.

코사인 정리

정리 3

삼각형의 한 변의 제곱은 삼각형의 다른 두 변의 제곱의 합과 두 변의 곱을 두 변 사이의 각도의 코사인 값을 곱한 값과 같습니다.

증거.

임의의 삼각형 $ABC$가 주어집니다. 변의 길이를 $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$로 표시합니다. 점 $A=(0,0)$, 점 $B$가 양의 반축 $Ox$에, 점 $C$가 첫 번째 좌표 사분면에 놓이도록 데카르트 좌표계를 도입하겠습니다(그림 1). 삼).

그림 3

그것을 증명하자

이 좌표계에서 우리는 다음을 얻습니다.

점 사이의 거리 공식을 사용하여 변의 길이 $BC$ 구하기

이러한 정리를 사용하는 문제의 예

실시예 1

임의의 삼각형의 외접원의 지름은 삼각형의 임의의 변과 이 변의 반대쪽 각도의 사인의 비율과 같다는 것을 증명하십시오.

해결책.

임의의 삼각형 $ABC$가 주어집니다. $R$ - 외접원의 반경. 지름 $BD$를 그립니다(그림 4).

삼각형의 면적 - 문제 해결의 공식 및 예

아래는 임의의 삼각형의 면적을 찾는 공식속성, 각도 또는 치수에 관계없이 모든 삼각형의 면적을 찾는 데 적합합니다. 수식은 그림의 형태로 제공되며, 여기에는 정확성의 적용 또는 정당성에 대한 설명이 있습니다. 또한 별도의 그림은 수식의 문자 기호와 도면의 그래픽 기호의 대응 관계를 보여줍니다.

메모 . 삼각형에 특별한 속성(이등변, 직사각형, 정변)이 있는 경우 아래 공식과 이러한 속성을 가진 삼각형에만 적용되는 추가 특수 공식을 사용할 수 있습니다.

• "정삼각형의 면적 공식"

삼각형 면적 공식

수식에 대한 설명:
에이, ㄴ, ㄷ- 면적을 구하고자 하는 삼각형의 변의 길이
아르 자형- 삼각형에 내접하는 원의 반지름
아르 자형- 삼각형 주위의 외접원의 반지름
시간- 삼각형의 높이, 측면으로 낮아짐
피- 삼각형의 반둘레, 변의 합(둘레)의 1/2
α - 삼각형의 반대쪽 각도
β - 삼각형의 반대쪽 b 각도
γ - 삼각형의 변 c와 마주보는 각도
시간 ㅏ, 시간 비 , 시간 씨- 삼각형의 높이, a, b, c 측면으로 낮아짐

주어진 표기법은 위의 그림에 해당하므로 기하학의 실제 문제를 해결할 때 공식의 올바른 위치에 올바른 값을 대입하는 것이 시각적으로 더 쉬울 것입니다.

• 삼각형의 넓이는 삼각형의 높이와 이 높이가 낮아진 변의 길이를 곱한 값의 절반(공식 1). 이 공식의 정확성은 논리적으로 이해할 수 있습니다. 밑면까지 높이를 낮추면 임의의 삼각형이 두 개의 직사각형으로 분할됩니다. 각각을 b 및 h 치수의 직사각형으로 완성하면 분명히 이러한 삼각형의 면적은 직사각형 면적의 정확히 절반과 같습니다(Spr = bh)
• 삼각형의 넓이는 두 변의 곱의 절반과 두 변 사이의 각도 사인(공식 2) (아래 공식을 사용하여 문제를 해결하는 예 참조). 전작과 다른 모습을 보여도 쉽게 변신할 수 있다. 각도 B에서 변 b로 높이를 낮추면 직각 삼각형의 사인 특성에 따라 변 a와 각도 γ의 사인의 곱은 다음으로 그린 ​​삼각형의 높이와 같습니다. 우리에게 이전 공식을 줄 것입니다.
• 임의의 삼각형의 면적을 찾을 수 있습니다 ~을 통해 일하다모든 변의 길이의 합으로 내접하는 원의 반지름의 절반(공식 3) 즉, 삼각형의 반 둘레에 내접원의 반지름을 곱해야 합니다(이렇게 하면 기억하기 쉽습니다)
• 임의의 삼각형의 면적은 모든 변의 곱을 주변에 외접하는 원의 반지름 4개로 나누어 찾을 수 있습니다(공식 4)
• 공식 5는 변의 길이와 반 둘레 (모든 변의 합 절반)로 삼각형의 면적을 구하는 것입니다.
• 헤론의 공식(6) 반 둘레의 개념을 사용하지 않고 변의 길이를 통해서만 동일한 공식을 나타냅니다.
• 임의의 삼각형의 면적은 삼각형의 변의 제곱과 이 변에 인접한 각도의 사인을 이 변과 반대되는 각도의 이중 사인으로 나눈 곱과 같습니다(공식 7)
• 임의의 삼각형의 면적은 둘레에 외접하는 원의 두 정사각형과 각 각의 사인의 곱으로 찾을 수 있습니다. (수식 8)
• 한 변의 길이와 그것에 인접한 두 각의 크기를 알면 삼각형의 면적은 이 변의 제곱을 이들의 코탄젠트의 두 배 합으로 나눈 값으로 찾을 수 있습니다 각도(공식 9)
• 삼각형의 각 높이의 길이만 알려진 경우(공식 10), 이러한 삼각형의 면적은 헤론의 공식과 같이 이러한 높이의 길이에 반비례합니다
• 공식 11을 사용하면 다음을 계산할 수 있습니다. 꼭짓점의 좌표에 따른 삼각형의 면적, 각 꼭짓점에 대해 (x;y) 값으로 지정됩니다. 개별(또는 모든) 정점의 좌표가 음수 값 영역에 있을 수 있으므로 결과 값은 모듈로 가져와야 합니다.

메모. 다음은 삼각형의 면적을 찾기 위해 기하학 문제를 해결하는 예입니다. 여기에 없는 것과 유사한 기하학 문제를 해결해야 하는 경우 포럼에 작성하십시오. 솔루션에서 sqrt() 함수는 "제곱근" 기호 대신 사용할 수 있습니다. 여기서 sqrt는 제곱근 기호이고 급진적 표현식은 대괄호로 표시됩니다..때때로 기호는 간단한 급진적 표현에 사용될 수 있습니다. √

작업. 주어진 두 변의 넓이와 그 사이의 각도 구하기

삼각형의 변은 5cm와 6cm이고 그 사이의 각도는 60도입니다. 삼각형의 넓이 구하기.

해결책.

이 문제를 해결하기 위해 수업의 이론적 부분에서 공식 번호 2를 사용합니다.
삼각형의 면적은 두 변의 길이와 그 사이 각도의 사인을 통해 찾을 수 있으며 다음과 같습니다.
S=1/2 ab sin γ

(수식에 따라) 솔루션에 필요한 모든 데이터가 있으므로 문제 설명의 값만 수식으로 대체할 수 있습니다.
S=1/2*5*6*sin60

삼각 함수의 값 표에서 사인 60도 값을 찾아 대입합니다. 3x2의 근과 같습니다.
S = 15 √3 / 2

대답: 7.5 √3 (교사의 요구에 따라 15 √3/2로 남을 수도 있음)

작업. 정삼각형의 넓이 구하기

한 변이 3cm인 정삼각형의 넓이를 구하십시오.

해결책 .

삼각형의 면적은 헤론의 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a \u003d b \u003d c 이후, 정삼각형의 면적 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

대답: 9 √3 / 4.

작업. 변의 길이를 변경할 때 면적의 변화

변을 4배로 하면 삼각형의 넓이는 몇 배나 늘어나나요?

해결책.

삼각형의 변의 치수는 우리에게 알려지지 않았기 때문에 문제를 해결하기 위해 변의 길이가 각각 임의의 숫자 a, b, c와 같다고 가정합니다. 그런 다음 문제의 질문에 답하기 위해 이 삼각형의 면적을 찾은 다음, 변이 4배 더 큰 삼각형의 면적을 찾습니다. 이 삼각형의 면적 비율이 문제에 대한 답을 줄 것입니다.

다음으로, 문제 해결에 대한 텍스트 설명을 단계별로 제공합니다. 그러나 결국 동일한 솔루션이 인식에 더 편리한 그래픽 형식으로 제공됩니다. 원하는 사람은 즉시 솔루션을 드롭다운할 수 있습니다.

해결하기 위해 헤론 공식을 사용합니다(위의 강의 이론 부분 참조). 다음과 같습니다.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(아래 그림의 첫 번째 줄 참조)

임의의 삼각형의 변의 길이는 변수 a, b, c로 지정됩니다.
측면이 4 배 증가하면 새 삼각형 c의 면적은 다음과 같습니다.

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(아래 그림의 두 번째 줄 참조)

보시다시피 4는 수학의 일반적인 규칙에 따라 4가지 식 모두에서 괄호로 묶을 수 있는 공통 요소입니다.
그 다음에

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - 사진의 세 번째 줄에
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - 네 번째 줄

256이라는 숫자에서 제곱근이 완벽하게 추출되었으니 밑에서 빼도록 하겠습니다.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(아래 그림의 다섯 번째 줄 참조)

문제에서 제기된 질문에 답하려면 결과 삼각형의 면적을 원래 삼각형의 면적으로 나누는 것으로 충분합니다.
표현식을 서로 나누고 결과 분수를 줄여 면적 비율을 결정합니다.