함수 y x 2 4x 연구하기 1. 함수를 연구하고 그래프를 작성하는 방법은 무엇입니까? 수평 및 경사 점근선 찾기

함수를 연구하고 그래프를 작성하는 방법은 무엇입니까?

55권의 전집을 집필한 세계 프롤레타리아트의 지도자, 영적으로 통찰력 있는 얼굴을 이제야 이해하기 시작한 것 같습니다. 긴 여정은 다음과 같은 기본 정보로 시작되었습니다. 함수와 그래프, 이제 노동 집약적 주제에 대한 작업이 논리적 결과로 끝납니다. 기사 기능에 대한 완전한 연구에 대해. 오랫동안 기다려온 작업은 다음과 같이 공식화됩니다.

미분법을 사용하여 함수를 연구하고 연구 결과를 바탕으로 그래프를 작성합니다.

간단히 말해서 함수를 검사하고 그래프를 작성하는 것입니다.

탐험하는 이유는 무엇입니까?간단한 경우에는 기본 기능을 이해하고 다음을 사용하여 얻은 그래프를 그리는 것이 어렵지 않습니다. 기본 기하학적 변환등등. 그러나 더 복잡한 기능의 속성과 그래픽 표현은 명확하지 않으므로 전체 연구가 필요합니다.

솔루션의 주요 단계는 참고 자료에 요약되어 있습니다. 기능 연구 계획, 이 섹션에 대한 안내입니다. 입문자에게는 주제에 대한 단계별 설명이 필요하고, 일부 독자는 어디서부터 시작해야 할지, 연구를 어떻게 구성해야 할지 모르며, 고급 학생은 몇 가지 사항에만 관심이 있을 수 있습니다. 그러나 친애하는 방문객 여러분, 당신이 누구이든, 다양한 교훈에 대한 포인터가 포함된 제안된 요약은 당신이 관심 있는 방향으로 신속하게 방향을 잡고 안내할 것입니다. 로봇들이 눈물을 흘렸습니다 =) 매뉴얼은 PDF 파일로 구성되어 페이지에서 올바른 위치를 차지했습니다. 수학 공식 및 표.

나는 함수의 연구를 5~6가지 포인트로 나누는 데 익숙합니다.

6) 연구 결과를 바탕으로 추가 포인트 및 그래프를 제공합니다.

최종 조치에 관해서는 모든 사람에게 모든 것이 명확하다고 생각합니다. 몇 초 만에 해당 내용을 지우고 수정을 위해 작업을 반환하면 매우 실망스러울 것입니다. 정확하고 정확한 도면이 솔루션의 주요 결과입니다! 분석 오류를 "은폐"할 가능성이 높으며 부정확하거나 부주의한 일정은 완벽하게 수행된 연구에서도 문제를 일으킬 수 있습니다.

다른 출처에서는 연구 포인트 수, 구현 순서 및 디자인 스타일이 내가 제안한 계획과 크게 다를 수 있지만 대부분의 경우 충분합니다. 문제의 가장 간단한 버전은 2~3단계로만 구성되며 다음과 같이 공식화됩니다. "도함수를 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다." 또는 "1차 및 2차 도함수를 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다."

당연히 매뉴얼이 다른 알고리즘을 자세히 설명하거나 교사가 강의를 따르도록 엄격하게 요구하는 경우 솔루션을 일부 조정해야 합니다. 전기톱 포크를 숟가락으로 교체하는 것보다 더 어렵지 않습니다.

짝수/홀수에 대한 함수를 확인해 보겠습니다.

다음은 템플릿 응답입니다.
, 이는 이 함수가 짝수 또는 홀수가 아니라는 것을 의미합니다.

함수가 에 대해 연속적이므로 수직 점근선은 없습니다.

경사 점근선도 없습니다.

메모 : 더 높을수록 성장 순서, than 이므로 최종 한계는 정확히 “ ...을 더한무한대."

함수가 무한대에서 어떻게 동작하는지 알아봅시다:

즉, 오른쪽으로 가면 그래프는 무한히 위로 올라가고, 왼쪽으로 가면 그래프는 무한히 아래로 갑니다. 예, 단일 항목에 대해 두 가지 제한이 있습니다. 표지판을 해독하는 데 어려움이 있는 경우 다음 강의를 방문하세요. 극소 함수.

그래서 기능은 위에서 제한되지 않음그리고 아래로부터 제한되지 않음. 중단점이 없다는 점을 고려하면 다음과 같습니다. 기능 범위: – 또한 임의의 실수.

유용한 기술 기술

작업의 각 단계는 함수 그래프에 대한 새로운 정보를 제공합니다., 따라서 솔루션 중에 일종의 LAYOUT을 사용하는 것이 편리합니다. 초안에 직교 좌표계를 그려 봅시다. 이미 확실히 알려진 것은 무엇입니까? 첫째, 그래프에는 점근선이 없으므로 직선을 그릴 필요가 없습니다. 둘째, 우리는 함수가 무한대에서 어떻게 작동하는지 알고 있습니다. 분석에 따르면 우리는 첫 번째 근사치를 도출합니다.

인해 참고하시기 바랍니다 연속성기능이 켜져 있고 그래프가 축을 한 번 이상 교차해야 한다는 사실입니다. 아니면 교차점이 여러 개 있을 수도 있나요?

3) 함수의 0과 상수 부호의 간격.

먼저, 그래프와 세로축의 교점을 찾아보겠습니다. 간단 해. 다음에서 함수의 값을 계산해야 합니다.

해발 1.5배.

축(함수의 0)과의 교차점을 찾으려면 방정식을 풀어야 하며 여기서는 불쾌한 놀라움이 기다리고 있습니다.

마지막에 무료 회원이 숨어 있어 작업이 훨씬 더 어려워집니다.

이러한 방정식에는 적어도 하나의 실수 근이 있으며, 대부분 이 근은 비합리적입니다. 최악의 동화에서는 아기돼지 삼형제가 우리를 기다리고 있습니다. 방정식은 소위를 사용하여 풀 수 있습니다. 카르다노 공식, 그러나 종이의 손상은 거의 전체 연구와 비슷합니다. 이런 점에서는 구두로든 초안으로든 적어도 하나를 선택하도록 노력하는 것이 현명합니다. 전체뿌리. 이 숫자가 다음과 같은지 확인해 보겠습니다.
– 적합하지 않습니다.
- 있어요!

여기 행운이 있습니다. 실패할 경우 테스트할 수도 있습니다. 이 숫자가 맞지 않으면 방정식에 대한 수익성 있는 솔루션이 거의 없을 것 같습니다. 그렇다면 연구 포인트를 완전히 건너뛰는 것이 더 낫습니다. 아마도 추가 포인트가 돌파되는 마지막 단계에서 뭔가 더 명확해질 것입니다. 그리고 뿌리가 분명히 "나쁜" 경우에는 기호의 일관성 간격에 대해 겸손하게 침묵을 유지하고 더 신중하게 그리는 것이 좋습니다.

그러나 우리는 아름다운 근을 가지고 있으므로 다항식을 나눕니다. 나머지 없음:

다항식을 다항식으로 나누는 알고리즘은 수업의 첫 번째 예에서 자세히 논의됩니다. 복잡한 한계.

결과적으로 원래 방정식의 좌변은 제품으로 분해됩니다.

이제 건강한 생활 방식에 대해 조금 알아 보겠습니다. 나는 물론 그 점을 이해한다. 이차 방정식매일 풀어야 하는 문제지만 오늘은 예외를 두겠습니다. 두 개의 실제 뿌리가 있습니다.

찾은 값을 수직선에 그려보자 그리고 간격 방법함수의 부호를 정의해 보겠습니다.

og 따라서 간격에 따라 일정이 위치해 있어요
x축 아래와 간격으로 – 이 축 위에 있습니다.

결과를 통해 레이아웃을 개선할 수 있으며 그래프의 두 번째 근사치는 다음과 같습니다.

함수에는 간격마다 최대값이 하나 이상, 간격마다 최소값이 하나 이상 있어야 합니다. 하지만 일정이 몇 번, 어디서, 언제 반복될지는 아직 알 수 없습니다. 그건 그렇고, 함수는 무한히 많은 것을 가질 수 있습니다 과격한 수단.

4) 함수의 증가, 감소 및 극값.

중요한 점을 찾아봅시다:

이 방정식에는 두 개의 실수 근이 있습니다. 이를 수직선에 놓고 도함수의 부호를 결정해 봅시다:

따라서 함수는 다음과 같이 증가합니다. 로 감소합니다.
함수가 최대값에 도달하는 지점에서: .
함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

확립된 사실은 템플릿을 상당히 엄격한 프레임워크로 만듭니다.

말할 필요도 없이, 미분학은 강력한 것입니다. 마지막으로 그래프의 모양을 이해해 보겠습니다.

5) 볼록함, 오목함 및 변곡점.

2차 미분의 중요한 점을 찾아보겠습니다.

표지판을 정의해 봅시다:

함수의 그래프는 에서 볼록하고 에서 오목합니다. 변곡점의 세로 좌표를 계산해 보겠습니다.

거의 모든 것이 명확해졌습니다.

6) 보다 정확하게 그래프를 구성하고 셀프 테스트를 수행하는 데 도움이 되는 추가 포인트를 찾는 것이 남아 있습니다. 이 경우 그 중 몇 가지가 있지만 무시하지 않을 것입니다.

그림을 그려보자:

변곡점은 녹색으로 표시되고, 추가 지점은 십자가로 표시됩니다. 3차 함수의 그래프는 변곡점을 중심으로 대칭이며 변곡점은 항상 최대값과 최소값 사이의 정확히 중간에 위치합니다.

과제가 진행되면서 세 개의 가상 임시 도면을 제공했습니다. 실제로는 좌표계를 그리고 발견된 지점을 표시하고 각 연구 지점 후에 함수 그래프가 어떻게 보일지 정신적으로 추정하는 것으로 충분합니다. 준비가 잘 된 학생들이라면 초안을 작성하지 않고 머릿속으로만 그러한 분석을 수행하는 것이 어렵지 않을 것입니다.

스스로 해결하려면:

실시예 2

함수를 살펴보고 그래프를 작성해 보세요.

여기에서는 모든 것이 더 빠르고 재미있습니다. 수업이 끝나면 최종 디자인의 대략적인 예를 보여줍니다.

분수 합리적 함수에 대한 연구는 많은 비밀을 드러냅니다.

실시예 3

미분법을 사용하여 함수를 연구하고 연구 결과를 바탕으로 그래프를 구성합니다.

해결책: 연구의 첫 번째 단계는 정의 영역에 구멍이 있다는 점을 제외하고는 주목할만한 점으로 구별되지 않습니다.

1) 함수는 점을 제외한 수직선 전체에 대해 정의되고 연속적이며, 도메인: .

, 이는 이 함수가 짝수 또는 홀수가 아니라는 것을 의미합니다.

함수가 비주기적이라는 것은 명백합니다.

함수 그래프는 왼쪽 및 오른쪽 절반 평면에 위치한 두 개의 연속 분기를 나타냅니다. 이는 아마도 포인트 1의 가장 중요한 결론일 것입니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

a) 단측 극한을 사용하여 수직 점근선이 분명히 있어야 하는 의심스러운 지점 근처의 함수 동작을 검사합니다.

실제로 기능은 지속됩니다. 끝없는 격차그 시점에
그리고 직선(축)은 수직 점근선그래픽 아트 .

b) 경사 점근선이 존재하는지 확인해 봅시다:

네, 바로요 경사 점근선그래픽, 만약 .

함수가 경사 점근선을 포함한다는 것이 이미 분명하기 때문에 극한을 분석하는 것은 의미가 없습니다. 위에서 제한되지 않음그리고 아래로부터 제한되지 않음.

두 번째 연구 포인트는 기능에 대한 많은 중요한 정보를 산출했습니다. 대략적인 스케치를 해보자:

결론 1번은 상수 부호의 간격에 관한 것입니다. "마이너스 무한대"에서 함수 그래프는 확실히 x축 아래에 위치하며 "플러스 무한대"에서는 이 축 위에 있습니다. 또한, 단측 극한은 점의 왼쪽과 오른쪽 모두에서 함수가 0보다 크다는 것을 알려줍니다. 왼쪽 절반 평면에서 그래프는 x축과 최소한 한 번 교차해야 합니다. 오른쪽 절반 평면에는 함수의 0이 없을 수 있습니다.

결론 2번은 함수가 점의 왼쪽에서 증가한다는 것입니다(“아래에서 위로” 이동). 이 지점의 오른쪽으로 갈수록 기능이 감소합니다("위에서 아래로" 이동). 그래프의 오른쪽 가지에는 최소한 하나의 최소값이 있어야 합니다. 왼쪽에서는 극단이 보장되지 않습니다.

결론 3번은 점 근처 그래프의 오목함에 대한 신뢰할 수 있는 정보를 제공합니다. 선은 위와 아래 모두에서 점근선을 향해 밀릴 수 있기 때문에 무한대에서의 볼록함/오목함에 대해서는 아직 아무 말도 할 수 없습니다. 일반적으로 현재 이를 파악하는 분석적인 방법이 있지만, 그래프의 모양은 차후에 더욱 명확해질 것입니다.

왜 그렇게 말이 많아? 후속 연구 포인트를 제어하고 실수를 방지하려면! 추가 계산은 도출된 결론과 모순되어서는 안 됩니다.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 함수의 상수 부호 간격.

함수의 그래프는 축과 교차하지 않습니다.

간격 방법을 사용하여 부호를 결정합니다.

, 만약에 ;
, 만약에 .

이 점의 결과는 결론 1번과 완전히 일치합니다. 각 단계가 끝나면 초안을 보고, 연구 내용을 머릿속으로 확인하고, 함수 그래프를 완성해 보세요.

고려중인 예에서 분자는 분모에 의해 용어별로 나누어지며 이는 차별화에 매우 유용합니다.

실제로 이것은 점근선을 찾을 때 이미 수행되었습니다.

- 중요한 점.

표지판을 정의해 봅시다:

증가 그리고 감소

함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

결론 2번에도 불일치가 없었으며, 아마도 우리는 올바른 길을 가고 있을 것입니다.

이는 함수의 그래프가 전체 정의 영역에 걸쳐 오목하다는 것을 의미합니다.

좋습니다. 아무것도 그릴 필요가 없습니다.

변곡점이 없습니다.

오목함은 결론 3번과 일치하며, 또한 무한대(저기 둘 다)에 함수 그래프가 위치함을 나타냅니다. 더 높은그것의 경사 점근선.

6) 과제를 성실히 가산점으로 고정하겠습니다. 우리는 연구를 통해 두 가지 점만 알고 있기 때문에 여기서 열심히 노력해야 합니다.

그리고 아마도 오래 전에 많은 사람들이 상상했던 그림이 있습니다.

작업을 수행하는 동안 연구 단계 사이에 모순이 없는지 주의 깊게 확인해야 하지만 때로는 상황이 긴급하거나 절망적으로 막다른 골목에 도달하는 경우도 있습니다. 분석은 "합산되지 않습니다"-그게 전부입니다. 이 경우 비상 기술을 권장합니다. 그래프에 속하는 가능한 한 많은 점을 찾아(인내심만큼) 좌표 평면에 표시합니다. 발견된 값을 그래픽으로 분석하면 대부분의 경우 진실이 어디에 있고 어디가 거짓인지 알 수 있습니다. 또한 Excel과 같은 일부 프로그램을 사용하여 그래프를 미리 작성할 수 있습니다(물론 기술이 필요함).

실시예 4

미분법을 사용하여 함수를 연구하고 그래프를 구성합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 그 안에서 함수의 패리티에 의해 자제력이 향상됩니다. 그래프는 축을 중심으로 대칭이며 연구에 이 사실과 모순되는 내용이 있는 경우 오류를 찾으십시오.

짝수 또는 홀수 함수는 에서만 연구할 수 있으며 그래프의 대칭성을 사용합니다. 이 솔루션은 최적이지만 제 생각에는 매우 이례적으로 보입니다. 개인적으로 저는 전체 수직선을 보지만 여전히 오른쪽에서만 추가 점을 찾습니다.

실시예 5

함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 그래프를 구성하십시오.

해결책: 상황이 어려워졌습니다:

1) 함수는 전체 수직선에서 정의되고 연속됩니다.

이는 이 함수가 홀수이고 그래프가 원점을 기준으로 대칭임을 의미합니다.

함수가 비주기적이라는 것은 명백합니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

함수가 에 대해 연속이므로 수직 점근선은 없습니다.

지수를 포함하는 함수의 경우 일반적입니다. 분리된그러나 "플러스"와 "무한대 마이너스"에 대한 연구는 그래프의 대칭으로 인해 우리의 삶이 더 쉬워집니다. 왼쪽과 오른쪽 모두에 점근선이 있거나 전혀 없습니다. 따라서 단일 항목 아래에 두 무한한계를 모두 쓸 수 있습니다. 우리가 사용하는 솔루션 중에 로피탈의 법칙:

직선(축)은 에서 그래프의 수평 점근선입니다.

경사 점근선을 찾기 위한 전체 알고리즘을 어떻게 교묘하게 피했는지 주목하십시오. 극한은 완전히 적법하며 무한대에서 함수의 동작을 명확하게 하며 수평 점근선은 "마치 동시에" 발견되었습니다.

연속성과 수평 점근선의 존재로부터 다음 함수는 다음과 같습니다. 위에 경계그리고 아래로 제한됨.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 상수 부호의 간격.

여기서는 솔루션도 단축합니다.
그래프는 원점을 통과합니다.

좌표축과의 다른 교차점은 없습니다. 더욱이 부호의 불변성 간격은 명백하며 축을 그릴 필요가 없습니다. 즉, 함수의 부호는 "x"에만 의존한다는 의미입니다.
, 만약에 ;
, 만약에 .

4) 함수의 증가, 감소, 극값.

– 중요한 포인트.

점은 당연히 0을 기준으로 대칭입니다.

미분의 부호를 결정합시다.

함수는 간격에 따라 증가하고 간격에 따라 감소합니다.

함수가 최대값에 도달하는 지점에서: .

재산으로 인해 (함수의 이상한 점) 최소값을 계산할 필요가 없습니다.

구간에 따라 함수가 감소하므로 그래프는 분명히 "마이너스 무한대"에 위치합니다. 아래에점근선. 간격에 따라 함수도 감소하지만 여기서는 그 반대입니다. 최대 지점을 통과한 후 선이 위에서 축에 접근합니다.

위에서부터 함수의 그래프는 "마이너스 무한대"에서 볼록하고 "플러스 무한대"에서 오목하다는 결론이 나옵니다.

이 연구 시점 이후에 함수 값의 범위가 그려졌습니다.

어떤 점에 대해 오해가 있다면 다시 한 번 노트에 좌표축을 그리고 손에 연필을 들고 작업의 각 결론을 다시 분석할 것을 촉구합니다.

5) 그래프의 볼록함, 오목함, 꼬임.

– 중요한 포인트.

점의 대칭은 유지되며 아마도 착각하지 않을 것입니다.

표지판을 정의해 봅시다:

함수의 그래프는 볼록하다 그리고 오목하다 .

극한 간격의 볼록/오목이 확인되었습니다.

모든 임계점에는 그래프에 꼬임이 있습니다. 변곡점의 세로 좌표를 찾고 함수의 홀수를 사용하여 다시 계산 수를 줄여 보겠습니다.

문제가 그래프 구성과 함께 함수 f (x) = x 2 4 x 2 - 1에 대한 완전한 연구가 필요한 경우 이 원리를 자세히 고려할 것입니다.

이러한 유형의 문제를 해결하려면 기본 기본 함수의 속성과 그래프를 사용해야 합니다. 연구 알고리즘에는 다음 단계가 포함됩니다.

정의 영역 찾기

함수의 정의 영역에 대한 연구가 진행되고 있으므로 이 단계부터 시작하는 것이 필요하다.

실시예 1

주어진 예에서는 ODZ에서 분모의 0을 제외하기 위해 분모의 0을 찾는 작업이 포함됩니다.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; + Infini

결과적으로 근, 로그 등을 얻을 수 있습니다. 그런 다음 ODZ는 부등식 g (x) ≥ 0으로 g (x) 4 유형의 짝수 차수 근을 검색할 수 있으며, 로그 로그 a g (x)의 경우 부등식 g (x) > 0으로 검색할 수 있습니다.

ODZ의 경계 연구 및 수직 점근선 찾기

그러한 점에서의 단측 극한이 무한할 때 함수의 경계에는 수직 점근선이 있습니다.

실시예 2

예를 들어, x = ± 1 2 와 같은 경계점을 생각해 보세요.

그런 다음 단측 극한을 찾기 위해 함수를 연구해야 합니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + limit x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - limit 한계 x → 1 2 - 0 f (x) = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + 무한

이는 단측 극한이 무한하다는 것을 보여줍니다. 이는 직선 x = ± 1 2 가 그래프의 수직 점근선임을 의미합니다.

함수와 짝수인지 홀수인지에 대한 연구

y(-x) = y(x) 조건이 충족되면 함수는 짝수로 간주됩니다. 이는 그래프가 Oy를 기준으로 대칭적으로 위치함을 나타냅니다. 조건 y(-x) = - y(x)가 충족되면 함수는 홀수로 간주됩니다. 이는 대칭이 좌표 원점을 기준으로 함을 의미합니다. 적어도 하나의 부등식이 만족되지 않으면 일반 형식의 함수를 얻습니다.

y (- x) = y (x) 등식은 함수가 짝수임을 나타냅니다. 구성할 때 Oy에 대해 대칭이 있다는 점을 고려해야 합니다.

부등식을 해결하기 위해 각각 f " (x) ≥ 0 및 f " (x) ≤ 0 조건에서 증가 및 감소 구간이 사용됩니다.

정의 1

고정점- 미분값을 0으로 바꾸는 지점입니다.

중요한 점- 함수의 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는 정의 영역의 내부 지점입니다.

결정을 내릴 때 다음 사항을 고려해야 합니다.

f " (x) > 0 형식의 불평등 증가 및 감소의 기존 구간에 대해 임계점은 솔루션에 포함되지 않습니다.
유한 도함수 없이 함수가 정의되는 지점은 증가 및 감소 구간에 포함되어야 합니다(예: y = x 3, 여기서 x = 0 지점이 함수를 정의하면 도함수는 이 지점에서 무한대의 값을 갖습니다. point, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = , x = 0은 증가 구간에 포함됩니다);
불일치를 피하기 위해 교육부가 권장하는 수학 문헌을 사용하는 것이 좋습니다.

함수 정의 영역을 만족하는 경우 증가 및 감소 간격에 임계점을 포함합니다.

정의 2

을 위한 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음을 찾아야 합니다.:

유도체;
중요한 점;
임계점을 사용하여 정의 영역을 간격으로 나눕니다.
각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 여기서 +는 증가이고 -는 감소입니다.

실시예 3

정의 영역에서 도함수 찾기 f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

해결책

해결하려면 다음이 필요합니다.

고정점을 찾으세요. 이 예에서는 x = 0입니다.
분모의 0을 찾으려면 이 예에서는 x = ± 1 2에서 0 값을 사용합니다.

각 구간의 도함수를 결정하기 위해 수직선에 점을 배치합니다. 이렇게 하려면 간격에서 임의의 지점을 가져와 계산을 수행하면 충분합니다. 결과가 양수이면 그래프에 +를 표시하는데 이는 함수가 증가함을 의미하고 -는 감소함을 의미합니다.

예를 들어, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0은 왼쪽의 첫 번째 구간에 + 기호가 있음을 의미합니다. 수직선을 생각해 보세요.

답변:

함수는 간격 - 에 따라 증가합니다. - 1 2 및 (- 1 2 ; 0 ] ;
간격이 감소합니다. [0; 1 2) 및 1 2 ; + .

도표에서는 +와 -를 이용하여 함수의 긍정과 부정을 표현하였으며, 화살표는 감소와 증가를 나타냅니다.

함수의 극점은 함수가 정의되고 도함수가 부호를 변경하는 지점입니다.

실시예 4

x = 0인 예를 고려하면 그 안의 함수 값은 f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0과 같습니다. 미분의 부호가 +에서 -로 바뀌고 x = 0 지점을 통과하면 좌표가 (0; 0)인 지점이 최대 지점으로 간주됩니다. 부호가 -에서 +로 바뀌면 최소점을 얻습니다.

볼록함과 오목함은 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0 형식의 부등식을 풀어 결정됩니다. 덜 일반적으로 사용되는 이름은 오목형 대신 아래쪽 볼록형, 볼록형 대신 위쪽 볼록형이라는 이름입니다.

정의 3

을 위한 오목함과 볼록함의 간격 결정필요한:

2차 도함수를 찾으세요;
2차 미분 함수의 영점을 찾습니다.
정의 영역을 나타나는 지점이 있는 간격으로 나눕니다.
간격의 부호를 결정합니다.

실시예 5

정의 영역에서 2차 도함수를 찾습니다.

해결책

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

우리는 분자와 분모의 0을 찾습니다. 여기서 예에서는 분모의 0이 x = ± 1 2라는 것을 알 수 있습니다.

이제 수직선에 점을 표시하고 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 결정해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

답변:

함수는 - 1 2 구간에서 볼록합니다. 12 ;
함수는 간격 - 에서 오목합니다. - 1 2 및 1 2; + .

정의 4

변곡점– 이것은 x 0 형식의 점입니다. 에프(x0) . 함수 그래프에 접선이 있으면 x 0을 통과할 때 함수의 부호가 반대 방향으로 변경됩니다.

즉, 이는 2차 도함수가 통과하여 부호가 바뀌는 지점인데, 그 지점 자체에서는 0과 같거나 존재하지 않습니다. 모든 점은 함수의 영역으로 간주됩니다.

이 예에서는 2차 도함수가 x = ± 1 2 점을 통과하는 동안 부호가 변경되므로 변곡점이 없다는 것이 분명했습니다. 이는 정의 범위에 포함되지 않습니다.

수평 및 경사 점근선 찾기

무한대에서 함수를 정의할 때 수평 및 경사 점근선을 찾아야 합니다.

정의 5

경사 점근선는 방정식 y = k x + b로 주어진 직선을 사용하여 표시됩니다. 여기서 k = lim x → f (x) x 및 b = lim x → f (x) - k x입니다.

k = 0이고 b가 무한대가 아닌 경우, 경사 점근선은 다음과 같습니다. 수평의.

즉, 점근선은 함수 그래프가 무한대에 접근하는 선으로 간주됩니다. 이를 통해 함수 그래프를 빠르게 구성할 수 있습니다.

점근선은 없지만 함수가 양쪽 무한대에서 정의된 경우 함수 그래프가 어떻게 동작하는지 이해하려면 이러한 무한대에서 함수의 극한을 계산해야 합니다.

실시예 6

다음과 같은 예를 생각해 보자.

k = 한계 x → IGHT f (x) x = 한계 x → x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = 한계 x → (f (x) - k x) = 한계 x → x 2 4 x 2 - 1 = 14 ⇒ y = 14

수평 점근선입니다. 함수를 검토한 후 함수 생성을 시작할 수 있습니다.

중간 지점에서 함수 값 계산

그래프를 더 정확하게 만들려면 중간 지점에서 여러 함수 값을 찾는 것이 좋습니다.

실시예 7

우리가 고려한 예에서 x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 지점에서 함수 값을 찾아야합니다. 함수가 짝수이므로 값이 이 지점의 값과 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4를 얻습니다.

다음을 작성하고 해결해 봅시다:

F(- 2) = f(2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≒ 0, 27 f(- 1) - f(1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≒ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≒ - 0.08

함수의 최대값과 최소값, 변곡점, 중간점을 결정하려면 점근선을 구성해야 합니다. 지정의 편의를 위해 증가, 감소, 볼록, 오목의 간격을 기록합니다. 아래 그림을 살펴 보겠습니다.