산술 진행의 합을 찾는 방법. 산술 진행의 첫 번째 n-항의 합

누군가는 "진행"이라는 단어를 고등 수학 섹션의 매우 복잡한 용어로 조심스럽게 취급합니다. 한편, 가장 간단한 산술 진행은 택시 카운터(아직도 남아 있는 곳)의 작업입니다. 그리고 산술 수열의 본질(수학에서는 "본질을 이해하는 것"보다 더 중요한 것은 없음)을 이해하는 것은 몇 가지 기본 개념을 분석한 결과 그리 어렵지 않습니다.

수학 번호 시퀀스

일련의 숫자 시퀀스를 호출하는 것이 일반적이며 각 숫자에는 고유한 번호가 있습니다.

1은 시퀀스의 첫 번째 멤버입니다.

2는 시퀀스의 두 번째 멤버입니다.

7은 시퀀스의 일곱 번째 멤버입니다.

n은 시퀀스의 n번째 멤버입니다.

그러나 임의의 숫자와 숫자 집합이 우리의 관심을 끌지는 않습니다. 우리는 n번째 멤버의 값이 수학적으로 명확하게 공식화될 수 있는 종속성에 의해 서수와 관련된 숫자 시퀀스에 주의를 집중할 것입니다. 즉, n번째 숫자의 숫자 값은 n의 일부 기능입니다.

- 숫자 시퀀스의 구성원 값;

n은 일련 번호입니다.

f(n)은 숫자 시퀀스 n의 서수가 인수인 함수입니다.

정의

산술 진행은 일반적으로 각 후속 항이 이전 항보다 동일한 수만큼 더 큰(작은) 수열이라고 합니다. 산술 수열의 n번째 멤버에 대한 공식은 다음과 같습니다.

n - 산술 진행의 현재 멤버의 값.

a n+1 - 다음 숫자의 공식;

d - 차이(특정 숫자).

차이가 양수(d>0)이면 고려 중인 계열의 각 후속 멤버가 이전 멤버보다 크고 이러한 산술 진행이 증가할 것이라고 쉽게 결정할 수 있습니다.

아래 그래프를 보면 왜 숫자열을 "증가"라고 하는지 쉽게 알 수 있습니다.

차이가 음수인 경우(d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

지정된 멤버의 값

때때로 산술 진행의 임의의 항 a n의 값을 결정할 필요가 있습니다. 첫 번째부터 원하는 값까지 산술 진행의 모든 ​​구성원의 값을 연속적으로 계산하여 이를 수행할 수 있습니다. 그러나 예를 들어 5,000분의 1 또는 800만 번째 항의 값을 찾아야 하는 경우 이 방법이 항상 허용되는 것은 아닙니다. 전통적인 계산은 오랜 시간이 걸립니다. 그러나 특정 산술 진행은 특정 공식을 사용하여 조사할 수 있습니다. n번째 항에 대한 공식도 있습니다. 산술 진행의 모든 ​​구성원의 값은 진행의 차이와 진행의 첫 번째 구성원의 합에 원하는 구성원의 수를 곱한 값에서 1을 뺀 값으로 결정될 수 있습니다. .

이 공식은 진행을 늘리거나 줄이는 데 보편적입니다.

주어진 구성원의 가치를 계산하는 예

산술 진행의 n번째 멤버의 값을 찾는 다음 문제를 해결해 봅시다.

조건: 매개변수가 있는 산술 진행이 있습니다.

시퀀스의 첫 번째 멤버는 3입니다.

숫자 계열의 차이는 1.2입니다.

과제: 214개 항의 값을 찾아야 합니다.

솔루션: 주어진 멤버의 값을 결정하기 위해 다음 공식을 사용합니다.

a(n) = a1 + d(n-1)

문제 진술의 데이터를 표현식으로 대입하면 다음과 같습니다.

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

답변: 시퀀스의 214번째 멤버는 258.6과 같습니다.

이 계산 방법의 장점은 분명합니다. 전체 솔루션은 2줄을 넘지 않습니다.

주어진 구성원 수의 합

매우 자주 주어진 산술 시리즈에서 일부 세그먼트 값의 합계를 결정해야 합니다. 또한 각 항의 값을 계산한 다음 합산할 필요가 없습니다. 이 방법은 합을 구해야 하는 항의 수가 적은 경우에 적용할 수 있습니다. 다른 경우에는 다음 공식을 사용하는 것이 더 편리합니다.

1에서 n까지의 산술적 수열의 멤버의 합은 첫 번째와 n번째 멤버의 합에 멤버 번호 n을 곱하고 2로 나눈 값과 같습니다. 수식에서 n 번째 멤버의 값이 기사의 이전 단락의 표현식으로 대체되면 다음을 얻습니다.

계산 예

예를 들어 다음 조건의 문제를 해결해 보겠습니다.

시퀀스의 첫 번째 항은 0입니다.

차이는 0.5입니다.

문제에서는 56부터 101까지의 급수의 항의 합을 구해야 합니다.

해결책. 진행의 합을 결정하는 공식을 사용합시다.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

먼저, 주어진 문제 조건을 공식에 ​​대입하여 진행의 101 구성원 값의 합을 결정합니다.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

당연히 56번째에서 101번째로 진행되는 항의 합을 알아내기 위해서는 S101에서 S55를 빼야 합니다.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

따라서 이 예의 산술 진행의 합은 다음과 같습니다.

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

산술 진행의 실제 적용 예

기사가 끝나면 첫 번째 단락에 제공된 산술 시퀀스의 예인 택시 미터기 (택시 차량 미터기)로 돌아가 보겠습니다. 그러한 예를 생각해 봅시다.

택시(3km 포함)를 타면 50루블이 듭니다. 이후의 각 킬로미터는 22 루블 / km의 비율로 지불됩니다. 이동 거리 30km. 여행 비용을 계산합니다.

1. 착륙비용에 가격이 포함된 처음 3km는 버리자.

30 - 3 = 27km.

2. 추가 계산은 산술 시리즈를 구문 분석하는 것에 불과합니다.

회원 번호는 이동한 킬로미터 수입니다(처음 3개 빼기).

멤버의 값은 합계입니다.

이 문제의 첫 번째 항은 1 = 50 루블과 같습니다.

진행 차이 d = 22p.

우리에게 관심있는 수 - 산술 진행의 (27 + 1) 번째 멤버의 값 - 27km 끝의 미터 판독 값 - 27.999 ... = 28km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

임의의 긴 기간 동안의 달력 데이터 계산은 특정 숫자 시퀀스를 설명하는 공식을 기반으로 합니다. 천문학에서 궤도의 길이는 천체에서 발광체까지의 거리에 기하학적으로 의존합니다. 또한 다양한 수치 계열이 통계 및 기타 수학 응용 분야에서 성공적으로 사용됩니다.

다른 종류의 수열은 기하

기하학적 진행은 산술적 변화에 비해 큰 변화율을 특징으로 합니다. 정치, 사회학, 의학에서 종종 특정 현상, 예를 들어 전염병 중 질병의 빠른 확산 속도를 보여주기 위해 그 과정이 기하급수적으로 발전한다고 말하는 것은 우연이 아닙니다.

기하 숫자 시리즈의 N 번째 멤버는 일부 상수를 곱한다는 점에서 이전 멤버와 다릅니다. 예를 들어, 첫 번째 멤버는 1이고 분모는 2이고 다음은

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - 기하학적 진행의 현재 구성원의 값.

b n+1 - 기하학적 진행의 다음 멤버의 공식;

q는 기하학적 진행(상수)의 분모입니다.

산술 진행의 그래프가 직선이면 기하학적 그래프는 약간 다른 그림을 그립니다.

산술의 경우와 마찬가지로 기하급수에는 임의의 요소 값에 대한 공식이 있습니다. 기하 진행의 n번째 항은 첫 번째 항과 n의 거듭제곱으로의 분모가 1만큼 감소한 결과의 곱과 같습니다.

예시. 첫 번째 항이 3이고 진행의 분모가 1.5인 기하학적 진행이 있습니다. 진행의 5번째 항을 찾으십시오.

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

주어진 구성원 수의 합도 특수 공식을 사용하여 계산됩니다. 기하학적 진행의 처음 n개 요소의 합은 진행의 n번째 요소와 분모의 곱과 진행의 첫 번째 요소의 차이를 분모로 나눈 값을 1로 뺀 값과 같습니다.

위에서 논의한 공식을 사용하여 b n 을 바꾸면 고려된 숫자 계열의 처음 n개 구성원의 합계 값은 다음 형식을 취합니다.

예시. 기하학적 진행은 첫 번째 항이 1인 상태에서 시작합니다. 분모는 3으로 설정됩니다. 처음 8개 항의 합을 구해 보겠습니다.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

중등 학교(9학년)에서 대수학을 공부할 때 중요한 주제 중 하나는 기하 및 산술의 진행을 포함하는 수열에 대한 연구입니다. 이 기사에서는 산술 진행과 솔루션의 예를 고려할 것입니다.

산술 진행이란 무엇입니까?

이를 이해하려면 고려 중인 진행 상황에 대한 정의를 제공하고 문제 해결에 추가로 사용할 기본 공식을 제공해야 합니다.

산술 또는 대수적 진행은 정렬된 유리수의 집합으로, 각 요소는 이전 요소와 일정한 양만큼 다릅니다. 이 값을 차이라고 합니다. 즉, 순서가 지정된 일련의 숫자와 그 차이를 알면 전체 산술 진행을 복원할 수 있습니다.

예를 들어 보겠습니다. 이 경우의 차이는 4(8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)이기 때문에 다음 숫자 시퀀스는 4, 8, 12, 16, ...과 같은 산술 진행입니다. 그러나 숫자 3, 5, 8, 12, 17의 집합은 더 이상 고려된 진행 유형에 기인할 수 없습니다. 그 차이는 상수 값이 아니기 때문입니다(5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

중요한 공식

이제 산술 진행을 사용하여 문제를 해결하는 데 필요한 기본 공식을 제공합니다. n이 정수인 시퀀스의 n번째 멤버를 나타냅니다. 차이는 라틴 문자 d로 표시됩니다. 그러면 다음 표현식이 참입니다.

1. n 번째 항의 값을 결정하려면 다음 공식이 적합합니다. a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. 처음 n개의 항의 합을 결정하려면: S n = (an + a 1)*n/2.

9학년의 해를 사용한 산술 진행의 예를 이해하려면 이 두 공식을 기억하는 것으로 충분합니다. 고려 중인 유형의 문제는 사용을 기반으로 하기 때문입니다. 또한 진행 차이가 공식에 의해 결정된다는 것을 잊지 마십시오. d = a n - a n-1 .

예 #1: 알 수 없는 구성원 찾기

산술 진행의 간단한 예와 풀기 위해 사용해야 하는 공식을 제공합니다.

시퀀스 10, 8, 6, 4, ...가 주어지면 그 안에 다섯 개의 항을 찾아야합니다.

문제의 조건에서 처음 4개의 항을 이미 알고 있습니다. 다섯 번째는 두 가지 방식으로 정의할 수 있습니다.

1. 먼저 차이를 계산해 보겠습니다. d = 8 - 10 = -2입니다. 유사하게, 서로 나란히 서 있는 다른 두 개의 용어를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, d = 4 - 6 = -2입니다. d \u003d a n-a n-1, d \u003d a 5-a 4가 알려져 있기 때문에 여기서 a 5 \u003d a 4 + d를 얻습니다. 알려진 값을 대체합니다: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. 두 번째 방법도 해당 진행의 차이에 대한 지식이 필요하므로 먼저 위(d = -2)와 같이 이를 판별해야 합니다. 첫 번째 항 a 1 = 10을 알면 시퀀스의 n 수에 대한 공식을 사용합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다 : a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. n = 5를 마지막 표현식에 대입하면 다음을 얻습니다. a 5 = 12-2 * 5 = 2.

보시다시피 두 솔루션 모두 동일한 결과로 이어집니다. 이 예에서 진행의 차이 d는 음수입니다. 이러한 시퀀스는 각 연속 항이 이전 항보다 작기 때문에 감소라고 합니다.

예제 #2: 진행 차이

이제 작업을 조금 복잡하게 하고 방법의 예를 들어 보겠습니다.

어떤 경우에는 1항이 6과 같고 7항이 18인 것으로 알려져 있습니다. 차이를 찾아 이 수열을 7항으로 복원해야 합니다.

공식을 사용하여 미지의 항을 결정해 봅시다: a n = (n - 1) * d + a 1 . 조건에서 알려진 데이터를 대체합니다. 즉, 숫자 a 1과 a 7은 18 \u003d 6 + 6 * d입니다. 이 식에서 차이를 쉽게 계산할 수 있습니다. d = (18 - 6) / 6 = 2. 따라서 문제의 첫 번째 부분이 답이 되었습니다.

시퀀스를 7번째 멤버로 복원하려면 대수적 진행의 정의, 즉 a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d 등을 사용해야 합니다. 결과적으로 전체 시퀀스를 복원합니다. a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 및 7 = 18.

예제 #3: 진행하기

문제의 조건을 더욱 복잡하게 합시다. 이제 산술 진행을 찾는 방법에 대한 질문에 답해야 합니다. 다음과 같은 예를 들 수 있습니다. 예를 들어 4와 5와 같이 두 개의 숫자가 주어집니다. 이들 사이에 세 개의 항이 더 맞도록 대수적 진행을 할 필요가 있습니다.

이 문제를 해결하기 시작하기 전에 주어진 숫자가 미래 진행에서 어떤 위치를 차지할 것인지 이해하는 것이 필요합니다. 그들 사이에는 3 개의 용어가 더 있기 때문에 1 \u003d -4와 5 \u003d 5입니다. 이것을 설정하면 이전 것과 유사한 작업으로 진행합니다. 다시 n번째 항에 대해 공식을 사용하여 다음을 얻습니다. a 5 \u003d a 1 + 4 * d. 시작: d \u003d (a 5-a 1) / 4 \u003d (5-(-4)) / 4 \u003d 2.25. 여기서 차이는 정수 값이 아니라 유리수이므로 대수 진행의 공식은 동일하게 유지됩니다.

이제 찾은 차이점을 1에 추가하고 진행에서 누락된 구성원을 복원해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다. a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u0, 문제의 조건과 일치했습니다.

예제 #4: 진행의 첫 번째 멤버

우리는 솔루션으로 산술 진행의 예를 계속 제공합니다. 이전의 모든 문제에서 대수 진행의 첫 번째 숫자는 알려져 있었습니다. 이제 다른 유형의 문제를 고려하십시오. 두 개의 숫자가 주어집니다. 여기서 a 15 = 50 및 a 43 = 37입니다. 이 수열이 시작되는 숫자를 찾아야 합니다.

지금까지 사용된 공식은 a 1 및 d에 대한 지식을 가정합니다. 문제가 있는 상태에서 이 숫자에 대해 알려진 것은 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리가 정보를 가지고 있는 각 용어에 대한 표현을 작성해 봅시다: a 15 = a 1 + 14 * d 및 a 43 = a 1 + 42 * d. 2개의 미지수(a 1 및 d)가 있는 2개의 방정식이 있습니다. 이것은 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소되었음을 의미합니다.

지정된 시스템은 각 방정식에서 1을 표현한 다음 결과 표현을 비교하면 가장 풀기 쉽습니다. 첫 번째 방정식: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 두 번째 방정식: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. 이 표현식을 동일시하면 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d를 얻습니다. 여기서 차이 d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464(소수점 3자리만 제공됨).

d를 알면 1에 대해 위의 2가지 표현식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 먼저 a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496입니다.

결과에 대해 의심이 가는 경우 조건에 지정된 진행률의 43번째 구성원을 결정하는 등의 결과를 확인할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다. a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (-0.464) \u003d 37.008. 작은 오류는 계산에 반올림이 사용되었기 때문입니다.

예제 #5: 합계

이제 산술 진행의 합에 대한 솔루션이 있는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1, 2, 3, 4, ...,. 이 숫자의 100의 합을 계산하는 방법은 무엇입니까?

컴퓨터 기술의 발전 덕분에이 문제는 해결 될 수 있습니다. 즉, 사람이 Enter 키를 누르 자마자 컴퓨터가 수행하는 모든 숫자를 순차적으로 더할 수 있습니다. 그러나 제시된 일련의 숫자가 대수적 진행이고 그 차이가 1이라는 점에 주의하면 문제를 정신적으로 해결할 수 있습니다. 합계에 대한 공식을 적용하면 다음을 얻습니다. S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

18세기 초에 아직 10세밖에 되지 않은 유명한 독일인이 몇 초 만에 마음속으로 해결할 수 있었기 때문에 이 문제를 "가우시안"이라고 부르는 것이 흥미롭습니다. 그 소년은 대수적 진행의 합에 대한 공식을 몰랐지만 수열의 가장자리에 있는 숫자 쌍을 더하면 항상 같은 결과, 즉 1 + 100 = 2 + 99를 얻는다는 사실을 알아냈습니다. = 3 + 98 = ..., 그리고 이 합은 정확히 50(100 / 2)이 될 것이기 때문에 정답을 얻으려면 50에 101을 곱하면 충분합니다.

예 #6: n에서 m까지의 항의 합

산술 진행의 합에 대한 또 다른 전형적인 예는 다음과 같습니다. 일련의 숫자가 주어졌을 때: 3, 7, 11, 15, ..., 8에서 14까지의 항의 합이 무엇인지 찾아야 합니다.

문제는 두 가지 방법으로 해결됩니다. 첫 번째는 8부터 14까지 미지의 용어를 찾아 차례로 합산하는 것입니다. 항이 적기 때문에 이 방법은 충분히 힘들지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보다 보편적인 두 번째 방법으로 이 문제를 해결할 것을 제안한다.

아이디어는 항 m과 n 사이의 대수적 진행의 합에 대한 공식을 얻는 것입니다. 여기서 n > m은 정수입니다. 두 경우 모두 합계에 대해 두 가지 표현식을 작성합니다.

1. S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (an + a 1) / 2.

n > m이므로 2개의 합이 첫 번째 합을 포함하는 것이 분명합니다. 마지막 결론은 우리가 이 합들 사이의 차를 취하고 그것에 항 a m을 추가하면(차이를 취하는 경우 합 S n에서 빼면) 문제에 대한 필요한 답을 얻는다는 것을 의미합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다 : S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * n / 2 + m * (1- m / 2). 이 식에 n과 a m에 대한 공식을 대입해야 합니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다. S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

결과 공식은 다소 복잡하지만 합계 S mn은 n, m, a 1 및 d에만 의존합니다. 우리의 경우 a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8입니다. 이 숫자를 대입하면 S mn = 301이 됩니다.

위의 해에서 알 수 있듯이 모든 문제는 n번째 항에 대한 표현과 첫 번째 항의 집합의 합에 대한 공식에 대한 지식을 기반으로 합니다. 이러한 문제를 해결하기 시작하기 전에 조건을 주의 깊게 읽고 찾고자 하는 것을 명확하게 이해한 다음 솔루션을 진행하는 것이 좋습니다.

또 다른 팁은 단순성을 위해 노력하는 것입니다. 즉, 복잡한 수학적 계산을 사용하지 않고 질문에 답할 수 있다면 실수할 확률이 적기 때문에 그렇게 해야 합니다. 예를 들어, 솔루션 번호 6을 사용한 산술 진행의 예에서 공식 S mn = n * (a 1 + an n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m에서 멈출 수 있습니다. 일반 작업을 별도의 하위 작업으로 나눕니다(이 경우 먼저 a n 및 a m 용어 찾기).

얻은 결과에 대해 의심이 가는 경우 제공된 일부 예에서와 같이 확인하는 것이 좋습니다. 산술 진행을 찾는 방법을 찾았습니다. 알아내면 그렇게 어렵지 않습니다.

예를 들어, 시퀀스 \(2\); \(5\); \(여덟\); \(열하나\); \(14\)… 는 산술 진행입니다. 각각의 다음 요소가 이전 요소와 3만큼 다르기 때문입니다(3을 추가하여 이전 요소에서 얻을 수 있음).

이 진행에서 차이 \(d\)는 양수(\(3\)와 같음)이므로 각 다음 항은 이전 항보다 큽니다. 이러한 진행을 증가.

그러나 \(d\)는 음수일 수도 있습니다. 예를 들어, 산술 진행 \(16\); \(십\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… 진행 차이 \(d\)는 마이너스 6과 같습니다.

그리고 이 경우 각 다음 요소는 이전 요소보다 작습니다. 이러한 진행을 감소.

산술 진행 표기법

진행은 작은 라틴 문자로 표시됩니다.

진행을 형성하는 숫자를 회원(또는 요소).

그것들은 산술 진행과 같은 문자로 표시되지만 순서대로 요소 번호와 동일한 숫자 인덱스가 있습니다.

예를 들어, 산술 진행 \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)은 \(a_1=2\) 요소로 구성됩니다. \(a_2=5\); \(a_3=8\) 등등.

즉, 진행에 대해 \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

산술 진행 문제 풀기

원칙적으로 위의 정보는 산술 진행에 관한 거의 모든 문제(OGE에서 제공되는 문제 포함)를 풀기에 이미 충분합니다.

예(OGE). 산술 진행은 조건 \(b_1=7; d=4\)에 의해 주어집니다. \(b_5\)를 찾습니다.
해결책:

대답: \(b_5=23\)

예(OGE). 산술 진행의 처음 세 항이 주어집니다: \(62; 49; 36…\) 이 진행의 첫 번째 음수 항의 값을 찾으십시오..
해결책:

대답: \(-3\)

예(OGE). 산술 진행의 여러 연속 요소가 제공됩니다. \(...5; x; 10; 12.5...\) 문자 \(x\)로 표시된 요소의 값을 찾으십시오.
해결책:

대답: \(7,5\).

예(OGE). 산술 진행은 다음 조건에 의해 제공됩니다. \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) 이 진행의 처음 6개 항의 합을 구하십시오.
해결책:

대답: \(S_6=9\).

예(OGE). 산술 진행에서 \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). 이 진행의 차이점을 찾으십시오.
해결책:

대답: \(d=7\).

중요한 산술 진행 공식

보시다시피, 많은 산술 진행 문제는 주요 사항을 이해함으로써 간단히 해결할 수 있습니다. 산술 진행은 숫자의 사슬이며 이 사슬의 각 다음 요소는 이전 숫자에 동일한 숫자를 더하여 얻습니다(차이 진행).

그런데 가끔 '이마에' 해결하기가 매우 불편한 상황이 있습니다. 예를 들어 첫 번째 예에서 다섯 번째 요소 \(b_5\)가 아니라 삼백팔십육 번째 \(b_(386)\)를 찾아야 한다고 상상해 보십시오. 그것은 무엇입니까, 우리 \ (385 \) 번 더하기 4? 또는 끝에서 두 번째 예에서 처음 73개 요소의 합을 찾아야 한다고 상상해 보십시오. 계산이 헷갈리네요...

따라서 이러한 경우 "이마"를 풀지 않고 산술 진행을 위해 파생 된 특수 공식을 사용합니다. 그리고 주요 것들은 진행의 n번째 항에 대한 공식과 첫 번째 항의 합 \(n\)에 대한 공식입니다.

\(n\)번째 멤버에 대한 공식: \(a_n=a_1+(n-1)d\), 여기서 \(a_1\)는 진행의 첫 번째 멤버입니다.
\(n\) – 필요한 요소의 번호.
\(a_n\)은 숫자 \(n\)를 가진 진행의 구성원입니다.

이 공식을 사용하면 첫 번째 요소와 진행 차이만 알고 최소 300분의 1, 심지어 100만 번째 요소를 빠르게 찾을 수 있습니다.

예시. 산술 진행은 조건에 의해 주어집니다: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\)를 찾으십시오.
해결책:

대답: \(b_(246)=1850\).

처음 n개 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다. \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), 여기서

\(a_n\)은 마지막으로 합산된 항입니다.

예(OGE). 산술 진행은 조건 \(a_n=3.4n-0.6\)에 의해 주어집니다. 이 진행의 첫 번째 \(25\) 항의 합을 찾으십시오.
해결책:

대답: \(S_(25)=1090\).

첫 번째 항의 합 \(n\)에 대해 다른 공식을 얻을 수 있습니다. \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ \(a_n\) 대신 (\cdot 25\ ) 공식을 \(a_n=a_1+(n-1)d\)로 대체하십시오. 우리는 다음을 얻습니다.

처음 n개 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다. \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), 여기서

\(S_n\) – 첫 번째 요소의 필수 합계 \(n\)입니다.
\(a_1\)는 합산할 첫 번째 항입니다.
\(d\) – 진행 차이;
\(n\) - 합계의 요소 수입니다.

예시. 산술 진행의 첫 번째 \(33\)-ex 항의 합을 찾으십시오. \(17\); \(15,5\); \(십사\)…
해결책:

대답: \(S_(33)=-231\).

더 복잡한 산술 진행 문제

이제 거의 모든 산술 진행 문제를 해결하는 데 필요한 모든 정보를 얻었습니다. 수식을 적용할 뿐만 아니라 조금 생각을 해봐야 하는 문제를 생각하면서 주제를 마치도록 합시다(수학에서는 유용할 수 있어요 ☺)

예(OGE). 진행의 모든 ​​음수 항의 합계를 찾으십시오. \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
해결책:

대답: \(S_(65)=-630.5\).

예(OGE). 산술 진행은 다음 조건에 의해 제공됩니다. \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)번째에서 \(42\) 요소까지의 합계를 찾습니다.
해결책:

대답: \(S=1683\).

산술 진행의 경우 실용적인 유용성이 낮기 때문에 이 기사에서 고려하지 않은 공식이 몇 가지 더 있습니다. 그러나 쉽게 찾을 수 있습니다.

자, 앉아서 숫자 쓰기를 시작해 봅시다. 예를 들어:
아무 숫자나 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(우리의 경우에는 숫자). 우리가 얼마나 많은 숫자를 쓰든, 우리는 항상 그 중 어느 것이 첫 번째이고, 어느 것이 두 번째이고, 마지막까지 계속 말할 수 있습니다. 즉, 우리는 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스
예를 들어 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 하나의 시퀀스 번호에만 해당됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. -번째 숫자와 같은 두 번째 숫자는 항상 동일합니다.
숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 -번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 어떤 문자(예:)라고 부르고 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

인접한 숫자 간의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스가 ​​있다고 가정해 보겠습니다.
예를 들어:

등.
이러한 수열을 산술 진행이라고 합니다.
"진행"이라는 용어는 이미 6세기에 로마 작가 보에티우스에 의해 도입되었으며 더 넓은 의미에서 끝없는 수열로 이해되었습니다. "산술"이라는 이름은 고대 그리스인들이 종사했던 연속 비율 이론에서 옮겨졌습니다.

이것은 각 구성원이 이전 구성원과 동일하고 동일한 숫자가 추가된 숫자 순서입니다. 이 숫자를 산술 진행의 차라고 하며 표시됩니다.

어떤 숫자 시퀀스가 ​​산술 수열이고 어떤 것이 아닌지 확인하십시오.

ㅏ)
비)
씨)
디)

알았어요? 답변 비교:
~이다산술 진행 - b, c.
아니다산술 진행 - a, d.

주어진 진행()으로 돌아가서 그것의 th 멤버의 값을 찾아보자. 존재 둘찾는 방법.

1. 방법

진행 기간에 도달할 때까지 진행 번호의 이전 값에 추가할 수 있습니다. 요약할 내용이 많지 않은 것이 좋습니다. 세 가지 값만 있습니다.

따라서 설명 된 산술 진행의 - 번째 멤버는 동일합니다.

2. 길

진행의 항의 값을 찾아야 한다면 어떻게 될까요? 합산하면 한 시간 이상이 걸렸을 것이고 숫자를 더할 때 실수를 하지 않았을 것이라는 것은 사실이 아닙니다.
물론 수학자들은 산술 진행의 차이를 이전 값에 더할 필요가 없는 방법을 생각해 냈습니다. 그려진 그림을 자세히 살펴보십시오 ... 분명히 다음과 같은 특정 패턴을 이미 눈치 챘습니다.

예를 들어, 이 산술 진행에서 -th 멤버의 값을 구성하는 것이 무엇인지 봅시다.


다시 말해:

이 산술 진행의 구성원의 값을 이런 식으로 독립적으로 찾으려고 시도하십시오.

계획된? 귀하의 항목을 답변과 비교하십시오.

이전 값에 산술 진행의 구성원을 연속적으로 추가할 때 이전 방법에서와 정확히 동일한 숫자를 얻었다는 점에 유의하십시오.
이 공식을 "비인격화"해 보겠습니다. 일반 형식으로 가져와 다음을 얻습니다.

산술 진행은 증가하거나 감소합니다.

증가- 항의 각 후속 값이 이전 값보다 큰 진행.
예를 들어:

내림차순- 항의 각 후속 값이 이전 값보다 작은 진행.
예를 들어:

파생 공식은 산술 진행의 증가 및 감소 항 모두에서 항을 계산하는 데 사용됩니다.
실전에서 확인해보자.
다음 숫자로 구성된 산술 진행이 주어집니다.

그때부터:

따라서 우리는 공식이 산술 진행의 감소와 증가 모두에서 작동한다고 확신했습니다.
이 산술 진행의 -th 및 -th 멤버를 직접 찾아보십시오.

결과를 비교해 보겠습니다.

산술 진행 속성

작업을 복잡하게 합시다. 산술 진행의 속성을 도출합니다.
다음과 같은 조건이 주어졌다고 가정합니다.
- 산술 진행, 값을 찾습니다.
당신이 이미 알고 있는 공식에 따라 계산을 시작하는 것은 쉽습니다.

하자, 그럼:

확실히 맞아. 우리가 먼저 찾은 다음 첫 번째 숫자에 추가하고 우리가 찾고 있는 것을 얻습니다. 진행이 작은 값으로 표시되면 복잡하지 않지만 조건에 숫자가 주어지면 어떻게 될까요? 동의합니다. 계산에 실수를 할 가능성이 있습니다.
이제 어떤 공식을 사용하여 이 문제를 한 번에 해결할 수 있습니까? 물론 그렇습니다. 우리는 지금 그것을 꺼내려고 노력할 것입니다.

산술 진행의 원하는 항을 다음과 같이 표시해 보겠습니다. 구하는 공식을 알고 있습니다. 이것은 처음에 도출한 것과 동일한 공식입니다.
, 그 다음에:

• 진행의 이전 구성원은 다음과 같습니다.
• 진행의 다음 기간은 다음과 같습니다.

진행의 이전 및 다음 구성원을 요약해 보겠습니다.

진행의 이전 및 후속 멤버의 합은 그들 사이에 위치한 진행의 멤버 값의 2배임이 밝혀졌습니다. 즉, 알려진 이전 값과 연속 값을 가진 진행 멤버의 값을 찾으려면 더하고 나누어야 합니다.

맞습니다. 같은 번호를 받았습니다. 재료를 수정합시다. 전혀 어렵지 않기 때문에 진행 값을 직접 계산하십시오.

잘했어요! 당신은 진행에 대한 거의 모든 것을 알고 있습니다! 전설에 따르면 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명인 "수학자의 왕"인 칼 가우스 (Karl Gauss)가 쉽게 추론 한 단 하나의 공식을 찾는 것이 남아 있습니다 ...

Carl Gauss가 9살이었을 때, 다른 학급의 학생들의 과제를 확인하느라 바쁘던 교사는 수업 시간에 다음과 같은 과제를 물었습니다. " 1분 후에 그의 학생 중 한 명(Karl Gauss)이 과제에 정답을 냈을 때 교사의 놀람은 무엇이었습니까? 긴 계산 후에 무모한 반 친구들의 대부분은 잘못된 결과를 받았습니다 ...

Young Carl Gauss는 쉽게 알아차릴 수 있는 패턴을 발견했습니다.
-ti 멤버로 구성된 산술 진행이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 산술 진행 멤버의 합을 찾아야 합니다. 물론 모든 값을 수동으로 합산할 수 있지만 Gauss가 찾고 있는 것처럼 작업에서 해당 항의 합을 찾아야 하는 경우 어떻게 해야 합니까?

우리에게 주어진 진행 상황을 묘사합시다. 강조 표시된 숫자를 자세히보고 다양한 수학 연산을 수행하십시오.


시험을 마친? 무엇을 눈치채셨나요? 바르게! 그들의 합은 같다

이제 대답하십시오. 그러한 쌍이 얼마나 많이 우리에게 주어질 것입니까? 물론 모든 숫자의 정확히 절반입니다.
산술 진행의 두 항의 합이 동일하고 유사한 등가 쌍이라는 사실에 기초하여 총합은 다음과 같습니다.
.
따라서 모든 산술 진행의 첫 번째 항의 합에 대한 공식은 다음과 같습니다.

일부 문제에서는 용어를 모르지만 진행 차이는 알고 있습니다. 합계 공식에서 th 멤버의 공식으로 대체해 보십시오.
무엇을 얻었습니까?

잘했어요! 이제 Carl Gauss에게 주어진 문제로 돌아가 봅시다. -th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지, -th에서 시작하는 숫자의 합이 무엇인지 스스로 계산하십시오.

얼마 받았어요?
가우스는 항의 합이 같고 항의 합이 같다는 것을 알아냈습니다. 그렇게 결정하셨나요?

사실 등수수열의 합에 대한 공식은 3세기 고대 그리스의 과학자 디오판투스에 의해 증명되었으며, 이 기간 동안 재치 있는 사람들은 위력과 주수를 가진 등수수열의 속성을 사용했습니다.
예를 들어, 고대 이집트와 그 당시 가장 큰 건설 현장인 피라미드 건설을 상상해 보십시오. 그림은 그 한 면을 보여줍니다.

여기서 말하는 진행은 어디입니까? 피라미드 벽의 각 행에 있는 모래 블록의 수를 주의 깊게 살펴보고 패턴을 찾으십시오.


산술 진행이 아닌 이유는 무엇입니까? 블록 벽돌이 바닥에 놓이면 하나의 벽을 만드는 데 필요한 블록의 수를 세십시오. 모니터에서 손가락을 움직여 계산하지 않기를 바랍니다. 마지막 공식과 산술 진행에 대해 말한 모든 것을 기억하십니까?

이 경우 진행은 다음과 같습니다.
산술 진행 차이.
산술 진행의 구성원 수입니다.
데이터를 마지막 공식으로 대체합시다(블록 수를 2가지 방식으로 계산함).

방법 1.

방법 2.

이제 모니터에서 계산할 수도 있습니다. 얻은 값을 피라미드에있는 블록 수와 비교하십시오. 동의했습니까? 잘 했습니다. 산술 진행의 th 항의 합을 마스터했습니다.
물론 바닥의 블록으로 피라미드를 만들 수는 없지만? 이 조건으로 벽을 만드는 데 필요한 모래 벽돌의 수를 계산해 보세요.
관리하셨나요?
정답은 블록입니다.

운동하다

작업:

1. Masha는 여름을 위해 몸매를 가꾸고 있습니다. 그녀는 매일 스쿼트 횟수를 늘립니다. Masha는 첫 번째 운동에서 스쿼트를 한 경우 몇 주 동안 스쿼트를 할 것입니다.
2. 에 포함된 모든 홀수의 합은 얼마입니까?
3. 통나무를 저장할 때 벌목꾼은 각 최상위 계층이 이전 계층보다 하나 적은 로그를 포함하는 방식으로 통나무를 쌓습니다. 벽돌의 기초가 통나무인 경우 한 벽돌에 몇 개의 통나무가 있는지.

답변:

1. 산술 진행의 매개변수를 정의합시다. 이 경우
   (주 = 일).

   대답: 2주 안에 Masha는 하루에 한 번 쪼그리고 앉아야 합니다.

2. 첫 번째 홀수, 마지막 숫자.
   산술 진행 차이.
   그러나 - 절반에 있는 홀수의 수는 산술 진행의 -번째 구성원을 찾는 공식을 사용하여 이 사실을 확인하십시오.

   숫자에는 홀수가 포함되어 있습니다.
   사용 가능한 데이터를 공식으로 대체합니다.

   대답:에 포함된 모든 홀수의 합은 다음과 같습니다.

3. 피라미드에 대한 문제를 기억하십시오. 우리의 경우 , 각 최상위 레이어가 하나의 로그로 줄어들기 때문에 레이어가 많이 있습니다.
   공식의 데이터를 대체합니다.

   대답:벽돌에 통나무가 있습니다.

합산

1. - 인접한 수의 차이가 같거나 같은 수열. 증가하고 감소하고 있습니다.
2. 공식 찾기산술 진행의 th 멤버는 공식으로 작성됩니다. 여기서 는 진행의 숫자 수입니다.
3. 산술 진행의 구성원의 속성- - 여기서 - 진행에 있는 숫자의 수입니다.
4. 산술 진행의 구성원의 합두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다.
   
   , 여기서 값의 수입니다.

산술 진행. 평균 수준

숫자 시퀀스

앉아서 숫자를 쓰기 시작합시다. 예를 들어:

아무 숫자나 쓸 수 있고 원하는 만큼 많이 쓸 수 있습니다. 그러나 당신은 항상 그들 중 어느 것이 첫 번째인지, 어느 것이 두 번째인지 등을 말할 수 있습니다. 이것은 숫자 시퀀스의 예입니다.

숫자 시퀀스각각 고유한 번호를 할당할 수 있는 일련의 숫자입니다.

다시 말해, 각 숫자는 특정 자연수와 연결될 수 있으며 단 하나입니다. 그리고 우리는 이 번호를 이 세트의 다른 번호에 할당하지 않을 것입니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 -번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 어떤 문자(예:)라고 부르고 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

시퀀스의 -번째 멤버가 어떤 공식으로 주어질 수 있다면 매우 편리합니다. 예를 들어, 공식

순서를 설정합니다:

그리고 공식은 다음과 같습니다.

예를 들어, 산술 진행은 시퀀스입니다(여기서 첫 번째 항은 같음, 차이). 또는 (, 차이).

n번째 항 공식

-번째 항을 찾기 위해 이전 또는 여러 이전 항목을 알아야 하는 반복 수식을 호출합니다.

예를 들어 이러한 공식을 사용하여 진행의 th 항을 찾으려면 이전 9를 계산해야 합니다. 예를 들어, 하자. 그 다음에:

자, 이제 공식이 무엇인지 명확해졌습니까?

각 줄에 몇 가지 숫자를 곱하여 더합니다. 무엇을 위해? 매우 간단합니다. 이것은 현재 구성원의 수에서 다음을 뺀 것입니다.

이제 훨씬 편해졌죠? 우리는 다음을 확인합니다:

스스로 결정하십시오:

산술 진행에서 n번째 항에 대한 공식을 찾고 100번째 항을 찾습니다.

해결책:

첫 번째 항은 동일합니다. 그리고 차이점은 무엇입니까? 다음은 다음과 같습니다.

(결국 진행의 연속 구성원의 차와 같기 때문에 차이라고 합니다).

따라서 공식은 다음과 같습니다.

그러면 백 번째 항은 다음과 같습니다.

에서 까지의 모든 자연수의 합은 얼마입니까?

전설에 따르면 9세 소년인 위대한 수학자 Carl Gauss는 몇 분 안에 이 양을 계산했습니다. 그는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자의 합이 같고, 두 번째 숫자와 끝에서 두 번째 숫자의 합이 같고, 끝에서 세 번째 숫자와 세 번째 숫자의 합이 같은 식이라는 것을 알아냈습니다. 그런 쌍이 몇 개나 있습니까? 맞습니다. 정확히 모든 숫자의 절반입니다. 그래서,

모든 산술 진행의 첫 번째 항의 합에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.

예시:
모든 두 자리 배수의 합을 구합니다.

해결책:

그러한 첫 번째 숫자는 이것이다. 각 다음은 이전 숫자에 숫자를 추가하여 얻습니다. 따라서 우리가 관심을 가질 수 있는 숫자는 첫 번째 항과 그 차와 함께 산술적 진행을 형성합니다.

이 진행에 대한 th 항의 공식은 다음과 같습니다.

모두 두 자리 숫자여야 하는 경우 진행 중인 용어는 몇 개입니까?

아주 쉽게: .

진행의 마지막 기간은 동일합니다. 그런 다음 합계:

대답: .

이제 스스로 결정하십시오.

1. 매일 선수는 전날보다 1m 더 뛴다. 첫날에 km m를 달렸다면 몇 주 후에 몇 킬로미터를 달릴까요?
2. 자전거 타는 사람은 이전보다 매일 더 많은 마일을 타게 됩니다. 첫날 그는 킬로미터를 여행했습니다. 1킬로미터를 주행하려면 며칠을 운전해야 합니까? 그는 여행의 마지막 날에 몇 킬로미터를 여행하게 될까요?
3. 매장의 냉장고 가격은 매년 같은 금액만큼 인하됩니다. 냉장고 가격이 매년 루블에 판매된 후 6년 후 루블에 판매된 경우 매년 얼마나 하락했는지 확인하십시오.

답변:

1. 여기서 가장 중요한 것은 산술 진행을 인식하고 그 매개변수를 결정하는 것입니다. 이 경우 (주 = 일). 이 진행의 첫 번째 항의 합계를 결정해야 합니다.
   .
   대답:
2. 여기에 그것이 주어집니다 : 찾을 필요가 있습니다.
   분명히 이전 문제와 동일한 합계 공식을 사용해야 합니다.
   .
   값을 대체합니다.

   루트는 분명히 맞지 않으므로 대답합니다.
   -번째 항의 공식을 사용하여 마지막 날에 이동한 거리를 계산해 보겠습니다.
   (km).
   대답:

3. 주어진: . 찾다: .
   더 쉬워지지 않습니다:
   (장애).
   대답:

산술 진행. 메인에 대해 간략히

이것은 인접한 숫자의 차이가 동일하고 동일한 숫자 시퀀스입니다.

산술 진행은 증가() 및 감소()입니다.

예를 들어:

산술 진행의 n번째 멤버를 찾는 공식

수식으로 작성됩니다. 여기서 는 진행 중인 숫자의 수입니다.

산술 진행의 구성원의 속성

인접한 구성원이 알려진 경우 진행의 구성원을 쉽게 찾을 수 있습니다. 여기서 는 진행의 숫자입니다.

산술 진행의 구성원의 합

합계를 찾는 두 가지 방법이 있습니다.

값의 수는 어디에 있습니까?

값의 수는 어디에 있습니까?

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수업 유형:새로운 자료를 학습합니다.

수업 목표:

• 산술 진행을 사용하여 해결된 과제에 대한 학생들의 아이디어 확장 및 심화; 산술 진행의 처음 n 개 구성원의 합계에 대한 공식을 유도할 때 학생들의 검색 활동 구성;
• 독립적으로 새로운 지식을 습득하는 기술 개발, 이미 습득한 지식을 사용하여 작업 달성;
• 얻은 사실을 일반화하려는 욕구와 필요성의 발전, 독립의 발전.

작업:

• "산술 진행"주제에 대한 기존 지식을 일반화하고 체계화합니다.
• 산술 진행의 처음 n개 요소의 합을 계산하기 위한 공식을 도출합니다.
• 다양한 문제를 풀 때 얻은 공식을 적용하는 방법을 가르칩니다.
• 숫자 표현식의 값을 찾는 절차에 학생들의 주의를 환기시킵니다.

장비:

• 그룹 및 쌍으로 작업할 작업이 있는 카드;
• 평가지;
• 프레젠테이션"산술 진행".

I. 기초지식의 실현.

1. 쌍으로 독립적 인 작업.

첫 번째 옵션:

산술 진행을 정의합니다. 산술 진행을 정의하는 재귀 공식을 작성하십시오. 산술 진행의 예를 제시하고 그 차이를 표시하십시오.

두 번째 옵션:

산술 진행의 n번째 항에 대한 공식을 쓰십시오. 산술 진행의 100번째 항 찾기( 엔}: 2, 5, 8 …
이때 칠판 뒤에 두 명의 학생이 같은 질문에 대한 답을 준비하고 있다.
학생들은 보드와 비교하여 파트너의 작업을 평가합니다. (답변이 적힌 전단지를 건네줍니다.)

2. 게임 순간.

연습 1.

선생님.나는 약간의 산술 진행을 생각했습니다. 답변 후 이 진행의 7번째 멤버의 이름을 빠르게 지정할 수 있도록 두 가지 질문만 하십시오. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

학생들의 질문.

1. 진행의 여섯 번째 기간은 무엇이며 차이점은 무엇입니까?
2. 진행의 여덟 번째 기간은 무엇이며 차이점은 무엇입니까?

더 이상 질문이 없으면 교사는 질문을 자극 할 수 있습니다. d (차이)에 대한 "금지", 즉 차이점이 무엇인지 묻는 것은 허용되지 않습니다. 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다. 진행의 6번째 학기와 진행의 8번째 학기는 무엇입니까?

작업 2.

칠판에는 20개의 숫자가 적혀 있습니다. 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

교사는 칠판에 등을 대고 서 있다. 학생들이 그 번호를 말하면 선생님이 바로 그 번호를 부른다. 내가 어떻게 할 수 있는지 설명?

선생님은 n번째 학기의 공식을 기억합니다. n \u003d 3n - 2 n의 주어진 값을 대체하여 해당 값을 찾습니다. 앤 .

Ⅱ. 교육 과제의 진술.

나는 이집트 파피루스에서 발견된 기원전 2000년으로 거슬러 올라가는 오래된 문제를 해결할 것을 제안합니다.

작업:“너희에게 말하게 하라 보리 10말을 열 사람에게 나누라 각 사람과 그 이웃의 차이는 그 액수의 1/8이다.”

• 이 문제는 산술 진행의 주제와 어떤 관련이 있습니까? (각 다음 사람은 측정값의 1/8을 더 받으므로 차이는 d=1/8, 10명이므로 n=10입니다.)
• 숫자 10이 무엇을 의미한다고 생각합니까? (진행의 모든 ​​구성원의 합계입니다.)
• 보리를 문제의 상태에 따라 쉽고 간단하게 나누기 위해 또 알아야 할 것은 무엇입니까? (진행의 첫 번째 항입니다.)

수업 목표- 진행항의 합이 그들의 수, 첫 번째 항과 차에 의존성을 구하고, 고대에 문제가 제대로 풀렸는지 확인한다.

공식을 도출하기 전에 고대 이집트인들이 어떻게 문제를 해결했는지 봅시다.

그리고 그들은 다음과 같이 해결했습니다.

1) 10개 측정값: 10 = 1개 측정값 - 평균 점유율;
2) 1소절 ∙ = 2소절 - 2배 평균공유하다.
두 배로 평균몫은 5인칭과 6인칭 몫의 합이다.
3) 2소절 - 1/8 소절 = 1 7/8 소절 - 다섯 번째 사람의 몫의 두 배.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - 다섯 번째 지분; 등등, 당신은 각 이전 사람과 이후 사람의 몫을 찾을 수 있습니다.

우리는 시퀀스를 얻습니다.

III. 작업의 솔루션입니다.

1. 그룹 작업

첫 번째 그룹:연속된 20개의 자연수의 합을 구합니다. S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

일반적으로

II 그룹: 1에서 100까지의 자연수의 합을 구하십시오(리틀 가우스의 전설).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

결론:

III 그룹: 1부터 21까지의 자연수의 합을 구하시오.

솔루션: 1+21=2+20=3+19=4+18…

결론:

IV 그룹: 1부터 101까지의 자연수의 합을 구하시오.

결론:

고려된 문제를 해결하는 이러한 방법을 "가우스 방법"이라고 합니다.

2. 각 그룹은 칠판에 문제의 해결책을 제시합니다.

3. 임의의 산술 진행에 대한 제안된 솔루션의 일반화:

a 1 , a 2 , a 3 ,… , a n-2 , an n-1 , an .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + an n.

우리는 유사하게 논증하여 이 합계를 찾습니다.

4. 과제를 해결했습니까?(예.)

IV. 문제 해결에서 얻은 공식의 기본 이해 및 적용.

1. 공식으로 오래된 문제의 솔루션을 확인합니다.

2. 다양한 문제를 풀 때 공식을 적용합니다.

3. 문제 해결에 공식을 적용하는 능력 형성을 위한 연습.

가) 제613호

주어진 :( 그리고 n) -산술 진행;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

찾다: 에스 1500

해결책: , 1 = 1, 1500 = 1500,

B) 주어진: ( 그리고 n) -산술 진행;
(및 n): 1, 2, 3, ...
에스 n = 210

찾다: N
해결책:

V. 상호 검증을 통한 독립적인 작업.

Denis는 택배로 일하러 갔다. 첫 달에 그의 급여는 200 루블이었고 그 다음 달에는 30 루블이 증가했습니다. 그는 1년에 얼마를 벌었습니까?

주어진 :( 그리고 n) -산술 진행;
a 1 = 200, d=30, n=12
찾다: 에스 12
해결책:

답변: Denis는 올해 4380루블을 받았습니다.

VI. 숙제 지시.

1. p.4.3 - 공식의 유도를 배웁니다.
2. №№ 585, 623 .
3. 산술 진행의 처음 n항의 합에 대한 공식을 사용하여 풀 수 있는 문제를 작성하십시오.

VII. 수업을 요약합니다.

1. 성적표

2. 문장 계속하기

• 오늘 수업시간에 배운...
• 배운 공식...
• 내 생각에는 …

3. 1부터 500까지의 합을 찾을 수 있나요? 이 문제를 해결하기 위해 어떤 방법을 사용할 것인가?

서지.

1. 대수학, 9학년. 교육 기관을 위한 교과서. 에드. 지브이 도로피바.모스크바: 계몽, 2009.