행렬에 열 벡터를 곱하는 방법. 행렬 곱셈

행렬의 곱(C=AB)은 행렬 A의 열 수가 행렬 B의 행 수와 같은 일관된 행렬 A와 B에 대한 연산입니다.

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

예 1

매트릭스 데이터:

• A = 치수 m × n의 a(i j);
• B = b(i j) p × n

행렬 C , 요소 c i j 는 다음 공식으로 계산됩니다.

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . 중

예 2

제품 AB=BA를 계산해 봅시다.

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

행렬 곱셈 규칙을 사용한 솔루션:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

제품 A B와 B A가 발견되었지만 크기가 다른 행렬입니다. A B는 B A와 같지 않습니다.

행렬 곱셈의 속성

행렬 곱셈 속성:

• (A B) C = A (B C) - 행렬 곱셈의 연관성;
• A (B + C) \u003d A B + A C - 분배 곱셈;
• (A + B) C \u003d A C + B C - 곱셈의 분포;
• λ (A B) = (λ A) B

속성 #1 확인: (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A(B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

예 2

속성 번호 2를 확인합니다. A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 .

세 행렬의 곱

세 행렬 A B C의 곱은 두 가지 방법으로 계산됩니다.

• A B를 찾아 C를 곱합니다: (A B) C;
• 또는 먼저 B C를 찾은 다음 A (B C)를 곱합니다.

두 가지 방법으로 행렬을 곱합니다.

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

동작 알고리즘:

• 2 행렬의 곱을 찾으십시오.
• 그런 다음 다시 2 행렬의 곱을 찾으십시오.

하나). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (-28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (-126) 7 (-28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

A B C \u003d (A B) C 공식을 사용합니다.

하나). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1-10 9 14-12 \u003d 4 (-10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (-12) 7 (-10) + 5 × 14 7 × 9 + 5(-12) = 2003

답변: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

행렬에 숫자 곱하기

행렬 A와 숫자 k의 곱은 동일한 크기의 행렬 B \u003d A k이며, 주어진 모든 요소 수를 곱하여 원본에서 얻습니다.

b i , j = k × a i , j

행렬에 숫자를 곱하는 속성:

• 1 × A = A
• 0 × A = 제로 매트릭스
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

행렬 A \u003d 4 2 9 0 x 5의 곱을 찾으십시오.

5A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

행렬에 벡터를 곱하기

행렬과 벡터의 곱을 찾으려면 행별 열 규칙에 따라 곱해야 합니다.

• 행렬에 열 벡터를 곱하면 행렬의 열 수가 열 벡터의 행 수와 일치해야 합니다.
• 열 벡터의 곱셈 결과는 열 벡터뿐입니다.

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 오전 1 오전 2 ⋯ 오전 n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ am 1 × b 1 + am 2 × b 2 + ⋯ + am n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1m

• 행렬에 행 벡터를 곱하는 경우 곱할 행렬은 열 벡터여야 하며 열 수는 행 벡터의 열 수와 일치해야 합니다.

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ n × bn = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

실시예 5

행렬 A와 열 벡터 B의 곱을 구합니다.

A B \u003d 240-213-1011 2-1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (-1)-2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (-1)- 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

실시예 6

행렬 A와 행 벡터 B의 곱을 구합니다.

A \u003d 320-1, B \u003d-1102

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 - 1 1 0 2

답 : A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

각 벡터는 1열 또는 1행 행렬로 볼 수 있습니다. 1열 행렬을 열 벡터라고 하고 1행 행렬을 행 벡터라고 합니다.

A가 m*n 크기의 행렬이면 열 벡터 b의 크기는 n이고 행 벡터 b의 크기는 m입니다.

따라서 행렬에 벡터를 곱하려면 벡터를 열 벡터로 취급해야 합니다. 벡터에 행렬을 곱할 때 행 벡터로 취급해야 합니다.

곱셈 행렬

복소수 벡터에

우리는 결과를 얻는다

보시다시피 벡터의 차원이 변경되지 않은 상태에서 두 가지 솔루션을 가질 수 있습니다.

동일한 값에도 불구하고 첫 번째 버전과 두 번째 버전의 행렬이 완전히 다르다는 사실에 주목하고 싶습니다 (차원이 다릅니다)

첫 번째 경우 벡터는 열로 간주되며 필요합니다. 행렬에 벡터 곱하기, 두 번째 경우에는 행 벡터가 있고 벡터와 행렬의 곱.

이 봇은 또한 복잡한 값을 가진 벡터와 행렬을 곱합니다. 온라인에서 복잡한 값을 가진 행렬의 더 완벽한 계산기 곱셈을 기반으로

행렬-벡터 곱셈의 속성

행렬

벡터 열

행 벡터

임의의 숫자

1. 열 벡터의 합에 의한 행렬의 곱은 각 벡터에 의한 행렬의 곱의 합과 같습니다.

2. 행렬에 의한 행 벡터의 합의 곱은 행렬에 의한 벡터의 곱의 합과 같습니다

3. 벡터의 공약수는 행렬의 벡터 곱 / 벡터의 행렬 곱에서 꺼낼 수 있습니다.

4. 행렬과 열 벡터의 곱에 의한 행 벡터의 곱은 행 벡터와 행렬과 열 벡터의 곱의 곱과 같습니다.

강의 6. 계산 수학의 일반적인 문제를 해결하기 위한 병렬 수치 알고리즘: 행렬 곱셈.

행렬에 벡터를 곱합니다. 가능한 최고 속도를 달성하십시오. 중간 수준 병렬 처리 사용. p = n에 대한 병렬 컴퓨팅 구성. 제한된 프로세서 세트 사용. 행렬 곱셈. 문제 해결 알고리즘의 매크로 조작 분석. 데이터 공유에 기반한 병렬 처리 구성.

행렬에 벡터를 곱하기

행렬에 벡터를 곱하는 문제는 다음 관계로 정의됩니다.

따라서 결과 벡터를 얻으려면 행렬과 벡터의 행을 곱하기 위해 동일한 유형의 연산을 반복해야 합니다. 이러한 각 작업을 얻는 것은 행렬 및 벡터의 행 요소의 요소별 곱셈과 결과 제품의 후속 합산을 포함합니다. 필요한 스칼라 작업의 총 수는 다음 값으로 추정됩니다.

행렬과 벡터를 곱할 때 수행되는 작업에서 다음과 같이 병렬 합산 알고리즘을 기반으로 문제를 해결하기 위한 병렬 방법을 얻을 수 있습니다(4.1 단락 참조). 이 섹션에서는 사용 가능한 프로세서 수에 따라 병렬 컴퓨팅 구성을 고려하여 병렬화 방법 분석을 보완합니다. 또한 행렬에 벡터를 곱하는 문제의 예를 사용하여 프로세서 간 상호 작용을 구성하는 데 드는 비용을 줄이기 위해 컴퓨팅 시스템의 가장 적합한 토폴로지 (프로세서 간의 기존 통신 채널)를 선택해야 할 필요성에 주목합니다.

가장 빠른 성능 달성()

가능한 병렬화 방법을 선택하기 위해 행렬-벡터 곱셈 알고리즘에서 정보 종속성을 분석해 봅시다. 보시다시피 계산 중에 수행되는 벡터로 행렬의 개별 행을 곱하는 작업은 독립적이며 병렬로 수행할 수 있습니다.

각 행에 벡터를 곱하는 것은 독립적인 요소별 곱셈을 수반하며 병렬로 수행될 수도 있습니다.

행렬의 행에 벡터를 곱하는 각 연산에서 얻은 곱의 합산은 합산 알고리즘의 이전에 고려된 변형(직렬 알고리즘, 기존 및 수정된 캐스케이드 방식) 중 하나를 사용하여 수행할 수 있습니다.

따라서 필요한 최대 프로세서 수는 값에 의해 결정됩니다.

이러한 수의 프로세서 사용은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 프로세서 세트는 그룹으로 나뉩니다.

,

각각은 행렬의 단일 행에 벡터를 곱하는 작업을 수행하기 위한 일련의 프로세서를 나타냅니다. 계산을 시작할 때 그룹의 각 프로세서는 행렬 행의 요소와 벡터의 해당 요소를 받습니다. 다음으로 각 프로세서는 곱셈 연산을 수행합니다. 후속 계산은 캐스케이드 합산 방식에 따라 수행됩니다. 그림의 설명을 위해. 6.1은 행렬의 차원을 가진 그룹의 프로세서에 대한 계산 체계를 보여줍니다.

쌀. 6.1. 행렬 행에 벡터를 곱하기 위한 계산 체계

프로세서를 사용할 때 병렬 알고리즘의 실행 시간은 병렬 곱셈 연산의 실행 시간과 캐스케이드 방식의 실행 시간에 의해 결정됩니다.

결과적으로 알고리즘의 성능 지표는 다음 관계에 의해 결정됩니다.

벡터에 의한 행렬의 곱셈 문제에 대해 가장 적합한 토폴로지는 캐스케이드 합산 체계에서 빠른 데이터 전송(단위 길이의 경로)을 제공하는 구조입니다(그림 4.5 참조). 이러한 토폴로지는 완전한 연결 시스템( 완전한 그래프) 그리고 하이퍼큐브. 다른 토폴로지에서는 더 긴 데이터 경로로 인해 통신 시간이 늘어납니다. 따라서 왼쪽과 오른쪽의 가장 가까운 이웃과만 연결 시스템을 사용하는 프로세서의 선형 순서로 ( 자또는 반지) 캐스케이드 방식의 경우 반복에서 수신된 각 부분 합의 전송 경로 길이 는 와 같습니다. 선형 구조의 토폴로지에서 길이의 경로를 따라 데이터를 전송하려면 데이터 전송 작업을 수행해야 한다고 가정하면 데이터 전송의 총 병렬 작업 수(경로의 총 길이)는 값에 의해 결정됩니다.

(부트스트래핑 프로세서를 위한 데이터 전송 제외).

직사각형 토폴로지를 갖는 컴퓨팅 시스템의 적용 2차원 격자크기는 수행된 계산의 단순하고 시각적인 해석으로 이어집니다(네트워크 구조는 처리된 데이터의 구조에 해당함). 이러한 토폴로지의 경우 격자의 수평선을 따라 행렬의 행을 배치하는 것이 가장 편리합니다. 이 경우 벡터의 요소는 컴퓨팅 시스템의 수직선을 따라 전송되어야 합니다. 이 데이터 배열을 사용한 계산 실행은 격자선을 따라 병렬로 수행할 수 있습니다. 결과적으로 총 데이터 전송 횟수는 ruler()의 결과와 동일합니다.

문제를 해결하기 위해 수행되는 통신 작업은 MCS 프로세서 쌍 간에 데이터를 전송하는 것입니다. 이러한 작업의 구현 기간에 대한 자세한 분석은 3.3 단락에서 수행됩니다.

4. 병렬 알고리즘 구현을 위한 권장 사항. 병렬 알고리즘을 구현할 때 사용된 프로세서에 초기 데이터를 로드하는 초기 단계를 선택하는 것이 좋습니다. 이러한 초기화는 다음 형식의 토폴로지가 있는 컴퓨팅 시스템의 토폴로지에 가장 간단하게 제공됩니다. 완전한 그래프(로드는 단일 병렬 데이터 전송 작업으로 제공됩니다). 형식으로 프로세서 세트를 구성할 때 하이퍼큐브중앙 제어 프로세서가 행렬 및 벡터 행을 프로세서 그룹의 제어 프로세서에 분배하고, 차례로 행렬 및 벡터의 요소를 분배하는 부트스트랩 프로세스의 2단계 제어를 갖는 것이 유용할 수 있습니다. 실행 프로세서에 대한 행. 형식의 토폴로지용 통치자또는 반지요소에서 전송되는 데이터 양이 순차적으로 감소하는 순차적 데이터 전송 작업이 필요합니다.

중간 수준 Parallelism() 사용

1. 병렬 컴퓨팅 방식의 선택. 사용 가능한 프로세서 수가 감소함에 따라() 행렬 행에 벡터를 곱하는 작업을 수행할 때 일반적인 캐스케이드 합계 체계를 적용할 수 없게 됩니다. 자료의 표시를 단순화하기 위해 수정된 캐스케이드 체계를 가정하고 사용합니다. 이 경우 각 프로세서의 초기 부하는 증가하고 프로세서는 행렬 및 벡터 행의 일부에 의해 로드됩니다. 행렬에 벡터를 곱하는 작업의 실행 시간은 다음 값으로 추정할 수 있습니다.

수정된 캐스케이드 체계를 구현하는 데 필요한 프로세서 수를 사용할 때, 즉 ~에 , 이 식은 실행 시간의 추정치를 제공합니다. (에 ).

프로세서의 수와 함께, 알고리즘의 실행 시간이 로 추정될 때 계산의 병렬 실행을 위한 새로운 방식을 제안할 수 있습니다. 겹치지 않는 프로세서 세트. 이 접근 방식을 사용하면 사용 가능한 프로세서 수는 행렬과 벡터의 행을 곱하는 하나의 연산만 구현하기에 충분합니다. 또한 캐스케이드 합계의 다음 반복을 수행할 때 이전의 모든 반복 실행을 담당하는 프로세서는 무료입니다. 그러나 제안된 접근 방식의 이러한 단점은 행렬의 다음 행을 처리하기 위해 유휴 프로세서를 사용함으로써 장점으로 바뀔 수 있습니다. 결과적으로 다음과 같은 구성표가 형성될 수 있습니다. 컨베이어행렬 및 벡터 곱셈을 수행합니다.

프로세서 세트는 겹치지 않는 프로세서 그룹으로 나뉩니다.

,

그룹은 프로세서로 구성되며 캐스케이드 알고리즘을 반복하는 데 사용됩니다(그룹은 요소별 곱셈을 구현하는 데 사용됨). 총 프로세서 수

계산 초기화는 행렬 행의 값 1과 벡터를 사용하여 그룹의 프로세서를 요소별로 로드하는 것으로 구성됩니다. 부트스트랩 이후에 요소별 곱셈의 병렬 연산과 종래의 캐스케이드 합산 회로의 후속 구현이 수행됩니다.

계산을 수행할 때 요소별 곱셈 연산이 완료될 때마다 그룹의 프로세서에 행렬의 다음 행 요소가 로드되고 새로 로드된 데이터에 대한 계산 프로세스가 시작됩니다.

상술한 알고리즘을 적용한 결과, 복수의 프로세서는 행렬 행과 벡터를 곱하는 연산을 수행하기 위한 파이프라인을 구현한다. 이러한 파이프라인에서 매트릭스의 여러 개별 행은 서로 다른 처리 단계에 동시에 있을 수 있습니다. 따라서 예를 들어 첫 번째 행의 요소와 벡터의 요소별 곱셈 후 그룹 프로세서는 행렬의 첫 번째 행에 대해 캐스케이드 알고리즘의 첫 번째 반복을 수행하고 그룹 프로세서는 요소를 수행합니다. -행렬의 두 번째 행 값의 현명한 곱셈 등. 그림의 설명을 위해. 6.2는 에서 2번의 파이프라인 반복 후 계산 프로세스의 상황을 보여줍니다.

쌀. 6.2. 2회 반복 수행 후 행렬의 행에 벡터를 곱하는 연산을 위한 파이프라인의 상태

2. 알고리즘 성능 지표 평가. 캐스케이드 방식에 따라 첫 번째 행에 벡터를 곱하면 평소와 같이 () 병렬 작업을 실행한 후 완료됩니다. 다른 행의 경우 계산 조직의 파이프라인 체계에 따라 파이프라인의 각 후속 반복이 완료된 후 각 연속 행의 곱셈 결과가 나타납니다. 결과적으로 행렬-벡터 곱셈 연산의 총 실행 시간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이 추정은 앞 단락()에서 설명한 병렬 알고리즘의 실행 시간보다 약간 길지만 새로 제안하는 방법은 전송하는 데 더 적은 데이터가 필요합니다(벡터는 ​​한 번만 전송됨). 또한 파이프라인 체계를 사용하면 일부 계산 결과가 더 일찍 표시됩니다(많은 데이터 처리 상황에서 유용할 수 있음).

결과적으로 알고리즘의 성능 지표는 다음 관계에 의해 결정됩니다.

3. 컴퓨터 시스템 토폴로지 선택. 컴퓨팅 시스템의 편리한 토폴로지는 컴퓨팅 체계에 의해 완전히 결정됩니다. 이진 트리키 . 이러한 네트워크 토폴로지를 사용한 데이터 전송 횟수는 파이프라인에서 수행한 총 반복 횟수, 즉

계산의 초기화는 트리의 리프에서 시작되며 합계 결과는 루트 프로세서에 누적됩니다.

프로세서 간 통신의 다른 토폴로지가 있는 컴퓨터 시스템에 대해 수행되는 통신 작업의 복잡성 분석은 독립적인 작업으로 수행되어야 합니다(섹션 3.4 참조).

병렬 컴퓨팅 구성

1. 병렬 컴퓨팅 방식의 선택. 행렬에 벡터를 곱하기 위해 프로세서를 사용하는 경우 매뉴얼에서 이미 설명한 병렬 행 단위 행 곱셈 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 여기서 행렬의 행은 프로세서 간에 행 단위로 분산되고 각 프로세서는 연산을 구현합니다. 행렬의 개별 행에 벡터를 곱하는 것입니다. 병렬 컴퓨팅을 구성하는 또 다른 가능한 방법은 행렬의 행에 벡터를 곱하는 연산을 위한 파이프라인 방식(벡터의 내적) 사용 가능한 모든 프로세서를 선형 순서로 배열하여( 통치자).

이러한 계산 방식은 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 일련의 프로세서를 선형 시퀀스로 표현해 보겠습니다(그림 4.7 참조).

각 프로세서는 행렬 열 요소와 벡터 요소를 곱하는 데 사용됩니다. 각 프로세서에서 계산 실행은 다음으로 구성됩니다.

행렬 열의 다음 요소가 요청됩니다.

요소 및 가 곱해집니다.

이전 프로세서의 계산 결과가 요청됩니다.

값이 추가됩니다.

결과는 다음 프로세서로 전송됩니다.

쌀. 6.3. 두 번의 반복을 수행한 후 행렬의 행에 벡터를 곱하는 연산에 대한 선형 파이프라인의 상태

설명된 구성표를 초기화할 때 여러 가지 추가 작업을 수행해야 합니다.

첫 번째 반복 동안 각 프로세서는 벡터의 요소를 추가로 요청합니다.

계산을 동기화하기 위해(회로의 다음 반복 실행 중에 이전 프로세서의 계산 결과가 요청됨) 초기화 단계에서 프로세서 , , () 대기 루프를 실행합니다.

또한, 이전 프로세서가 없는 첫 번째 프로세서에 대해 설명된 체계의 균일성을 위해 빈 추가 연산을 도입하는 것이 좋습니다( ).

그림의 설명을 위해. 6.3은 에서 파이프라인의 두 번째 반복 후 계산 프로세스의 상태를 보여줍니다.

2. 알고리즘 성능 지표 평가. 설명된 파이프라인 방식에 따라 첫 번째 행에 벡터를 곱하는 것은 () 병렬 작업을 실행한 후에 완료됩니다. 다음 행의 곱셈 결과는 파이프라인의 각 다음 반복이 완료된 후에 발생합니다(각 프로세서의 반복에는 곱셈 및 덧셈 연산의 실행이 포함됨). 결과적으로 행렬-벡터 곱셈 연산의 총 실행 시간은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이 추정치는 에 대한 병렬 알고리즘의 가능한 최소 실행 시간보다 큽니다. 이전 단락에서 언급한 것처럼 파이프라인 컴퓨팅 체계를 사용하면 전송되는 데이터의 양이 줄어들고 계산 결과의 일부가 더 일찍 나타납니다.

이 계산 체계의 성능 지표는 다음 관계에 의해 결정됩니다.

, ,

3. 컴퓨터 시스템 토폴로지 선택. 설명된 알고리즘의 구현을 위해 필요한 컴퓨팅 시스템의 토폴로지는 제안된 계산 체계에 의해 고유하게 결정됩니다. 이것은 선형적으로 정렬된 프로세서 세트입니다. 자).

제한된 프로세서 집합 사용()

1. 병렬 컴퓨팅 방식의 선택. 프로세서의 수를 값으로 줄이면 행별 곱셈 알고리즘을 적용한 결과 행렬-벡터 곱셈을 위한 병렬 계산 방식을 얻을 수 있습니다. 이 경우 요소별 곱셈의 결과를 합산하는 캐스케이드 방식이 퇴화되고 행렬 행과 벡터를 곱하는 연산이 단일 프로세서에서 완전히 수행됩니다. 이 접근 방식으로 얻은 계산 방식은 다음과 같이 지정할 수 있습니다.

벡터 및 행렬 행은 사용 가능한 각 프로세서로 전송됩니다.

행렬의 행에 벡터를 곱하는 작업은 일반적인 순차 알고리즘을 사용하여 수행됩니다.

행렬의 크기는 프로세서 수의 배수가 아닐 수 있으며 행렬의 행은 프로세서 간에 균등하게 분할될 수 없습니다. 이러한 상황에서 프로세서 부하 균일성 요구 사항에서 벗어나 더 간단한 계산 체계를 얻기 위해 데이터가 프로세서에 한 행씩만 배치된다는 규칙(즉, 행렬의 한 행 요소)을 수락할 수 있습니다. 여러 프로세서 간에 공유할 수 없음). 행 수가 다르면 프로세서의 계산 부하가 달라집니다. 따라서 계산 완료(작업 솔루션의 총 지속 시간)는 가장 로드가 많은 프로세서의 작동 시간에 의해 결정됩니다(동시에 일부 프로세서는 자신의 몫이 소진되어 이 총 시간의 일부를 유휴 상태로 둘 수 있음) 계산). 프로세서의 불균일한 로딩은 MCS 사용의 효율성을 감소시키며, 이 예를 고려한 결과 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 균형 문제

3. 컴퓨터 시스템 토폴로지 선택. 제안된 계산 체계에서 수행되는 프로세서 간 상호 작용의 특성에 따라 프로세서 구성은 다음과 같습니다. 별(그림 1.1 참조). 이러한 토폴로지의 제어 프로세서는 컴퓨팅 프로세서에 초기 데이터를 로드하고 수행된 계산 결과를 수신하는 데 사용할 수 있습니다.

행렬 곱셈

행렬에 행렬을 곱하는 문제는 관계식으로 정의됩니다.

.

(단순화를 위해 곱한 행렬 및 가 정사각형이고 순서가 있다고 가정합니다).

이 작업의 가능한 병렬 실행 방법 분석은 행렬에 벡터를 곱하는 문제를 고려하여 유추하여 수행할 수 있습니다. 독립적인 연구를 위해 이러한 분석을 남겨두고 행렬 곱셈 문제의 예를 사용하여 복잡한 문제를 해결하기 위한 병렬 방법을 형성할 수 있는 몇 가지 일반적인 접근 방식을 보여줄 것입니다.

MatLab 시스템은 단순히 행렬과 벡터에 대해 수학 연산을 수행합니다. 먼저 행렬과 벡터의 덧셈과 곱셈의 간단한 연산을 고려하십시오. 두 개의 벡터가 주어질 때

a = ; % 행 벡터
b = ; % 열 벡터

이 두 벡터의 곱셈은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

c = a*b; %c=1+2+3+4+5=16
d = b*a; %d - 5x5 요소의 행렬

벡터에 대한 연산에 따라 행 벡터와 열 벡터를 곱하면 숫자가 되고 열 벡터와 행 벡터를 곱하면 2차원 행렬이 됩니다.

두 벡터의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같이 쓰여집니다.

a1 = ;
a2 = ;
c = a1+a2; %c = ;
c = a2-a1; %c = ;

더하기 및 빼기 연산은 두 개의 열 벡터 또는 두 개의 행 벡터 사이에서 수행될 수 있습니다. 그렇지 않으면 MatLab은 오류 메시지를 표시합니다. 다른 유형의 벡터는 추가할 수 없습니다. 이것은 모든 잘못된 산술 연산의 경우입니다. 계산할 수 없는 경우 MatLab 시스템은 오류를 보고하고 프로그램은 해당 줄에서 종료됩니다.

마찬가지로 행렬 간의 곱셈 및 덧셈 연산이 수행됩니다.

에이 = ;
B = 일(3);
C=A+B; 같은 크기의 두 행렬의 % 추가
D=A+5; 행렬과 숫자의 % 덧셈
E=A*B; 행렬 A와 B의 % 곱셈
F=B*A; A에 의한 행렬 B의 % 곱셈
G=5*A; 행렬에 숫자를 곱한 %

역행렬을 계산하고 행렬과 벡터를 전치하는 작업은 다음과 같이 작성됩니다.

a = ; % 행 벡터
b = a'; 다음에 의해 형성된 % 열 벡터
행 벡터의 % 전치 a.
에이 = ; % 매트릭스 3x3 요소
B = a*A; %b= - 행 벡터
C=A*b; % C = - 열 벡터
D = a*A*a'; % D = 45 – 숫자, 행렬 A의 합
전자 = A'; % E는 전치 행렬 A입니다.
F = inv(A); % F - 역행렬 A
G = A^-1; % G - 역행렬 A

위의 예에서 행렬과 벡터를 전치하는 연산은 벡터 또는 행렬의 이름 뒤에 '(아포스트로피) 기호로 표시되어 있음을 알 수 있습니다. 역행렬의 계산은 inv() 함수를 호출하거나 행렬의 -1승으로 계산할 수 있습니다. 두 경우의 결과는 같을 것이며 다양한 알고리즘을 구현할 때 사용하기 쉽도록 두 가지 계산 방법을 만듭니다.

계산 과정에서 벡터 또는 행렬 요소의 요소를 요소별로 곱하거나 나누거나 올려야 하는 경우 이를 위해 다음 연산자가 사용됩니다.

.* - 요소별 곱셈;
./ 및 .\ - 요소별 분할;
.^ - 요소별 지수화.

다음 예에서 이러한 연산자의 작업을 고려하십시오.

a = ; % 행 벡터
b = ; % 행 벡터
c = a.*b; %c=
A = 일(3); % 1로 구성된 3x3 행렬
B = ; % 행렬 3x3
C = A.*B; % 매트릭스 3x3으로 구성
D = A./B; % 매트릭스 3x3으로 구성
E = A.\B; % 매트릭스 3x3으로 구성
F = A.^2; 행렬 A 요소의 % 제곱

이 섹션을 마무리하기 위해 벡터와 행렬로 작업할 때 유용한 몇 가지 함수를 고려하십시오.

벡터 요소의 최대값을 찾기 위해 표준 함수 max()가 사용됩니다. 이 함수는 찾은 요소의 최대값과 해당 위치(인덱스)를 반환합니다.

a = ;
= 최대(a); % v = 6, i = 2;

v = 최대(a); %v = 6;

위의 예는 max() 함수를 호출하는 두 가지 다른 방법을 보여줍니다. 첫 번째 경우에는 요소의 최대값과 벡터의 인덱스가 모두 결정되고 두 번째 경우에는 요소의 최대값만 결정됩니다.

행렬의 경우 이 함수는 아래 예와 같이 열의 최대값을 결정합니다.

에이 = ;
= 최대(A); %V=, 나=
V = 최대(A); %V=

max() 함수의 전체 구문은 MatLab 명령 창에 명령을 입력하여 찾을 수 있습니다.

돕다<название функции>

min() 함수는 벡터 또는 행렬 요소와 해당 인덱스의 최소값을 결정하는 유사한 방식으로 작동합니다.

행렬 및 벡터 작업에 유용한 또 다른 함수는 sum() 함수로, 벡터 요소 또는 행렬 열 값의 합을 계산합니다.

a = ;
s = 합계(a); %s = 3+5+4+2+1=15
에이 = ;
S1 = 합계(A); %S1=
S2 = 합(합(A)); %S2=39

합 S2를 ​​계산할 때 행렬 A의 요소 값의 합은 먼저 열로 계산한 다음 행으로 계산합니다. 결과적으로 변수 S2에는 행렬 A의 모든 요소 값의 합이 포함됩니다.

벡터 또는 행렬의 요소 값을 오름차순 또는 내림차순으로 정렬하려면 다음과 같이 sort() 함수를 사용하십시오.

a = ;

b1 = 정렬(a); %b1=
b2 = 정렬(a, '내림차순'); %b2=
b3 = 정렬(a, '상승'); %b3=

행렬용

에이 = ;
B1 = 정렬(A); %B1=
B2 = 정렬(A, '하강'); %B2=

많은 실제 문제에서 벡터나 행렬에서 특정 요소를 찾아야 하는 경우가 많습니다. 이는 필요한 요소가 발견되는 조건을 인수로 취하는 표준 find() 함수를 사용하여 수행할 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

a = ;
b1 = 찾기(a == 2); %b1 = 4 - 요소 인덱스 2
b2 = 찾기(a ~= 2); % b2 = - 2가 없는 지수
b3 = 찾기(a > 3); %b3=

위의 예에서 기호 '=='는 같음 검사를 의미하고 기호 '~='는 벡터 a의 요소 값의 불일치 검사를 수행합니다. 이러한 연산자에 대한 자세한 내용은 조건 연산자 섹션에서 설명합니다.

벡터 및 행렬 작업에 유용한 또 다른 함수는 다음과 같이 작동하는 산술 평균을 계산하는 mean() 함수입니다.

a = ;
m = 평균(a); %m = 3
에이 = ;
M1 = 평균(A); %M1=
M2 = 평균(평균(A)); % M2 = 4.333

그래서 이전 수업에서 행렬을 더하고 빼는 규칙을 분석했습니다. 이러한 작업은 대부분의 학생들이 문자 그대로 즉시 이해할 수 있는 간단한 작업입니다.

그러나 당신은 일찍 기뻐합니다. 공짜는 끝났습니다. 곱셈으로 넘어 갑시다. 즉시 경고하겠습니다. 두 행렬을 곱하는 것은 생각하는 것처럼 동일한 좌표를 가진 셀의 숫자를 전혀 곱하지 않습니다. 여기에서 모든 것이 훨씬 더 재미 있습니다. 그리고 사전 정의부터 시작해야 합니다.

일관된 행렬

행렬의 가장 중요한 특성 중 하나는 크기입니다. 우리는 이미 이것에 대해 백 번 이야기했습니다: $A=\left[ m\times n \right]$는 행렬이 정확히 $m$ 행과 $n$ 열을 갖는다는 것을 의미합니다. 행과 열을 혼동하지 않는 방법에 대해서는 이미 논의했습니다. 이제 다른 것이 중요합니다.

정의. $A=\left[ m\times n \right]$ 및 $B=\left[ n\times k \right]$ 형식의 행렬. 여기서 첫 번째 행렬의 열 수는 다음과 같습니다. 두 번째의 행 수를 일관적이라고 합니다.

다시 한 번: 첫 번째 행렬의 열 수는 두 번째 행렬의 행 수와 같습니다! 이것으로부터 우리는 한 번에 두 가지 결론을 얻습니다.

1. 행렬의 순서를 중요하게 생각합니다. 예를 들어, 행렬 $A=\left[ 3\times 2 \right]$ 및 $B=\left[ 2\times 5 \right]$는 일치합니다(첫 번째 행렬에 2열, 두 번째 행렬에 2행). , 그러나 그 반대의 경우 — 행렬 $B=\left[ 2\times 5 \right]$ 및 $A=\left[ 3\times 2 \right]$는 더 이상 일관성이 없습니다(첫 번째 행렬의 5개 열은 다음과 같습니다. 그것은 두 번째에 3 행이 아닙니다).
2. 모든 치수를 차례로 적어 놓으면 일관성을 쉽게 확인할 수 있습니다. 이전 단락의 예: "3 2 2 5" - 중간에 동일한 숫자가 있으므로 행렬이 일관됩니다. 그러나 "2 5 3 2"는 중간에 다른 숫자가 있기 때문에 일치하지 않습니다.

게다가 선장은 $\left[ n\times n \right]$ 크기가 같은 정사각형 행렬은 항상 일관성이 있다고 암시하는 것 같습니다.

수학에서 객체의 열거 순서가 중요할 때(예를 들어 위에서 논의한 정의에서 행렬의 순서가 중요함) 종종 순서쌍에 대해 말합니다. 우리는 그들을 학교에서 만났습니다. 좌표 $\left(1;0 \right)$와 $\left(0;1 \right)$가 평면에서 서로 다른 지점을 정의한다는 것은 당연하다고 생각합니다.

따라서 좌표도 숫자로 구성된 순서 쌍입니다. 그러나 그러한 행렬 쌍을 만드는 것을 방해하는 것은 없습니다. 그러면 다음과 같이 말할 수 있습니다. "

글쎄요?

곱셈의 정의

$A=\left[ m\times n \right]$ 및 $B=\left[ n\times k \right]$의 두 개의 일관된 행렬을 고려하십시오. 그리고 우리는 그들을 위해 곱셈 연산을 정의합니다.

정의. 두 개의 일관된 행렬 $A=\left[ m\times n \right]$와 $B=\left[ n\times k \right]$의 곱은 새로운 행렬 $C=\left[ m\times k \ 권리] $, 그 요소는 다음 공식에 따라 계산됩니다.

\[\begin(정렬) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

이러한 제품은 표준 방식으로 표시됩니다: $C=A\cdot B$.

이 정의를 처음 본 사람들에게는 즉시 두 가지 질문이 떠오릅니다.

1. 이것은 어떤 야생 게임입니까?
2. 왜 그렇게 어려운가요?

글쎄, 먼저 먼저. 첫 번째 질문부터 시작하겠습니다. 이 모든 인덱스는 무엇을 의미합니까? 실제 행렬로 작업할 때 실수하지 않는 방법은 무엇입니까?

우선, 우리는 $((c)_(i;j))$ 계산을 위한 긴 줄에 주목합니다. 일반 - 정의에 수식을 입력하는 데 지쳤습니다) 실제로 간단한 규칙으로 요약됩니다.

1. 첫 번째 행렬에서 $i$ 번째 행을 가져옵니다.
2. 두 번째 행렬에서 $j$ 번째 열을 취합니다.
3. 우리는 두 개의 숫자 시퀀스를 얻습니다. 이러한 시퀀스의 요소에 동일한 숫자를 곱한 다음 결과 제품을 더합니다.

이 프로세스는 그림에서 이해하기 쉽습니다.

다시 한 번: 첫 번째 행렬의 $i$ 행, 두 번째 행렬의 $j$ 열을 고정하고 동일한 숫자의 요소를 곱한 다음 결과 곱을 더하면 $((c)_(ij ))$. 그리고 모든 $1\le i\le m$ 및 $1\le j\le k$에 대해서도 마찬가지입니다. 저것들. 총 $m\times k$ 이러한 "변태"가 있을 것입니다.

사실 우리는 이미 학교 커리큘럼에서 행렬 곱셈을 매우 잘린 형태로만 만났습니다. 벡터를 지정하자:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \종료(정렬)\]

그러면 이들의 스칼라 곱은 정확히 쌍별 곱의 합이 됩니다.

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

사실, 나무가 더 푸르르고 하늘이 더 밝았던 먼 옛날에 우리는 단순히 행 벡터 $\overrightarrow(a)$와 열 벡터 $\overrightarrow(b)$를 곱했습니다.

오늘은 아무것도 바뀌지 않았습니다. 이제 이러한 행 및 열 벡터가 더 많이 있습니다.

그러나 충분한 이론! 실제 사례를 살펴보겠습니다. 가장 간단한 경우인 정사각형 행렬부터 시작하겠습니다.

정사각 행렬의 곱셈

작업 1. 곱셈을 수행합니다.

\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(배열) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\end(array) \right]\]

해결책. 따라서 $A=\left[ 2\times 2 \right]$ 및 $B=\left[ 2\times 2 \right]$의 두 행렬이 있습니다. 일관성이 있다는 것은 분명합니다(동일한 크기의 정사각형 행렬은 항상 일관성이 있음). 그래서 우리는 곱셈을 합니다:

\[\begin(정렬) & \left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(배열) \right]\cdot \left[ \ 시작(배열)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(배열) \right]=\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(배열) \right]= \\ & =\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ 끝(배열)\오른쪽]. \끝(정렬)\]

그게 다야!

정답: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

작업 2. 곱셈을 수행합니다.

\[\left[ \begin(행렬) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(행렬) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\end(배열) \right]\]

해결책. 다시 말하지만, 일관된 행렬이므로 다음 작업을 수행합니다.\[\]

\[\begin(정렬) & \left[ \begin(행렬) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(행렬) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(배열) \right]=\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ 왼쪽(-3 \오른쪽) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right] . \끝(정렬)\]

보시다시피 결과는 0으로 채워진 행렬입니다.

정답: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

위의 예에서 행렬 곱셈이 그렇게 복잡한 연산이 아님이 분명합니다. 적어도 2x2 정사각형 행렬의 경우.

계산 과정에서 우리는 특정 셀에 어떤 숫자가 포함되어 있는지 직접 그린 중간 행렬을 컴파일했습니다. 이것은 실제 문제를 해결할 때 정확히 수행되어야 하는 것입니다.

매트릭스 제품의 기본 속성

간단히 말해서. 행렬 곱셈:

1. 비가환적: 일반적으로 $A\cdot B\ne B\cdot A$. 물론 등식 $A\cdot B=B\cdot A$에 대한 특수 행렬이 있지만(예를 들어 $B=E$가 항등 행렬인 경우) 대부분의 경우 이것은 작동하지 않습니다. ;
2. 연관: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. 여기에는 옵션이 없습니다. 인접한 행렬은 이 두 행렬의 왼쪽과 오른쪽에 무엇이 있는지 걱정하지 않고 곱할 수 있습니다.
3. 분산: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ 및 $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

그리고 지금 - 모두 동일하지만 더 자세히 설명합니다.

행렬 곱셈은 고전적인 숫자 곱셈과 매우 비슷합니다. 그러나 차이점이 있으며 그 중 가장 중요한 것은 행렬 곱셈은 일반적으로 비가환적입니다..

문제 1의 행렬을 다시 고려하십시오. 우리는 이미 그들의 직접 곱을 알고 있습니다.

\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(배열) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\end(배열) \right]\]

그러나 행렬을 바꾸면 완전히 다른 결과를 얻습니다.

\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(배열) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(배열) \right]=\left[ \begin(행렬) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(행렬 )\오른쪽]\]

$A\cdot B\ne B\cdot A$로 밝혀졌습니다. 또한 곱셈 연산은 일치하는 행렬 $A=\left[ m\times n \right]$ 및 $B=\left[ n\times k \right]$에 대해서만 정의되지만 이것이 유지될 것이라고 아무도 보장하지 않습니다. 일관성이 있습니다(스왑되는 경우). 예를 들어, 행렬 $\left[ 2\times 3 \right]$와 $\left[ 3\times 5 \right]$는 이 순서에서 매우 일관적이지만 동일한 행렬 $\left[ 3\times 5 \ right] $와 $\left[ 2\times 3 \right]$를 역순으로 쓰면 더 이상 일치하지 않습니다. 슬픔 :(

주어진 크기 $n$의 정사각 행렬 중에는 직접 곱하거나 역순으로 곱해도 같은 결과가 나오는 행렬이 항상 있습니다. 이러한 모든 행렬을 설명하는 방법(및 일반적으로 그 중 몇 개)은 별도의 강의 주제입니다. 오늘은 그것에 대해 이야기하지 않겠습니다. :)

그러나 행렬 곱셈은 연관적입니다.

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

따라서 여러 행렬을 한 번에 곱해야 할 때 미리 곱할 필요가 전혀 없습니다. 곱할 때 일부 인접한 행렬이 흥미로운 결과를 제공할 가능성이 높습니다. 예를 들어 위에서 논의한 문제 2에서와 같이 제로 매트릭스입니다.

실제 문제에서 대부분 $\left[ n\times n \right]$ 크기의 정사각형 행렬을 곱해야 합니다. 이러한 모든 행렬의 집합은 $((M)^(n))$로 표시됩니다(즉, 항목 $A=\left[ n\times n \right]$ 및 \는 동일한 의미임). 항등 행렬이라고 하는 행렬 $E$를 확실히 포함합니다.

정의. 크기 $n$의 항등 행렬은 정사각 행렬 $A=\left[ n\times n \right]$에 대해 다음과 같은 등식이 성립하는 행렬 $E$입니다.

이러한 행렬은 항상 동일하게 보입니다. 주 대각선에는 단위가 있고 다른 모든 셀에는 0이 있습니다.

\[\begin(정렬) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \끝(정렬)\]

즉, 한 행렬에 다른 두 행렬의 합을 곱해야 하는 경우 이러한 "다른 두 행렬" 각각을 곱한 다음 결과를 더할 수 있습니다. 실제로는 일반적으로 역 연산을 수행해야 합니다. 동일한 행렬을 확인하고 괄호에서 꺼내 덧셈을 수행하여 삶을 단순화합니다. :)

분배성을 설명하기 위해 두 가지 공식을 작성해야 했습니다. 여기서 합계는 두 번째 요소에 있고 합계는 첫 번째 요소에 있습니다. 이것은 정확히 행렬 곱셈이 비가환적이라는 사실 때문입니다(일반적으로 비가환 대수에서는 일반 숫자로 작업할 때 생각조차 나지 않는 모든 종류의 농담이 많이 있습니다). 예를 들어 시험 중에 이 속성을 기록해야 하는 경우 두 수식을 모두 작성해야 합니다. 그렇지 않으면 교사가 약간 화를 낼 수 있습니다.

좋아요, 이것들은 모두 정사각형 행렬에 대한 동화였습니다. 직사각형은 어떻습니까?

직사각형 행렬의 경우

그러나 아무것도 없습니다. 모든 것이 정사각형과 동일합니다.

작업 3. 곱셈을 수행합니다.

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(행렬) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(배열) \right]\]

해결책. $A=\left[ 3\times 2 \right]$ 및 $B=\left[ 2\times 2 \right]$의 두 가지 행렬이 있습니다. 크기를 나타내는 숫자를 연속으로 작성해 봅시다.

보시다시피 중앙의 두 숫자는 동일합니다. 이는 행렬이 일관되고 곱할 수 있음을 의미합니다. 그리고 출력에서 ​​행렬 $C=\left[ 3\times 2 \right]$를 얻습니다:

\[\begin(정렬) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(행렬) \\\end(행렬) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(배열) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(배열) \right]= \\ & =\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\끝(배열)\오른쪽]. \끝(정렬)\]

모든 것이 명확합니다. 최종 행렬에는 3개의 행과 2개의 열이 있습니다. 꽤 $=\left[ 3\times 2 \right]$.

정답: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(행렬) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(행렬) \\\end(배열) \right]$.

이제 행렬 작업을 막 시작하는 사람들을 위한 최고의 교육 작업 중 하나를 고려하십시오. 여기에서 두 개의 정제를 곱하는 것뿐만 아니라 먼저 결정해야 합니다. 그러한 곱셈이 허용됩니까?

문제 4. 행렬의 가능한 모든 쌍별 곱 찾기:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(행렬) \\end(행렬) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

해결책. 먼저 행렬의 차원을 적어 보겠습니다.

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

$A$의 열 수가 4이고 $B$만이 이 수의 행을 가지므로 $A$ 행렬은 $B$ 행렬과만 일치할 수 있습니다. 따라서 제품을 찾을 수 있습니다.

\\cdot \left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(배열) \right]=\ 왼쪽[ \begin(배열)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(배열) \right]\]

독자가 스스로 중간 단계를 수행할 것을 제안합니다. 계산하기 전에 미리 결과 행렬의 크기를 결정하는 것이 좋습니다.

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

즉, 행렬의 일관성을 보장하는 "전이" 계수를 간단히 제거합니다.

가능한 다른 옵션은 무엇입니까? $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$이므로 $B\cdot A$를 찾는 것이 확실히 가능하므로 순서쌍 $\ left(B ;A \right)$는 일관되며 제품의 크기는 다음과 같습니다.

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

요컨대 출력은 행렬 $\left[ 4\times 4 \right]$가 될 것이며 계수는 쉽게 계산할 수 있습니다.

\\cdot \left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(배열) \right]=\ 왼쪽[ \begin(배열)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\end(배열) \right]\]

당연히 $C\cdot A$ 및 $B\cdot C$도 일치시킬 수 있습니다. 따라서 결과 제품을 간단히 작성합니다.

쉬웠 어.:)

답: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(배열) \right]$; $BC=\left[ \begin(배열)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(배열) \right]$.

일반적으로 이 작업을 직접 수행하는 것이 좋습니다. 그리고 숙제에 있는 또 다른 유사한 작업입니다. 이러한 간단해 보이는 생각은 행렬 곱셈의 모든 주요 단계를 해결하는 데 도움이 될 것입니다.

그러나 이야기는 거기서 끝나지 않습니다. 곱셈의 특별한 경우로 넘어갑시다. :)

행 벡터와 열 벡터

가장 일반적인 행렬 연산 중 하나는 하나의 행 또는 하나의 열이 있는 행렬을 곱하는 것입니다.

정의. 열 벡터는 $\left[ m\times 1 \right]$ 행렬입니다. 여러 행과 단 하나의 열로 구성됩니다.

행 벡터는 $\left[ 1\times n \right]$ 크기의 행렬입니다. 하나의 행과 여러 개의 열로 구성됩니다.

사실, 우리는 이미 이러한 개체를 만났습니다. 예를 들어, stereometry $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$의 일반적인 3차원 벡터는 행 벡터에 불과합니다. 이론적인 관점에서 볼 때 행과 열 사이에는 거의 차이가 없습니다. 주변 승수 행렬과 조정할 때만 주의하면 됩니다.

작업 5. 곱하기:

\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(배열) \right] \cdot \left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(배열) \right]\]

해결책. 일관된 행렬의 곱이 있습니다: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. 이 조각 찾기:

\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(배열) \right] \cdot \left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(배열) \right]=\left[ \begin(배열)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\end(배열) \right]\]

정답: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\end(array) \right]$.

작업 6. 곱셈을 수행합니다.

\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(배열) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\end(배열) \right]\]

해결책. 역시 모든 것이 일관적입니다: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. 우리는 작업을 고려합니다.

\[\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(배열) \right]\cdot \left[ \begin(배열)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(배열) \right]=\left[ \begin(배열)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

정답: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

보시다시피 행 벡터와 열 벡터를 정사각 행렬로 곱하면 출력은 항상 같은 크기의 행 또는 열입니다. 이 사실은 선형 방정식을 푸는 것부터 모든 종류의 좌표 변환에 이르기까지 많은 응용 분야를 가지고 있습니다(결국에는 방정식 시스템에도 적용되지만 슬픈 이야기는 하지 않겠습니다).

여기서 모든 것이 분명하다고 생각합니다. 오늘 수업의 마지막 부분으로 넘어갑시다.

행렬 지수화

모든 곱셈 연산 중에서 지수화는 특별한 주의를 기울일 필요가 있습니다. 이것은 동일한 객체를 자체적으로 여러 번 곱하는 경우입니다. 행렬도 예외는 아니며 다양한 정도로 올릴 수도 있습니다.

이러한 작업은 항상 조정됩니다.

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

그리고 그들은 일반 학위와 같은 방식으로 지정됩니다.

\[\begin(정렬) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \종료(정렬)\]

언뜻보기에 모든 것이 간단합니다. 실제로 어떻게 보이는지 봅시다:

작업 7. 행렬을 지정된 거듭제곱으로 올립니다.

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

해결책. 좋아, 구축하자. 먼저 제곱합시다.

\[\begin(정렬) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\end(행렬) \right]\cdot \left[ \begin(행렬) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(행렬) \right]= \\ & =\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(배열) \right] \end(정렬)\]

\[\begin(정렬) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (행렬) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(행렬) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(행렬) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( 행렬) \right]= \\ & =\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(배열) \right]\cdot \left[ \begin(행렬) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(행렬) \right]= \\ & =\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(배열) \right] \end(정렬)\]

그게 다야.:)

정답: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

문제 8. 행렬을 지정된 거듭제곱으로 올립니다.

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

해결책. "학점이 너무 높다", "세상이 불공평하다", "선생님들이 은행을 완전히 잃었다"는 사실에 대해 지금 울지 마십시오. 사실 모든 것이 쉽습니다.

\[\begin(정렬) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (행렬) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(행렬) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(행렬) \right]\cdot \left[ \begin(행렬) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(행렬) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

두 번째 줄에서 우리는 곱셈 결합성을 사용했습니다. 사실 이전 작업에서 사용했지만 암시적이었습니다.

정답: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

보시다시피 행렬을 거듭제곱하는 데 복잡한 것은 없습니다. 마지막 예는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

\[((\left[ \begin(행렬) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(행렬) \right])^(n))=\left[ \begin(배열)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(배열) \right]\]

이 사실은 수학적 귀납법이나 직접 곱셈을 통해 증명하기 쉽습니다. 그러나 승수로 레이즈할 때 항상 그러한 패턴을 포착할 수 있는 것은 아닙니다. 따라서 조심하십시오. 거기에서 일부 패턴을 찾는 것보다 "빈"행렬 여러 개를 곱하는 것이 더 쉽고 빠릅니다.

일반적으로 아무 것도 없는 곳에서 더 높은 의미를 찾지 마십시오. 마지막으로 $\left[ 3\times 3 \right]$만큼 더 큰 행렬을 거듭제곱하는 것을 고려하십시오.

문제 9. 행렬을 지정된 거듭제곱으로 올립니다.

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

해결책. 패턴을 찾지 맙시다. 우리는 "통해" 일합니다:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(행렬) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(행렬) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (행렬)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\end(행렬) \right]\]

이 행렬을 제곱하여 시작하겠습니다.

\[\begin(정렬) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(행렬) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(행렬) \right]\cdot \left[ \begin(행렬 ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(행렬) \right]= \\ & =\left[ \begin(배열)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\end(배열) \right] \end(정렬)\]

이제 세제곱합시다:

\[\begin(정렬) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(배열)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(배열) \right] \cdot \left[ \begin(행렬) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(행렬) \right]= \\ & =\left[ \begin( 배열)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\end(배열) \right] \end(정렬)\]

그게 다야. 문제 해결됨.

정답: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

보시다시피 계산량이 많아졌지만 의미는 전혀 달라지지 않았습니다. :)

이 수업은 끝날 수 있습니다. 다음 번에는 역 연산을 고려할 것입니다. 기존 제품을 사용하여 원래 승수를 찾을 것입니다.

이미 짐작하셨겠지만 역행렬과 이를 찾는 방법에 대해 이야기하겠습니다.