함수 y 1 2 x에 대한 연구를 찾습니다. Kuznetsov L 컬렉션의 문제

작업에서 그래프 구성과 함께 함수 f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1에 대한 완전한 연구를 수행해야 하는 경우 이 원칙을 자세히 고려할 것입니다.

이러한 유형의 문제를 해결하려면 주요 기본 기능의 속성과 그래프를 사용해야 합니다. 연구 알고리즘에는 다음 단계가 포함됩니다.

정의 영역 찾기

기능 영역에 대한 연구가 수행되기 때문에 이 단계부터 시작해야 합니다.

실시예 1

주어진 예에는 DPV에서 분모를 제외하기 위해 분모의 0을 찾는 것이 포함됩니다.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

결과적으로 근, 로그 등을 얻을 수 있습니다. 그런 다음 ODZ는 부등식 g(x) ≥ 0 으로 유형 g(x) 4 의 짝수차 루트를 검색할 수 있고, 로그 로그 a g(x)는 부등식 g(x) > 0 으로 검색할 수 있습니다.

ODZ 경계 조사 및 수직 점근선 찾기

함수의 경계에 수직 점근선이 있으며, 이러한 점의 단측 한계가 무한합니다.

실시예 2

예를 들어 x = ± 1 2 와 같은 경계 지점을 고려하십시오.

그런 다음 단측 극한을 찾는 함수를 연구해야 합니다. lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f(x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f(x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

이것은 단측 극한이 무한하다는 것을 나타내며, 이는 선 x = ± 1 2 가 그래프의 수직 점근선임을 의미합니다.

기능 조사 및 짝수 또는 홀수

조건 y(-x) = y(x)가 충족되면 함수는 짝수인 것으로 간주됩니다. 이는 그래프가 O y 에 대해 대칭적으로 위치한다는 것을 의미합니다. 조건 y(- x) = - y(x)가 충족되면 함수가 홀수인 것으로 간주됩니다. 이것은 대칭이 좌표의 원점을 기준으로 한다는 것을 의미합니다. 적어도 하나의 부등식이 실패하면 일반 형식의 함수를 얻습니다.

등식 y(- x) = y(x)의 충족은 함수가 짝수임을 나타냅니다. 구성할 때 Oy에 대해 대칭이 있을 것이라는 점을 고려해야 합니다.

부등식을 해결하기 위해 f "(x) ≥ 0 및 f"(x) ≤ 0 조건에서 각각 증가 및 감소 구간을 사용합니다.

정의 1

정지점도함수를 0으로 만드는 점입니다.

크리티컬 포인트함수의 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는 영역의 내부 점입니다.

결정을 내릴 때 다음 사항을 고려해야 합니다.

f "(x) > 0 형식의 부등식의 기존 증가 및 감소 간격에 대해 임계점은 솔루션에 포함되지 않습니다.
유한 미분 없이 함수가 정의된 지점은 증가 및 감소 간격에 포함되어야 합니다(예: y \u003d x 3, 여기서 지점 x \u003d 0은 함수를 정의하고 미분 값은 무한대입니다. 이 시점에서 y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0이 증가 구간에 포함됨);
의견 불일치를 피하기 위해 교육부에서 권장하는 수학 문헌을 사용하는 것이 좋습니다.

기능 영역을 만족하는 경우 증가 및 감소 간격에 임계점을 포함합니다.

정의 2

을 위한 기능의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음을 찾을 필요가 있습니다.:

유도체;
임계점;
임계점을 사용하여 정의 영역을 간격으로 나눕니다.
각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 여기서 +는 증가이고 -는 감소입니다.

실시예 3

도메인 f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1)에서 도함수 찾기 2 .

해결책

해결하려면 다음이 필요합니다.

정지점 찾기, 이 예는 x = 0 ;
분모의 0을 찾으면 이 예에서는 x = ± 1 2 에서 값 0을 취합니다.

각 구간의 도함수를 결정하기 위해 숫자 축에 점을 노출합니다. 이렇게하려면 간격에서 임의의 점을 가져와 계산하면 충분합니다. 결과가 양수이면 그래프에 +를 그립니다. 이는 함수의 증가를 의미하고 -는 감소를 의미합니다.

예를 들어, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, 이는 왼쪽의 첫 번째 간격에 + 기호가 있음을 의미합니다. 숫자를 고려하십시오. 선.

대답:

구간 -∞에서 함수가 증가합니다. - 1 2 및 (- 1 2 ; 0 ] ;
구간 [0 ; 1 2) 및 1 2 ; +∞ .

다이어그램에서 +와 -를 사용하여 함수의 양수와 음수를 나타내고 화살표는 감소 및 증가를 나타냅니다.

함수의 극점은 함수가 정의되고 도함수가 부호를 변경하는 지점입니다.

실시예 4

x \u003d 0인 예를 고려하면 함수의 값은 f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0입니다. 도함수의 부호가 +에서 -로 변경되고 점 x \u003d 0을 통과하면 좌표가 (0, 0)인 점이 최대 점으로 간주됩니다. 부호가 -에서 +로 변경되면 최소점을 얻습니다.

볼록성과 오목성은 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0 형식의 부등식을 풀어서 결정됩니다. 덜 자주 그들은 오목 대신 벌지 다운이라는 이름을 사용하고 벌지 대신 벌지 업을 사용합니다.

정의 3

을 위한 오목과 볼록의 간격 결정필요한:

이차 도함수를 찾으십시오.
이차 미분 함수의 0을 찾습니다.
간격으로 나타나는 점으로 정의의 영역을 나눕니다.
간격의 부호를 결정하십시오.

실시예 5

정의 영역에서 2차 도함수를 찾습니다.

해결책

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

우리는 분자와 분모의 0을 찾습니다. 여기서 우리의 예를 사용하면 분모 x = ± 1 2의 0이

이제 숫자 선에 점을 놓고 각 간격에서 2차 도함수의 부호를 결정해야 합니다. 우리는 그것을 얻는다

대답:

함수는 간격 - 1 2 에서 볼록합니다. 12 ;
함수는 간격에서 오목합니다. - ∞ ; - 1 2 및 1 2 ; +∞ .

정의 4

변곡점 x 0 형식의 점입니다. f(x0) . 함수의 그래프에 접선이 있을 때 x 0을 통과할 때 함수는 부호를 반대 방향으로 변경합니다.

즉, 이것은 2차 도함수가 통과하고 부호를 변경하는 점이며 점 자체는 0과 같거나 존재하지 않습니다. 모든 점은 함수의 영역으로 간주됩니다.

예제에서는 x = ± 1 2 점을 통과하면서 2차 도함수가 부호를 변경하므로 변곡점이 없음을 알 수 있습니다. 그들은 차례로 정의의 영역에 포함되지 않습니다.

수평 및 사선 점근선 찾기

무한대에서 함수를 정의할 때 수평 및 사선 점근선을 찾아야 합니다.

정의 5

사선 점근선 y = k x + b 방정식으로 주어진 선을 사용하여 그려집니다. 여기서 k = lim x → ∞ f(x) x 및 b = lim x → ∞ f(x) - k x 입니다.

k = 0이고 b가 무한대가 아닌 경우, 우리는 사선 점근선이 수평의.

즉, 점근선은 함수의 그래프가 무한대에서 접근하는 선입니다. 이것은 함수 그래프의 신속한 구성에 기여합니다.

점근선이 없지만 함수가 두 무한대에서 모두 정의된 경우 함수의 그래프가 어떻게 동작하는지 이해하려면 이러한 무한대에서 함수의 극한을 계산해야 합니다.

실시예 6

예를 들어 다음을 고려하십시오.

k = lim x → ∞ f(x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f(x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

수평 점근선이다. 기능을 조사한 후 빌드를 시작할 수 있습니다.

중간 지점에서 함수 값 계산

플로팅을 가장 정확하게 하려면 중간 지점에서 함수의 여러 값을 찾는 것이 좋습니다.

실시예 7

우리가 고려한 예에서 x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 지점에서 함수의 값을 찾아야 합니다. 함수가 짝수이기 때문에 값이 이 지점에서 값과 일치함을 얻습니다. 즉, x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4를 얻습니다.

작성하고 해결해 봅시다.

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

함수의 최대값과 최소값, 변곡점, 중간점을 결정하려면 점근선을 만들어야 합니다. 편리한 지정을 위해 증가, 감소, 볼록, 오목의 간격이 고정되어 있습니다. 아래 그림을 고려하십시오.

화살표를 따라 점근선에 더 가까이 갈 수 있도록 표시된 점을 통해 그래프 선을 그릴 필요가 있습니다.

이것으로 함수에 대한 완전한 연구를 마칩니다. 기하 변환이 사용되는 일부 기본 기능을 구성하는 경우가 있습니다.

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내 인생에서 나는 그런 문제에 직면했다. 나는 유일한 사람이 아니라고 생각합니다.

함수를 조사하고 그래프를 그리는 방법은 무엇입니까?

세계 프롤레타리아트 지도자, 55권의 수집 작품의 저자의 영혼 깊은 얼굴을 이해하기 시작하는 것 같습니다.... 긴 여행은 에 대한 기본 정보로 시작되었습니다. 함수와 그래프, 그리고 이제 힘든 주제에 대한 작업은 자연스러운 결과로 끝납니다 - 기사 전체 기능 연구에 대해. 오랫동안 기다려온 작업은 다음과 같이 공식화됩니다.

미분학의 방법으로 함수를 조사하고 연구 결과를 바탕으로 그래프를 작성합니다.

또는 간단히 말해서: 함수를 검사하고 플로팅합니다.

탐색해야 하는 이유간단한 경우에는 기본 기능을 처리하고 다음을 사용하여 얻은 그래프를 그리는 것이 어렵지 않을 것입니다. 기본 기하학적 변환등. 그러나 더 복잡한 기능의 속성과 그래픽 표현은 명확하지 않으므로 전체 연구가 필요합니다.

솔루션의 주요 단계는 참조 자료에 요약되어 있습니다. 기능 연구 계획, 이것은 섹션 가이드입니다. Dummies는 주제에 대한 단계별 설명이 필요하고, 일부 독자는 어디서부터 연구를 시작하고 어떻게 구성해야 하는지 모르고, 고급 학생은 몇 가지 요점에만 관심을 가질 수 있습니다. 그러나 친애하는 방문자 여러분, 여러분이 누구이든, 다양한 수업에 대한 포인터가 포함된 제안된 요약은 가능한 한 최단 시간에 관심 있는 방향으로 안내하고 안내할 것입니다. 로봇이 눈물을 흘리다 =) 매뉴얼은 pdf 파일 형식으로 구성되어 페이지에서 정당한 위치를 차지했습니다. 수학 공식 및 표.

나는 함수 연구를 5-6 포인트로 나누곤 했습니다.

6) 연구 결과에 따른 추가 점 및 그래프.

마지막 작업에 관해서는 모든 사람이 모든 것을 이해한다고 생각합니다. 몇 초 만에 해당 작업에 줄이 그어지고 작업이 수정을 위해 반환된다면 매우 실망스러울 것입니다. 정확하고 정확한 도면은 솔루션의 주요 결과입니다! 분석적 실수를 "은폐"할 가능성이 매우 높으며, 부정확하거나 조잡한 일정은 완벽하게 수행된 연구에서도 문제를 일으킬 수 있습니다.

다른 출처에서는 연구 항목 수, 구현 순서 및 디자인 스타일이 내가 제안한 계획과 크게 다를 수 있지만 대부분의 경우 충분합니다. 문제의 가장 간단한 버전은 2-3단계로 구성되며 "도함수와 플롯을 사용하여 함수 탐색" 또는 "1차 및 2차 미분, 플롯을 사용하여 함수 탐색"과 같이 공식화됩니다.

물론 다른 알고리즘이 교육 매뉴얼에서 자세히 분석되거나 선생님이 강의를 엄격하게 준수하도록 요구하는 경우 솔루션을 약간 조정해야 합니다. 포크를 전기톱 스푼으로 교체하는 것보다 어렵지 않습니다.

짝수 / 홀수에 대한 함수를 확인합시다.

템플릿 구독 취소가 이어집니다.
, 따라서 이 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

이 기능은 에서 연속적이므로 수직 점근선이 없습니다.

사선 점근선도 없습니다.

메모 : 나는 당신에게 더 높은 성장의 순서보다 , 따라서 최종 한계는 정확히 " 플러스무한대."

함수가 무한대에서 어떻게 동작하는지 알아봅시다:

즉, 오른쪽으로 가면 그래프가 무한히 위로, 왼쪽으로 가면 무한히 아래로 이동합니다. 예, 단일 항목에도 두 가지 제한이 있습니다. 기호를 해독하는 데 어려움이 있는 경우 다음 강의를 참조하십시오. 극소 함수.

그래서 기능 위에서 제한되지 않음그리고 아래에서 제한되지 않음. break point가 없다는 점을 감안하면 명확해지고 기능 범위: 또한 임의의 실수입니다.

유용한 기술

각 작업 단계는 함수의 그래프에 대한 새로운 정보를 제공합니다., 그래서 솔루션 과정에서 일종의 LAYOUT을 사용하는 것이 편리합니다. 드래프트에 데카르트 좌표계를 그려봅시다. 확실히 알려진 것은 무엇입니까? 첫째, 그래프에는 점근선이 없으므로 직선을 그릴 필요가 없습니다. 둘째, 함수가 무한대에서 어떻게 동작하는지 압니다. 분석에 따르면 첫 번째 근사값을 그립니다.

참고하세요. 연속성기능이 켜져 있고 그래프가 축을 한 번 이상 교차해야 한다는 사실. 아니면 여러 교차점이 있습니까?

3) 함수의 0과 상수 부호의 간격.

먼저 y축과 그래프의 교차점을 찾습니다. 간단 해. 다음과 같은 경우 함수의 값을 계산해야 합니다.

해발 반.

축과의 교차점(함수의 0)을 찾으려면 방정식을 풀어야 하며 여기에 불쾌한 놀라움이 기다리고 있습니다.

결국 무료 회원이 숨어있어 작업이 크게 복잡해집니다.

이러한 방정식에는 적어도 하나의 실수근이 있으며 대부분 이 근은 비합리적입니다. 최악의 동화에는 세 마리의 아기 돼지가 우리를 기다리고 있습니다. 방정식은 소위 사용하여 풀 수 있습니다. 카르다노의 공식, 그러나 종이 손상은 거의 전체 연구와 비슷합니다. 이와 관련하여 구두로 또는 초안에서 적어도 하나를 선택하는 것이 더 현명합니다. 전부의뿌리. 이 숫자가 다음과 같은지 확인해 보겠습니다.
- 맞지 않는다;
- 있다!

여기 운이 좋다. 실패할 경우 테스트할 수도 있으며 이 숫자가 맞지 않으면 방정식에 대한 수익성 있는 솔루션의 가능성이 거의 없습니다. 그런 다음 연구 포인트를 완전히 건너뛰는 것이 좋습니다. 추가 포인트가 돌파될 때 마지막 단계에서 뭔가 더 명확해질 것입니다. 그리고 뿌리 (뿌리)가 분명히 "나쁜"경우 기호의 불변 간격에 대해 적당히 침묵하고 그림을보다 정확하게 완성하는 것이 좋습니다.

그러나 우리는 아름다운 근을 가지고 있으므로 다항식을 나눕니다. 나머지 없음:

다항식을 다항식으로 나누는 알고리즘은 단원의 첫 번째 예에서 자세히 설명합니다. 복잡한 한계.

결과적으로 원래 방정식의 왼쪽 제품으로 확장:

이제 건강한 생활 방식에 대해 조금. 물론 나는 그것을 이해한다. 이차 방정식매일 풀어야 하지만 오늘 우리는 예외를 만들 것입니다: 방정식 두 개의 실제 뿌리가 있습니다.

숫자 선에 찾은 값을 플로팅합니다. 그리고 간격 방법함수의 부호를 정의하십시오:

og 따라서 간격에 차트 위치
x축 아래 및 간격으로 - 이 축 위.

결과 결과를 통해 레이아웃을 구체화할 수 있으며 그래프의 두 번째 근사값은 다음과 같습니다.

함수는 간격에 대해 최소 하나의 최대값과 간격에 최소값이 하나 이상 있어야 합니다. 그러나 우리는 일정이 "돌아가는" 일정이 몇 번, 어디서, 언제인지 모릅니다. 그건 그렇고, 함수는 무한히 많이 가질 수 있습니다 과격한 수단.

4) 기능의 증가, 감소 및 극한.

임계점을 찾아봅시다.

이 방정식에는 두 개의 실근이 있습니다. 그것들을 숫자 라인에 놓고 도함수의 부호를 결정합시다.

따라서 기능은 다음과 같이 증가합니다. 로 감소합니다.
함수가 최대값에 도달하는 시점: .
함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

확립된 사실은 템플릿을 다소 엄격한 프레임워크로 몰아갑니다.

말할 필요도 없이 미적분학은 강력한 것입니다. 마지막으로 그래프의 모양을 처리해 보겠습니다.

5) 볼록, 오목 및 변곡점.

이차 도함수의 임계점을 찾으십시오.

기호를 정의해 보겠습니다.

함수 그래프는 에서 볼록하고 에서 오목합니다. 변곡점의 세로 좌표를 계산해 봅시다: .

거의 모든 것이 정리되었습니다.

6) 더 정확하게 그래프를 작성하고 자체 테스트를 수행하는 데 도움이 되는 추가 포인트를 찾는 것이 남아 있습니다. 이 경우 소수이지만 무시하지 않을 것입니다.

도면을 실행해 보겠습니다.

변곡점은 녹색으로 표시되고 추가 점은 십자가로 표시됩니다. 3차 함수의 그래프는 변곡점에 대해 대칭이며 항상 최대값과 최소값 사이의 정확히 중간에 위치합니다.

과제를 진행하는 동안 나는 세 개의 가상 중간 도면을 제공했습니다. 실제로는 좌표계를 그리고, 발견한 점을 표시하고, 연구의 각 점 후에, 함수의 그래프가 어떻게 생겼는지 정신적으로 파악하는 것으로 충분합니다. 준비가 잘 된 학생들이 초안 없이 머릿속으로만 분석을 수행하는 것은 어렵지 않을 것입니다.

독립형 솔루션의 경우:

실시예 2

함수를 탐색하고 그래프를 작성합니다.

여기에서는 모든 것이 더 빠르고 재미있습니다. 수업이 끝날 때 마무리하는 대략적인 예입니다.

분수 유리 함수 연구를 통해 많은 비밀이 밝혀졌습니다.

실시예 3

미적분법을 사용하여 함수를 조사하고 연구 결과에 따라 그래프를 구성합니다.

해결책: 연구의 첫 번째 단계는 정의 영역의 구멍을 제외하고는 눈에 띄는 점에서 다르지 않습니다.

1) 함수는 점을 제외하고 전체 숫자 라인에서 정의되고 연속적입니다. 도메인: .

, 따라서 이 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

분명히 함수는 비주기적입니다.

함수의 그래프는 왼쪽과 오른쪽 반평면에 위치한 두 개의 연속 분기로 구성됩니다. 이것은 아마도 첫 번째 단락의 가장 중요한 결론일 것입니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

) 단측 한계의 도움으로 수직 점근선이 명확해야 하는 의심되는 점 근처에서 함수의 동작을 연구합니다.

실제로 기능은 지속됩니다. 끝없는 간격그 시점에
직선(축)은 수직 점근선그래픽 아트 .

b) 사선 점근선이 존재하는지 확인:

예, 라인은 비스듬한 점근선그래픽 경우 .

비스듬한 점근선이있는 포옹의 기능이 이미 명확하기 때문에 한계를 분석하는 것은 의미가 없습니다. 위에서 제한되지 않음그리고 아래에서 제한되지 않음.

연구의 두 번째 요점은 기능에 대한 중요한 정보를 많이 가져왔습니다. 대략적인 스케치를 해봅시다.

결론 1번은 부호 불변의 구간에 관한 것입니다. "마이너스 무한대"에서 함수의 그래프는 x축 아래에 고유하게 위치하며 "플러스 무한대"에서는 이 축 위에 있습니다. 또한 단측 극한은 점의 왼쪽과 오른쪽 모두에서 함수도 0보다 크다는 것을 알려줍니다. 왼쪽 반평면에서 그래프는 x축을 한 번 이상 교차해야 합니다. 오른쪽 반평면에는 함수의 0이 없을 수 있습니다.

결론 2번은 함수가 점의 왼쪽에서 위쪽으로 증가한다는 것입니다("아래에서 위로" 이동). 이 지점의 오른쪽으로 기능이 감소합니다("위에서 아래로" 이동). 그래프의 오른쪽 분기에는 최소한 하나의 최소값이 있어야 합니다. 왼쪽에서 극한은 보장되지 않습니다.

결론 3번은 점 부근에서 그래프의 오목함에 대한 신뢰할 수 있는 정보를 제공합니다. 무한대에서 볼록/오목에 대해서는 아직 아무 말도 할 수 없습니다. 선은 위와 아래 모두에서 점근선에 대해 눌릴 수 있기 때문입니다. 일반적으로 말하자면, 지금 당장은 이를 분석하는 방법이 있지만 "아무것도 아닌" 차트의 모양은 나중 단계에서 더 명확해질 것입니다.

왜 그렇게 많은 단어? 후속 연구 포인트를 제어하고 실수를 피하기 위해! 추가 계산은 도출된 결론과 모순되어서는 안 됩니다.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 함수의 상수 부호 간격.

함수의 그래프는 축을 교차하지 않습니다.

간격 방법을 사용하여 기호를 결정합니다.

, 만약에 ;
, 만약에 .

단락의 결과는 결론 1번과 완전히 일치합니다. 각 단계가 끝나면 초안을 보고 마음속으로 연구를 참조하고 함수의 그래프 그리기를 마칩니다.

이 예에서 분자는 분모에 의해 용어를 용어로 나눕니다. 이는 미분에 매우 유용합니다.

사실 이것은 점근선을 찾을 때 이미 수행되었습니다.

- 임계점.

기호를 정의해 보겠습니다.

에 의해 증가 로 감소

함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

결론 2번과도 불일치가 없었고, 아마도 우리는 올바른 길을 가고 있을 것입니다.

이것은 함수의 그래프가 전체 정의 영역에서 오목하다는 것을 의미합니다.

훌륭합니다. 그리고 아무것도 그릴 필요가 없습니다.

변곡점이 없습니다.

오목함은 결론 3번과 일치하며, 또한 무한대에서 함수의 그래프가 위치한다는 것을 나타냅니다. ~ 위에그것의 사선 점근선.

6) 성실하게 과제를 가산점으로 고정하겠습니다. 여기서 우리는 연구에서 두 가지 요점만을 알기 때문에 열심히 노력해야합니다.

그리고 아마도 많은 사람들이 오랫동안 제출한 사진:

과제 과정에서 연구 단계 사이에 모순이 없도록 주의를 기울여야 하지만 때로는 상황이 급하거나 심지어 막다른 골목에 도달하기도 합니다. 여기에서 분석은 "수렴하지 않습니다" - 그게 전부입니다. 이 경우에는 비상 기법을 권장합니다. 그래프에 속하는 점을 최대한 많이 찾아(인내심이 어느 정도인지) 좌표 평면에 표시합니다. 대부분의 경우 발견된 값을 그래픽으로 분석하면 어디가 진실이고 어디가 거짓인지 알려줍니다. 또한 그래프는 예를 들어 동일한 Excel에서 일부 프로그램을 사용하여 미리 작성할 수 있습니다(기술이 필요함).

실시예 4

미적분법을 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 그립니다.

이것은 직접 만든 예입니다. 그것에서 자기 통제는 기능의 균일성에 의해 향상됩니다. 그래프는 축에 대해 대칭이며 연구에서 이 사실과 모순되는 것이 있으면 오류를 찾으십시오.

짝수 또는 홀수 함수는 에 대해서만 조사할 수 있으며 그래프의 대칭을 사용할 수 있습니다. 이 솔루션은 최적이지만 제 생각에는 매우 이례적으로 보입니다. 개인적으로 전체 숫자 축을 고려하지만 여전히 오른쪽에서만 추가 점을 찾습니다.

실시예 5

함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 해당 그래프를 플로팅합니다.

해결책: 열심히 서두르다:

1) 함수는 전체 실수 라인에서 정의되고 연속적입니다.

이것은 이 함수가 홀수이고 그래프가 원점에 대해 대칭임을 의미합니다.

분명히 함수는 비주기적입니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

기능이 연속적이므로 수직 점근선이 없습니다.

지수를 포함하는 함수의 경우 일반적으로 분리된"플러스"와 "마이너스 무한대"에 대한 연구, 그러나 우리의 삶은 그래프의 대칭에 의해 촉진됩니다. 왼쪽과 오른쪽에 점근선이 있거나 그렇지 않습니다. 따라서 두 개의 무한한 한계를 단일 항목 아래에 배열할 수 있습니다. 솔루션 과정에서 우리는 로피탈의 법칙:

직선(축)은 에서 그래프의 수평 점근선입니다.

내가 사선 점근선을 찾기 위한 전체 알고리즘을 어떻게 영리하게 피했는지 주목하십시오. 극한은 매우 합법적이며 무한대에서 함수의 동작을 명확하게 하고 수평 점근선은 "동시에" 발견되었습니다.

함수의 연속성과 수평 점근선의 존재에서 비롯됩니다. 위에서 제한그리고 아래에서 제한.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 일정 간격.

여기서 우리는 또한 솔루션을 줄입니다.
그래프는 원점을 통과합니다.

좌표축과의 다른 교차점은 없습니다. 또한, 불변의 간격이 분명하고 축을 그릴 수 없습니다. , 이는 함수의 부호가 "x"에만 의존한다는 것을 의미합니다.
, 만약에 ;
, 만약에 .