감속 프로세스를 설명하기 위한 연속 및 이산 모델. 연속 및 불연속 모델

엑스(k+1)= 에프(x(k), 그리고(케이)), 와이(k) = G(x(k), 그리고(j)), (2.4]

어디 케이- 택트 시점의 번호. 우리는 시간의 "현재"와 "다음" 순간을 선별하여 시간의 불연속성에 대한 가정을 눈에 띄지 않게 도입했으며, 더 자세한 연구에서 불법으로 판명될 수 있습니다(섹션 2.2.3 참조). 아래에). 전환 기능 에프(엑스, h) 출력의 기능 G(x, 그리고) 테이블에 지정할 수 있습니다.

전환 및 종료 그래프를 작성할 수도 있습니다.

실시예 3가장 간단한 전기 회로를 고려하십시오 - RC-체인(그림 1.6). 시스템 입력은 소스 전압 u( 티)=E 0( 티), 출력은 커패시터 양단의 전압 와이(티)=이자형 1 (티). 옴의 법칙은 시스템의 MM을 1차 미분 방정식으로 제공합니다.

y=유 - y,(2.5)

어디 -RC-체인 시간 상수. MM(2.5)은 완전 연속형입니다. U==Y=T=R 1 .연구원이 정적 모드에서 시스템의 동작에 관심이 있는 경우, 즉 ~에 이자형 0 (티)= const, 그러면 (2.5)를 입력해야 합니다. y= 0 및 정적 모델 가져오기

와이(티)=유(티).(2.6)

모델(2.6)은 I의 경우 근사값으로 사용할 수 있습니다. 이자형 0 (티)는 매우 드물게 또는 느리게 변경됩니다( 에 비해).

실시예 4특정 지역에 존재하는 두 개의 상호 작용하는 인구로 구성된 생태계를 고려하십시오. 시스템이 자율적이라고 가정합시다. 외부 영향(입력)은 무시할 수 있습니다. 시스템의 출력을 위해 우리는 인구(종)의 수를 취합니다. 와이 1 (티), 와이 2 (티). 두 번째 종을 첫 번째 종을 위한 음식으로 둡니다. 시스템은 "predator - prey" 클래스에 속합니다(예: ~에 1 - 숲의 여우 수 ~에 2 - 토끼 수; 또는 ~에 1 - 도시의 병원성 박테리아 농도 및 ~에 2 - 케이스 수 등). 이 경우 ~에 1 ,2시에는 정수이고 언뜻보기에 MM 시스템에서 집합 와이이산적이어야 합니다. 그러나 MM을 구성하려면 다음을 가정하는 것이 더 편리합니다. ~에 1 ,2시에임의의 실수 값을 가질 수 있습니다. 연속 모델로 전환(충분히 큰 ~에 1 ,2시에이 전환은 심각한 오류를 발생시키지 않습니다). 이 경우 출력 변수의 변화율과 같은 개념을 사용할 수 있습니다. ~에 1 ,2시에인구 역학의 가장 간단한 모델은 다음을 가정하여 얻을 수 있습니다.

포식자가 없으면 먹이의 수가 기하급수적으로 증가합니다.

먹이가 없으면 포식자의 수가 기하급수적으로 감소합니다.

"먹는" 희생자의 수는 값에 비례합니다. ~에 1 ,2시에

이러한 가정 하에서 시스템의 역학은 쉽게 볼 수 있는 Lotka-Volterra 모델로 설명됩니다.

어디 a, b, c, d양의 매개변수입니다. 매개변수를 변경할 수 있는 경우 종의 출생 및 사망률, 박테리아의 번식률(약물 투여 중) 등이 변경될 때 입력 변수로 바뀝니다.

공간에서의 매핑.

3D 회전.

옮기다.

변환의 기초.

3D 줌.

이 변환은 규모에 부분적인 변경을 생성합니다. 스케일의 전체 변화는 네 번째 대각선 요소를 사용하여 얻습니다.

크기 4*4의 공통 행렬 변환에서 왼쪽 위 부분행렬 3*3의 비대각선 요소는 3차원으로 이동합니다. 즉,

이전 사례에서 3*3 행렬이 스케일 및 이동 측정 작업의 조합을 제공하는 것으로 나타났습니다. 그러나 정의된 행렬이 3*3 = 1이면 원점에 대한 순수한 회전이 있습니다.

회전의 몇 가지 특별한 경우를 고려해 보겠습니다.

x축을 중심으로 회전할 때 x축을 따른 치수는 변경되지 않으므로 변환 행렬의 첫 번째 행과 열에는 주 대각선의 1을 제외하고 0이 있습니다. 그리고 그것은 다음과 같이 보일 것입니다:

각도 Ө - x축을 중심으로 한 회전 각도.

회전축을 따라 원점에서 볼 때 회전은 양의 시계 방향으로 간주됩니다.

Y축을 중심으로 각도 φ만큼 회전하는 경우 주 대각선의 1을 제외하고 변환 행렬의 두 번째 변과 열에 0이 배치됩니다.

매트릭스는 다음과 같습니다.

유사하게, Z축을 중심으로 각도 ψ를 통한 회전에 대한 변환 행렬:

회전은 행렬 곱셈으로 설명되므로 3차원 회전은 가환성이 없습니다. 즉, 곱셈 순서가 최종 결과에 영향을 미칩니다.

3D 이미지를 미러링하고 싶을 때가 있습니다.

매핑의 특별한 경우를 고려해 보겠습니다. XY 평면에 대한 변환 행렬은 다음과 같습니다.

그리고 다른 평면에 대한 YZ 매핑 또는 XZ 매핑은 회전과 매핑의 조합으로 얻을 수 있습니다.

yz를 표시하려면:

xz를 표시하려면:

TV 모델

와이어프레임 모델링에서는 비록 3차원이지만 몸이 무엇인지, 내부가 무엇인지는 고려하지 않습니다.

따라서 "고체 모델"이라는 용어가 나타납니다.

솔리드 모델이라는 용어는 기하학 설명의 속성(윤곽선, 와이어프레임) 외에도 공간을 자유 공간과 기하학적 개체 자체로 나누는 기호 또는 속성이 있다고 말합니다.

수학적 모델의 경도 특성에 대한 설명은 다양할 수 있기 때문입니다. 다음은 솔리드 모델을 설명하는 몇 가지 방법입니다.

이산 모델을 구성하는 원리는 객체가 더 기본적인 부분 공간으로 분할된다는 것입니다. 이 기본 부분 공간에는 본문에 속하는지 여부를 결정하는 색인이 할당됩니다.

장점:

1. 부울 대수와 수학 논리에 기반한 수학 장치가 개발되었습니다.

2. 기하학적 개체를 쉽게 지정할 수 있습니다.

결점:

1. 기하학적 객체는 개별적으로 지정되며, 가능하면 기하학적 객체에 대한 법선을 구성하는 부드러움 측면에서 기하학적 객체를 지정하는 정확도에 대한 수학적 모델의 문제가 발생합니다.

2. 이 모델의 경우 기하학적 객체의 방정식 및 스케일링에 문제가 있습니다.

스케일링 효과 - 늘리거나 압축할 수 없습니다.

예비 발언.온보드 컴퓨터가 컨트롤러로 사용되는 다차원 자동 제어 시스템을 고려하고 DAC와 ADC를 사용하여 연속적인 개체에 연결합니다(그림 1.4). 벡터 격자 기능이 온보드 컴퓨터의 입력에서 작동하도록 순간에 ADC의 도움으로 물체의 측정된 벡터 출력이 양자화된다고 가정합니다. . 특정 제어 알고리즘이 온보드 컴퓨터에 구현되고 제어 동작의 이산 값 시퀀스가 ​​출력에서 ​​형성되며, 이는 벡터 격자 기능으로도 간주될 수 있습니다. 여기서는 단순화를 위해 DAC 및 ADC의 비트 심도가 충분히 높아서 레벨 양자화의 영향을 무시할 수 있다고 가정합니다.

연속 객체를 Cauchy 형식의 미분 방정식으로 나타내자

(2.4.1)

여기서 는 해당 크기의 숫자 행렬입니다.

우리는 DAC와 ADC가 동기적으로(동일한 주기로) 작동하지만 위상이 같지 않다고 가정하고 계산된 제어의 출력을 상대적 지연으로 지연시켜 DAC가 이동된 격자 기능을 수신하도록 합니다. 따라서 등가 회로는 그림 2.5의 형태를 취합니다.

쌀. 2.5.

0차 외삽의 적용. CA-변환 연산은 일정 기간 동안의 고정 방법에 의한 제어의 형성을 수반하게 한다(0차 외삽). 그러면 함수는 조각별 상수가 되어(그림 2.6) 조건을 만족합니다.

조건(2.4.2)에서 객체(2.4.1)의 이산 모델을 결정하기 위해 이산성의 th 간격을 고려합니다. .

쌀. 2.6.

첫 번째 적분에 대한 대체를 사용하여 이 표현식을 변환합니다. , 그리고 두 번째 . 그런 다음 변환 및 격자 기능으로 전환한 후 다음을 얻습니다.

나타내다

출력이 순간에 양자화된다는 점을 고려하십시오. 그런 다음 마지막으로 원하는 이산 모델은 다음 형식을 취합니다.

. (2.4.4)

공식(2.4.3)을 분석하면 행렬이 지연의 크기에 따라 달라집니다. 따라서 (지연이 없는 경우) 지연 없이 연속 객체의 이산 모델을 얻을 수 있습니다. If, then, then 방정식(2.4.4)은 한 주기의 "순수한" 지연이 있는 이산 모델을 나타냅니다.

우리는 또한 첫 번째 방정식의 오른쪽이 다른 방정식에 대해 한 주기만큼 이동된 변수를 포함하기 때문에 에 대해 미분 방정식(2.4.4)이 공식적으로 Cauchy 형식의 방정식이 아니라는 점에 주목합니다. 이 "결점"을 제거하기 위해 추가 상태 벡터를 도입합니다. , . 그러면 상태 벡터가 있는 확장된 이산 모델이 다음과 같은 등가 형식으로 표시될 수 있음을 쉽게 보여줍니다.

(2.4.5)

여기서 는 측정된 플랜트 변수의 새 벡터로, 이전 주기의 컨트롤에 의해 확장됩니다.

따라서 지연의 존재는 연속 객체의 차원에 비해 이산 모델의 차원을 증가시켰습니다. 공식적으로 방정식 (2.4.5)이 지연 없이 증가된 차원의 객체의 이산 모델을 나타내기 때문에 온보드 컴퓨터(이산 컨트롤러) 작동을 위한 알고리즘 합성의 지연을 고려할 수 있습니다.

외삽법의 적용-번째 주문.이 질문을 고려할 때 간단하게 하기 위해 사례에 국한합니다. 또한 단순화를 위해 컨트롤이 스칼라()라고 가정합니다. 그런 다음 이 제어를 구현하기 위해 th-order extrapolation 방법이 사용되면 간격 제어는 식 (1.4.10)에 의해 결정됩니다. 즉,

, (2.4.6)

여기서 도함수()는 알고리즘(1.4.16)에 따라 이산 단위로 계산할 수 있습니다.

연속 객체의 이산 모델 정의로 돌아가서(2.4.1), 간격 시작 시 알려진 상태에 따라 이산 간격 끝에서 이 객체의 상태를 기록합니다. Cauchy 공식을 사용하면

.

(2.4.6) 대체 및 변경 , 변환 및 격자 기능으로의 전환 후, 우리는

여기서 파생 상품의 값은 각 이산 간격 동안 일정하게 유지된다는 점을 고려합니다. 나타내다

,,.

그런 다음 (2.4.7) 형식을 취합니다.

.

매트릭스를 소개하겠습니다. 그런 다음 벡터에 대한 표기법(1.4.12)을 사용하면 다음을 얻습니다.

여기서 -는 식 (1.4.14)에 의해 결정되고 -는 이산으로 구성된 차원 벡터(1.4.12)를 나타냅니다.

행렬의 열을 나타냅니다. 그런 다음 벡터의 구조를 고려하여 최종적으로 원하는 이산 모델을 얻습니다.

. (2.4.9)

가정에 의해 정보 검색의 순간과 관련하여 지연 없이 제어 동작이 형성된다는 사실에도 불구하고 이산 모델(2.4.9)에는 온 사이클을 동시에 제어하는 ​​데 지연이 포함됩니다. 1.4절에서 언급했듯이 이 사실은 컨트롤을 형성하기 위해 3차 외삽법을 사용하기 때문입니다.

확장 상태를 사용하여 동일한 형식으로 결과 모델을 작성해 보겠습니다. 이를 위해 보조 변수를 도입합니다.

이 경우에는 명백하다.

그런 다음 확장 상태 벡터를 도입하면

측정된 변수의 새로운 벡터

이전 단계의 제어로 인해 확장된 경우 (2.4.9)는 다음과 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다.

, (2.4.10)

여기서 , 는 차원의 행렬입니다. ,,각각 다음과 같은 블록 구조를 가짐

, ,. (2.4.11)

방정식(2.4.10)은 온보드 컴퓨터와 차수의 외삽 장치가 있는 제어 시스템에서 연속 플랜트의 이산 모델을 나타냅니다. 이 모델은 스칼라 제어를 위해 설계되었으며 외삽을 고려하여 해당 차원이 연속 객체의 차원보다 더 많이 증가했다는 사실을 알 수 있습니다. 분명히 벡터 제어의 경우를 고려하면 형식적으로 이산 모델(2.4.10)은 변경되지 않지만 도입된 추가 변수는 벡터가 되고 모델의 전체 차원이 됩니다.