실제 작업: 함수 그래프의 변환. 도함수 도함수의 기하학적 의미

주어진 지점 $х_0$에서 함수 $y = f(x)$의 도함수는 인수의 해당 증가에 대한 함수 증가 비율의 한계입니다.

$f"(x_0)=(림)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

미분은 파생 상품을 찾는 작업입니다.

일부 기본 함수의 도함수 표

기능	유도체
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$싱크스$	$cosx$
$cosx$	$-싱스$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

차별화의 기본 규칙

1. 합(차)의 미분은 미분의 합(차)과 같다

$(f(x) ± g(x))"= f"(x) ± g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ 함수의 도함수 찾기

합(차)의 미분은 미분의 합(차)과 같습니다.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. 제품의 파생물

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

도함수 찾기 $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)" cosx+4x(cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. 몫의 도함수

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

미분 $f(x)=(5x^5)/(e^x)$ 찾기

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. 복소수 함수의 도함수는 외부 함수의 도함수와 내부 함수의 도함수의 곱과 같습니다.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

파생 상품의 물리적 의미

$x(t)$ 법칙에 따라 물질 점이 직선으로 움직이고 그 좌표가 시간에 따라 변한다면 이 점의 순간 속도는 함수의 미분과 같습니다.

점은 $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ 법칙에 따라 좌표선을 따라 이동합니다. 여기서 $x(t)$는 시간 $t$에서의 좌표입니다. 어느 시점에서 점의 속도는 $12$와 같습니까?

1. 속도는 $x(t)$의 도함수이므로 주어진 함수의 도함수를 구해보자

$v(t) = x"(t) = 1.5 2t -3 = 3t -3$

2. 속도가 $12$인 시점 $t$를 찾기 위해 다음 방정식을 작성하고 풉니다.

도함수의 기하학적 의미

좌표축에 평행하지 않은 직선의 방정식은 $y = kx + b$로 쓸 수 있습니다. 여기서 $k$는 직선의 기울기입니다. 계수 $k$는 직선과 $Ox$ 축의 양의 방향 사이의 기울기의 접선과 같습니다.

$x_0$ 지점에서 함수 $f(x)$의 도함수는 주어진 지점에서 그래프에 대한 접선의 기울기 $k$와 같습니다.

따라서 우리는 일반 평등을 만들 수 있습니다.

$f"(x_0) = k = tgα$

그림에서 $f(x)$ 함수에 대한 접선이 증가하므로 계수 $k > 0$입니다. $k > 0$이므로 $f"(x_0) = tgα > 0$입니다. 접선과 양의 방향 $Ox$ 사이의 각도 $α$는 예각입니다.

그림에서 $f(x)$ 함수에 대한 접선이 감소하므로 계수 $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

그림에서 $f(x)$ 함수에 대한 접선은 $Ох$ 축과 평행하므로 계수 $k = 0$, 따라서 $f"(x_0) = tg α = 0$입니다. 점 $ $f "(x_0) = 0$에서 x_0$, 호출됨 극단.

그림은 $y=f(x)$ 함수의 그래프와 이 그래프에 대한 접선을 가로 좌표 $x_0$로 그린 점을 보여줍니다. $x_0$ 지점에서 $f(x)$ 함수의 도함수 값을 찾습니다.

그래프에 대한 접선이 증가하므로 $f"(x_0) = tg α > 0$

$f"(x_0)$를 찾기 위해 접선과 $Ox$ 축의 양의 방향 사이 기울기의 접선을 찾습니다. 이를 위해 삼각형 $ABC$에 대한 접선을 완성합니다.

각 $BAC$의 탄젠트를 찾으십시오. (직각 삼각형에서 예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0.25$

$f"(x_0) = tg 너 = $0.25

답: $0.25

도함수는 증가 및 감소 함수의 간격을 찾는 데에도 사용됩니다.

간격에서 $f"(x) > 0$이면 $f(x)$ 함수는 이 간격에서 증가합니다.

$f"(x)인 경우< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

그림은 $y = f(x)$ 함수의 그래프를 보여줍니다. $х_1,х_2,х_3…х_7$ 점 중에서 함수의 도함수가 음수인 점을 찾으십시오.

이에 대한 응답으로 데이터 포인트 수를 기록하십시오.

기본 수준의 수학 통합 국가 시험 13번 과제에서 함수의 동작 개념 중 하나에 대한 기술과 지식을 입증해야 합니다. 이 작업에 대한 이론은 잠시 후에 추가되지만 이것이 몇 가지 일반적인 옵션을 자세히 분석하는 데 방해가 되지는 않습니다.

기본 수준의 수학에서 14 번 작업에 대한 일반적인 옵션 분석

옵션 14MB1

그래프는 자동차 엔진을 예열하는 과정에서 시간에 따른 온도 의존성을 보여줍니다. 가로축은 엔진 시동 이후 경과된 시간(분)을 나타냅니다. 수직축은 섭씨 단위의 엔진 온도입니다.

그래프를 사용하여 각 시간 간격을 이 간격에서 엔진 워밍업 프로세스의 특성과 일치시킵니다.

표에서 각 문자 아래에 해당 번호를 표시하십시오.

실행 알고리즘:

온도가 떨어진 시간 간격을 선택합니다.
30°C에 자를 붙이고 온도가 30°C 미만인 시간 간격을 결정합니다.

해결책:

온도가 떨어지는 시간 간격을 선택합시다. 육안으로 볼 수 있는 이 구간은 엔진 시동을 걸고 8분 후부터 시작됩니다.

자를 30°C에 대고 온도가 30°C 미만인 시간 간격을 결정합니다.

눈금자 아래에는 시간 간격 0 - 1분에 해당하는 섹션이 있습니다.

연필과 통치자의 도움으로 온도가 40 ° C에서 80 ° C 범위에있는 시간 간격을 찾습니다.

40°C 및 80°C에 해당하는 점에서 수직선을 그래프에 놓고 얻은 점에서 수직선을 시간 축에 놓습니다.

이 온도 간격은 3 - 6.5분의 시간 간격에 해당합니다. 즉, 3 - 6분의 조건에서 주어진 것에서.

소거법을 사용하여 누락된 답을 선택합니다.

옵션 14MB2

해결책:

함수 A의 그래프를 분석해 보겠습니다. 함수가 증가하면 도함수는 양수이고 그 반대도 마찬가지입니다. 함수의 도함수는 극점에서 0과 같습니다.

첫째, 함수 A가 증가합니다. 파생 상품은 양수입니다. 이것은 도함수 2와 3의 그래프에 해당합니다. 함수 x = -2의 최대 지점, 즉 이 지점에서 도함수는 0과 같아야 합니다. 이 조건은 그래프 번호 3에 해당합니다.

첫째, 기능 B가 감소합니다. 파생 상품은 음수입니다. 이것은 도함수 1과 4의 그래프에 해당합니다. 함수 x \u003d -2의 최대 지점, 즉 이 지점에서 도함수는 0과 같아야 합니다. 이 조건은 그래프 번호 4에 해당합니다.

첫째, 함수 B가 증가합니다. 파생 상품은 양수입니다. 이것은 도함수 2와 3의 그래프에 해당합니다. 함수 x = 1의 최대 지점, 즉 이 지점에서 도함수는 0과 같아야 합니다. 이 조건은 그래프 번호 2에 해당합니다.

제거 방법에 따라 함수 Г의 그래프가 숫자 1의 도함수 그래프에 해당함을 확인할 수 있습니다.

답: 3421.

옵션 14MB3

각 기능에 대한 실행 알고리즘:

증가 및 감소 함수의 간격을 결정합니다.
함수의 최대값과 최소값을 결정합니다.
결론을 도출하고 제안된 일정과 일치시킵니다.

해결책:

함수 A의 그래프를 분석해 봅시다.

함수가 증가하면 도함수는 양수이고 그 반대도 마찬가지입니다. 함수의 도함수는 극점에서 0과 같습니다.

극한점은 함수의 최대값 또는 최소값에 도달하는 지점입니다.

첫째, 함수 A가 증가합니다. 파생 상품은 양수입니다. 이것은 도함수 3과 4의 그래프에 해당합니다. 함수 x=0의 최대 지점, 즉 이 지점에서 도함수는 0과 같아야 합니다. 이 조건은 그래프 번호 4에 해당합니다.

함수 B의 그래프를 분석해 봅시다.

첫째, 기능 B가 감소합니다. 파생 상품은 음수입니다. 이것은 도함수 1과 2의 그래프에 해당합니다. 함수 x=-1의 최소점, 즉 이 지점에서 도함수는 0과 같아야 합니다. 이 조건은 그래프 번호 2에 해당합니다.

함수 B의 그래프를 분석해 봅시다.

첫째, 함수 B가 감소합니다. 파생 상품은 음수입니다. 이것은 도함수 1과 2의 그래프에 해당합니다. 함수 x \u003d 0의 최소점, 즉 이 시점에서 도함수는 0과 같아야 합니다. 이 조건은 그래프 번호 1에 해당합니다.

제거 방법에 따라 함수 Г의 그래프가 숫자 3의 도함수 그래프에 해당함을 확인할 수 있습니다.

답: 4213.

옵션 14MB4

그림은 횡좌표 A, B, C, D가 있는 점에서 함수와 접선의 그래프를 보여줍니다.오른쪽 열은 점 A, B, C 및 D에서의 도함수 값을 보여줍니다. 그래프를 사용하여 각 점을 함수의 도함수 값과 일치시킵니다.

포인트들
하지만
에
에서
디

파생 가치
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

도함수가 의미하는 바, 즉 점에서의 값을 상기하십시오. 점에서 미분 함수의 값은 접선의 기울기(계수)의 접선과 같습니다.

답변에는 두 가지 긍정적인 옵션과 두 가지 부정적인 옵션이 있습니다. 우리가 기억하는 바와 같이, 계수가 직접적인 경우(그래픽 y = kx + b)가 양수이면 선이 증가하고 음수이면 선이 감소합니다.

점 A와 D에 두 개의 오름차순 선이 있습니다. 이제 계수 k의 값이 무엇을 의미하는지 기억해 봅시다.

계수 k는 함수가 얼마나 빨리 증가하거나 감소하는지 보여줍니다(사실, 계수 k 자체는 함수 y = kx + b의 도함수임).

따라서 k \u003d 2/3은 더 부드러운 직선-D 및 k \u003d 3-A에 해당합니다.

마찬가지로 음수 값의 경우: 점 B는 k = -4이고 점 C는 -1/2인 더 가파른 직선에 해당합니다.

옵션 14MB5

그림에서 점은 가전제품 매장의 월별 히터 판매량을 나타냅니다. 월은 가로로 표시되고, 판매된 히터의 수는 세로로 표시됩니다. 명확성을 위해 점은 선으로 연결됩니다.

그림을 사용하여 표시된 각 기간을 히터 판매 특성과 일치시킵니다..

실행 알고리즘

우리는 다른 계절에 해당하는 그래프의 부분을 분석합니다. 그래프에 표시된 상황을 공식화합니다. 그들에게 가장 적합한 답을 찾아드립니다.

해결책:

겨울에는 판매량이 120장/월을 넘어섰고, 꾸준히 증가하고 있다. 이 상황은 답변 3에 해당합니다. 저것들. 우리는 얻는다: A-3.

봄에는 판매가 월 120개에서 50개로 점차 감소했습니다. 옵션 2번이 이 공식에 가장 가깝습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다: B–2.

여름에도 판매량은 변동이 없었고 최소한이었다. 이 문구의 두 번째 부분은 답변에 반영되지 않으며 첫 번째 부분에는 4번만 적합합니다. 따라서 우리는 다음을 가지고 있습니다. 4시에.

가을에는 판매량이 증가했지만 그 수는 어느 달에도 100개를 넘지 않았습니다. 이 상황은 옵션 #1에 설명되어 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다. G–1.

옵션 14MB6

그래프는 시간에 대한 일반 버스의 속도 의존성을 보여줍니다. 세로축은 버스의 속도를 km/h로 표시하고 가로축은 버스가 시작된 후의 시간을 분 단위로 표시합니다.

그래프를 이용하여 각 시간 간격을 이 간격에서의 버스 이동의 특성과 일치시키십시오.

실행 알고리즘

우리는 수평 및 수직 규모로 분할 가격을 결정합니다.
오른쪽 열(“특성”)에서 제안된 진술 1-4를 차례로 분석합니다. 우리는 그것들을 표의 왼쪽 열에서 시간 간격과 비교하고 답에 대한 "문자-숫자" 쌍을 찾습니다.

해결책:

수평 눈금의 구분값은 1초, 수직 눈금은 20km/h입니다.

버스가 정차할 때 속도는 0입니다. 2분 연속으로 버스는 9분에서 11분까지만 속도가 0이었습니다. 이 시간은 8-12분 간격입니다. 그래서 우리는 대답에 대한 몇 가지가 있습니다: B–1.
버스는 여러 시간 동안 20km/h 이상의 속도를 보였습니다. 또한 예를 들어 7 분에 속도가 60km / h 였기 때문에 옵션 A는 여기에 적합하지 않습니다. 옵션 B - 이미 적용되었으므로 옵션 D - 간격의 시작과 끝에서 버스 속도가 0이었습니다. 이 경우 옵션 B가 적합합니다(12-16분). 이 간격에서 버스는 40km/h의 속도로 이동하기 시작하여 100km/m로 가속한 다음 점차 속도를 20km/h로 줄입니다. 그래서 우리는 다음을 가지고 있습니다: 2에서.
속도 제한이 설정되는 곳입니다. 우리는 옵션 B와 C를 고려하지 않습니다. 나머지 구간 A와 G는 모두 적합합니다. 따라서 4번째 옵션을 먼저 고려하고 다시 3번째 옵션으로 돌아가는 것이 옳을 것입니다.
나머지 2개의 인터벌 중 이 인터벌(6분에)에서 정지가 있었기 때문에 특성 4번에는 4-8분만이 적합합니다. 18-22분 간격 동안 중단이 없었습니다. 우리는 다음을 얻습니다. A-4. 이것으로부터 특성 번호 3의 경우 간격 Г를 취할 필요가 있습니다. 그것은 커플로 밝혀졌습니다. G-3.

옵션 14MB7

점선 그림은 2004년부터 2013년까지 중국의 인구 증가를 보여줍니다. 연도는 가로로 표시되고 인구 증가율(전년도 대비 인구 증가)은 세로로 표시됩니다. 명확성을 위해 점은 선으로 연결됩니다.

도표를 사용하여 표시된 각 기간을 이 기간 동안의 중국 인구 증가 특성과 연결하십시오..

실행 알고리즘

그림의 세로 눈금 분할 값을 결정합니다. 인접한 스케일 값 쌍 간의 차이를 2로 나눈 값으로 찾습니다(인접한 두 값 사이에 2개의 분할이 있기 때문에).
조건(왼쪽 표 열)에 주어진 특성 1~4를 순차적으로 분석합니다. 우리는 각각을 특정 기간과 비교합니다(오른쪽 표 열).

해결책:

수직 스케일의 분할 값은 0.01%입니다.

2004년부터 2010년까지 성장률 하락은 계속되었다. 2010~2011년에는 지속적으로 미미한 증가율을 보였다가 2012년부터 증가하기 시작했다. 저것들. 2010년에 성장이 멈췄습니다. 올해는 2009-2011년입니다. 따라서 다음이 있습니다. 1에서.
성장의 가장 큰 하락은 그림에서 그래프의 가장 "가파르게" 떨어지는 선으로 간주되어야 합니다. 기간은 2006-2007년입니다. 연간 0.04%입니다(2006년 0.59–0.56=0.04%, 2007년 0.56–0.52=0.04%). 여기에서 우리는 다음을 얻습니다. A-2.
3번 특성에 표시된 성장은 2007년에 시작되어 2008년에 계속되어 2009년에 끝났습니다. 이것은 기간 B에 해당합니다. 우리는: B–3.
인구 증가는 2011년 이후 증가하기 시작했습니다. 2012–2013년 따라서 우리는 다음을 얻습니다. G–4.

옵션 14MB8

그림은 횡좌표 A, B, C, D가 있는 점에서 함수 그래프와 이에 그려진 접선을 보여줍니다.

오른쪽 열은 점 A, B, C 및 D에서 함수의 도함수 값을 보여줍니다. 그래프를 사용하여 각 점을 함수의 도함수 값과 일치시킵니다.

실행 알고리즘

x축의 양의 방향과 예각을 갖는 한 쌍의 접선을 고려합니다. 우리는 그것들을 비교하고 파생 상품의 해당 값 쌍 중에서 일치하는 항목을 찾습니다.
우리는 x축의 양의 방향과 둔각을 형성하는 한 쌍의 접선을 고려합니다. 우리는 그것들을 모듈로 비교하고 오른쪽 열에 남아있는 두 가지 중 파생 상품 값에 대한 대응을 결정합니다.

해결책:

x축의 양의 방향을 갖는 예각은 t.B 및 t.C의 도함수에 의해 형성됩니다. 이러한 파생 상품은 양의 값을 갖습니다. 따라서 여기에서 1 번과 3 번 값 중에서 선택해야합니다. 각도가 45 0보다 작 으면 미분이 1보다 작고 크면 1보다 크다는 규칙을 적용하면 우리는 결론을 내립니다: t.B에서 모듈로 도함수는 1보다 크고 t.C에서는 1보다 작습니다. 이것은 답에 대해 쌍을 만들 수 있음을 의미합니다. 3시에그리고 에스-1.

t.A 및 t.D의 도함수는 x축의 양의 방향과 둔각을 형성합니다. 그리고 여기에서 우리는 동일한 규칙을 적용하여 약간 바꾸어 표현합니다. 점의 접선이 가로축의 선(음의 방향으로)에 더 많이 "눌려질수록" 절대값이 더 커집니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다. 점 A의 도함수는 점 D의 도함수보다 절대값이 작습니다. 여기에서 답에 대한 쌍이 있습니다. A-2그리고 D–4.

옵션 14MB9

그림의 점은 2011년 1월 모스크바의 평균 일일 기온을 나타냅니다. 월의 날짜는 가로로 표시되고 섭씨 온도는 세로로 표시됩니다. 명확성을 위해 점은 선으로 연결됩니다.

그림을 사용하여 표시된 각 기간을 온도 변화의 특성과 일치시킵니다..

실행 알고리즘

그림의 그래프를 이용하여 특성 1~4(오른쪽 열)를 순차적으로 분석합니다. 우리는 각각을 특정 기간(왼쪽 열)에 맞춰 배치합니다.

해결책:

온도 상승은 1월 22~28일 기간이 끝날 때만 관찰되었습니다. 여기에 27일과 28일에는 각각 1도, 2도 올랐다. 1월 1~7일 기간 말에는 기온이 안정(-10도)했고, 1월 8~14일과 15~21일 말에는 기온이 떨어졌다(-1에서 -2, -11에서 -12 학위). 따라서 우리는 다음을 얻습니다. G–1.
각 기간은 7일이므로 각 기간의 4일째부터 온도를 분석해야 합니다. 온도는 1월 4일부터 7일까지 3-4일 동안만 변하지 않았습니다. 그래서 우리는 답을 얻습니다. A-2.
월별 최저 기온은 1월 17일에 관찰되었습니다. 이 숫자는 1월 15일부터 21일까지입니다. 여기에서 몇 가지가 있습니다. 3시에.
최고 기온은 1월 10일에 떨어졌고 +1도에 달했습니다. 이 날짜는 1월 8~14일에 해당합니다. 그래서 우리는 다음을 가지고 있습니다: 나-4.

옵션 14MB10

실행 알고리즘

이 점이 Ox 축 위에 위치하면 점에서의 함수 값은 양수입니다.
그 점에 대한 접선이 x축의 양의 방향과 예각을 형성하는 경우 한 점에서의 도함수는 0보다 큽니다.

해결책:

점 A. Ox 축 아래에 있으며, 이는 그 안의 함수 값이 음수임을 의미합니다. 접선을 그리면 접선과 양의 방향 Ox 사이의 각도는 약 90 0이 됩니다. 예각을 이룹니다. 따라서 이 경우 특성 번호 3이 적합합니다. 저것들. 우리는: A-3.

포인트 B. Ox 축 위에 위치합니다. 점은 양의 기능 값을 갖습니다. 이 지점의 접선은 가로축에 매우 가까우며 양의 방향과 둔각(180°보다 약간 작음)을 형성합니다. 따라서 이 시점의 미분은 음수입니다. 따라서 특성 1이 여기에 적합합니다. 우리는 답을 얻습니다. 1에서.

점 C. 점은 Ox 축 아래에 있으며 접선은 가로 좌표축의 양의 방향과 큰 둔각을 형성합니다. 저것들. t.C에서 함수와 도함수의 값은 모두 음수이며 특성 번호 2에 해당합니다. 대답: 에스-2.

점 D. 점은 Ox 축 위에 위치하며 그 안의 접선은 축의 양의 방향과 예각을 형성합니다. 이것은 여기서 함수의 값과 도함수의 값이 모두 0보다 크다는 것을 의미합니다. 대답: D–4.

옵션 14MB11

그림에서 점은 가전제품 매장의 월별 냉장고 판매량을 나타냅니다. 월은 가로로 표시되고, 판매된 냉장고 수는 세로로 표시됩니다. 명확성을 위해 점은 선으로 연결됩니다.

그림을 사용하여 표시된 각 기간을 냉장고 판매 특성과 연결하십시오..

선 y=3x+2는 함수 y=-12x^2+bx-10의 그래프에 접합니다. 터치 포인트의 가로 좌표가 0보다 작은 경우 b 를 찾습니다.

솔루션 표시

해결책

x_0을 함수 y=-12x^2+bx-10의 그래프에서 이 그래프에 대한 접선이 통과하는 점의 가로 좌표라고 합시다.

점 x_0에서의 도함수의 값은 접선의 기울기와 같습니다. 즉, y"(x_0)=-24x_0+b=3입니다. 반면에 접선 점은 함수의 그래프와 접선, 즉 -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. 연립방정식을 얻습니다. \begin(케이스) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(케이스)

이 시스템을 풀면 x_0^2=1을 얻습니다. 이는 x_0=-1 또는 x_0=1을 의미합니다. 가로 좌표의 조건에 따라 터치 포인트는 0보다 작으므로 x_0=-1, b=3+24x_0=-21입니다.

대답

상태

그림은 함수 y=f(x)의 그래프를 보여줍니다(세 개의 직선 세그먼트로 구성된 파선). 그림을 사용하여 F(9)-F(5)를 계산합니다. 여기서 F(x)는 f(x)의 역도함수 중 하나입니다.

솔루션 표시

해결책

Newton-Leibniz 공식에 따르면, F(x)가 함수 f(x)의 역도함수 중 하나인 차이 F(9)-F(5)는 곡선 사다리꼴 경계의 면적과 같습니다. 함수 y=f(x), 직선 y=0 , x=9 및 x=5의 그래프에 의해. 그래프에 따르면 지정된 곡선 사다리꼴이 밑변이 4와 3이고 높이가 3인 사다리꼴임을 결정합니다.

그 면적은 다음과 같습니다. \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

대답

출처: "수학. 시험 준비-2017. 프로필 수준. 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

이 그림은 y \u003d f "(x) - 구간 (-4, 10)에 정의된 함수 f (x)의 미분 그래프를 보여줍니다. 감소하는 함수 f (x)의 구간을 찾으십시오. 답에서 , 그 중 가장 큰 것의 길이를 나타냅니다.

솔루션 표시

해결책

아시다시피 함수 f (x)는 미분 f "(x)가 0보다 작은 각 지점에서 해당 간격에서 감소합니다. 가장 큰 길이를 찾을 필요가 있음을 고려할 때 이러한 세 개의 간격 (-4; -2) ;(0;3);(5;9) 그림과 자연스럽게 구별됩니다.

그들 중 가장 큰 길이 - (5, 9)는 4와 같습니다.

대답

출처: "수학. 시험 준비-2017. 프로필 수준. 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

그림은 y \u003d f "(x)의 그래프를 보여줍니다 - 간격 (-8; 7)에 정의 된 함수 f (x)의 도함수. 속해있는 함수 f (x)의 최대 점 수를 찾으십시오. 간격 [-6; -2].

솔루션 표시

해결책

그래프는 함수 f(x)의 도함수 f "(x)가 구간 [ -6; -2 따라서 구간 [-6;-2]에는 정확히 하나의 최대 점이 있습니다.

대답

출처: "수학. 시험 준비-2017. 프로필 수준. 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

그림은 구간(-2, 8)에 정의된 함수 y=f(x)의 그래프를 보여줍니다. 함수 f(x) 의 도함수가 0 과 같은 점의 수를 결정합니다.

솔루션 표시

해결책

한 점의 도함수가 0이면 이 점에서 그려진 함수 그래프의 접선은 Ox 축과 평행합니다. 따라서 함수 그래프에 대한 접선이 Ox 축과 평행한 점을 찾습니다. 이 차트에서 이러한 포인트는 극한 포인트(최대 또는 최소 포인트)입니다. 보시다시피 극한점은 5개입니다.

대답

출처: "수학. 시험 준비-2017. 프로필 수준. 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

선 y=-3x+4는 함수 y=-x^2+5x-7의 그래프에 대한 접선과 평행합니다. 접점의 가로 좌표를 찾으십시오.

솔루션 표시

해결책

임의의 점 x_0에서 함수 y=-x^2+5x-7의 그래프에 대한 선의 기울기는 y"(x_0)입니다. 그러나 y"=-2x+5이므로 y"(x_0)=- 2x_0+5.조건에 지정된 선 y=-3x+4의 각도 계수는 -3입니다. 평행선은 동일한 기울기를 갖습니다. 따라서 =-2x_0 +5=-3인 x_0 값을 찾습니다.

우리는 다음을 얻습니다. x_0 = 4.

대답

출처: "수학. 시험 준비-2017. 프로필 수준. 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

상태

그림은 y=f(x) 함수의 그래프와 x축에 -6, -1, 1, 4를 표시한 점을 보여줍니다. 다음 중 도함수의 값이 가장 작은 지점은? 이 점을 귀하의 답변에 표시해 주십시오.

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주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공용이며 프레젠테이션의 전체 범위를 나타내지 않을 수 있습니다. 이 작업에 관심이 있으시면 정식 버전을 다운로드하십시오.

수업 유형:반복과 일반화.

수업 형식:상담 수업.

수업 목표:

교육적인: "도함수의 기하학적 의미" 및 "함수 연구에 대한 도함수의 적용"이라는 주제에 대한 이론적 지식을 반복하고 일반화합니다. 수학 시험에서 마주하는 모든 유형의 B8 과제를 고려하십시오. 학생들에게 독립적으로 문제를 해결하여 지식을 테스트할 수 있는 기회를 제공합니다. 답안의 시험 양식을 작성하는 방법을 가르치십시오.
개발 중: 과학적 지식, 의미 기억 및 자발적인 관심의 방법으로 의사 소통의 개발을 촉진합니다. 비교, 비교, 대상 분류, 주어진 알고리즘을 기반으로 학습 문제를 해결하기 위한 적절한 방법 결정, 불확실한 상황에서 독립적으로 행동하는 능력, 자신의 활동을 통제하고 평가하는 능력, 발견 및 제거와 같은 핵심 역량 형성 발생한 어려움의 원인;
교육적인: 학생들의 의사소통 능력 개발(의사소통 문화, 그룹 활동 능력); 자기 교육의 필요성 개발에 기여합니다.

기술: 발달 교육, ICT.

교육 방법:언어적, 시각적, 실용적, 문제적.

작업 형태:개인, 정면, 그룹.

교육 및 방법론적 지원:

1. 대수학과 수학적 분석의 시작 11학년: 교과서. 일반 교육용 기관: 기본 및 프로필. 수준 / (Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin); A. B. Zhizhchenko 편집. - 4판. - 남 : 교육, 2011.

2. 사용: 수학에 답이 있는 3000개의 작업. 그룹 B / A.L의 모든 작업 세미노프, I.V. Yashchenko 및 기타; A.L에 의해 수정됨 세미노바, I.V. 야셴코. - M .: 출판사 "시험", 2011.

3. 직업 은행을 엽니다.

수업을 위한 장비 및 재료:프로젝터, 스크린, 프리젠테이션이 설치된 각 학생용 PC, 모든 학생용 메모 출력 (첨부 1)그리고 점수표 부록 2) .

수업을 위한 사전 준비:숙제로 학생들은 "도함수의 기하학적 의미", "함수 연구에 대한 도함수의 적용"이라는 주제에 대한 교과서 이론 자료를 반복하도록 요청받습니다. 학급은 그룹(각 4명)으로 나뉘며 각 그룹에는 다양한 수준의 학생들이 있습니다.

수업에 대한 설명:이 수업은 11학년에 반복 및 시험 준비 단계에서 진행됩니다. 수업은 이론 자료의 반복 및 일반화, 시험 문제 해결에 대한 적용을 목표로합니다. 수업 시간 - 1.5시간 .

이 수업은 교과서에 첨부되어 있지 않으므로 어떤 교재를 작업하면서 수행할 수 있습니다. 또한, 이 수업은 두 개의 개별 수업으로 나눌 수 있으며 고려 중인 주제에 대한 최종 수업으로 개최됩니다.

수업 중

I. 조직적 순간.

Ⅱ. 목표 설정 수업.

III. "도함수의 기하학적 의미"라는 주제에 대한 반복.

프로젝터를 이용한 구강 정면 작업 (슬라이드 3-7)

그룹 작업: 힌트, 답변, 교사의 조언을 통한 문제 해결(슬라이드 번호 8-17)

IV. 독립적인 작업 1.

학생들은 PC에서 개별적으로 작업하고(슬라이드 번호 18-26), 답은 평가 시트에 입력됩니다. 필요한 경우 교사의 조언을 받을 수 있지만 이 경우 학생은 0.5점을 잃습니다. 학생이 작업에 더 일찍 대처하면 컬렉션(242, 306-324페이지)에서 추가 작업을 해결하도록 선택할 수 있습니다(추가 작업은 별도로 평가됨).

V. 상호 검증.

학생들은 평가지 교환, 친구의 작업 확인, 점수 부여(슬라이드 27번)

VI. 지식 수정.

VII. "함수 연구에 대한 도함수의 적용" 주제에 대한 반복

프로젝터를 이용한 구강 정면 작업 (슬라이드 No. 28-30)

그룹 작업: 프롬프트, 답변, 교사의 조언으로 문제 해결(슬라이드 번호 31-33)

Ⅷ. 독립적인 작업 2.

학생들은 PC에서 개별적으로 작업하고(슬라이드 번호 34-46), 답안지에 답을 입력합니다. 필요한 경우 교사의 조언을 받을 수 있지만 이 경우 학생은 0.5점을 잃습니다. 학생이 작업에 더 일찍 대처하면 컬렉션, pp. 243-305에서 추가 작업을 해결하도록 선택할 수 있습니다(추가 작업은 별도로 평가됨).

IX. 상호 검증.

학생들은 평가 시트를 교환하고, 친구의 작업을 확인하고, 점수를 부여합니다(슬라이드 번호 47).

X. 지식의 수정.

학생들은 다시 그룹에서 일하고 해결책에 대해 토론하고 실수를 수정합니다.

XI. 요약.

각 학생은 자신의 점수를 계산하고 평가 시트에 표시합니다.

학생들은 평가 시트와 추가 문제의 해결 방법을 교사에게 전달합니다.

각 학생은 메모를 받습니다(슬라이드 번호 53-54).

12. 반사.

학생들은 다음 문구 중 하나를 선택하여 지식을 평가해야 합니다.

내가 다 얻었다!!!
몇 가지 예를 더 풀어야 합니다.
누가 이 수학을 생각해냈어!

XIII. 숙제.

숙제를 위해 학생들은 컬렉션(pp. 242-334)과 열린 과제 모음에서 과제를 해결하도록 초대받습니다.

먼저 함수의 범위를 찾으십시오.

관리하셨나요? 답변을 비교해 보겠습니다.

괜찮은? 잘했어요!

이제 함수의 범위를 찾아보겠습니다.

설립하다? 비교하다:

동의했습니까? 잘했어요!

그래프로 다시 작업해 보겠습니다. 이제 함수의 영역과 함수의 범위를 모두 찾는 것이 조금 더 어렵습니다.

함수의 영역과 범위를 모두 찾는 방법(고급)

다음은 일어난 일입니다.

그래픽으로, 나는 당신이 그것을 알아 냈다고 생각합니다. 이제 수식에 따라 함수의 영역을 찾아 보겠습니다(이 작업을 수행하는 방법을 모르는 경우 섹션 참조).

관리하셨나요? 확인 중 답변:

, 루트 표현식은 0보다 크거나 같아야 하기 때문입니다.
, 0으로 나누는 것은 불가능하고 급진적 표현은 음수가 될 수 없기 때문입니다.
, 이후, 각각 모두를 위해.
0으로 나눌 수 없기 때문입니다.

그러나 아직 정리되지 않은 순간이 하나 더 있습니다 ...

정의를 반복해서 설명하겠습니다.

눈치채셨나요? "만"이라는 단어는 우리 정의에서 매우 중요한 요소입니다. 나는 당신에게 손가락으로 설명하려고 노력할 것입니다.

직선으로 주어진 함수가 있다고 가정해 봅시다. . 언제, 우리는 이 값을 우리의 "규칙"으로 대체하고 그것을 얻습니다. 하나의 값은 하나의 값에 해당합니다. 다양한 값의 테이블을 만들고 이를 확인하기 위해 주어진 함수를 플롯할 수도 있습니다.

"바라보다! - 당신은 - ""두 번 만난다!" 그렇다면 포물선이 함수가 아닐 수도 있습니다. 아니요!

""가 두 번 발생한다는 사실은 포물선이 모호하다고 비난할 이유가 아닙니다!

사실 계산할 때 우리는 한 게임을 얻었습니다. 그리고 계산할 때 우리는 한 게임을 얻었습니다. 맞습니다. 포물선은 함수입니다. 차트를 봐:

알았어요? 그렇지 않은 경우 수학과는 거리가 먼 실제 사례가 있습니다!

문서를 제출할 때 만난 지원자 그룹이 있다고 가정해 보겠습니다.

동의합니다. 여러 남자가 같은 도시에 사는 것이 매우 현실적이지만 한 사람이 동시에 여러 도시에 사는 것은 불가능합니다. 이것은 말하자면 "포물선"의 논리적 표현입니다. 여러 다른 x가 동일한 y에 해당합니다.

이제 종속성이 함수가 아닌 예를 생각해 보겠습니다. 이 같은 사람들이 그들이 지원한 전문 분야에 대해 다음과 같이 말했습니다.

여기에 우리는 완전히 다른 상황이 있습니다. 한 사람이 하나 또는 여러 방향을 쉽게 신청할 수 있습니다. 그건 하나의 요소세트가 상응하게 놓여있다 여러 요소세트. 각기, 그것은 기능이 아닙니다.

실제로 지식을 테스트해 보겠습니다.

그림에서 무엇이 기능이고 무엇이 아닌지 결정하십시오.

알았어요? 그리고 여기 답변:

기능은 -B,E입니다.
함수가 아닙니다 - A, B, D, D.

왜냐고? 예, 이유는 다음과 같습니다.

제외한 모든 수치에서 에)그리고 이자형)하나에 여러 가지가 있습니다!

이제 함수와 비함수를 쉽게 구별하고 인수가 무엇인지, 종속 변수가 무엇인지 말할 수 있으며 인수의 범위와 함수의 범위도 결정할 수 있다고 확신합니다. 다음 섹션으로 넘어가 보겠습니다. 함수를 정의하는 방법은 무엇입니까?

기능을 설정하는 방법

단어가 무엇을 의미한다고 생각합니까? "설정 기능"? 맞습니다. 이 경우 우리가 말하는 기능이 무엇인지 모두에게 설명하는 것입니다. 또한, 모두가 당신을 올바르게 이해하고 당신의 설명에 따라 사람들이 그린 기능의 그래프가 동일하도록 설명하십시오.

어떻게 할 수 있습니까? 기능을 설정하는 방법?이 기사에서 이미 두 번 이상 사용 된 가장 쉬운 방법 - 공식을 사용하여.우리는 공식을 작성하고 거기에 값을 대입하여 값을 계산합니다. 그리고 여러분이 기억하듯이, 공식은 법칙, 즉 X가 Y로 변하는 방법을 우리와 다른 사람에게 명확하게 해주는 규칙입니다.

일반적으로 이것이 바로 그들이 하는 일입니다. 작업에서 공식으로 정의된 기성품 함수를 볼 수 있지만 모든 사람이 잊어버리는 함수를 설정하는 다른 방법이 있으므로 "다른 방법으로 함수를 설정할 수 있습니까?"라는 질문이 있습니다. 혼란스럽다. 모든 것을 순서대로 살펴보고 분석 방법부터 시작하겠습니다.

함수를 정의하는 분석적 방법

분석 방법은 공식을 사용하는 함수의 작업입니다. 이것은 가장 보편적이고 포괄적이며 모호하지 않은 방법입니다. 수식이 있으면 함수에 대한 모든 것을 절대적으로 알 수 있습니다. 값 테이블을 만들 수 있고 그래프를 만들고 함수가 증가하는 부분과 감소하는 부분을 결정할 수 있습니다. 일반적으로 탐색 전부.

함수를 생각해 봅시다. 그것은 무슨 상관이야?

"무슨 뜻인가요?" - 물어. 지금 설명하겠습니다.

표기법에서 괄호 안의 표현을 인수라고 부릅니다. 그리고 이 논증은 어떤 표현이든 될 수 있으며 반드시 단순할 필요는 없습니다. 따라서 인수(괄호 안의 표현식)가 무엇이든 표현식에 대신 작성합니다.

이 예에서는 다음과 같이 표시됩니다.

시험에 응시할 기능을 지정하는 분석 방법과 관련된 다른 작업을 고려하십시오.

식의 값을 찾으십시오.

처음에는 그런 표정을 보고 무서웠을 텐데, 전혀 무섭지 않아요!

모든 것은 이전 예제와 동일합니다. 인수(괄호 안의 표현식)가 무엇이든 표현식에 대신 씁니다. 예를 들어 함수의 경우.

우리의 예에서 무엇을 해야 합니까? 대신에 다음과 같이 작성해야 합니다.

결과 표현식을 줄이십시오.

그게 다야!

독립적 인 일

이제 다음 표현의 의미를 직접 찾아보십시오.

, 만약에
, 만약에

관리하셨나요? 답을 비교해 보겠습니다. 우리는 함수가 다음 형식을 갖는다는 사실에 익숙합니다.

우리의 예에서도 이러한 방식으로 함수를 정의하지만, 예를 들어 분석적으로 함수를 암시적으로 정의하는 것이 가능합니다.

이 기능을 직접 만들어 보십시오.

관리하셨나요?

다음은 내가 구축한 방법입니다.

우리는 어떤 방정식으로 끝났습니까?

바르게! 선형은 그래프가 직선임을 의미합니다. 어떤 점이 우리 선에 속하는지 결정하기 위해 표를 만들어 봅시다.

그것이 바로 우리가 이야기하고 있던 것입니다 ... 하나는 여러 개에 해당합니다.

무슨 일이 있었는지 그려봅시다.

기능이 있습니까?

맞아, 아니야! 왜요? 이 질문에 그림으로 답해 보세요. 무엇을 얻었습니까?

"하나의 값이 여러 값에 해당하기 때문입니다!"

이로부터 어떤 결론을 내릴 수 있습니까?

맞습니다. 함수가 항상 명시적으로 표현될 수는 없고, 함수로 "가장된" 것이 항상 함수는 아닙니다!

함수를 정의하는 표 형식 방법

이름에서 알 수 있듯이 이 방법은 간단한 판입니다. 예 예. 우리가 이미 만든 것처럼. 예를 들어:

여기에서 즉시 패턴을 발견했습니다. Y는 X보다 3배 더 큽니다. 그리고 이제 "매우 잘 생각하기" 작업: 테이블 형식으로 제공된 함수가 함수와 동일하다고 생각하십니까?

긴말하지말고 그림그리자!

그래서. 우리는 두 가지 방법으로 주어진 함수를 그립니다:

차이점이 보이시나요? 표시된 점에 관한 것이 아닙니다! 자세히 살펴보기:

지금 봤어? 함수를 표 형식으로 설정할 때 표에 있는 점만 그래프에 반영하고 선(이 경우와 같이)은 점만 통과합니다. 우리가 분석적인 방식으로 함수를 정의할 때, 우리는 어떤 점을 취할 수 있으며 우리의 기능은 그것들에 국한되지 않습니다. 여기에 그러한 기능이 있습니다. 기억하다!

함수를 빌드하는 그래픽 방식

함수를 구성하는 그래픽 방식은 그다지 편리하지 않습니다. 우리는 함수를 그리고 다른 관심 있는 사람은 특정 x에서 y가 무엇인지 찾을 수 있습니다. 그래픽 및 분석 방법이 가장 일반적입니다.

그러나 여기에서 처음에 우리가 이야기한 것을 기억해야 합니다. 좌표계에 그려진 모든 "구불구불한 선"이 함수는 아닙니다! 기억나요? 만일을 대비하여 함수가 무엇인지에 대한 정의를 여기에 복사하겠습니다.

일반적으로 사람들은 일반적으로 우리가 분석한 기능을 지정하는 세 가지 방법, 즉 분석적(공식 사용), 표 형식 및 그래픽의 이름을 정확히 지정하고 기능을 구두로 설명할 수 있다는 사실을 완전히 잊어버렸습니다. 이와 같이? 예, 매우 쉽습니다!

기능에 대한 구두 설명

기능을 구두로 설명하는 방법? 최근의 예를 들어 보겠습니다. 이 함수는 "x의 각 실수 값은 3중 값에 해당합니다."로 설명할 수 있습니다. 그게 다야. 복잡하지 않습니다. 물론, 당신은 반대할 것입니다. "말로 설정하는 것이 불가능할 정도로 복잡한 기능이 있습니다!" 예, 몇 가지가 있지만 수식으로 설정하는 것보다 말로 설명하는 것이 더 쉬운 기능이 있습니다. 예: "x의 각 자연값은 구성되는 자릿수 간의 차이에 해당하는 반면 숫자 항목에 포함된 가장 큰 자릿수는 빼기로 간주됩니다." 이제 함수에 대한 구두 설명이 실제로 어떻게 구현되는지 고려하십시오.

주어진 숫자에서 가장 큰 자릿수(각각 -)는 다음과 같이 줄어듭니다.

주요 기능 유형

이제 가장 흥미로운 것으로 넘어 갑시다. 우리는 당신이 일한 / 일한 주요 유형의 기능을 고려할 것이며 학교 및 연구소 수학 과정에서 일할 것입니다. 즉, 우리는 그것들을 알게 될 것입니다. 그들에게 간단한 설명을 제공하십시오. 해당 섹션에서 각 기능에 대해 자세히 알아보세요.