지리적 좌표에서 두 지점 사이의 거리입니다. longlat 좌표로만 두 점 사이의 거리 결정

직교 좌표계가 주어집니다.

정리 1.1.평면의 임의의 두 점 M 1 (x 1; y 1) 및 M 2 (x 2; y 2)에 대해 이들 사이의 거리 d는 공식으로 표현됩니다.

증거.점 M 1과 M 2에서 수직선 M 1 B와 M 2 A를 각각 떨어뜨립니다.

Oy 및 Ox 축에서 K로 선 M 1 B와 M 2 A의 교차점을 나타냅니다 (그림 1.4). 다음과 같은 경우가 가능합니다.

1) 포인트 M1, M2 및 K가 다릅니다. 분명히 점 K는 좌표(x 2; y 1)를 가집니다. M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô임을 쉽게 알 수 있습니다. 왜냐하면 ∆M 1 KM 2는 직사각형이고 피타고라스 정리 d = M 1 M 2 = = .

2) 점 K는 점 M2와 일치하지만 점 M1과는 다릅니다(그림 1.5). 이 경우 y 2 = y 1

및 d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2-x 1 ô \u003d =

3) 점 K는 점 M1과 일치하지만 점 M2와는 다릅니다. 이 경우 x 2 = x 1 및 d =

남 1 남 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2-y 1 ô \u003d = .

4) 점 M2는 점 M1과 일치합니다. 그런 다음 x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 및

d \u003d M1M2 \u003d O \u003d.

이와 관련하여 세그먼트의 분할.

임의의 세그먼트 M1M2가 평면에 주어지고 M이 이 평면의 임의의 점이라고 하자.

점 M 2 이외의 세그먼트 (그림 1.6). 등식 l =로 정의되는 숫자 l , 호출 태도,여기서 점 M은 세그먼트 M 1 M 2를 나눕니다.

정리 1.2.점 M (x; y)이 세그먼트 M 1 M 2를 l에 대해 나누면 이것의 좌표는 공식에 의해 결정됩니다.

엑스 = , y = , (4)

여기서 (x 1; y 1)은 점 M 1의 좌표이고 (x 2; y 2)는 점 M 2의 좌표입니다.

증거.공식 (4)의 첫 번째를 증명합시다. 두 번째 공식도 비슷하게 증명됩니다. 두 가지 경우가 가능합니다.

엑스 = 엑스 1 = = = .

2) 직선 M 1 M 2는 Ox 축에 수직이 아닙니다(그림 1.6). M 1 , M, M 2 점에서 Ox 축으로 수직선을 떨어 뜨리고 Ox 축과의 교차점을 각각 P 1 , P, P 2 . 비례 세그먼트 정리에 따르면 =엘.

왜냐하면 P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô 및 숫자 (x - x 1) 및 (x 2 - x)는 동일한 부호를 갖습니다 (x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2는 음수임)

x-x 1 \u003d l (x 2-x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

엑스 = .

결론 1.2.1. M 1 (x 1; y 1) 및 M 2 (x 2; y 2)가 임의의 두 점이고 점 M (x; y)가 세그먼트 M 1 M 2의 중점인 경우

엑스 = , y = (5)

증거. M 1 M = M 2 M이므로 l = 1이고 공식 (4)에 의해 공식 (5)를 얻습니다.

삼각형의 면적.

정리 1.3.동일하지 않은 점 A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) 및 C(x 3; y 3)에 대해

직선, 삼각형 ABC의 면적 S는 다음 공식으로 표현됩니다.

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

증거.그림에 표시된 영역 ∆ ABC. 1.7, 다음과 같이 계산합니다.

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF-S ABFD.

사다리꼴의 면적을 계산하십시오.

S-ADEC=
,

SBCEF=

이제 우리는

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x3y3-x1y3 + x3y1-x1y1 + + x2y3--x3y3 + x2y2-x3y2-x2y1 + x1y1-x2y2 + x1y2) \u003d (x3y1-x3y2 + x1y2-x2y1 + x2y3-

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

다른 위치 ΔABC에 대해서도 식 (6)이 비슷하게 증명되지만 "-" 기호로 구할 수 있습니다. 따라서 공식 (6)에 계수의 부호를 넣으십시오.

강의 2

평면 위의 직선 방정식: 주요 계수가 있는 직선 방정식, 일반 직선 방정식, 세그먼트의 직선 방정식, 두 점을 통과하는 직선 방정식. 선 사이의 각도, 평면에서 선의 평행도 및 직각도 조건.

2.1. 평면에 직교 좌표계와 직선 L이 있다고 하자.

정의 2.1.변수 x와 y에 관한 F(x;y) = 0 형식의 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 선 방정식 L(주어진 좌표계에서) 이 방정식이 이 선에 있지 않은 점의 좌표가 아니라 선 L에 있는 점의 좌표에 의해 충족되는 경우.

평면 위의 선 방정식의 예.

1) 직교좌표계(Fig. 2.1)의 축 Oy에 평행한 직선을 생각해보자. 이 선과 축 Ox의 교차점을 문자 A로 표시합시다. (a; o) ─ 그것의 또는-

다이나티. 방정식 x = a는 주어진 직선의 방정식입니다. 실제로, 이 방정식은 이 선의 임의 점 M(a; y)의 좌표에 의해 충족되며 선 위에 있지 않은 점의 좌표에 의해 충족되지 않습니다. a = 0이면 선은 방정식 x = 0을 갖는 Oy 축과 일치합니다.

2) 방정식 x-y \u003d 0은 I 및 III 좌표 각도의 이등분선을 구성하는 평면의 점 집합을 정의합니다.

3) 방정식 x 2 - y 2 \u003d 0은 좌표각의 두 이등분선 방정식입니다.

4) 방정식 x 2 + y 2 = 0은 평면에서 단일 점 O(0;0)을 정의합니다.

5) 방정식 x 2 + y 2 \u003d 25는 원점을 중심으로 반지름이 5 인 원의 방정식입니다.

수학

§2. 평면의 점 좌표

3. 두 지점 사이의 거리.

우리는 이제 숫자의 언어로 점에 대해 이야기하는 방법을 알고 있습니다. 예를 들어, 더 이상 설명할 필요가 없습니다. 축 오른쪽으로 3단위, 축 아래로 5단위인 지점을 선택합니다. 간단하게 말하면 충분합니다.

우리는 이것이 특정 이점을 창출한다고 이미 말했습니다. 그래서 우리는 점으로 이루어진 그림을 전신으로 전송하고 그림을 전혀 이해하지 못하지만 숫자를 잘 이해하는 컴퓨터에 전달할 수 있습니다.

이전 단락에서 우리는 숫자 사이의 관계를 사용하여 평면의 일부 점 집합을 정의했습니다. 이제 다른 기하학적 개념과 사실을 숫자의 언어로 일관되게 번역해 봅시다.

간단하고 일반적인 작업부터 시작하겠습니다.

평면에서 두 점 사이의 거리를 찾으십시오.

해결책:
항상 그렇듯이, 우리는 점들이 그들의 좌표에 의해 주어진다고 가정하고, 우리의 임무는 그들의 좌표를 알고 있는 점들 사이의 거리를 계산할 수 있는 규칙을 찾는 것입니다. 물론 이 규칙을 도출할 때 도면에 의존하는 것이 허용되지만 규칙 자체에는 도면에 대한 참조가 포함되어서는 안 되며 주어진 숫자(좌표)에 대해 수행해야 하는 작업과 순서만 표시해야 합니다. 원하는 수를 얻기 위해 포인트의 - 점 사이의 거리.

아마도 독자 중 일부는 문제를 해결하는 이러한 접근 방식이 이상하고 터무니없다고 생각할 것입니다. 더 간단한 것은 좌표라도 포인트가 주어진다고 말할 것입니다. 이 점을 그리고 눈금자를 잡고 그 사이의 거리를 측정하십시오.

이 방법은 때때로 그렇게 나쁘지 않습니다. 그러나 컴퓨터를 다루고 있다고 다시 상상해보십시오. 그녀는 자가없고 그림도 그리지 않지만 너무 빨리 계산할 수있어 전혀 문제가되지 않습니다. 우리 작업은 두 점 사이의 거리를 계산하는 규칙이 기계가 실행할 수 있는 명령으로 구성되도록 설정되어 있습니다.

주어진 점 중 하나가 원점에 있는 특수한 경우에 대해 먼저 문제를 해결하는 것이 좋습니다. 몇 가지 숫자 예제로 시작합니다. 점의 원점에서 거리를 찾습니다. 그리고 .

지침. 피타고라스의 정리를 사용하십시오.

이제 원점에서 점까지의 거리를 계산하기 위한 일반 공식을 작성합니다.

원점에서 점까지의 거리는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

분명히 이 공식으로 표현되는 규칙은 위의 조건을 만족한다. 특히 숫자를 곱하고, 더하고, 제곱근을 구할 수 있는 컴퓨터에서 계산하는 데 사용할 수 있습니다.

이제 일반적인 문제를 해결해 보겠습니다.

평면 위의 두 점이 주어지고 그 사이의 거리를 구하십시오.

해결책:
점과 좌표축의 투영을 , , 로 나타냅니다.

선의 교차점은 문자로 표시됩니다. 피타고라스 정리에 따르면 직각 삼각형에서 다음을 얻습니다.

그러나 세그먼트의 길이는 세그먼트의 길이와 같습니다. 점 및 는 축에 있으며 각각 좌표 및 를 갖습니다. 단락 2의 단락 3에서 얻은 공식에 따르면 그들 사이의 거리는 .

유사하게 논의하면 세그먼트의 길이가 와 같다는 것을 알 수 있습니다. 찾은 값을 우리가 얻은 공식으로 대체합니다.

이 기사에서는 이론적으로 특정 작업의 예에서 한 지점에서 한 지점까지의 거리를 결정하는 방법을 고려할 것입니다. 몇 가지 정의부터 시작하겠습니다.

정의 1

점 사이의 거리- 기존 스케일에서 이들을 연결하는 세그먼트의 길이입니다. 길이 단위를 측정하기 위해서는 눈금을 설정해야 합니다. 따라서 기본적으로 점 사이의 거리를 찾는 문제는 좌표선, 좌표 평면 또는 3차원 공간에서 좌표를 사용하여 해결됩니다.

초기 데이터: 좌표선 O x 및 그 위에 놓인 임의의 점 A 하나의 실수는 선의 모든 점에 내재되어 있습니다: 이것을 점 A에 대한 특정 숫자로 둡니다. xA,점 A의 좌표입니다.

일반적으로 특정 세그먼트의 길이 추정은 주어진 척도에서 길이의 단위로 간주되는 세그먼트와 비교하여 발생한다고 말할 수 있습니다.

점 A가 정수 실수에 해당하는 경우 점 O에서 직선 O A 세그먼트-길이 단위를 따라 점으로 연속적으로 설정하면 보류중인 단위 세그먼트의 총 수로 세그먼트 O A의 길이를 결정할 수 있습니다.

예를 들어, 점 A는 숫자 3에 해당합니다. 점 O에서 도달하려면 3개의 단위 세그먼트를 별도로 설정해야 합니다. 점 A의 좌표가 -4인 경우 단일 세그먼트가 유사한 방식으로 플롯되지만 음의 방향이 다릅니다. 따라서 첫 번째 경우 거리 O A는 3입니다. 두 번째 경우 OA \u003d 4입니다.

점 A에 좌표가 유리수인 경우 원점(점 O)에서 정수 단위 세그먼트를 따로 설정한 다음 필요한 부분을 설정합니다. 그러나 기하학적으로 측정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 예를 들어, 좌표 직분수 4 111 을 제쳐두기가 어려워 보입니다.

위의 방법으로 무리수를 직선으로 연기하는 것은 완전히 불가능합니다. 예를 들어 점 A의 좌표가 11일 때 . 이 경우 추상화로 전환 할 수 있습니다. 점 A의 주어진 좌표가 0보다 크면 O A \u003d x A (숫자는 거리로 간주됨); 좌표가 0보다 작으면 O A = - x A 입니다. 일반적으로 이러한 진술은 모든 실수 x A 에 대해 참입니다.

요약: 좌표선의 실수에 해당하는 원점에서 점까지의 거리는 다음과 같습니다.

• 포인트가 원점과 같으면 0;

• x A > 0이면 x A ;

• - xA이면 xA< 0 .

이 경우 세그먼트 자체의 길이는 음수가 될 수 없으므로 모듈러스 기호를 사용하여 점 O에서 점 A까지의 거리를 좌표로 씁니다. ×A: OA = xA

올바른 진술은 다음과 같습니다. 한 지점에서 다른 지점까지의 거리는 좌표 차이의 계수와 같습니다.저것들. 임의의 위치에서 동일한 좌표선에 있고 각각 다음 좌표를 갖는 점 A와 B에 대해 ×A그리고 xB: A B = x B - x A .

초기 데이터: 주어진 좌표 A (x A , y A) 및 B (x B , y B) 와 함께 직각 좌표계 O x y 의 평면에 있는 점 A 와 B.

점 A와 B를 통해 좌표축 O x와 O y에 수직을 그리고 그 결과 A x , A y , B x , B y 투영 점을 얻습니다. 점 A와 B의 위치에 따라 다음 옵션이 추가로 가능합니다.

점 A와 B가 일치하면 두 점 사이의 거리는 0입니다.

점 A와 B가 O x축(가로축)에 수직인 직선 위에 있으면 두 점과 | A B | = | 에이 바이 | . 점 사이의 거리는 좌표 차이의 계수와 같기 때문에 A y B y = y B - y A , 따라서 A B = A y B y = y B - y A .

점 A와 B가 O y축(y축)에 수직인 직선에 있는 경우 - 이전 단락과 유추하여: A B = A x B x = x B - x A

점 A와 B가 좌표축 중 하나에 수직인 직선 위에 있지 않으면 계산 공식을 유도하여 두 점 사이의 거리를 찾습니다.

우리는 삼각형 A B C가 구성에 의해 직각임을 알 수 있습니다. 이 경우 A C = A x B x 및 B C = A y B y 입니다. 피타고라스 정리를 사용하여 등식을 구성합니다. A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 그런 다음 A B = A x B x 2 + A y B로 변환합니다. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

얻은 결과에서 결론을 내립니다. 평면의 A 지점에서 B 지점까지의 거리는이 점의 좌표를 사용하는 공식을 사용하여 계산하여 결정됩니다.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

결과 공식은 또한 점이 일치하는 경우 또는 점이 축에 수직인 직선에 있는 상황에 대해 이전에 형성된 진술을 확인합니다. 따라서 점 A와 B가 일치하는 경우 평등이 성립합니다. A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

점 A와 B가 x축에 수직인 직선 위에 있는 경우:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

점 A와 B가 y축에 수직인 직선 위에 있는 경우:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

초기 데이터: 주어진 좌표 A (x A , y A , z A) 및 B (x B , y B , z B) 와 함께 임의의 점이 놓여 있는 직교 좌표계 O x y z . 이 지점 사이의 거리를 결정하는 것이 필요합니다.

점 A와 B가 좌표 평면 중 하나에 평행한 평면에 있지 않은 일반적인 경우를 고려하십시오. 좌표축에 수직인 점 A 및 B 평면을 통해 그리고 해당 투영점을 얻습니다: A x , A y , A z , B x , B y , B z

점 A와 B 사이의 거리는 결과 상자의 대각선입니다. 이 상자의 측정 구성에 따르면 A x B x , A y By 및 A z B z

기하학 과정에서 평행 육면체의 대각선의 제곱은 그 치수의 제곱의 합과 같다는 것이 알려져 있습니다. 이 진술을 기반으로 A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2와 같은 평등을 얻습니다.

이전에 얻은 결론을 사용하여 다음을 작성합니다.

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

표현식을 변환해 보겠습니다.

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

결정적인 공간에서 점 사이의 거리를 결정하는 공식다음과 같이 표시됩니다.

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

결과 공식은 다음과 같은 경우에도 유효합니다.

점이 일치합니다.

그들은 동일한 좌표축 또는 좌표축 중 하나에 평행한 직선에 있습니다.

점 사이의 거리를 찾는 문제 해결의 예

초기 데이터: 주어진 좌표 A(1 - 2)와 B(11 + 2)로 좌표선과 그 위에 놓인 점이 주어집니다. 기준점 O에서 점 A까지의 거리와 점 A와 B 사이의 거리를 찾는 것이 필요합니다.

해결책

1. 기준점에서 점까지의 거리는 각각 O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1의 좌표 모듈과 같습니다.
2. 점 A와 B 사이의 거리는 이러한 점의 좌표 사이의 차의 계수로 정의됩니다. A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

답: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

예 2

초기 데이터: 주어진 직교 좌표계와 그 위에 놓인 두 개의 점 A (1 , - 1) 및 B (λ + 1 , 3) ​​. λ는 실수입니다. 거리 A B가 5가 되는 이 숫자의 모든 값을 찾아야 합니다.

해결책

점 A와 B 사이의 거리를 찾으려면 공식 A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2를 사용해야 합니다.

좌표의 실제 값을 대체하면 A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16을 얻습니다.

또한 A B = 5라는 기존 조건을 사용하면 동등성이 참이 됩니다.

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

답변 : λ \u003d ± 3이면 A B \u003d 5입니다.

예 3

초기 데이터: 직각 좌표계의 3차원 공간 O x y z와 그 안에 있는 점 A (1 , 2 , 3) ​​및 B - 7 , - 2 , 4가 주어집니다.

해결책

문제를 해결하기 위해 공식 A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2를 사용합니다.

실제 값을 대체하면 A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9가 됩니다.

답변: | A B | = 9

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평면에서 두 점 사이의 거리.
좌표계

평면의 각 점 A는 좌표(x, y)로 특징지어집니다. 그것들은 벡터의 좌표와 일치합니다 0А 점에서 나오는 0 - 원점.

A와 B를 각각 좌표가 (x 1 y 1)과 (x 2, y 2)인 평면의 임의의 점이라고 합니다.

그런 다음 벡터 AB는 분명히 좌표(x 2 - x 1, y 2 - y 1)를 갖습니다. 벡터 길이의 제곱은 좌표의 제곱의 합과 같다는 것이 알려져 있습니다. 따라서 점 A와 점 B 사이의 거리 d 또는 벡터 AB의 길이는 다음 조건에서 결정됩니다.

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

결과 공식을 사용하면 이러한 점의 좌표만 알려진 경우 평면의 두 점 사이의 거리를 찾을 수 있습니다.

평면의 한 지점 또는 다른 지점의 좌표에 대해 말할 때마다 잘 정의된 좌표계 ​​x0y를 염두에 둡니다. 일반적으로 평면의 좌표계는 여러 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 따라서 x0y 좌표계 대신 시작점 0을 중심으로 이전 좌표축을 회전하여 얻은 x"0y" 좌표계를 고려할 수 있습니다. 시계 반대 방향모서리에 화살표 α .

x0y 좌표계에서 평면의 일부 지점에 좌표(x, y)가 있으면 새 x"0y" 좌표계에서 다른 좌표(x", y")를 갖게 됩니다.

예를 들어, 축 0x"에 있고 점 0에서 1과 같은 거리에 있는 점 M을 고려하십시오.

분명히 x0y 좌표계에서 이 점은 좌표(cos α , 죄 α ), 좌표계 x"0y"에서 좌표는 (1,0)입니다.

평면 A와 B의 두 점의 좌표는 이 평면에서 좌표계가 어떻게 설정되어 있는지에 따라 달라집니다. 그러나 이러한 점 사이의 거리는 좌표계가 지정되는 방식에 따라 달라지지 않습니다. 우리는 다음 섹션에서 이 중요한 상황을 필수적으로 사용할 것입니다.

수업 과정

I. 좌표를 사용하여 평면 점 사이의 거리를 찾습니다.

1) (3.5) 및 (3.4); 3) (0.5) 및 (5, 0); 5) (-3.4) 및 (9, -17);

2) (2, 1) 및 (-5, 1); 4) (0.7) 및 (3.3); 6) (8, 21) 및 (1, -3).

II. 다음 방정식으로 변이 주어지는 삼각형의 둘레를 찾으십시오.

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 및 y = 1.

III. x0y 좌표계에서 점 M과 N의 좌표는 각각 (1, 0)과 (0,1)입니다. 새 좌표계에서 이러한 점의 좌표를 찾으십시오. 이 좌표는 시작점을 중심으로 이전 축을 시계 반대 방향으로 30° 회전하여 얻습니다.

IV. x0y 좌표계에서 점 M과 N은 좌표 (2, 0)과 (\ / 3/2, - 1/2) 각각. 시작점을 중심으로 이전 축을 시계 방향으로 30° 회전하여 얻은 새 좌표계에서 이러한 점의 좌표를 찾습니다.

학생들을 위해 수학 문제를 푸는 것은 종종 많은 어려움을 동반합니다. 학생이 이러한 어려움에 대처할 수 있도록 돕고 "수학" 과목의 모든 섹션에서 특정 문제를 해결하는 데 이론적 지식을 적용하는 방법을 가르치는 것이 우리 사이트의 주요 목적입니다.

주제에 대한 문제 해결을 시작하면서 학생들은 좌표에 따라 평면에 점을 만들고 주어진 점의 좌표를 찾을 수 있어야 합니다.

평면 A (x A; y A)와 B (x B; y B)에서 취한 두 점 사이의 거리 계산은 공식에 의해 수행됩니다. d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), 여기서 d는 평면에서 이러한 점을 연결하는 세그먼트의 길이입니다.

세그먼트의 끝 중 하나가 원점과 일치하고 다른 하나의 좌표가 M (x M; y M)이면 d 계산 공식은 OM = √ (x M 2 + y M 2) 형식을 취합니다.

1. 두 점의 좌표가 주어진 두 점 사이의 거리 계산

예 1.

좌표평면에서 점 A(2; -5)와 B(-4; 3)을 연결하는 선분의 ​​길이를 구하라(Fig. 1).

해결책.

문제의 조건은 다음과 같습니다. x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 및 y B = 3. d를 찾으십시오.

공식 d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2)를 적용하면 다음을 얻습니다.

d \u003d AB \u003d √ ((2-(-4)) 2 + (-5-3) 2) \u003d 10.

2. 주어진 세 점에서 등거리에 있는 점의 좌표 계산

예 2

세 점 A(7; -1) 및 B(-2; 2) 및 C(-1; -5)에서 등거리에 있는 점 O 1의 좌표를 찾으십시오.

해결책.

문제 조건의 공식화에서 O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C입니다. 원하는 점 O 1에 좌표 (a, b)를 두십시오. 공식 d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2)에 따르면 다음을 찾을 수 있습니다.

오 1A \u003d √ ((a-7) 2 + (b + 1) 2);

O 1V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

우리는 두 방정식의 시스템을 구성합니다.

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

방정식의 왼쪽과 오른쪽을 제곱한 후 다음과 같이 작성합니다.

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

단순화, 우리는 씁니다

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

시스템을 풀면 다음을 얻습니다. a = 2; b = -1.

점 O 1 (2; -1)은 하나의 직선 위에 있지 않은 조건에서 주어진 세 점에서 등거리에 있습니다. 이 점은 주어진 세 점을 지나는 원의 중심입니다. (그림 2).

3. 가로 좌표(세로 좌표) 축에 있고 이 점에서 주어진 거리에 있는 점의 가로 좌표(세로 좌표) 계산

예 3

점 B(-5; 6)에서 x축에 있는 점 A까지의 거리는 10입니다. 점 A를 찾으십시오.

해결책.

점 A의 세로 좌표가 0이고 AB = 10이라는 문제 조건 공식화로부터 이어집니다.

점 A에서 a까지의 가로 좌표를 나타내면 A(a; 0)이라고 씁니다.

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0-6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

방정식 √((a + 5) 2 + 36) = 10을 얻습니다. 단순화하면 다음과 같습니다.

2 + 10a - 39 = 0.

이 방정식의 근 a 1 = -13; 그리고 2 = 3.

우리는 A 1 (-13; 0)과 A 2 (3; 0)의 두 점을 얻습니다.

시험:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0-6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

획득한 두 점 모두 문제의 조건에 적합합니다. (그림 3).

4. 횡좌표(세로축)에 놓여 있고 주어진 두 점에서 같은 거리에 있는 점의 가로좌표(세로축) 계산

예 4

점 A(6; 12) 및 B(-8; 10)에서 동일한 거리에 있는 Oy 축의 점을 찾습니다.

해결책.

Oy 축에 놓인 문제 조건에 필요한 점의 좌표를 O 1 (0; b)로 설정하십시오 (Oy 축에 놓인 점에서 가로 좌표는 0입니다). O 1 A \u003d O 1 V라는 조건에서 따릅니다.

공식 d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2)에 따르면 다음을 찾을 수 있습니다.

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

방정식은 √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) 또는 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 입니다.

단순화 후 b - 4 = 0, b = 4를 얻습니다.

문제점의 조건에 의해 요구됨 O 1 (0; 4) (그림 4).

5. 좌표축과 주어진 점에서 같은 거리에 있는 점의 좌표 계산

실시예 5

좌표축과 점 A(-2; 1)에서 같은 거리에 있는 좌표 평면에 있는 점 M을 찾습니다.

해결책.

점 A(-2; 1)와 같이 필요한 점 M은 점 A, P 1 및 P 2에서 등거리에 있기 때문에 두 번째 좌표 모서리에 있습니다. (그림 5). 좌표축에서 점 M의 거리는 동일하므로 좌표는 (-a; a)이며 여기서 a > 0입니다.

문제의 조건에서 MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

저것들. |-a| = 가.

공식 d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2)에 따르면 다음을 찾을 수 있습니다.

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

방정식을 만들어 봅시다:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = ㄱ.

제곱하고 단순화하면 a 2 - 6a + 5 = 0이 됩니다. 방정식을 풀면 a 1 = 1이 됩니다. 2 = 5.

문제의 조건을 만족하는 두 점 M 1 (-1; 1)과 M 2 (-5; 5)를 얻습니다.

6. 가로 좌표(세로 좌표) 축과 이 점으로부터 동일한 지정된 거리에 있는 점의 좌표 계산

실시예 6

y축과 점 A(8; 6)로부터의 거리가 5가 되는 점 M을 찾으십시오.

해결책.

문제의 조건에서 MA = 5이고 점 M의 가로 좌표는 5입니다. 점 M의 세로 좌표를 b라고 하면 M(5; b) (그림 6).

공식 d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2)에 따르면 다음과 같습니다.

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

방정식을 만들어 봅시다:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. 단순화하면 b 2 - 12b + 20 = 0이 됩니다. 이 방정식의 근은 b 1 = 2입니다. b 2 \u003d 10. 따라서 문제의 조건을 충족하는 두 점이 있습니다. M 1 (5; 2) 및 M 2 (5; 10).

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