정리 메넬라우스 정의. 시험에서 Cheva와 Menelaus의 정리

수업: 9

수업 목표:

1. 학생들의 지식과 기술을 일반화, 확장 및 체계화합니다. 복잡한 문제를 해결하는 데 지식을 사용하는 방법을 가르치기 위해;
2. 문제 해결에 지식을 독립적으로 적용하는 기술 개발을 촉진합니다.
3. 학생들의 논리적 사고와 수학적 연설, 분석, 비교 및 ​​일반화 능력을 개발합니다.
4. 자신감, 근면에서 학생들을 교육합니다. 팀에서 일하는 능력.

수업 목표:

• 교육적인: Menelaus와 Ceva의 정리를 반복하십시오. 문제 해결에 적용하십시오.
• 개발 중:가설을 제시하고 증거로 자신의 의견을 능숙하게 변호하도록 가르친다. 지식을 일반화하고 체계화하는 능력을 테스트합니다.
• 교육적인:주제에 대한 관심을 높이고 더 복잡한 문제를 해결할 준비를 합니다.

수업 유형:지식의 일반화 및 체계화 수업.

장비:주어진 주제에 대한 수업에서 공동 작업을 위한 카드, 독립적인 작업을 위한 개별 카드, 컴퓨터, 멀티미디어 프로젝터, 스크린.

수업 중

나는 무대. 조직적 모멘트(1분)

교사는 수업의 주제와 목적을 설명합니다.

2단계. 기초지식 및 기술실현 (10분)

선생님:수업에서는 문제 해결을 성공적으로 진행하기 위해 Menelaus와 Ceva의 정리를 회상합니다. 여러분과 함께 화면을 살펴보겠습니다. 이 그림은 무엇을 위한 정리입니까? (메넬라우스의 정리). 정리를 명확하게 기술하십시오.

그림 1

점 A 1이 삼각형 ABC의 변 BC에 있고 점 C 1이 변 AB에 있고 점 B 1이 점 C를 넘어 변 AC의 연장선에 있다고 가정합니다. 그리고 평등한 경우에만

선생님:다음 사진을 함께 보시죠. 이 그림에 대한 정리를 공식화하십시오.

그림 2

선 AD는 삼각형 BMC의 두 변과 세 번째 변의 연장선과 교차합니다.

메넬라우스의 정리에 따르면

선 MB는 삼각형 ADC의 두 변과 세 번째 변의 연장선을 교차합니다.

메넬라우스의 정리에 따르면

선생님:그림은 어떤 정리에 해당합니까? (Ceva의 정리). 정리를 공식화하십시오.

그림 3

삼각형 ABC에서 점 A 1은 변 BC에 있고 점 B 1은 변 AC에 있고 점 C 1은 변 AB에 있습니다. 세그먼트 AA 1 , BB 1 및 CC 1은 동일한 경우에만 한 점에서 교차합니다.

III 단계. 문제 해결. (22분)

수업은 3개의 팀으로 나뉘며, 각 팀은 두 가지 다른 작업이 포함된 카드를 받습니다. 풀 시간이 주어지면 화면이 표시됩니다.<Рисунки 4-9>. 작업을 위해 기성품 도면에 따르면 팀 대표가 차례로 솔루션을 설명합니다. 각 설명 후에는 토론, 질문에 대한 답변 및 화면에서 솔루션의 정확성 확인이 이어집니다. 모든 팀원이 토론에 참여합니다. 팀이 활발할수록 종합할 때 더 높은 평가를 받습니다.

카드 1.

1. 변 BC의 삼각형 ABC에서 점 N은 NC = 3BN이 되도록 취합니다. 측면 AC의 확장에서 점 M은 점 A로 취하여 MA = AC가 됩니다. 선 MN은 점 F에서 변 AB와 교차합니다. 비율 찾기

2. 삼각형의 중선이 한 점에서 교차함을 증명하십시오.

솔루션 1

그림 4

문제의 조건에 따라 MA = AC, NC = 3BN. MA = AC = b, BN = k, NC = 3k라고 합시다. 선 MN은 삼각형 ABC의 두 변과 세 번째 삼각형의 연장선과 교차합니다.

메넬라우스의 정리에 따르면

대답:

증거 2

그림 5

AM 1 , BM 2 , CM 3 을 삼각형 ABC의 중선이라고 합시다. 이 세그먼트가 한 점에서 교차한다는 것을 증명하려면

그런 다음 (역) Ceva 정리에 의해 AM 1 , BM 2 및 CM 3 세그먼트가 한 점에서 교차합니다.

우리는 다음을 가지고 있습니다:

따라서 삼각형의 중선은 한 점에서 교차한다는 것이 증명되었습니다.

카드 2.

1. 삼각형 PQR의 변 PQ에서 점 N을 취하고 변 PR에서 점 L을 취하며 NQ = LR입니다. 세그먼트 QL과 NR의 교차점은 QL을 점 Q에서 계산하여 m:n 비율로 나눕니다.

2. 삼각형의 이등분선이 한 점에서 교차함을 증명하십시오.

솔루션 1

그림 6

NQ = LR, NA = LR =a, QF = km, LF = kn이라고 가정합니다. 선 NR은 삼각형 PQL의 두 변과 세 번째 변의 연장선과 교차합니다.

메넬라우스의 정리에 따르면

대답:

증거 2

그림 7

그것을 보여줍시다

그런 다음 (역) 세바 정리에 의해 AL 1 , BL 2 , CL 3 가 한 점에서 교차합니다. 삼각형의 이등분선의 성질에 따라

얻은 평등을 항으로 곱하면 다음을 얻습니다.

삼각형의 이등분선의 경우 Ceva의 평등이 충족되므로 한 점에서 교차합니다.

카드 3.

1. 삼각형 ABC에서 AD는 중앙값이고 점 O는 중앙값의 중점입니다. 선 BO는 점 K에서 변 AC와 교차합니다. 점 A에서 세어 점 K가 AC를 나눈 비율은 얼마입니까?

2. 원이 삼각형에 내접하는 경우 삼각형의 꼭짓점과 마주 보는 점을 연결하는 선분은 한 점에서 교차함을 증명하십시오.

솔루션 1

그림 8

BD = DC = a, AO = OD = m이라고 합시다. 선 VC는 삼각형 ADC의 두 변과 세 번째 변의 연장선을 교차합니다.

메넬라우스의 정리에 따르면

대답:

증거 2

그림 9

A 1 , B 1 및 C 1 을 삼각형 ABC의 내접원의 접선점이라고 하자. 세그먼트 AA 1 , BB 1 및 CC 1이 한 점에서 교차한다는 것을 증명하기 위해 Ceva의 평등이 성립함을 보여주는 것으로 충분합니다.

한 점에서 원으로 그린 ​​접선의 속성을 사용하여 C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z라는 표기법을 도입합니다.

Ceva의 평등이 성립하므로 삼각형의 이등분선이 한 점에서 교차합니다.

IV 단계. 문제 해결(독립 작업) (8분)

교사: 팀 작업이 끝났고 이제 2가지 옵션에 대한 개별 카드에 대한 독립적인 작업을 시작할 것입니다.

학생들의 독립적 인 작업을위한 수업 자료

옵션 1.삼각형 ABC에서 면적이 6이고 측면 AB에서 이 측면을 AK:BK = 2:3의 비율로 나누고 측면에서 AC를 나누어 점 K를 취합니다. 비율 AL:LC = 5:3. 선 СК와 BL이 교차하는 점 Q는 선 AB에서 거리를 두고 제거됩니다. 변 AB의 길이를 구하십시오. (답변: 4.)

옵션 2.삼각형 ABC의 변 AC에서 점 K를 취합니다. AK = 1, KS = 3. 점 L을 변 AB에서 취합니다. AL:L² = 2:3, Q는 선 BK와 CL의 교차점입니다. 꼭짓점 B에서 내려온 삼각형 ABC의 높이의 길이를 구합니다. (답: 1.5.)

과제는 검토를 위해 교사에게 제출됩니다.

V 무대. 수업 요약(2분)

실수가 분석되고 원래 답변과 의견이 기록됩니다. 각 팀의 작업 결과를 요약하고 점수를 부여합니다.

VI 단계. 숙제 (1분)

숙제는 11번, 12번 pp. 289-290, 10번 301번 과제로 구성되어 있습니다.

선생님의 마지막 한마디(1분).

오늘 당신은 옆에서 서로의 수학 연설을 듣고 당신의 능력을 평가했습니다. 앞으로 우리는 주제를 더 잘 이해하기 위해 그러한 토론을 사용할 것입니다. 수업의 주장은 사실과 친구, 이론과 실천의 친구였습니다. 모두 감사합니다.

문학:

1. Tkachuk V.V. 지원자를 위한 수학. – M.: MTsNMO, 2005.

— 메넬라우스 정리와 약물의 공통점은 무엇입니까?
모두가 그들에 대해 알고 있지만 아무도 그들에 대해 이야기하지 않습니다.
학생과의 일반적인 대화

이것은 아무 것도 도움이 되지 않을 것 같은 순간에 도움이 될 멋진 정리입니다. 수업에서 우리는 정리 자체를 공식화하고 사용에 대한 몇 가지 옵션을 고려하며 디저트로 가혹한 숙제가 당신을 기다립니다. 가다!

우선, 문구. 아마도 나는 정리의 가장 "아름다운"버전이 아니라 가장 이해하기 쉽고 편리한 버전을 줄 것입니다.

메넬라오스의 정리. 임의의 삼각형 $ABC$와 삼각형의 두 변을 내부적으로 교차하고 연속에서 한 변을 교차하는 일부 선 $l$를 고려하십시오. $M$, $N$ 및 $K$의 교차점을 표시해 보겠습니다.

삼각형 $ABC$ 및 시컨트 $l$

그러면 다음 관계가 참입니다.

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

주의할 점: 이 사악한 공식에서 글자의 위치를 ​​헛갈리게 하지 마십시오! 이제 문자 그대로 즉시 세 가지 분수를 모두 복원할 수 있는 알고리즘을 알려 드리겠습니다. 스트레스를 받는 시험 중에도. 새벽 3시에 기하학에 앉아 아무것도 이해하지 못하더라도. :)

계획은 간단합니다.

1. 삼각형과 시컨트를 그립니다. 예를 들어, 정리에 표시된 대로. 우리는 일부 문자로 꼭지점과 점을 지정합니다. 임의의 삼각형 $ABC$와 $M$, $N$, $K$ 또는 기타 점이 있는 직선일 수 있습니다. 그게 요점이 아닙니다.
2. 삼각형의 정점에 펜(연필, 마커, 퀼 펜)을 놓고 이 삼각형의 측면을 우회하기 시작합니다. 선과의 교차점에 대한 의무적 접근. 예를 들어, 먼저 $A$ 지점에서 $B$ 지점으로 이동하면 $AM$ 및 $MB$, $BN$ 및 $NC$, (주의!) $CK$ 및 $KA$ . 점 $K$는 변 $AC$의 연장선에 있으므로 $C$에서 $A$로 이동할 때 일시적으로 삼각형을 벗어나야 합니다.
3. 이제 우리는 인접 세그먼트를 우회 중에 얻은 순서대로 서로 정확히 나눕니다: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - 우리는 세 개의 분수를 얻습니다. 그것은 우리에게 화합을 줄 것입니다.

도면에서 다음과 같이 보일 것입니다.

그리고 댓글 몇 개. 더 정확하게는 댓글이 아니라 일반적인 질문에 대한 답변입니다.

• $l$ 선이 삼각형의 꼭짓점을 지나면 어떻게 될까요? 답: 아무것도 없습니다. 메넬라우스의 정리는 이 경우에 작동하지 않습니다.
• 다른 피크를 선택하여 시작하거나 다른 방향으로 이동하면 어떻게 됩니까? 답변: 동일할 것입니다. 그것은 단지 분수의 순서를 변경합니다.

나는 우리가 말을 옳았다고 생각한다. 이 모든 게임이 복잡한 기하학적 문제를 해결하는 데 어떻게 사용되는지 봅시다.

이 모든 것이 필요한 이유는 무엇입니까?

경고. Planimetric 문제를 풀기 위해 Menelaus 정리를 과도하게 사용하면 이 정리가 계산 속도를 크게 높이고 학교 기하학 과정의 다른 중요한 사실을 기억할 수 있기 때문에 정신에 돌이킬 수 없는 해를 끼칠 수 있습니다.

증거

증명하지 않겠습니다. :)

좋아, 내가 증명해 보자.

이제 $CT$ 세그먼트에 대해 얻은 두 값을 비교해야 합니다.

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

자, 이제 끝났습니다. 이 수식을 "빗질"하고 세그먼트 안에 문자를 올바르게 배치하면 수식이 준비됩니다. :)

AV 셰브킨

FMS № 2007

통합 국가 시험에 대한 Ceva와 Menelaus의 정리

자세한 기사 "Ceva와 Menelaus의 정리"는 당사 웹 사이트의 기사 섹션에 게시됩니다. 수학에 대한 좋은 지식을 갖고자 하는 동기가 부여된 수학 교사와 고등학생을 대상으로 합니다. 문제를 더 자세히 이해하려면 이 페이지로 돌아갈 수 있습니다. 이 노트에서는 언급된 기사의 간략한 정보를 제공하고 통합 국가 시험-2016을 준비하기 위한 컬렉션의 문제에 대한 솔루션을 분석합니다.

세바의 정리

삼각형을 주어보자 알파벳그리고 그 측면에 AB, 기원전그리고 교류포인트가 표시됩니다 씨 1 , ㅏ 1 그리고 비 1 각각(그림 1).

a) 세그먼트의 경우 AA 1 , 비비 1 및 참조 1 한 점에서 교차한 다음

b) 등식(1)이 참이면 세그먼트 AA 1 , 비비 1 및 참조 1은 한 점에서 교차합니다.

그림 1은 세그먼트가 AA 1 , 비비 1 및 참조 1 삼각형 내부의 한 점에서 교차합니다. 이른바 인테리어 포인트 케이스다. Ceva의 정리는 점 중 하나가 외부 점의 경우에도 유효합니다. 하지만 1 , 비 1 또는 에서 1은 삼각형의 변에 속하고 나머지 두 개는 삼각형의 변의 연장선에 속합니다. 이 경우 세그먼트의 교차점 AA 1 , 비비 1 및 참조 1은 삼각형 외부에 있습니다(그림 2).

Cheva의 방정식을 기억하는 방법?

평등(1)을 암기하는 방법에 주목합시다. 각 관계에서 삼각형의 꼭짓점과 관계 자체는 삼각형의 꼭짓점을 우회하는 방향으로 작성 알파벳, 점에서 시작 ㅏ. 점에서 ㅏ요점으로 이동 비, 우리는 점을 만난다 에서 1, 분수를 적어라
. 요점에서 더 나아가 에요점으로 이동 에서, 우리는 점을 만난다 하지만 1, 분수를 적어라
. 마지막으로 요점에서 에서요점으로 이동 하지만, 우리는 점을 만난다 에 1, 분수를 적어라
. 외부 포인트의 경우 세그먼트의 두 "분할 포인트"가 세그먼트 외부에 있지만 분수를 쓰는 순서는 유지됩니다. 이러한 경우, 우리는 그 점이 세그먼트를 외부적으로 분할한다고 말합니다.

삼각형의 꼭짓점과 삼각형의 반대쪽을 포함하는 선의 임의의 점을 연결하는 모든 선분을 세비아나.

내부 점의 경우에 대해 Ceva의 정리 a)의 주장을 증명하는 몇 가지 방법을 고려합시다. Ceva의 정리를 증명하려면 아래에 제안된 방법 중 하나를 사용하여 명제 a)를 증명하고 명제 b)도 증명해야 합니다. 주장 b)의 증명은 주장 a)를 증명하는 첫 번째 방법 이후에 주어진다. 외부 점의 경우에 대한 Ceva 정리의 증명도 유사한 방식으로 수행됩니다.

주장 증명 a) 비례 세그먼트에 대한 정리를 사용하는 Ceva의 정리

세 명의 cevians를 보자 ㅏㅏ 1 , 비비 1 및 씨씨 1 점에서 교차 지삼각형 내부 알파벳.

증명의 아이디어는 평등 (1)에서 세그먼트의 비율을 동일한 직선에 있는 세그먼트의 비율로 대체하는 것입니다.

점을 통해 에세비아나와 평행한 선을 긋다 봄 여름 시즌하나 . 똑바로 AA 1은 점에서 구성된 선과 교차합니다. 중, 그리고 점을 지나는 선 씨그리고 병렬 AA 1 , - 시점에서 티. 점을 통해 하지만그리고 에서세비안과 평행한 직선을 그립니다. 비비하나 . 그들은 선을 넘을 것이다 VM점에서 N그리고 아르 자형각각(그림 3).

피 비례 세그먼트에 대한 정리에 대해:

,
그리고
.

그럼 평등

.

평행 사변형에서 ZCTM그리고 ZCRB세그먼트 TM, СZ그리고 BR평행 사변형의 반대쪽과 같습니다. 따라서,
그리고 평등은 사실이다

.

주장 b)를 증명할 때 우리는 다음 주장을 사용합니다. 쌀. 삼

보조정리 1.만약 포인트 에서 1 및 에서 2 컷을 나눕니다 AB동일한 점에서 계산하여 동일한 점에서 내부(또는 외부) 이미지가 있으면 이 점이 일치합니다.

점이 다음과 같은 경우에 대한 보조정리를 증명합시다. 에서 1 및 에서 2 컷을 나눕니다 AB내부적으로 같은 점에서:
.

증거.평등에서
평등이 뒤따른다
그리고
. 마지막 조건은 다음 조건에서만 충족됩니다. 에서 1 비그리고 에서 2 비포인트는 동일합니다. 에서 1 및 에서 2경기.

다음이 포인트인 경우에 대한 보조정리 증명 에서 1 및 에서 2 컷을 나눕니다 AB외부에서도 비슷한 방식으로 수행됩니다.

주장 증명 b) Ceva의 정리

이제 평등(1)이 참이라고 하자. 세그먼트를 증명하자 AA 1 , 비비 1 및 참조 1은 한 점에서 교차합니다.

세비안을 보자 AA 1 및 비비 1 점에서 교차 지, 이 점을 지나는 선분을 그립니다. 참조 2 (에서 2 세그먼트에 거짓말 AB). 그런 다음 주장)에 따라 올바른 평등을 얻습니다.

. (2)

그리고 평등 (1)과 (2)를 비교하면 다음과 같이 결론을 내립니다.
, 즉 포인트 에서 1 및 에서 2 컷을 나눕니다 AB같은 지점에서 세어 같은 비율로. 보조 정리 1은 다음을 의미합니다. 에서 1 및 에서 2경기. 즉, 세그먼트 AA 1 , 비비 1 및 참조 1은 한 점에서 교차하며, 이는 증명되어야 했습니다.

등식 (1)을 작성하는 절차는 삼각형의 꼭짓점을 우회하는 지점과 방향에 의존하지 않음을 증명할 수 있습니다.

연습 1.세그먼트의 길이 찾기 하지만N다른 세그먼트의 길이를 보여주는 그림 4.

대답. 8.

작업 2.세비안 오전, 비엔, 씨케이삼각형 내부의 한 점에서 교차 알파벳. 태도 찾기
, 만약에
,
. 쌀. 네

대답.
.

피 우리는 기사에서 Ceva의 정리의 증거를 제시합니다. 증명의 아이디어는 평등 (1)에서 세그먼트의 비율을 평행선에있는 세그먼트의 비율로 바꾸는 것입니다.

똑바로하자 ㅏㅏ 1 , 비비 1 , 씨씨 1 점에서 교차 영형삼각형 내부 알파벳(그림 5). 상단을 통해 에서삼각형 알파벳평행선을 긋다 AB, 그리고 선과의 교차점 ㅏㅏ 1 , 비비 1은 각각 표시 ㅏ 2 , 비 2 .

두 쌍의 삼각형의 유사성에서 CB 2 비 1 그리고 씨줄 1 , 매매 1 그리고 캘리포니아 2 ㅏ 1, 그림. 5

우리는 평등을 가지고

,
. (3)

삼각형의 유사성에서 기원전 1 영형그리고 비 2 CO, ㅏ에서 1 영형그리고 ㅏ 2 CO우리는 평등을 가지고
, 그것으로부터

. (4)

피 평등 (3)과 (4)를 곱하면 평등 (1)을 얻습니다.

Ceva의 정리의 주장 a)가 증명되었습니다.

내부 점에 대한 영역의 도움으로 Ceva의 정리의 주장 증명을 고려하십시오. A.G.의 책에 나와 있습니다. Myakishev는 우리가 과제의 형태로 공식화 할 진술을 기반으로합니다. 3 그리고 4 .

작업 3.한 꼭짓점과 밑변이 같은 선 위에 있는 두 삼각형의 넓이의 비율은 두 밑변의 길이의 비율과 같습니다. 이 진술을 증명하십시오.

작업 4.이면 증명
, 그 다음에
그리고
. 쌀. 6

세그먼트를 보자 AA 1 , 비비 1 및 참조 1 점에서 교차 지(그림 6), 그 다음

,
. (5)

그리고 평등 (5) 및 작업의 두 번째 진술에서 4 그것을 따른다
또는
. 유사하게, 우리는 그것을 얻는다
그리고
. 마지막 세 등식을 곱하면 다음을 얻습니다.

,

즉, 평등(1)이 참이며 증명되어야 했습니다.

Ceva의 정리의 주장 a)가 증명되었습니다.

작업 15. cevians가 삼각형 내부의 한 점에서 교차하도록하고 면적이 다음과 같은 6 개의 삼각형으로 나눕니다. 에스 1 , 에스 2 , 에스 3 , 에스 4 , 에스 5 , 에스 6(그림 7). 그것을 증명하십시오. 쌀. 7

작업 6.지역 찾기 에스삼각형 CNZ(다른 삼각형의 영역은 그림 8에 나와 있습니다).

대답. 15.

작업 7.지역 찾기 에스삼각형 CNO삼각형의 면적이라면 하지만아니는 10이고
,
(그림 9).

대답. 30.

작업 8.지역 찾기 에스삼각형 CNO삼각형의 면적이라면 하지만기원전는 88이고 ,
(그림 9).

아르 자형 해결책., 우리는 다음을 나타냅니다.
,
. 왜냐하면 , 우리는 다음을 나타냅니다
,
. Ceva의 정리에 따르면 다음과 같습니다.
, 그리고
. 만약
, 그 다음에
(그림 10). 세 가지 미지수( 엑스, 와이 그리고 에스), 그래서 찾기 에스세 개의 방정식을 만들어 봅시다.

왜냐하면
, 그 다음에
= 88. 이후
, 그 다음에
, 어디
. 왜냐하면
, 그 다음에
.

그래서,
, 어디
. 쌀. 십

작업 9. 삼각형에서 알파벳포인트들 케이그리고 엘각각 당사자에 속한다 AB 그리고 비씨.
,
. 피 알그리고 씨케이. 삼각형의 면적 PBC같음 1. 삼각형의 면적 찾기 알파벳.

대답. 1,75.

티 메넬라오스의 정리

삼각형을 주어보자 알파벳그리고 그 측면에 교류그리고 CB포인트가 표시됩니다 비 1 및 ㅏ 1 각각, 그리고 옆에서 계속 AB표시점 씨 1(그림 11).

가) 포인트의 경우 하지만 1 , 비 1 및 에서 1 같은 줄에 누워

. (6)

b) 등식(7)이 참이면 다음 점 하지만 1 , 비 1 및 에서 1 같은 줄에 누워 있습니다. 쌀. 열하나

Menelaus의 평등을 기억하는 방법?

등식(6)을 암기하는 기술은 등식(1)과 동일합니다. 각 관계에서 삼각형의 꼭짓점과 관계 자체는 삼각형의 꼭짓점을 우회하는 방향으로 작성 알파벳- 꼭짓점에서 꼭짓점으로, 분할 지점(내부 또는 외부)을 통과합니다.

작업 10.삼각형의 임의의 꼭짓점에서 임의의 방향으로 등식 (6)을 쓸 때 동일한 결과가 얻어짐을 증명하십시오.

메넬라우스의 정리를 증명하려면 아래에 제안된 방법 중 하나를 사용하여 명제 a)를 증명하고 명제 b)도 증명해야 합니다. 주장 b)의 증명은 주장 a)를 증명하는 첫 번째 방법 이후에 주어진다.

주장의 증명 a) 비례 세그먼트에 대한 정리 사용

나방법. a) 증명의 아이디어는 동일한 세그먼트 길이의 비율 (6)을 하나의 직선에 있는 세그먼트 길이의 비율로 대체하는 것입니다.

포인트를 보자 하지만 1 , 비 1 및 에서 1 같은 줄에 누워 있습니다. 점을 통해 씨직선을 그리자 엘, 선에 평행 하지만 1 비 1, 선과 교차합니다. AB그 시점에 중(그림 12).

아르 자형
이다. 12

비례 세그먼트 정리에 따르면 다음과 같습니다.
그리고
.

그럼 평등
.

주장의 증명 b) 메넬라우스의 정리

이제 등식(6)이 참이라고 하자. 하지만 1 , 비 1 및 에서 1 같은 줄에 누워 있습니다. 똑바로하자 AB그리고 하지만 1 비 1 점에서 교차 에서 2(그림 13).

포인트부터 하지만 1 비 1 및 에서 2는 같은 줄에 놓여 있으며 메넬라우스 정리의 a) 진술에 의해

. (7)

평등 (6)과 (7)의 비교에서 우리는
, 따라서 평등은

,
,
.

마지막 평등은 조건 하에서만 참이다.
, 즉 포인트 에서 1 및 에서 2경기.

메넬라우스의 정리의 주장 b)가 증명된다. 쌀. 13

주장의 증명 a) 삼각형의 유사성 사용

증명의 아이디어는 평등 (6)에서 세그먼트 길이의 비율을 평행선에있는 세그먼트 길이의 비율로 바꾸는 것입니다.

포인트를 보자 하지만 1 , 비 1 및 에서 1 같은 줄에 누워 있습니다. 포인트에서 ㅏ, 비그리고 씨수직선을 그리다 AA 0 , 비비 0과 봄 여름 시즌이 직선에 0(그림 14).

아르 자형
이다. 십사

세 쌍의 삼각형의 유사성에서 AA 0 비 1 그리고 참조 0 비 1 , 참조 0 ㅏ 1 그리고 비비 0 ㅏ 1 , 씨 1 비 0 비그리고 씨 1 ㅏ 0 ㅏ(두 모서리에서) 우리는 올바른 평등을 가지고 있습니다

,
,
,

그것들을 곱하면 다음을 얻습니다.

.

메넬라우스의 정리의 주장 a)가 증명된다.

주장의 증거 a) 사용 영역

증명의 아이디어는 평등 (7)에서 세그먼트 길이의 비율을 삼각형 면적의 비율로 바꾸는 것입니다.

포인트를 보자 하지만 1 , 비 1 및 에서 1 같은 줄에 누워 있습니다. 점들을 이으세요 씨그리고 씨하나 . 삼각형의 면적을 나타냅니다. 에스 1 , 에스 2 , 에스 3 , 에스 4 , 에스 5(그림 15).

그럼 평등

,
,
. (8)

등식(8)을 곱하면 다음을 얻습니다.

메넬라우스의 정리의 주장 a)가 증명된다.

아르 자형
이다. 열 다섯

Cevian 교차점이 삼각형 외부에 있으면 Ceva의 정리가 유효하듯이, 시컨트가 삼각형의 변의 확장만 교차하는 경우 Menelaus의 정리는 유효합니다. 이 경우 외부 점에서 삼각형 변의 교차점에 대해 이야기 할 수 있습니다.

주장의 증거 a) 외부 포인트의 경우

피 시컨트의 입구는 삼각형의 변과 교차합니다. 알파벳외부 지점에서, 즉 측면의 확장과 교차합니다. AB,기원전그리고 교류점에서 씨 1 , ㅏ 1 및 비 1, 이 점들은 같은 직선 위에 놓여 있다(그림 16).

비례 세그먼트 정리에 따르면 다음과 같습니다.

그리고 .

그럼 평등

메넬라우스의 정리의 주장 a)가 증명된다. 쌀. 16

위의 증명은 시컨트가 삼각형의 두 변을 내부 점에서 교차하고 다른 변이 외부 점에서 교차하는 경우에 대한 메넬라우스 정리의 증명과 일치한다는 점에 유의하십시오.

외부 점의 경우에 대한 메넬라우스 정리의 주장 b)의 증명은 위에 주어진 증명과 유사합니다.

지 지옥11. 삼각형에서 알파벳포인트들 하지만 1 , 에 1 옆에 각각 누워 해그리고 ㅏ에서. 피- 세그먼트의 교차점 AA 1 그리고 비비 1 .
,
. 태도 찾기
.

해결책.나타내다
,
,
,
(그림 17). 삼각형에 대한 메넬라우스의 정리 기원전에 1 및 시컨트 아빠 1 올바른 평등을 작성하십시오.

,

그 뒤를 따를 때

. 쌀. 17

대답. .

지 지옥12 (모스크바 주립 대학, 통신 준비 과정). 삼각형에서 알파벳, 면적이 6인 측면 AB요점을 알았어 에게, 에 대해 이 쪽을 나눕니다.
, 그리고 측면에 교류- 점 엘, 나누기 교류관계에서
. 점 피 선 교차점 사우스캐롤라이나그리고 에엘 라인에서 제거 AB 1.5의 거리에서. 변의 길이 구하기 AB.

해결책.포인트에서 아르 자형그리고 에서수직선을 버리자 홍보그리고 센티미터곧장 AB. 나타내다
,
,
,
(그림 18). 삼각형에 대한 메넬라우스의 정리 AKC그리고 시컨트 PL올바른 방정식을 작성하십시오.
, 우리가 그것을 얻는 곳
,
. 쌀. 십팔

삼각형의 유사성에서 에게MC그리고 에게RP(두 모서리에서) 우리는 그것을 얻습니다
, 그 이후에
.

이제 옆으로 그어진 높이의 길이를 알면 AB삼각형 ABS, 그리고 이 삼각형의 면적, 우리는 변의 길이를 계산합니다:
.

대답. 4.

지 지옥13. 중심이 있는 세 개의 원 하지만,에,에서, 반지름은 다음과 같이 관련되어 있습니다.
, 점에서 외부적으로 서로 터치 엑스, 와이, 지그림 19와 같이 세그먼트 도끼그리고 에 의해한 점에서 교차하다 영형. 어떤 비율로 포인트에서 세어 비, 선분 시즈세그먼트를 나눕니다 에 의해?

해결책.나타내다
,
,
(그림 19). 왜냐하면
, 다음 주장 b)에 의해 Ceva의 정리, 세그먼트 하지만엑스, 에 의해그리고 에서지한 점에서 교차 영형. 그런 다음 세그먼트 시즈세그먼트를 나눕니다 에 의해관계에서
. 이 관계를 찾아보자. 쌀. 19

삼각형에 대한 메넬라우스의 정리 BCY그리고 시컨트 황소우리는 가지고 있습니다:
, 그 이후에
.

대답. .

작업 14(USE-2016).

포인트들 에 1 및 에서 교류그리고 AB삼각형 알파벳, 게다가 AB 1:비 1 에서 =
= 교류 1:에서 1 비. 직접 비비 1 그리고 봄 여름 시즌 1 한 점에서 교차하다 영형.

ㅏ ) 라인임을 증명 JSC측면을 이등분하다 해.

AB 1 OC 1 삼각형의 넓이 알파벳그것이 알려진 경우 AB 1:비 1 에서 = 1:4.

해결책. a) 라인을 보자 AO 측면을 교차 기원전 그 시점에 ㅏ 1(그림 20). Ceva의 정리에 따르면 다음이 있습니다.

. (9)

왜냐하면 AB 1:비 1 에서 = 교류 1:에서 1 비, 다음은 등식(9)에서 다음과 같습니다.
, 그건 캘리포니아 1 = 하지만 1 비, 증명할 것이었다. 쌀. 이십

b) 삼각형의 면적을 보자 AB 1 영형 와 동등하다 에스. 왜냐하면 AB 1:비 1 에서 CB 1 영형 4와 같다 에스, 그리고 삼각형의 면적 AOC 5와 같다 에스. 그런 다음 삼각형의 면적 AOB 또한 5와 같습니다 에스, 삼각형 이후 AOB 그리고 AOC공통점이 있다 AO, 그리고 그들의 정점 비그리고 씨선에서 등거리 AO. 그리고 삼각형의 면적 AOC 1 같음 에스, 왜냐하면 교류 1:에서 1 비 = 1:4. 그런 다음 삼각형의 면적 씨줄 1은 6과 같습니다. 에스. 왜냐하면 AB 1:비 1 에서= 1:4, 삼각형의 면적 CB 1 영형 같음 24 에스, 그리고 삼각형의 면적 알파벳 30과 같음 에스. 이제 사변형의 면적의 비율을 구합시다. AB 1 OC 1 (2에스) 삼각형의 면적 알파벳 (30에스), 1:15와 같습니다.

대답. 1:15.

작업 15(USE-2016).

포인트들 에 1 및 에서 1 각각 측면에 누워 교류그리고 AB삼각형 알파벳, 게다가 AB 1:비 1 에서 =
= 교류 1:에서 1 비. 직접 비비 1 그리고 봄 여름 시즌 1 한 점에서 교차하다 영형.

a) 라인이 JSC측면을 이등분하다 해.

b) 사변형의 면적의 비율을 구하십시오. AB 1 OC 1 삼각형의 넓이 알파벳그것이 알려진 경우 AB 1:비 1 에서 = 1:3.

대답. 1:10.

지 작업 16(USE-2016).세그먼트에 BD요점을 알았어 에서. 이등분 BL 알파벳베이스 포함 해 빌딩베이스 포함 BD.

a) 삼각형을 증명하십시오. DCL이등변

b) cos
알파벳 DL, 즉 삼각형 BD요점을 알았어 에서. 이등분 BL이등변 삼각형 알파벳베이스 포함 해이등변 삼각형의 측면입니다 빌딩베이스 포함 BD.

a) 삼각형을 증명하십시오. DCL이등변

b) cos 알파벳= . 어떤 식으로 직접 DL 측면을 나눕니다 AB?

대답. 4:21.

문학

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. 멋진 삼각형 점과 선. M.: 수학, 2006, 17번.

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4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva 및 Menelaus 정리. M.: Kvant, 1990, No. 3, pp. 56–59.

5. 샤리긴 I.F. Ceva와 Menelaus의 정리. 모스크바: Kvant, 1976, No. 11, pp. 22–30.

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7. 에프레모프 Dm. 새로운 삼각형 기하학. 오데사, 1902. - 334 p.

8. 수학. 일반적인 테스트 작업의 50가지 변형 / I.V. Yashchenko, MA 볼케비치, I.R. Vysotsky 및 기타; 에드. I.V. 야셴코. - M .: 출판사 "시험", 2016. - 247 p.

문제 자체에 대한 해결책은 간단합니다. 아래에서 읽을 수 있습니다. 그러나 이 기사에서 우리는 종종 생략되고 자명한 것으로 이해되는 약간 다른 점에 주로 관심을 둡니다. 그러나 분명한 것은 증명할 수 있다는 것입니다. 그리고 이것은 다양한 방법으로 증명될 ​​수 있습니다. 일반적으로 그들은 유사성의 도움으로 독점적으로 증명하지만 Menelaus의 정리의 도움으로도 가능합니다.
사다리꼴의 아래쪽 밑면의 각도를 더하면 90 °이므로 측면을 확장하면 직각 삼각형이 된다는 조건에서 따릅니다. 또한 측면 확장의 결과 교차점에서 밑면의 중간점을 통과하는 세그먼트가 그려집니다. 그리고 이 세그먼트가 이 세 점을 모두 통과하는 이유는 무엇입니까? 일반적으로 인터넷에서 찾은 문제의 솔루션에는 이에 대해 한마디도 언급되지 않습니다. 이 주장의 증거는 고사하고 4점 사다리꼴 정리에 대한 언급조차 없습니다. 한편, 3개의 점이 하나의 직선에 속해야 하는 조건인 메넬라우스 정리를 사용하여 증명할 수 있습니다.

메넬라우스의 정리에 대한 설명
이제 정리를 공식화할 시간입니다. 다양한 교과서와 매뉴얼에는 본질이 변하지 않았지만 상당히 다른 공식이 있다는 점에 유의해야합니다. 10-11학년을 위한 Atanasyan 및 기타 교과서에서 Menelaus 정리의 다음 공식이 제공되며 이를 "벡터"라고 부르겠습니다.

교과서 "기하학 10-11 학년" Alexandrov et al.과 같은 저자의 교과서 "기하학. 8 학년 "Menelaus 정리의 약간 다른 공식이 제공되며 10-11 학년과 8 학년의 경우 동일합니다.
여기에서 세 가지 언급이 필요합니다.
참고 1. 시험에서는 정확히 "마이너스 1"이 사용되는 벡터의 도움으로 만 해결해야 할 문제가 없습니다. 따라서 실제 사용을 위해 가장 편리한 공식은 실제로 세그먼트에 대한 정리의 결과입니다(굵은 글씨로 표시된 두 번째 공식). 우리의 목표는 문제를 해결하기 위해 그것을 적용하는 방법을 배우는 것이기 때문에 메넬라우스 정리에 대한 추가 연구를 위해 그것으로 제한할 것입니다.
참고 2. 모든 교과서에 세 점 A 1 , B 1 및 C 1 이 모두 삼각형의 변의 연장선(또는 삼각형의 변을 포함하는 선)에 놓일 수 있는 경우를 명확하게 규정하고 있음에도 불구하고 여러 인터넷 과외 사이트는 2개의 점이 양면에 있고 세 번째 점은 세 번째 면의 확장에 있는 경우에만 공식화됩니다. 시험에서는 첫 번째 유형의 문제만 출제되고 이 모든 점이 삼변의 연장선에 있을 때 문제가 발생할 수 없다는 사실로 인해 이것은 거의 정당화될 수 없습니다.
참고 3: 역 정리, 즉 세 점이 같은 직선 위에 놓이는 조건은 일반적으로 전혀 고려되지 않으며 일부 튜터는 역정리를 고려하지 않고 직접 정리만 다루도록 조언(???)하기까지 합니다. 한편, 역 진술의 증명은 매우 유익하며 문제 1의 해결에서 주어진 것과 유사한 진술을 증명할 수 있습니다. 역 정리를 증명하는 경험은 의심할 여지 없이 학생이 문제를 해결하는 데 실질적인 이점을 줄 것입니다.

도면 및 패턴

학생이 문제에서 메넬라우스 정리를 보고 이를 해결하는 데 사용하도록 가르치기 위해서는 특정 사례에 대한 정리 기록에 있는 그림과 패턴에 주의를 기울이는 것이 중요합니다. 그리고 정리 자체가 "순수한"형태이기 때문에. 다른 부분에 둘러싸여 있지 않으면 문제의 다양한 도형의 측면이 일반적으로 발생하지 않으므로 특정 문제에 대한 정리를 보여주는 것이 더 편리합니다. 그리고 설명으로 사진을 보여주면 다변수로 만드세요. 동시에 3 점으로 구성된 직선과 Menelaus '정리 기록과 관련된 삼각형의 세그먼트로 구성된 한 가지 색상 (예 : 빨간색)으로 강조 표시하십시오. 동시에 참여하지 않는 요소는 검은색으로 유지됩니다.

언뜻 보기에 정리의 공식이 다소 복잡하고 항상 명확하지 않은 것처럼 보일 수 있습니다. 왜냐하면 그것은 세 개의 분수를 포함하기 때문입니다. 실제로 학생이 경험이 충분하지 않으면 글쓰기에서 쉽게 실수를 할 수 있으며 결과적으로 문제를 잘못 해결할 수 있습니다. 그리고 여기에서 때때로 문제가 시작됩니다. 사실 교과서는 일반적으로 정리를 작성할 때 "돌아가는 방법"에 중점을 두지 않습니다. 정리 자체를 작성하는 규칙에 대해서는 아무 말도 없습니다. 따라서 일부 교사는 공식을 작성하는 순서대로 다른 화살표를 그리기도 합니다. 그리고 학생들에게 이 지침을 엄격하게 따르도록 요청합니다. 이것은 부분적으로 정확하지만 "우회 규칙"과 화살표를 사용하여 순수하게 기계적으로 작성하는 것보다 정리의 본질을 이해하는 것이 훨씬 더 중요합니다.
사실 '바이패스'의 논리만 이해하는 것이 중요하며, 너무 정확해서 수식을 쓰는 데 실수가 불가능하다. 두 경우 모두 a)와 b) 삼각형 AMC에 대한 공식을 씁니다.
우선, 우리는 삼각형의 꼭지점 인 세 점을 스스로 결정합니다. 우리는 이러한 점 A, M, C를 가지고 있습니다. 그런 다음 교차 선(빨간색 선)에 있는 점을 결정합니다. 이들은 B, ​​P, K입니다. 예를 들어 다음과 같이 삼각형의 상단에서 "이동"을 시작합니다. 점 C. 이 점에서 우리는 "교차점"으로 이동합니다. 예를 들어 측면 AC와 교차 선의 교차점으로 이동합니다. 이 점 K가 있습니다. 첫 번째 분수의 분자인 SK로 씁니다. 더 나아가 점 K에서 선 AC의 나머지 점으로 "이동"합니다. 점 A로 이동합니다. 첫 번째 분수의 분모에서 우리는 KA를 씁니다. 점 A도 선 AM에 속하기 때문에 선 AM의 세그먼트에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다. 그리고 여기서 다시 정점에서 시작하여 교차 선의 한 지점으로 "이동"한 다음 정점 M으로 이동합니다. BC 선에서 "자신을 찾으십시오", 우리는 이것의 세그먼트와 동일하게 수행합니다. 선. 물론 우리는 M에서 B로 "가서" 그 후에 C로 돌아갑니다. 이 "우회"는 시계 방향과 시계 반대 방향 모두에서 수행할 수 있습니다. 꼭지점에서 직선상의 한 점으로, 직선상의 한 점에서 다른 꼭지점으로의 우회 규칙을 이해하는 것만 중요합니다. 이와 같은 것은 일반적으로 분수의 곱을 작성하는 규칙으로 설명됩니다. 결과는 다음과 같습니다.
전체 "바이패스"가 기록에 반영되고 편의상 화살표로 표시된다는 사실에 주목합시다.
그러나 결과 레코드는 "순회"를 수행하지 않고 검색할 수 있습니다. 삼각형의 꼭짓점(A, M, C)과 교차하는 선(B, P, K)에 있는 점을 작성한 후 각 점에 있는 점을 나타내는 세 글자를 씁니다. 세 줄. 우리의 경우 I) B , M , C ; II) A , P , M 및 III) A , C , K . 그 후, 수식의 올바른 왼쪽 부분은 그림을 보지 않고도 순서에 상관없이 쓸 수 있습니다. 조건부로 "가운데"문자는 교차 선 (빨간색)의 점입니다. 일반적으로 "극단적" 문자는 삼각형(파란색)의 꼭짓점의 점입니다. 이런 식으로 공식을 작성할 때 "파란색" 문자(삼각형의 꼭짓점)가 분자와 분모에 한 번만 닿도록 하면 됩니다.
이 방법은 b)와 같은 경우와 자체 테스트에 특히 유용합니다.

메넬라오스의 정리. 증명
메넬라우스의 정리를 증명하는 몇 가지 다른 방법이 있습니다. 때때로 그들은 AC에 평행한 세그먼트가 점 M에서 그려지는 삼각형의 유사성을 사용하여 증명합니다(이 그림에서와 같이). 다른 사람들은 교차 선과 평행하지 않은 추가 선을 그린 다음 교차 선과 평행한 선을 사용하여 필요한 모든 세그먼트를 이 선에 "투영"하고 탈레스 정리의 일반화(즉, 비례 세그먼트에 대한 정리), 공식을 도출합니다. 그러나 아마도 그것을 증명하는 가장 간단한 방법은 교차하는 점에 평행한 점 M에서 직선을 그리는 것입니다. 메넬라우스의 정리를 이렇게 증명합시다.
주어진: 삼각형 ABC. 선 PK는 삼각형의 변과 점 B에서 변 MC의 연장선과 교차합니다.
평등이 성립함을 증명하십시오:
증거. BK에 평행한 보 MM 1을 그립니다. 메넬라우스 정리의 공식에 포함된 세그먼트가 참여하는 관계를 적어 보겠습니다. 한 경우에는 점 A에서 교차하는 선을 고려하고 다른 경우에는 점 C에서 교차하는 선을 고려하십시오. 이 방정식의 왼쪽 부분과 오른쪽 부분을 곱해 보겠습니다.

정리가 증명되었습니다.
정리는 사례 b)에 대해 유사하게 증명됩니다.

점 C에서 선 BK와 평행한 선분 CC 1을 그립니다. 메넬라우스 정리의 공식에 포함된 세그먼트가 참여하는 관계를 적어 보겠습니다. 한 경우에는 점 A에서 교차하는 선을 고려하고 다른 경우에는 점 M에서 교차하는 것으로 간주합니다. 탈레스 정리는 교차하는 두 선에서 선분의 위치에 대해 아무 말도 하지 않기 때문에 선분은 반대쪽에 위치할 수도 있습니다. 점 M. 그러므로

정리가 증명되었습니다.

이제 역정리를 증명합니다.
주어진:
점 B, P, K가 같은 선에 있음을 증명하십시오.
증거. 선 BP가 점 K와 일치하지 않는 어떤 점 K 2에서 AC와 교차한다고 하자. BP는 점 K 2를 포함하는 선이므로 방금 증명된 메넬라우스의 정리가 이에 대해 유효합니다. 그래서, 그것을 위해 우리는 씁니다
그러나 우리는 방금
점 K와 K 2는 같은 비율로 측면 AC를 공유하기 때문에 일치합니다.
경우 b)의 정리가 유사하게 증명됩니다.

메넬라우스 정리를 이용한 문제 풀기

먼저 문제 1로 돌아가서 풀어봅시다. 다시 읽어봅시다. 그림을 만들어 봅시다.

주어진 사다리꼴 ABCD. ST - 사다리꼴의 중간 선, 즉. 이 거리 중 하나. 각도 A와 D의 합은 최대 90°입니다. 우리는 측면 AB와 CD를 확장하고 교차점에서 점 K를 얻습니다. 점 K를 점 N과 연결합시다 - BC의 중간. 이제 AD 밑변의 중점인 점 P도 선 KN에 속함을 증명합시다. 삼각형 ABD와 ACD를 연속적으로 고려하십시오. 선 KP는 각 삼각형의 두 변과 교차합니다. 선 KN이 어떤 점 X에서 기본 AD와 교차한다고 가정합니다. 메넬라우스의 정리에 따르면:
삼각형 AKD는 직각이므로 빗변 AD의 중점인 점 P는 A, D, K에서 등거리에 있습니다. 마찬가지로 점 N은 점 B, C, K에서 등거리에 있습니다. 여기서 한 밑수는 36이고 다른 밑수는 2입니다.
해결책. 삼각형 BCD를 고려하십시오. 이것은 광선 AX와 교차하며, 여기서 X는 이 광선과 BC 변의 연장선의 교차점입니다. 메넬라우스의 정리에 따르면:
(1)을 (2)에 대입하면 다음을 얻습니다.

해결책. S 1 , S 2 , S 3 및 S 4 를 각각 삼각형 AOB, AOM, BOK 및 사변형 MOKC의 면적이라고 합시다.

BM이 중앙값이므로 S ABM = S BMC 입니다.
따라서 S 1 + S 2 = S 3 + S 4 입니다.
면적 S 1 과 S 4 의 비율을 찾아야 하므로 방정식의 양변을 S 4로 나눕니다.
이 값을 공식 (1)에 대입합시다. Menelaus의 정리에 따라 시컨트 AK가 있는 삼각형 BMC에서 다음을 얻습니다. 메넬라우스 정리에 따라 시컨트 BM이 있는 삼각형 AKC에서 다음을 얻습니다. 필요한 모든 비율은 k로 표시되며 이제 이를 식 (2)로 대체할 수 있습니다.
메넬라우스 정리를 사용하여 이 문제에 대한 솔루션이 페이지에서 고려됩니다.

수학 선생님의 메모.이 문제에 메넬라우스 정리를 적용하면 이 방법이 시험 시간을 크게 절약할 수 있습니다. 이 과제는 9학년(2019)에 대한 고등 경제 학교의 lyceum 입학 시험의 데모 버전에서 제공됩니다.

© 모스크바의 수학 교사 Alexander Anatolyevich, 8-968-423-9589.

스스로 결정

1) 작업이 더 쉽습니다. 점 M은 삼각형 ABC의 중앙값 BD에 표시되어 BM: MD = m: n이 됩니다. 선 AM은 점 K에서 변 BC와 교차합니다.
BK:KC 비율을 찾으십시오.
2) 작업이 더 어렵습니다. 평행 사변형 ABCD의 각 A의 이등분선은 점 P에서 변 BC와 교차하고 점 T에서 대각선 BD와 교차합니다. AB: AD = k(0 3) 작업 번호 26 OGE. 삼각형 ABC에서 이등분선 BE와 중앙값 AD는 수직이고 길이는 36과 같습니다. 삼각형 ABC의 변을 찾으십시오.
수학 선생님 힌트.인터넷에는 추가 구성의 도움으로 그러한 문제에 대한 해결책이 있으며 그 다음에는 유사성 또는 영역 찾기, 그리고 그 후에야 삼각형의 측면이 있습니다. 저것들. 이 두 가지 방법 모두 추가 구성이 필요합니다. 그러나 이러한 문제를 이등분선 성질과 메넬라우스 정리를 이용하여 풀기 위해서는 추가적인 구성이 필요하지 않다. 훨씬 간단하고 합리적입니다.