방정식 직접 온라인 계산기. 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식, 예, 해

직선이 점 M 1 (x 1; y 1)과 M 2 (x 2; y 2)를 통과하도록 합니다. 점을 통과하는 직선의 방정식 미디엄 1 형식은 y- y 1 \u003d 케이 (x - x 1), (10.6)

어디 케이 - 아직 알려지지 않은 계수.

직선이 점 M 2 (x 2 y 2)를 통과하기 때문에 이 점의 좌표는 방정식 (10.6)을 충족해야 합니다. y 2 -y 1 \u003d 케이 (x 2 -x 1).

여기에서 찾은 값을 대체합니다. 케이 방정식 (10.6)으로 점 M 1과 M 2를 통과하는 직선의 방정식을 얻습니다.

이 방정식에서 x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2라고 가정합니다.

x 1 \u003d x 2이면 점 M 1 (x 1, y I) 및 M 2 (x 2, y 2)를 통과하는 직선은 y 축과 평행합니다. 그 방정식은 엑스 = 엑스 1 .

y 2 \u003d y I이면 직선의 방정식은 y \u003d y 1로 쓸 수 있으며 직선 M 1 M 2는 x 축에 평행합니다.

세그먼트의 직선 방정식

직선이 점 M 1 (a; 0)에서 Ox 축과 교차하고 Oy 축-점 M 2 (0; b)에서 교차하도록하십시오. 방정식은 다음 형식을 취합니다.
저것들.
. 이 방정식은 세그먼트의 직선 방정식 숫자 a와 b는 좌표축에서 직선이 잘리는 세그먼트를 나타냅니다..

주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식

주어진 0이 아닌 벡터 n = (A; B)에 수직인 주어진 점 Mo (x O; y o)를 통과하는 직선의 방정식을 찾아봅시다.

임의의 점 미디엄(x; y) 직선에서 벡터 M 0 M (x - x 0; y - y o)를 고려하십시오(그림 1 참조). 벡터 n과 M o M은 수직이므로 스칼라 곱은 0입니다. 즉,

A(x - xo) + B(y - 요) = 0. (10.8)

방정식 (10.8)은 주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식 .

선에 수직인 벡터 n = (A; B)를 법선이라고 합니다. 이 선의 법선 벡터 .

방정식 (10.8)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 아 + 우 + C = 0 , (10.9)

여기서 A와 B는 법선 벡터의 좌표이며 C \u003d -Ax o - Vu o - 자유 멤버입니다. 방정식 (10.9) 는 직선의 일반 방정식(그림 2 참조).

그림 1 그림 2

직선의 정식 방정식

어디
는 직선이 통과하는 점의 좌표이고,
- 방향 벡터.

2차 원의 곡선

원은 중심이라고 하는 주어진 점에서 등거리에 있는 평면의 모든 점의 집합입니다.

반지름 원의 정식 방정식 아르 자형 점을 중심으로
:

특히 말뚝의 중심이 원점과 일치하면 방정식은 다음과 같습니다.

타원

타원은 평면에 있는 점들의 집합으로 각 점에서 주어진 두 점까지의 거리의 합입니다. 그리고 초점이라고 하는 는 상수 값입니다.
, 초점 사이의 거리보다 큰
.

초점이 Ox 축에 있고 원점이 초점 사이의 중간에 있는 타원의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
G 드ㅏ 주요 반축의 길이;비 부 반축의 길이입니다(그림 2).

타원 매개변수 간의 관계
그리고 비율로 표현됩니다.

(4)

타원 편심상호 초점 거리 비율이라고 함2초장축으로2a:

교장선생님 타원은 y축에 평행한 직선이라고 하며 이 축에서 멀리 떨어져 있습니다. Directrix 방정식:
.

타원 방정식의 경우
이면 타원의 초점은 y축에 있습니다.

그래서,

이 기사는 평면의 직선 방정식에 대한 주제를 계속합니다. 직선의 일반 방정식과 같은 유형의 방정식을 고려하십시오. 정리를 정의하고 그 증명을 제시해 봅시다. 직선의 불완전한 일반 방정식이 무엇이며 일반 방정식에서 다른 유형의 직선 방정식으로 전환하는 방법을 알아 봅시다. 우리는 전체 이론을 삽화와 실제 문제 해결로 통합할 것입니다.

직각좌표계 O x y가 평면에 주어진다고 하자.

정리 1

A x + B y + C \u003d 0 형식을 갖는 1 차 방정식은 A, B, C가 실수입니다 (A와 B는 동시에 0이 아님). 평면의 직교 좌표계. 차례로 평면의 직각 좌표계의 모든 선은 A, B, C 값의 특정 집합에 대해 A x + B y + C = 0 형식의 방정식에 의해 결정됩니다.

증거

이 정리는 두 가지 점으로 구성되어 있으며 각각을 증명할 것입니다.

방정식 A x + B y + C = 0이 평면 위의 선을 정의한다는 것을 증명해 봅시다.

좌표가 방정식 A x + B y + C = 0에 해당하는 점 M 0 (x 0 , y 0)이 있다고 가정합니다. 따라서: A x 0 + B y 0 + C = 0 . 방정식 A x + B y + C \u003d 0의 왼쪽과 오른쪽에서 방정식 A x 0 + B y 0 + C \u003d 0의 왼쪽과 오른쪽을 빼면 A와 같은 새로운 방정식을 얻습니다. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0 과 동일합니다.

결과 방정식 A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0은 벡터 n → = (A, B) 및 M 0 M → = (x - x의 수직성에 대한 필요충분조건입니다. 0, y - y 0 ) . 따라서 점 세트 M (x, y)는 직각 좌표계에서 벡터 n → = (A, B) 방향에 수직인 직선을 정의합니다. 그렇지 않다고 가정할 수 있지만 벡터 n → = (A, B) 및 M 0 M → = (x - x 0, y - y 0)은 수직이 아니며 평등 A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0은 참이 아닙니다.

따라서 방정식 A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0은 평면의 직교 좌표계에서 일부 선을 정의하므로 등가 방정식 A x + B y + C \u003d 0은 정의합니다. 같은 줄. 따라서 우리는 정리의 첫 번째 부분을 증명했습니다.

평면의 직각 좌표계에서 모든 직선이 1차 방정식 A x + B y + C = 0으로 주어질 수 있음을 증명해 보겠습니다.

평면의 직교 좌표계에 직선 a를 설정합시다. 이 선이 통과하는 점 M 0 (x 0 , y 0) 뿐만 아니라 이 선의 법선 벡터 n → = (A , B) .

선의 부동 소수점인 점 M(x, y)도 존재한다고 하자. 이 경우 벡터 n → = (A , B) 및 M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0)은 서로 수직이며 스칼라 곱은 0입니다.

n → , M 0 M → = A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0

방정식 A x + B y - A x 0 - B 0 = 0 을 다시 작성하고 C: C = - A x 0 - B y 0 을 정의하고 마지막으로 방정식 A x + B y + C = 0 을 얻습니다.

그래서 우리는 정리의 두 번째 부분을 증명했고 정리 전체를 전체적으로 증명했습니다.

정의 1

다음과 같은 방정식 A x + B Y + C = 0 - 이것 직선의 일반 방정식직각 좌표계의 평면에서옥시.

증명된 정리를 바탕으로 우리는 고정된 직각 좌표계에서 평면에 주어진 직선과 그 일반 방정식이 불가분의 관계에 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 원래 라인은 일반 방정식에 해당합니다. 직선의 일반 방정식은 주어진 직선에 해당합니다.

또한 변수 x와 y에 대한 계수 A와 B는 직선 A x + B y + C = 0 .

직선의 일반 방정식의 특정 예를 고려하십시오.

주어진 직교 좌표계에서 직선에 해당하는 방정식 2 x + 3 y - 2 = 0이 주어집니다. 이 선의 법선 벡터는 벡터입니다. n → = (2 , 3) . 도면에 주어진 직선을 그립니다.

다음과 같이 주장 할 수도 있습니다. 주어진 직선의 모든 점 좌표가이 방정식에 해당하기 때문에 그림에서 보는 직선은 일반 방정식 2 x + 3 y-2 = 0에 의해 결정됩니다.

일반 직선 방정식의 양변에 0이 아닌 숫자 λ를 곱하여 방정식 λ · A x + λ · B y + λ · C = 0을 얻을 수 있습니다. 결과 방정식은 원래 일반 방정식과 동일하므로 평면에서 동일한 선을 설명합니다.

정의 2

직선의 일반방정식 완성-숫자 A, B, C가 0이 아닌 라인 A x + B y + C \u003d 0의 일반 방정식. 그렇지 않으면 방정식은 다음과 같습니다. 불완전한.

직선의 불완전한 일반 방정식의 모든 변형을 분석해 봅시다.

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0이면 일반 방정식은 B y + C \u003d 0이 됩니다. 이러한 불완전한 일반 방정식은 O x 축에 평행한 직교 좌표계 O x y에서 직선을 정의합니다. -씨비. 즉, A x + B y + C \u003d 0 라인의 일반 방정식은 A \u003d 0, B ≠ 0 일 때 좌표가 같은 숫자 인 점 (x, y)의 궤적을 정의합니다. -씨비.
A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0이면 일반 방정식은 y \u003d 0이 됩니다. 이러한 불완전한 방정식은 x축 O x 를 정의합니다.
A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0이면 불완전한 일반 방정식 A x + C \u003d 0을 얻어 y축에 평행한 직선을 정의합니다.
A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0이면 불완전한 일반 방정식은 x \u003d 0 형식을 취하고 이것은 좌표선 O y의 방정식입니다.
마지막으로 A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0일 때 불완전한 일반 방정식은 A x + B y \u003d 0의 형식을 취합니다. 그리고 이 방정식은 원점을 지나는 직선을 나타냅니다. 실제로 숫자 쌍(0 , 0)은 A · 0 + B · 0 = 0이므로 A x + B y = 0 등식에 해당합니다.

직선의 불완전한 일반 방정식의 위의 모든 유형을 그래픽으로 설명하겠습니다.

예 1

주어진 직선은 y축에 평행하고 점 2 7 , - 11 을 통과하는 것으로 알려져 있습니다. 주어진 직선의 일반 방정식을 작성하는 것이 필요합니다.

해결책

y 축에 평행한 직선은 A x + C \u003d 0 형식의 방정식으로 제공되며 여기서 A ≠ 0입니다. 조건은 또한 선이 통과하는 점의 좌표를 지정하며, 이 점의 좌표는 불완전한 일반 방정식 A x + C = 0의 조건에 해당합니다. 평등이 맞습니다.

에이 2 7 + 씨 = 0

예를 들어 A = 7 과 같이 A에 0이 아닌 값을 지정하여 C를 결정할 수 있습니다. 이 경우 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2를 얻습니다. 우리는 계수 A와 C를 모두 알고 있으며 방정식 A x + C = 0으로 대체하고 필요한 라인 방정식을 얻습니다. 7 x - 2 = 0

답변: 7 x - 2 = 0

예 2

그림은 직선을 보여줍니다. 방정식을 적어 둘 필요가 있습니다.

해결책

주어진 도면을 통해 문제 해결을 위한 초기 데이터를 쉽게 얻을 수 있습니다. 그림에서 주어진 선이 O x 축과 평행하고 점 (0 , 3) 을 통과하는 것을 볼 수 있습니다.

가로 좌표에 평행한 직선은 불완전한 일반 방정식 B y + С = 0에 의해 결정됩니다. B와 C의 값을 찾으십시오. 주어진 직선이 통과하기 때문에 점 (0, 3)의 좌표는 직선 B의 방정식을 만족합니다. y + С = 0이면 평등이 유효합니다 : В · 3 + С = 0. B를 0이 아닌 다른 값으로 설정해 봅시다. 이 경우 평등 B · 3 + C \u003d 0에서 B \u003d 1이라고 가정하면 C : C \u003d-3을 찾을 수 있습니다. B와 C의 알려진 값을 사용하여 필요한 직선 방정식을 얻습니다. y - 3 = 0.

답변: y - 3 = 0 .

평면의 주어진 점을 통과하는 직선의 일반 방정식

주어진 선이 점 M 0 (x 0, y 0)을 통과하면 그 좌표는 선의 일반 방정식, 즉 평등은 참입니다: A x 0 + B y 0 + C = 0 . 직선의 일반완전방정식의 좌변과 우변에서 이 방정식의 좌변과 우변을 뺀다. A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, 이 방정식은 원래 일반 방정식과 동일하며 점을 통과합니다. M 0 (x 0, y 0) 그리고 법선 벡터 n → \u003d (A, B) .

우리가 얻은 결과는 직선의 법선 벡터의 알려진 좌표와 이 직선의 특정 지점의 좌표에 대해 직선의 일반 방정식을 작성할 수 있게 합니다.

예 3

직선이 통과하는 점 M 0(-3, 4)와 이 직선의 법선 벡터가 주어지면 n → = (1 , - 2) . 주어진 직선의 방정식을 쓸 필요가 있습니다.

해결책

초기 조건을 통해 A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4 방정식을 컴파일하는 데 필요한 데이터를 얻을 수 있습니다. 그 다음에:

A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0 ⇔ 1(x - (- 3)) - 2 y(y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

문제는 다르게 해결되었을 수 있습니다. 직선의 일반 방정식은 A x + B y + C = 0 형식입니다. 주어진 법선 벡터를 사용하면 계수 A 및 B의 값을 얻을 수 있습니다. 그런 다음:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2y + C = 0 ⇔ x - 2y + C = 0

이제 문제의 조건으로 주어지는 점 M 0 (- 3, 4)를 이용하여 선이 통과하는 C의 값을 구해 봅시다. 이 점의 좌표는 x - 2 · y + C = 0 방정식에 해당합니다. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. 따라서 C = 11입니다. 필요한 직선 방정식의 형식은 x - 2 · y + 11 = 0 입니다.

답변: x - 2y + 11 = 0 .

예 4

직선 2 3 x - y - 1 2 = 0과 이 직선 위에 놓인 점 M 0이 주어집니다. 이 점의 가로 좌표만 알려져 있으며 -3과 같습니다. 주어진 점의 좌표를 결정할 필요가 있습니다.

해결책

점 M 0 의 좌표 지정을 x 0 및 y 0 으로 설정합시다. 초기 데이터는 x 0 \u003d - 3임을 나타냅니다. 점이 주어진 선에 속하기 때문에 그 좌표는 이 선의 일반 방정식에 해당합니다. 그러면 다음과 같은 평등이 성립합니다.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 정의: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

답변: - 5 2

직선의 일반 방정식에서 다른 유형의 직선 방정식으로 또는 그 반대로 전환

우리가 알고 있듯이 평면에서 같은 직선의 방정식에는 여러 가지 유형이 있습니다. 방정식 유형의 선택은 문제의 조건에 따라 다릅니다. 솔루션에 더 편리한 것을 선택할 수 있습니다. 이것은 한 종류의 방정식을 다른 종류의 방정식으로 변환하는 기술이 매우 유용한 곳입니다.

먼저 A x + B y + C = 0 형식의 일반 방정식에서 표준 방정식 x - x 1 a x = y - y 1 a y로의 전환을 고려하십시오.

A ≠ 0이면 항 B y를 일반 방정식의 우변으로 옮깁니다. 왼쪽에서 괄호에서 A를 꺼냅니다. 결과적으로 다음을 얻습니다. A x + C A = - B y .

이 평등은 비율로 쓸 수 있습니다: x + C A - B = y A .

B ≠ 0이면 일반 방정식의 왼쪽에 A x라는 용어 만 남겨두고 나머지는 오른쪽으로 옮기면 A x \u003d - B y - C가됩니다. 괄호에서 -B를 꺼낸 다음 A x \u003d - B y + C B입니다.

평등을 비율로 다시 작성해 봅시다: x - B = y + C B A .

물론 결과 공식을 외울 필요는 없습니다. 일반 방정식에서 정식 방정식으로 전환하는 동안 동작 알고리즘을 아는 것으로 충분합니다.

실시예 5

라인 3 y - 4 = 0의 일반 방정식이 제공됩니다. 표준 방정식으로 변환해야 합니다.

해결책

원래 방정식을 3 y - 4 = 0 으로 씁니다. 다음으로 알고리즘에 따라 행동합니다. 용어 0 x는 왼쪽에 남아 있습니다. 오른쪽에는 괄호에서 3 개를 꺼냅니다. 우리는 다음을 얻습니다: 0 x = - 3 y - 4 3 .

결과 평등을 비율로 작성해 봅시다: x - 3 = y - 4 3 0 . 따라서 정식 형식의 방정식을 얻었습니다.

답: x - 3 = y - 4 3 0.

직선의 일반 방정식을 파라메트릭 방정식으로 변환하려면 먼저 정규 형식으로 전환한 다음 직선의 정규 방정식에서 파라메트릭 방정식으로 전환합니다.

실시예 6

직선은 방정식 2 x - 5 y - 1 = 0으로 제공됩니다. 이 선의 파라메트릭 방정식을 적어 두십시오.

해결책

일반 방정식에서 정식 방정식으로 전환해 보겠습니다.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

이제 결과 정식 방정식의 두 부분을 λ와 동일하게 취한 다음:

x 5 = λ y + 15 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

답변:x = 5 λ y = - 15 + 2 λ , λ ∈ R

일반 방정식은 기울기가 y = k x + b인 직선 방정식으로 변환할 수 있지만 B ≠ 0인 경우에만 가능합니다. 왼쪽 전환의 경우 By 용어를 그대로 두고 나머지는 오른쪽으로 전송됩니다. 우리는 다음을 얻습니다. B y = - A x - C . 결과 평등의 두 부분을 0이 아닌 B로 나눕니다: y = - A B x - C B .

실시예 7

직선의 일반 방정식은 다음과 같습니다. 2 x + 7 y = 0 . 해당 방정식을 기울기 방정식으로 변환해야 합니다.

해결책

알고리즘에 따라 필요한 작업을 수행해 보겠습니다.

2x + 7y = 0 ⇔ 7y - 2x ⇔ y = - 27x

답변: y = -27x .

직선의 일반 방정식에서 x a + y b \u003d 1 형식의 세그먼트에서 방정식을 얻는 것으로 충분합니다. 이러한 전환을 위해 숫자 C를 평등의 오른쪽으로 옮기고 결과 평등의 두 부분을 - С로 나눈 다음 마지막으로 변수 x 및 y의 계수를 분모로 옮깁니다.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

실시예 8

직선 x - 7 y + 1 2 = 0의 일반 방정식을 세그먼트의 직선 방정식으로 변환해야 합니다.

해결책

1 2 를 오른쪽으로 옮깁니다: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

방정식의 양변을 -1/2로 나눕니다: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

답변: x - 12 + y114 = 1 .

일반적으로 다른 유형의 방정식에서 일반 방정식으로의 역전이도 쉽습니다.

선분의 직선 방정식과 기울기가 있는 방정식은 방정식의 왼쪽에 있는 모든 항을 모으기만 하면 일반 방정식으로 쉽게 변환할 수 있습니다.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

정식 방정식은 다음 체계에 따라 일반 방정식으로 변환됩니다.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

파라 메트릭에서 전달하려면 먼저 표준으로 전환 한 다음 일반으로 전환합니다.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

실시예 9

직선 x = - 1 + 2 · λ y = 4의 파라메트릭 방정식이 주어집니다. 이 선의 일반 방정식을 적어 둘 필요가 있습니다.

해결책

파라메트릭 방정식에서 표준 방정식으로 전환해 보겠습니다.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 12 λ = y - 40 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

표준에서 일반으로 이동해 보겠습니다.

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

답변: y - 4 = 0

실시예 10

세그먼트 x 3 + y 1 2 = 1의 직선 방정식이 제공됩니다. 방정식의 일반 형식으로의 전환을 수행할 필요가 있습니다.

해결책:

방정식을 필요한 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

답변: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

직선의 일반 방정식 그리기

위에서 우리는 법선 벡터의 알려진 좌표와 선이 통과하는 점의 좌표로 일반 방정식을 작성할 수 있다고 말했습니다. 이러한 직선은 방정식 A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0으로 정의됩니다. 같은 곳에서 해당 예제를 분석했습니다.

이제 먼저 법선 벡터의 좌표를 결정해야 하는 보다 복잡한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 11

직선 2 x - 3 y + 3 3 = 0 에 평행한 직선이 주어집니다. 주어진 직선이 통과하는 점 M 0 (4 , 1)도 알려져 있습니다. 주어진 직선의 방정식을 쓸 필요가 있습니다.

해결책

초기 조건은 선이 평행하다는 것을 알려주는 반면, 방정식을 작성해야 하는 선의 법선 벡터로 선의 방향 벡터를 취합니다. n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. 이제 우리는 직선의 일반 방정식을 구성하는 데 필요한 모든 데이터를 알고 있습니다.

A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0 ⇔ 2(x - 4) - 3(y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

답변: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

실시예 12

주어진 직선은 직선 x - 2 3 = y + 4 5 에 수직인 원점을 통과합니다. 주어진 직선의 일반 방정식을 쓸 필요가 있습니다.

해결책

주어진 선의 법선 벡터는 x - 2 3 = y + 4 5 선의 방향 벡터가 됩니다.

그런 다음 n → = (3 , 5) . 직선은 원점을 통과합니다. 점 O(0, 0)을 통해 . 주어진 직선의 일반 방정식을 작성해 봅시다.

A(x - x 0) + B(y - y 0) = 0 ⇔ 3(x - 0) + 5(y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

답변: 3x + 5y = 0 .

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이 기사를 받았습니다 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식평면의 직각 데카르트 좌표계와 3차원 공간의 직교 좌표계에서 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식. 이론 발표 후에는 직선의 두 점 좌표를 알고 있을 때 다양한 형태의 직선 방정식을 구성해야 하는 대표적인 예와 문제의 해법을 제시한다.

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평면 위의 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식.

평면의 직교 좌표계에서 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 얻기 전에 몇 가지 사실을 상기해 봅시다.

기하학의 공리 중 하나는 평면에서 일치하지 않는 두 점을 통해 하나의 직선을 그릴 수 있다고 말합니다. 즉, 평면에 두 점을 지정하여 이 두 점을 통과하는 직선을 고유하게 결정합니다(필요한 경우 평면에 직선을 지정하는 방법 섹션 참조).

Oxy를 비행기에 고정시키십시오. 이 좌표계에서 모든 직선은 평면의 직선 방정식에 해당합니다. 선의 방향 벡터는 같은 선과 불가분의 관계에 있습니다. 이 지식은 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 구성하기에 충분합니다.

문제의 조건을 공식화해 봅시다. 직선의 방정식을 작성합니다.

이 문제에 대한 가장 단순하고 보편적인 해결책을 보여드리겠습니다.

우리는 형태의 평면에 있는 직선의 정규 방정식이 점을 통과하고 방향 벡터를 갖는 Oxy 직사각형 좌표계에서 직선을 정의합니다.

주어진 두 점을 지나는 직선 a와 의 정준방정식을 써 봅시다.

분명히 점 M 1과 M 2를 통과하는 직선 a의 방향 벡터는 벡터이며 좌표를 갖습니다. (필요한 경우 기사 참조). 따라서 직선 a의 표준 방정식 - 방향 벡터의 좌표를 작성하는 데 필요한 모든 데이터가 있습니다. 그리고 그 위에 놓인 점의 좌표(및 ). 처럼 보인다 (또는 ).

우리는 또한 두 점을 통과하는 평면에 직선의 파라메트릭 방정식을 쓸 수 있습니다. 그들은 처럼 보인다 또는 .

예시 솔루션을 살펴보겠습니다.

예.

주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 쓰시오. .

해결책.

우리는 좌표가 있는 두 점을 통과하는 직선의 정규 방정식이 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 알아냈습니다. .

우리가 가지고 있는 문제의 상태로부터 . 이 데이터를 방정식에 대입하십시오. . 우리는 얻는다 .

답변:

직선의 정규 방정식이 필요하지 않고 주어진 두 점을 통과하는 직선의 매개 방정식이 필요하지 않고 다른 종류의 직선 방정식이 필요한 경우 직선의 정규 방정식에서 항상 다음을 얻을 수 있습니다. 그것에.

예.

평면의 직교 좌표계 Oxy에서 두 점을 통과하는 직선의 일반 방정식을 작성하십시오.

해결책.

먼저 주어진 두 점을 통과하는 직선의 표준 방정식을 작성합니다. . 이제 결과 방정식을 필요한 형식으로 가져옵니다. .

답변:

이에 평면 위의 직교좌표계에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식으로 마무리할 수 있다. 그러나 고등학교 대수 수업에서 그러한 문제를 어떻게 해결했는지 상기시켜 드리고 싶습니다.

학교에서 우리는 기울기가 있는 직선의 방정식만 알고 있었습니다. 기울기 계수의 값을 찾아 봅시다 k 숫자 b , 방정식이 직교 좌표계에서 정의하는 옥시 평면에서 점을 통과하는 직선 과 에서 . (x 1 \u003d x 2이면 직선의 기울기는 무한하고 직선 M 1 M 2는 x-x 1 \u003d 0 형식의 직선의 일반 불완전 방정식을 결정합니다).

점 M 1과 M 2가 직선 위에 있기 때문에 이들 점의 좌표는 직선 방정식, 즉 등식을 만족하고 유효합니다. 형식의 방정식 시스템 풀기 알 수 없는 변수 k 및 b와 관련하여 다음을 찾습니다. 또는 . k와 b의 이러한 값에 대해 두 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 또는 .

이 수식을 암기하는 것은 의미가 없으며 예제를 풀 때 표시된 작업을 반복하는 것이 더 쉽습니다.

예.

이 직선이 점을 통과하면 기울기가 있는 직선의 방정식을 작성하고 .

해결책.

일반적으로 기울기가 있는 직선의 방정식은 . 방정식이 두 점을 통과하는 직선에 해당하는 k와 b를 찾으십시오.

점 M 1과 M 2가 직선에 있기 때문에 좌표는 직선의 방정식을 만족합니다. 즉, 등식은 참입니다. 그리고 . k와 b의 값은 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다. (필요한 경우 기사 참조):

찾은 값을 방정식으로 대체하는 것이 남아 있습니다. 따라서 두 점을 통과하는 직선의 원하는 방정식은 .

엄청난 작업이죠?

두 점을 지나는 직선의 정식 방정식을 작성하는 것이 훨씬 쉽고 다음과 같은 형식을 갖습니다. , 그리고 그것으로부터 기울기가 있는 직선의 방정식으로 이동합니다: .

답변:

3차원 공간에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식.

3차원 공간에 직교좌표계 Oxyz를 고정하고, 일치하지 않는 두 점을 부여하자 그리고 직선 M 1 M 2가 통과합니다. 이 라인의 방정식을 얻습니다.

우리는 형식의 공간에 있는 선의 표준 방정식을 알고 있습니다. 형태의 공간에서 직선의 파라메트릭 방정식 Oxyz 직사각형 좌표계에서 좌표가 있는 점을 통과하고 방향 벡터를 갖는 직선을 정의합니다. .

직선 M 1 M 2의 방향 벡터는 벡터이고 이 직선은 점을 통과합니다. (그리고 ), 이 라인의 정식 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다(또는 ), 파라메트릭 방정식 - (또는 ).

두 교차 평면의 방정식을 사용하여 직선 M 1 M 2를 설정해야 하는 경우 먼저 두 점을 통과하는 직선의 표준 방정식을 구성해야 합니다. 그리고 , 그리고 이러한 방정식에서 원하는 평면 방정식을 얻습니다.

서지.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. 기하학. 7-9학년: 교육 기관용 교과서.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. 기하학. 고등학교 10~11학년 교과서.
Pogorelov A.V., 기하학. 교육 기관의 7-11학년 교과서.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. 고등 수학. 볼륨 1: 선형 대수 및 분석 기하학의 요소.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. 분석 기하학.

유클리드 기하학에서 직선의 성질.

모든 점을 통해 그릴 수 있는 선은 무한히 많습니다.

일치하지 않는 두 점을 지나는 직선은 하나뿐입니다.

평면에서 일치하지 않는 두 직선은 한 점에서 교차하거나

병렬(이전 항목에서 이어짐).

3차원 공간에는 두 선의 상대 위치에 대한 세 가지 옵션이 있습니다.

선이 교차합니다.

직선은 평행하다.

직선이 교차합니다.

똑바로 선- 1차 대수 곡선: 데카르트 좌표계에서 직선

1차 방정식(선형 방정식)에 의해 평면에 주어집니다.

직선의 일반 방정식.

정의. 평면의 모든 선은 1차 방정식으로 주어질 수 있습니다.

아 + 우 + C = 0,

상수 A, B동시에 0이 아닙니다. 이 1차 방정식은 일반적인

직선 방정식.상수 값에 따라 A, B그리고 와 함께다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- 원점을 지나는 선

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- 축에 평행한 직선 오

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- 축에 평행한 직선 OU

. B = C = 0, A ≠ 0- 선이 축과 일치합니다. OU

. A = C = 0, B ≠ 0- 선이 축과 일치합니다. 오

직선의 방정식은 주어진 조건에 따라 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

초기 조건.

점과 법선 벡터에 의한 직선의 방정식.

정의. 데카르트 직교 좌표계에서 구성 요소 (A, B)가 있는 벡터

방정식에 의해 주어진 선에 수직

아 + 우 + C = 0.

예. 한 점을 지나는 직선의 방정식 구하기 A(1, 2)벡터에 수직 (3, -1).

해결책. A \u003d 3 및 B \u003d -1에서 직선의 방정식을 작성합시다 : 3x-y + C \u003d 0. 계수 C를 찾으려면

주어진 점 A의 좌표를 결과 표현식으로 대체합니다. 3 - 2 + C = 0을 얻습니다.

씨 = -1. 합계: 원하는 방정식: 3x - y - 1 \u003d 0.

두 점을 지나는 직선의 방정식.

공간에 두 점이 주어 지도록하십시오 M1(x1, y1, z1)그리고 M2(x2, y2, z2),그 다음에 직선 방정식,

다음 지점을 통과합니다.

분모 중 하나라도 0이면 해당 분자를 0으로 설정해야 합니다. ~에

평면에서 위에 쓰여진 직선의 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다.

만약에 엑스 1 ≠ 엑스 2그리고 엑스 = 엑스 1, 만약에 엑스 1 = 엑스 2 .

분수 = 케이~라고 불리는 기울기 계수 똑바로.

예. 점 A(1, 2)와 B(3, 4)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. 위 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

점과 기울기에 의한 직선의 방정식.

직선의 일반방정식이라면 아 + 우 + C = 0다음 양식을 가져오십시오.

그리고 지정 , 그러면 결과 방정식이 호출됩니다.

기울기가 k인 직선의 방정식.

점 위의 직선과 방향 벡터의 방정식.

법선 벡터를 통과하는 직선의 방정식을 고려하여 점과 유추하여 작업을 입력할 수 있습니다.

한 점을 지나는 직선과 직선의 방향 벡터.

정의. 0이 아닌 모든 벡터 (α1, α2), 그 구성요소가 조건을 만족하는

Aα1 + Bα2 = 0~라고 불리는 직선의 방향 벡터.

아 + 우 + C = 0.

예. 방향 벡터가 (1, -1)이고 점 A(1, 2)를 통과하는 직선의 방정식을 구합니다.

해결책. 원하는 직선의 방정식을 다음 형식으로 찾습니다. 도끼 + By + C = 0.정의에 따르면,

계수는 다음 조건을 충족해야 합니다.

1 * A + (-1) * B = 0, 즉 A = B.

그런 다음 직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. Ax + Ay + C = 0,또는 x + y + C / A = 0.

~에 x=1, y=2우리는 얻는다 C/ A = -3, 즉. 원하는 방정식:

x + y - 3 = 0

세그먼트의 직선 방정식.

직선 Ah + Wu + C = 0 C≠0의 일반 방정식에서 -C로 나누면 다음을 얻습니다.

또는 , 여기서

계수의 기하학적 의미는 계수 a가 교차점의 좌표라는 것입니다.

차축이 있는 직선 오,ㅏ 비- 축과 선의 교차점 좌표 OU.

예. 직선의 일반 방정식이 주어진다. x - y + 1 = 0.세그먼트에서 이 직선의 방정식을 찾으십시오.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

직선의 정규 방정식.

방정식의 양변이 아 + 우 + C = 0숫자로 나누기 , 호출

정규화 계수, 우리는 얻을

xcosφ + ysinφ - p = 0 -직선의 정규 방정식.

정규화 계수의 부호 ±는 다음과 같이 선택해야 합니다. μ * C< 0.

아르 자형- 원점에서 선까지 내린 수직선의 길이,

ㅏ φ - 축의 양의 방향과 수직이 이루는 각도 오.

예. 직선의 일반 방정식이 주어지면 12배 - 5년 - 65 = 0. 다양한 유형의 방정식 작성에 필요

이 직선.

세그먼트에서 이 직선의 방정식:

이 직선과 기울기의 방정식: (5로 나누기)

직선의 방정식:

cos φ = 12/13; 죄 φ= -5/13; p=5.

모든 직선이 세그먼트의 방정식으로 표현될 수 있는 것은 아닙니다(예: 직선,

축에 평행하거나 원점을 통과합니다.

평면에서 선 사이의 각도.

정의. 두 줄을 주면 y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, 이 선들 사이의 예각

로 정의됩니다

두 직선은 평행인 경우 케이1 = 케이2. 두 직선은 수직이다

만약에 케이 1 \u003d -1 / 케이 2 .

정리.

직접 아 + 우 + C = 0그리고 A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0계수가 비례할 때 평행

A1 \u003d λA, B1 \u003d λB. 만약에 또한 С 1 \u003d λС, 라인이 일치합니다. 두 선의 교점 좌표

이 선의 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다.

주어진 점을 지나는 직선의 방정식은 주어진 직선에 수직이다.

정의. 한 점을 지나는 직선 M1(x1,y1)그리고 선에 수직 y = kx + b

방정식으로 표현:

점에서 선까지의 거리입니다.

정리. 포인트가 주어진다면 엠(x 0, y 0),그런 다음 선까지의 거리 아 + 우 + C = 0로써 정의 된:

증거. 요점을 보자 M1(x1,y1)- 점에서 떨어진 수직선의 밑면 중주어진

직접. 그런 다음 점 사이의 거리 중그리고 남 1:

(1)

좌표 × 1그리고 1방정식 시스템에 대한 솔루션으로 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 주어진 점 M 0을 수직으로 통과하는 직선의 방정식입니다.

주어진 줄. 시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이 식을 방정식 (1)에 대입하면 다음과 같습니다.

정리가 입증되었습니다.

이 글은 평면에 위치한 직교좌표계에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식의 유도를 밝힌다. 직교좌표계에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도한다. 다루는 자료와 관련된 몇 가지 예시를 시각적으로 보여주고 풀어드립니다.

주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하기 전에 몇 가지 사실에 주의를 기울여야 합니다. 평면 위의 두 개의 일치하지 않는 점을 통해 직선을 그릴 수 있고 오직 하나만 가능하다는 공리가 있습니다. 즉, 평면의 주어진 두 점은 이 점을 지나는 직선에 의해 결정됩니다.

평면이 직교 좌표계 Oxy로 주어지면 평면에 표시된 직선은 평면의 직선 방정식에 해당합니다. 직선의 방향 벡터와의 연관성도 있는데, 이 데이터는 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하기에 충분합니다.

유사한 문제를 해결하는 예를 고려하십시오. 직교 좌표계에 위치한 두 개의 불일치 점 M 1 (x 1, y 1)과 M 2 (x 2, y 2)를 통과하는 직선 a의 방정식을 구성해야 합니다.

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y 형식을 갖는 평면 위의 직선의 정식 방정식에서 직각 좌표계 O x y는 좌표가 M인 점에서 교차하는 직선으로 지정됩니다. 1 (x 1, y 1) 가이드 벡터 a → = (a x , a y) .

좌표가 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2) 인 두 점을 통과하는 직선 a의 정식 방정식을 작성해야합니다.

직선 a는 점 M 1과 M 2를 교차하기 때문에 좌표 (x 2 - x 1, y 2 - y 1)가 있는 방향 벡터 M 1 M 2를 갖습니다. 방향 벡터 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1)의 좌표와 그 위에 놓인 점 M 1의 좌표로 표준 방정식을 변환하기 위해 필요한 데이터를 얻었습니다. (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 형식의 방정식을 얻습니다.

아래 그림을 고려하십시오.

계산 후 좌표가 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2) 인 두 점을 통과하는 평면에서 직선의 매개 변수 방정식을 작성합니다. x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ 또는 x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ 형식의 방정식을 얻습니다. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

몇 가지 예를 자세히 살펴보겠습니다.

예 1

좌표가 M 1-5 , 2 3 , M 2 1 , -1 6 인 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하십시오.

해결책

좌표 x 1 , y 1 및 x 2 , y 2 의 두 점에서 교차하는 직선에 대한 정식 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 형식을 취합니다. 문제의 조건에 따르면 x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 · 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6입니다. 방정식 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 에서 숫자 값을 대체해야 합니다. 여기에서 표준 방정식은 x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 형식을 취한다는 것을 알 수 있습니다.

답: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

다른 유형의 방정식으로 문제를 해결해야 하는 경우 시작을 위해 표준 방정식으로 이동할 수 있습니다.

예 2

O x y 좌표계에서 좌표가 M 1 (1, 1) 및 M 2 (4, 2)인 점을 통과하는 직선의 일반 방정식을 작성하십시오.

해결책

먼저 주어진 두 점을 통과하는 주어진 직선의 표준 방정식을 작성해야 합니다. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 형식의 방정식을 얻습니다.

정식 방정식을 원하는 형식으로 가져오면 다음을 얻습니다.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

답변: x - 3y + 2 = 0 .

이러한 작업의 예는 대수 수업의 학교 교과서에서 고려되었습니다. 학교 과제는 기울기 계수가 있는 직선 방정식이 y \u003d k x + b 형식으로 알려져 있다는 점에서 달랐습니다. 방정식 y \u003d k x + b가 점 M 1 (x 1, y 1) 및 M을 통과하는 O x y 시스템의 선을 정의하는 기울기 k 값과 숫자 b를 찾아야 하는 경우 M 2 (x 2, y 2) , 여기서 x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2일 때 , 기울기는 무한대 값을 취하고 직선 M 1 M 2는 x - x 1 = 0 형식의 일반 불완전 방정식으로 정의됩니다. .

점 때문에 남 1그리고 남2직선에 있으면 좌표는 방정식 y 1 = k x 1 + b 및 y 2 = k x 2 + b를 충족합니다. k와 b에 대해 방정식 y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b의 시스템을 풀 필요가 있습니다.

이를 위해 k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 또는 k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

이러한 k 및 b 값을 사용하여 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음 형식을 취합니다. y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 또는 y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

한 번에 엄청난 수의 공식을 암기하는 것은 효과가 없습니다. 이를 위해서는 문제 해결의 반복 횟수를 늘릴 필요가 있습니다.

예 3

좌표가 M 2 (2, 1)이고 y = k x + b인 점을 통과하는 기울기가 있는 직선 방정식을 작성합니다.

해결책

문제를 해결하기 위해 y \u003d k x + b 형식의 기울기가 있는 공식을 사용합니다. 계수 k 및 b는 이 방정식이 좌표가 M 1 (-7 , -5) 및 M 2 (2 , 1)인 두 점을 통과하는 직선에 해당하는 값을 가져야 합니다.

포인트들 남 1그리고 남2직선에 있는 경우 좌표는 방정식 y = k x + b 올바른 평등을 반전해야 합니다. 여기에서 우리는 - 5 = k · (- 7) + b 및 1 = k · 2 + b를 얻습니다. 방정식을 시스템 - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b에 결합하고 해결해 봅시다.

대체시, 우리는 그것을 얻습니다

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7k k = 23⇔b = -5 +723k = 23⇔b = -13k = 23

이제 k = 2 3 및 b = - 1 3 값이 방정식 y = k x + b로 대체됩니다. 주어진 점을 통과하는 원하는 방정식은 y = 2 3 x - 1 3 형식의 방정식이 됩니다.

이 해결 방법은 많은 시간의 지출을 미리 결정합니다. 작업이 문자 그대로 두 단계로 해결되는 방법이 있습니다.

우리는 M 2 (2, 1) 및 M 1 (- 7, - 5)를 통과하는 직선의 정식 방정식을 씁니다. x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

이제 기울기 방정식으로 넘어 갑시다. x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 입니다.

답: y = 2 3 x - 1 3 .

3차원 공간에서 좌표 M 1(x 1, y 1, z 1) 및 M 2(x 2, y 2, z 2)와 일치하지 않는 두 개의 점을 가진 직교 좌표계 O x y z가 있는 경우, 직선 미디엄 통과 1 미디엄 2 이 선의 방정식을 얻는 것이 필요합니다.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z 형식의 정식 방정식과 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + 형식의 파라메트릭 방정식이 있습니다. a z λ는 방향 벡터 a → = (a x, a y, a z)를 사용하여 좌표가 (x 1, y 1, z 1)인 점을 통과하는 O x y z 좌표계에 선을 설정할 수 있습니다.

스트레이트 M1 M2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) 형태의 방향 벡터를 가집니다. 여기서 선은 점 M 1 (x 1 , y 1 , z를 통과합니다. 1) 및 M 2 (x 2, y 2, z 2), 따라서 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 형식이 될 수 있습니다. 2 - z 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, 파라메트릭 x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ 또는 x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

공간에서 주어진 두 점과 직선의 방정식을 보여주는 그림을 고려하십시오.

예 4

3차원 공간의 직교 좌표계 O x y z에서 정의된 직선의 방정식을 작성하고 좌표 M 1(2, - 3, 0) 및 M 2(1, - 3, - 5)로 주어진 두 점을 통과합니다. ) .

해결책

표준 방정식을 찾아야 합니다. 우리는 3차원 공간에 대해 이야기하고 있기 때문에 직선이 주어진 점을 통과할 때 원하는 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = 지 - 지 1 지 2 - 지 1 .

조건에 따라 x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5입니다. 필요한 방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

답: x - 2 - 1 = y + 30 = z - 5.

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