한계의 정의를 적어보세요. 인형 수학의 한계: 설명, 이론, 솔루션의 예

(엑스) x 지점에서 0 :
,
만약에
1) 점 x 근처에 구멍이 뚫린 부분이 있습니다. 0
2) 모든 시퀀스에 대해 (xn), x로 수렴 0 :
, 그 요소는 이웃에 속하며,
후속 (에프(xn))다음과 같이 수렴됩니다.
.

여기 x 0 a는 유한한 숫자이거나 무한대의 점이 될 수 있습니다. 이웃은 양면일 수도 있고 일방적일 수도 있습니다.

.

함수 극한의 두 번째 정의(Cauchy에 따름)

숫자 a를 함수 f의 극한이라고 합니다. (엑스) x 지점에서 0 :
,
만약에
1) 점 x 근처에 구멍이 뚫린 부분이 있습니다. 0 , 함수가 정의되어 있습니다.
2) 양수 ε의 경우 > 0 그런 숫자가 있습니다 δ ε > 0 , ε에 따라 구멍이 뚫린 δ ε에 속하는 모든 x에 대해 - 점 x 근처 0 :
,
함수 값 f (엑스)점 a의 ε-이웃에 속합니다:
.

포인트x 0 a는 유한한 숫자이거나 무한대의 점이 될 수 있습니다. 이웃은 양면일 수도 있고 일방적일 수도 있습니다.

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 이 정의를 작성해 보겠습니다.
.

이 정의에서는 끝이 등거리인 이웃을 사용합니다. 임의의 점 이웃을 사용하여 동등한 정의를 제공할 수 있습니다.

임의의 이웃을 사용한 정의
숫자 a를 함수 f의 극한이라고 합니다. (엑스) x 지점에서 0 :
,
만약에
1) 점 x 근처에 구멍이 뚫린 부분이 있습니다. 0 , 함수가 정의되어 있습니다.
2) 어느 동네에나 U (ㅏ)점 a에는 점 x 근처에 구멍이 뚫린 부분이 있습니다. 0 점 x의 구멍이 뚫린 이웃에 속하는 모든 x에 대해 0 :
,
함수 값 f (엑스)동네 U에 속해 있어 (ㅏ)포인트 a:
.

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 이 정의는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
.

단측 및 양측 한계

위의 정의는 모든 유형의 이웃에 사용될 수 있다는 점에서 보편적입니다. 끝점의 왼쪽 구멍이 있는 이웃으로 사용하면 왼쪽 극한의 정의를 얻습니다. 무한대에 있는 점의 이웃을 이웃으로 사용하면 무한대 극한의 정의를 얻습니다.

하이네 한계를 결정하기 위해 이는 다음으로 수렴하는 임의의 시퀀스에 추가 제한이 부과된다는 사실로 귀결됩니다. 해당 요소는 점의 해당 구멍이 뚫린 이웃에 속해야 합니다.

코시 한계를 결정하려면 각 경우에 점 근처에 대한 적절한 정의를 사용하여 표현식과 부등식을 변환해야 합니다.
"점 주변"을 참조하세요.

점 a가 함수의 한계가 아니라는 것을 결정하는 것

점 a가 에서 함수의 한계가 아니라는 조건을 사용해야 하는 경우가 종종 있습니다. 위의 정의에 대한 부정을 구성해 보겠습니다. 그 안에서 우리는 함수 f를 가정합니다. (엑스)점 x의 구멍이 뚫린 근처에 정의됩니다. 0 . 점 a와 x 0 유한한 숫자일 수도 있고 무한히 먼 숫자일 수도 있습니다. 아래에 명시된 모든 내용은 양측 및 일방적 한계 모두에 적용됩니다.

하이네에 따르면.
번호 a 아니다함수 f의 극한 (엑스) x 지점에서 0 : ,
그러한 순서가 존재하는 경우 (xn), x로 수렴 0 :
,
그 요소는 이웃에 속하며,
순서는 무엇입니까? (에프(xn))다음으로 수렴하지 않습니다.
.
.

코시에 따르면.
번호 a 아니다함수 f의 극한 (엑스) x 지점에서 0 :
,
만약 그런 양수 ε가 있다면 > 0 , 따라서 임의의 양수 δ에 대해 > 0 , 점 x의 구멍이 뚫린 δ-이웃에 속하는 x가 존재합니다. 0 :
,
함수 f의 값은 (엑스)점 a의 ε-이웃에 속하지 않습니다.
.
.

물론, 점 a가 에서 함수의 극한이 아니라고 해서 이것이 극한을 가질 수 없다는 의미는 아닙니다. 제한이 있을 수 있지만 a와 동일하지는 않습니다. 함수가 구멍이 뚫린 지점 근처에 정의될 수도 있지만 에는 제한이 없습니다.

기능 f(x) = 죄(1/x) x → 0으로 제한이 없습니다.

예를 들어 함수는 에 정의되어 있지만 제한은 없습니다. 이를 증명하기 위해 순서를 살펴보겠습니다. 한 점으로 수렴한다 0 : . 왜냐면 .
순서를 살펴보겠습니다. 이것도 점으로 수렴한다 0 : . 하지만 이후로 .
그러면 한계는 어떤 숫자 a와도 같을 수 없습니다. 실제로 에 대한 시퀀스가 ​​있습니다. 따라서 0이 아닌 숫자는 제한이 아닙니다. 그러나 .

한계에 대한 Heine 및 Cauchy 정의의 동등성

정리
함수의 극한에 대한 하이네 정의와 코시 정의는 동일합니다.

증거

증명에서 우리는 함수가 점(유한 또는 무한)의 구멍이 뚫린 근처에서 정의된다고 가정합니다. 점 a는 유한하거나 무한대일 수도 있습니다.

하이네의 증명 ⇒ 코시의

첫 번째 정의(Heine에 따른)에 따라 함수의 한 점에서 극한 a를 갖습니다. 즉, 한 점의 이웃에 속하고 한계가 있는 모든 수열에 대해
(1) ,
시퀀스의 한계는 다음과 같습니다.
(2) .

함수의 한 지점에서 코시 한계(Cauchy Limit)가 있음을 보여드리겠습니다. 즉, 모든 사람에게는 모든 사람을 위한 무언가가 있다는 것입니다.

반대로 가정해보자. 조건 (1)과 (2)가 충족되지만 함수에 코시 한계가 없다고 가정합니다. 즉, 누구에게나 존재하는 것이 있으니,
.

여기서 n은 자연수입니다. 그러면 존재하고,
.
따라서 우리는 로 수렴하는 시퀀스를 구성했지만 시퀀스의 극한은 a와 같지 않습니다. 이는 정리의 조건과 모순됩니다.

첫 번째 부분이 입증되었습니다.

코시의 증명 ⇒ 하이네의

두 번째 정의(Cauchy에 따른)에 따라 함수의 한 점에서 극한 a를 갖습니다. 즉, 누구에게나 그런 것이 있다
(3) 모든 .

하이네에 따르면 함수가 한 점에서 극한 a를 갖는다는 것을 보여드리겠습니다.
임의의 숫자를 취해보자. Cauchy의 정의에 따르면 숫자가 존재하므로 (3)이 성립합니다.

구멍이 뚫린 이웃에 속하고 로 수렴하는 임의의 시퀀스를 취하겠습니다. 수렴 수열의 정의에 따르면 다음이 존재합니다.
에 .
그런 다음 (3)에서 다음과 같습니다.
에 .
이는 누구에게나 해당되므로
.

정리가 입증되었습니다.

참고자료:
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.

상수 ㅏ~라고 불리는 한계 시퀀스(x n ), 임의로 작은 양수의 경우ε > 0 모든 값을 갖는 숫자 N이 있습니다 xn, n>N인 경우 부등식을 충족합니다.

|x n - a|< ε. (6.1)

다음과 같이 적으세요: 또는 x n →ㅏ.

불평등(6.1)은 이중 불평등과 동일합니다.

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

즉, 포인트가 xn, 어떤 숫자 n>N부터 시작하여 간격(a-ε, a+ ε ), 즉. 어떤 작은 것에도 빠지다ε -점 근처 ㅏ.

한계가 있는 시퀀스를 호출합니다. 수렴하는, 그렇지 않으면 - 다른.

함수 극한의 개념은 수열 극한의 개념을 일반화한 것입니다. 왜냐하면 수열의 극한은 정수 인수의 함수 x n = f(n)의 극한으로 간주될 수 있기 때문입니다. N.

함수 f(x)가 주어지고 ㅏ - 한계점이 함수 D(f)의 정의 영역, 즉 이러한 점, 그 이웃에는 다음 이외의 집합 D(f)의 점들이 포함되어 있습니다. ㅏ. 점 ㅏ집합 D(f)에 속할 수도 있고 속하지 않을 수도 있습니다.

정의 1.상수 A가 호출됩니다. 한계 기능에프엑스(f(x)) ~에 x→a, 다음과 같은 경향이 있는 인수 값의 시퀀스(xn)에 대한 경우 ㅏ, 해당 시퀀스(f(xn))는 동일한 극한 A를 갖습니다.

이 정의는 하이네에 따라 함수의 극한을 정의함으로써,또는 " 시퀀스 언어로”.

정의 2. 상수 A가 호출됩니다. 한계 기능에프엑스(f(x)) ~에 x→a, 만약 임의의 작은 양수 ε를 지정함으로써, 우리는 그러한 δ를 찾을 수 있습니다>0(ε에 따라 다름)) 이는 모두를 위한 것입니다. 엑스, 누워있는숫자의 ε-이웃 ㅏ, 즉. 을 위한 엑스, 부등식을 만족시키다
0 < x-a< ε , 함수 f(x)의 값은 다음과 같습니다.ε-숫자 A의 이웃, 즉|f(x)-A|< ε.

이 정의는 Cauchy에 따라 함수의 극한을 정의함으로써,또는 “언어 ε - δ “.

정의 1과 2는 동일합니다. 함수 f(x)를 x →a는 가지고 있다 한계, A와 동일하며 이는 다음 형식으로 작성됩니다.

. (6.3)

어떤 근사 방법에도 불구하고 수열(f(xn))이 무한히 증가(또는 감소)하는 경우 엑스당신의 한계까지 ㅏ, 그러면 우리는 함수 f(x)가 무한한 한계,그리고 다음과 같은 형식으로 작성하세요.

한계가 0인 변수(예: 시퀀스 또는 함수)가 호출됩니다. 한없이 작아요.

극한이 무한대인 변수를 호출합니다. 무한히 큰.

실제로 극한을 찾기 위해 다음 정리가 사용됩니다.

정리 1 . 모든 한계가 존재하는 경우

(6.4)

(6.5)

(6.6)

논평. 0/0과 같은 표현, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - 예를 들어, 두 개의 무한히 작은 양 또는 무한히 큰 양의 비율이 불확실하며 이러한 유형의 극한을 찾는 것을 "불확실성 발견"이라고 합니다.

정리 2. (6.7)

저것들. 특히 일정한 지수를 갖는 거듭제곱을 기반으로 한계에 도달할 수 있습니다. ;

(6.8)

(6.9)

정리 3.

(6.10)

(6.11)

어디 이자형 » 2.7 - 자연 로그의 밑. 공식 (6.10)과 (6.11)이 첫 번째라고 불립니다. 멋진 한계두 번째로 놀라운 한계입니다.

공식 (6.11)의 결과는 실제로도 사용됩니다.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

특히 한도,

만약 x → a와 동시에 x > a, 그런 다음 x를 씁니다.→a + 0. 특히 a = 0이면 기호 0+0 대신 +0을 씁니다. 마찬가지로 만약 x→a와 동시에 x a-0. 숫자 그에 따라 호출됩니다. 권리한계그리고 왼쪽 한계 기능에프엑스(f(x)) 그 시점에 ㅏ. x→로 함수 f(x)의 극한이 존재하려면a는 필요하고 충분하므로 . 함수 f(x)가 호출됩니다. 마디 없는 그 시점에 x 0(제한된 경우)

. (6.15)

조건(6.15)은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

,

즉, 주어진 점에서 연속이면 함수의 부호 아래 극한으로의 통과가 가능합니다.

평등 (6.15)이 위반되면 다음과 같이 말합니다. ~에 x = xo 기능에프엑스(f(x)) 그것은 가지고있다 갭함수 y = 1/x를 생각해 보세요. 이 함수의 정의 영역은 집합입니다. 아르 자형, x = 0은 제외. 점 x = 0은 집합 D(f)의 극한점입니다. 점 0을 포함하는 열린 구간에는 D(f)의 점이 있지만 그 자체는 이 집합에 속하지 않습니다. 값 f(x o)= f(0)은 정의되지 않았으므로 x o = 0 지점에서 함수는 불연속성을 갖습니다.

함수 f(x)가 호출됩니다. 그 지점에서 오른쪽으로 연속 x o 한계인 경우

,

그리고 그 지점에서 왼쪽으로 연속 x o, 한도인 경우

.

한 지점에서 함수의 연속성 엑스오이 지점에서 오른쪽과 왼쪽 모두의 연속성과 동일합니다.

함수가 한 점에서 연속이 되려면 엑스오, 예를 들어, 오른쪽에서는 먼저 유한 극한이 있어야 하고, 두 번째로 이 극한이 f(x o)와 같아야 합니다. 따라서 이 두 가지 조건 중 적어도 하나가 충족되지 않으면 함수는 불연속성을 갖게 됩니다.

1. 극한이 존재하고 f(x o)와 같지 않으면 다음과 같이 말합니다. 기능에프엑스(f(x)) 그 시점에 xo는 첫 번째 종류의 파열,또는 뛰다.

2. 한도가 다음과 같은 경우+ 또는 - 또는 존재하지 않는 경우 다음과 같이 말합니다. 가리키다엑스오 함수에 불연속성이 있습니다 두 번째 종류.

예를 들어, 함수 y = cot x at x→ +0은 +과 같은 한계를 가집니다., 이는 x=0 지점에서 두 번째 종류의 불연속성을 갖는다는 것을 의미합니다. 함수 y = E(x) (정수 부분) 엑스) 전체 가로축이 있는 지점에는 첫 번째 종류의 불연속성 또는 점프가 있습니다.

구간의 모든 점에서 연속인 함수를 호출합니다. 마디 없는 V . 연속함수는 실선으로 표현됩니다.

일부 양의 지속적인 증가와 관련된 많은 문제는 두 번째 놀라운 한계로 이어집니다. 예를 들어, 이러한 작업에는 복리 법칙에 따른 매장량 증가, 국가 인구 증가, 방사성 물질 붕괴, 박테리아 증식 등이 포함됩니다.

고려해 봅시다 Ya.I. Perelman의 예, 숫자에 대한 해석 제공 이자형복리 문제에서. 숫자 이자형한계가 있다 . 저축은행에서는 매년 고정자본에 이자가 추가됩니다. 가입이 더 자주 이루어지면이자 형성에 더 많은 금액이 포함되므로 자본이 더 빨리 증가합니다. 순전히 이론적이고 매우 단순화된 예를 들어보겠습니다. 100데니어를 은행에 예금해보자. 단위 연간 100%를 기준으로 합니다. 1년 후에만 고정자본에 이자가 추가되면 이 기간까지 100den이 됩니다. 단위 200 화폐 단위로 변환됩니다. 이제 100 denize가 어떻게 변할지 살펴보겠습니다. 단위, 6개월마다 고정자본에 이자가 추가되는 경우. 6개월 후 100den. 단위 100까지 성장할 것이다× 1.5 = 150, 6개월 후 - 150× 1.5 = 225(밀폐 단위). 가입이 1년의 1/3마다 이루어지면 1년 후에는 100den이 됩니다. 단위 100으로 변할 것이다× (1 +1/3) 3" 237 (den. 단위). 이자 추가 기간을 0.1년, 0.01년, 0.001년 등으로 늘리겠습니다. 그런 다음 100 덴 중. 단위 1년 후에는 다음과 같습니다.

100 × (1 +1/10) 10 » 259(밀폐 단위),

100 × (1+1/100) 100 » 270(밀도 단위),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271(밀도 단위).

이자 추가 조건을 무제한으로 축소하면 누적 자본은 무한정 증가하지 않고 약 271에 해당하는 특정 한도에 접근합니다. 연간 100% 예금 자본은 발생 이자가 있더라도 2.71배 이상 증가할 수 없습니다. 한도 때문에 매초마다 자본에 추가되었습니다.

예제 3.1.수열의 극한 정의를 사용하여 수열 xn =(n-1)/n의 극한이 1임을 증명하십시오.

해결책.무슨 일이 있어도 증명해야 해ε > 0, 우리가 무엇을 취하든, 모든 n N에 대해 불평등이 유지되는 자연수 N이 있기 때문입니다.|xn -1|< ε.

e > 0을 선택해 보겠습니다. 이후 ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, N을 찾으려면 부등식 1/n을 해결하는 것으로 충분합니다.< 이자형. 따라서 n>1/e 따라서 N은 1/의 정수 부분으로 간주될 수 있습니다. e , N = E(1/ e ). 이로써 우리는 한계가 있음을 입증했습니다.

실시예 3.2 . 공통항으로 주어진 수열의 극한 찾기 .

해결책.합정리의 극한을 적용하여 각 항의 극한을 구해 봅시다. n일 때→ ü 각 항의 분자와 분모는 무한대를 향하는 경향이 있으므로 몫 극한 정리를 직접 적용할 수는 없습니다. 그러므로 먼저 변형을 시키자 xn, 첫 번째 항의 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. n 2, 그리고 두 번째는 N. 그런 다음 몫의 극한과 합 정리의 극한을 적용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

.

예제 3.3. . 찾다 .

해결책. .

여기서 우리는 차수의 극한 정리를 사용했습니다. 차수의 극한은 밑수의 극한의 차수와 같습니다.

실시예 3.4 . 찾다 ( ).

해결책.형태의 불확실성이 있기 때문에 차이의 극한 정리를 적용하는 것은 불가능합니다. ∞-∞ . 일반 용어 공식을 변형해 보겠습니다.

.

실시예 3.5 . 함수 f(x)=2 1/x가 주어집니다. 한계가 없음을 증명하십시오.

해결책.수열을 통해 함수의 극한에 대한 정의 1을 사용해 보겠습니다. 0으로 수렴하는 시퀀스( xn )를 살펴보겠습니다. 즉, f(xn)= 값이 시퀀스에 따라 다르게 동작한다는 것을 보여드리겠습니다. xn = 1/n이라고 하자. 당연하지만 한계는 이제 다음과 같이 선택해보자 xn공통항 xn = -1/n을 가지며 역시 0이 되는 수열. 그러므로 제한이 없습니다.

실시예 3.6 . 한계가 없음을 증명하십시오.

해결책.x 1 , x 2 ,..., x n ,...을 다음의 수열로 둡니다.
. 시퀀스 (f(x n)) = (sin x n)은 다른 x n → 에 대해 어떻게 동작합니까?

xn = pn이면 sin xn = sin p n = 모두 0 N그리고 한계인 경우
xn=2 p n+ p /2, 그러면 sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 모두 1 N그러므로 한계. 그래서 그것은 존재하지 않습니다.

온라인 한도 계산용 위젯

위쪽 창에는 sin(x)/x 대신에 극한을 구하고 싶은 함수를 입력하세요. 아래쪽 창에 x가 경향이 있는 숫자를 입력하고 계산 버튼을 클릭하여 원하는 한도를 얻습니다. 결과 창의 오른쪽 상단에 있는 단계 표시를 클릭하면 자세한 솔루션을 얻을 수 있습니다.

함수 입력 규칙: sqrt(x) - 제곱근, cbrt(x) - 세제곱근, exp(x) - 지수, ln(x) - 자연 로그, sin(x) - 사인, cos(x) - 코사인, tan(x) - 탄젠트, cot(x) - 코탄젠트, arcsin(x) - 아크사인, arccos(x) - 아크코사인, arctan(x) - 아크탄젠트. 기호: * 곱셈, / 나눗셈, ^ 지수화, 대신 무한대무한대. 예: 함수는 sqrt(tan(x/2))로 입력됩니다.

정의 1. 하자 이자형- 무한한 숫자. 어떤 이웃에 세트의 포인트가 포함되어 있는 경우 이자형, 요점과 다르다 ㅏ, 저것 ㅏ~라고 불리는 궁극적인 세트의 포인트 이자형.

정의 2. (하인리히 하이네(1821-1881)). 기능을 보자
세트에 정의됨 엑스그리고 ㅏ~라고 불리는 한계 기능
그 시점에 (또는 언제
, 인수 값의 시퀀스인 경우
, 수렴 , 해당 함수 값의 순서는 숫자로 수렴됩니다. ㅏ. 그들이 적다:
.

예. 1) 기능
다음과 같은 한도가 있습니다. 와 함께, 수직선의 어느 지점에서나 가능합니다.

사실 어떤 점에서든 및 일련의 인수 값
, 수렴 이외의 숫자로 구성됨 , 해당 함수 값 시퀀스의 형식은 다음과 같습니다.
, 그리고 우리는 이 수열이 다음과 같이 수렴한다는 것을 알고 있습니다. 와 함께. 그렇기 때문에
.

2) 기능의 경우

.

이것은 명백하다. 왜냐하면 만약에
, 그 다음에
.

3) 디리클레 함수
어느 시점에도 제한이 없습니다.

과연, 하자
그리고
, 그리고 다 – 유리수. 그 다음에
모든 N, 그렇기 때문에
. 만약에
그리고 그게 다야 무리수라면
모든 N, 그렇기 때문에
. 정의 2의 조건이 충족되지 않음을 알 수 있습니다.
존재하지 않는다.

4)
.

실제로 임의의 순서를 취해보자
, 수렴

2 번. 그런 다음 . Q.E.D.

정의 3. (코시(1789-1857)). 기능을 보자
세트에 정의됨 엑스그리고 이 세트의 한계점입니다. 숫자 ㅏ~라고 불리는 한계 기능
그 시점에 (또는 언제
, 만약 있다면
있을 것이다
, 인수의 모든 값에 대해 엑스, 부등식을 만족시키다

,

불평등은 사실이다

.

그들이 적다:
.

Cauchy의 정의는 이웃을 사용하여 주어질 수도 있습니다.

함수를 보자
세트에 정의됨 엑스그리고 이 세트의 한계점입니다. 숫자 ㅏ한계라고 불리는 기능
그 시점에 , 만약 있다면 -점 근처 ㅏ
뚫린 게 있어요 - 점 근처
,그렇게
.

이 정의를 그림으로 설명하는 것이 유용합니다.

예 5.
.

과연, 받아보자
무작위로 찾아서
, 모든 사람에게 엑스, 부등식을 만족시키다
불평등이 유지된다
. 마지막 부등식은 부등식과 동일합니다.
, 그래서 우리는 복용하기에 충분하다는 것을 알 수 있습니다
. 그 진술은 입증되었습니다.

공정한

정리 1. 하이네(Heine)와 코시(Cauchy)에 따른 함수의 극한 정의는 동일합니다.

증거. 1) 하자
코시에 따르면. 하이네에 따르면 같은 숫자도 한계임을 증명해보자.

해 보자
임의로. 정의 3에 따르면
, 모든 사람에게
불평등이 유지된다
. 허락하다
– 다음과 같은 임의의 시퀀스
~에
. 그러면 숫자가 있어요 N그렇게 모두에게
불평등이 유지된다
, 그렇기 때문에
모든
, 즉.

하이네에 따르면.

2) 지금하자
하이네에 따르면. 그것을 증명해보자
그리고 코시에 따르면.

반대로 가정해보자. 무엇
코시에 따르면. 그럼 거기에
그렇게 누구에게나
있을 것이다
,
그리고
. 순서를 고려하세요
. 지정된
그리고 어떤 N존재한다

그리고
. 그것은 다음을 의미합니다
, 하지만
, 즉. 숫자 ㅏ한계는 아니다
그 시점에 하이네에 따르면. 우리는 그 진술을 증명하는 모순을 얻었습니다. 정리가 입증되었습니다.

정리 2 (한도의 고유성에 따라). 한 지점에서 기능의 한계가 있는 경우 , 그렇다면 그는 유일한 사람입니다.

증거. 하이네에 따라 극한이 정의되면 그 고유성은 수열 극한의 고유성에서 나옵니다. 만약 코시(Cauchy)에 따라 극한이 정의된다면, 그 고유성은 코시(Cauchy)와 하이네(Heine)에 따른 극한 정의의 동등성에서 비롯됩니다. 정리가 입증되었습니다.

수열에 대한 코시 기준과 유사하게, 함수의 극한 존재에 대한 코시 기준이 유지됩니다. 공식화하기 전에 먼저 알려드리겠습니다.

정의 4. 그들은 그 기능이
점에서 코시 조건을 만족합니다. , 만약 있다면
존재한다

, 그렇게
그리고
, 불평등은 유지됩니다
.

정리 3(한계 존재에 대한 코시 기준). 기능을 위해서는
그 시점에 있었다 유한 극한에서는 이 시점에서 함수가 코시 조건을 충족하는 것이 필요하고 충분합니다.

증거.필요성. 허락하다
. 우리는 그것을 증명해야 한다
점에서는 만족한다 코시 상태.

해 보자
임의로 넣어서
. 한계의 정의에 따라 존재한다
, 모든 값에 대해
, 부등식을 만족
그리고
, 불평등이 충족됩니다.
그리고
. 그 다음에

필요성이 입증되었습니다.

적절. 기능을 보자
점에서는 만족한다 코시 상태. 우리는 그것이 그 시점에 있었다는 것을 증명해야 합니다 최종 한계.

해 보자
임의로. 정의에 따르면 4가 있습니다.
, 불평등으로부터
,
그 뒤를 따른다
- 이것은 주어진다.

먼저 모든 시퀀스에 대해 이를 보여드리겠습니다.
, 수렴 , 하위 시퀀스
함수 값이 수렴됩니다. 실제로 만약에
, 그러면 수열의 극한 정의에 따라 주어진 수열에 대해
숫자가 있어요 N, 그래서

그리고
. 왜냐하면
그 시점에 Cauchy 조건을 만족합니다.
. 그런 다음 시퀀스에 대한 Cauchy 기준에 따라 시퀀스는
수렴한다. 그러한 모든 시퀀스가
같은 한계로 수렴합니다. 반대로 가정해보자. 시퀀스 란 무엇입니까?
그리고
,
,
, 그런. 순서를 생각해 봅시다. 으로 수렴되는 것이 분명하다. , 그러므로 위에서 증명된 것에 의해 수열은 수렴하는데, 이는 불가능합니다.
그리고
한도가 달라요 그리고 . 결과적인 모순은 다음을 보여줍니다. =. 따라서 하이네의 정의에 따르면 함수는 다음과 같은 점을 갖습니다. 최종 한계. 충분성과 그에 따른 정리가 입증되었습니다.

기능와이 = 에프 (엑스)는 집합 X의 각 요소 x가 집합 Y의 단 하나의 요소 y와 연관되어 있다는 법칙(규칙)입니다.

요소 x ∈ 엑스~라고 불리는 함수 인수또는 독립 변수.
요소 y ∈ 와이~라고 불리는 함수값또는 종속변수.

집합 X라고 불린다. 함수의 영역.
요소 집합 y ∈ 와이세트 X에 사전 이미지가 있는 를 이라고 합니다. 영역 또는 함수 값 세트.

실제 함수가 호출됩니다. 위에서부터(아래에서) 제한됨, 불평등이 모든 사람에게 적용되는 숫자 M이 있는 경우:
.
숫자 함수가 호출됩니다. 제한된, 모든 사람에 대해 다음과 같은 숫자 M이 있는 경우:
.

상단 가장자리또는 정확한 상한실제 함수는 위에서부터 값의 범위를 제한하는 가장 작은 숫자라고 합니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 s′: 를 초과하는 인수가 있는 숫자 s입니다.
함수의 상한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다.
.

각기 하단 가장자리또는 정확한 하한실제 함수는 아래에서 값의 범위를 제한하는 가장 큰 숫자라고 합니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 i′:보다 작은 인수가 있는 숫자 i입니다.
함수의 극한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다:
.

함수의 한계 결정

Cauchy에 따른 함수의 극한 결정

끝점에서 기능의 유한한 한계

지점 자체를 제외하고 끝점 근처에서 함수를 정의하도록 합니다. 어느 시점에서 에 따라 에 대한 모든 x에 대해 불평등이 유지되는 것과 같은 것이 있다면
.
함수의 극한은 다음과 같이 표시됩니다.
.
또는 .

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 함수의 극한 정의는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
.

일방적인 한계.
한 점의 왼쪽 극한(왼쪽 극한):
.
한 점의 오른쪽 극한(오른쪽 극한):
.
왼쪽 및 오른쪽 한계는 종종 다음과 같이 표시됩니다.
; .

무한대의 점에서 함수의 유한한계

무한대 지점의 극한도 비슷한 방식으로 결정됩니다.
.
.
.
그들은 종종 다음과 같이 불립니다:
; ; .

점 근방의 개념을 이용

점의 구멍이 뚫린 이웃 개념을 도입하면 유한하고 무한히 먼 점에서 함수의 유한 극한에 대한 통일된 정의를 제공할 수 있습니다.
.
엔드포인트는 여기
; ;
.
무한대에 있는 모든 점 근처에는 구멍이 뚫립니다.
; ; .

무한한 기능 제한

정의
함수가 한 점(유한 또는 무한대)의 구멍이 뚫린 근처에서 정의되도록 합니다. 함수 f의 한계 (엑스) x → x로 0 무한대와 같음, 임의의 큰 숫자 M의 경우 > 0 , 숫자 δ M이 있습니다 > 0 , M에 따라 구멍이 뚫린 δ M - 점 근처에 속하는 모든 x에 대해 다음과 같은 불평등이 유지됩니다.
.
무한한계는 다음과 같이 표시됩니다.
.
또는 .

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 함수의 무한한 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
.

또한 다음과 같은 특정 부호의 무한 극한 정의를 도입할 수도 있습니다.
.
.

함수 극한의 보편적인 정의

점의 이웃 개념을 사용하여 유한(양면 및 단면) 및 무한히 먼 점 모두에 적용할 수 있는 함수의 유한 및 무한 극한에 대한 보편적인 정의를 제공할 수 있습니다.
.

하이네에 따른 기능의 한계 결정

함수가 X: 집합에 정의되도록 하세요.
숫자 a를 함수의 극한이라고 합니다.시점:
,
x로 수렴하는 시퀀스의 경우 0 :
,
그 요소는 X: 세트에 속합니다.
.

존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 이 정의를 작성해 보겠습니다.
.

점 x의 왼쪽 이웃을 집합 X로 취하면 0 , 그러면 우리는 왼쪽 극한의 정의를 얻습니다. 오른 손잡이라면 올바른 극한의 정의를 얻습니다. 무한대에 있는 점의 근방을 집합 X로 취하면 함수의 무한대 극한에 대한 정의를 얻을 수 있습니다.

정리
함수의 극한에 대한 Cauchy 정의와 Heine 정의는 동일합니다.
증거

함수 극한의 속성과 정리

또한, 고려중인 함수가 유한수 또는 기호 중 하나인 점의 해당 이웃에 정의되어 있다고 가정합니다. 또한 일측 한계점이 될 수도 있습니다. 즉, 또는 형식을 갖습니다. 이웃은 양면 한계의 경우 양면이고 일방적 한계의 경우 단면입니다.

기본 속성

함수 f의 값이 (엑스)유한한 수의 점 x를 변경(또는 정의하지 않음) 1, x 2, x 3, ... x n, 이 변경은 임의의 점 x에서 함수 극한의 존재와 값에 영향을 미치지 않습니다. 0 .

유한한 한계가 있는 경우 점 x에 구멍이 뚫린 이웃이 있습니다. 0 , 함수 f (엑스)제한된:
.

함수가 x 지점을 가지도록 하세요. 0 0이 아닌 유한 한계:
.
그런 다음 간격 의 임의의 숫자 c에 대해 점 x에 구멍이 뚫린 이웃이 있습니다. 0 , 무엇 때문에 ,
, 만약에 ;
, 만약에 .

만약 구멍이 뚫린 지점 근처에서 가 상수이면 .

유한한 한계가 있고 점 x의 구멍이 뚫린 근처에 있는 경우 0
,
저것 .

만약 , 그리고 그 지점의 일부 근처에
,
저것 .
특히, 어떤 지점 근처에 있는 경우
,
그러면 , 그러면 그리고 ;
만약 , 그때 그리고 .

x 지점의 구멍이 뚫린 근처에 있는 경우 0 :
,
유한한(또는 특정 부호의 무한한) 등호 한계가 있습니다.
, 저것
.

주요 속성에 대한 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"함수 극한의 기본 속성."

함수 극한의 산술 속성

함수와 포인트의 구멍이 뚫린 근처에서 정의되도록 하세요. 그리고 유한한 한계를 두십시오:
그리고 .
그리고 C를 상수, 즉 주어진 숫자로 둡니다. 그 다음에
;
;
;
, 만약에 .

그렇다면.

산술 속성의 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"함수의 한계에 대한 산술적 속성".

함수의 극한 존재에 대한 코시 기준

정리
유한의 구멍이 뚫린 이웃이나 무한점 x에서 정의된 함수의 경우 0 , 이 시점에서 유한한 한계를 가지므로 모든 ε에 대해 필요하고 충분합니다. > 0 x 지점 근처에 구멍이 뚫린 곳이 있었어요 0 , 모든 점과 이 이웃에서 다음과 같은 부등식이 성립합니다.
.

복잡한 함수의 한계

복소함수의 극한에 관한 정리
함수에 한계가 있고 구멍이 뚫린 점 근처를 구멍이 난 점 근처에 매핑합니다. 이 근처에 함수를 정의하고 이에 대한 제한을 두십시오.
최종 또는 무한히 먼 지점은 다음과 같습니다. 네이버후드와 그에 상응하는 한계는 양면일 수도 있고 일방일 수도 있습니다.
그런 다음 복잡한 함수의 한계가 있으며 다음과 같습니다.
.

복소함수의 극한 정리는 함수가 한 점에서 정의되지 않거나 극한과 다른 값을 가질 때 적용됩니다. 이 정리를 적용하려면 함수 값 집합에 점이 포함되지 않은 점 근처에 구멍이 뚫린 부분이 있어야 합니다.
.

함수가 점에서 연속인 경우 연속 함수의 인수에 극한 기호를 적용할 수 있습니다.
.
다음은 이 경우에 해당하는 정리이다.

함수의 연속 함수의 한계에 관한 정리
함수 g의 한계를 두자 (티) t → t 0 , 그리고 그것은 x와 같습니다 0 :
.
여기 포인트 t가 있습니다 0 유한하거나 무한히 멀 수 있습니다.
그리고 함수 f를 보자 (엑스)점 x에서 연속이다 0 .
그런 다음 복소 함수 f의 한계가 있습니다. (g(t)), 그리고 그것은 f와 같습니다 (x0):
.

정리의 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"복잡한 함수의 한계와 연속성".

무한소 및 무한대 기능

극미량의 기능

정의
다음과 같은 경우 함수를 무한소라고 합니다.
.

합계, 차이 및 곱유한한 수의 무한소 함수 중 는 에서 무한함수입니다.

제한된 함수의 곱점의 일부 구멍이 뚫린 근처에서 무한소에 대한 무한소 함수는 에 있습니다.

함수가 유한한 한계를 갖기 위해서는 다음이 필요하고 충분합니다.
,
에서 무한함수는 어디에 있습니까?

"무한 함수의 속성".

무한히 큰 기능

정의
다음과 같은 경우 함수가 무한히 크다고 합니다.
.

점 의 일부 구멍이 뚫린 이웃에 있는 경계 함수의 합 또는 차이와 무한히 큰 함수는 에서 무한히 큰 함수입니다.

함수가 에 대해 무한히 크고 함수가 점의 일부 구멍이 뚫린 이웃에 국한된 경우
.

점 의 일부 구멍이 뚫린 근처에서 함수 가 부등식을 만족하는 경우:
,
함수는 다음과 같이 극미량입니다.
, 그리고 (점의 구멍이 뚫린 부분에서), 그런 다음
.

속성 증명은 섹션에 나와 있습니다.
"무한히 큰 함수의 속성".

무한히 큰 함수와 무한한 함수의 관계

이전의 두 속성에서 무한히 큰 함수와 무한한 함수 사이의 연결이 이어집니다.

함수가 에서 무한히 크면 함수는 에서 무한히 작습니다.

, 및 에 대해 함수가 무한소인 경우 함수는 에 대해 무한히 큽니다.

무한소 함수와 무한히 큰 함수 사이의 관계는 기호로 표현될 수 있습니다.
, .

무한소 함수가 에서 특정 부호를 갖는 경우, 즉 점의 구멍이 뚫린 근처에서 양수(또는 음수)인 경우 이 사실은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
.
같은 방식으로 무한히 큰 함수가 에 특정 부호를 가지면 다음과 같이 씁니다.
.

그러면 무한히 작은 함수와 무한히 큰 함수 사이의 상징적 연결은 다음 관계로 보완될 수 있습니다.
, ,
, .

무한대 기호와 관련된 추가 공식은 페이지에서 찾을 수 있습니다.
"무한점과 그 속성."

단조 함수의 한계

정의
어떤 실수 X 집합에 정의된 함수가 호출됩니다. 엄격하게 증가, 다음과 같은 부등식이 성립하는 경우:
.
따라서 엄격하게 감소다음과 같은 부등식이 성립합니다.
.
을 위한 비감소:
.
을 위한 비증가:
.

따라서 엄격하게 증가하는 함수는 감소하지 않는 함수이기도 합니다. 엄격하게 감소하는 함수도 증가하지 않습니다.

함수가 호출됩니다. 단조로운, 감소하지 않거나 증가하지 않는 경우.

정리
가 있는 간격에서 함수가 감소하지 않도록 하십시오.
위의 숫자 M:으로 제한되면 유한한 한계가 있습니다. 위에서 제한되지 않으면 .
아래에서 숫자 m으로 제한되면 유한한 한계가 있습니다. 아래에서 제한되지 않으면 .

점 a와 b가 무한대에 있는 경우 표현식에서 극한 기호는 다음을 의미합니다.
이 정리는 더 간결하게 공식화될 수 있습니다.

가 있는 간격에서 함수가 감소하지 않도록 하십시오. 그런 다음 지점 a와 b에 단방향 극한이 있습니다.
;
.

비증가 함수에 대한 유사한 정리입니다.

가 있는 간격에서 함수가 증가하지 않도록 하십시오. 그런 다음 일방적인 한계가 있습니다.
;
.

정리의 증거가 페이지에 표시됩니다.
"단조 함수의 한계".

참고자료:
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.
센티미터. 니콜스키. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 1983년.

오늘 수업에서 우리가 살펴볼 엄격한 순서그리고 함수의 한계에 대한 엄격한 정의, 또한 이론적 성격의 관련 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 이 기사는 주로 수학적 분석 이론을 공부하기 시작했지만 고등 수학의 이 부분을 이해하는 데 어려움을 겪은 자연 과학 및 공학 전문 분야의 1학년 학생들을 대상으로 작성되었습니다. 또한이 자료는 고등학생이 쉽게 접근 할 수 있습니다.

사이트가 존재하는 수년 동안 저는 대략 다음과 같은 내용의 편지를 12통 받았습니다: "수학적 분석을 잘 이해하지 못합니다. 어떻게 해야 합니까?", "수학을 전혀 이해하지 못합니다. 공부를 그만둘까 생각 중이야.” 등등. 그리고 실제로 첫 번째 세션이 끝난 후 학생 그룹을 종종 얕보는 사람은 바로 마탄입니다. 왜 이런가요? 주제가 상상할 수 없을 정도로 복잡하기 때문에? 별말씀을요! 수학적 분석이론은 특이할 정도로 어렵지는 않다. 그리고 당신은 그녀를 있는 그대로 받아들이고 사랑해야 합니다 =)

가장 어려운 경우부터 시작해 보겠습니다. 가장 먼저이자 가장 중요한 것은 공부를 포기할 필요가 없다는 것입니다. 올바르게 이해하십시오. 언제든지 그만둘 수 있습니다.-) 물론, 1~2년 후에 선택한 전문 분야로 인해 몸이 아프다면 예, 그것에 대해 생각해야 합니다. (화내지 마세요!)활동 변화에 대해. 그러나 지금은 계속할 가치가 있습니다. 그리고 "나는 아무것도 이해하지 못합니다"라는 문구를 잊어 버리십시오. 당신이 아무것도 이해하지 못하는 일은 일어나지 않습니다.

이론이 나쁘다면 어떻게 해야 할까요? 그런데 이것은 수학적 분석에만 적용되는 것이 아닙니다. 이론이 나쁘다면 먼저 실천에 진지하게 집중해야 합니다. 이 경우 두 가지 전략적 작업이 한 번에 해결됩니다.

– 첫째, 이론적 지식의 상당 부분이 실습을 통해 나타났습니다. 그래서 많은 사람들이 이론을 이해합니다... – 맞습니다! 아니요, 아니요, 당신은 그것에 대해 생각하고 있지 않습니다 =)

– 둘째, 실용적인 기술이 시험을 통과하도록 “끌어당길” 가능성이 높습니다. 설사... 하지만 너무 흥분하지는 마세요! 모든 것이 현실이며 상당히 짧은 시간 안에 모든 것이 "상승"될 수 있습니다. 수학적 분석은 고등 수학에서 제가 가장 좋아하는 부분이므로 도움의 손길을 드릴 수밖에 없습니다.

1학기 초에는 일반적으로 시퀀스 제한과 기능 제한을 다룹니다. 이것이 무엇인지 이해하지 못하거나 해결 방법을 모르시나요? 기사부터 시작하세요 기능 제한, 개념 자체를 "손으로"검토하고 가장 간단한 예를 분석합니다. 다음으로, 시퀀스 내에서, 나는 실제로 이미 엄격한 정의를 공식화했습니다.

불평등 기호와 모듈러스 외에 어떤 기호를 알고 있나요?

– 긴 수직 막대는 다음과 같습니다. "그렇게", "그렇게", "그렇게" 또는 "그렇게", 우리의 경우에는 분명히 숫자에 대해 이야기하고 있습니다. 따라서 "그러한";

– 보다 큰 모든 "en"에 대해;

– 모듈러스 기호는 거리를 의미합니다., 즉. 이 항목은 값 사이의 거리가 엡실론보다 작음을 알려줍니다.

글쎄요, 엄청 어렵나요? =)

연습을 마스터한 후 다음 단락에서 뵙기를 기대합니다.

그리고 실제로 조금 생각해 봅시다. 시퀀스의 엄격한 정의를 공식화하는 방법은 무엇입니까? ...세상에서 가장 먼저 떠오르는 것은 실용적인 수업: "수열의 극한은 수열의 구성원이 무한히 가까워지는 수입니다."

알았어, 적어보자 후속 :

그 점을 이해하는 것은 어렵지 않습니다. 후속 숫자 -1에 무한히 접근하고, 짝수 항 – "하나".

아니면 두 가지 제한이 있습니까? 그런데 왜 어떤 시퀀스에도 10개나 20개가 있을 수 없나요? 이 방법으로 멀리 갈 수 있습니다. 이와 관련하여 다음과 같이 가정하는 것이 논리적입니다. 시퀀스에 제한이 있으면 고유한 것입니다..

메모 : 시퀀스에는 제한이 없지만 두 개의 하위 시퀀스가 ​​구별될 수 있으며(위 참조) 각 하위 시퀀스에는 고유한 제한이 있습니다.

따라서 위의 정의는 지지될 수 없는 것으로 판명된다. 예, 다음과 같은 경우에 작동합니다. (실제 예제에 대한 간단한 설명에서는 올바르게 사용하지 않았습니다), 그러나 이제 우리는 엄격한 정의를 찾아야 합니다.

두 번째 시도: "시퀀스의 한계는 시퀀스의 모든 구성원이 접근하는 숫자입니다. 결정적인수량." 이것은 진실에 더 가깝지만 여전히 완전히 정확하지는 않습니다. 예를 들어, 시퀀스 항의 절반은 전혀 0에 접근하지 않습니다. 단순히 0과 동일합니다 =) 그런데 "번쩍이는 빛"은 일반적으로 두 개의 고정 값을 사용합니다.

공식을 명확히하는 것은 어렵지 않지만 또 다른 질문이 생깁니다. 정의를 수학 기호로 작성하는 방법은 무엇입니까? 과학계는 상황이 해결될 때까지 오랫동안 이 문제로 어려움을 겪었습니다. 유명한 거장, 이는 본질적으로 고전적인 수학적 분석을 엄격하게 공식화했습니다. 코시는 수술을 제안했다 주위 , 이는 이론을 크게 발전시켰습니다.

어떤 점과 그 점을 고려하십시오. 임의의-주위:

"엡실론"의 값은 항상 양수이며, 더욱이 우리는 그것을 스스로 선택할 권리가 있습니다. 이 동네에 회원이 많다고 가정해보자. (반드시 전부는 아님)어떤 순서. 예를 들어 10번째 학기가 동네에 있다는 사실을 어떻게 기록하나요? 오른쪽에 있게 해주세요. 그런 다음 점 사이의 거리가 "엡실론"보다 작아야 합니다. 그러나 "x/10"이 "a"점의 왼쪽에 있으면 차이가 음수이므로 기호를 추가해야 합니다. 기준 치수: .

정의: 다음과 같은 경우 숫자를 수열의 극한이라고 합니다. 어떠한 것도그 주변 (미리 선택됨)그런 자연수가 있다 모두더 높은 숫자를 가진 시퀀스의 멤버는 이웃 내부에 있게 됩니다.

또는 짧게 말하면: 만약

즉, 우리가 취하는 "엡실론" 값이 아무리 작더라도 조만간 시퀀스의 "무한 꼬리"가 완전히 이 근처에 있게 될 것입니다.

예를 들어 시퀀스의 "무한 꼬리" 지점의 임의의 작은 이웃에 완전히 들어갈 것입니다. 따라서 이 값은 정의에 따른 시퀀스의 한계입니다. 한계가 0인 시퀀스를 호출한다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 극소의.

시퀀스의 경우 더 이상 "끝없는 꼬리"라고 말할 수 없다는 점에 유의해야 합니다. 들어올 것이다"-홀수를 가진 멤버는 실제로 0과 같고 "아무데도 가지 마십시오"=) 이것이 정의에 "나타날 것"이라는 동사가 사용되는 이유입니다. 그리고 물론 이와 같은 시퀀스의 구성원도 "아무데도 가지 않습니다." 그건 그렇고, 숫자가 한계인지 확인하십시오.

이제 시퀀스에 제한이 없음을 보여 드리겠습니다. 예를 들어 점의 이웃을 생각해 보십시오. 그 이후에는 모든 용어가 주어진 이웃에 속하게 되는 그러한 숫자가 없다는 것이 절대적으로 분명합니다. 홀수 용어는 항상 "마이너스 1"로 "점프 아웃"됩니다. 비슷한 이유로 지점에는 제한이 없습니다.

연습을 통해 자료를 통합해 보겠습니다.

실시예 1

수열의 극한이 0임을 증명하십시오. 시퀀스의 모든 멤버가 점의 임의의 작은 이웃 내부에 있음을 보장하는 숫자를 지정합니다.

메모 : 많은 시퀀스의 경우 필요한 자연수는 값에 따라 달라집니다. 따라서 표기법은 입니다.

해결책: 고려하다 임의의 있어요번호 - 더 높은 번호를 가진 모든 구성원이 이 동네 내에 있게 됩니다.

필요한 숫자가 존재함을 나타내기 위해 를 통해 표현합니다.

"en" 값에 대해서는 모듈러스 기호를 제거할 수 있습니다.

우리는 수업 시간에 반복했던 불평등이 있는 "학교" 행동을 사용합니다. 선형 부등식그리고 기능 영역. 이 경우 중요한 상황은 "epsilon"과 "en"이 양수라는 것입니다.

왼쪽은 자연수에 대해 이야기하고 오른쪽은 일반적으로 분수이므로 반올림해야 합니다.

메모 : 때로는 안전을 확보하기 위해 오른쪽에 유닛을 추가하는 경우도 있지만 실제로는 과잉입니다. 상대적으로 말하자면, 반올림하여 결과를 약화시키면 가장 가까운 적합한 숫자("3")가 여전히 원래의 부등식을 충족합니다.

이제 불평등을 살펴보고 처음에 고려했던 내용을 기억해 보겠습니다. 임의의-이웃, 즉 "엡실론"은 다음과 같을 수 있습니다. 누구나양수.

결론: 임의의 작은 점 이웃에 대해 값이 발견되었습니다. . 따라서 숫자는 정의에 따라 수열의 극한입니다. Q.E.D.

그런데 얻은 결과에서 자연스러운 패턴이 명확하게 보입니다. 이웃이 작을수록 숫자가 커지고 그 이후에는 시퀀스의 모든 구성원이 이 이웃에 있게 됩니다. 그러나 "엡실론"이 아무리 작더라도 내부와 외부에는 항상 "무한 꼬리"가 있습니다. 결정적인회원 수.

당신의 인상은 어떻습니까? =) 좀 이상하다는 데 동의합니다. 하지만 엄밀히 말하면!모든 것을 다시 읽고 다시 생각해보세요.

유사한 예를 살펴보고 다른 기술 기술에 대해 알아 보겠습니다.

실시예 2

해결책: 수열의 정의에 따라 다음을 증명하는 것이 필요합니다. (크게 말해!!!).

고려해 봅시다 임의의- 주변 포인트를 확인하고, 존재합니까?자연수 – 모든 더 큰 숫자에 대해 다음 불평등이 유지됩니다.

그러한 존재를 나타내기 위해서는 “en”을 “epsilon”으로 표현해야 합니다. 모듈러스 기호 아래의 표현식을 단순화합니다.

모듈은 빼기 기호를 제거합니다.

모든 "en"의 분모는 양수이므로 막대를 제거할 수 있습니다.

혼합:

이제 우리는 제곱근을 추출해야 하지만 문제는 일부 "엡실론"의 경우 우변이 음수라는 것입니다. 이 문제를 방지하려면 강화하자모듈러스에 따른 불평등:

왜 이것이 가능합니까? 상대적으로 말하면, 조건도 만족될 것입니다. 모듈은 다음을 수행할 수 있습니다. 그냥 늘리세요원하는 번호인데 우리에게도 딱 맞을 것 같아요! 대략적으로 말하자면, 100번째가 적합하다면 200번째도 적합합니다! 정의에 따르면 다음을 표시해야 합니다. 숫자가 존재한다는 사실(적어도 일부), 그 이후에는 시퀀스의 모든 구성원이 -neighborhood에 있게 됩니다. 그런데 이것이 우리가 오른쪽이 위로 올라가는 마지막 반올림을 두려워하지 않는 이유입니다.

루트 추출:

결과를 반올림합니다.

결론: 왜냐하면 "엡실론" 값이 임의로 선택된 다음 해당 지점의 임의로 작은 이웃에 대해 값이 발견되었습니다. , 모든 더 큰 숫자에 대해 불평등이 유지됩니다. . 따라서, 우선순위. Q.E.D.

나는 충고한다 특히불평등의 강화와 약화를 이해하는 것은 수학적 분석에서 일반적이고 매우 일반적인 기술입니다. 모니터링해야 할 유일한 것은 특정 작업의 정확성입니다. 예를 들어 불평등 어떤 상황에서도 그것은 불가능하다 늦추다, 예를 들어 하나를 빼면 다음과 같습니다.

다시 말하지만, 조건에 따라 숫자가 정확히 맞으면 이전 숫자가 더 이상 맞지 않을 수 있습니다.

독립 솔루션에 대한 다음 예는 다음과 같습니다.

실시예 3

수열의 정의를 이용하여 다음을 증명하세요.

수업이 끝나면 간단한 해결책과 답변을 제공합니다.

순서대로라면 무한히 큰, 극한의 정의는 비슷한 방식으로 공식화됩니다. 점이 있으면 수열의 극한이라고 합니다. 당신이 원하는만큼 큰숫자, 모든 더 큰 숫자에 대해 불평등이 충족되는 숫자가 있습니다. 번호가 불려요 "플러스 무한대" 지점 부근:

즉, 우리가 취하는 값이 아무리 크더라도 수열의 "무한한 꼬리"는 필연적으로 점의 주변으로 들어가고 왼쪽에는 유한한 수의 항만 남게 됩니다.

표준 예:

단축 표기법: , if

이 경우 정의를 직접 적어보세요. 올바른 버전은 강의 끝에 있습니다.

실용적인 예를 숙지하고 수열의 극한 정의를 파악한 후에는 미적분학 및/또는 강의 노트에 관한 문헌을 참조할 수 있습니다. Bohan 1권을 다운로드하는 것이 좋습니다. (간단 - 통신 학생용)그리고 피히텐홀츠 (자세하고 자세하게). 다른 저자들 중에서 저는 기술 대학을 대상으로 하는 과정을 진행하는 Piskunov를 추천합니다.

수열의 한계, 증명, 결과와 관련된 정리를 성실하게 연구하십시오. 처음에는 이론이 "흐릿하게" 보일 수 있지만 이는 정상입니다. 익숙해지기만 하면 됩니다. 그리고 많은 사람들이 그것을 맛보게 될 것입니다!

함수의 극한에 대한 엄격한 정의

같은 것부터 시작해 보겠습니다. 이 개념을 어떻게 공식화할까요? 함수의 극한에 대한 언어적 정의는 훨씬 더 간단하게 공식화됩니다. "x"가 다음과 같은 경향이 있는 경우 숫자는 함수의 극한입니다. (왼쪽, 오른쪽 모두), 해당 함수 값은 다음과 같은 경향이 있습니다. (그림 참조). 모든 것이 정상적인 것 같지만 단어는 단어이고 의미는 의미이며 아이콘은 아이콘이며 엄격한 수학적 표기법이 충분하지 않습니다. 두 번째 단락에서는 이 문제를 해결하는 두 가지 접근 방식에 대해 알아 보겠습니다.

가능한 점을 제외하고 특정 간격으로 함수를 정의하십시오. 교육 문헌에서는 일반적으로 그곳의 기능이 인정됩니다. 아니다한정된:

이 선택은 강조한다 함수 극한의 본질: "엑스" 무한히 가까운접근하고 함수의 해당 값은 다음과 같습니다. 무한히 가까운에게 . 즉, 극한의 개념은 점에 대한 “정확한 접근”을 의미하는 것이 아니라, 즉 무한히 가까운 근사, 해당 지점에서 함수가 정의되었는지 여부는 중요하지 않습니다.

함수의 극한에 대한 첫 번째 정의는 당연히 두 개의 수열을 사용하여 공식화됩니다. 첫째, 개념은 관련되어 있고, 둘째, 함수의 극한은 일반적으로 수열의 극한 이후에 연구됩니다.

순서를 고려하세요 포인트들 (그림에는 없음), 간격에 속하며 와는 다르다, 어느 수렴에게 . 그런 다음 해당 함수 값도 숫자 시퀀스를 형성하며 그 멤버는 세로축에 위치합니다.

하이네에 따른 기능의 한계 어떠한 것도일련의 점 (에 속하고 다른)가 점으로 수렴하면 함수 값의 해당 시퀀스가 ​​로 수렴됩니다.

에두아르트 하이네(Eduard Heine)는 독일의 수학자이다. ...그리고 그렇게 생각할 필요도 없습니다. 유럽에는 게이가 단 한 명뿐입니다 - Gay-Lussac =)

한계의 두 번째 정의가 만들어졌습니다... 예, 예, 당신 말이 맞습니다. 하지만 먼저 디자인을 이해해 봅시다. 임의의 지점 이웃을 고려하십시오. (“검은색” 동네). 이전 단락에 따르면 항목은 다음을 의미합니다. 어떤 가치함수는 "epsilon" 근처에 있습니다.

이제 우리는 주어진 -neighborhood에 해당하는 -neighborhood를 찾습니다. (생각 속으로 검은 점선을 왼쪽에서 오른쪽으로 그리고 위에서 아래로 그립니다). 값이 선택되었습니다. 더 작은 세그먼트의 길이를 따라, 이 경우에는 더 짧은 왼쪽 세그먼트의 길이를 따라. 또한 다음 정의에서 "라즈베리"-점의 이웃도 줄일 수 있습니다. 존재 자체가 중요하다이 동네. 마찬가지로 이 표기법은 일부 값이 "델타" 인근에 있음을 의미합니다.

코시 기능 제한: 숫자는 다음과 같은 경우 한 지점에서 함수의 극한이라고 합니다. 어떠한 것도 미리 선택된이웃 (원하는만큼 작음), 존재한다- 포인트 인근, 그런, 즉: 유일한 가치 (에 속하는)이 영역에는 다음이 포함됩니다. (빨간색 화살표)– 따라서 즉시 해당 함수 값이 -neighborhood에 들어가는 것이 보장됩니다. (파란색 화살표).

명확성을 위해 약간 즉흥적으로 만들었으므로 과도하게 사용하지 마십시오 =)

짧은 항목: , 경우

정의의 본질은 무엇입니까? 비유적으로 말하자면, -neighborhood를 무한히 줄임으로써 우리는 함수 값을 한계까지 "동반"하여 다른 곳에 접근할 수 있는 대안을 남기지 않습니다. 매우 이례적이지만 다시 한번 엄격합니다! 아이디어를 완전히 이해하려면 문구를 다시 읽어보세요.

! 주목: 공식화만 필요한 경우 하이네의 정의아니면 그냥 코시 정의제발 잊지 마세요 중요한예비 의견: "가능한 점을 제외하고 특정 간격으로 정의되는 함수를 고려하십시오.". 나는 이것을 맨 처음에 한 번만 언급했고 매번 반복하지는 않았습니다.

해당하는 수학적 분석 정리에 따르면 Heine과 Cauchy 정의는 동일하지만 두 번째 옵션이 가장 유명합니다. (그래도 그럴 거야!), '언어 제한'이라고도 합니다.

실시예 4

극한의 정의를 사용하여 다음을 증명하십시오.

해결책: 해당 점을 제외한 수직선 전체에 함수가 정의됩니다. 정의를 사용하여 특정 지점에 극한이 존재함을 증명합니다.

메모 : "델타" 이웃의 값은 "엡실론"에 따라 달라지므로 지정됩니다.

고려해 봅시다 임의의-주위. 작업은 이 값을 사용하여 다음을 확인하는 것입니다. 존재합니까?-주위, 그런, 불평등으로부터 불평등이 따른다 .

이라고 가정하면 마지막 부등식을 변환합니다.
(이차 삼항식을 전개했습니다)