Даден е десен кружен конус со теме. Лекција „Волумен на конус

V цилиндар \u003d S главен. ч

Пример 2Даден е десниот кружен конус ABC рамностран, BO = 10. Најдете го волуменот на конусот.

Решение

Најдете го радиусот на основата на конусот. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Нека ОС = А, потоа BC = 2 А. Според Питагоровата теорема:

Одговор: .

Пример 3. Пресметајте ги волумените на фигурите формирани со ротација на областите ограничени со наведените линии.

y2=4x; y=0; x=4.

Граници на интеграција a = 0, b = 4.

V= | =32π

Задачи

Опција 1

1. Аксијалниот пресек на цилиндерот е квадрат, чија дијагонала е 4 dm. Најдете го волуменот на цилиндерот.

2. Надворешниот дијаметар на шупливата сфера е 18 cm, дебелината на ѕидот е 3 cm. Најдете го волуменот на ѕидовите на сферата.

X фигура ограничена со прави y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Опција 2

1. Радиусите на три топчиња се 6 cm, 8 cm, 10 cm Одреди го радиусот на топката чиј волумен е еднаков на збирот на волумените на овие топчиња.

2. Површината на основата на конусот е 9 cm 2, неговата вкупна површина е 24 cm 2. Најдете го волуменот на конусот.

3. Пресметај го волуменот на телото формиран со ротација околу оската О Xфигура ограничена со прави y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Контролни прашања:

1. Напиши ги својствата на волумените на телата.

2. Напиши формула за пресметување на волуменот на телото на вртење околу оската Oy.

ТЕКСТ ОБЈАСНУВАЊЕ НА ЧАСОТ:

Продолжуваме да го проучуваме делот за цврста геометрија „Тело на револуцијата“.

Телата на револуцијата вклучуваат: цилиндри, конуси, топки.

Да се ​​потсетиме на дефинициите.

Висината е растојанието од врвот на фигурата или телото до основата на фигурата (телото). Инаку, сегмент што ги поврзува горниот и долниот дел од фигурата и нормално на него.

Запомнете, за да ја пронајдете плоштината на кругот, помножете го пи со квадратот на радиусот.

Областа на кругот е еднаква.

Потсетете се како да ја пронајдете областа на кругот, знаејќи го дијаметарот? Бидејќи

ајде да го ставиме во формулата:

Конусот е исто така тело на револуција.

Конус (поточно, кружен конус) е тело што се состои од круг - основата на конусот, точка што не лежи во рамнината на овој круг - врвот на конусот и сите сегменти што го поврзуваат врвот на конусот со точките на основата.

Ајде да се запознаеме со формулата за наоѓање волумен на конус.

Теорема. Волуменот на конусот е еднаков на една третина од основната површина помножена со висината.

Ајде да ја докажеме оваа теорема.

Со оглед на: конус, S е областа на неговата основа,

h е висината на конусот

Докажи: V=

Доказ: Размислете за конус со волумен V, радиус на основата R, висина h и врв во точката O.

Да ја воведеме оската Ox преку OM, оската на конусот. Произволен пресек на конус со рамнина нормална на оската x е круг центриран во точката

М1 - точката на пресек на оваа рамнина со оската Окс. Да го означиме радиусот на оваа кружница како R1, а површината на попречниот пресек како S(x), каде што x е апсциса на точката M1.

Од сличноста на правоаголните триаголници OM1A1 и OMA (ے OM1A1 = ے OMA - прави линии, ےMOA-заедничко, што значи дека триаголниците се слични во два агли) произлегува дека

Сликата покажува дека OM1=x, OM=h

или од каде по својството на пропорција наоѓаме R1 = .

Бидејќи делот е круг, а потоа S (x) \u003d πR12, го заменуваме претходниот израз наместо R1, површината на пресекот е еднаква на односот на производот од квадрат со квадрат x до квадратот на висината:

Да ја примениме основната формула

пресметувајќи ги волумените на телата, со a=0, b=h го добиваме изразот (1)

Бидејќи основата на конусот е круг, плоштината S на основата на конусот ќе биде еднаква на пи ер квадрат

во формулата за пресметување на волуменот на телото, ја заменуваме вредноста на квадратот со плоштината на основата и добиваме дека волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот на површината на основата и висината

Теоремата е докажана.

Последица на теоремата (формула за волумен на скратен конус)

Волуменот V на скратен конус, чија висина е h, и плоштините на базите S и S1, се пресметуваат со формулата

Ve е еднаква на една третина од пепелта помножена со збирот на плоштините на основите и квадратниот корен од производот од површините на основата.

Решавање на проблем

Правоаголен триаголник со краци 3 cm и 4 cm се врти околу хипотенузата. Одреди го волуменот на добиеното тело.

Кога триаголникот се ротира околу хипотенузата, добиваме конус. Кога се решава овој проблем, важно е да се разбере дека се можни два случаи. Во секој од нив ја применуваме формулата за наоѓање волумен на конус: волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот на основата и висината

Во првиот случај, цртежот ќе изгледа вака: даден е конус. Нека радиус r = 4, висина h = 3

Површината на основата е еднаква на производот од π пати од квадратот на радиусот

Тогаш волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот од π пати од квадратот на радиусот повеќе од висината.

Заменете ја вредноста во формулата, излегува дека волуменот на конусот е 16π.

Во вториот случај, вака: даден конус. Нека радиус r = 3, висина h = 4

Волуменот на конусот е еднаков на една третина од основната површина помножена со висината:

Површината на основата е еднаква на производот од π пати од квадратот на радиусот:

Тогаш волуменот на конусот е еднаков на една третина од производот од π пати од квадратот на радиусот повеќе од висината:

Заменете ја вредноста во формулата, излегува дека волуменот на конусот е 12π.

Одговор: Волуменот на конусот V е 16 π или 12 π

Задача 2. Даден е прав кружен конус со радиус од 6 cm, агол BCO = 45 .

Најдете го волуменот на конусот.

Решение: За оваа задача е даден готов цртеж.

Да ја напишеме формулата за наоѓање волумен на конус:

Го изразуваме во однос на радиусот на основата R:

Го наоѓаме h \u003d BO по конструкција, - правоаголна, затоа што агол BOC=90 (збир на агли на триаголник), аглите на основата се еднакви, па триаголникот ΔBOC е рамнокрак и BO=OC=6 cm.

Нека е даден десен кружен цилиндар, хоризонталната рамнина на проекции е паралелна со нејзината основа. Кога цилиндерот е пресечен со рамнина во општа положба (претпоставуваме дека рамнината не ги пресекува основите на цилиндерот), линијата на пресек е елипса, самиот дел има форма на елипса, неговата хоризонтална проекција се совпаѓа со проекција на основата на цилиндерот, а и предниот дел има облик на елипса. Но, ако рамнината за сечење прави агол еднаков на 45 ° со оската на цилиндерот, тогаш делот, кој има форма на елипса, се проектира со круг на таа рамнина на проекции кон која делот е наклонет исто. агол.

Ако рамнината за сечење ја пресекува страничната површина на цилиндерот и една од неговите основи (сл. 8.6), тогаш линијата на пресек има форма на нецелосна елипса (дел од елипса). Хоризонталната проекција на пресекот во овој случај е дел од кругот (проекција на основата), а фронталната е дел од елипсата. Рамнината може да се наоѓа нормално на која било проекциска рамнина, тогаш делот ќе биде проектиран на оваа проекција рамнина со права линија (дел од трагата на секантната рамнина).

Ако цилиндерот е пресечен со рамнина паралелна на генератриксот, тогаш линиите на пресек со страничната површина се прави, а самиот пресек има форма на правоаголник ако цилиндерот е исправен, или паралелограм ако цилиндерот е наклонет.

Како што знаете, и цилиндерот и конусот се формираат од управувани површини.

Линијата на пресек (линија на сечење) на владеената површина и рамнината во општиот случај е одредена крива, која се конструира од точките на пресек на генераторите со рамнината на секантот.

Нека се даде директно кружен конус.При вкрстување со рамнина, линијата на пресек може да има форма на: триаголник, елипса, круг, парабола, хипербола (сл. 8.7), во зависност од локацијата на рамнината.

Триаголник се добива кога рамнината за сечење, преминувајќи го конусот, поминува низ неговото теме. Во овој случај, линиите на пресек со страничната површина се прави линии што се сечат на врвот на конусот, кои заедно со линијата на пресек на основата формираат триаголник проектиран на проекционите рамнини со изобличување. Ако рамнината ја пресекува оската на конусот, тогаш во пресекот се добива триаголник во кој аголот со темето што се совпаѓа со темето на конусот ќе биде максимален за триаголните пресеци на дадениот конус. Во овој случај, делот се проектира на хоризонталната проекција рамнина (тоа е паралелна со неговата основа) со праволиниски сегмент.

Линијата на пресек на рамнина и конус ќе биде елипса ако рамнината не е паралелна со некој од генераторите на конусот. Ова е еквивалентно на фактот дека рамнината ги пресекува сите генератори (целата странична површина на конусот). Ако рамнината на сечењето е паралелна со основата на конусот, тогаш линијата на пресекот е круг, самиот дел е проектиран на хоризонталната проекција рамнина без изобличување, а на фронталната рамнина - како сегмент од права линија.

Линијата на пресек ќе биде парабола кога секантната рамнина е паралелна само со една генератриса на конусот. Ако рамнината на сечење е паралелна со два генератори истовремено, тогаш линијата на пресек е хипербола.

Скратен конус се добива ако десниот кружен конус се сече со рамнина паралелна на основата и нормална на оската на конусот, а горниот дел се отфрли. Во случај кога хоризонталната проекциска рамнина е паралелна со основите на скратениот конус, овие основи се проектираат на хоризонталната проекција рамнина без изобличување со концентрични кругови, а фронталната проекција е трапез. Кога скратениот конус е пресечен со рамнина, во зависност од нејзината локација, линијата за сечење може да има форма на трапез, елипса, круг, парабола, хипербола или дел од една од овие кривини, чии краеви се поврзани со права линија.

Дијагностичката работа се состои од два дела, вклучувајќи 19 задачи. Првиот дел содржи 8 задачи од основно ниво на сложеност со краток одговор. Вториот дел содржи 4 задачи со зголемено ниво на сложеност со краток одговор и 7 задачи со зголемено и високо ниво на сложеност со детален одговор.
За извршување на дијагностичка работа по математика се предвидени 3 часа 55 минути (235 минути).
Одговорите на задачите 1-12 се запишуваат како цел број или конечна децимална дропка. Запишете ги броевите во полињата за одговори во текстот на делото, а потоа префрлете ги во одговорниот лист бр. 2.
Сите обрасци се пополнети со светло црно мастило. Дозволена е употреба на гел, капиларни или фонтански пенкала.
Кога ги завршувате задачите, можете да користите нацрт. Нацрт-записите не се сметаат за оценка на работата.
Поените што ги добивате за завршените задачи се сумирани.
Ви посакуваме успех!

Услови за задачи

1. Најдете дали
2. За да се добие зголемена слика на сијалица на екранот во лабораторијата, се користи конвергентна леќа со главна фокусна должина = 30 cm Растојанието од објективот до сијалицата може да варира од 40 до 65 cm, а растојанието од објективот до екранот - во опсег од 75 до 100 см Сликата на екранот ќе биде јасна ако односот е исполнет. Наведете го најголемото растојание од објективот на кое сијалицата може да се постави така што нејзината слика на екранот е јасна. Изразете го вашиот одговор во сантиметри.
3. Бродот минува покрај реката до дестинацијата 300 км и по паркирањето се враќа на местото на поаѓање. Пронајдете ја брзината на струјата, ако брзината на бродот во мирна вода е 15 km/h, паркирањето трае 5 часа, а бродот се враќа во точката на поаѓање 50 часа откако ќе го напушти. Дајте го вашиот одговор во km/h.
4. Најдете ја најмалата вредност на функцијата на отсечка
5. а) Решете ја равенката б) Најдете ги сите корени на оваа равенка што припаѓаат на отсечката
6. Даден е десен кружен конус со теме М. Аксијален пресек на конусот - триаголник со агол од 120 ° на врвот М. Генераторот на конусот е . Преку точката Мдел од конусот е нацртан нормално на еден од генераторите.
   а) Докажете дека добиениот триаголник е тап триаголник.
   б) Најдете го растојанието од центарот ЗАосновата на конусот до рамнината на пресекот.
7. Решете ја равенката
8. Круг со центар ЗАја допира страната АБрамнокрак триаголник abc,странични екстензии ACи продолжување на основањето Сонцетово точката Н. Точка М- средината на основата Сонцето.
   а) Докажете го тоа MN=AC.
   б) Најдете ОС,ако страните на триаголникот ABCсе 5, 5 и 8.
9. Деловниот проект „А“ претпоставува зголемување на износите вложени во него за 34,56% на годишно ниво во текот на првите две години и за 44% на годишно ниво во следните две години. Проектот Б претпоставува раст од константен цел број nпроценти на годишно ниво. Најдете ја најмалата вредност n, според кој во првите четири години проектот „Б“ ќе биде попрофитабилен од проектот „А“.
10. Најдете ги сите вредности на параметарот , , од кои за секоја е системот на равенки го има единственото решение
11. Ања игра игра: два различни природни броеви се напишани на таблата и , и двата се помали од 1000. Ако и двата се природни броеви, тогаш Ања прави потег - ги заменува претходните со овие два броја. Ако барем еден од овие броеви не е природен број, тогаш играта завршува.
    а) Дали играта може да продолжи на точно три потези?
    б) Дали има два почетни броја такви што играта ќе трае најмалку 9 потези?
    в) Ања го направи првиот потег во играта. Најдете го најголемиот можен однос на производот од добиените два броја со производот