Кружно движење. Равенка на кружно движење

Теми на кодификаторот за унифициран државен испит: движење во круг со константна апсолутна брзина, центрипетално забрзување.

Еднообразно движење околу круг - Ова е прилично едноставен пример за движење со вектор на забрзување што зависи од времето.

Нека точката ротира по круг со радиус. Брзината на точката е константна во апсолутна вредност и еднаква на . Брзината се нарекува линеарна брзинапоени.

Период на циркулација - ова е време на една целосна револуција. За периодот имаме очигледна формула:

. (1)

Фреквенција е реципроцитет на периодот:

Фреквенцијата покажува колку целосни вртежи прави една точка во секунда. Фреквенцијата се мери во rps (вртежи во секунда).

Нека, на пример,. Ова значи дека во текот на времето точката ја прави една комплетна
прометот Фреквенцијата тогаш е еднаква на: r/s; во секунда точката прави 10 целосни вртежи.

Аголна брзина.

Да ја разгледаме подеднаквата ротација на точка во Декартов координатен систем. Да го поставиме потеклото на координатите во центарот на кругот (сл. 1).

Ориз. 1. Еднообразно движење во круг

Нека е почетната позиција на точката; со други зборови, во точката имаше координати. Оставете ја точката да се сврти низ агол и да заземе позиција.

Односот на аголот на ротација со времето се нарекува аголна брзина ротација на точка:

. (2)

Аголот обично се мери во радијани, така што аголната брзина се мери во rad/s. Во време еднакво на периодот на ротација, точката ротира низ агол. Затоа

. (3)

Споредувајќи ги формулите (1) и (3), ја добиваме врската помеѓу линеарните и аголните брзини:

. (4)

Закон за движење.

Сега да ја најдеме зависноста на координатите на ротирачката точка на времето. Гледаме од Сл. 1 тоа

Но од формулата (2) имаме: . Оттука,

. (5)

Формулите (5) се решение за главниот проблем на механиката за еднообразно движење на точка по кружница.

Центрипетално забрзување.

Сега сме заинтересирани за забрзувањето на точката на вртење. Може да се најде со диференцирање на односите (5) двапати:

Земајќи ги предвид формулите (5) имаме:

(6)

Добиените формули (6) може да се напишат како една векторска еднаквост:

(7)

каде е векторот на радиусот на точката на вртење.

Гледаме дека векторот на забрзување е насочен спротивно на векторот на радиусот, т.е. кон центарот на кругот (види слика 1). Според тоа, се нарекува забрзување на точка што се движи рамномерно околу круг центрипетален.

Дополнително, од формулата (7) добиваме израз за модулот на центрипеталното забрзување:

(8)

Да ја изразиме аголната брзина од (4)

и заменете го во (8). Ајде да добиеме друга формула за центрипетално забрзување.

Во оваа лекција ќе го разгледаме криволинеарното движење, имено еднообразното движење на телото во круг. Ќе научиме што е линеарна брзина, центрипетално забрзување кога телото се движи во круг. Ќе воведеме и величини кои го карактеризираат ротационото движење (период на ротација, фреквенција на ротација, аголна брзина) и ќе ги поврземе овие величини едни со други.

Под рамномерно кружно движење подразбираме дека телото ротира низ истиот агол во кој било еднаков временски период (види Сл. 6).

Ориз. 6. Еднообразно движење во круг

Тоа е, модулот за моментална брзина не се менува:

Оваа брзина се нарекува линеарна.

Иако големината на брзината не се менува, насоката на брзината постојано се менува. Да ги разгледаме векторите на брзината во точките АИ Б(види Сл. 7). Тие се насочени во различни насоки, па затоа не се еднакви. Ако ја одземеме брзината во точката Ббрзина во точка А, го добиваме векторот .

Ориз. 7. Вектори на брзина

Односот на промената на брзината () до времето во кое се случила оваа промена () е забрзување.

Затоа, секое кривилинеарно движење е забрзано.

Ако го земеме предвид брзиот триаголник добиен на слика 7, тогаш со многу близок распоред на точките АИ Беден до друг, аголот (α) помеѓу векторите на брзината ќе биде блиску до нула:

Исто така, познато е дека овој триаголник е рамнокрак, затоа модулите за брзина се еднакви (униформно движење):

Затоа, двата агли во основата на овој триаголник се неодредено блиску до:

Ова значи дека забрзувањето, кое е насочено по векторот, е всушност нормално на тангентата. Познато е дека правата во круг нормална на тангента е радиус, затоа забрзувањето е насочено по радиусот кон центарот на кругот. Ова забрзување се нарекува центрипетално.

Слика 8 го прикажува претходно дискутираниот триаголник за брзина и рамнокрак триаголник (двете страни се радиусите на кругот). Овие триаголници се слични бидејќи имаат еднакви агли формирани од меѓусебно нормални линии (радиусот и векторот се нормални на тангентата).

Ориз. 8. Илустрација за изведување на формулата за центрипетално забрзување

Линиски сегмент АБе потег(). Разгледуваме еднообразно движење во круг, затоа:

Дозволете ни да го замениме добиениот израз за АБво формулата за сличност на триаголник:

Концептите „линеарна брзина“, „забрзување“, „координати“ не се доволни за да се опише движењето по заоблена траекторија. Затоа, неопходно е да се воведат количини што го карактеризираат ротационото движење.

1. период на ротација (Т ) се нарекува време на една целосна револуција. Се мери во SI единици во секунди.

Примери на периоди: Земјата ротира околу својата оска за 24 часа (), а околу Сонцето - за 1 година ().

Формула за пресметување на периодот:

каде е вкупното време на ротација; - број на вртежи.

2. Фреквенција на ротација (n ) - бројот на вртежи што телото ги прави по единица време. Се мери во SI единици во реципрочни секунди.

Формула за наоѓање фреквенција:

каде е вкупното време на ротација; - број на вртежи

Фреквенцијата и периодот се обратно пропорционални величини:

3. Аголна брзина () повикајте го односот на промената на аголот низ кој телото се свртело до времето во кое се случило оваа ротација. Се мери во SI единици во радијани поделени со секунди.

Формула за наоѓање аголна брзина:

каде е промената на аголот; - време во кое се случило вртењето низ аголот.

Кружното движење е наједноставниот случај на криволиниско движење на телото. Кога телото се движи околу одредена точка, заедно со векторот на поместување, погодно е да се внесе аголното поместување ∆ φ (агол на ротација во однос на центарот на кругот), мерено во радијани.

Знаејќи го аголното поместување, можете да ја пресметате должината на кружниот лак (патека) што телото го поминало.

∆ l = R ∆ φ

Ако аголот на ротација е мал, тогаш ∆ l ≈ ∆ s.

Да го илустрираме кажаното:

Аголна брзина

Со криволинеарно движење се воведува концептот на аголна брзина ω, односно брзина на промена на аголот на ротација.

Дефиниција. Аголна брзина

Аголната брзина во дадена точка од траекторијата е граница на односот на аголното поместување ∆ φ на временскиот интервал ∆ t во текот на кој се случило. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Мерната единица за аголна брзина е радијан во секунда (r a d s).

Постои врска помеѓу аголната и линеарната брзина на телото кога се движи во круг. Формула за наоѓање аголна брзина:

Со еднообразно движење во круг, брзините v и ω остануваат непроменети. Се менува само насоката на векторот на линеарна брзина.

Во овој случај, еднообразното движење во круг влијае на телото со центрипетално, или нормално забрзување, насочено по радиусот на кругот до неговиот центар.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Модулот на центрипеталното забрзување може да се пресмета со формулата:

a n = v 2 R = ω 2 R

Да ги докажеме овие односи.

Да разгледаме како векторот v → се менува за краток временски период ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

Во точките А и Б, векторот на брзината е насочен тангенцијално на кругот, додека модулите за брзина во двете точки се исти.

По дефиниција за забрзување:

a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Ајде да ја погледнеме сликата:

Триаголниците OAB и BCD се слични. Од ова произлегува дека O A A B = B C C D.

Ако вредноста на аголот ∆ φ е мала, растојанието A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Имајќи предвид дека O A = R и C D = ∆ v за сличните триаголници разгледани погоре, добиваме:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

Кога ∆ φ → 0, насоката на векторот ∆ v → = v B → - v A → се приближува кон правецот до центарот на кругот. Под претпоставка дека ∆ t → 0, добиваме:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R.

Со еднообразно движење околу кругот, модулот на забрзување останува константен, а насоката на векторот се менува со текот на времето, одржувајќи ја ориентацијата кон центарот на кругот. Затоа ова забрзување се нарекува центрипетално: векторот во секој момент од времето е насочен кон центарот на кругот.

Запишувањето центрипетално забрзување во векторска форма изгледа вака:

a n → = - ω 2 R → .

Овде R → е вектор на радиус на точка на круг со неговото потекло во центарот.

Општо земено, забрзувањето при движење во круг се состои од две компоненти - нормално и тангенцијално.

Да го разгледаме случајот кога едно тело се движи нерамномерно околу круг. Да го воведеме концептот на тангенцијално (тангенцијално) забрзување. Нејзината насока се совпаѓа со насоката на линеарната брзина на телото и во секоја точка од кругот е насочена тангента на него.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Овде ∆ v τ = v 2 - v 1 - промена на модулот за брзина во текот на интервалот ∆ t

Насоката на вкупното забрзување се определува со векторскиот збир на нормалното и тангенцијалното забрзување.

Кружното движење во рамнина може да се опише со користење на две координати: x и y. Во секој момент од времето, брзината на телото може да се разложи на компоненти v x и v y.

Ако движењето е подеднакво, величините v x и v y како и соодветните координати ќе се променат во времето според хармоничниот закон со период T = 2 π R v = 2 π ω

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter