Формулата за наоѓање на плоштината на триаголник во однос на синусот на аголот. Теорема за плоштина на триаголник, теореми на синус и косинус

Може да се најде со познавање на основата и висината. Целата едноставност на шемата лежи во фактот што висината ја дели основата a на два дела a 1 и a 2, а самиот триаголник на два правоаголни триаголници, површината на која се добива и. Тогаш плоштината на целиот триаголник ќе биде збир на двете посочени области, и ако извадиме една половина од висината од заградата, тогаш вкупно ја враќаме основата:

Потешкиот метод за пресметки е формулата Херон, за која треба да ги знаете сите три страни. За оваа формула, прво мора да го пресметате полупериметарот на триаголникот: Самата формула на Херон го подразбира квадратниот корен на полупериметарот, помножен за возврат со неговата разлика на секоја страна.

Следниот метод, исто така релевантен за кој било триаголник, ви овозможува да ја пронајдете областа на триаголникот преку две страни и аголот меѓу нив. Доказот за ова следи од формулата со висина - ја повлекуваме висината на која било од познатите страни и преку синусот на аголот α добиваме дека h=a⋅sinα . За да ја пресметате површината, помножете половина од висината со втората страна.

Друг начин е да се најде плоштината на триаголникот со 2 агли и страната меѓу нив. Доказот за оваа формула е прилично едноставен и може јасно да се види од дијаграмот.

Ја спуштаме висината од горниот дел на третиот агол до познатата страна и ги нарекуваме добиените сегменти x, соодветно. Од правоаголните триаголници може да се види дека првата отсечка x е еднаква на производот

Едноставно, ова е зеленчук варен во вода по посебен рецепт. Ќе разгледам две почетни компоненти (салата од зеленчук и вода) и готовиот резултат - борш. Геометриски, ова може да се претстави како правоаголник во кој едната страна означува зелена салата, другата страна означува вода. Збирот на овие две страни ќе означи борш. Дијагоналата и површината на таков „борш“ правоаголник се чисто математички концепти и никогаш не се користат во рецептите за борш.

Во учебниците по математика нема да најдете ништо за функциите на линеарни агли. Но, без нив не може да има математика. Законите на математиката, како и законите на природата, функционираат без разлика дали знаеме дека постојат или не.

Линеарни аголни функции се законите на собирање.Погледнете како алгебрата се претвора во геометрија, а геометријата во тригонометрија.

Дали е можно да се направи без линеарни аголни функции? Можеш, затоа што математичарите се уште се снаоѓаат без нив. Трикот на математичарите лежи во тоа што тие секогаш ни кажуваат само за оние проблеми што самите можат да ги решат, а никогаш не ни кажуваат за оние проблеми што не можат да ги решат. Види. Ако го знаеме резултатот од собирањето и еден член, користиме одземање за да го најдеме другиот член. Сè. Други проблеми не знаеме и не сме во состојба да ги решиме. Што да правиме ако го знаеме само резултатот од собирањето и не ги знаеме двата поима? Во овој случај, резултатот од собирањето мора да се разложи на два члена користејќи линеарни аголни функции. Понатаму, ние самите избираме што може да биде еден член, а линеарните аголни функции покажуваат каков треба да биде вториот член за резултатот од собирањето да биде токму онаков каков што ни треба. Може да има бесконечен број такви парови поими. Во секојдневниот живот, ние работиме многу добро без да го разложуваме збирот; одземањето ни е доволно. Но, во научните студии за законите на природата, проширувањето на збирот во термини може да биде многу корисно.

Друг закон за собирање за кој математичарите не сакаат да зборуваат (уште еден нивен трик) бара поимите да имаат иста единица мерка. За зелена салата, вода и борш, овие може да бидат единици за тежина, волумен, цена или единица мерка.

Сликата покажува две нивоа на разлика за математика. Првото ниво се разликите во полето на броеви, кои се посочени а, б, в. Ова е она што го прават математичарите. Второто ниво се разликите во областа на мерните единици, кои се прикажани во квадратни загради и се означени со буквата У. Ова е она што го прават физичарите. Можеме да го разбереме третото ниво - разликите во опсегот на опишаните објекти. Различни предмети може да имаат ист број на исти мерни единици. Колку е ова важно, можеме да видиме на примерот на тригонометријата на боршот. Ако додадеме подлоги на истата нотација за мерните единици на различни објекти, можеме да кажеме точно која математичка величина опишува одреден објект и како тој се менува со текот на времето или во врска со нашите дејства. писмо ВЌе ја обележам водата со буквата ССо буквата ќе ја означам салатата Б- борш. Еве како би изгледале функциите на линеарниот агол за боршот.

Ако земеме дел од водата и дел од салатата, заедно ќе се претворат во една порција борш. Еве ви предлагам малку да одморите од боршот и да се потсетите на вашето далечно детство. Се сеќавате како нè учеа да собираме зајачиња и патки? Требаше да се открие колку животни ќе испаднат. Што тогаш бевме научени да правиме? Бевме научени да ги одделуваме единиците од броевите и да собираме броеви. Да, кој било број може да се додаде на кој било друг број. Ова е директен пат до аутизмот на модерната математика - не разбираме што, не е јасно зошто, и многу лошо разбираме како ова се поврзува со реалноста, бидејќи на трите нивоа на разлика, математичарите работат само на едно. Ќе биде поправилно да научите како да се движите од една мерна единица во друга.

И зајачињата, патките и малите животни може да се избројат на парчиња. Една заедничка мерна единица за различни објекти ни овозможува да ги собереме заедно. Ова е детска верзија на проблемот. Ајде да погледнеме сличен проблем за возрасните. Што добивате кога додавате зајачиња и пари? Тука има две можни решенија.

Првата опција. Ја одредуваме пазарната вредност на зајачињата и ја додаваме на расположливите пари. Ја добивме вкупната вредност на нашето богатство во однос на пари.

Втора опција. Можете да го додадете бројот на зајачиња на бројот на банкноти што ги имаме. Износот на движниот имот ќе го добиеме на парчиња.

Како што можете да видите, истиот закон за собирање ви овозможува да добиете различни резултати. Се зависи од тоа што точно сакаме да знаеме.

Но, назад кон нашиот борш. Сега можеме да видиме што ќе се случи за различни вредности на аголот на функциите на линеарниот агол.

Аголот е нула. Имаме салата, но немаме вода. Не можеме да готвиме борш. Количината на борш е исто така нула. Тоа воопшто не значи дека нула борш е еднаков на нула вода. Нула борш може да биде и на нула салата (прав агол).

За мене лично ова е главниот математички доказ за фактот дека . Нулата не го менува бројот кога се додава. Тоа е затоа што самото собирање е невозможно ако има само еден член, а вториот член недостасува. Можете да се однесувате на ова како сакате, но запомнете - сите математички операции со нула се измислени од самите математичари, затоа отфрлете ја вашата логика и глупаво натрупајте ги дефинициите измислени од математичарите: „делење со нула е невозможно“, „било кој број помножен со нула е еднакво на нула“, „зад точката нула“ и други глупости. Доволно е еднаш да запомните дека нулата не е број и никогаш нема да имате прашање дали нулата е природен број или не, бидејќи ваквото прашање генерално губи секакво значење: како може да се смета за број што не е број . Тоа е исто како да прашувате на која боја да и припишете невидлива боја. Додавањето нула на број е како сликање со боја која не постои. Замавнаа со сува четка и на сите им кажуваат дека „сликавме“. Но, малку се оддалечувам.

Аголот е поголем од нула, но помал од четириесет и пет степени. Имаме многу зелена салата, но малку вода. Како резултат на тоа, добиваме густ борш.

Аголот е четириесет и пет степени. Имаме еднакви количини на вода и зелена салата. Ова е совршен борш (да ми простат готвачите, тоа е само математика).

Аголот е поголем од четириесет и пет степени, но помал од деведесет степени. Имаме многу вода и малку зелена салата. Земете течен борш.

Прав агол. Имаме вода. Остануваат само спомени од зелената салата, додека продолжуваме да го мериме аголот од линијата што некогаш ја означувала зелената салата. Не можеме да готвиме борш. Количината на борш е нула. Во тој случај, држете се и пијте вода додека е достапна)))

Еве. Нешто како ова. Овде можам да раскажам други приказни кои овде ќе бидат повеќе од соодветни.

Двајцата пријатели имале свој удел во заедничката работа. По убиството на едниот, се отиде кај другиот.

Појавата на математиката на нашата планета.

Сите овие приказни се раскажани на математички јазик користејќи линеарни аголни функции. Некој друг пат ќе ви го покажам вистинското место на овие функции во структурата на математиката. Во меѓувреме, да се вратиме на тригонометријата на боршот и да ги разгледаме проекциите.

Сабота, 26 октомври 2019 г

Гледав интересно видео за Редот на Гранди Еден минус еден плус еден минус еден - Numberphile. Математичарите лажат. Тие не направија тест за еднаквост во расудувањето.

Ова одекнува со моето размислување за .

Да ги погледнеме подетално знаците дека математичарите не мамат. На самиот почеток на расудувањето, математичарите велат дека збирот на низата ЗАВИСИ дали бројот на елементите во неа е парен или не. Ова е ОБЈЕКТИВНО Утврден ФАКТ. Што ќе се случи следно?

Следно, математичарите ја одземаат низата од единството. До што води ова? Ова доведува до промена на бројот на елементи во низата - парен број се менува во непарен број, непарен број се менува во парен број. На крајот на краиштата, додадовме еден елемент еднаков на еден во низата. И покрај сета надворешна сличност, низата пред трансформацијата не е еднаква на низата по трансформацијата. Дури и ако зборуваме за бесконечна низа, мора да запомниме дека бесконечна низа со непарен број елементи не е еднаква на бесконечна низа со парен број елементи.

Ставајќи знак за еднаквост помеѓу две низи различни по бројот на елементите, математичарите тврдат дека збирот на низата НЕ ЗАВИСИ од бројот на елементи во низата, што е во спротивност со ОБЈЕКТИВНО Утврден ФАКТ. Понатамошното размислување за збирот на бесконечна низа е неточно, бидејќи се заснова на лажна еднаквост.

Ако видите дека математичарите поставуваат загради во текот на докажувањето, ги преуредуваат елементите на математичкиот израз, додаваат или отстрануваат нешто, бидете многу внимателни, најверојатно тие се обидуваат да ве измамат. Како маѓепсници на карти, математичарите ви го пренасочуваат вниманието со разни манипулации со изразот за на крајот да ви дадат лажен резултат. Ако не можете да го повторите трикот со карти без да ја знаете тајната на мамењето, тогаш во математиката сè е многу поедноставно: дури и не се сомневате во ништо за изневерувањето, но повторувањето на сите манипулации со математички израз ви овозможува да ги убедите другите во точноста на резултатот, исто како кога ве убедивте.

Прашање од публиката: И бесконечноста (како број на елементи во низата S), дали е парна или непарна? Како можете да го промените паритетот на нешто што нема паритет?

Бесконечноста за математичарите е како Царството Небесно за свештениците - никој никогаш не бил таму, но сите знаат точно како функционира сè таму))) Се согласувам, после смртта ќе бидете апсолутно рамнодушни без разлика дали сте живееле парен или непарен број денови , но ... Додавајќи само еден ден на почетокот од вашиот живот, ќе добиеме сосема друга личност: неговото презиме, име и патроним се сосема исти, само датумот на раѓање е сосема различен - тој е роден еден ден пред вас.

И сега до точка))) Да претпоставиме дека конечната низа што има паритет ја губи оваа парност кога оди до бесконечноста. Тогаш, секоја конечна отсечка од бесконечна низа исто така мора да ја изгуби парноста. Ние не го набљудуваме ова. Фактот што не можеме со сигурност да кажеме дали бројот на елементи во бесконечна низа е парен или непарен, воопшто не значи дека паритетот исчезнал. Паритет, ако постои, не може да исчезне во бесконечноста без трага, како во ракавот на поостри карти. Има многу добра аналогија за овој случај.

Дали некогаш сте прашале кукавица што седи во часовник во која насока се врти стрелката на часовникот? За неа, стрелката се врти во спротивна насока од она што го нарекуваме „во насока на стрелките на часовникот“. Можеби звучи парадоксално, но насоката на ротација зависи исклучиво од која страна ја набљудуваме ротацијата. И така, имаме едно тркало што ротира. Не можеме да кажеме во која насока се случува ротацијата, бидејќи можеме да ја набљудуваме и од едната страна на рамнината на ротација и од другата страна. Можеме само да посведочиме дека има ротација. Целосна аналогија со паритет на бесконечна низа С.

Сега да додадеме второ ротирачко тркало, чија рамнина на ротација е паралелна со рамнината на ротација на првото ротирачко тркало. Сè уште не можеме точно да кажеме во која насока се вртат овие тркала, но можеме со апсолутна сигурност да кажеме дали двете тркала се вртат во иста насока или во спротивни насоки. Споредување на две бесконечни низи Си 1-С, со помош на математиката покажав дека овие низи имаат различен паритет и ставањето знак за еднаквост меѓу нив е грешка. Лично, верувам во математика, не им верувам на математичарите))) Патем, за целосно да се разбере геометријата на трансформациите на бесконечните низи, неопходно е да се воведе концептот „симултаност“. Ова ќе треба да се нацрта.

Среда, 7 август 2019 година

Завршувајќи го разговорот за , треба да разгледаме бесконечно множество. Имајќи предвид дека концептот на „бесконечност“ делува на математичарите, како боа констриктор на зајак. Треперливиот ужас на бесконечноста ги лишува математичарите од здравиот разум. Еве еден пример:

Оригиналниот извор е лоциран. Алфа означува реален број. Знакот за еднаквост во горните изрази покажува дека ако додадете број или бесконечност на бесконечноста, ништо нема да се промени, резултатот ќе биде истиот бесконечност. Ако земеме бесконечно множество природни броеви како пример, тогаш разгледаните примери може да се претстават на следниов начин:

За визуелно да го докажат својот случај, математичарите дошле до многу различни методи. Лично, на сите овие методи гледам како на танците на шаманите со тамбураши. Во суштина, сите се сведуваат на тоа дека или некои од собите не се зафатени и во нив се сместуваат нови гости, или дека некои од посетителите се исфрлаат во ходникот за да им се направи место на гостите (многу хумано). Моето гледиште за таквите одлуки го претставив во форма на фантастична приказна за Русокосата. На што се заснова моето размислување? Преместувањето на бесконечен број посетители трае бесконечно време. Откако ќе ја ослободиме првата гостинска соба, еден од посетителите секогаш ќе оди по ходникот од неговата соба до следната до крајот на времето. Се разбира, факторот време може глупаво да се игнорира, но ова веќе ќе биде од категоријата „законот не е пишуван за будали“. Се зависи од тоа што правиме: прилагодување на реалноста на математичките теории или обратно.

Што е „бесконечен хотел“? Инфинити гостилница е гостилница во која секогаш има било кој број слободни места, без разлика колку соби се зафатени. Ако сите соби во бескрајниот ходник „за посетители“ се зафатени, има уште еден бесконечен ходник со соби за „гости“. Ќе има бесконечен број вакви коридори. Во исто време, „бесконечниот хотел“ има бесконечен број ката во бесконечен број згради на бесконечен број планети во бесконечен број универзуми создадени од бесконечен број богови. Математичарите, пак, не можат да се оддалечат од баналните секојдневни проблеми: Бог-Алах-Буда е секогаш само еден, хотелот е еден, коридорот е само еден. Така, математичарите се обидуваат да жонглираат со сериските броеви на хотелските соби, убедувајќи нè дека е можно да се „бутнат нетурканите“.

Ќе ви ја покажам логиката на моето размислување користејќи го примерот на бесконечно множество природни броеви. Прво треба да одговорите на многу едноставно прашање: колку множества природни броеви постојат - еден или многу? Нема точен одговор на ова прашање, бидејќи ние самите ги измисливме броевите, нема броеви во природата. Да, природата знае совршено да брои, но за ова користи други математички алатки кои не ни се познати. Како што мисли природата, ќе ви кажам друг пат. Бидејќи ние ги измисливме броевите, ние самите ќе одлучиме колку множества природни броеви постојат. Размислете за двете опции, како што доликува на вистински научник.

Опција еден. „Да ни се даде“ единствен сет на природни броеви, кои мирно лежи на полица. Го земаме овој сет од полицата. Тоа е тоа, на полицата нема останати други природни броеви и нема каде да се однесат. Не можеме да додадеме еден на овој сет, бидејќи веќе го имаме. Што ако навистина сакате? Нема проблем. Можеме да земеме единица од комплетот што веќе сме го земале и да го вратиме на полицата. После тоа, можеме да земеме единица од полицата и да ја додадеме на она што ни останува. Како резултат на тоа, повторно добиваме бесконечен сет на природни броеви. Сите наши манипулации можете да ги напишете вака:

Ги запишав операциите во алгебарската нотација и во нотацијата на теоријата на множества, детално наведувајќи ги елементите на множеството. Подлогата означува дека имаме еден и единствен сет на природни броеви. Излегува дека множеството природни броеви ќе остане непроменето само ако од него се одземе еден и се додаде истиот.

Опција два. Имаме многу различни бесконечни множества природни броеви на полицата. Нагласувам - РАЗЛИЧНИ и покрај тоа што практично не се разликуваат. Земаме еден од овие комплети. Потоа земаме еден од друго множество природни броеви и го додаваме во множеството што веќе го земавме. Можеме дури и да додадеме две групи природни броеви. Еве што добиваме:

Претставките „еден“ и „два“ покажуваат дека овие елементи припаѓале на различни множества. Да, ако додадете едно на бесконечно множество, резултатот исто така ќе биде бесконечно множество, но нема да биде ист како оригиналниот сет. Ако на едно бесконечно множество се додаде уште едно бесконечно множество, резултатот е ново бесконечно множество кое се состои од елементите на првите две множества.

Множеството природни броеви се користи за броење на ист начин како линијар за мерења. Сега замислете дека сте додале еден сантиметар на линијарот. Ова веќе ќе биде различна линија, не еднаква на оригиналот.

Можете да го прифатите или да не го прифатите моето размислување - ова е ваша работа. Но, ако некогаш наидете на математички проблеми, размислете дали сте на патот на лажното расудување, газено од генерации математичари. На крајот на краиштата, часовите по математика, пред сè, формираат стабилен стереотип на размислување во нас, па дури потоа ни додаваат ментални способности (или обратно, нè лишуваат од слободно размислување).

pozg.ru

Недела, 4 август 2019 година

Пишував посткрипт на статија за и го видов овој прекрасен текст на Википедија:

Читаме: „... богатата теоретска основа на вавилонската математика немала холистички карактер и била сведена на збир на различни техники, лишени од заеднички систем и база на докази“.

Леле! Колку сме паметни и колку добро можеме да ги согледаме недостатоците на другите. Дали ни е слабо да ја гледаме модерната математика во истиот контекст? Малку парафразирајќи го горниот текст, лично го добив следново:

Богатата теоретска основа на модерната математика нема холистички карактер и е сведена на збир од различни делови, лишени од заеднички систем и база на докази.

Нема да одам далеку за да ги потврдам моите зборови - има јазик и конвенции кои се различни од јазикот и конвенциите на многу други математички гранки. Истите имиња во различни гранки на математиката може да имаат различно значење. Сакам да посветам цел циклус публикации на најочигледните грешки на модерната математика. Се гледаме наскоро.

Сабота, 3 август 2019 година

Како да се подели множество во подмножества? За да го направите ова, мора да внесете нова единица мерка, која е присутна во некои од елементите на избраното множество. Размислете за пример.

Да имаме многу НОсоставена од четири лица. Овој сет е формиран врз основа на "луѓе" Ајде да ги означиме елементите на овој сет преку буквата а, знакот со број ќе го означи редниот број на секое лице во овој сет. Да воведеме нова мерна единица „сексуална карактеристика“ и да ја означиме со буквата б. Бидејќи сексуалните карактеристики се својствени за сите луѓе, ние го множиме секој елемент од множеството НОна полот б. Забележете дека нашиот сет „луѓе“ сега стана сет „луѓе со пол“. После тоа, можеме да ги поделиме сексуалните карактеристики на машки bmи женски bwродови карактеристики. Сега можеме да примениме математички филтер: избираме една од овие сексуални карактеристики, не е важно која е машко или женско. Ако е присутен кај некоја личност, тогаш го множиме со еден, ако нема таков знак, го множиме со нула. И тогаш ја применуваме вообичаената училишна математика. Погледнете што се случи.

По множење, намалувања и преуредувања, добивме две подмножества: машкото подмножество bmи подгрупа жени bw. Приближно на ист начин размислуваат математичарите кога ја применуваат теоријата на множества во пракса. Но, тие не ни даваат да влеземе во детали, туку ни го даваат готовиот резултат - „многу луѓе се состојат од подгрупа мажи и подгрупа жени“. Нормално, можеби имате прашање, колку правилно се применува математиката во горенаведените трансформации? Се осмелувам да ве уверам дека всушност трансформациите се направени правилно, доволно е да се знае математичкото оправдување на аритметиката, Буловата алгебра и другите делови од математиката. Што е тоа? Некој друг пат ќе ви кажам за тоа.

Што се однесува до супермножества, можно е да се комбинираат две множества во едно супермножество со избирање на мерна единица која е присутна во елементите на овие две множества.

Како што можете да видите, мерните единици и вообичаената математика ја прават теоријата на множества минато. Знак дека сè не е добро со теоријата на множества е тоа што математичарите излегоа со свој јазик и нотација за теоријата на множества. Математичарите го направија она што некогаш го правеа шаманите. Само шаманите знаат „правилно“ да го применат своето „знаење“. На ова „знаење“ нè учат.

Како заклучок, сакам да ви покажам како математичарите манипулираат
Да речеме дека Ахил трча десет пати побрзо од желката и е илјада чекори зад неа. Во текот на времето во кое Ахил го трча ова растојание, желката ползи сто чекори во иста насока. Кога Ахил ќе истрча сто чекори, желката ќе ползи уште десет чекори итн. Процесот ќе продолжи бесконечно, Ахил никогаш нема да ја стигне желката.

Ова расудување стана логичен шок за сите наредни генерации. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Сите тие, на овој или оној начин, ги сметале Зеноновите апории. Шокот беше толку силен што „ ... дискусиите продолжуваат во моментов, научната заедница сè уште не успеала да дојде до заедничко мислење за суштината на парадоксите ... математичка анализа, теорија на множества, нови физички и филозофски пристапи беа вклучени во проучувањето на прашањето ; ниту еден од нив не стана универзално прифатено решение за проблемот ...„[Википедија“, Зеноновите апории“]. Сите разбираат дека се измамени, но никој не разбира што е измамата.

Од гледна точка на математиката, Зенон во својата апорија јасно го покажа преминот од вредноста во. Оваа транзиција подразбира примена наместо константи. Колку што разбрав, математичкиот апарат за примена на променливи мерни единици или сè уште не е развиен, или не е применет на апоријата на Зенон. Примената на нашата вообичаена логика не води во стапица. Ние, по инерција на размислување, применуваме константни временски единици на реципрочното. Од физичка гледна точка, изгледа како времето да забави до целосно застанување во моментот кога Ахил ќе ја стигне желката. Ако времето застане, Ахил повеќе не може да ја престигне желката.

Ако ја свртиме логиката на која сме навикнати, се си доаѓа на свое место. Ахил трча со постојана брзина. Секој следен сегмент од неговиот пат е десет пати пократок од претходниот. Соодветно на тоа, времето поминато за негово надминување е десет пати помалку од претходното. Ако го примениме концептот на „бесконечност“ во оваа ситуација, тогаш би било точно да се каже „Ахил бескрајно брзо ќе ја престигне желката“.

Како да се избегне оваа логична замка? Останете во константни единици време и не преминувајте на реципрочни вредности. На јазикот на Зенон, изгледа вака:

Во времето што му треба на Ахил да истрча илјада чекори, желката ползи сто чекори во иста насока. Во следниот временски интервал, еднаков на првиот, Ахил ќе истрча уште илјада чекори, а желката ќе ползи сто чекори. Сега Ахил е осумстотини чекори пред желката.

Овој пристап адекватно ја опишува реалноста без никакви логички парадокси. Но, ова не е целосно решение за проблемот. Изјавата на Ајнштајн за непремостливоста на брзината на светлината е многу слична со Зеноновата апорија „Ахил и желката“. Допрва треба да го проучуваме, преиспитаме и решиме овој проблем. А решението мора да се бара не во бескрајно голем број, туку во мерни единици.

Друга интересна апорија на Зенон раскажува за летачка стрела:

Летечката стрела е неподвижна, бидејќи во секој момент од времето е во мирување, а бидејќи е во мирување во секој момент од времето, секогаш е во мирување.

Во оваа апорија, логичкиот парадокс е надминат многу едноставно - доволно е да се разјасни дека во секој момент од времето летечката стрела лежи на различни точки во просторот, што, всушност, е движење. Тука треба да се забележи уште една точка. Од една фотографија на автомобил на патот, невозможно е да се одреди ниту фактот на неговото движење ниту растојанието до него. За да се утврди фактот на движењето на автомобилот, потребни се две фотографии направени од иста точка во различни временски точки, но тие не можат да се користат за да се одреди растојанието. За да го одредите растојанието до автомобилот, потребни ви се две фотографии направени од различни точки во просторот во исто време, но не можете да го одредите фактот на движење од нив (природно, сè уште ви требаат дополнителни податоци за пресметки, тригонометријата ќе ви помогне). Она што сакам особено да го истакнам е дека две точки во времето и две точки во просторот се две различни работи кои не треба да се мешаат бидејќи даваат различни можности за истражување.
Ќе го покажам процесот со пример. Избираме „црвено цврсто во мозолче“ - ова е нашата „целина“. Во исто време, гледаме дека овие работи се со лак, а има и без лак. После тоа, избираме дел од "целината" и формираме сет "со лак". Така шаманите се хранат со врзување на нивната теорија на множества со реалноста.

Сега ајде да направиме мал трик. Ајде да земеме „цврсто во мозолче со лак“ и да ги обединиме овие „целини“ по боја, избирајќи црвени елементи. Добивме многу „црвено“. Сега незгодно прашање: дали примените комплети „со лак“ и „црвените“ се исти или два различни сета? Само шаманите го знаат одговорот. Поточно, тие самите не знаат ништо, но како што велат, нека биде.

Овој едноставен пример покажува дека теоријата на множества е сосема бескорисна кога станува збор за реалноста. Која е тајната? Формиравме сет на „црвено цврсто pimply со лак“. Формирањето се одвиваше според четири различни мерни единици: боја (црвена), цврстина (цврста), грубост (во удар), украси (со лак). Само збир на мерни единици овозможуваат адекватно да се опишат вистинските предмети на јазикот на математиката. Еве како изгледа.

Буквата „а“ со различни индекси означува различни мерни единици. Во загради се истакнуваат мерни единици, според кои „целината“ се доделува во прелиминарната фаза. Мерната единица, според која се формира комплетот, се вади од загради. Последната линија го покажува конечниот резултат - елемент од сетот. Како што можете да видите, ако користиме единици за да формираме множество, тогаш резултатот не зависи од редоследот на нашите дејства. И ова е математика, а не танците на шаманите со тамбураши. Шаманите можат „интуитивно“ да дојдат до истиот резултат, аргументирајќи го со „очигледност“, бидејќи мерните единици не се вклучени во нивниот „научен“ арсенал.

Со помош на мерни единици, многу е лесно да се скрши еден или да се комбинираат неколку множества во еден суперсет. Ајде внимателно да ја разгледаме алгебрата на овој процес.

Ако на проблемот се дадени должините на двете страни на триаголникот и аголот меѓу нив, тогаш можете да ја примените формулата за плоштината на триаголникот низ синусот.

Пример за пресметување на плоштината на триаголник со помош на синус. Дадени страни a = 3, b = 4 и агол γ= 30°. Синус на агол од 30° е 0,5

Областа на триаголникот ќе биде 3 квадратни. цм.

Плоштината ќе биде еднаква на половина од квадратот на страната помножена со дропот. Во неговиот броител е производ на синусите на соседните агли, а во именителот е синусот на спротивниот агол. Сега ја пресметуваме областа користејќи ги следните формули:

На пример, даден е триаголник со страна a=3 и агли γ=60°, β=60°. Пресметај го третиот агол:
Замена на податоците во формулата
Добиваме дека плоштината на триаголникот е 3,87 квадратни метри. цм.

II. Плоштина на триаголник во однос на косинус

За да ја пронајдете плоштината на триаголникот, треба да ги знаете должините на сите страни. Според косинусовата теорема, можете да најдете непознати страни и дури потоа да користите .
Според законот за косинусите, квадратот на непознатата страна на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на преостанатите страни минус двапати од производот на овие страни со косинус на аголот меѓу нив.

Од теоремата извлекуваме формули за пронаоѓање на должината на непознатата страна:

Знаејќи како да ја пронајдете страната што недостасува, имајќи две страни и агол меѓу нив, можете лесно да ја пресметате областа. Формулата за плоштина на триаголник во однос на косинус ви помага брзо и лесно да најдете решение за различни проблеми.

Пример за пресметување на формулата за плоштина на триаголник низ косинус
Даден е триаголник со познати страни a = 3, b = 4 и агол γ= 45°. Ајде прво да го најдеме делот што недостасува. Со. Со косинус 45°=0,7. За да го направите ова, ние ги заменуваме податоците во равенката изведена од косинусовата теорема.
Сега користејќи ја формулата, наоѓаме

Теорема за плоштина на триаголник

Теорема 1

Плоштината на триаголникот е половина од производот на двете страни повеќе од синусот на аголот помеѓу тие страни.

Доказ.

Да ни биде даден произволен триаголник $ABC$. Да ги означиме должините на страните на овој триаголник како $BC=a$, $AC=b$. Ајде да воведеме Декартов координатен систем, така што точката $C=(0,0)$, точката $B$ лежи на десната полуоска $Ox$, а точката $A$ лежи во првиот координатен квадрант. Нацртајте висина $h$ од точката $A$ (сл. 1).

Слика 1. Илустрација на теорема 1

Според тоа, висината $h$ е еднаква на ординатата на точката $A$

Синусова теорема

Теорема 2

Страните на триаголникот се пропорционални со синусите на спротивните агли.

Доказ.

Да ни биде даден произволен триаголник $ABC$. Да ги означиме должините на страните на овој триаголник како $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (сл. 2).

Слика 2.

Да го докажеме тоа

Според теорема 1, имаме

Изедначувајќи ги во парови, го добиваме тоа

Косинусна теорема

Теорема 3

Квадратот на страната на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни на триаголникот без да се удвои производот на тие страни по косинус на аголот меѓу тие страни.

Доказ.

Да ни биде даден произволен триаголник $ABC$. Означете ги должините на неговите страни како $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Да воведеме Декартов координатен систем така што точката $A=(0,0)$, точката $B$ лежи на позитивната полуоска $Ox$, а точката $C$ лежи во првиот координатен квадрант (Сл. 3).

Слика 3

Да го докажеме тоа

Во овој координатен систем, го добиваме тоа

Најдете ја должината на страната $BC$ користејќи ја формулата за растојанието помеѓу точките

Пример за проблем со користење на овие теореми

Пример 1

Докажете дека дијаметарот на ограничената кружница на произволен триаголник е еднаков на односот на која било страна од триаголникот со синусот на аголот спроти оваа страна.

Решение.

Да ни биде даден произволен триаголник $ABC$. $R$ - радиус на ограничениот круг. Нацртајте го дијаметарот $BD$ (слика 4).

Површина на триаголник - формули и примери за решавање проблеми

Подолу се формули за наоѓање плоштина на произволен триаголниккои се погодни за пронаоѓање на плоштината на кој било триаголник, без оглед на неговите својства, агли или димензии. Формулите се претставени во форма на слика, еве објаснувања за примената или оправдувањето на нивната исправност. Исто така, посебна слика ја покажува кореспонденцијата на симболите на буквите во формулите и графичките симболи во цртежот.

Забелешка . Ако триаголникот има посебни својства (рамнокрак, правоаголен, рамностран), можете да ги користите формулите подолу, како и дополнителни специјални формули кои се вистинити само за триаголници со овие својства:

• „Формули за плоштина на рамностран триаголник“

Формули за површина на триаголник

Објаснувања за формули:
а, б, в- должините на страните на триаголникот чија плоштина сакаме да ја најдеме
р- радиусот на кругот впишан во триаголникот
Р- радиусот на ограничениот круг околу триаголникот
ч- висината на триаголникот, спуштена на страна
стр- полупериметар на триаголник, 1/2 од збирот на неговите страни (периметар)
α - аголот спротивната страна a од триаголникот
β - аголот спротивната страна b од триаголникот
γ - аголот спротивната страна c од триаголникот
ч а, ч б , ч в- висината на триаголникот, спуштена на страната a, b, c

Имајте предвид дека дадената ознака одговара на сликата погоре, така што при решавање на вистински проблем во геометријата, визуелно ќе ви биде полесно да ги замените точните вредности на вистинските места во формулата.

• Површината на триаголникот е половина од производот од висината на триаголникот и должината на страната на која е спуштена оваа висина(Формула 1). Точноста на оваа формула може да се разбере логично. Висината спуштена до основата ќе подели произволен триаголник на два правоаголни. Ако секој од нив го комплетираме во правоаголник со димензии b и h, тогаш, очигледно, плоштината на овие триаголници ќе биде еднаква на точно половина од површината на правоаголникот (Spr = bh)
• Површината на триаголникот е половина од производот на неговите две страни и синусот на аголот меѓу нив(Формула 2) (видете пример за решавање на проблем користејќи ја оваа формула подолу). И покрај фактот што изгледа различно од претходниот, лесно може да се трансформира во него. Ако ја спуштиме висината од аголот B на страната b, излегува дека производот од страната a и синусот на аголот γ, според својствата на синусот во правоаголен триаголник, е еднаков на висината на триаголникот нацртан со нас, што ќе ни ја даде претходната формула
• Може да се најде областа на произволен триаголник преку работаполовина од радиусот на кругот впишан во него со збирот на должините на сите негови страни(Формула 3), со други зборови, треба да го помножите полупериметарот на триаголникот со радиусот на впишаниот круг (полесно е да се запамети на овој начин)
• Областа на произволен триаголник може да се најде со делење на производот од сите негови страни со 4 радиуси од кругот опкружен околу него (Формула 4)
• Формула 5 ја наоѓа плоштината на триаголникот во однос на должината на неговите страни и неговиот полупериметар (половина од збирот на сите негови страни)
• Формулата на Херон(6) е приказ на истата формула без користење на концептот на полупериметар, само преку должините на страните
• Површината на произволен триаголник е еднаква на производот на квадратот на страната на триаголникот и синусите на аглите во непосредна близина на оваа страна поделени со двојниот синус на аголот спроти оваа страна (Формула 7)
• Површината на произволен триаголник може да се најде како производ на два квадрати на кругот опкружен околу него и синусите на секој од неговите агли. (Формула 8)
• Ако се познати должината на едната страна и големината на двата агли во непосредна близина на неа, тогаш плоштината на триаголникот може да се најде како квадрат на оваа страна, поделена со двојната сума на котангентите на овие агли (Формула 9)
• Ако е позната само должината на секоја од висините на триаголникот (Формула 10), тогаш плоштината на таков триаголник е обратно пропорционална на должините на овие висини, како што е формулата на Херон.
• Формула 11 ви овозможува да пресметате плоштина на триаголник според координатите на неговите темиња, кои се дадени како (x;y) вредности за секое од темињата. Забележете дека добиената вредност мора да се земе модуло, бидејќи координатите на поединечните (или дури и сите) темиња можат да бидат во областа на негативните вредности

Забелешка. Следниве се примери за решавање проблеми во геометријата за да се најде плоштината на триаголник. Ако треба да решите проблем во геометријата, сличен на кој не е овде - пишете за тоа на форумот. Во решенијата, функцијата sqrt() може да се користи наместо симболот „квадратен корен“, во кој sqrt е симбол на квадратен корен, а радикалниот израз е означен во загради.Понекогаш симболот може да се користи за едноставни радикални изрази √

Задача. Најдете ја плоштината дадена две страни и аголот меѓу нив

Страните на триаголникот се 5 и 6 cm.Аголот меѓу нив е 60 степени. Најдете плоштина на триаголник.

Решение.

За да го решиме овој проблем, ја користиме формулата број два од теоретскиот дел на часот.
Плоштината на триаголникот може да се најде низ должината на двете страни и синусот на аголот меѓу нив и ќе биде еднаква на
S=1/2 ab sin γ

Бидејќи ги имаме сите потребни податоци за решението (според формулата), можеме само да ги замениме вредностите од изјавата за проблемот во формулата:
S=1/2*5*6*sin60

Во табелата со вредности на тригонометриските функции, ја наоѓаме и заменуваме во изразот вредноста на синусот 60 степени. Тоа ќе биде еднакво на коренот од три по два.
S = 15 √3 / 2

Одговори: 7,5 √3 (во зависност од барањата на наставникот, веројатно е можно да се остави 15 √3/2)

Задача. Најдете ја плоштината на рамностран триаголник

Најдете ја плоштината на рамностран триаголник со страна од 3 cm.

Решение .

Областа на триаголник може да се најде со формулата на Херон:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Од a \u003d b \u003d c, формулата за плоштината на рамностран триаголник ќе ја има формата:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Одговори: 9 √3 / 4.

Задача. Промена на површината при промена на должината на страните

Колку пати ќе се зголеми плоштината на триаголникот ако страните се четирикратно?

Решение.

Бидејќи димензиите на страните на триаголникот ни се непознати, за да ја решиме задачата ќе претпоставиме дека должините на страните се соодветно еднакви на произволните броеви a, b, c. Потоа, за да одговориме на прашањето на проблемот, ја наоѓаме плоштината на овој триаголник, а потоа ја наоѓаме плоштината на триаголникот чии страни се четири пати поголеми. Односот на плоштините на овие триаголници ќе ни го даде одговорот на проблемот.

Следно, даваме текстуално објаснување за решението на проблемот во чекори. Сепак, на самиот крај, истото решение е претставено во графичка форма која е попогодна за перцепција. Оние кои сакаат можат веднаш да го испуштат решението.

За решавање, ја користиме формулата Херон (види погоре во теоретскиот дел од лекцијата). Изгледа вака:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(видете ја првата линија на сликата подолу)

Должините на страните на произволен триаголник се дадени со променливите a, b, c.
Ако страните се зголемат за 4 пати, тогаш површината на новиот триаголник в ќе биде:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(видете ја втората линија на сликата подолу)

Како што можете да видите, 4 е заеднички фактор што може да се загради од сите четири изрази според општите математички правила.
Потоа

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - на третата линија на сликата
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - четврти ред

Од бројот 256 совршено се извлекува квадратниот корен, па ќе го извадиме од под коренот
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(видете ја петтата линија на сликата подолу)

За да одговориме на прашањето поставено во проблемот, доволно е да ја поделиме областа на добиениот триаголник со областа на оригиналниот.
Односите на плоштините ги одредуваме со делење на изразите еден на друг и намалување на добиената дропка.