Истражување на графикот на функцијата y x 1 2. Целосно истражување на функцијата и исцртување

Ако во задачата е неопходно да се изврши целосна студија за функцијата f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 со изградбата на нејзиниот график, тогаш детално ќе го разгледаме овој принцип.

За да се реши проблем од овој тип, треба да се користат својствата и графиконите на главните елементарни функции. Алгоритмот за истражување ги вклучува следните чекори:

Наоѓање на доменот на дефиниција

Бидејќи се врши истражување на доменот на функцијата, неопходно е да се започне со овој чекор.

Пример 1

Дадениот пример вклучува наоѓање на нулите на именителот со цел да се исклучат од DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Како резултат на тоа, можете да добиете корени, логаритми итн. Тогаш ODZ може да се бара за коренот на парен степен од типот g (x) 4 со неравенката g (x) ≥ 0 , за логаритам log a g (x) со неравенката g (x) > 0 .

Испитување на границите на ОДЗ и пронаоѓање на вертикални асимптоти

Постојат вертикални асимптоти на границите на функцијата, кога едностраните граници во таквите точки се бесконечни.

Пример 2

На пример, земете ги граничните точки еднакви на x = ± 1 2 .

Тогаш е неопходно да се проучи функцијата за да се најде едностраната граница. Тогаш добиваме дека: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ова покажува дека едностраните граници се бесконечни, што значи дека правите x = ± 1 2 се вертикални асимптоти на графикот.

Истражување на функцијата и за парни или непарни

Кога условот y (- x) = y (x) е исполнет, функцијата се смета за парна. Ова сугерира дека графикот се наоѓа симетрично во однос на O y. Кога условот y (- x) = - y (x) е исполнет, функцијата се смета за непарна. Ова значи дека симетријата оди во однос на потеклото на координатите. Ако барем една неравенка не успее, добиваме функција од општ облик.

Исполнувањето на равенството y (- x) = y (x) покажува дека функцијата е парна. При конструирањето потребно е да се земе предвид дека ќе има симетрија во однос на O y.

За да се реши неравенството, се користат интервали на зголемување и намалување со условите f "(x) ≥ 0 и f" (x) ≤ 0, соодветно.

Дефиниција 1

Стационарни точкисе точки кои го претвораат изводот на нула.

Критични точкисе внатрешни точки од доменот каде што изводот на функцијата е еднаков на нула или не постои.

При донесување одлука, треба да се земат предвид следниве точки:

за постоечките интервали на зголемување и намалување на неравенството од формата f "(x) > 0, критичните точки не се вклучени во решението;
точките во кои функцијата е дефинирана без конечен извод мора да бидат вклучени во интервалите на зголемување и намалување (на пример, y \u003d x 3, каде што точката x \u003d 0 ја прави функцијата дефинирана, изводот има вредност на бесконечност во овој момент, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 е вклучена во интервалот за зголемување);
за да се избегнат несогласувања, се препорачува користење на математичка литература, која ја препорачува Министерството за образование.

Вклучување на критичните точки во интервалите на зголемување и намалување во случај да го задоволат доменот на функцијата.

Дефиниција 2

За одредувајќи ги интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е да се најдат:

дериват;
критични точки;
разделете го доменот на дефиниција со помош на критични точки во интервали;
определи го знакот на изводот на секој од интервалите, каде што + е зголемување и - е намалување.

Пример 3

Најдете го изводот на доменот f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

За да го решите потребно е:

најдете стационарни точки, овој пример има x = 0 ;
најдете ги нулите на именителот, примерот ја зема вредноста нула при x = ± 1 2 .

Изложуваме точки на нумеричката оска за да го одредиме изводот на секој интервал. За да го направите ова, доволно е да земете која било точка од интервалот и да направите пресметка. Ако резултатот е позитивен, цртаме + на графикот, што значи зголемување на функцијата и - значи нејзино намалување.

На пример, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, што значи дека првиот интервал лево има знак +. Размислете за бројот линија.

Одговор:

има зголемување на функцијата на интервалот - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
има намалување на интервалот [0; 1 2) и 1 2 ; +∞ .

На дијаграмот, користејќи + и -, се прикажани позитивноста и негативноста на функцијата, а стрелките укажуваат на намалување и зголемување.

Екстремните точки на функцијата се точките каде што е дефинирана функцијата и преку кои изводот го менува знакот.

Пример 4

Ако земеме пример каде x \u003d 0, тогаш вредноста на функцијата во неа е f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Кога знакот на изводот се менува од + во - и поминува низ точката x \u003d 0, тогаш точката со координати (0; 0) се смета за максимална точка. Кога знакот се менува од - во +, ја добиваме минималната точка.

Конвексноста и конкавноста се одредуваат со решавање на неравенки од формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . Поретко го користат името испакнати надолу наместо конкавност, и испакнување нагоре наместо испакнување.

Дефиниција 3

За одредување на празнините на конкавност и конвексностнеопходно:

најдете го вториот извод;
најдете ги нулите на функцијата на вториот извод;
скрши го доменот на дефиниција со точките што се појавуваат во интервали;
определи го знакот на јазот.

Пример 5

Најдете го вториот извод од доменот на дефиниција.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Ги наоѓаме нулите на броителот и именителот, каде што, користејќи го нашиот пример, имаме дека нулите на именителот x = ± 1 2

Сега треба да ставите точки на бројната линија и да го одредите знакот на вториот извод од секој интервал. Го добиваме тоа

Одговор:

функцијата е конвексна од интервалот - 1 2 ; 12 ;
функцијата е конкавна од празнините - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; +∞ .

Дефиниција 4

точка на флексијае точка од формата x 0 ; f(x0) . Кога има тангента на графикот на функцијата, тогаш кога ќе помине низ x 0, функцијата го менува знакот на спротивното.

Со други зборови, ова е таква точка низ која поминува вториот извод и го менува знакот, а во самите точки е еднаква на нула или не постои. Сите точки се сметаат за домен на функцијата.

Во примерот, се виде дека нема точки на флексија, бидејќи вториот извод го менува знакот додека минува низ точките x = ± 1 2 . Тие, пак, не се вклучени во доменот на дефиниција.

Наоѓање хоризонтални и коси асимптоти

Кога се дефинира функција на бесконечност, мора да се бараат хоризонтални и коси асимптоти.

Дефиниција 5

Коси асимптотисе цртаат со помош на линии дадени со равенката y = k x + b, каде k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

За k = 0 и b не еднакви на бесконечност, откриваме дека косата асимптота станува хоризонтална.

Со други зборови, асимптотите се линии до кои графикот на функцијата се приближува во бесконечност. Ова придонесува за брза конструкција на графикот на функцијата.

Ако нема асимптоти, но функцијата е дефинирана на двете бесконечности, потребно е да се пресмета границата на функцијата на овие бесконечности за да се разбере како ќе се однесува графикот на функцијата.

Пример 6

Како пример, земете го тоа

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. По истражувањето на функцијата, можете да започнете да ја градите.

Пресметување на вредноста на функцијата во средни точки

За да се направи нацртот најпрецизен, се препорачува да се најдат неколку вредности на функцијата во средните точки.

Пример 7

Од примерот што го разгледавме, неопходно е да се најдат вредностите на функцијата во точките x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Бидејќи функцијата е рамна, добиваме дека вредностите се совпаѓаат со вредностите во овие точки, односно добиваме x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Ајде да напишеме и да решиме:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се одредат максимум и минимум на функцијата, точки на флексија, средни точки, потребно е да се изградат асимптоти. За практично означување, фиксирани се интервали на зголемување, намалување, конвексност, конкавност. Размислете за сликата подолу.

Потребно е да се исцртаат линии на графиконот низ означените точки, што ќе ви овозможи да се приближите до асимптотите, следејќи ги стрелките.

Ова го заклучува целосното проучување на функцијата. Има случаи на конструирање на некои елементарни функции за кои се користат геометриски трансформации.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Решебник Кузнецов.
III Графикони

Задача 7. Направете целосна студија за функцијата и изградете ја нејзината графика.

Пред да започнете со преземање на вашите опции, обидете се да го решите проблемот според примерокот подолу за опција 3. Некои од опциите се архивирани во .rar формат

7.3 Направете целосна студија за функцијата и нацртајте ја

Решение.

1) Опсег: или т.е. .
.
Така: .

2) Нема точки на пресек со оската Ox. Навистина, равенката нема решенија.
Нема точки на пресек со оската Oy бидејќи .

3) Функцијата не е ниту парна ниту непарна. Нема симетрија за y-оската. Нема симетрија ниту за потеклото. Бидејќи
.
Гледаме дека и .

4) Функцијата е континуирана во доменот
.

; .

; .
Затоа, точката е точка на дисконтинуитет од втор вид (бесконечен дисконтинуитет).

5) Вертикални асимптоти:

Најдете ја косата асимптота . Еве

;
.
Затоа, имаме хоризонтална асимптота: y=0. Нема коси асимптоти.

6) Најдете го првиот извод. Прв дериват:
.
И затоа
.
Ајде да најдеме неподвижни точки каде што изводот е еднаков на нула, т.е
.

7) Најдете го вториот извод. Втор дериват:
.
И ова е лесно да се потврди, бидејќи

Како да се истражи функцијата и да се нацрта нејзиниот график?

Се чини дека почнувам да го разбирам душевното лице на водачот на светскиот пролетаријат, автор на собрани дела во 55 тома…. Долгото патување започна со елементарни информации за функции и графикони , а сега работата на макотрпна тема завршува со природен резултат - статија за целосната функционална студија. Долгоочекуваната задача е формулирана на следниов начин:

Истражете ја функцијата со методи на диференцијално пресметување и, врз основа на резултатите од студијата, изградете го нејзиниот график

Или накратко: испитајте ја функцијата и нацртајте ја.

Зошто да истражувате?Во едноставни случаи, нема да ни биде тешко да се справиме со елементарните функции, нацртајте графикон добиен со користење елементарни геометриски трансформации итн. Сепак, својствата и графичките прикази на посложените функции се далеку од очигледни, поради што е потребна цела студија.

Главните чекори на решението се сумирани во референтниот материјал Шема за проучување на функции , ова е вашиот водич за секција. На куклите им треба чекор-по-чекор објаснување на темата, некои читатели не знаат од каде да почнат и како да ја организираат студијата, а напредните студенти може да ги интересираат само неколку точки. Но, кој и да сте, драг посетител, предложеното резиме со насоки за различни лекции ќе ве ориентира и насочи во насока на интерес во најкус можен рок. Роботите пролеаа солза =) Прирачникот беше направен во форма на pdf датотека и го зазеде вистинското место на страницата Математички формули и табели .

Ја разделував студијата за функцијата на 5-6 точки:

6) Дополнителни точки и графикон врз основа на резултатите од студијата.

Што се однесува до финалната акција, мислам дека сите разбираат сè - ќе биде многу разочарувачки ако за неколку секунди се пречкрта и задачата се врати на ревизија. ПРАВИЛНИ И ТОЧНИ ЦРТАЊА е главниот резултат на решението! Многу е веројатно дека ќе ги „прикрие“ аналитичките пропусти, додека неточниот и/или невешт распоред ќе предизвика проблеми дури и со совршено спроведена студија.

Треба да се напомене дека во други извори, бројот на истражувачки ставки, редоследот на нивната имплементација и стилот на дизајн може значително да се разликуваат од шемата предложена од мене, но во повеќето случаи тоа е сосема доволно. Наједноставната верзија на проблемот се состои од само 2-3 фази и е формулирана вака: „истражете ја функцијата користејќи го изводот и заплетот“ или „истражете ја функцијата користејќи ги 1-виот и 2-от извод, заплет“.

Секако, ако друг алгоритам е детално анализиран во вашиот прирачник за обука или вашиот наставник строго бара од вас да се придржувате до неговите предавања, тогаш ќе мора да направите некои прилагодувања на решението. Не е потешко отколку да ја замените вилушката со лажичка за моторна пила.

Ајде да ја провериме функцијата за парни / непарни:

Ова е проследено со отпишување на шаблонот:
, така што оваа функција не е ниту парна ниту непарна.

Бидејќи функцијата е континуирана на , нема вертикални асимптоти.

Нема ниту коси асимптоти.

Забелешка : Ве потсетувам дека повисоко редослед на раст од , така што крајната граница е точно " плусбесконечност“.

Ајде да дознаеме како функцијата се однесува на бесконечност:

Со други зборови, ако одиме надесно, тогаш графикот оди бесконечно нагоре, ако одиме налево, бесконечно далеку надолу. Да, има и две ограничувања под еден запис. Ако имате потешкотии да ги дешифрирате знаците, посетете ја лекцијата за бесконечно мали функции .

Значи функцијата не е ограничен одозгораи не е ограничен одоздола. Со оглед на тоа дека немаме брејк топки, станува јасно и опсег на функции: е и секој реален број.

КОРИСНА ТЕХНИКА

Секој чекор на задачата носи нови информации за графикот на функцијата, така што во текот на решението е погодно да се користи еден вид LAAYOUT. Ајде да нацртаме Декартов координатен систем на нацртот. Што се знае со сигурност? Прво, графикот нема асимптоти, затоа, нема потреба да се цртаат прави линии. Второ, знаеме како функцијата се однесува во бесконечност. Според анализата, ја извлекуваме првата апроксимација:

Забележете дека во сила континуитет функција на и фактот дека , графикот мора да ја премине оската барем еднаш. Или можеби има неколку точки на вкрстување?

3) Нули на функцијата и интервали на константен знак.

Прво, пронајдете ја пресечната точка на графикот со y-оската. Едноставно е. Неопходно е да се пресмета вредноста на функцијата кога:

Половина надморска височина.

За да ги пронајдете точките на пресек со оската (нули на функцијата), треба да ја решите равенката и тука нè чека непријатно изненадување:

На крајот демне слободен член, што значително ја отежнува задачата.

Таквата равенка има барем еден реален корен, а најчесто овој корен е ирационален. Во најлошата бајка не чекаат три прасиња. Равенката е решлива со користење на т.н Формулите на Кардано, но оштетувањето на хартијата е споредливо со речиси целата студија. Во овој поглед, поумно е усно или на нацрт да се обидете да земете барем еден целинакорен. Ајде да провериме дали овие бројки се:
- не одговара;
- ете го!

Има среќа овде. Во случај на неуспех, можете исто така да тестирате и, и ако овие бројки не одговараат, тогаш се плашам дека има многу малку шанси за профитабилно решение на равенката. Тогаш подобро е целосно да се прескокне истражувачката точка - можеби нешто ќе стане појасно на последниот чекор, кога ќе се пробијат дополнителни точки. И ако коренот (корените) се јасно „лоши“, тогаш подобро е скромно да молчите за интервалите на постојаност на знаците и попрецизно да го завршите цртежот.

Сепак, имаме убав корен, па го делиме полиномот без остаток:

Алгоритмот за делење на полином со полином е детално разгледан во првиот пример од лекцијата. Комплексни граници .

Како резултат на тоа, левата страна на оригиналната равенка се проширува во производ:

И сега малку за здрав начин на живот. Секако дека го разбирам тоа квадратни равенки треба да се решава секој ден, но денес ќе направиме исклучок: равенката има два вистински корени.

На нумеричката линија ги исцртуваме пронајдените вредности и метод на интервал дефинирајте ги знаците на функцијата:

og Така, на интервалите графикон лоциран
под х-оската и во интервали - над оваа оска.

Добиените наоди ни овозможуваат да го усовршиме нашиот распоред, а второто приближување на графикот изгледа вака:

Ве молиме имајте предвид дека функцијата мора да има најмалку еден максимум на интервалот и најмалку еден минимум на интервалот. Но, не знаеме колку пати, каде и кога распоредот ќе се „навива“. Патем, функцијата може да има бесконечно многу крајности .

4) Зголемување, намалување и екстремност на функцијата.

Ајде да ги најдеме критичните точки:

Оваа равенка има два реални корени. Да ги ставиме на бројната права и да ги одредиме знаците на изводот:

Затоа, функцијата се зголемува за и се намалува за.
Во моментот кога функцијата го достигнува својот максимум: .
Во моментот кога функцијата го достигнува својот минимум: .

Утврдените факти го водат нашиот образец во прилично ригидна рамка:

Непотребно е да се каже дека диференцијалното пресметување е моќна работа. Ајде конечно да се справиме со обликот на графикот:

5) Конвексност, конкавност и точки на флексија.

Најдете ги критичните точки на вториот извод:

Ајде да ги дефинираме знаците:

Графикот на функцијата е конвексен на и конкавен на . Да ја пресметаме ординатата на точката на флексија: .

Речиси се се расчисти.

6) Останува да се најдат дополнителни точки кои ќе помогнат попрецизно да се изгради графикон и да се изврши само-тестирање. Во овој случај, тие се малку, но нема да занемариме:

Ајде да го извршиме цртежот:

Точката на флексија е означена со зелена боја, дополнителните точки се означени со крстови. Графикот на кубната функција е симетричен во однос на нејзината точка на флексија, која секогаш се наоѓа точно во средината помеѓу максимумот и минимумот.

Во текот на задачата дадов три хипотетички средни цртежи. Во пракса, доволно е да нацртате координатен систем, да ги означите пронајдените точки и по секоја точка од студијата ментално да сфатите како може да изгледа графикот на функцијата. Нема да биде тешко за студентите со добро ниво на подготовка да спроведат таква анализа исклучиво во нивните умови без да вклучуваат нацрт.

За самостојно решение:

Пример 2

Истражете ја функцијата и изградете графикон.

Сè е побрзо и позабавно овде, приближен пример за завршување на крајот од лекцијата.

Многу тајни се откриваат со проучување на фракционите рационални функции:

Пример 3

Користејќи ги методите на диференцијално сметање, истражете ја функцијата и, врз основа на резултатите од студијата, конструирајте го нејзиниот график.

Решение: првата фаза од студијата не се разликува по ништо извонредно, со исклучок на дупка во областа за дефиниција:

1) Функцијата е дефинирана и континуирана на целата бројна права освен точката , домен : .

, така што оваа функција не е ниту парна ниту непарна.

Очигледно, функцијата е непериодична.

Графикот на функцијата се состои од две континуирани гранки лоцирани во левата и десната полурамнина - ова е можеби најважниот заклучок од 1-виот пасус.

2) Асимптоти, однесување на функција во бесконечност.

а) Со помош на еднострани граници, го проучуваме однесувањето на функцијата во близина на сомнителната точка, каде што вертикалната асимптота мора јасно да биде:

Навистина, функциите траат бескраен јаз во точката
а правата линија (оската) е вертикална асимптота графички уметности .

б) Проверете дали постојат коси асимптоти:

Да, линијата е коси асимптота графика ако .

Нема смисла да се анализираат границите, бидејќи веќе е јасно дека функцијата во прегратка со својата коси асимптота не е ограничен одозгораи не е ограничен одоздола.

Втората точка од студијата донесе многу важни информации за функцијата. Ајде да направиме груба скица:

Заклучокот бр. 1 се однесува на интервали на константност на знакот. При „минус бесконечност“ графикот на функцијата е уникатно лоциран под оската x, а на „плус бесконечност“ е над оваа оска. Покрај тоа, едностраните граници ни кажаа дека и лево и десно од точката, функцијата е исто така поголема од нула. Ве молиме имајте предвид дека во левата полурамнина, графикот мора барем еднаш да ја премине оската x. Во десната полурамнина, може да нема нули од функцијата.

Заклучок бр. 2 е дека функцијата се зголемува на и лево од точката (оди „од дното кон врвот“). Десно од оваа точка, функцијата се намалува (оди „од врвот до дното“). Десната гранка на графикот секако мора да има барем еден минимум. На левата страна, екстремите не се загарантирани.

Заклучокот бр. 3 дава веродостојни информации за вдлабнатината на графикот во близина на точката. Сè уште не можеме да кажеме ништо за конвексност/конкавност во бесконечноста, бидејќи линијата може да се притисне на нејзината асимптота и одозгора и одоздола. Општо земено, постои аналитички начин да се дознае ова во моментов, но формата на табелата „за ништо“ ќе стане појасна во подоцнежна фаза.

Зошто толку многу зборови? За да ги контролирате последователните истражувачки точки и да избегнете грешки! Понатамошните пресметки не треба да бидат во спротивност со изведените заклучоци.

3) Точки на пресек на графикот со координатните оски, интервали на константен знак на функцијата.

Графикот на функцијата не ја преминува оската.

Користејќи го методот на интервал, ги одредуваме знаците:

, ако ;
, ако .

Резултатите од ставот се целосно конзистентни со Заклучокот бр.1. По секој чекор, погледнете го нацртот, ментално упатете се на студијата и завршете го цртањето на графикот на функцијата.

Во овој пример, броителот е поделен по член со именителот, што е многу корисно за диференцијација:

Всушност, ова е веќе направено при пронаоѓање на асимптоти.

- критична точка.

Ајде да ги дефинираме знаците:

се зголемува за и се намалува на

Во моментот кога функцијата го достигнува својот минимум: .

Исто така, немаше отстапувања со Заклучокот бр. 2 и, најверојатно, сме на добар пат.

Ова значи дека графикот на функцијата е конкавен во целиот домен на дефиниција.

Одлично - и не треба ништо да цртате.

Нема точки на флексија.

Конкавноста е конзистентна со Заклучокот бр. погоренеговата коси асимптота.

6) Совесно ќе ја закачиме задачата со дополнителни поени. Овде треба да работиме напорно, бидејќи знаеме само две точки од студијата.

И слика што, веројатно, многумина одамна ја презентираа:

Во текот на задачата, мора да се внимава да се осигура дека нема противречности помеѓу фазите на студијата, но понекогаш ситуацијата е итна или дури и очајно ќор-сокак. Овде аналитиката „не се спојува“ - и тоа е тоа. Во овој случај, препорачувам техника за итни случаи: наоѓаме што е можно повеќе точки кои припаѓаат на графикот (колку трпение е доволно) и ги означуваме на координатната рамнина. Графичката анализа на пронајдените вредности во повеќето случаи ќе ви каже каде е вистината, а каде лагата. Дополнително, графикот може претходно да се изгради со помош на некоја програма, на пример, во истиот Excel (јасно е дека ова бара вештини).

Пример 4

Користејќи ги методите на диференцијално сметање, истражете ја функцијата и изградете го нејзиниот график.

Ова е пример „направи сам“. Во него, самоконтролата е засилена со рамномерноста на функцијата - графикот е симетричен во однос на оската, и ако нешто во вашата студија противречи на овој факт, побарајте грешка.

Парната или непарната функција може да се истражи само за , а потоа може да се користи симетријата на графикот. Ова решение е оптимално, но изгледа, според мое мислење, многу необично. Лично, ја разгледувам целата нумеричка оска, но сепак наоѓам дополнителни точки само десно:

Пример 5

Направете целосна студија за функцијата и нацртајте ја нејзината графика.

Решение: побрзаа силно:

1) Функцијата е дефинирана и континуирана на целата реална линија: .

Ова значи дека оваа функција е непарна, нејзиниот график е симетричен во однос на потеклото.

Очигледно, функцијата е непериодична.

2) Асимптоти, однесување на функција во бесконечност.

Бидејќи функцијата е континуирана на , нема вертикални асимптоти

За функција која содржи експонент, обично одвоипроучувањето на „плус“ и „минус бесконечност“, сепак, нашиот живот е олеснет само со симетријата на графикот - или има асимптота лево и десно, или не е. Затоа, и двете бесконечни граници може да се подредат под еден запис. Во текот на решението користиме Правилото на L'Hopital :

Правата линија (оската) е хоризонтална асимптота на графикот на .

Обрнете внимание на тоа како паметно го избегнав целосниот алгоритам за пронаоѓање на кос асимптота: границата е сосема легална и го разјаснува однесувањето на функцијата во бесконечноста, а хоризонталната асимптота беше пронајдена „како во исто време“.

Од континуитетот на и постоењето на хоризонтална асимптота произлегува дека функцијата ограничен одозгораи ограничен одоздола.

3) Точки на пресек на графикот со координатните оски, интервали на константност.

Тука го скратуваме и решението:
Графикот поминува низ потеклото.

Нема други точки на пресек со координатните оски. Покрај тоа, интервалите на постојаност се очигледни, а оската не може да се нацрта: , што значи дека знакот на функцијата зависи само од „x“:
, ако ;
, ако .

4) Зголемување, намалување, екстремност на функцијата.

се критични точки.

Точките се симетрични околу нула, како што треба да биде.

Ајде да ги дефинираме знаците на дериватот:

Функцијата се зголемува во интервалот и се намалува во интервалите

Во моментот кога функцијата го достигнува својот максимум: .

Поради имотот (необичноста на функцијата) минимумот може да се испушти:

Бидејќи функцијата се намалува на интервалот, тогаш, очигледно, графикот се наоѓа на „минус бесконечност“ подсо својата асимптота. На интервалот, функцијата исто така се намалува, но тука е спротивното - откако ќе помине низ максималната точка, линијата се приближува до оската одозгора.

Исто така, од горенаведеното произлегува дека графикот на функцијата е конвексен на „минус бесконечност“ и конкавен на „плус бесконечност“.

По оваа точка од студијата, беше нацртана и областа на вредностите на функцијата:

Доколку имате погрешно разбирање за некои точки, уште еднаш ве повикувам да нацртате координатни оски во вашата тетратка и со молив во рацете повторно да го анализирате секој заклучок од задачата.

5) Конвексност, конкавност, флексии на графикот.

се критични точки.

Симетријата на точките е зачувана и, најверојатно, не се лажеме.

Ајде да ги дефинираме знаците:

Графикот на функцијата е конвексен на и конкавна на .

Потврдена е конвексност/конкавност во екстремни интервали.

На сите критични точки има флексии во графикот. Да ги најдеме ординатите на точките на флексија, притоа повторно да го намалиме бројот на пресметки, користејќи ја непарноста на функцијата: