Како да се најде збирот на аритметичка прогресија. Збирот на првите n членови на аритметичка прогресија

Некој го третира зборот „прогресија“ со претпазливост, како многу сложен поим од деловите на вишата математика. Во меѓувреме, наједноставната аритметичка прогресија е работата на шалтерот за такси (каде што сè уште остануваат). И да се разбере суштината (а во математиката нема ништо поважно од „да се разбере суштината“) на аритметичката низа не е толку тешко, имајќи анализирани неколку елементарни концепти.

Математичка бројна низа

Вообичаено е да се нарече нумеричка низа серија од броеви, од кои секоја има свој број.

и 1 е првиот член на низата;

и 2 е вториот член на низата;

и 7 е седмиот член од низата;

и n е n-тиот член на низата;

Сепак, ниеден произволен збир на бројки и бројки не нè интересира. Ќе го фокусираме нашето внимание на нумеричка низа во која вредноста на n-тиот член е поврзана со неговиот реден број со зависност што може јасно да се формулира математички. Со други зборови: нумеричката вредност на n-тиот број е некоја функција на n.

а - вредност на член на нумеричката низа;

n е неговиот сериски број;

f(n) е функција каде редната во нумеричката низа n е аргументот.

Дефиниција

Аритметичката прогресија обично се нарекува нумеричка низа во која секој следен член е поголем (помал) од претходниот за ист број. Формулата за n-ти член на аритметичка низа е како што следува:

a n - вредноста на тековниот член на аритметичката прогресија;

a n+1 - формулата на следниот број;

г - разлика (одреден број).

Лесно е да се одреди дека ако разликата е позитивна (d>0), тогаш секој следен член од серијата што се разгледува ќе биде поголем од претходниот, а таквата аритметичка прогресија ќе се зголемува.

На графиконот подолу, лесно е да се види зошто низата на броеви се нарекува „зголемување“.

Во случаи кога разликата е негативна (г<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Вредноста на наведениот член

Понекогаш е неопходно да се одреди вредноста на некој произволен член a n на аритметичка прогресија. Можете да го направите ова со пресметување последователно на вредностите на сите членови на аритметичката прогресија, од првиот до саканиот. Сепак, овој начин не е секогаш прифатлив ако, на пример, е неопходно да се најде вредноста на петилјадитиот или осуммилионитиот член. Традиционалната пресметка ќе трае долго. Сепак, одредена аритметичка прогресија може да се истражи со користење на одредени формули. Постои и формула за n-тиот член: вредноста на кој било член на аритметичка прогресија може да се определи како збир на првиот член на прогресијата со разликата на прогресијата, помножена со бројот на саканиот член, минус еден .

Формулата е универзална за зголемување и намалување на прогресијата.

Пример за пресметување на вредноста на даден член

Да ја решиме следната задача за наоѓање на вредноста на n-тиот член на аритметичка прогресија.

Услов: постои аритметичка прогресија со параметри:

Првиот член на низата е 3;

Разликата во серијата на броеви е 1,2.

Задача: потребно е да се најде вредноста на 214 поими

Решение: за да ја одредиме вредноста на даден член, ја користиме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Заменувајќи ги податоците од изјавата за проблемот во изразот, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Одговор: 214-от член од низата е еднаков на 258,6.

Предностите на овој метод на пресметка се очигледни - целото решение трае не повеќе од 2 реда.

Збир на даден број членови

Многу често, во дадена аритметичка серија, се бара да се одреди збирот на вредностите на некои од нејзините сегменти. Исто така, не треба да се пресметуваат вредностите на секој член и потоа да се сумираат. Овој метод е применлив ако бројот на поими чиј збир мора да се најде е мал. Во други случаи, попогодно е да се користи следнава формула.

Збирот на членовите на аритметичка прогресија од 1 до n е еднаков на збирот на првиот и n-тиот член, помножен со членот број n и поделен со два. Ако во формулата вредноста на n-тиот член се замени со изразот од претходниот став на статијата, добиваме:

Пример за пресметка

На пример, да решиме проблем со следниве услови:

Првиот член од низата е нула;

Разликата е 0,5.

Во проблемот, потребно е да се одреди збирот на термините од серијата од 56 до 101.

Решение. Да ја користиме формулата за одредување на збирот на прогресијата:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Прво, го одредуваме збирот на вредностите на 101 член на прогресијата со замена на дадените услови на нашиот проблем во формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очигледно, за да се дознае збирот на условите на прогресијата од 56-та до 101-та, потребно е да се одземе S 55 од S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Значи, збирот на аритметичката прогресија за овој пример е:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Пример за практична примена на аритметичка прогресија

На крајот од статијата, да се вратиме на примерот на аритметичката низа дадена во првиот пасус - таксиметар (таксиметар). Да разгледаме таков пример.

Влегувањето во такси (кое вклучува 3 км) чини 50 рубли. Секој следен километар се плаќа по стапка од 22 рубли / км. Растојание на патување 30 км. Пресметајте ги трошоците за патувањето.

1. Да ги отфрлиме првите 3 км, чија цена е вклучена во цената за слетување.

30 - 3 = 27 км.

2. Понатамошното пресметување не е ништо повеќе од парсирање на аритметичка бројна серија.

Бројот на членот е бројот на поминати километри (минус првите три).

Вредноста на членот е збирот.

Првиот термин во овој проблем ќе биде еднаков на 1 = 50 рубли.

Разлика во прогресијата d = 22 стр.

бројот на интерес за нас - вредноста на (27 + 1)-тиот член на аритметичката прогресија - отчитувањето на мерачот на крајот од 27-от километар - 27.999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Пресметките на податоците од календарот за произволно долг период се засноваат на формули кои опишуваат одредени нумерички секвенци. Во астрономијата, должината на орбитата е геометриски зависна од растојанието на небесното тело до светлото. Покрај тоа, различни нумерички серии успешно се користат во статистиката и другите применети гранки на математиката.

Друг вид на низа на броеви е геометриска

Геометриската прогресија се карактеризира со голема, во споредба со аритметичка, стапка на промена. Не случајно во политиката, социологијата, медицината честопати, за да се покаже големата брзина на ширење на одредена појава, на пример, болест за време на епидемија, велат дека процесот се развива експоненцијално.

N-тиот член на серијата на геометриски броеви се разликува од претходниот по тоа што се множи со некој константен број - именителот, на пример, првиот член е 1, именителот е 2, соодветно, тогаш:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - вредноста на тековниот член на геометриската прогресија;

b n+1 - формулата на следниот член на геометриската прогресија;

q е именителот на геометриска прогресија (константен број).

Ако графикот на аритметичката прогресија е права линија, тогаш геометриската црта малку поинаква слика:

Како и во случајот со аритметиката, геометриската прогресија има формула за вредноста на произволен член. Секој n-ти член на геометриска прогресија е еднаков на производот од првиот член и именителот на прогресијата до моќта на n намален за еден:

Пример. Имаме геометриска прогресија со првиот член еднаков на 3 и именителот на прогресијата еднаков на 1,5. Најдете го 5-тиот член од прогресијата

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Збирот на даден број членови исто така се пресметува со помош на посебна формула. Збирот на првите n членови на геометриската прогресија е еднаков на разликата помеѓу производот на n-тиот член на прогресијата и неговиот именител и првиот член на прогресијата, поделен со именителот намален за еден:

Ако b n се замени со формулата дискутирана погоре, вредноста на збирот на првите n членови од разгледуваната бројна серија ќе ја има формата:

Пример. Геометриската прогресија започнува со првиот член еднаков на 1. Именителот е поставен еднаков на 3. Да го најдеме збирот на првите осум члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

При изучувањето на алгебрата во средно училиште (9 одделение), една од важните теми е изучувањето на нумеричките низи, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија ќе разгледаме аритметичка прогресија и примери со решенија.

Што е аритметичка прогресија?

За да се разбере ова, потребно е да се даде дефиниција за прогресијата што се разгледува, како и да се дадат основните формули кои понатаму ќе се користат при решавање на проблемите.

Аритметичка или алгебарска прогресија е таков збир на подредени рационални броеви, чиј секој член се разликува од претходниот со одредена константна вредност. Оваа вредност се нарекува разлика. Односно, познавајќи го кој било член на нарачана серија на броеви и разликата, можете да ја вратите целата аритметичка прогресија.

Да земеме пример. Следната низа од броеви ќе биде аритметичка прогресија: 4, 8, 12, 16, ..., бидејќи разликата во овој случај е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но, множеството броеви 3, 5, 8, 12, 17 повеќе не може да се припише на разгледуваниот тип на прогресија, бидејќи разликата за него не е константна вредност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега ги даваме основните формули кои ќе бидат потребни за решавање на проблеми со помош на аритметичка прогресија. Нека a n го означува n-тиот член на низата, каде што n е цел број. Разликата се означува со латинската буква d. Тогаш следните изрази се вистинити:

1. За да се одреди вредноста на n-тиот член, формулата е погодна: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. За да се одреди збирот на првите n членови: S n = (a n + a 1)*n/2.

За да се разберат какви било примери на аритметичка прогресија со решение во одделение 9, доволно е да се запаметат овие две формули, бидејќи сите проблеми од типот што се разгледува се изградени врз нивната употреба. Исто така, не заборавајте дека разликата во прогресијата се одредува со формулата: d = a n - a n-1 .

Пример #1: Наоѓање непознат член

Даваме едноставен пример за аритметичка прогресија и формулите што мора да се користат за решавање.

Нека биде дадена низата 10, 8, 6, 4, ..., неопходно е да се најдат пет члена во неа.

Од условите на проблемот веќе произлегува дека првите 4 поими се познати. Петтиот може да се дефинира на два начина:

1. Прво да ја пресметаме разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. Слично на тоа, може да земете кои било други два термини кои стојат еден до друг. На пример, d = 4 - 6 = -2. Бидејќи е познато дека d \u003d a n - a n-1, тогаш d \u003d a 5 - a 4, од каде што добиваме: a 5 \u003d a 4 + d. Ги заменуваме познатите вредности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вториот метод исто така бара познавање на разликата во односната прогресија, така што прво треба да ја одредите, како што е прикажано погоре (d = -2). Знаејќи дека првиот член a 1 = 10, ја користиме формулата за n бројот на низата. Имаме: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Заменувајќи го n = 5 во последниот израз, добиваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Како што можете да видите, двете решенија водат до истиот резултат. Забележете дека во овој пример разликата d на прогресијата е негативна. Ваквите низи се нарекуваат намалувачки бидејќи секој последователен член е помал од претходниот.

Пример #2: разлика во прогресијата

Сега да ја комплицираме задачата малку, да дадеме пример како

Познато е дека кај некои првиот член е еднаков на 6, а седмиот член е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа низа на 7-ми член.

Да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ги заменуваме познатите податоци од состојбата во него, односно броевите a 1 и a 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. Од овој израз, можете лесно да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така, беше одговорен првиот дел од задачата.

За да ја вратите низата до седмиот член, треба да ја користите дефиницијата за алгебарска прогресија, односно a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d итн. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 и 7 = 18.

Пример бр. 3: правење прогресија

Дозволете ни да ја искомплицираме состојбата на проблемот уште повеќе. Сега треба да одговорите на прашањето како да најдете аритметичка прогресија. Можеме да го дадеме следниов пример: дадени се два броја, на пример, 4 и 5. Потребно е да се направи алгебарска прогресија за да се вклопат уште три члена меѓу нив.

Пред да се започне со решавање на овој проблем, неопходно е да се разбере какво место ќе заземат дадените броеви во идната прогресија. Бидејќи меѓу нив ќе има уште три термини, потоа 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. Откако го утврдивме ова, продолжуваме со задача слична на претходната. Повторно, за n-тиот член, ја користиме формулата, добиваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Од: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Овде, разликата не е цел број, туку рационален број, така што формулите за алгебарската прогресија остануваат исти.

Сега да ја додадеме пронајдената разлика на 1 и да ги вратиме исчезнатите членови на прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u што се совпадна со состојбата на проблемот.

Пример #4: Првиот член на прогресијата

Продолжуваме да даваме примери за аритметичка прогресија со решение. Во сите претходни задачи беше познат првиот број на алгебарската прогресија. Сега разгледајте проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде од кој број започнува оваа низа.

Формулите што се користени досега претпоставуваат познавање на 1 и d. Ништо не се знае за овие бројки во состојбата на проблемот. Сепак, да ги напишеме изразите за секој член за кој имаме информации: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Добивме две равенки во кои има 2 непознати величини (a 1 и d). Тоа значи дека проблемот се сведува на решавање на систем од линеарни равенки.

Наведениот систем е најлесно да се реши ако изразите 1 во секоја равенка, а потоа ги споредите добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Изедначувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, од каде разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (дадени се само 3 децимални места).

Знаејќи го d, можете да користите кој било од 2-те изрази погоре за 1 . На пример, прво: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има сомнежи за резултатот, можете да го проверите, на пример, да го одредите 43-тиот член на прогресијата, што е наведено во условот. Добиваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Мала грешка се должи на фактот што во пресметките се користело заокружување на илјадити делови.

Пример #5: Збир

Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.

Нека е дадена нумеричка прогресија од следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како да се пресмета збирот од 100 од овие броеви?

Благодарение на развојот на компјутерската технологија, овој проблем може да се реши, односно последователно да се соберат сите броеви, што компјутерот ќе го направи штом некое лице ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши ментално ако се обрне внимание дека претставената серија на броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Љубопитно е да се забележи дека овој проблем се нарекува „Гаус“, бидејќи на почетокот на 18 век познатиот Германец, сè уште на возраст од само 10 години, можел да го реши во својот ум за неколку секунди. Момчето не ја знаело формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележал дека ако се соберат парови на броеви лоцирани на рабовите на низата, секогаш го добивате истиот резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а бидејќи овие збирови ќе бидат точно 50 (100 / 2), тогаш за да се добие точниот одговор, доволно е да се помножи 50 со 101.

Пример #6: збир на членови од n до m

Друг типичен пример за збир на аритметичка прогресија е следниов: дадени се низа броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да најдете колкав ќе биде збирот на неговите членови од 8 до 14.

Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа нивно сумирање последователно. Бидејќи има малку термини, овој метод не е доволно макотрпен. Сепак, се предлага да се реши овој проблем со вториот метод, кој е поуниверзален.

Идејата е да се добие формула за збир на алгебарска прогресија помеѓу членовите m и n, каде што n > m се цели броеви. За двата случаи, пишуваме два изрази за збирот:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Бидејќи n > m, очигледно е дека збирот 2 го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата помеѓу овие збирови и на неа го додадеме поимот a m (во случај да се земе разликата, таа се одзема од збирот S n), тогаш го добиваме потребниот одговор на задачата. Имаме: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Неопходно е да се заменат формулите за n и a m во овој израз. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Резултирачката формула е донекаде незгодна, сепак, збирот S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.

Како што може да се види од горенаведените решенија, сите задачи се засноваат на познавањето на изразот за n-тиот член и формулата за збир на множеството од први членови. Пред да започнете да решавате некој од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што сакате да најдете и дури потоа да продолжите со решението.

Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно, ако можете да одговорите на прашањето без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во примерот на аритметичка прогресија со решение бр. 6, може да се застане на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разделете ја општата задача во посебни подзадачи (во овој случај, прво пронајдете ги поимите a n и a m).

Доколку постојат сомневања за добиениот резултат, се препорачува да се провери, како што беше направено во некои од дадените примери. Како да се најде аритметичка прогресија, дознавме. Откако ќе го сфатите, не е толку тешко.

На пример, низата \(2\); \(5\); \(осум\); \(единаесет\); \(14\)… е аритметичка прогресија, бидејќи секој следен елемент се разликува од претходниот по три (може да се добие од претходниот со додавање три):

Во оваа прогресија, разликата \(d\) е позитивна (еднаква на \(3\)), и затоа секој следен член е поголем од претходниот. Ваквите прогресии се нарекуваат се зголемува.

Сепак, \(d\) може да биде и негативен број. На пример, во аритметичка прогресија \(16\); \(десет\); \(четири\); \(-2\); \(-8\)... разликата во прогресијата \(d\) е еднаква на минус шест.

И во овој случај, секој следен елемент ќе биде помал од претходниот. Овие прогресии се нарекуваат се намалува.

Нотација на аритметичка прогресија

Прогресијата се означува со мала латиница.

Броевите што формираат прогресија се нарекуваат членови(или елементи).

Тие се означуваат со истата буква како и аритметичката прогресија, но со нумерички индекс еднаков на бројот на елементот по редослед.

На пример, аритметичката прогресија \(a_n = \лево\( 2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\) се состои од елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така натаму.

Со други зборови, за прогресијата \(a_n = \лево\(2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\)

Решавање задачи на аритметичка прогресија

Во принцип, горенаведените информации се веќе доволни за да се реши речиси секој проблем на аритметичка прогресија (вклучувајќи ги и оние понудени во OGE).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е дадена со условите \(b_1=7; d=4\). Најдете \(b_5\).
Решение:

Одговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени се првите три члена на аритметичка прогресија: \(62; 49; 36…\) Најдете ја вредноста на првиот негативен член од оваа прогресија..
Решение:

Одговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени се неколку последователни елементи на аритметичка прогресија: \(...5; x; 10; 12,5...\) Најдете ја вредноста на елементот означен со буквата \(x\).
Решение:

Одговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е дадена со следните услови: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Најдете го збирот на првите шест членови од оваа прогресија.
Решение:

Одговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). Во аритметичка прогресија \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Најдете ја разликата на оваа прогресија.
Решение:

Одговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметичка прогресија

Како што можете да видите, многу проблеми со аритметичка прогресија може да се решат едноставно со разбирање на главната работа - дека аритметичката прогресија е синџир од броеви, а секој следен елемент во овој синџир се добива со додавање ист број на претходниот (разликата на прогресијата).

Сепак, понекогаш има ситуации кога е многу незгодно да се реши „на чело“. На пример, замислете дека во првиот пример, не треба да го најдеме петтиот елемент \(b_5\), туку триста осумдесет и шестиот \(b_(386)\). Што е тоа, ние \ (385 \) пати да додадеме четири? Или замислете дека во претпоследниот пример, треба да го најдете збирот на првите седумдесет и три елементи. Броењето е збунувачки...

Затоа, во такви случаи, тие не решаваат „на чело“, туку користат специјални формули изведени за аритметичка прогресија. А главните се формулата за n-тиот член на прогресијата и формулата за збирот \(n\) од првите членови.

Формула за \(n\)-тиот член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), каде што \(a_1\) е првиот член на прогресијата;
\(n\) – број на потребниот елемент;
\(a_n\) е член на прогресијата со бројот \(n\).

Оваа формула ни овозможува брзо да го најдеме барем тристатиот, дури и милионитиот елемент, знаејќи го само првиот и разликата во прогресијата.

Пример. Аритметичката прогресија е дадена со условите: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Најдете \(b_(246)\).
Решение:

Одговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за збирот на првите n членови е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), каде

\(a_n\) е последниот сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е дадена со условите \(a_n=3,4n-0,6\). Најдете го збирот на првите \(25\) членови од оваа прогресија.
Решение:

Одговор: \(S_(25)=1090\).

За збирот \(n\) од првите членови, можете да добиете друга формула: само треба да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) наместо \(a_n\) заменете ја формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Добиваме:

Формулата за збирот на првите n членови е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), каде

\(S_n\) – потребната сума \(n\) од првите елементи;
\(a_1\) е првиот член што се сумира;
\(d\) – разлика во прогресијата;
\(n\) - бројот на елементи во збирот.

Пример. Најдете го збирот на првите \(33\)-ex членови на аритметичката прогресија: \(17\); \(15,5\); \(Четиринаесет\)…
Решение:

Одговор: \(S_(33)=-231\).

Покомплексни проблеми со аритметичка прогресија

Сега ги имате сите информации што ви се потребни за да го решите речиси секој проблем со аритметичката прогресија. Ајде да ја завршиме темата со разгледување на проблеми во кои треба не само да применувате формули, туку и да размислите малку (во математиката, ова може да биде корисно ☺)

Пример (OGE). Најдете го збирот на сите негативни членови на прогресијата: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Одговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е дадена со условите: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Најдете го збирот од \(26\)ти до \(42\) елемент вклучувајќи го.
Решение:

Одговор: \(S=1683\).

За аритметичка прогресија, има уште неколку формули кои не ги разгледавме во оваа статија поради нивната мала практична корисност. Сепак, можете лесно да ги најдете.

Па ајде да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:
Можете да напишете какви било броеви, и може да има колку што сакате (во нашиот случај, нив). Колку и да напишеме броеви, секогаш можеме да кажеме кој од нив е прв, кој е втор и така до последниот, односно можеме да ги нумерираме. Ова е пример за броена низа:

Нумеричка низа
На пример, за нашата низа:

Доделениот број е специфичен само за еден низен број. Со други зборови, нема три втори броеви во низата. Вториот број (како -тиот број) е секогаш ист.
Бројот со бројот се нарекува -ти член на низата.

Целата низа обично ја нарекуваме некоја буква (на пример,), а секој член од оваа низа - истата буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Во нашиот случај:

Да речеме дека имаме нумеричка низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.
На пример:

итн.
Таквата нумеричка низа се нарекува аритметичка прогресија.
Терминот „прогресија“ бил воведен од римскиот автор Боетиј уште во 6 век и во поширока смисла бил сфатен како бескрајна нумеричка низа. Името „аритметика“ е пренесено од теоријата на континуирани пропорции, во која се занимавале античките Грци.

Ова е нумеричка низа, чиј член е еднаков на претходниот, додаден со ист број. Овој број се нарекува разлика на аритметичка прогресија и се означува.

Обидете се да одредите кои низи од броеви се аритметичка прогресија, а кои не се:

а)
б)
в)
г)

Сфатив? Споредете ги нашите одговори:
Еаритметичка прогресија - b, c.
не еаритметичка прогресија - a, d.

Да се ​​вратиме на дадената прогресија () и да се обидеме да ја најдеме вредноста на нејзиниот член. Постои дваначин да го најдете.

1. Метод

Можеме да ја додадеме претходната вредност на бројот на прогресијата додека не го достигнеме тиот член на прогресијата. Добро е што немаме многу да резимираме - само три вредности:

Значи, -тиот член на опишаната аритметичка прогресија е еднаков на.

2. Начин

Што ако треба да ја најдеме вредноста на тиот член на прогресијата? Збирот ќе ни одзеде повеќе од еден час, а не е факт дека немаше да погрешиме при собирањето на бројките.
Секако, математичарите смислиле начин на кој не треба да ја додавате разликата од аритметичката прогресија на претходната вредност. Погледнете ја внимателно нацртаната слика... Сигурно веќе сте забележале одредена шема, имено:

На пример, да видиме што ја сочинува вредноста на -тиот член на оваа аритметичка прогресија:


Со други зборови:

Обидете се самостојно на овој начин да ја пронајдете вредноста на член на оваа аритметичка прогресија.

Пресметано? Споредете ги вашите записи со одговорот:

Обрнете внимание дека го добивте точно истиот број како и во претходниот метод, кога последователно ги додадовме членовите на аритметичката прогресија на претходната вредност.
Ајде да се обидеме да ја „обезличиме“ оваа формула - ја внесуваме во општа форма и добиваме:

Аритметичките прогресии или се зголемуваат или се намалуваат.

Зголемување- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е поголема од претходната.
На пример:

Опаѓачки- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е помала од претходната.
На пример:

Изведената формула се користи при пресметување на поими и во зголемување и во намалување на аритметичката прогресија.
Ајде да го провериме во пракса.
Ни е дадена аритметичка прогресија која се состои од следните броеви:

Од тогаш:

Така, бевме убедени дека формулата работи и во намалување и во зголемување на аритметичката прогресија.
Обидете се сами да ги пронајдете -тите и -тите членови на оваа аритметичка прогресија.

Ајде да ги споредиме резултатите:

Својство на аритметичка прогресија

Ајде да ја комплицираме задачата - го изведуваме својството на аритметичка прогресија.
Да претпоставиме дека ни е даден следниов услов:
- аритметичка прогресија, најдете ја вредноста.
Лесно е, велите, и почнете да броите според формулата што веќе ја знаете:

Нека, а, тогаш:

Апсолутно во право. Излегува дека прво наоѓаме, потоа го додаваме на првиот број и го добиваме она што го бараме. Ако прогресијата е претставена со мали вредности, тогаш нема ништо комплицирано во тоа, но што ако ни се дадени бројки во условот? Се согласувам, постои можност да се направат грешки во пресметките.
Сега размислете, дали е можно да се реши овој проблем во еден чекор користејќи некоја формула? Се разбира, да, и ќе се обидеме да го извадиме сега.

Да го означиме саканиот член на аритметичката прогресија како што ја знаеме формулата за нејзино наоѓање - ова е истата формула што ја изведовме на почетокот:
, тогаш:

• претходниот член на прогресијата е:
• следниот термин на прогресијата е:

Да ги сумираме претходните и следните членови на прогресијата:

Излегува дека збирот на претходните и следните членови на прогресијата е двојно поголема од вредноста на членот на прогресијата што се наоѓа меѓу нив. Со други зборови, за да се најде вредноста на член на прогресија со познати претходни и последователни вредности, потребно е да се соберат и да се подели со.

Така е, го добивме истиот број. Ајде да го поправиме материјалот. Пресметајте ја вредноста за прогресијата сами, бидејќи тоа не е воопшто тешко.

Добро сторено! Знаете речиси сè за прогресијата! Останува да дознаеме само една формула, која, според легендата, еден од најголемите математичари на сите времиња, „кралот на математичарите“ – Карл Гаус, лесно сам ја заклучил ...

Кога Карл Гаус имал 9 години, наставникот, зафатен со проверка на работата на учениците од другите класови, ја поставил следната задача на часот: „Пресметај го збирот на сите природни броеви од до (според други извори до) инклузивно. " Какво беше изненадувањето на наставникот кога еден од неговите ученици (тоа беше Карл Гаус) по една минута го даде точниот одговор на задачата, додека повеќето од соучениците на храбриот по долги пресметки добија погрешен резултат ...

Младиот Карл Гаус забележал дезен кој лесно можете да го забележите.
Да речеме дека имаме аритметичка прогресија составена од -ti членови: Треба да го најдеме збирот на дадените членови на аритметичката прогресија. Се разбира, можеме рачно да ги сумираме сите вредности, но што ако треба да го најдеме збирот на неговите поими во задачата, како што бараше Гаус?

Ајде да ја отсликаме прогресијата што ни е дадена. Погледнете ги внимателно истакнатите броеви и обидете се да извршите разни математички операции со нив.


Се обиде? Што забележавте? Точно! Нивните збирови се еднакви

Сега одговори, колку такви парови ќе има во прогресијата што ни е дадена? Се разбира, точно половина од сите бројки, т.е.
Врз основа на фактот дека збирот на два члена на аритметичка прогресија е еднаков, и слични еднакви парови, добиваме дека вкупниот збир е еднаков на:
.
Така, формулата за збир на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Во некои проблеми, не го знаеме тиот термин, но ја знаеме разликата во прогресијата. Обидете се во формулата за збир да ја замените формулата на ти член.
Што доби?

Добро сторено! Сега да се вратиме на проблемот што му беше даден на Карл Гаус: пресметајте сами колкав е збирот на броевите што почнуваат од -та, а збирот на броевите што почнуваат од -то.

Колку добивте?
Гаус испадна дека збирот на членовите е еднаков, а збирот на членовите. Така решивте?

Всушност, формулата за збир на членови на аритметичка прогресија била докажана од античкиот грчки научник Диофант уште во 3 век, и во текот на ова време, духовитите луѓе ги користеле својствата на аритметичката прогресија со моќ и главно.
На пример, замислете го Стариот Египет и најголемото градилиште од тоа време - изградбата на пирамида ... На сликата е прикажана едната страна од неа.

Каде е прогресијата овде што велиш? Погледнете внимателно и пронајдете шема во бројот на песочни блокови во секој ред од ѕидот на пирамидата.


Зошто не аритметичка прогресија? Пребројте колку блокови се потребни за да се изгради еден ѕид ако во основата се ставени блок тули. Се надевам дека нема да броите со движење на прстот преку мониторот, се сеќавате ли на последната формула и се што кажавме за аритметичката прогресија?

Во овој случај, прогресијата изгледа вака:
Разлика во аритметичката прогресија.
Број на членови на аритметичка прогресија.
Ајде да ги замениме нашите податоци во последните формули (го броиме бројот на блокови на 2 начини).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да пресметате и на мониторот: споредете ги добиените вредности со бројот на блокови што се во нашата пирамида. Дали се согласи? Браво, го совладавте збирот на членовите на аритметичката прогресија.
Се разбира, не можете да изградите пирамида од блоковите во основата, но од? Обидете се да пресметате колку песочни тули се потребни за да се изгради ѕид со оваа состојба.
Дали се снајде?
Точниот одговор е блокови:

Вежба

Задачи:

1. Маша влегува во форма за лето. Секој ден таа го зголемува бројот на сквотови за. Колку пати Маша ќе чучне за неколку недели ако направи сквотови на првиот тренинг.
2. Колкав е збирот на сите непарни броеви содржани во.
3. При складирање на трупци, дрвосечачите ги редат на таков начин што секој горен слој содржи еден труп помалку од претходниот. Колку трупци има во една ѕидарија, ако основата на ѕидањето е трупци.

Одговори:

1. Да ги дефинираме параметрите на аритметичката прогресија. Во овој случај
   (недели = денови).

   Одговор:За две недели, Маша треба да сквоти еднаш дневно.

2. Прв непарен број, последен број.
   Разлика во аритметичката прогресија.
   Бројот на непарни броеви на - половина, сепак, проверете го овој факт користејќи ја формулата за наоѓање на -тиот член на аритметичка прогресија:

   Броевите содржат непарни броеви.
   Достапните податоци ги заменуваме во формулата:

   Одговор:Збирот на сите непарни броеви содржани во е еднаков на.

3. Потсетете се на проблемот со пирамидите. За нашиот случај, a, бидејќи секој горен слој е намален за еден дневник, има само еден куп слоеви, т.е.
   Заменете ги податоците во формулата:

   Одговор:Во ѕидарството има трупци.

Сумирање

1. - нумеричка низа во која разликата меѓу соседните броеви е иста и еднаква. Се зголемува и се намалува.
2. Наоѓање формулаЧленот на аритметичката прогресија се запишува со формулата - , каде што е бројот на броеви во прогресијата.
3. Својство на членовите на аритметичка прогресија- - каде - бројот на броеви во прогресијата.
4. Збирот на членовите на аритметичка прогресијаможе да се најде на два начина:
   
   , каде е бројот на вредности.

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. ПРОСЕЧНО НИВО

Нумеричка низа

Ајде да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:

Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има колку што сакате. Но, секогаш можеш да кажеш кој од нив е првиот, кој е вториот и така натаму, односно можеме да ги нумерираме. Ова е пример за бројна низа.

Нумеричка низае збир на броеви, од кои на секој може да му се додели единствен број.

Со други зборови, секој број може да се поврзе со одреден природен број, и тоа само еден. И ние нема да го доделиме овој број на кој било друг број од овој сет.

Бројот со бројот се нарекува -ти член на низата.

Целата низа обично ја нарекуваме некоја буква (на пример,), а секој член од оваа низа - истата буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Многу е погодно ако -тиот член на низата може да се даде со некоја формула. На пример, формулата

ја поставува низата:

А формулата е следнава низа:

На пример, аритметичката прогресија е низа (првиот член овде е еднаков, а разликата). Или (, разлика).

n-ти термин формула

Ние ја нарекуваме рекурентна формула во која, за да го дознаете -тиот член, треба да ги знаете претходните или неколку претходни:

За да го најдеме, на пример, тиот член на прогресијата користејќи таква формула, треба да ги пресметаме претходните девет. На пример, нека. Потоа:

Па, сега е јасно која е формулата?

Во секоја линија, додаваме, помножено со некој број. За што? Многу едноставно: ова е бројот на тековниот член минус:

Сега е многу поудобно, нели? Проверуваме:

Одлучете сами:

Во аритметичка прогресија, најдете ја формулата за n-тиот член и најдете го стотиот член.

Решение:

Првиот член е еднаков. И која е разликата? А еве што:

(на крајот на краиштата, таа се нарекува разлика затоа што е еднаква на разликата на последователни членови на прогресијата).

Значи формулата е:

Тогаш стотиот член е:

Колку изнесува збирот на сите природни броеви од до?

Според легендата, големиот математичар Карл Гаус, како 9-годишно момче, ја пресметал оваа сума за неколку минути. Забележал дека збирот на првиот и последниот број е еднаков, збирот на вториот и претпоследниот е ист, збирот на третиот и третиот од крајот е ист итн. Колку такви парови има? Така е, точно половина од бројот на сите броеви, т.е. Значи,

Општата формула за збирот на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Пример:
Најдете го збирот на сите двоцифрени множители.

Решение:

Првата таква бројка е оваа. Секој следен се добива со додавање број на претходниот. Така, броевите што ни ги интересира формираат аритметичка прогресија со првиот член и разликата.

Формулата за ти член за оваа прогресија е:

Колку члена има во прогресијата ако сите мора да бидат двоцифрени?

Многу лесно: .

Последниот рок од прогресијата ќе биде еднаков. Потоа збирот:

Одговор:.

Сега одлучете сами:

1. Секој ден спортистот трча 1 метар повеќе од претходниот ден. Колку километри ќе истрча во недели ако истрчал km m првиот ден?
2. Велосипедист вози повеќе милји секој ден од претходниот. Првиот ден патувал км. Колку дена треба да вози за да помине еден километар? Колку километри ќе помине последниот ден од патувањето?
3. За исто толку секоја година се намалува и цената на фрижидерот во продавницата. Определете колку се намалувала цената на фрижидерот секоја година ако, ставен на продажба за рубли, шест години подоцна се продавал за рубли.

Одговори:

1. Овде најважно е да се препознае аритметичката прогресија и да се одредат нејзините параметри. Во овој случај, (недели = денови). Треба да го одредите збирот на првите членови на оваа прогресија:
   .
   Одговор:
2. Овде е дадено:, потребно е да се најде.
   Очигледно, треба да ја користите истата формула за сума како во претходниот проблем:
   .
   Заменете ги вредностите:

   Коренот очигледно не одговара, па одговорот.
   Да го пресметаме поминатото растојание во последниот ден користејќи ја формулата на -тиот член:
   (км).
   Одговор:

3. Дадени:. Најдете:.
   Не станува полесно:
   (тријте).
   Одговор:

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИОТ

Ова е нумеричка низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.

Аритметичката прогресија се зголемува () и се намалува ().

На пример:

Формулата за наоѓање на n-тиот член на аритметичка прогресија

се пишува како формула, каде што е бројот на броеви во прогресијата.

Својство на членовите на аритметичка прогресија

Тоа го олеснува наоѓањето член на прогресијата ако се познати неговите соседни членови - каде е бројот на броеви во прогресијата.

Збирот на членовите на аритметичка прогресија

Постојат два начини да се најде збирот:

Каде е бројот на вредности.

Каде е бројот на вредности.

ОСТАНАТИТЕ 2/3 СТАТИИ СЕ ДОСТАПНИ САМО ЗА YOUCLEVER СТУДЕНТИ!

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за OGE или УПОТРЕБА во математиката по цена од „шолја кафе месечно“,

И, исто така, добијте неограничен пристап до учебникот „YouClever“, програмата за обука „100gia“ (книга за решенија), неограничено пробно КОРИСТЕЊЕ и OGE, 6000 задачи со анализа на решенија и други услуги на YouClever и 100gia.

Тип на лекција:учење нов материјал.

Цели на лекцијата:

• проширување и продлабочување на идеите на учениците за задачи решени со помош на аритметичка прогресија; организација на активноста за пребарување на учениците при изведување на формулата за збир на првите n членови на аритметичка прогресија;
• развој на вештини за самостојно стекнување на нови знаења, користење на веќе стекнато знаење за постигнување на задачата;
• развој на желбата и потребата да се генерализираат добиените факти, развој на независност.

Задачи:

• генерализирање и систематизирање на постојните знаења на тема „Аритметичка прогресија“;
• изведе формули за пресметување на збирот на првите n членови на аритметичка прогресија;
• учат како да се применат добиените формули при решавање на различни проблеми;
• привлече внимание на учениците на постапката за пронаоѓање на вредноста на нумеричкиот израз.

Опрема:

• картички со задачи за работа во групи и парови;
• хартија за евалуација;
• презентација„Аритметичка прогресија“.

I. Актуелизација на основните знаења.

1. Самостојна работа во парови.

1-ва опција:

Дефинирајте аритметичка прогресија. Запишете рекурзивна формула која дефинира аритметичка прогресија. Наведете пример за аритметичка прогресија и означете ја нејзината разлика.

2-ра опција:

Запишете ја формулата за n-ти член на аритметичка прогресија. Најдете го 100-тиот член на аритметичка прогресија ( a n}: 2, 5, 8 …
Во тоа време, двајца ученици на задната страна на таблата подготвуваат одговори на истите прашања.
Учениците ја оценуваат работата на партнерот споредувајќи ја со таблата. (Се предаваат летоци со одговори).

2. Игра момент.

Вежба 1.

Наставник.Зачнав некоја аритметичка прогресија. Поставете ми само две прашања за по одговорите набрзина да го именувате 7-от член на оваа прогресија. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Прашања од студенти.

1. Кој е шестиот член на прогресијата и која е разликата?
2. Кој е осмиот член на прогресијата и која е разликата?

Ако нема повеќе прашања, тогаш наставникот може да ги стимулира - „забрана“ за г (разлика), односно не е дозволено да се прашува што е разликата. Можете да поставувате прашања: кој е 6-тиот член на прогресијата и кој е 8-от член на прогресијата?

Задача 2.

На таблата се напишани 20 бројки: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Наставникот стои со грб кон таблата. Учениците го кажуваат бројот на бројот, а наставникот веднаш го повикува самиот број. Објасни како можам да го направам тоа?

Наставникот се сеќава на формулата на n-тиот член а n \u003d 3n - 2и, заменувајќи ги дадените вредности на n, ги наоѓа соодветните вредности a n .

II. Изјава за воспитно-образовната задача.

Предлагам да се реши стар проблем кој датира од II милениум п.н.е., пронајден во египетски папируси.

Задача:„Нека ви се каже: поделете 10 мерки јачмен на 10 луѓе, разликата меѓу секој човек и неговиот сосед е 1/8 од мерката.

• Како овој проблем се поврзува со темата за аритметичка прогресија? (Секое следно лице добива 1/8 од мерката повеќе, така што разликата е d=1/8, 10 луѓе, значи n=10.)
• Што мислите дека значи бројот 10? (Збирот на сите членови на прогресијата.)
• Што друго треба да знаете за да може лесно и едноставно да се подели јачменот според состојбата на проблемот? (Првиот термин од прогресијата.)

Цел на часот- добивање на зависноста на збирот на членовите на прогресијата од нивниот број, првиот член и разликата и проверка дали проблемот бил правилно решен во античко време.

Пред да ја изведеме формулата, да видиме како старите Египќани го решиле проблемот.

И го решија вака:

1) 10 мерки: 10 = 1 мерка - просечно учество;
2) 1 мерка ∙ = 2 мерки - двојно просексподелување.
двојно просекуделот е збир на акциите на 5-то и 6-то лице.
3) 2 мерки - 1/8 мерка = 1 7/8 мерки - двојно повеќе од учеството на петтото лице.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - уделот на петтиот; и така натаму, можете да го најдете уделот на секоја претходна и наредна личност.

Ја добиваме низата:

III. Решението на задачата.

1. Работа во групи

1 група:Најдете го збирот од 20 последователни природни броеви: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Генерално

II група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 100 (Легенда за малиот Гаус).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Заклучок:

III група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Заклучок:

IV група:Најдете го збирот на природните броеви од 1 до 101.

Заклучок:

Овој метод за решавање на разгледуваните проблеми се нарекува „Гаус метод“.

2. Секоја група го прикажува решението на проблемот на табла.

3. Генерализирање на предложените решенија за произволна аритметичка прогресија:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Оваа сума ја наоѓаме со аргументирање слично:

4. Дали ја решивме задачата?(Да.)

IV. Примарно разбирање и примена на добиените формули при решавање проблеми.

1. Проверка на решението на стар проблем со формулата.

2. Примена на формулата при решавање на различни проблеми.

3. Вежби за формирање на способност за примена на формулата при решавање проблеми.

А) бр.613

дадено :( и н) -аритметичка прогресија;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Најдете: S 1500

Решение: , и 1 = 1 и 1500 = 1500,

Б) Со оглед на: ( и н) -аритметичка прогресија;
(и n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Најдете: n
Решение:

V. Самостојна работа со меѓусебна проверка.

Денис отиде да работи како курир. Во првиот месец, неговата плата беше 200 рубли, во секој следен месец се зголемуваше за 30 рубли. Колку заработил за една година?

дадено :( и н) -аритметичка прогресија;
a 1 = 200, d=30, n=12
Најдете: С 12
Решение:

Одговор: Денис доби 4380 рубли за годината.

VI. Упатство за домашна задача.

1. стр 4.3 - научете ја изведбата на формулата.
2. №№ 585, 623 .
3. Состави проблем што би се решил со помош на формулата за збир од првите n членови од аритметичка прогресија.

VII. Сумирајќи ја лекцијата.

1. Лист со резултати

2. Продолжи со речениците

• Денес на час научив...
• Научени формули...
• Јас мислам дека …

3. Дали можете да го најдете збирот на броевите од 1 до 500? Кој метод ќе го користите за да го решите овој проблем?

Библиографија.

1. Алгебра, 9-то одделение. Учебник за образовни институции. Ед. Г.В. Дорофеева.Москва: Просветителство, 2009 година.