Како да се факторизира квадратен трином. Факторирање на полином Формула за факторинг на квадратен полином

Тоа е квадрат и се состои од три члена (). Така излегува - квадрат трином.

Примери Неквадратни тројноми:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубен квадрином
\(2x+1\) - линеарен бином

Квадратен корен на триномот:

Пример:
Триномот \(x^2-2x+1\) има корен \(1\), бидејќи \(1^2-2 1+1=0\)
Триномот \(x^2+2x-3\) има корени \(1\) и \(-3\), бидејќи \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

На пример:ако треба да најдете корени за квадратниот трином \(x^2-2x+1\), го изедначуваме на нула и ја решаваме равенката \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Подготвени. Коренот е \(1\).

Разложување на квадратен трином на:

Квадратниот трином \(ax^2+bx+c\) може да се прошири како \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ако равенките \(ax^2+bx+c=0\) се поголеми од нула \ (x_1\) и \(x_2\) се корени на истата равенка).

На пример, разгледајте го триномот \(3x^2+13x-10\).
Квадратната равенка \(3x^2+13x-10=0\) има дискриминант еднаква на 289 (поголема од нула) и корени еднакви на \(-5\) и \(\frac(2)(3)\) . Затоа \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Лесно е да се потврди точноста на оваа изјава - ако ние , тогаш ќе го добиеме оригиналниот трином.

Квадратниот трином \(ax^2+bx+c\) може да се претстави како \(a(x-x_1)^2\) ако дискриминантата на равенката \(ax^2+bx+c=0\) е нула.

Квадратниот трином \(ax^2+bx+c\) не може да се факторизира ако дискриминантата на равенката \(ax^2+bx+c=0\) е помала од нула.

На пример, триномите \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) имаат дискриминанта помала од нула. Затоа, невозможно е да се вклучат во фактори.

Пример . Фактор \(2x^2-11x+12\).
Решение :
Да ги најдеме корените на квадратната равенка \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Значи, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Одговори : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Добиениот одговор може да биде напишан поинаку: \((2x-3)(x-4)\).

Пример . (Задача од OGE)Квадратниот трином се факторизира \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Најди\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cточка 5 \cточка 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Одговори : \(-1,6\)

Во оваа лекција ќе научиме како да ги факторизираме квадратните триноми во линеарни фактори. За да го направите ова, треба да ја запомниме теоремата на Виета и нејзиниот контраст. Оваа вештина ќе ни помогне брзо и погодно да ги прошириме квадратните триноми во линеарни фактори, а исто така ќе го поедностави намалувањето на дропките што се состојат од изрази.

Значи, да се вратиме на квадратната равенка, каде што .

Она што го имаме на левата страна се нарекува квадратен трином.

Теоремата е вистинита:Ако се корените на квадратен трином, тогаш идентитетот важи

Каде е водечкиот коефициент, се корените на равенката.

Значи, имаме квадратна равенка - квадратен трином, каде што корените на квадратната равенка се нарекуваат и корени на квадратниот трином. Според тоа, ако ги имаме корените на квадратен трином, тогаш овој трином може да се разложи на линеарни фактори.

Доказ:

Доказот за овој факт се врши со помош на теоремата на Виета, за која разговаравме во претходните лекции.

Да се ​​потсетиме што ни кажува теоремата на Виета:

Ако се корените на квадратен трином за кој , тогаш .

Од оваа теорема произлегува следнава изјава:

Гледаме дека, според теоремата на Виета, т.е., со замена на овие вредности во формулата погоре, го добиваме следниот израз

Q.E.D.

Потсетиме дека ја докажавме теоремата дека ако се корените на квадратен трином, тогаш проширувањето е валидно.

Сега да се потсетиме на пример на квадратна равенка, на која избравме корени користејќи ја теоремата на Виета. Од овој факт можеме да ја добиеме следната еднаквост благодарение на докажаната теорема:

Сега да ја провериме точноста на овој факт со едноставно отворање на заградите:

Гледаме дека правилно сме множеле и секој трином, ако има корени, според оваа теорема може да се размножи во линеарни фактори според формулата

Сепак, да провериме дали таквата факторизација е можна за која било равенка:

Земете ја, на пример, равенката . Прво, да го провериме знакот за дискриминација

И се сеќаваме дека за да ја исполниме теоремата што ја научивме, D мора да биде поголемо од 0, така што во овој случај, факторизацијата според теоремата што ја научивме е невозможна.

Затоа, формулираме нова теорема: ако квадратниот трином нема корени, тогаш не може да се разложи на линеарни фактори.

Значи, ја разгледавме теоремата на Виета, можноста за разложување на квадратен трином на линеарни фактори, и сега ќе решиме неколку проблеми.

Задача бр. 1

Во оваа група всушност ќе го решиме проблемот обратно од поставената. Имавме равенка, а нејзините корени ги најдовме со факторингирање. Овде ќе го направиме спротивното. Да речеме дека имаме корени на квадратна равенка

Инверзниот проблем е овој: напишете квадратна равенка користејќи ги нејзините корени.

Постојат 2 начини да се реши овој проблем.

Бидејќи се корените на равенката, тогаш е квадратна равенка чии корени се дадени броеви. Сега да ги отвориме заградите и да провериме:

Ова беше првиот начин на кој создадовме квадратна равенка со дадени корени, која нема други корени, бидејќи секоја квадратна равенка има најмногу два корени.

Овој метод вклучува употреба на инверзната теорема Виета.

Ако се корените на равенката, тогаш тие го задоволуваат условот дека .

За намалената квадратна равенка , , т.е. во овој случај и .

Така, создадовме квадратна равенка која ги има дадените корени.

Задача бр. 2

Неопходно е да се намали фракцијата.

Имаме тројном во броителот и трином во именителот, а триномите може да се факторизираат или не. Ако и броителот и именителот се факторинг, тогаш меѓу нив може да има еднакви фактори кои можат да се намалат.

Пред сè, треба да го факторирате броителот.

Прво, треба да проверите дали оваа равенка може да се факторизира, ајде да ја најдеме дискриминаторот. Бидејќи , знакот зависи од производот (мора да биде помал од 0), во овој пример, т.е. дадената равенка има корени.

За да решиме, ја користиме теоремата на Виета:

Во овој случај, бидејќи се занимаваме со корени, ќе биде доста тешко едноставно да ги изберете корените. Но, гледаме дека коефициентите се избалансирани, односно, ако претпоставиме дека , и ја замениме оваа вредност во равенката, го добиваме следниот систем: , т.е. 5-5=0. Така, избравме еден од корените на оваа квадратна равенка.

Ќе го бараме вториот корен со замена на веќе познатото во системот на равенки, на пример, , т.е. .

Така, ги најдовме двата корени на квадратната равенка и можеме да ги замениме нивните вредности во оригиналната равенка за да ја факторинг:

Да се ​​потсетиме на првичниот проблем, требаше да ја намалиме дропот.

Ајде да се обидеме да го решиме проблемот со замена.

Неопходно е да не се заборави дека во овој случај именителот не може да биде еднаков на 0, т.е.

Ако овие услови се исполнети, тогаш ја намаливме оригиналната дропка на формата .

Задача бр. 3 (задача со параметар)

Во кои вредности на параметарот е збирот на корените на квадратната равенка

Ако корените на оваа равенка постојат, тогаш , прашање: кога.

Овој онлајн калкулатор е дизајниран да ја факторизира функцијата.

На пример, факторизирајте: x 2 /3-3x+12. Да го напишеме како x^2/3-3*x+12. Можете исто така да ја користите оваа услуга, каде што сите пресметки се зачувани во Word формат.

На пример, распаѓајте во термини. Да го запишеме како (1-x^2)/(x^3+x) . За да го видите напредокот на решението, кликнете Прикажи чекори. Ако треба да го добиете резултатот во Word формат, користете ја оваа услуга.

Забелешка: бројот „пи“ (π) се запишува како пи; квадратен корен како sqrt , на пример sqrt(3) , тангентата tg се пишува tan . За да го видите одговорот, видете Алтернатива.

1. Ако е даден едноставен израз, на пример, 8*d+12*c*d, тогаш факторингирањето на изразот значи претставување на изразот во форма на фактори. За да го направите ова, треба да најдете заеднички фактори. Да го напишеме овој израз како: 4*d*(2+3*c) .
2. Претставете го производот во форма на два биноми: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Овде веќе треба да најдете неколку заеднички фактори: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Вадиме (x+7z) и добиваме: (x+7z)(x + 3y) .

види исто така Поделба на полиноми со агол (прикажани се сите чекори на делење со колона)

Корисно при проучување на правилата за факторизација ќе биде скратени формули за множење, со чија помош ќе биде јасно како се отвораат загради со квадрат:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (а-б) 2 = (а-б) (а-б) = а 2 -2аб+б 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (а-б) 3 = (а-б) (а-б) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методи на факторизација

1. Користење на скратени формули за множење.
2. Наоѓање заеднички фактор.

Во оваа лекција ќе научиме како да ги факторизираме квадратните триноми во линеарни фактори. За да го направите ова, треба да ја запомниме теоремата на Виета и нејзиниот контраст. Оваа вештина ќе ни помогне брзо и погодно да ги прошириме квадратните триноми во линеарни фактори, а исто така ќе го поедностави намалувањето на дропките што се состојат од изрази.

Значи, да се вратиме на квадратната равенка, каде што .

Она што го имаме на левата страна се нарекува квадратен трином.

Теоремата е вистинита:Ако се корените на квадратен трином, тогаш идентитетот важи

Каде е водечкиот коефициент, се корените на равенката.

Значи, имаме квадратна равенка - квадратен трином, каде што корените на квадратната равенка се нарекуваат и корени на квадратниот трином. Според тоа, ако ги имаме корените на квадратен трином, тогаш овој трином може да се разложи на линеарни фактори.

Доказ:

Доказот за овој факт се врши со помош на теоремата на Виета, за која разговаравме во претходните лекции.

Да се ​​потсетиме што ни кажува теоремата на Виета:

Ако се корените на квадратен трином за кој , тогаш .

Од оваа теорема произлегува следнава изјава:

Гледаме дека, според теоремата на Виета, т.е., со замена на овие вредности во формулата погоре, го добиваме следниот израз

Q.E.D.

Потсетиме дека ја докажавме теоремата дека ако се корените на квадратен трином, тогаш проширувањето е валидно.

Сега да се потсетиме на пример на квадратна равенка, на која избравме корени користејќи ја теоремата на Виета. Од овој факт можеме да ја добиеме следната еднаквост благодарение на докажаната теорема:

Сега да ја провериме точноста на овој факт со едноставно отворање на заградите:

Гледаме дека правилно сме множеле и секој трином, ако има корени, според оваа теорема може да се размножи во линеарни фактори според формулата

Сепак, да провериме дали таквата факторизација е можна за која било равенка:

Земете ја, на пример, равенката . Прво, да го провериме знакот за дискриминација

И се сеќаваме дека за да ја исполниме теоремата што ја научивме, D мора да биде поголемо од 0, така што во овој случај, факторизацијата според теоремата што ја научивме е невозможна.

Затоа, формулираме нова теорема: ако квадратниот трином нема корени, тогаш не може да се разложи на линеарни фактори.

Значи, ја разгледавме теоремата на Виета, можноста за разложување на квадратен трином на линеарни фактори, и сега ќе решиме неколку проблеми.

Задача бр. 1

Во оваа група всушност ќе го решиме проблемот обратно од поставената. Имавме равенка, а нејзините корени ги најдовме со факторингирање. Овде ќе го направиме спротивното. Да речеме дека имаме корени на квадратна равенка

Инверзниот проблем е овој: напишете квадратна равенка користејќи ги нејзините корени.

Постојат 2 начини да се реши овој проблем.

Бидејќи се корените на равенката, тогаш е квадратна равенка чии корени се дадени броеви. Сега да ги отвориме заградите и да провериме:

Ова беше првиот начин на кој создадовме квадратна равенка со дадени корени, која нема други корени, бидејќи секоја квадратна равенка има најмногу два корени.

Овој метод вклучува употреба на инверзната теорема Виета.

Ако се корените на равенката, тогаш тие го задоволуваат условот дека .

За намалената квадратна равенка , , т.е. во овој случај и .

Така, создадовме квадратна равенка која ги има дадените корени.

Задача бр. 2

Неопходно е да се намали фракцијата.

Имаме тројном во броителот и трином во именителот, а триномите може да се факторизираат или не. Ако и броителот и именителот се факторинг, тогаш меѓу нив може да има еднакви фактори кои можат да се намалат.

Пред сè, треба да го факторирате броителот.

Прво, треба да проверите дали оваа равенка може да се факторизира, ајде да ја најдеме дискриминаторот. Бидејќи , знакот зависи од производот (мора да биде помал од 0), во овој пример, т.е. дадената равенка има корени.

За да решиме, ја користиме теоремата на Виета:

Во овој случај, бидејќи се занимаваме со корени, ќе биде доста тешко едноставно да ги изберете корените. Но, гледаме дека коефициентите се избалансирани, односно, ако претпоставиме дека , и ја замениме оваа вредност во равенката, го добиваме следниот систем: , т.е. 5-5=0. Така, избравме еден од корените на оваа квадратна равенка.

Ќе го бараме вториот корен со замена на веќе познатото во системот на равенки, на пример, , т.е. .

Така, ги најдовме двата корени на квадратната равенка и можеме да ги замениме нивните вредности во оригиналната равенка за да ја факторинг:

Да се ​​потсетиме на првичниот проблем, требаше да ја намалиме дропот.

Ајде да се обидеме да го решиме проблемот со замена.

Неопходно е да не се заборави дека во овој случај именителот не може да биде еднаков на 0, т.е.

Ако овие услови се исполнети, тогаш ја намаливме оригиналната дропка на формата .

Задача бр. 3 (задача со параметар)

Во кои вредности на параметарот е збирот на корените на квадратната равенка

Ако корените на оваа равенка постојат, тогаш , прашање: кога.

Факторирање на квадратен триномможе да биде корисно при решавање на неравенки од задача C3 или проблем со параметар C5. Исто така, многу проблеми со зборовите B13 ќе се решат многу побрзо ако ја знаете теоремата на Виета.

Оваа теорема, секако, може да се разгледува од перспектива на 8-мо одделение, во кое се учи за прв пат. Но, нашата задача е добро да се подготвиме за обединетиот државен испит и да научиме да ги решаваме задачите на испитот што е можно поефикасно. Затоа, оваа лекција разгледува пристап малку поинаков од училишниот.

Формула за корените на равенката користејќи ја теоремата на ВиетаМногу луѓе знаат (или барем виделе):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

каде што `a, b` и `c` се коефициентите на квадратниот трином `ax^2+bx+c`.

За да научиме како лесно да ја користиме теоремата, ајде да разбереме од каде доаѓа (ова всушност ќе го олесни запомнувањето).

Да ја имаме равенката `ax^2+ bx+ c = 0`. За дополнителна погодност, поделете го со `a` и добијте `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Оваа равенка се нарекува намалена квадратна равенка.

Важна идеја за лекција: секој квадратен полином што има корени може да се прошири во загради.Да претпоставиме дека нашата може да се претстави како `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, каде што `k` и ` l` - некои константи.

Ајде да видиме како се отвораат заградите:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Така, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ова е малку поинакво од класичното толкување Теорема на Виета- во него ги бараме корените на равенката. Предлагам да барам услови за распаѓање на заградата- на овој начин не треба да се сеќавате на минусот од формулата (што значи `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Доволно е да се изберат два такви броја, чиј збир е еднаков на просечниот коефициент, а производот е еднаков на слободниот член.

Ако ни треба решение на равенката, тогаш очигледно е: корените `x=-k` или `x=-l` (бидејќи во овие случаи една од заградите ќе биде нула, што значи дека целиот израз ќе биде нула ).

Ќе ви го покажам алгоритмот како пример: Како да се прошири квадратен полином во загради.

Пример еден. Алгоритам за факторинг на квадратен трином

Патеката што ја имаме е квадрантен трином `x^2+5x+4`.

Се намалува (коефициентот `x^2` е еднаков на еден). Тој има корени. (За да бидете сигурни, можете да ја процените дискриминаторот и да се уверите дека е поголема од нула.)

Понатамошни чекори (треба да ги научите со завршување на сите задачи за обука):

1. Пополнете го следниот запис: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Наместо точки, оставете слободен простор, таму ќе додадеме соодветни броеви и знаци.
2. Разгледајте ги сите можни опции за разложување на бројот `4` во производ од два броја. Добиваме парови „кандидати“ за корените на равенката: `2, 2` и `1, 4`.
3. Дознајте од кој пар можете да го добиете просечниот коефициент. Очигледно е `1, 4`.
4. Напишете $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Следниот чекор е да поставите знаци пред вметнати броеви.

   Како да разберете и засекогаш да запомните кои знаци треба да се појават пред броевите во загради? Обидете се да ги отворите (загради). Коефициентот пред `x` до првата моќност ќе биде `(± 4 ± 1)` (сеуште не ги знаеме знаците - треба да избереме), и треба да биде еднаков на `5`. Очигледно, ќе има два плуса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Изведете ја оваа операција неколку пати (здраво, задачи за обука!) и никогаш нема да имате повеќе проблеми со ова.

Ако треба да ја решите равенката `x^2+5x+4`, тогаш сега да ја решите нема да биде тешко. Неговите корени се `-4, -1`.

Пример два. Факторирање на квадратен трином со коефициенти на различни знаци

Дозволете ни да ја решиме равенката `x^2-x-2=0`. Навистина, дискриминаторот е позитивен.

Го следиме алгоритмот.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Има само едно разложување на два на цели броеви: `2 · 1`.
3. Ја прескокнуваме поентата - нема од што да се избере.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Производот на нашите броеви е негативен (`-2` е слободен член), што значи дека еден од нив ќе биде негативен, а другиот ќе биде позитивен.
   Бидејќи нивниот збир е еднаков на `-1` (коефициентот на `x`), тогаш `2` ќе биде негативен (интуитивното објаснување е дека два е поголем од двата броја, тој ќе „влече“ посилно во негативна насока). Добиваме $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Трет пример. Факторирање на квадратен трином

Равенката е `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Факторизација на 84 во цели броеви: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
3. Бидејќи ни треба разликата (или збирот) на броевите да биде 5, парот `7, 12` е соодветен.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Надеж, проширување на овој квадратен трином во заградиТоа е јасно.

Ако ви треба решение за равенка, тука е: `12, -7`.

Задачи за обука

Ви ставам на внимание неколку примери кои се лесни за се решаваат со помош на теоремата на Виета.(Примери земени од списанието „Математика“, 2002 г.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Неколку години по пишувањето на статијата, се појави збирка од 150 задачи за проширување на квадратен полином користејќи ја теоремата на Виета.

Лајк и поставувај прашања во коментари!