Равенка на нормална рамнина во векторска форма. Равенки на рамнина: општо, низ три точки, нормално

Равенка на рамнина. Како да се напише равенка на рамнина?
Меѓусебно уредување на авиони. Задачи

Просторната геометрија не е многу посложена од „рамната“ геометрија, а нашите летови во вселената започнуваат со овој напис. За да ја совладате темата, треба добро да ја разберете вектори, покрај тоа, препорачливо е да се запознаете со геометријата на авионот - ќе има многу сличности, многу аналогии, така што информациите ќе се сварат многу подобро. Во серија мои лекции, 2D светот се отвора со статија Равенка на права линија на рамнина. Но, сега Бетмен го напушти рамниот ТВ екран и стартува од космодромот Бајконур.

Да почнеме со цртежи и симболи. Шематски, рамнината може да се нацрта во форма на паралелограм, што создава впечаток на простор:

Авионот е бесконечен, но имаме можност да прикажеме само дел од него. Во пракса, покрај паралелограмот, се црта и овална или дури облак. Од технички причини, попогодно ми е да го прикажам авионот токму на овој начин и токму во оваа позиција. Вистинските авиони, кои ќе ги разгледаме во практични примери, можат да се лоцираат на кој било начин - ментално земете го цртежот во ваши раце и ротирајте го во просторот, давајќи му на авионот каков било наклон, каков било агол.

Ознаки: авионите обично се означуваат со мали грчки букви, очигледно за да не се мешаат со права линија на авионили со права линија во просторот. Навикнат сум да ја користам буквата. На цртежот е буквата „сигма“, а воопшто не е дупка. Иако, дупката е секако доста смешна.

Во некои случаи, погодно е да се користат истите грчки букви со пониски знаци за да се назначат авиони, на пример, .

Очигледно е дека рамнината е уникатно дефинирана со три различни точки кои не лежат на иста линија. Затоа, ознаките со три букви на авионите се доста популарни - според точките што им припаѓаат, на пример, итн. Често буквите се затворени во загради: , за да не се помеша рамнината со друга геометриска фигура.

За искусни читатели ќе дадам мени за брз пристап:

• Како да се создаде равенка на рамнина користејќи точка и два вектори?
• Како да се создаде равенка на рамнина користејќи точка и нормален вектор?

и нема да опаѓаме во долго чекање:

Равенка на општа рамнина

Општата равенка на рамнината има форма , каде што коефициентите не се еднакви на нула во исто време.

Голем број теоретски пресметки и практични проблеми важат и за вообичаената ортонормална основа и за афината основа на просторот (ако маслото е масло, вратете се на лекцијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на вектори). За едноставност, ќе претпоставиме дека сите настани се случуваат во ортонормална основа и Декартов правоаголен координатен систем.

Сега малку да ја вежбаме нашата просторна имагинација. Во ред е ако твоето е лошо, сега ќе го развиеме малку. Дури и играњето на нерви бара тренинг.

Во најопшт случај, кога броевите не се еднакви на нула, рамнината ги пресекува сите три координатни оски. На пример, вака:

Уште еднаш повторувам дека авионот продолжува бесконечно во сите правци, а ние имаме можност да прикажеме само дел од него.

Да ги разгледаме наједноставните равенки на рамнините:

Како да се разбере оваа равенка? Размислете за тоа: „Z“ СЕКОГАШ е еднакво на нула, за сите вредности на „X“ и „Y“. Ова е равенката на „матичната“ координатна рамнина. Навистина, формално равенката може да се преработи на следниов начин: , од каде јасно може да се види дека не ни е грижа кои вредности ги земаат „x“ и „y“, важно е „z“ да е еднакво на нула.

Исто така:
– равенка на координатната рамнина;
– равенка на координатната рамнина.

Ајде малку да го комплицираме проблемот, да разгледаме рамнина (овде и понатаму во параграфот претпоставуваме дека нумеричките коефициенти не се еднакви на нула). Да ја преработиме равенката во форма: . Како да се разбере? „X“ е СЕКОГАШ, за сите вредности на „Y“ и „Z“, еднакви на одреден број. Оваа рамнина е паралелна со координатната рамнина. На пример, рамнина е паралелна со рамнина и поминува низ точка.

Исто така:
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната рамнина;
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната рамнина.

Да додадеме членови: . Равенката може да се преработи на следниов начин: , односно, „zet“ може да биде што било. Што значи тоа? „X“ и „Y“ се поврзани со релацијата, која повлекува одредена права линија во рамнината (ќе дознаете равенка на права во рамнина?). Бидејќи „z“ може да биде што било, оваа права линија се „реплицира“ на која било висина. Така, равенката дефинира рамнина паралелна на координатната оска

Исто така:
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната оска;
– равенка на рамнина која е паралелна со координатната оска.

Ако слободните членови се нула, тогаш рамнините директно ќе минуваат низ соодветните оски. На пример, класичната „директна пропорционалност“: . Нацртајте права линија во рамнината и ментално помножете ја нагоре и надолу (бидејќи „Z“ е кое било). Заклучок: рамнината дефинирана со равенката минува низ координатната оска.

Го комплетираме прегледот: равенката на рамнината поминува низ потеклото. Па, овде е сосема очигледно дека поентата ја задоволува оваа равенка.

И, конечно, случајот прикажан на цртежот: – авионот е пријателски расположен со сите координатни оски, додека секогаш „отсекува“ триаголник, кој може да се наоѓа во која било од осумте октанти.

Линеарни неравенки во просторот

За да ги разберете информациите што треба добро да ги проучите линеарни неравенки во рамнината, бидејќи многу работи ќе бидат слични. Параграфот ќе биде од краток преглед со неколку примери, бидејќи материјалот е доста редок во пракса.

Ако равенката дефинира рамнина, тогаш неравенките
прашај полупростори. Ако неравенката не е строга (последните две во списокот), тогаш решението на неравенката, покрај полупросторот, ја вклучува и самата рамнина.

Пример 5

Најдете го единечниот нормален вектор на рамнината .

Решение: Единечен вектор е вектор чија должина е една. Да го означиме овој вектор со . Апсолутно е јасно дека векторите се колинеарни:

Прво, го отстрануваме нормалниот вектор од равенката на рамнината: .

Како да се најде единичен вектор? За да го пронајдете единичниот вектор, ви треба секојподелете ја векторската координата со должината на векторот.

Ајде да го преработиме нормалниот вектор во форма и да ја најдеме неговата должина:

Според горенаведеното:

Одговори:

Верификација: што се бараше да се потврди.

Тоа веројатно го забележале и читателите кои внимателно го проучувале последниот пасус од лекцијата координатите на единечниот вектор се токму косинусите на насоката на векторот:

Ајде да се одмориме од проблемот при рака: кога ви е даден произволен вектор кој не е нула, а според условот се бара да се најдат косинусите на неговата насока (види ги последните задачи од часот Точка производ на вектори), тогаш, всушност, наоѓате единичен вектор колинеарен на овој. Всушност две задачи во едно шише.

Потребата да се најде единечниот нормален вектор се јавува во некои проблеми на математичката анализа.

Сфативме како да извлечеме нормален вектор, сега да одговориме на спротивното прашање:

Како да се создаде равенка на рамнина користејќи точка и нормален вектор?

Оваа цврста конструкција на нормален вектор и точка е добро позната на таблата со пикадо. Ве молиме истегнете ја раката напред и ментално изберете произволна точка во просторот, на пример, мала мачка во таблата. Очигледно, преку оваа точка можете да нацртате една рамнина нормална на вашата рака.

Равенката на рамнина што минува низ точка нормална на векторот се изразува со формулата:

Равенка на нормална рамнина.

Се вика општата равенка на рамнината на формата равенка на нормална рамнина, ако должината на векторот еднакво на еден, т.е. , И .

Често можете да видите дека нормалната равенка на рамнина е напишана како . Еве ги косинусите на насоката на нормалниот вектор на дадена рамнина со единечна должина, односно и стр– ненегативен број еднаков на растојанието од потеклото до рамнината.

Нормална равенка на рамнина во правоаголен координатен систем Оксиздефинира рамнина што е отстранета од потеклото со растојание стрво позитивна насока на нормалниот вектор на оваа рамнина . Ако p=0, потоа авионот минува низ потеклото.

Да дадеме пример за равенка на нормална рамнина.

Нека рамнината е специфицирана во правоаголен координатен систем Оксизопшта рамнина равенка на формата . Оваа општа равенка на рамнината е нормалната равенка на рамнината. Навистина, нормалниот вектор на оваа рамнина е има должина еднаква на единство, бидејќи .

Равенката на рамнина во нормална форма ви овозможува да го пронајдете растојанието од точка до рамнина.

Растојание од точка до авион.

Растојанието од точка до рамнина е најмалото од растојанијата помеѓу оваа точка и точките на рамнината. Познато е дека растојаниеод точка до рамнина е еднаква на должината на нормалната извлечена од оваа точка до рамнината.

Ако и потеклото на координатите лежат на различни страни на рамнината, во спротивен случај. Растојанието од точка до рамнина е

Меѓусебно уредување на авиони. Услови за паралелизам и перпендикуларност на рамнините.

Растојание помеѓу паралелни рамнини

Поврзани концепти

Рамнините се паралелни , Ако

или (Векторски производ)

Рамнините се нормални, Ако

Или . (Скаларен производ)

Директно во вселената. Различни видови равенки на права линија.

Равенки на права линија во просторот - почетна информација.

Равенка на права линија на рамнина Оксие линеарна равенка во две променливи xИ y, што се задоволува со координатите на која било точка на правата и не се задоволува со координатите на која било друга точка. Со права линија во тродимензионален простор ситуацијата е малку поинаква - нема линеарна равенка со три променливи x, yИ z, кој би бил задоволен само со координатите на точките на правата одредена во правоаголен координатен систем Оксиз. Навистина, равенка од формата , каде x, yИ zсе променливи и А, Б, ВИ Д– некои реални бројки и А, ВОИ СОне се еднакви на нула во исто време, претставува равенка на општа рамнина. Тогаш се поставува прашањето: „Како може да се опише права линија во правоаголен координатен систем? Оксиз»?

Одговорот на ова е содржан во следните ставови од статијата.

Равенките на права линија во просторот се равенки на две рамнини кои се пресекуваат.

Да се ​​потсетиме на една аксиома: ако две рамнини во вселената имаат заедничка точка, тогаш тие имаат заедничка права линија на која се наоѓаат сите заеднички точки на овие рамнини. Така, права линија во просторот може да се дефинира со одредување на две рамнини што се сечат по оваа права линија.

Да ја преведеме последната изјава на јазикот на алгебрата.

Нека правоаголен координатен систем е фиксиран во тридимензионален простор Оксиза познато е дека правата линија ае линијата на пресек на две рамнини и, кои одговараат на општите равенки на рамнината на формата и, соодветно. Бидејќи е директно ае збир на сите заеднички точки на рамнините и, тогаш координатите на која било точка на правата a истовремено ќе ги задоволат и равенката и равенката, координатите на ниту една друга точка нема да ги задоволат истовремено двете равенки на рамнините. Затоа, координатите на која било точка на правата аво правоаголен координатен систем Оксизпретставуваат одредено решение на систем од линеарни равенкиљубезен , и општото решение на системот на равенки ги одредува координатите на секоја точка на права а, односно дефинира права линија а.

Значи, права линија во просторот во правоаголен координатен систем Оксизможе да се даде со систем на равенки на две рамнини кои се пресекуваат .

Еве пример за дефинирање права линија во просторот користејќи систем од две равенки - .

Опишувањето права линија со равенки на две рамнини што се сечат е одлично за наоѓање на координатите на пресечната точка на права и рамнина, а исто така и кога наоѓање на координатите на точката на пресек на две прави во просторот.

Препорачуваме дополнително проучување на оваа тема со повикување на статијата равенки на права во простор - равенки на две рамнини што се сечат. Обезбедува подетални информации, детално дискутира за решенија за типични примери и проблеми, а исто така покажува метод за премин кон равенки на права линија во простор од различен тип.

Треба да се напомене дека постојат различни начини да се дефинира линија во просторот, и во пракса, правата линија често се дефинира не со две рамнини кои се пресекуваат, туку со насочувачкиот вектор на правата линија и точка што лежи на оваа права линија. Во овие случаи, полесно е да се добијат канонски и параметарски равенки на права во просторот. Ќе зборуваме за нив во следните параграфи.

Параметриски равенки на права во просторот.

Параметриски равенки на права во просторотизгледа како ,

Каде x 1 ,y 1 И z 1 - координати на некоја точка на линијата, а x , а yИ а z (а x , а yИ а zне се еднакви на нула во исто време) - соодветни координати на насочувачкиот вектор на правата линија, a е некој параметар кој може да земе каква било вистинска вредност.

За која било вредност на параметарот, користејќи ги параметарските равенки на права во просторот, можеме да пресметаме тројка од броеви,

ќе одговара на некоја точка на правата (оттука и името на овој тип на равенка на права). На пример, кога

од параметарските равенки на права линија во просторот ги добиваме координатите x 1 , y 1 И z 1 : .

Како пример, земете ја права линија дефинирана со параметарски равенки на формата . Оваа права минува низ точка, а векторот на насоката на оваа права има координати.

Препорачуваме да продолжите да ја проучувате темата со повикување на статијата параметарски равенки на права во просторот. Прикажува изведување на параметарски равенки на права во просторот, испитува посебни случаи на параметарски равенки на права во просторот, дава графички илустрации, дава детални решенија за карактеристични проблеми и укажува на поврзаноста помеѓу параметарските равенки на правата и други видови равенки на права.

Канонски равенки на права линија во просторот.

Откако ја решивте секоја од параметарските права линија равенки на формата во однос на параметарот, лесно е да се оди канонски равенки на права линија во просторотљубезен .

Канонските равенки на права во просторот одредуваат права што минува низ точка , а векторот на насоката на правата линија е векторот . На пример, равенките на права линија во канонска форма одговараат на права што минува низ точка во просторот со координати, векторот на насоката на оваа права има координати.

Треба да се забележи дека еден или два од броевите во канонските равенки на правата можат да бидат еднакви на нула (сите три броја не можат да бидат еднакви на нула во исто време, бидејќи векторот на насоката на правата не може да биде нула). Потоа нотација на формата се смета за формален (бидејќи именители на една или две дропки ќе имаат нули) и треба да се разбере како , Каде.

Ако еден од броевите во канонските равенки на правата е еднаков на нула, тогаш правата лежи во една од координатните рамнини или во рамнина паралелна со неа. Ако два од броевите се нула, тогаш правата или се совпаѓа со една од координатните оски или е паралелна со неа. На пример, линија што одговара на канонските равенки на линија во просторот на формата , лежи во авионот z=-2, која е паралелна со координатната рамнина Окси, и координатната оска Ојсе одредува со канонски равенки.

За графички илустрации на овие случаи, изведувањето на канонските равенки на права во просторот, детални решенија на типични примери и проблеми, како и преминот од канонските равенки на права на други равенки на права во просторот, види статија канонски равенки на права во просторот.

Општа равенка на права линија. Премин од општата во канонската равенка.

Положбата на рамнината во просторот ќе биде целосно одредена ако го одредиме неговото растојание од потеклото O, т.е. должината на нормалното OT нацртано од точката O до рамнината и единичниот вектор бр. нормален на рамнината и насочен од потеклото O до рамнината (сл. 110).

Кога точката М се движи по рамнина, нејзиниот вектор на радиус се менува така што секогаш е врзана со некоја состојба. Ајде да видиме што е оваа состојба. Очигледно, за која било точка што лежи во авионот, имаме:

Оваа состојба важи само за точките на рамнината; се прекршува ако точката М лежи надвор од рамнината. Така, еднаквоста (1) изразува својство заедничко за сите точки на рамнината и само за нив. Според § 7 гл. 11 имаме:

и, според тоа, равенката (1) може да се препише како:

Равенката (G) ја изразува состојбата под која точка ) лежи на дадена рамнина и се нарекува нормална равенка на оваа рамнина. Векторот на радиусот на произволна точка М на рамнината се нарекува вектор на радиус на струја.

Равенката (1) на рамнината е напишана во векторска форма. Преминувајќи кон координатите и поставувајќи го потеклото на координатите на почетокот на векторите - точка О, забележуваме дека проекциите на единичниот вектор на координатните оски се косинусите на аглите направени од оските со овој вектор, а проекции на векторот на радиусот на точката М

служат како координати на точката, односно имаме:

Равенката (G) станува координатна:

При преведување на векторската равенка (G) на рамнината во координатна равенка (2), ја користевме формулата (15) § 9 Гл. 11, кој го изразува скаларниот производ преку проекции на вектори. Равенката (2) ја изразува состојбата под која точката M(x, y, z) лежи на дадена рамнина и се нарекува нормална равенка на оваа рамнина во координатна форма. Добиената равенка (2) е од прв степен во однос на , т.е. која било рамнина може да се претстави со равенка од прв степен во однос на тековните координати.

Забележете дека изведените равенки (1") и (2) остануваат валидни дури и кога, т.е., дадената рамнина поминува низ потеклото на координатите. Во овој случај, можеме да земеме кој било од двата единечни вектори нормални на рамнината и да се разликуваат за еден од друга насока.

Коментар. Равенката на нормалната рамнина (2) може да се изведе без користење на векторскиот метод.

Да земеме произволна рамнина и да нацртаме права I низ почетокот на координатите нормални на неа. Поставете на оваа права позитивна насока од потеклото на координатите до рамнината (ако избраната рамнина поминала низ потеклото на координатите, тогаш која било насока на може да се земе линијата).

Позицијата на оваа рамнина во вселената е целосно одредена од неговото растојание од потеклото на координатите, т.е. должината на сегментот на оската l од потеклото на координатите до точката на неговото пресекување со рамнината (на Сл. 111 - сегмент) и аглите помеѓу оската и координатните оски. Кога точката се движи по рамнина со координати, нејзините координати се менуваат така што тие секогаш се врзани со некоја состојба. Ајде да видиме што е оваа состојба.

Ајде да го изградиме на сл. 111 координатна прекината линија OPSM на произволна точка M на рамнината. Да ја земеме проекцијата на оваа скршена линија на оската l. Забележувајќи дека проекцијата на прекината линија е еднаква на проекцијата на нејзиниот затворен сегмент (Поглавје I, § 3), имаме.

За да ја добиеме општата равенка на рамнина, да ја анализираме рамнината што минува низ дадена точка.

Нека ни се веќе познати три координатни оски во вселената - Вол, ОјИ Оз. Држете го листот хартија за да остане рамен. Авионот ќе биде самиот лист и неговото продолжение во сите правци.

Нека Ппроизволна рамнина во вселената. Се нарекува секој вектор нормален на него нормален вектор до овој авион. Секако, зборуваме за вектор кој не е нула.

Ако е позната некоја точка на авионот Пи некој нормален вектор кон него, тогаш со овие два услови рамнината во просторот е целосно дефинирана(преку дадена точка можете да нацртате една рамнина нормална на дадениот вектор). Општата равенка на авионот ќе биде:

Значи, условите што ја дефинираат равенката на рамнината се. Да се ​​добиеш себеси равенка на рамнина, со горенаведената форма, земете се во авионот Ппроизволна точка М со променливи координати x, y, z. Оваа точка припаѓа на рамнината само ако вектор нормално на векторот(сл. 1). За ова, според условот на перпендикуларност на вектори, потребно е и доволно скаларниот производ на овие вектори да биде еднаков на нула, т.е.

Векторот е одреден по услов. Ги наоѓаме координатите на векторот користејќи ја формулата :

.

Сега, користејќи ја формулата за скаларен производ на вектори , го изразуваме скаларниот производ во координатна форма:

Од поентата M(x; y; z)се избира произволно на рамнината, тогаш последната равенка се задоволува со координатите на која било точка што лежи на рамнината П. За поен Н, не лежејќи на дадена рамнина, т.е. се нарушува еднаквоста (1).

Пример 1.Напишете равенка за рамнина што минува низ точка и е нормална на векторот.

Решение. Ајде да ја користиме формулата (1) и да ја разгледаме повторно:

Во оваа формула броевите А , БИ Ввекторски координати и броеви x0 , y0 И z0 - координати на точката.

Пресметките се многу едноставни: ги заменуваме овие бројки во формулата и добиваме

Помножуваме сè што треба да се множи и додаваме само бројки (кои немаат букви). Резултат:

.

Потребната равенка на рамнината во овој пример се покажа дека е изразена со општа равенка од прв степен во однос на променливите координати x, y, zпроизволна точка на авионот.

Значи, равенка на формата

повикани равенка на општа рамнина .

Пример 2.Конструирај во правоаголен Декартов координатен систем рамнина дадена со равенката .

Решение. За да се конструира рамнина, потребно е и доволно да се знаат трите нејзини точки кои не лежат на иста права линија, на пример, точките на пресек на рамнината со координатните оски.

Како да ги најдете овие точки? Да се ​​најде точката на пресек со оската Оз, треба да ги замените нулите за X и Y во равенката дадена во изјавата за проблемот: x = y= 0. Затоа добиваме z= 6. Така, дадената рамнина ја пресекува оската Озво точката А(0; 0; 6) .

На ист начин ја наоѓаме точката на пресек на рамнината со оската Ој. На x = z= 0 добиваме y= −3, односно точката Б(0; −3; 0) .

И, конечно, ја наоѓаме точката на пресек на нашата рамнина со оската Вол. На y = z= 0 добиваме x= 2, односно точка В(2; 0; 0) . Врз основа на трите поени добиени во нашето решение А(0; 0; 6) , Б(0; −3; 0) и В(2; 0; 0) конструирај ја дадената рамнина.

Ајде сега да размислиме посебни случаи на равенката на општата рамнина. Тоа се случаи кога одредени коефициенти на равенката (2) стануваат нула.

1. Кога D= 0 равенка дефинира рамнина што минува низ потеклото, бидејќи координатите на точката 0 (0; 0; 0) ја задоволуваат оваа равенка.

2. Кога A= 0 равенка дефинира рамнина паралелна на оската Вол, бидејќи нормалниот вектор на оваа рамнина е нормален на оската Вол(неговата проекција на оската Воледнакво на нула). Слично на тоа, кога Б= 0 авион паралелно со оската Ој, и кога C= 0 авион паралелно со оската Оз.

3. Кога A=D= 0 равенката дефинира рамнина што минува низ оската Вол, бидејќи е паралелна со оската Вол (A=D= 0). Слично на тоа, авионот минува низ оската Ој, и рамнината низ оската Оз.

4. Кога A=B= 0 равенката дефинира рамнина паралелна на координатната рамнина xOy, бидејќи е паралелна со оските Вол (А= 0) и Ој (Б= 0). Слично на тоа, рамнината е паралелна со рамнината yOz, а авионот е авион xOz.

5. Кога A=B=D= 0 равенка (или z = 0) ја дефинира координатната рамнина xOy, бидејќи е паралелна со рамнината xOy (A=B= 0) и поминува низ потеклото ( D= 0). Исто така, равенството. y = 0 во просторот ја дефинира координатната рамнина xOz, и равенката x = 0 - координатна рамнина yOz.

Пример 3.Направете равенка на рамнината П, минувајќи низ оската Оји период.

Решение. Значи, авионот минува низ оската Ој. Затоа, во нејзината равенка y= 0 и оваа равенка има форма . За одредување на коефициентите АИ Вда го искористиме фактот дека точката припаѓа на рамнината П .

Затоа, меѓу неговите координати има и такви што можат да се заменат во равенката на рамнината што веќе ја изведовме (). Ајде повторно да ги погледнеме координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Меѓу нив x = 2 , z= 3. Ги заменуваме во општата равенка и ја добиваме равенката за нашиот конкретен случај:

2А + 3В = 0 .

Остави 2 Ана левата страна од равенката, поместете 3 Вна десната страна и добиваме

А = −1,5В .

Замена на пронајдената вредност Аво равенката, добиваме

или .

Ова е равенката потребна во примерот услов.

Решете го проблемот со равенката на рамнината сами, а потоа погледнете го решението

Пример 4.Дефинирајте рамнина (или рамнини, ако повеќе од една) во однос на координатните оски или координатните рамнини ако рамнините се дадени со равенката.

Решенија за типични проблеми што се јавуваат за време на тестовите се во учебникот „Проблеми на рамнина: паралелизам, перпендикуларност, пресек на три рамнини во една точка“.

Равенка на рамнина што минува низ три точки

Како што веќе спомнавме, неопходен и доволен услов за конструирање на рамнина, покрај една точка и нормалниот вектор, се и три точки кои не лежат на иста права.

Нека се дадени три различни точки и , не лежејќи на иста линија. Бидејќи наведените три точки не лежат на иста права, векторите не се колинеарни, и затоа секоја точка во рамнината лежи во иста рамнина со точките, и ако и само ако векторите , и компланарни, т.е. тогаш и само кога мешан производ на овие векторие еднакво на нула.

Користејќи го изразот за измешаниот производ во координати, ја добиваме равенката на рамнината

(3)

По откривањето на детерминантата, оваа равенка станува равенка од формата (2), т.е. општа равенка на рамнината.

Пример 5.Напишете равенка за рамнина што минува низ три дадени точки кои не лежат на иста права линија:

и да определи посебен случај на општата равенка на правата, ако се случи.

Решение. Според формулата (3) имаме:

Равенка на нормална рамнина. Растојание од точка до авион

Нормалната равенка на рамнината е нејзината равенка, напишана во форма

Да ја разгледаме рамнината Q во просторот. Неговата позиција е целосно одредена со одредување на векторот N нормално на оваа рамнина и некоја фиксна точка што лежи во рамнината Q. Векторот N нормално на рамнината Q се нарекува нормален вектор на оваа рамнина. Ако со A, B и C ги означиме проекциите на нормалниот вектор N, тогаш

Да ја изведеме равенката на рамнината Q која минува низ дадена точка и има даден нормален вектор. За да го направите ова, размислете за вектор кој поврзува точка со произволна точка на рамнината Q (сл. 81).

За која било позиција на точката M на рамнината Q, векторот MHM е нормален на нормалниот вектор N на рамнината Q. Затоа, скаларниот производ Да го напишеме скаларниот производ во однос на проекции. Бидејќи , и е вектор, тогаш

а со тоа и

Покажавме дека координатите на која било точка во рамнината Q ја задоволуваат равенката (4). Лесно е да се види дека координатите на точките што не лежат на рамнината Q не ја задоволуваат оваа равенка (во вториот случај). Следствено, ја добивме потребната равенка за рамнината Q. Равенката (4) се нарекува равенка на рамнината што минува низ дадена точка. Тој е од прв степен во однос на сегашните координати

Значи, покажавме дека секоја рамнина одговара на равенка од прв степен во однос на тековните координати.

Пример 1. Напишете ја равенката на рамнина што минува низ точка нормална на векторот.

Решение. Еве . Врз основа на формулата (4) добиваме

или, по поедноставување,

Со давање различни вредности на коефициентите A, B и C од равенката (4), можеме да ја добиеме равенката на која било рамнина што минува низ точката . Множеството рамнини што минуваат низ дадена точка се нарекува сноп од рамнини. Равенката (4), во која коефициентите A, B и C можат да земат какви било вредности, се нарекува равенка на куп рамнини.

Пример 2. Направете равенка за рамнина што минува низ три точки (сл. 82).

Решение. Да ја напишеме равенката за куп рамнини што минуваат низ точката