Практична работа: Трансформација на графикони на функции. Извод Геометриското значење на дериватот

Изводот на функцијата $y = f(x)$ во дадена точка $х_0$ е граница на односот на зголемувањето на функцијата до соодветниот прираст на нејзиниот аргумент, под услов вториот да има тенденција на нула:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Диференцијацијата е операција на пронаоѓање на дериват.

Табела на деривати на некои елементарни функции

Функција	Дериват
$c$	$0$
$ x $	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$ cosx $
$ cosx $	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(грев^2x)$

Основни правила на диференцијација

1. Изводот на збирот (разликата) е еднаков на збирот (разликата) на дериватите

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Најдете го изводот на функцијата $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Изводот на збирот (разликата) е еднаков на збирот (разликата) на изводите.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Дериват на производ

$(f(x) g(x))"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Најдете го изводот $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)" cosx+4x (cosx)"=4 cosx-4x sinx$

3. Извод на количник

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Најдете го изводот $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)" e^x-5x^5 (e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4 e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Изводот на сложена функција е еднаков на производот на изводот на надворешната функција и изводот на внатрешната функција

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x) (5x)"=-sin(5x) 5= -5sin(5x)$

Физичкото значење на дериватот

Ако материјалната точка се движи права линија и нејзината координата се менува во зависност од времето според законот $x(t)$, тогаш моменталната брзина на оваа точка е еднаква на изводот на функцијата.

Точката се движи по координатната линија според законот $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, каде што $x(t)$ е координатата во времето $t$. Во кој момент брзината на точката ќе биде еднаква на $12 $?

1. Брзината е извод од $x(t)$, па да го најдеме изводот на дадената функција

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. За да откриеме во кој момент од времето $t$ брзината била еднаква на $12$, ја составуваме и решаваме равенката:

Геометриското значење на дериватот

Потсетиме дека равенката на права линија која не е паралелна со координатните оски може да се запише како $y = kx + b$, каде што $k$ е наклонот на правата линија. Коефициентот $k$ е еднаков на тангентата на наклонот помеѓу правата линија и позитивната насока на оската $Ox$.

Изводот на функцијата $f(x)$ во точката $x_0$ е еднаков на наклонот $k$ на тангентата на графикот во дадената точка:

Затоа, можеме да направиме општа еднаквост:

$f"(x_0) = k = tgα$

На сликата, тангентата на функцијата $f(x)$ се зголемува, па оттука и коефициентот $k > 0$. Бидејќи $k > 0$, тогаш $f"(x_0) = tgα > 0$. Аголот $α$ помеѓу тангентата и позитивната насока $Ox$ е остар.

На сликата, тангентата на функцијата $f(x)$ се намалува, па оттука и коефициентот $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На сликата, тангентата на функцијата $f(x)$ е паралелна со оската $Ох$, па оттука и коефициентот $k = 0$, па оттука и $f"(x_0) = tg α = 0$. Точката $ x_0$ при што повикан е $f "(x_0) = 0$ екстремен.

На сликата е прикажан графикот на функцијата $y=f(x)$ и тангентата на овој график нацртана во точката со апсцисата $x_0$. Најдете ја вредноста на изводот на функцијата $f(x)$ во точката $x_0$.

Тангентата на графикот се зголемува, затоа, $f"(x_0) = tg α > 0$

За да најдеме $f"(x_0)$, ја наоѓаме тангентата на наклонот помеѓу тангентата и позитивната насока на оската $Ox$. За да го направите ова, ја комплетираме тангентата на триаголникот $ABC$.

Најдете ја тангентата на аголот $BAC$. (Тангента на остар агол во правоаголен триаголник е соодносот на спротивната катета со соседната катета.)

$tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$f"(x_0) = tg ВИЕ = 0,25 $

Одговор: 0,25 долари

Изводот исто така се користи за пронаоѓање на интервалите на функциите за зголемување и намалување:

Ако $f"(x) > 0$ на интервал, тогаш функцијата $f(x)$ се зголемува на овој интервал.

Ако $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На сликата е прикажан графикот на функцијата $y = f(x)$. Најди ги меѓу точките $х_1,х_2,х_3…х_7$ оние точки каде што изводот на функцијата е негативен.

Како одговор, запишете го бројот на точки за податоци.

Во задачата бр. 13 од Обединетиот државен испит по математика на основно ниво, ќе треба да ги покажете вештините и знаењата за еден од концептите на однесувањето на функцијата: изводи во точка или стапки на зголемување или намалување. Теоријата за оваа задача ќе биде додадена малку подоцна, но тоа нема да не спречи детално да анализираме неколку типични опции.

Анализа на типични опции за задачи бр. 14 УПОТРЕБА по математика од основно ниво

Опција 14MB1

Графиконот ја покажува зависноста на температурата од времето во процесот на загревање на моторот на автомобилот. Хоризонталната оска го означува времето во минути што поминало од стартувањето на моторот; на вертикалната оска е температурата на моторот во степени Целзиусови.

Користејќи го графиконот, усогласете го секој временски интервал со карактеристиките на процесот на загревање на моторот во овој интервал.

Во табелата, под секоја буква, наведете го соодветниот број.

Алгоритам за извршување:

Изберете го временскиот интервал во кој температурата падна.
Прикачете линијар на 30°C и определете го временскиот интервал во кој температурата била под 30°C.

Решение:

Дозволете ни да го избереме временскиот интервал во кој температурата паднала. Овој дел е видлив со голо око, започнува 8 минути од моментот на палење на моторот.

Нанесете линијар на 30°C и определете го временскиот интервал во кој температурата била под 30°C.

Под линијарот ќе има дел што одговара на временскиот интервал 0 - 1 мин.

Со помош на молив и линијар, откриваме во кој временски интервал температурата била во опсег од 40 ° C до 80 ° C.

Од точките што одговараат на 40°C и 80°C ги спуштаме нормалните на графиконот, а од добиените точки ги испуштаме нормалните на временската оска.

Гледаме дека овој температурен интервал одговара на временски интервал од 3 - 6,5 мин. Односно од дадените во состојба 3 - 6 мин.

Изберете го одговорот што недостасува користејќи го методот на елиминација.

Опција 14MB2

Решение:

Да го анализираме графикот на функцијата А. Ако функцијата се зголемува, тогаш изводот е позитивен и обратно. Изводот на функцијата е еднаков на нула во екстремните точки.

Прво, функцијата А се зголемува, т.е. дериватот е позитивен. Ова одговара на графиконите на изводите 2 и 3. Во максималната точка на функцијата x = -2, односно во оваа точка, изводот треба да биде еднаков на нула. Оваа состојба одговара на графиконот број 3.

Прво, функцијата Б се намалува, т.е. дериватот е негативен. Ова одговара на графиконите на дериватите 1 и 4. Максималната точка на функцијата x \u003d -2, односно во овој момент изводот треба да биде еднаков на нула. Оваа состојба одговара на графиконот број 4.

Прво, функцијата Б се зголемува, т.е. дериватот е позитивен. Ова одговара на графиконите на изводите 2 и 3. Максималната точка на функцијата x = 1, односно, во овој момент, изводот треба да биде еднаков на нула. Оваа состојба одговара на графиконот број 2.

Со методот на елиминација, можеме да утврдиме дека графикот на функцијата Г одговара на графикот на изводот на број 1.

Одговор: 3421.

Опција 14MB3

Алгоритам за извршување за секоја од функциите:

Определете ги интервалите на функциите за зголемување и намалување.
Определете ги максималните и минималните точки на функциите.
Извлечете заклучоци, усогласете ги предложените распореди.

Решение:

Да го анализираме графикот на функцијата А.

Ако функцијата се зголемува, тогаш изводот е позитивен и обратно. Изводот на функцијата е еднаков на нула во екстремните точки.

Екстремната точка е точката во која се постигнува максималната или минималната вредност на функцијата.

Прво, функцијата А се зголемува, т.е. дериватот е позитивен. Ова одговара на графиците на изводите 3 и 4. Во максималната точка на функцијата x=0, односно во оваа точка, изводот треба да биде еднаков на нула. Оваа состојба одговара на графиконот број 4.

Да го анализираме графикот на функцијата Б.

Прво, функцијата Б се намалува, т.е. дериватот е негативен. Ова одговара на графиконите на изводите 1 и 2. Минималната точка на функцијата x=-1, односно во оваа точка изводот мора да биде еднаков на нула. Оваа состојба одговара на графиконот број 2.

Да го анализираме графикот на функцијата Б.

Прво, функцијата Б се намалува, т.е. дериватот е негативен. Ова одговара на графиконите на дериватите 1 и 2. Минималната точка на функцијата x \u003d 0, односно во овој момент изводот треба да биде еднаков на нула. Оваа состојба одговара на графиконот број 1.

Со методот на елиминација, можеме да утврдиме дека графикот на функцијата Г одговара на графикот на изводот на број 3.

Одговор: 4213.

Опција 14MB4

Сликата покажува график на функција и тангенти нацртани кон неа во точките со апсциси A, B, C и D.Десната колона ги прикажува вредностите на изводот во точките A, B, C и D. Користејќи го графикот, поврзете ја секоја точка со вредноста на изводот на функцијата во неа.

ПОЕНИ
НО
AT
ОД
Д

ДЕРИВАТИВНИ ВРЕДНОСТИ
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Потсетете се што значи дериватот, имено неговата вредност во точката - вредноста на дериватната функција во точка е еднаква на тангентата на наклонот (коефициентот) на тангентата.

Во одговорите имаме две позитивни и две негативни опции. Како што се сеќаваме, ако коефициентот е директен (графика y = kx + b) е позитивен, тогаш линијата се зголемува; ако е негативна, тогаш линијата се намалува.

Имаме две растечки линии - во точката A и D. Сега да се потсетиме што значи вредноста на коефициентот k?

Коефициентот k покажува колку брзо се зголемува или намалува функцијата (всушност, самиот коефициент k е извод на функцијата y = kx + b).

Затоа, k \u003d 2/3 одговара на понежна права линија - D, а k \u003d 3 - A.

Слично, во случај на негативни вредности: точката B одговара на поостра права линија со k = -4, а точката C - -1/2.

Опција 14MB5

На сликата, точките го покажуваат обемот на месечна продажба на греалки во продавница за апарати за домаќинство. Месеците се означени хоризонтално, бројот на продадени греалки е означен вертикално. За јасност, точките се поврзани со линија.

Користејќи ја сликата, поврзете го секој од наведените временски периоди со карактеристиките на продажбата на греалки.

Алгоритам за извршување

Ги анализираме деловите од графиконот што одговараат на различни сезони. Ги формулираме ситуациите прикажани на графиконот. Ги наоѓаме најсоодветните одговори за нив.

Решение:

Во зима, бројот на продажби надмина 120 парчиња / месец и постојано се зголемуваше. Оваа ситуација одговара на одговорот 3. Оние. добиваме: А-3.

Во пролетта, продажбата постепено падна од 120 греалки месечно на 50. Опцијата бр. 2 е најблиску до оваа формулација. Ние имаме: Б-2.

Во лето бројот на продажби не се менуваше и беше минимален. Вториот дел од оваа формулација не се одразува во одговорите, а само бр. 4 е погоден за првиот. Оттука имаме: НА 4.

Есента, продажбата порасна, но нивниот број не надмина 100 парчиња во ниту еден месец. Оваа ситуација е опишана во опција бр. 1. Добиваме: Г-1.

Опција 14MB6

Графиконот ја покажува зависноста на брзината на обичен автобус на време. Вертикалната оска ја покажува брзината на автобусот во km/h, хоризонталната оска го покажува времето во минути од почетокот на автобусот.

Користејќи го графикот, поврзете го секој временски интервал со карактеристиката на движењето на автобусот во овој интервал.

Алгоритам за извршување

Цената на поделба ја одредуваме на хоризонтална и вертикална скала.
За возврат ги анализираме предложените изјави 1-4 од десната колона („Карактеристики“). Ги споредуваме со временски интервали од левата колона на табелата, наоѓаме парови „буква-број“ за одговорот.

Решение:

Вредноста на поделбата на хоризонталната скала е 1 с, вертикалната скала е 20 km/h.

Кога автобусот застанува неговата брзина е 0. 2 минути по ред автобусот имал нулта брзина само од 9-та до 11-тата минута. Овој пат е во интервал од 8-12 мин. Значи, имаме неколку за одговорот: Б-1.
Автобусот во неколку временски периоди имал брзина од 20 km/h или повеќе. Покрај тоа, опцијата А не е погодна овде, бидејќи, на пример, во 7-та минута брзината беше 60 км на час, опцијата Б - затоа што веќе е применета, опцијата Д - затоа што на почетокот и на крајот на интервалот автобусот имаше нула брзина. Во овој случај, опцијата Б е погодна (12–16 минути); во овој интервал автобусот почнува да се движи со брзина од 40 km/h, потоа забрзува до 100 km/m и потоа постепено ја намалува брзината на 20 km/h. Значи имаме: ВО 2.
Тука е поставено ограничувањето на брзината. Ние не ги разгледуваме опциите Б и В. Останатите интервали A и G се соодветни. Затоа, би било точно да се разгледа прво 4-та опција, а потоа повторно да се врати на 3-та.
Од двата преостанати интервали, само 4-8 минути се погодни за карактеристиката бр. 4, бидејќи во овој интервал (во 6-тата минута) имаше застанување. Немаше застанувања во интервалот од 18–22 минути. Добиваме: А-4. Од ова произлегува дека за карактеристика бр.3 потребно е да се земе интервалот Г, т.е. излегува двојка Г-3.

Опција 14MB7

Сликата со точки го покажува растот на населението во Кина од 2004 до 2013 година. Годината е означена хоризонтално, растот на населението како процент (зголемување на населението во однос на претходната година) е означен вертикално. За јасност, точките се поврзани со линија.

Користејќи го дијаграмот, поврзете го секој од наведените временски периоди со карактеристика на растот на населението во Кина во овој период..

Алгоритам за извршување

Одреди ја вредноста на поделбата на вертикалната скала на сликата. Се наоѓа како разлика помеѓу пар соседни вредности на скала поделени со 2 (бидејќи има 2 поделби помеѓу две соседни вредности).
Ги анализираме карактеристиките 1-4 последователно дадени во условот (лева табеларна колона). Секој од нив го споредуваме со одреден временски период (десна колона табела).

Решение:

Вредноста на поделбата на вертикалната скала е 0,01%.

Падот на растот продолжи континуирано од 2004 до 2010 година. Во 2010-2011 година зголемувањето беше постојано минимално, а почнувајќи од 2012 година почна да се зголемува. Оние. Растот престана во 2010 година. Оваа година е во периодот 2009-2011 година. Според тоа, имаме: ВО 1.
Најголемиот пад на растот треба да се смета за „најстрмно“ паѓачка линија на графиконот на сликата. Спаѓа во периодот 2006-2007 година. и изнесува 0,04% годишно (0,59–0,56=0,04% во 2006 година и 0,56–0,52=0,04% во 2007 година). Од тука добиваме: А-2.
Растот наведен во карактеристиката бр. 3 започна во 2007 година, продолжи во 2008 година и заврши во 2009 година. Ова одговара на временскиот период Б, т.е. ние имаме: Б-3.
Растот на населението почна да се зголемува по 2011 година, т.е. во 2012–2013 година Затоа добиваме: Г-4.

Опција 14MB8

Сликата покажува функционален график и тангенти нацртани кон него во точките со апсциси A, B, C и D.

Десната колона ги прикажува вредностите на изводот на функцијата во точките A, B, C и D. Користејќи го графикот, поврзете ја секоја точка со вредноста на изводот на функцијата во неа.

Алгоритам за извршување

Сметаме пар тангенти кои имаат остар агол со позитивната насока на оската x. Ги споредуваме, наоѓаме совпаѓање меѓу парот на соодветните вредности на дериватите.
Сметаме пар тангенти кои формираат тап агол со позитивната насока на оската x. Ги споредуваме модуло, ја одредуваме кореспонденцијата на нивните вредности на деривати меѓу двете останати во десната колона.

Решение:

Акутен агол со позитивна насока на х-оската е формиран од деривати во t.B и t.C. Овие деривати имаат позитивни вредности. Затоа, тука треба да се избере помеѓу вредностите бр. 1 и 3. Применувајќи го правилото дека ако аголот е помал од 45 0, тогаш дериватот е помал од 1, а ако повеќе, тогаш повеќе од 1, заклучуваме: во t.B, изводот на модулот е поголем од 1, во t.C - помал од 1. Тоа значи дека можете да направите парови за одговорот: НА 3и С-1.

Дериватите во t.A и t.D формираат тап агол со позитивната насока на оската x. И овде го применуваме истото правило, малку парафразирајќи го: колку повеќе тангентата во точката е „притиснато“ на линијата на оската на апсцисата (до нејзината негативна насока), толку е поголема во апсолутна вредност. Тогаш добиваме: изводот во точката А е помал во апсолутна вредност од изводот во точката D. Од тука имаме парови за одговор: А-2и Д-4.

Опција 14MB9

Точките на сликата ја покажуваат просечната дневна температура на воздухот во Москва во јануари 2011 година. Датумите на месецот се означени хоризонтално, температурите во Целзиусови степени се означени вертикално. За јасност, точките се поврзани со линија.

Користејќи ја сликата, поврзете го секој од наведените временски периоди со карактеристика на промена на температурата.

Алгоритам за извршување

Ги анализираме последователните карактеристики 1-4 (десна колона), користејќи го графикот на сликата. Секој од нив го ставаме во согласност со одреден временски период (лева колона).

Решение:

Зголемување на температурата беше забележано само на крајот на периодот на 22-28 јануари. Овде, на 27 и 28 се зголеми за 1, односно 2 степени. На крајот на периодот од 1 до 7 јануари температурата беше стабилна (–10 степени), на крајот на 8–14 и 15–21 јануари таа падна (од –1 до –2 и од –11 до –12 степени, соодветно). Затоа добиваме: Г-1.
Бидејќи секој временски период опфаќа 7 дена, температурата треба да се анализира почнувајќи од четвртиот ден од секој период. Температурата остана непроменета 3-4 дена само од 4 до 7 јануари. Значи го добиваме одговорот: А-2.
Минималната месечна температура е забележана на 17 јануари. Оваа бројка спаѓа во периодот од 15 до 21 јануари. Од тука имаме пар: НА 3.
Температурниот максимум падна на 10 јануари и изнесуваше +1 степен. Овој датум спаѓа во периодот од 8 до 14 јануари. Значи имаме: Б-4.

Опција 14MB10

Алгоритам за извршување

Вредноста на функцијата во точка е позитивна ако оваа точка се наоѓа над оската Ox.
Изводот во точка е поголем од нула ако тангентата на таа точка формира остар агол со позитивната насока на оската x.

Решение:

Точка A. Таа е под оската Ox, што значи дека вредноста на функцијата во неа е негативна. Ако во неа нацртаме тангента, тогаш аголот помеѓу неа и позитивната насока Ox ќе биде околу 90 0, т.е. формира остар агол. Значи, во овој случај, карактеристичниот број 3 е погоден. Оние. ние имаме: А-3.

Точка B. Се наоѓа над оската Ox, т.е. точката има позитивна функционална вредност. Тангентата во овој момент ќе биде доста блиску до оската на апсцисата, формирајќи тап агол (малку помал од 180 0) со нејзината позитивна насока. Според тоа, дериватот во овој момент е негативен. Така, карактеристиката 1 е погодна овде. Го добиваме одговорот: ВО 1.

Точка C. Точката се наоѓа под оската Ox, тангентата во неа формира голем тап агол со позитивната насока на оската на апсцисата. Оние. во t.C, вредноста и на функцијата и на изводот е негативна, што одговара на карактеристиката бр. Одговор: С-2.

Точка D. Точката се наоѓа над оската Ox, а тангентата во неа формира остар агол со позитивната насока на оската. Ова сугерира дека и вредноста на функцијата и вредноста на изводот се поголеми од нула овде. Одговор: Д-4.

Опција 14MB11

На сликата, точките го покажуваат обемот на месечна продажба на фрижидери во продавница за апарати за домаќинство. Месеците се означени хоризонтално, бројот на продадени фрижидери е означен вертикално. За јасност, точките се поврзани со линија.

Користејќи ја сликата, поврзете го секој од наведените временски периоди со карактеристиките на продажбата на фрижидери.

Правата y=3x+2 е тангента на графикот на функцијата y=-12x^2+bx-10. Најдете b , имајќи предвид дека апсцисата на допирната точка е помала од нула.

Прикажи решение

Решение

Нека x_0 е апсцисата на точката на графикот на функцијата y=-12x^2+bx-10 низ која минува тангентата на овој график.

Вредноста на изводот во точката x_0 е еднаква на наклонот на тангентата, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Од друга страна, тангентната точка припаѓа и на графикот на функцијата и на тангента, т.е. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Добиваме систем од равенки \почеток(случаи) -24x_0+b=3, \\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \крај (случаи)

Решавајќи го овој систем, добиваме x_0^2=1, што значи или x_0=-1 или x_0=1. Според условот на апсцисата, допирните точки се помали од нула, затоа x_0=-1, па b=3+24x_0=-21.

Одговори

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) (која е скршена линија составена од три права отсечки). Користејќи ја сликата, пресметајте F(9)-F(5), каде што F(x) е еден од антидериватите на f(x).

Прикажи решение

Решение

Според формулата Њутн-Лајбниц, разликата F(9)-F(5), каде што F(x) е еден од антидериватите на функцијата f(x), е еднаква на областа на ограничениот криволиниски трапез по графикот на функцијата y=f(x), прави y=0 , x=9 и x=5. Според графикот, утврдуваме дека наведениот криволинеарен трапез е трапез со основи еднакви на 4 и 3 и висина 3.

Неговата површина е еднаква на \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за испит-2017 година. ниво на профил. Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.

Состојба

Сликата покажува график од y \u003d f "(x) - изводот на функцијата f (x), дефиниран на интервалот (-4; 10). Најдете ги интервалите на опаѓачката функција f (x). Во вашиот одговор , означете ја должината на најголемиот од нив.

Прикажи решение

Решение

Како што знаете, функцијата f (x) се намалува на оние интервали, во секоја точка од кои изводот f "(x) е помал од нула. Имајќи предвид дека е неопходно да се најде должината на најголемиот од нив, три такви интервали природно се разликуваат од сликата: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Должината на најголемиот од нив - (5; 9) е еднаква на 4.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за испит-2017 година. ниво на профил. Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.

Состојба

Сликата покажува график од y \u003d f "(x) - изводот на функцијата f (x), дефиниран на интервалот (-8; 7). Најдете го бројот на максимални точки на функцијата f (x) што припаѓа до интервалот [-6; -2].

Прикажи решение

Решение

Графикот покажува дека изводот f "(x) на функцијата f (x) го менува знакот од плус во минус (во такви точки ќе има максимум) точно во една точка (помеѓу -5 и -4) од интервалот [ -6; -2 Затоа, има точно една максимална точка на интервалот [-6;-2].

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за испит-2017 година. ниво на профил. Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) дефинирана на интервалот (-2; 8). Да се определи бројот на точки каде што изводот на функцијата f(x) е еднаков на 0 .

Прикажи решение

Решение

Ако изводот во точка е еднаков на нула, тогаш тангентата на графикот на функцијата нацртана во оваа точка е паралелна со оската Ox. Според тоа, наоѓаме такви точки во кои тангентата на функционалниот график е паралелна со оската Ox. На оваа табела, таквите точки се екстремни точки (максимални или минимални поени). Како што можете да видите, има 5 екстремни точки.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за испит-2017 година. ниво на профил. Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.

Состојба

Правата y=-3x+4 е паралелна со тангентата на графикот на функцијата y=-x^2+5x-7. Најдете ја апсцисата на допирната точка.

Прикажи решение

Решение

Наклонот на правата кон графикот на функцијата y=-x^2+5x-7 во произволна точка x_0 е y"(x_0). Но, y"=-2x+5, така што y"(x_0)=- 2x_0+5. Аголно коефициентот на правата y=-3x+4 наведен во условот е -3.Паралелните линии имаат исти падини.Затоа наоѓаме таква вредност x_0 што =-2x_0 +5=-3.

Добиваме: x_0 = 4.

Одговори

Извор: „Математика. Подготовка за испит-2017 година. ниво на профил. Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.

Состојба

На сликата е прикажан график на функцијата y=f(x) и означени точки -6, -1, 1, 4 на оската x. Во која од овие точки вредноста на изводот е најмала? Ве молиме наведете ја оваа точка во вашиот одговор.

Назад напред

Внимание! Прегледот на слајдот е само за информативни цели и може да не го претставува целосниот обем на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Тип на лекција:повторување и генерализирање.

Форма за лекција:лекција за консултации.

Цели на лекцијата:

едукативни: повторување и генерализирање на теоретските знаења на темите: „Геометриско значење на изводот“ и „Примена на изводот при проучување на функциите“; разгледајте ги сите видови задачи Б8 што се среќаваат на испитот по математика; да им обезбеди на студентите можност да го тестираат своето знаење преку самостојно решавање на проблеми; учат како да го пополнат формуларот за испитување на одговори;
развивање: да го промовира развојот на комуникацијата како метод на научно знаење, семантичка меморија и доброволно внимание; формирање на такви клучни компетенции како споредба, споредба, класификација на предмети, определување на соодветни начини за решавање на проблем за учење врз основа на дадени алгоритми, способност за самостојно дејствување во ситуација на несигурност, контрола и оценување на нечии активности, наоѓање и елиминирање на причини за тешкотии што се појавија;
едукативни: развивање на комуникативните компетенции на учениците (култура на комуникација, способност за работа во групи); придонесуваат за развој на потребата за самообразование.

Технологии: развојно образование, ИКТ.

Наставни методи:вербална, визуелна, практична, проблематична.

Форми на работа:индивидуална, фронтална, групна.

Едукативна и методолошка поддршка:

1. Алгебра и почеток на математичка анализа.11 одделение: учебник. За општо образование Институции: основни и профилни. нивоа / (Ју. М. Кољагин, М.В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин); уредено од A. B. Zhizhchenko. - 4-то издание. - М .: Образование, 2011 година.

2. КОРИСТЕЊЕ: 3000 задачи со одговори по математика. Сите задачи од групата Б / А.Л. Семјонов, И.В. Јашченко и други; уредено од А.Л. Семјонова, И.В. Јашченко. - М .: Издавачка куќа „Испит“, 2011 година.

3. Отворена банка за работа.

Опрема и материјали за лекцијата:проектор, екран, компјутер за секој ученик со инсталирана презентација, отпечаток на белешка за сите ученици (Прилог 1)и лист со резултати Додаток 2) .

Прелиминарна подготовка за лекцијата:како домашна задача се повикуваат учениците да го повторат теоретскиот материјал од учебникот на темите: „Геометриското значење на изводот“, „Примена на изводот при изучување на функциите“; класот е поделен во групи (по 4 лица), од кои секоја има ученици од различни нивоа.

Објаснување за лекцијата:Оваа лекција се одржува во 11 одделение во фаза на повторување и подготовка за испит. Лекцијата е насочена кон повторување и генерализирање на теоретскиот материјал, негова примена во решавањето на испитни проблеми. Времетраење на часот - 1,5 часа .

Овој час не е прикачен на учебникот, така што може да се изведува додека се работи на кој било наставен материјал. Исто така, оваа лекција може да се подели на две посебни и да се одржи како завршни лекции за темите што се разгледуваат.

За време на часовите

I. Организациски момент.

II. Лекција за поставување цели.

III. Повторување на тема „Геометриско значење на дериватот“.

Орална фронтална работа со помош на проектор (слајдови бр. 3-7)

Групна работа: решавање проблеми со совети, одговори, со совет од наставникот (слајдови бр. 8-17)

IV. Самостојна работа 1.

Учениците работат индивидуално на компјутер (слајдови бр. 18-26), нивните одговори се внесуваат во евалуациониот лист. Доколку е потребно, можете да го земете советот на наставникот, но во овој случај ученикот ќе изгуби 0,5 поени. Доколку ученикот порано се справи со работата, тогаш може да избере да решава дополнителни задачи од збирката, стр. 242, 306-324 (дополнителните задачи се оценуваат посебно).

V. Меѓусебна верификација.

Учениците разменуваат евалуациски листови, ја проверуваат работата на пријател, даваат поени (слајд бр. 27)

VI. Поправка на знаењето.

VII. Повторување на тема „Примена на дериватот за проучување на функции“

Усна фронтална работа со помош на проектор (слајдови бр. 28-30)

Групна работа: решавање проблеми со потсетници, одговори, со совет од наставникот (слајдови бр. 31-33)

VIII. Самостојна работа 2.

Учениците работат индивидуално на компјутер (слајдови бр. 34-46), ги внесуваат своите одговори во листот со одговори. Доколку е потребно, можете да го земете советот на наставникот, но во овој случај ученикот ќе изгуби 0,5 поени. Доколку ученикот порано се справи со работата, тогаш може да избере да решава дополнителни задачи од збирката, стр. 243-305 (дополнителните задачи се оценуваат посебно).

IX. Взаемна верификација.

Учениците разменуваат евалуациони листови, ја проверуваат работата на другарот, даваат поени (слајд бр. 47).

X. Поправка на знаењето.

Учениците повторно работат во групи, дискутираат за решението, ги поправаат грешките.

XI. Сумирајќи.

Секој ученик ги пресметува своите оценки и става ознака на евалуациониот лист.

Учениците му го предаваат на наставникот листот за оценување и решавањето на дополнителните проблеми.

Секој ученик добива белешка (слајд бр. 53-54).

XII. Рефлексија.

Од студентите се бара да го оценат своето знаење избирајќи една од фразите:

Добив се!!!
Треба да решиме уште неколку примери.
Кој ја смисли оваа математика!

XIII. Домашна работа.

За домашна работа, учениците се поканети да изберат да решаваат задачи од збирката, стр. 242-334, како и од отворена банка на задачи.

Прво, обидете се да го пронајдете опсегот на функцијата:

Дали се снајде? Ајде да ги споредиме одговорите:

Во ред? Добро сторено!

Сега да се обидеме да го најдеме опсегот на функцијата:

Најде? Спореди:

Дали се согласи? Добро сторено!

Ајде повторно да работиме со графиконите, само што сега е малку потешко - да се најде и доменот на функцијата и опсегот на функцијата.

Како да ги најдете и доменот и опсегот на функцијата (напредно)

Еве што се случи:

Со графика, мислам дека го сфативте. Сега да се обидеме да го најдеме доменот на функцијата во согласност со формулите (ако не знаете како да го направите ова, прочитајте го делот за):

Дали се снајде? Проверка одговори:

, бидејќи коренскиот израз мора да биде поголем или еднаков на нула.
, бидејќи е невозможно да се подели со нула и радикалниот израз не може да биде негативен.
, бидејќи, соодветно, за сите.
затоа што не може да се подели со нула.

Сепак, имаме уште еден момент кој не е среден ...

Дозволете ми да ја повторам дефиницијата и да се фокусирам на неа:

Забележавте? Зборот „само“ е многу, многу важен елемент на нашата дефиниција. Ќе се обидам да ти објаснам на прсти.

Да речеме дека имаме функција дадена со права линија. . Кога, ќе ја замениме оваа вредност во нашето „правило“ и ќе го добиеме тоа. Една вредност одговара на една вредност. Можеме дури и да направиме табела со различни вредности и да нацртаме дадена функција за да го потврдиме ова.

„Погледнете! - велиш, - "" се среќава двапати!" Па можеби параболата не е функција? Не, тоа е!

Фактот дека „“ се случува двапати е далеку од причина да се обвини параболата за двосмисленост!

Факт е дека кога пресметувавме за, добивме еден натпревар. И кога се пресметувавме со, добивме една утакмица. Така е точно, параболата е функција. Погледнете ја табелата:

Сфатив? Ако не, еве ви еден пример од реалниот живот, далеку од математика!

Да речеме дека имаме група апликанти кои се сретнале при поднесување документи, од кои секој во разговор кажал каде живее:

Се согласувам, сосема е реално неколку момци да живеат во ист град, но невозможно е едно лице да живее во неколку градови во исто време. Ова е, како да е, логичен приказ на нашата „парабола“ - Неколку различни x одговараат на истото y.

Сега да излеземе со пример каде зависноста не е функција. Да речеме, истите тие момци кажаа за какви специјалности аплицирале:

Овде имаме сосема поинаква ситуација: едно лице може лесно да аплицира за една или неколку насоки. Тоа е еден елементкомплетите се ставаат во кореспонденција повеќе елементимножества. Соодветно, тоа не е функција.

Ајде да го тестираме вашето знаење во пракса.

Од сликите одреди што е функција, а што не:

Сфатив? И еве го одговори:

Функцијата е - B,E.
Не е функција - A, B, D, D.

Прашувате зошто? Да, еве зошто:

Во сите бројки освен AT)и Д)има неколку за еден!

Сигурен сум дека сега можете лесно да разликувате функција од нефункција, да кажете што е аргумент и што е зависна променлива, а исто така да го одредите опсегот на аргументот и опсегот на функцијата. Ајде да преминеме на следниот дел - како да се дефинира функција?

Начини за поставување функција

Што мислите што значат зборовите "постави функција"? Така е, значи да се објасни на сите за каква функција зборуваме во случајов. Згора на тоа, објаснете така што сите ќе ве разберат правилно, а графиконите на функции што ги нацртале луѓето според вашето објаснување биле исти.

Како можам да го направам тоа? Како да поставите функција?Најлесен начин, кој веќе е користен повеќе од еднаш во оваа статија - користејќи формула.Ние пишуваме формула и со замена на вредност во неа, ја пресметуваме вредноста. И како што се сеќавате, формулата е закон, правило според кое нам и на друг ни станува јасно како X се претвора во Y.

Обично, тоа е токму она што тие го прават - во задачите гледаме готови функции дефинирани со формули, меѓутоа, постојат и други начини да се постави функција на која сите забораваат, а со тоа и прашањето „како поинаку можете да поставите функција? збунува. Ајде да погледнеме сè по ред, и да започнеме со аналитичкиот метод.

Аналитички начин на дефинирање на функција

Аналитичкиот метод е задача на функција со помош на формула. Ова е најуниверзалниот и сеопфатен и недвосмислен начин. Ако имате формула, тогаш знаете апсолутно сè за функцијата - можете да направите табела со вредности на неа, можете да изградите график, да одредите каде функцијата се зголемува и каде се намалува, генерално, истражете ја во целост.

Да разгледаме функција. Што е важно?

"Што значи тоа?" - прашуваш ти. Сега ќе објаснам.

Да ве потсетам дека во ознаката изразот во загради се нарекува аргумент. И овој аргумент може да биде каков било израз, не мора едноставно. Според тоа, каков и да е аргументот (израз во загради), наместо тоа ќе го напишеме во изразот.

Во нашиот пример, тоа ќе изгледа вака:

Размислете за друга задача поврзана со аналитичкиот метод за одредување на функцијата што ќе ја имате на испитот.

Најдете ја вредноста на изразот, во.

Сигурен сум дека на почетокот се исплашивте кога видовте таков израз, но во него нема апсолутно ништо страшно!

Сè е исто како во претходниот пример: каков и да е аргументот (изразот во загради), наместо тоа ќе го напишеме во изразот. На пример, за функција.

Што треба да се направи во нашиот пример? Наместо тоа, треба да напишете, и наместо -:

скрати го добиениот израз:

Тоа е се!

Самостојна работа

Сега обидете се сами да го пронајдете значењето на следните изрази:

, ако
, ако

Дали се снајде? Да ги споредиме нашите одговори: Навикнати сме на фактот дека функцијата ја има формата

Дури и во нашите примери, ние ја дефинираме функцијата на овој начин, но аналитички е можно да се дефинира функцијата имплицитно, на пример.

Обидете се сами да ја изградите оваа функција.

Дали се снајде?

Еве како го изградив.

Со каква равенка завршивме?

Точно! Линеарно, што значи дека графикот ќе биде права линија. Ајде да направиме табела за да одредиме кои точки припаѓаат на нашата линија:

Тоа е само она што го зборувавме ... Еден одговара на неколку.

Ајде да се обидеме да нацртаме што се случило:

Дали тоа што го добивме е функција?

Така е, не! Зошто? Обидете се да одговорите на ова прашање со слика. Што доби?

„Затоа што една вредност одговара на неколку вредности!

Каков заклучок можеме да извлечеме од ова?

Така е, функцијата не може секогаш експлицитно да се изрази, а она што е „маскирано“ како функција не е секогаш функција!

Табеларен начин на дефинирање на функција

Како што сугерира името, овој метод е едноставна чинија. Да Да. Како онаа што веќе ја направивме. На пример:

Овде веднаш забележавте шема - Y е три пати поголем од X. И сега задачата „размисли многу добро“: дали мислиш дека функцијата дадена во форма на табела е еквивалентна на функција?

Да не зборуваме долго, туку да цртаме!

Значи. Ние цртаме функција дадена на двата начина:

Дали ја гледате разликата? Не се работи за означените точки! Погледнете подетално:

Дали сте го виделе сега? Кога ја поставуваме функцијата на табеларен начин, на графикот ги рефлектираме само оние точки што ги имаме во табелата и линијата (како во нашиот случај) поминува само низ нив. Кога дефинираме функција на аналитички начин, можеме да земеме какви било точки, а нашата функција не е ограничена на нив. Еве таква карактеристика. Запомнете!

Графички начин да се изгради функција

Графичкиот начин на конструирање функција не е помалку удобен. Ја цртаме нашата функција, а друг заинтересиран може да најде на што е еднакво y на одреден x итн. Графичките и аналитичките методи се меѓу најчестите.

Сепак, тука треба да запомните за што зборувавме на самиот почеток - не секоја „свирка“ нацртана во координатниот систем е функција! Се сети? За секој случај, овде ќе ја копирам дефиницијата за тоа што е функција:

Како по правило, луѓето обично ги именуваат токму тие три начини на одредување на функцијата што ги анализиравме - аналитички (со помош на формула), табеларни и графички, целосно заборавајќи дека функцијата може да се опише вербално. Како ова? Да, многу лесно!

Вербален опис на функцијата

Како вербално да се опише функцијата? Да го земеме нашиот неодамнешен пример - . Оваа функција може да се опише како „секоја реална вредност на x одговара на нејзината тројна вредност“. Тоа е се. Ништо комплицирано. Се разбира, ќе приговорите - „има толку сложени функции што едноставно е невозможно да се постават вербално! Да, има некои, но има функции кои полесно се опишуваат вербално отколку да се постават со формула. На пример: „секоја природна вредност на x одговара на разликата помеѓу цифрите од кои се состои, додека најголемата цифра содржана во записот со броеви се зема како минуенд“. Сега размислете како нашиот вербален опис на функцијата се спроведува во пракса:

Најголемата цифра во даден број -, соодветно, - се намалува, тогаш:

Главни типови на функции

Сега да преминеме на најинтересните - ќе ги разгледаме главните типови на функции со кои работевте / работевте и ќе работите во текот на училиштето и институтот математика, односно ќе ги запознаеме, така да се каже, и дајте им краток опис. Прочитајте повеќе за секоја функција во соодветниот дел.

Линеарна функција

Функција на формата, каде што се реални броеви.

Графикот на оваа функција е права линија, па конструкцијата на линеарна функција се сведува на пронаоѓање на координатите на две точки.

Положбата на правата линија на координатната рамнина зависи од наклонот.

Опсег на функции (ака опсег на аргументи) - .

Опсегот на вредности е.

квадратна функција

Функција на формата, каде

Графикот на функцијата е парабола, кога гранките на параболата се насочени надолу, кога - нагоре.

Многу својства на квадратна функција зависат од вредноста на дискриминаторот. Дискриминаторот се пресметува со формулата

Положбата на параболата на координатната рамнина во однос на вредноста и коефициентот е прикажана на сликата:

Домен

Опсегот на вредности зависи од екстремот на дадената функција (темето на параболата) и коефициентот (насоката на гранките на параболата)

Обратна пропорционалност

Функцијата дадена со формулата, каде

Бројот се нарекува фактор на обратна пропорционалност. Во зависност од тоа која вредност, гранките на хиперболата се во различни квадрати:

Домен - .

Опсегот на вредности е.

РЕЗИМЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

1. Функција е правило според кое на секој елемент од множеството му се доделува единствен елемент од множеството.

- ова е формула која означува функција, односно зависност на една променлива од друга;
- променлива, или аргумент;
- зависна вредност - се менува кога аргументот се менува, односно според некоја специфична формула која ја одразува зависноста на една вредност од друга.

2. Валидни вредности на аргументите, или опсегот на функцијата, е она што е поврзано со можното под кое функцијата има смисла.

3. Опсег на вредности на функции- тоа е она што вредности ги зема, со валидни вредности.

4. Постојат 4 начини за поставување на функцијата:

аналитички (со користење на формули);
табеларен;
графички
вербален опис.

5. Главни типови на функции:

: , каде, се реални броеви;
: , каде;
: , каде.