Споредба на конечни и бесконечни децимални дропки, правила, примери, решенија. Читање децимали Правила за споредување децимали, примери, решенија

3.4 Правилен редослед
Во претходниот дел, ги споредивме броевите според нивната положба на бројната права. Ова е добар начин да се споредат големини на броеви во децимална нотација. Овој метод секогаш функционира, но макотрпно и незгодно е да го правите секој пат кога ќе треба да споредите два броја. Постои уште еден добар начин да се открие кој од двата броја е поголем.

Пример А

Разгледајте ги броевите од претходниот дел и споредете ги 0,05 и 0,2.

За да откриеме кој број е поголем, прво ги споредуваме нивните целобројни делови. И двата броја во нашиот пример имаат еднаков број цели броеви - 0. Потоа споредете ги нивните десетини. Бројот 0,05 има 0 десетинки, а бројот 0,2 има 2 десетинки. Дека бројот 0,05 има 5 стотинки не е важно, бидејќи десетините одредуваат дека бројот 0,2 е поголем. Така можеме да напишеме:

И двата броја имаат 0 цели броеви и 6 десетинки, а сè уште не можеме да одредиме кој од нив е поголем. Меѓутоа, бројот 0,612 има само 1 стотинка, а бројот 0,62 има два. Потоа, можеме да го одредиме тоа

0,62 > 0,612

Тоа што бројот 0,612 има 2 илјадити не е важно, сепак е помал од 0,62.

Ова можеме да го илустрираме со слика:

		0,612
		0,62

За да одредите кој од двата броја во децималната нотација е поголем, треба да го направите следново:

1. Споредете цели делови. Бројот чиј цел дел е поголем и ќе биде поголем.

2 . Ако целобројните делови се еднакви, споредете десетини. Тој број, кој има повеќе десетини, ќе биде повеќе.

3 . Ако десетинки се еднакви, споредете стотинки. Тој број, кој има повеќе стотинки, ќе биде повеќе.

4 . Ако стотинките се еднакви, споредете илјадити. Тој број, кој има повеќе илјадити, ќе биде повеќе.

Децимална дропка се разликува од обичната дропка по тоа што нејзиниот именител е бит единица.

На пример:

Децималните дропки се одвоени од обичните дропки во посебна форма, што доведе до свои правила за споредување, собирање, одземање, множење и делење на овие дропки. Во принцип, можете да работите со децимални фракции според правилата на обичните фракции. Сопствените правила за претворање на децимални дропки ги поедноставуваат пресметките, а правилата за претворање на обичните дропки во децимали, и обратно, служат како врска помеѓу овие типови дропки.

Пишувањето и читањето на децимални дропки ви овозможува да пишувате, споредувате и да управувате со нив според правила многу слични на правилата за операции со природни броеви.

За прв пат, системот на децимални дропки и операции на нив е опишан во 15 век. Самарканд математичар и астроном Џамшид ибн-Масудал-Каши во книгата „Клучот за уметноста на сметководството“.

Целиот дел од децималната дропка се одвојува од дробниот дел со запирка, во некои земји (САД) ставаат точка. Ако во децималната дропка нема цел број, тогаш ставете го бројот 0 пред децималната точка.

На фракциониот дел од децималната дропка од десната страна може да се додаде кој било број на нули, тоа не ја менува вредноста на дропот. Дробниот дел од децималната дропка се чита со последната значајна цифра.

На пример:
0,3 - три десетинки
0,75 - седумдесет и пет стотинки
0,000005 - пет милионити.

Читањето на цел број од децимална е исто како и читањето природни броеви.

На пример:
27,5 - дваесет и седум ...;
1,57 - еден ...

По цел број од децималната дропка се изговара зборот „целина“.

На пример:
10,7 - десет поени седум

0,67 - нулта точка шеесет и седум стотинки.

Децималите се фракциони цифри. Дробниот дел се чита не со цифри (за разлика од природните броеви), туку како целина, затоа фракциониот дел од децималната дропка се одредува со последната значајна цифра десно. Системот на битови на дробниот дел од децималната дропка е нешто различен од оној на природните броеви.

• 1-ва цифра после зафатена - десетинка цифра
• 2 место по децимална точка - стото место
• 3 место по децимална точка - илјадито место
• 4-то место по децималната точка - десетилјадито место
• 5-то место по децималната точка - стоилјадито место
• 6-то место по децималната точка - милионито место
• 7 место по децимална точка - десетмилионито место
• Осмото место по децималната точка е стомилионитото место

Во пресметките, најчесто се користат првите три цифри. Големата бит-длабочина на фракциониот дел од децималните фракции се користи само во одредени гранки на знаење, каде што се пресметуваат бесконечно мали вредности.

Конверзија од децимална во мешана дропкасе состои од следново: запишете го бројот пред децималната точка како цел број од мешаната дропка; бројот по децималната точка е броител на неговиот дробен дел, а во именителот на дробниот дел запишете еден со онолку нули колку што има цифри по децималната запирка.

Децималната дропка мора да содржи запирка. Тој нумерички дел од дропката, кој се наоѓа лево од децималната точка, се нарекува целина; надесно - фракционо:

5,28 5 - цел број 28 - дробен дел

Дробниот дел од децимална е составен од децимални места(децимални места):

• десетинки - 0,1 (една десетина);
• стотинки - 0,01 (стотинки);
• илјадити - 0,001 (една илјадитина);
• десет илјадити - 0,0001 (една десетилјадити);
• сто илјадити - 0,00001 (сто илјадити);
• милионити дел - 0,000001 (еден милионити дел);
• десет милионити - 0,0000001 (еден десет милионити дел);
• сто милионити - 0,00000001 (сто милионити);
• милијардити дел - 0,000000001 (една милијарда), итн.

• прочитај го бројот што е цел дел од дропката и додај го зборот „ целина";
• прочитај го бројот што го сочинува дробниот дел од дропката и додај го името на најмалку значајната цифра.

На пример:

• 0,25 - нулта точка дваесет и пет стотинки;
• 9,1 - девет поени една десетина;
• 18.013 - осумнаесет точка тринаесет илјадитинки;
• 100,2834 е сто и две илјади осумстотини триесет и четири десет илјадити.

Пишување децимали

За да напишете децимална дропка, мора:

• запишете го целиот дел од дропката и ставете запирка (бројот што значи цел дел од дропката секогаш завршува со зборот " целина");
• запишете го дробниот дел од дропката така што последната цифра паѓа во саканата цифра (ако нема значајни цифри на одредени децимални места, тие се заменуваат со нули).

На пример:

• дваесет точка девет - 20,9 - во овој пример, сè е едноставно;
• пет точка една стотинка - 5,01 - зборот „стотка“ значи дека треба да има две цифри по децималната точка, но бидејќи нема десетто место во бројот 1, тој се заменува со нула;
• нулта точка осумстотини и осум илјадитинки - 0,808;
• три точки петнаесет - невозможно е да се напише таква децимална дропка, бидејќи е направена грешка во изговорот на фракциониот дел - бројот 15 содржи две цифри, а зборот „десетки“ значи само една. Точно ќе биде три точки петнаесет стотинки (или илјадити, десет илјадити, итн.).

Децимална споредба

Споредбата на децималните фракции се врши на сличен начин споредба на природните броеви.

1. прво, се споредуваат целобројните делови од дропките - децималната дропка со поголемиот цел број ќе биде поголема;
2. ако целобројните делови на дропките се еднакви, дробните делови се споредуваат малку по малку, од лево кон десно, почнувајќи од запирката: десетинки, стотинки, илјадити итн. Споредбата се врши до првото несовпаѓање - таа децимална дропка ќе биде поголема, која ќе има поголема нееднаква цифра во соодветната цифра на дробниот дел. На пример: 1.2 8 3 > 1,27 9, бидејќи во стотинки првата дропка има 8, а втората има 7.

Во оваа статија ќе ја покриеме темата децимална споредба“. Прво, да разговараме за општиот принцип на споредување на децимални фракции. После тоа, ќе откриеме кои децимални дропки се еднакви, а кои нееднакви. Следно, ќе научиме како да одредиме која децимална дропка е поголема, а која помала. За да го направите ова, ќе ги проучуваме правилата за споредување на конечни, бесконечни периодични и бесконечни непериодични дропки. Целата теорија ќе ја снабдиме со примери со детални решенија. Како заклучок, да се задржиме на споредбата на децималните дропки со природни броеви, обични дропки и мешани броеви.

Веднаш да речеме дека овде ќе зборуваме само за споредување на позитивни децимални дропки (види позитивни и негативни броеви). Останатите случаи се анализирани во написите во кои се споредуваат рационални броеви и споредба на реални броеви.

Навигација на страница.

Општ принцип за споредување на децимални дропки

Врз основа на овој принцип на споредба, се изведуваат правилата за споредување на децимални фракции, кои овозможуваат да се направи без претворање на споредените децимални фракции во обични дропки. Овие правила, како и примери за нивната примена, ќе ги анализираме во следните параграфи.

Со сличен принцип, конечните децимали или бесконечните периодични децимали се споредуваат со природни броеви, обични дропки и мешани броеви: споредените броеви се заменуваат со нивните соодветни обични дропки, по што се споредуваат обичните дропки.

Во врска со споредби на бесконечни децимали кои не се повторуваат, тогаш обично се сведува на споредување на конечните децимални дропки. За да го направите ова, разгледајте таков број знаци на споредени бесконечни непериодични децимални фракции, што ви овозможува да го добиете резултатот од споредбата.

Еднакви и нееднакви децимали

Прво воведуваме дефиниции за еднакви и нееднакви конечни децимали.

Дефиниција.

Двете задни децимали се нарекуваат еднаквиако нивните соодветни заеднички дропки се еднакви, инаку се нарекуваат овие децимални дропки нееднаков.

Врз основа на оваа дефиниција, лесно е да се оправда следнава изјава: ако на крајот од дадената децимална дропка припишеме или отфрлиме неколку цифри 0, тогаш добиваме децимална дропка еднаква на неа. На пример, 0,3=0,30=0,300=… и 140,000=140,00=140,0=140.

Навистина, собирањето или отфрлањето на нула на крајот од децималната дропка на десната страна одговара на множење или делење со 10 на броителот и именителот на соодветната обична дропка. И го знаеме основното својство на дропка, кое вели дека со множење или делење на броител и именителот на дропка со ист природен број се добива дропка еднаква на првобитната. Ова докажува дека со додавање или отфрлање нули десно во дробниот дел од децималната дропка се добива дропка еднаква на првобитната.

На пример, децимална дропка 0,5 одговара на обична дропка 5/10, откако ќе се додаде нула десно, се добива децимална дропка 0,50 што одговара на обична дропка 50/100 и. Значи 0,5=0,50. Спротивно на тоа, ако во децимална дропка 0,50 отфрлиме 0 десно, тогаш добиваме дропка 0,5, па од обична дропка 50/100 ќе дојдеме до дропка 5/10, но . Затоа, 0,50=0,5.

Ајде да продолжиме на дефиниција на еднакви и нееднакви бесконечни периодични децимални дропки.

Дефиниција.

Две бесконечни периодични дропки еднакви, ако обичните дропки што им одговараат се еднакви; ако обичните дропки што им одговараат не се еднакви, тогаш се и споредените периодични дропки не еднакви.

Од оваа дефиниција произлегуваат три заклучоци:

• Ако записите на периодични децимални дропки се сосема исти, тогаш таквите бесконечни периодични децимални фракции се еднакви. На пример, периодичните децимали 0,34(2987) и 0,34(2987) се еднакви.
• Ако периодите на споредените децимални периодични дропки почнуваат од иста позиција, првата дропка има период од 0, втората има период од 9, а вредноста на цифрата што претходи период 0 е една поголема од вредноста на цифрата претходниот период 9, тогаш таквите бесконечни периодични децимални фракции се еднакви. На пример, периодичните дропки 8.3(0) и 8.2(9) се еднакви, а дропките 141,(0) и 140,(9) се исто така еднакви.
• Други две периодични дропки не се еднакви. Еве примери на нееднакви бесконечни периодични децимални дропки: 9,0(4) и 7,(21) , 0,(12) и 0,(121), 10,(0) и 9,8(9) .

Останува да се справиме еднакви и нееднакви бесконечни непериодични децимални дропки. Како што знаете, таквите децимални дропки не можат да се претворат во обични дропки (таквите децимални дропки претставуваат ирационални броеви), така што споредбата на бесконечните непериодични децимални фракции не може да се сведе на споредба на обичните дропки.

Дефиниција.

Две бесконечни децимали кои не се повторуваат еднаквиако нивните записи точно се совпаѓаат.

Но, постои една нијанса: невозможно е да се види „завршениот“ запис на бесконечни непериодични децимални фракции, затоа, невозможно е да се биде сигурен во целосната совпаѓање на нивните записи. Како да се биде?

При споредување на бесконечни непериодични децимални дропки, се земаат предвид само конечен број знаци на споредените дропки, што ни овозможува да ги извлечеме потребните заклучоци. Така, споредбата на бесконечни непериодични децимални дропки се сведува на споредба на конечни децимални дропки.

Со овој пристап, можеме да зборуваме за еднаквост на бесконечни непериодични децимални дропки само до разгледуваната цифра. Да дадеме примери. Бесконечните непериодични децимални дропки 5,45839 ... и 5,45839 ... се еднакви на сто илјадитинки, бидејќи конечните децимали 5,45839 и 5,45839 се еднакви; Неповторливи децимални дропки 19,54 ... и 19,54810375 ... се еднакви на најблиската стотинка, бидејќи дропките 19,54 и 19,54 се еднакви.

Неравенството на бесконечните непериодични децимални дропки со овој пристап е сосема дефинитивно утврдена. На пример, бесконечните непериодични децимални дропки 5,6789... и 5,67732... не се еднакви, бидејќи разликите во нивните записи се очигледни (конечните децимали 5,6789 и 5,6773 не се еднакви). Бесконечните децимали 6,49354... и 7,53789... исто така не се еднакви.

Правила за споредување на децимални дропки, примери, решенија

По утврдувањето на фактот дека две децимални дропки не се еднакви, често е неопходно да се открие која од овие дропки е поголема, а која е помала од другата. Сега ќе ги анализираме правилата за споредување на децимални фракции, овозможувајќи ни да одговориме на поставеното прашање.

Во многу случаи, доволно е да се споредат целобројните делови од споредените децимали. Следното е точно правило за децимална споредба: поголема од децималната дропка чиј што цел број е поголем и помал од децималната дропка чиј цел дел е помал.

Ова правило важи и за конечни децимали и за бесконечни децимали. Ајде да разгледаме примери.

Пример.

Споредете децимали 9,43 и 7,983023….

Решение.

Очигледно, овие децимални дропки не се еднакви. Целиот дел од конечната децимална дропка 9,43 е еднаков на 9, а целобројниот дел од бесконечната непериодична дропка 7,983023 ... е еднаков на 7. Бидејќи 9>7 (види споредба на природни броеви), тогаш 9,43>7,983023.

Одговор:

9,43>7,983023 .

Пример.

Која од децималите 49,43(14) и 1.045,45029... е помала?

Решение.

Целиот дел од периодичната дропка 49,43(14) е помал од целиот дел на бесконечната непериодична децимална дропка 1 045,45029…, значи, 49,43(14)<1 045,45029… .

Одговор:

49,43(14) .

Ако целобројните делови на споредените децимални дропки се еднакви, тогаш за да се открие кој од нив е поголем, а кој помал, треба да се споредат дробните делови. Споредбата на дробните делови на децималните дропки се врши малку по малку- од категоријата десетинки до помладите.

Прво, да погледнеме пример за споредување на две конечни децимални фракции.

Пример.

Споредете ги крајните децимали 0,87 и 0,8521.

Решение.

Целобројните делови на овие децимални дропки се еднакви (0=0 ), па да преминеме на споредување на дробните делови. Вредностите на десетинките се еднакви (8=8), а вредноста на стотинките на дропката 0,87 е поголема од вредноста на стотинката на дропот 0,8521 (7>5). Затоа, 0,87>0,8521.

Одговор:

0,87>0,8521 .

Понекогаш, за да ги споредите последователните децимали со различен број на децимали, треба да додадете одреден број нули десно од дропот со помалку децимали. Сосема е погодно да се изедначи бројот на децимални места пред да почне да се споредуваат конечните децимални фракции со додавање одреден број нули десно од една од нив.

Пример.

Споредете ги заостанатите децимали 18.00405 и 18.0040532.

Решение.

Очигледно, овие дропки се нееднакви, бидејќи нивните записи се различни, но во исто време имаат еднакви целобројни делови (18=18).

Пред битовинска споредба на дробните делови на овие дропки, го изедначуваме бројот на децимални места. За да го направите ова, доделуваме две цифри 0 на крајот од дропот 18.00405, додека ја добиваме децималната дропка еднаква на неа 18.0040500.

Децималните места од 18,0040500 и 18,0040532 се еднакви до сто илјадити делови, а вредноста на милионитото место од 18,0040500 е помала од вредноста на соодветното место на дропка од 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Одговор:

18,00405<18,0040532 .

При споредување на конечна децимална дропка со бесконечна, конечната дропка се заменува со бесконечна периодична дропка еднаква на неа со период од 0, по што се прави споредба со цифри.

Пример.

Споредете ја завршната децимала 5,27 со бесконечната неповторлива децимала 5,270013….

Решение.

Целите делови на овие децимали се еднакви. Вредностите на цифрите од десетинките и стотинките од овие дропки се еднакви, а за да извршиме понатамошна споредба, конечната децимална дропка ја заменуваме со бесконечна периодична дропка еднаква на неа со период од 0 од формата 5.270000 .... Пред петтото децимално место, вредностите на децималните места 5.270000... и 5.270013... се еднакви, а на петтото децимално место имаме 0.<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Одговор:

5,27<5,270013… .

Споредбата на бесконечните децимални фракции исто така се врши малку по малку, и завршува веднаш штом вредностите на некој бит се различни.

Пример.

Споредете ги бесконечните децимали 6,23(18) и 6,25181815….

Решение.

Целите делови на овие дропки се еднакви, вредностите на десеттото место се исто така еднакви. А вредноста на стотинките на периодичната дропка 6,23(18) е помала од стотинките на бесконечната непериодична децимална дропка 6,25181815…, значи, 6,23(18)<6,25181815… .

Одговор:

6,23(18)<6,25181815… .

Пример.

Која од бесконечните периодични децимали 3,(73) и 3,(737) е поголема?

Решение.

Јасно е дека 3,(73)=3,73737373… и 3,(737)=3,737737737…. На четвртата децимална точка, битната споредба завршува, бидејќи таму имаме 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Одговор:

3,(737) .

Споредете децимали со природни броеви, обични дропки и мешани броеви.

За да го добиете резултатот од споредување на децимална дропка со природен број, можете да го споредите целиот дел од оваа дропка со даден природен број. Во овој случај, периодичните дропки со периоди од 0 или 9 мора прво да се заменат со нивните еднакви конечни децимални фракции.

Следното е точно правило за споредување децимална дропка и природен број: ако цел број на децимална дропка е помал од даден природен број, тогаш целата дропка е помала од овој природен број; ако целобројниот дел од дропката е поголем или еднаков на даден природен број, тогаш дропката е поголема од дадениот природен број.

Размислете за примери за примена на ова правило за споредба.

Пример.

Споредете го природниот број 7 со децималната дропка 8,8329….

Решение.

Бидејќи дадениот природен број е помал од цел број на дадената децимална дропка, тогаш овој број е помал од дадената децимална дропка.

Одговор:

7<8,8329… .

Пример.

Споредете го природниот број 7 и децималната 7.1.