Моќта функционира со различни експоненти. Функција на моќност, нејзините својства и графикон

Функцијата моќност е дадена со формула на формата.

Да ја разгледаме формата на графиконите на функцијата на моќност и својствата на функцијата за моќност во зависност од вредноста на експонентот.

Да почнеме со функција за моќност со цел број експонент а. Во овој случај, изгледот на графиците на функциите на моќност и својствата на функциите зависат од рамномерноста или непарноста на експонентот, како и од неговиот знак. Затоа, прво ги разгледуваме функциите на моќност за непарните позитивни вредности на експонентот а, тогаш - за парни позитивни експоненти, потоа - за непарни негативни експоненти и на крајот, за парни негативни експоненти а.

Својствата на функциите на моќност со дробни и ирационални експоненти (како и видот на графиконите на таквите функции на моќност) зависат од вредноста на експонентот а. Ќе ги разгледаме, прво, кога аод нула до еден, второ, кога апоголеми единици, трето, со аод минус еден до нула, четврто, со апомал минус еден.

На крајот од овој дел, за комплетност, ќе опишеме функција на моќност со нула експонент.

Функција на моќност со непарен позитивен експонент.

Да разгледаме функција на моќност со непарен позитивен експонент, односно со a=1,3,5,….

На сликата подолу се прикажани графикони на функциите на моќност - црна линија, - сина линија, - црвена линија, - зелена линија. На a=1ние имаме линеарна функција y=x.

Својства на функција на моќност со непарен позитивен експонент.

Функција на моќност со дури и позитивен експонент.

Да разгледаме функција на моќност со парен позитивен експонент, односно за a=2,4,6,….

Како пример, даваме графикони на функции на моќност - црна линија, - сина линија, - црвена линија. На a=2имаме квадратна функција чиј график е квадратна парабола.

Својства на функција на моќност со парен позитивен експонент.

Функција на моќност со непарен негативен експонент.

Погледнете ги графиконите на функцијата моќност за непарните негативни вредности на експонентот, односно за a=-1,-3,-5,….

Знаење основни елементарни функции, нивните својства и графиконине помалку важно од познавањето на табелите за множење. Тие се како темел, сè е засновано на нив, сè е изградено од нив и сè се сведува на нив.

Во оваа статија ќе ги наведеме сите главни елементарни функции, ќе ги дадеме нивните графикони и ќе дадеме без заклучок или доказ својства на основните елементарни функцииспоред шемата:

• однесување на функцијата на границите на доменот на дефиниција, вертикални асимптоти (доколку е потребно, видете ја статијата класификација на точките на дисконтинуитет на функцијата);
• парни и непарни;
• интервали на конвексност (конвексност нагоре) и конкавност (конвексност надолу), точки на флексија (доколку е потребно, видете ја статијата конвексност на функцијата, насока на конвексност, точки на флексија, услови на конвексност и флексија);
• коси и хоризонтални асимптоти;
• еднина точки на функции;
• посебни својства на некои функции (на пример, најмал позитивен период на тригонометриски функции).

Ако сте заинтересирани за или, тогаш можете да отидете на овие делови од теоријата.

Основни елементарни функциисе: константна функција (константа), n-ти корен, функција на моќност, експоненцијална, логаритамска функција, тригонометриски и инверзни тригонометриски функции.

Навигација на страница.

Постојана функција.

Константна функција е дефинирана на множеството од сите реални броеви со формулата, каде што C е некој реален број. Константна функција ја поврзува секоја реална вредност на независната променлива x со истата вредност на зависната променлива y - вредноста C. Константна функција се нарекува и константа.

Графикот на константна функција е права линија паралелна на оската x и која минува низ точката со координати (0,C). Како пример, ќе прикажеме графикони на константни функции y=5, y=-2 и, кои на сликата подолу одговараат на црните, црвените и сините линии, соодветно.

Својства на константна функција.

• Домен: целиот сет на реални броеви.
• Постојаната функција е рамномерна.
• Опсег на вредности: множество кое се состои од еднина број C.
• Константната функција не се зголемува и не се намалува (затоа е константна).
• Нема смисла да се зборува за конвексност и конкавност на константа.
• Нема асимптоти.
• Функцијата минува низ точката (0,C) на координатната рамнина.

Корен од n-ти степен.

Да ја разгледаме основната елементарна функција, која е дадена со формулата , каде што n е природен број поголем од еден.

Корен од n-ти степен, n е парен број.

Да почнеме со n-тиот корен функција за парни вредности на коренскиот експонент n.

Како пример, еве слика со слики од графикони на функции и , тие одговараат на црни, црвени и сини линии.

Графиконите на функциите на корените со парен степен имаат сличен изглед за другите вредности на експонентот.

Својства на n-тиот корен функција за парен n.

n-тиот корен, n е непарен број.

Функцијата n-ти корен со непарен коренски експонент n е дефинирана на целото множество реални броеви. На пример, тука се графиконите на функциите и , одговараат на црни, црвени и сини кривини.

За други непарни вредности на коренскиот експонент, графиконите на функциите ќе имаат сличен изглед.

Својства на n-тиот корен функција за непарен n.

Функција за напојување.

Функцијата моќност е дадена со формула на формата.

Да ја разгледаме формата на графиконите на функцијата на моќност и својствата на функцијата за моќност во зависност од вредноста на експонентот.

Да почнеме со функција за моќност со цел број експонент a. Во овој случај, изгледот на графиците на функциите на моќност и својствата на функциите зависат од рамномерноста или непарноста на експонентот, како и од неговиот знак. Затоа, прво ќе ги разгледаме функциите на моќност за непарни позитивни вредности на експонентот a, потоа за парни позитивни експоненти, потоа за непарни негативни експоненти и на крајот, за парни негативни експоненти.

Својствата на функциите на моќност со дробни и ирационални експоненти (како и видот на графиконите на таквите функции на моќност) зависат од вредноста на експонентот a. Ќе ги разгледаме, прво, за a од нула до еден, второ, за поголемо од еден, трето, за a од минус еден до нула, четврто, за помалку од минус еден.

На крајот од овој дел, за комплетност, ќе опишеме функција на моќност со нула експонент.

Функција на моќност со непарен позитивен експонент.

Да разгледаме функција на моќност со непарен позитивен експонент, односно со a = 1,3,5,....

На сликата подолу се прикажани графикони на функциите на моќност - црна линија, - сина линија, - црвена линија, - зелена линија. За a=1 имаме линеарна функција y=x.

Својства на функција на моќност со непарен позитивен експонент.

Функција на моќност со дури и позитивен експонент.

Да разгледаме функција на моќност со парен позитивен експонент, односно за a = 2,4,6,....

Како пример, даваме графикони на функции на моќност - црна линија, - сина линија, - црвена линија. За a=2 имаме квадратна функција, чиј график е квадратна парабола.

Својства на функција на моќност со парен позитивен експонент.

Функција на моќност со непарен негативен експонент.

Погледнете ги графиконите на функцијата моќност за непарни негативни вредности на експонентот, односно за a = -1, -3, -5,....

На сликата се прикажани графикони на функции на моќност како примери - црна линија, - сина линија, - црвена линија, - зелена линија. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиј график е хипербола.

Својства на функција на моќност со непарен негативен експонент.

Функција на моќност со дури негативен експонент.

Да преминеме на функцијата моќност на a=-2,-4,-6,….

На сликата се прикажани графикони на функциите на моќност – црна линија, – сина линија, – црвена линија.

Својства на функцијата моќност со парен негативен експонент.

Функција на моќност со рационален или ирационален експонент чија вредност е поголема од нула и помала од еден.

Забелешка!Ако a е позитивна дропка со непарен именител, тогаш некои автори сметаат дека доменот на дефиниција на функцијата моќ е интервалот. Утврдено е дека експонентот a е несводлива дропка. Сега авторите на многу учебници за алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРААТ функции на моќност со експонент во форма на дропка со непарен именител за негативните вредности на аргументот. Ќе се придржуваме токму на ова гледиште, односно множеството ќе го сметаме за домени на дефинирање на функциите на моќност со фракционо позитивни експоненти. Препорачуваме учениците да го дознаат мислењето на вашиот наставник за оваа суптилна точка за да избегнат несогласувања.

Да разгледаме функција на моќност со рационален или ирационален експонент a, и .

Да ги прикажеме графиконите на функциите на моќноста за a=11/12 (црна линија), a=5/7 (црвена линија), (сина линија), a=2/5 (зелена линија).

Функција на моќност со нецелоброен рационален или ирационален експонент поголем од еден.

Да разгледаме функција на моќност со нецелоброен рационален или ирационален експонент a, и .

Да ги прикажеме графиконите на функциите на моќност дадени со формулите (црни, црвени, сини и зелени линии соодветно).

За другите вредности на експонентот a, графиците на функцијата ќе имаат сличен изглед.

Својства на функцијата моќност кај .

Функција на моќност со реален експонент кој е поголем од минус еден и помал од нула.

Забелешка!Ако a е негативна дропка со непарен именител, тогаш некои автори сметаат дека доменот на дефиниција на функцијата моќност е интервалот . Утврдено е дека експонентот a е несводлива дропка. Сега авторите на многу учебници за алгебра и принципи на анализа НЕ ДЕФИНИРААТ функции на моќност со експонент во форма на дропка со непарен именител за негативните вредности на аргументот. Ќе се придржуваме токму на ова гледиште, односно ќе ги сметаме за множество областите на дефинирање на функциите на моќност со фракциони фракциони негативни експоненти. Препорачуваме учениците да го дознаат мислењето на вашиот наставник за оваа суптилна точка за да избегнат несогласувања.

Да преминеме на функцијата напојување, kgod.

За да имате добра идеја за формата на графикони на функции за моќност, даваме примери на графикони на функции (црни, црвени, сини и зелени криви, соодветно).

Својства на функција на моќност со експонент a, .

Функција на моќност со нецелоброен реален експонент кој е помал од минус еден.

Да дадеме примери на графикони на функции на моќност за , тие се прикажани со црни, црвени, сини и зелени линии, соодветно.

Својства на функција на моќност со нецелоброен негативен експонент помал од минус еден.

Кога a = 0, имаме функција - ова е права линија од која точката (0;1) е исклучена (договорено е да не се придава никакво значење на изразот 0 0).

Експоненцијална функција.

Една од главните елементарни функции е експоненцијалната функција.

Графикот на експоненцијалната функција, каде и добива различни форми во зависност од вредноста на основата a. Ајде да го сфатиме ова.

Прво, разгледајте го случајот кога основата на експоненцијалната функција зема вредност од нула до еден, односно .

Како пример, ги прикажуваме графиконите на експоненцијалната функција за a = 1/2 – сина линија, a = 5/6 – црвена линија. Графиконите на експоненцијалната функција имаат сличен изглед за другите вредности на основата од интервалот.

Својства на експоненцијална функција со основа помала од една.

Да преминеме на случајот кога основата на експоненцијалната функција е поголема од една, односно .

Како илустрација, ви претставуваме графикони на експоненцијални функции - сина линија и - црвена линија. За други вредности на основата поголеми од една, графиците на експоненцијалната функција ќе имаат сличен изглед.

Својства на експоненцијална функција со основа поголема од една.

Логаритамска функција.

Следната основна елементарна функција е логаритамската функција, каде , . Логаритамската функција е дефинирана само за позитивните вредности на аргументот, односно за .

Графикот на логаритамска функција добива различни форми во зависност од вредноста на основата a.

Да почнеме со случајот кога .

Како пример, ги прикажуваме графиконите на логаритамската функција за a = 1/2 – сина линија, a = 5/6 – црвена линија. За други вредности на основата што не надминуваат една, графиците на логаритамската функција ќе имаат сличен изглед.

Својства на логаритамска функција со основа помала од една.

Да преминеме на случајот кога основата на логаритамската функција е поголема од една ().

Ајде да прикажеме графикони на логаритамски функции - сина линија, - црвена линија. За други вредности на основата поголеми од една, графиците на логаритамската функција ќе имаат сличен изглед.

Својства на логаритамска функција со основа поголема од една.

Тригонометриски функции, нивните својства и графикони.

Сите тригонометриски функции (синус, косинус, тангента и котангента) припаѓаат на основните елементарни функции. Сега ќе ги погледнеме нивните графикони и ќе ги наведеме нивните својства.

Тригонометриските функции го имаат концептот фреквенција(повторување на вредностите на функциите за различни вредности на аргументи кои се разликуваат една од друга според периодот , каде што Т е период), затоа, ставка е додадена на списокот со својства на тригонометриските функции „најмал позитивен период“. Исто така, за секоја тригонометриска функција ќе ги означиме вредностите на аргументот при кој исчезнува соодветната функција.

Сега да се справиме со сите тригонометриски функции по редослед.

Синусна функција y = sin(x) .

Да нацртаме график на синусната функција, таа се нарекува „синус бран“.

Својства на синусната функција y = sinx.

Косинусна функција y = cos(x) .

Графикот на функцијата косинус (наречен „косинус“) изгледа вака:

Својства на косинусната функција y = cosx.

Тангента функција y = tan(x) .

Графикот на функцијата тангента (наречен „тангеноид“) изгледа вака:

Својства на функцијата тангента y = tanx.

Котангентна функција y = ctg(x) .

Ајде да нацртаме график на функцијата котангента (тоа се нарекува „котангентоид“):

Својства на функцијата котангента y = ctgx.

Инверзни тригонометриски функции, нивните својства и графикони.

Инверзните тригонометриски функции (лак синус, лак косинус, лак тангента и лак котангента) се основните елементарни функции. Често, поради префиксот „лак“, инверзните тригонометриски функции се нарекуваат лак функции. Сега ќе ги погледнеме нивните графикони и ќе ги наведеме нивните својства.

Функција на лак y = arcsin(x) .

Да ја нацртаме функцијата на лак:

Библиографија.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други Алгебра и почетоците на анализата: Проц. за 10-11 одделение. општообразовните институции.
• Вигодски М.Ја. Прирачник за основно математика.
• Новоселов С.И. Алгебра и елементарни функции.
• Туманов С.И. Елементарна алгебра. Прирачник за самообразование.

Дали сте запознаени со функциите y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xитн Сите овие функции се посебни случаи на функцијата моќ, т.е. функцијата y=x стр, каде што p е даден реален број. Својствата и графикот на функцијата за моќност значително зависат од својствата на моќноста со реален експонент, а особено од вредностите за кои xИ стрстепен има смисла x стр. Да продолжиме со слично разгледување на различни случаи во зависност од експонентот стр.

Индекс p=2n-парен природен број.

Во овој случај, функцијата за напојување y=x 2n, Каде n- природен број, го има следново

својства:

домен на дефиниција - сите реални броеви, односно множеството R;

збир на вредности - не-негативни броеви, т.е. y е поголем или еднаков на 0;

функција y=x 2nдури, затоа што x 2n =(-x) 2n

функцијата се намалува во интервалот x<0 и зголемување на интервалот x>0.

График на функција y=x 2nја има истата форма како, на пример, графикот на функцијата y=x 4 .

2. Индикатор p=2n-1- непарен природен број Во овој случај, функцијата за моќност y=x 2n-1, каде што е природен број, ги има следните својства:

домен на дефиниција - множество R;

збир на вредности - сет R;

функција y=x 2n-1чудно, бидејќи (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

функцијата се зголемува на целата реална оска.

График на функција y=x2n-1ја има истата форма како, на пример, графикот на функцијата y=x3.

3.Индикатор p=-2n, Каде n-природен број.

Во овој случај, функцијата за напојување y=x -2n =1/x 2n ги има следните својства:

збир на вредности - позитивни броеви y>0;

функција y =1/x 2nдури, затоа што 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

функцијата се зголемува на интервалот x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График на функцијата y =1/x 2nја има истата форма како, на пример, графикот на функцијата y =1/x 2 .

4.Индикатор p=-(2n-1), Каде n- природен број. Во овој случај, функцијата за напојување y=x -(2n-1)ги има следните својства:

домен на дефиниција - множество R, освен x=0;

збир на вредности - множество R, освен y=0;

функција y=x -(2n-1)чудно, бидејќи (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

функцијата се намалува во интервали x<0 И x>0.

График на функција y=x -(2n-1)ја има истата форма како, на пример, графикот на функцијата y=1/x 3 .

1. Инверзни тригонометриски функции, нивните својства и графикони.

Инверзни тригонометриски функции, нивните својства и графикони.Инверзни тригонометриски функции (кружни функции, лак функции) - математички функции кои се инверзни на тригонометриските функции.

1. лаксинска функција

График на функција .

лаксинброеви моваа вредност на аголот се нарекува x, за што

Функцијата е континуирана и ограничена по целата нејзина нумеричка права. Функција строго се зголемува.

1. [Уреди]Својства на функцијата arcsin

1. [Уреди]Добивање на функцијата arcsin

Со оглед на функцијата во текот на целата нејзина домен на дефиницијатаа се случува да биде парче монотоно, и, според тоа, инверзната кореспонденција не е функција. Затоа, ќе го разгледаме сегментот на кој строго се зголемува и ги презема сите вредности опсег на вредности- . Бидејќи за функција на интервал секоја вредност на аргументот одговара на една вредност на функцијата, тогаш на овој интервал има инверзна функција чиј график е симетричен со графикот на функција на отсечка во однос на права линија

Предавање: Функција на моќност со природен експонент, негов график

Постојано се занимаваме со функции во кои аргументот има одреден степен:
y = x 1, y = x 2, y = x 3, y = x -1, итн.

Графикони на функции на моќност

Така, сега ќе разгледаме неколку можни случаи на функција на моќност.

1) y = x 2 n .

Тоа значи дека сега ќе разгледаме функции во кои експонентот е парен број.

Функционална карактеристика:

1. Сите реални броеви се прифатени како опсег на вредности.

2. Функцијата може да ги прифати сите позитивни вредности и бројот нула.

3. Функцијата е парна затоа што не зависи од знакот на аргументот, туку зависи само од неговиот модул.

4. За позитивен аргумент функцијата се зголемува, а за негативен аргумент се намалува.

Графиконите на овие функции личат на парабола. На пример, подолу е график на функцијата y = x 4.

2) Функцијата има непарен експонент: y = x 2 n +1.

1. Доменот на функцијата е целото множество од реални броеви.

2. Опсег на вредности на функцијата - може да има форма на кој било реален број.

3. Оваа функција е чудна.

4. Монотоно се зголемува во текот на целиот интервал на разгледување на функцијата.

5. Графикот на сите функции на моќност со непарен експонент е идентичен со функцијата y = x 3.

3) Функцијата има дури и негативен природен експонент: y = x -2 n.

Сите знаеме дека негативен експонент ни овозможува да го изоставиме степенот од именителот и да го смениме знакот на експонентот, односно ја добиваме формата y = 1/x 2 n.

1. Аргументот на оваа функција може да земе која било вредност освен нула, бидејќи променливата е во именителот.

2. Бидејќи експонентот е парен број, функцијата не може да земе негативни вредности. И бидејќи аргументот не може да биде еднаков на нула, тогаш треба да се исклучи и вредноста на функцијата еднаква на нула. Ова значи дека функцијата може да зема само позитивни вредности.

3. Оваа функција е рамномерна.

4. За негативен аргумент, функцијата се зголемува монотоно, а за позитивен аргумент се намалува.

Тип на график на функцијата y = x -2:

4) Функција со негативен непарен експонент y = x -(2 n +1) .

1. Оваа функција постои за сите вредности на аргументите освен нула.

2. Функцијата ги прифаќа сите реални вредности освен нула.

3. Оваа функција е чудна.

4. Се намалува во текот на двата разгледувани интервали.

Да разгледаме пример на график на функција со негативен непарен експонент користејќи го примерот y = x -3.

На доменот на дефиниција на функцијата моќност y = x p важат следните формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Својства на функциите на моќност и нивните графикони

Функција на моќност со експонент еднаков на нула, p = 0

Ако експонентот на функцијата за моќност y = x p е еднаков на нула, p = 0, тогаш функцијата за моќност е дефинирана за сите x ≠ 0 и е константа еднаква на една:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Функција на моќност со природен непарен експонент, p = n = 1, 3, 5, ...

Размислете за функција на моќност y = x p = x n со природен непарен експонент n = 1, 3, 5, ... . Овој индикатор може да се запише и во форма: n = 2k + 1, каде што k = 0, 1, 2, 3, ... е ненегативен цел број. Подолу се дадени својствата и графиконите на таквите функции.

График на функција на моќност y = x n со природен непарен експонент за различни вредности на експонентот n = 1, 3, 5, ....

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: -∞ < y < ∞
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се зголемува
Екстреми:бр
Конвексен:
на -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на флексија: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
на x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
за n = 1, функцијата е нејзина инверзна: x = y
за n ≠ 1, инверзната функција е коренот на степенот n:

Функција на моќност со природен парен експонент, p = n = 2, 4, 6, ...

Размислете за функција на моќност y = x p = x n со природен парен експонент n = 2, 4, 6, ... . Овој индикатор може да се напише и во форма: n = 2k, каде k = 1, 2, 3, ... - природно. Својствата и графиконите на таквите функции се дадени подолу.

График на функција на моќност y = x n со природен парен експонент за различни вредности на експонентот n = 2, 4, 6, ....

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: 0 ≤ y< ∞
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
за x ≤ 0 монотоно се намалува
за x ≥ 0 монотоно се зголемува
Екстреми:минимум, x = 0, y = 0
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
на x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
за n = 2, квадратен корен:
за n ≠ 2, корен од степен n:

Функција на моќност со негативен цел број експонент, p = n = -1, -2, -3, ...

Размислете за моќна функција y = x p = x n со цел број негативен експонент n = -1, -2, -3, ... . Ако ставиме n = -k, каде што k = 1, 2, 3, ... е природен број, тогаш тој може да се претстави како:

График на функција на моќност y = x n со негативен цел број експонент за различни вредности на експонентот n = -1, -2, -3, ... .

Непарен експонент, n = -1, -3, -5, ...

Подолу се дадени својствата на функцијата y = x n со непарен негативен експонент n = -1, -3, -5, ....

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y ≠ 0
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се намалува
Екстреми:бр
Конвексен:
на x< 0 : выпукла вверх
за x > 0: конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски:бр
Знак:
на x< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
кога n = -1,
на н< -2 ,

Парен експонент, n = -2, -4, -6, ...

Подолу се дадени својствата на функцијата y = x n со парен негативен експонент n = -2, -4, -6, ....

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y > 0
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 : монотонно возрастает
за x > 0: монотоно се намалува
Екстреми:бр
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски:бр
Знак: y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:
на n = -2,
на н< -2 ,

Функција на моќност со рационален (фракционо) експонент

Размислете за моќна функција y = x p со рационален (фракционо) експонент, каде што n е цел број, m > 1 е природен број. Покрај тоа, n, m немаат заеднички делители.

Именителот на фракциониот показател е непарен

Нека е непарен именителот на дробниот показател: m = 3, 5, 7, ... . Во овој случај, функцијата за моќност x p е дефинирана и за позитивните и за негативните вредности на аргументот x. Да ги разгледаме својствата на таквите функции на моќност кога експонентот p е во одредени граници.

P-вредноста е негативна, стр< 0

Нека рационалниот експонент (со непарен именител m = 3, 5, 7, ...) е помал од нула: .

Графикони на функции на моќност со рационален негативен експонент за различни вредности на експонентот, каде што m = 3, 5, 7, ... - непарно.

Непарен броител, n = -1, -3, -5, ...

Ги прикажуваме својствата на функцијата моќност y = x p со рационален негативен експонент, каде што n = -1, -3, -5, ... е непарен негативен цел број, m = 3, 5, 7 ... е непарен природен цел број.

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y ≠ 0
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се намалува
Екстреми:бр
Конвексен:
на x< 0 : выпукла вверх
за x > 0: конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски:бр
Знак:
на x< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:

Парен броител, n = -2, -4, -6, ...

Својства на функцијата моќност y = x p со рационален негативен експонент, каде што n = -2, -4, -6, ... е парен негативен цел број, m = 3, 5, 7 ... е непарен природен цел број .

Домен: x ≠ 0
Повеќе значења: y > 0
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 : монотонно возрастает
за x > 0: монотоно се намалува
Екстреми:бр
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски:бр
Знак: y > 0
Ограничувања:
; ; ;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y (1) = 1 n = 1
Обратна функција:

P-вредноста е позитивна, помала од еден, 0< p < 1

График на функција на моќност со рационален експонент (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Непарен броител, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домен: -∞ < x < +∞
Повеќе значења: -∞ < y < +∞
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се зголемува
Екстреми:бр
Конвексен:
на x< 0 : выпукла вниз
за x > 0: конвексен нагоре
Точки на флексија: x = 0, y = 0
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Знак:
на x< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = -1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Парен броител, n = 2, 4, 6, ...

Презентирани се својствата на функцијата моќност y = x p со рационален експонент во рамките на 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Домен: -∞ < x < +∞
Повеќе значења: 0 ≤ y< +∞
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 : монотонно убывает
за x > 0: монотоно се зголемува
Екстреми:минимум на x = 0, y = 0
Конвексен:конвексен нагоре за x ≠ 0
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Знак:за x ≠ 0, y > 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1, y(-1) = 1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Индексот p е поголем од еден, p > 1

График на функција на моќност со рационален експонент (p > 1) за различни вредности на експонентот, каде m = 3, 5, 7, ... - непарен.

Непарен броител, n = 5, 7, 9, ...

Својства на функцијата моќност y = x p со рационален експонент поголем од еден: . Каде што n = 5, 7, 9, ... - непарно природно, m = 3, 5, 7 ... - непарно природно.

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: -∞ < y < ∞
Паритет:непарен, y(-x) = - y(x)
Монотон:монотоно се зголемува
Екстреми:бр
Конвексен:
на -∞< x < 0 выпукла вверх
на 0< x < ∞ выпукла вниз
Точки на флексија: x = 0, y = 0
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
при x = -1, y(-1) = -1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Парен броител, n = 4, 6, 8, ...

Својства на функцијата моќност y = x p со рационален експонент поголем од еден: . Каде што n = 4, 6, 8, ... - парно природно, m = 3, 5, 7 ... - непарно природно.

Домен: -∞ < x < ∞
Повеќе значења: 0 ≤ y< ∞
Паритет:парен, y(-x) = y(x)
Монотон:
на x< 0 монотонно убывает
за x > 0 монотоно се зголемува
Екстреми:минимум на x = 0, y = 0
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
;
Приватни вредности:
на x = -1, y(-1) = 1
на x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y (1) = 1
Обратна функција:

Именителот на фракциониот индикатор е парен

Нека именителот на дробниот показател е парен: m = 2, 4, 6, ... . Во овој случај, функцијата за моќност x p не е дефинирана за негативните вредности на аргументот. Неговите својства се совпаѓаат со својствата на функцијата на моќност со ирационален експонент (видете го следниот дел).

Функција на моќност со ирационален експонент

Размислете за функција на моќност y = x p со ирационален експонент p. Својствата на таквите функции се разликуваат од оние дискутирани погоре со тоа што тие не се дефинирани за негативните вредности на аргументот x. За позитивните вредности на аргументот, својствата зависат само од вредноста на експонентот p и не зависат од тоа дали p е цел број, рационален или ирационален.

Функција на моќност со негативен експонент стр< 0

Домен: x > 0
Повеќе значења: y > 0
Монотон:монотоно се намалува
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски:бр
Ограничувања: ;
Приватно значење:За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Функција на моќност со позитивен експонент p > 0

Индикатор помал од еден 0< p < 1

Домен: x ≥ 0
Повеќе значења: y ≥ 0
Монотон:монотоно се зголемува
Конвексен:конвексен нагоре
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
Приватни вредности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0.
За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Индикаторот е поголем од еден p > 1

Домен: x ≥ 0
Повеќе значења: y ≥ 0
Монотон:монотоно се зголемува
Конвексен:конвексен надолу
Точки на флексија:бр
Пресечни точки со координатни оски: x = 0, y = 0
Ограничувања:
Приватни вредности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0.
За x = 1, y (1) = 1 p = 1

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендијаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.