Збир на броеви од 1 до 5. Забавна математика: Гаусово правило

Содржина:

Цели броеви се броеви кои не содржат фракционо или децимален дел. Ако задачата бара додавање на одреден број цели броеви од 1 на дадена вредност N, тогаш тие не треба да се додаваат рачно. Наместо тоа, користете ја формулата (N(N+1))/2, каде што N е најголемиот број во серијата.

Чекори

1. 1 Одреди го најголемиот цел број (N).Со собирање на цели броеви од 1 до кој било даден број N, мора да ја одредите вредноста на N (N не може да биде децимален број или дропка или негативен број).
   • Пример. Најдете го збирот на сите цели броеви од 1 до 100. Во овој случај, N=100, бидејќи ова е најголемиот (и конечен) број од нумеричката серија што ви е дадена.
2. 2 Помножете го N со (N + 1) и поделите со 2.Кога ќе ја одредите цел број N, заменете ја со формулата (N(N+1))/2 и ќе го најдете збирот на сите цели броеви од 1 до N.
   • Пример. Заменете N=100 и добијте (100(100+1))/2.
3. 3 Запишете го одговорот.Конечниот одговор е збирот на сите цели броеви од 1 до даденото N.
   • Пример.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • Збирот на сите цели броеви од 1 до 100 е 5050.
4. 4 Изведување на формулата (N(N+1))/2.Повторно разгледајте го горенаведениот пример. Ментално поделете го редот 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два реда - првиот од 1 до 50, а вториот од 51 до 100. Ако го додадете првиот број (1) од првиот редот и последниот број (100 ) од вториот ред, добивате 101. Исто така, добивате 101 ако додадете 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 итн. Ако секој број од првата група се додаде на соодветниот број на втората група, тогаш на крајот добиваме 50 броеви, од кои секоја е еднаква на 101. Затоа, 50 * 101 \u003d 5050 е збир на броеви од 1 до 100. Забележете дека 50 \u003d 100/2 и 101 = 100 + 1. Всушност, ова важи за збирот на сите позитивни цели броеви: нивното собирање може да се подели во две фази со два реда на броеви и соодветните броеви во секој ред може да се додадат еден на друг, а резултатот од додавањето ќе биде ист.
   • Можеме да кажеме дека збирот на цели броеви од 1 до N е (N/2)(N+1). Поедноставена верзија на оваа формула е формулата (N(N+1))/2.

Пресметување на збирот на броеви лоцирани помеѓу два броја, користејќи го збирот од 1 до N

1. 1 Дефинирајте ја опцијата за сумирање (вклучително или не).Често во задачите, наместо да го најдат збирот на броевите од 1 до даден број N, од нив се бара да го најдат збирот на цели броеви од N 1 до N 2, каде што N 2 > N 1 и двата броја > 1. сумата е прилично едноставна, но пред Пред да продолжите со пресметките, мора да одредите дали дадените броеви во N 1 и N 2 се вклучени во конечниот збир или не.
2. 2 За да го пронајдете збирот на цели броеви помеѓу два броја N 1 и N 2 , одделно најдете го збирот до N 1 , одделно најдете го збирот до N 2 и одземете ги еден од друг (одземете го збирот до помалиот N од сумира до поголемото N). Во овој случај, важно е да се знае дали да се сумира инклузивно или не. Кога се собира инклузивно, мора да одземе 1 од дадената вредност N 1 ​​; во спротивно, мора да одземе 1 од дадената вредност N 2 .
   • Пример. Најдете го збирот („вклучително“) на цели броеви од N 1 = 75 до N 2 = 100. Со други зборови, мора да најдеме 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. За да го решиме проблемот, мора да најдеме збирот на цели броеви од 1 до N 1 -1, а потоа одземете го од збирот на броеви од 1 до N 2 (запомнете: кога собираме вклучено, одземаме 1 од N 1):
     • (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1) ((N 1 -1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. Збирот на броеви од 75 до 100 („вклучително“) е 2275.
   • Сега да го најдеме збирот на броевите без да ги вклучиме дадените броеви (со други зборови, треба да најдеме 76 + 77 + ... + 99). Во овој случај, одземаме 1 од N 2:
     • ((N 2 -1) ((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 \u003d 2100. Збирот на броеви од 75 до 100 (без да ги вклучиме овие броеви) е 2100.
3. 3 Разберете го процесот.Замислете го збирот на цели броеви од 1 до 100 како 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 и збирот на цели броеви од 1 до 75 како 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Збирот на цели броеви од 75 до 100 („вклучително“) е пресметката: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Збирот на броевите од 1 до 75 и збирот на броевите од Од 1 до 100 се еднакви на бројот 75, но збирот на броевите од 1 до 100 по бројот 75 продолжува: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Така, одземање на збирот на броеви од Од 1 до 75 од збирот на броеви од 1 до 100, го „изолираме“ збирот на цели броеви од 75 до 100.
   • Ако собираме инклузивно, мора да го користиме збирот од 1 до 74, а не збирот од 1 до 75, за да го вклучиме бројот 75 во конечниот збир.
   • Слично на тоа, ако сумираме без да ги вклучиме овие броеви, мора да го користиме збирот од 1 до 99, а не збирот од 1 до 100, за да го исклучиме бројот 100 од конечниот збир. Можеме да го користиме збирот од 1 до 75, бидејќи со одземање од збирот од 1 до 99 се елиминира бројот 75 од конечниот збир.

• Резултатот од пресметувањето на збирот е секогаш цел број, бидејќи или N или N + 1 е парен број кој е делив со 2 без остаток.
• Износ = Износ - Износ.
• Со други зборови: Збир = n(n+1)/2

Предупредувања

• Иако не е многу тешко да се прошири овој метод на негативни броеви, овој напис ги разгледува само сите позитивни цели броеви N каде N е поголем или еднаков на 1.

помогни ми те молам!! пресметај го збирот на природните броеви од 1+2+3+4+...+97+98+99+100. и го добив најдобриот одговор

Одговор од Александар Хајнонен[гуру]
Извонредниот германски математичар Карл Фридрих Гаус (1777-1855) неговите современици го нарекувале „крал на математиката“.
Уште во раното детство, тој покажа извонредни математички способности. На тригодишна возраст, Гаус веќе ги коригирал сметките на својот татко.
Велат дека во основното училиште во кое учел Гаус (6 години) наставникот за долго време да го окупира часот со самостојна работа, на учениците им дал задача - да го пресметаат збирот на сите природни броеви од 1. до 100. Малиот Гаус одговори на прашањето речиси веднаш, што е неверојатно ги изненади сите, а пред се учителот.
Ајде да се обидеме вербално да го решиме проблемот со наоѓање на збирот на горенаведените броеви. Прво, да го земеме збирот на броеви од 1 до 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Гаус откри дека 1 + 10 = 11, и 2 + 9 = 11, и така натаму. Тој утврдил дека при собирање на природни броеви од 1 до 10 се добиваат 5 такви парови и дека 5 по 11 е еднакво на 55.
Гаус видел дека собирањето на броевите од целата серија треба да се изврши во парови и составил алгоритам за брзо собирање броеви од 1 до 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Потребно е да се изброи бројот на парови на броеви во низата од 1 до 100. Добиваме 50 пара.
2. Додадете го првиот и последниот број од целата низа. Во нашиот случај, ова се 1 и 100. Добиваме 101.
3. Бројот на парови броеви во низата го множиме со износот добиен во став 2. Добиваме 5050.
Така, збирот на природните броеви од 1 до 100 е 5050.
Едноставна формула: збир на броеви од 1 до n = n * (n+1) : 2. Заменете го n со последниот број и пресметајте.
Провери го! Функционира!

Одговор од Јања Фертикова[новороденче]
5050

Одговор од Михаил Медведев[активна]
5050

Одговор од Павел Соломеников[новороденче]
5050

Одговор од Алевтина Башкова[новороденче]
5050

Одговор од Игр Тихомирова[активна]
5050

Одговор од Марија Дубровина[новороденче]
5050

Одговор од Авил Бадиров[новороденче]
5050

Одговор од Дмитриј[активна]
5050

Одговор од Евгениј Сајапов[активна]
5050

Одговор од 2 одговори[гуру]

Циклусот „Забавна математика“ е посветен на децата љубители на математиката и родителите кои посветуваат време на развојот на своите деца, „фрлајќи ги“ со интересни и забавни задачи, загатки.

Првата статија од оваа серија е посветена на правилото на Гаус.

Малку историја

Познатиот германски математичар Карл Фридрих Гаус (1777-1855) се разликувал од своите врсници уште од раното детство. И покрај тоа што бил од сиромашно семејство, тој доста рано научил да чита, пишува и брои. Во неговата биографија дури се споменува дека на возраст од 4-5 години тој можел да ја поправи грешката во неточните пресметки на неговиот татко, едноставно гледајќи го.

Едно од неговите први откритија е направено на 6-годишна возраст на лекција по математика. Наставникот требаше долго да ги плени децата и го предложи следниот проблем:

Најдете го збирот на сите природни броеви од 1 до 100.

Младиот Гаус се справи со оваа задача доста брзо, откако најде интересна шема, која стана широко распространета и сè уште се користи во менталното броење.

Ајде да се обидеме да го решиме овој проблем усно. Но, прво, да ги земеме броевите од 1 до 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Погледнете ја внимателно оваа сума и обидете се да погодите што е невообичаено кај Гаус? За да одговорите, треба добро да го разберете составот на броевите.

Гаус ги групирал броевите на следниов начин:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Така, малиот Карл добил 5 пара броеви, од кои секој поединечно дава вкупно 11. Потоа, за да го пресметате збирот на природните броеви од 1 до 10, треба

Да се ​​вратиме на првобитниот проблем. Гаус забележал дека пред да се соберат, неопходно е да се групираат броевите во парови, а со тоа измислил алгоритам благодарение на кој можете брзо да додавате броеви од 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Најдете го бројот на парови во низа природни броеви. Во овој случај, има 50.

Сумирај ги првиот и последниот број од оваа серија. Во нашиот пример, ова се 1 и 100. Добиваме 101.

Добиената сума на првиот и последниот член на серијата ја множиме со бројот на парови од оваа серија. Добиваме 101 * 50 = 5050

Според тоа, збирот на природните броеви од 1 до 100 е 5050.

Задачи за користење на Гаусовото правило

И сега вашето внимание е покането на проблеми во кои правилото на Гаус се користи до еден или друг степен. Овие загатки се доста способни да ги разбере и реши четвртоодделенец.

Можете да му дадете на детето можност да размислува за себе, така што тој самиот го „измисли“ ова правило. И можете да го расклопите и да видите како може да го искористи. Меѓу задачите подолу има примери во кои треба да разберете како да го измените правилото на Гаус за да го примените на дадена низа.

Во секој случај, за да може детето да работи со ова во неговите пресметки, неопходно е да го разбере Гаусовиот алгоритам, односно способноста правилно да се дели во парови и да брои.

Важно!Ако формулата се запамети без разбирање, тогаш таа многу брзо ќе биде заборавена.

Задача 1

Најдете го збирот на броеви:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Решение.

Отпрвин, можете да му дадете на детето можност самиот да го реши првиот пример и да му понудите да најде начин на кој е лесно да се направи тоа во умот. Следно, анализирајте го овој пример со детето и покажете како Гаус го направил тоа. За јасност, најдобро е да запишете серија и да поврзете парови на броеви со линии што се собираат до истиот број. Важно е детето да разбере како се формираат паровите - ги земаме најмалите и најголемите од преостанатите броеви, под услов бројот на броеви во редот да биде парен.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Задача2

Има 9 тегови со тежина од 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Дали овие тегови можат да се поделат на три купови со еднаква тежина?

Решение.

Користејќи го правилото на Гаус, го наоѓаме збирот на сите тежини:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)

Значи, ако можеме да ги групираме теговите така што секој куп содржи тегови со вкупна тежина од 15 g, тогаш проблемот е решен.

Една од опциите:

• 9 g, 6 g
• 8 g, 7 g
• 5 g, 4g, 3g, 2g, 1g

Најдете други можни опции сами со вашето дете.

Обрнете внимание на детето дека кога ќе се решат ваквите проблеми, подобро е секогаш да започнете со групирање со поголема тежина (бројка).

Задача 3

Дали е можно да се подели часовникот на два дела со права линија така што збировите на броевите во секој дел се еднакви?

Решение.

За почеток, применете го Гаусовото правило на серијата броеви 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: најдете го збирот и видете дали е делив со 2:

Така можете да споделите. Сега да видиме како.

Затоа, неопходно е да се повлече линија на бројчаникот така што 3 пара ќе паднат во едната половина, а три во другата.

Одговор: линијата ќе помине помеѓу броевите 3 и 4, а потоа помеѓу броевите 9 и 10.

Задача4

Дали е можно да се нацртаат две прави линии на часовникот така што збирот на броевите во секој дел е ист?

Решение.

За почеток, го применуваме Гаусовото правило на серијата броеви 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: најдете го збирот и видете дали е делив со 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 е делив со 3 без остаток, па може да се дели. Сега да видиме како.

Според правилото на Гаус, добиваме 6 пара броеви, од кои секој се собира до 13:

1 и 12, 2 и 11, 3 и 10, 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7.

Затоа, неопходно е да се нацртаат линии на бројчаникот така што во секој дел паѓаат 2 пара.

Одговор: првата линија ќе помине помеѓу броевите 2 и 3, а потоа помеѓу броевите 10 и 11; втората линија е помеѓу броевите 4 и 5, а потоа помеѓу 8 и 9.

Задача 5

Јато птици лета. Напред е една птица (водач), потоа две, па три, четири итн. Колку птици има во јатото ако има 20 од нив во последниот ред?

Решение.

Добиваме дека треба да собираме броеви од 1 до 20. А за да пресметаме таков збир, можеме да го примениме правилото на Гаус:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Задача 6

Како да седнат 45 зајаци во 9 кафези, така што сите кафези имаат различен број на зајаци?

Решение.

Ако детето со разбирање решило и ги разбрало примерите од задача 1, тогаш веднаш се запомнува дека 45 е збир на броеви од 1 до 9. Затоа, зајаците ги ставаме вака:

• прва ќелија - 1,
• второ - 2,
• трето - 3,
• осмо - 8,
• деветто - 9.

Но, ако детето не може веднаш да го сфати тоа, тогаш обидете се да му дадете идеја дека таквите проблеми можат да се решат со брутална сила и треба да започнете со минималниот број.

Задача 7

Пресметајте го збирот користејќи го Гаусовиот трик:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Решение.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Задача 8

Има сет од 12 тегови со тежина од 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Од сетот беа отстранети 4 тегови, чија вкупна маса е еднаква на третина од вкупната маса на целиот сет на тегови. Дали преостанатите тегови може да се стават на две тави за рамнотежа, по 4 парчиња на секоја тава, за да бидат во рамнотежа?

Решение.

Го применуваме Гаусовото правило за да ја најдеме вкупната маса на тежините:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)

Ја пресметуваме масата на отстранети тегови:

Затоа, преостанатите тегови (со вкупна маса од 78-26 \u003d 52 g) мора да се постават 26 g на секоја вага за да бидат во рамнотежа.

Не знаеме кои тегови се отстранети, па мораме да ги разгледаме сите можни опции.

Применувајќи го правилото на Гаус, можете да ги поделите теговите на 6 пара со еднаква тежина (по 13 g секој):

1g и 12g, 2g и 11g, 3g и 10, 4g и 9g, 5g и 8g, 6g и 7g.

Тогаш најдобрата опција е кога се вадат 4 тегови, ќе се отстранат два пара од горенаведените. Во овој случај, ќе ни останат 4 пара: 2 пара на едната вага и 2 пара на другата.

Најлош случај е кога 4 отстранети тегови ќе скршат 4 пара. Ќе имаме 2 нераскинати пара со вкупна тежина од 26гр, што значи ги ставаме на една вага, а останатите тегови може да се стават на друга вага и исто така ќе бидат 26гр.

Среќно во развојот на вашите деца.