Директен онлајн калкулатор за равенка. Равенка на права линија која минува низ две дадени точки, примери, решенија

Нека правата минува низ точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Равенката на права линија што минува низ точката М 1 има форма y- y 1 \u003d к (x - x 1), (10,6)

каде к - сеуште непознат коефициент.

Бидејќи правата линија поминува низ точката M 2 (x 2 y 2), тогаш координатите на оваа точка мора да ја задоволат равенката (10.6): y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Од тука наоѓаме Замена на пронајдената вредност к во равенката (10.6), ја добиваме равенката на права линија што минува низ точките M 1 и M 2:

Се претпоставува дека во оваа равенка x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 \u003d x 2, тогаш правата линија што минува низ точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2) е паралелна со y-оската. Нејзината равенка е x = x 1 .

Ако y 2 \u003d y I, тогаш равенката на правата линија може да се запише како y \u003d y 1, правата M 1 M 2 е паралелна со оската x.

Равенка на права линија во отсечки

Нека правата ја пресекува оската Ox во точката M 1 (a; 0), а оската Oy - во точката M 2 (0; b). Равенката ќе ја има формата:
тие.
. Оваа равенка се нарекува равенката на права линија во отсечки, бидејќи Броевите a и b покажуваат кои отсечки ги отсекува правата линија на координатните оски.

Равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор

Да ја најдеме равенката на права линија што минува низ дадена точка Mo (x O; y o) нормална на даден вектор не-нула n = (A; B).

Земете произволна точка M(x; y) на права линија и разгледајте го векторот M 0 M (x - x 0; y - y o) (види слика 1). Бидејќи векторите n и M o M се нормални, нивниот скаларен производ е еднаков на нула: т.е.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Се повикува равенката (10.8). равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор .

Векторот n = (A; B) нормално на правата се нарекува нормален нормален вектор на оваа линија .

Равенката (10.8) може да се преработи како Ах + Ву + С = 0 , (10.9)

каде што A и B се координатите на нормалниот вектор, C \u003d -Ax o - Vu o - слободен член. Равенка (10.9) е општата равенка на права линија(види Сл.2).

Сл.1 Сл.2

Канонски равенки на права линија

Каде
се координатите на точката низ која минува правата и
- вектор на насока.

Криви од втор ред Круг

Круг е множество од сите точки на рамнината еднакво оддалечена од дадена точка, која се нарекува центар.

Канонска равенка на круг со радиус Р центриран на точка
:

Особено, ако центарот на влогот се совпаѓа со потеклото, тогаш равенката ќе изгледа вака:

Елипса

Елипса е збир на точки во рамнина, збир на растојанија од секоја од нив до две дадени точки и , кои се нарекуваат фокуси, е константна вредност
, поголемо од растојанието помеѓу фокусите
.

Канонската равенка на елипса чии фокуси лежат на оската Ox и чие потекло е во средината помеѓу фокусите има форма
Г деа должината на главната полуоска;б е должината на малата полуоска (сл. 2).

Врска помеѓу параметрите на елипсата
и се изразува со односот:

(4)

Елипса ексцентричностнаречен однос на интерфокалното растојание2sдо главната оска2а:

Директорки елипса се нарекуваат прави линии паралелни на y-оската, кои се на растојание од оваа оска. Директни равенки:
.

Ако во равенката на елипсата
, тогаш фокусите на елипсата се на y-оската.

Значи,

Оваа статија ја продолжува темата за равенката на права линија на рамнина: разгледајте таков тип на равенка како општата равенка на права линија. Да дефинираме теорема и да го докажеме нејзиниот доказ; Ајде да откриеме што е нецелосна општа равенка на права линија и како да направиме премини од општа равенка на други видови равенки на права линија. Целата теорија ќе ја консолидираме со илустрации и решавање на практични проблеми.

Нека на рамнината е даден правоаголен координатен систем O x y.

Теорема 1

Секоја равенка од прв степен, со форма A x + B y + C \u003d 0, каде што A, B, C се некои реални броеви (А и Б не се еднакви на нула во исто време) дефинира права линија во правоаголен координатен систем на рамнина. За возврат, која било линија во правоаголен координатен систем на рамнината се одредува со равенка која има форма A x + B y + C = 0 за одредено множество вредности A, B, C.

Доказ

Оваа теорема се состои од две точки, ние ќе ја докажеме секоја од нив.

Да докажеме дека равенката A x + B y + C = 0 дефинира права на рамнината.

Нека има некоја точка M 0 (x 0 , y 0) чии координати одговараат на равенката A x + B y + C = 0 . Така: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Одземете од левата и десната страна на равенките A x + B y + C \u003d 0 левата и десната страна на равенката A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, добиваме нова равенка што изгледа како A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Тоа е еквивалентно на A x + B y + C = 0.

Добиената равенка A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 е неопходен и доволен услов за перпендикуларноста на векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Така, множеството точки M (x, y) дефинира во правоаголен координатен систем права линија нормална на насоката на векторот n → = (A, B) . Можеме да претпоставиме дека тоа не е така, но тогаш векторите n → = (A, B) и M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) нема да бидат нормални, а еднаквоста A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 не би било точно.

Затоа, равенката A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 дефинира некоја линија во правоаголен координатен систем на рамнината, и затоа еквивалентната равенка A x + B y + C \u003d 0 дефинира истата линија. Така го докажавме првиот дел од теоремата.

Да докажеме дека секоја права линија во правоаголен координатен систем на рамнина може да се даде со равенка од прв степен A x + B y + C = 0 .

Да поставиме права линија a во правоаголен координатен систем на рамнината; точка M 0 (x 0 , y 0) низ која минува оваа права, како и нормалниот вектор на оваа права n → = (A , B) .

Нека постои и некоја точка M (x, y) - подвижна точка на правата. Во овој случај, векторите n → = (A , B) и M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) се нормални еден на друг, а нивниот скаларен производ е нула:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Да ја преработиме равенката A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , да дефинираме C: C = - A x 0 - B y 0 и на крајот да ја добиеме равенката A x + B y + C = 0 .

Значи, го докажавме вториот дел од теоремата и ја докажавме целата теорема како целина.

Дефиниција 1

Равенка што изгледа како A x + B y + C = 0 - ова е општа равенка на права линијана рамнина во правоаголен координатен системO x y.

Врз основа на докажаната теорема, можеме да заклучиме дека правата линија дадена на рамнина во фиксен правоаголен координатен систем и неговата општа равенка се нераскинливо поврзани. Со други зборови, оригиналната линија одговара на нејзината општа равенка; општата равенка на права линија одговара на дадена права линија.

Исто така, од доказот на теоремата произлегува дека коефициентите A и B за променливите x и y се координати на нормалниот вектор на правата линија, што е дадено со општата равенка на правата линија A x + B y + C = 0.

Размислете за конкретен пример на општата равенка на права линија.

Нека е дадена равенката 2 x + 3 y - 2 = 0, што одговара на права линија во даден правоаголен координатен систем. Нормалниот вектор на оваа линија е векторот n → = (2, 3). Нацртајте дадена права линија на цртежот.

Може да се тврди и следново: правата линија што ја гледаме на цртежот е одредена со општата равенка 2 x + 3 y - 2 = 0, бидејќи координатите на сите точки на дадена права линија одговараат на оваа равенка.

Можеме да ја добиеме равенката λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 со множење на двете страни на општата равенка на права линија со ненула број λ. Добиената равенка е еквивалентна на оригиналната општа равенка, затоа, ќе ја опише истата линија во рамнината.

Дефиниција 2

Комплетна општа равенка на права линија- таква општа равенка на линијата A x + B y + C \u003d 0, во која броевите A, B, C се не-нула. Инаку, равенката е нецелосни.

Да ги анализираме сите варијации на нецелосната општа равенка на правата линија.

Кога A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, општата равенка станува B y + C \u003d 0. Таквата нецелосна општа равенка дефинира права линија во правоаголен координатен систем O x y која е паралелна со оската O x, бидејќи за која било реална вредност на x, променливата y ќе ја земе вредноста - Ц Б. Со други зборови, општата равенка на правата A x + B y + C \u003d 0, кога A \u003d 0, B ≠ 0, го дефинира локусот на точките (x, y) чии координати се еднакви на ист број - Ц Б.
Ако A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, општата равенка станува y \u003d 0. Ваквата нецелосна равенка ја дефинира x-оската O x.
Кога A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, добиваме нецелосна општа равенка A x + C \u003d 0, дефинирајќи права линија паралелна на y-оската.
Нека A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, тогаш нецелосната општа равенка ќе ја има формата x \u003d 0, а ова е равенката на координатната линија O y.
Конечно, кога A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, нецелосната општа равенка ја зема формата A x + B y \u003d 0. И оваа равенка опишува права линија што минува низ потеклото. Навистина, парот броеви (0 , 0) одговара на еднаквоста A x + B y = 0 , бидејќи A · 0 + B · 0 = 0 .

Дозволете ни графички да ги илустрираме сите горенаведени типови на нецелосната општа равенка на права линија.

Пример 1

Познато е дека дадената права е паралелна со y-оската и минува низ точката 2 7 , - 11 . Потребно е да се запише општата равенка на дадена права линија.

Решение

Права линија паралелна на y-оската е дадена со равенка од формата A x + C \u003d 0, во која A ≠ 0. Условот ги одредува и координатите на точката низ која минува правата, а координатите на оваа точка одговараат на условите на нецелосната општа равенка A x + C = 0 , т.е. еднаквоста е точна:

A 2 7 + C = 0

Можно е да се одреди C од него со тоа што на А ќе му се даде некоја ненулта вредност, на пример, A = 7 . Во овој случај, добиваме: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Ги знаеме двата коефициенти A и C, ги заменуваме во равенката A x + C = 0 и ја добиваме потребната равенка на правата: 7 x - 2 = 0

Одговор: 7 x - 2 = 0

Пример 2

Цртежот покажува права линија, неопходно е да се запише нејзината равенка.

Решение

Дадениот цртеж ни овозможува лесно да ги земеме почетните податоци за решавање на проблемот. На цртежот гледаме дека дадената права е паралелна со оската O x и минува низ точката (0, 3).

Правата линија, која е паралелна со апсцисата, се одредува со нецелосната општа равенка B y + С = 0. Најдете ги вредностите на B и C. Координатите на точката (0, 3), бидејќи низ неа минува дадената права, ќе ја задоволат равенката на правата B y + С = 0, тогаш важи еднаквоста: В · 3 + С = 0. Да го поставиме B на некоја друга вредност освен нула. Да речеме B \u003d 1, во овој случај, од еднаквоста B · 3 + C \u003d 0 можеме да најдеме C: C \u003d - 3. Користејќи ги познатите вредности на B и C, ја добиваме потребната равенка на права линија: y - 3 = 0.

Одговор: y - 3 = 0 .

Општа равенка на права линија што минува низ дадена точка на рамнината

Нека дадената права поминува низ точката M 0 (x 0, y 0), тогаш нејзините координати одговараат на општата равенка на правата, т.е. еднаквоста е точно: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Одземете ја левата и десната страна на оваа равенка од левата и десната страна на општата целосна равенка на правата линија. Добиваме: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, оваа равенка е еквивалентна на првобитната општа, поминува низ точката M 0 (x 0, y 0) и има нормален вектор n → \u003d (A, B) .

Резултатот што го добивме овозможува да се напише општата равенка на права линија за познати координати на нормалниот вектор на права линија и координатите на одредена точка од оваа права линија.

Пример 3

Дадена е точка M 0 (- 3, 4) низ која минува правата и нормалниот вектор на оваа права n → = (1 , - 2) . Потребно е да се запише равенката на дадена права линија.

Решение

Почетните услови ни овозможуваат да ги добиеме потребните податоци за составување на равенката: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Потоа:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Проблемот можеше да се реши поинаку. Општата равенка на права линија има форма A x + B y + C = 0 . Дадениот нормален вектор ви овозможува да ги добиете вредностите на коефициентите А и Б, потоа:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Сега да ја најдеме вредноста на C, користејќи ја точката M 0 (- 3, 4) дадена од состојбата на задачата низ која минува правата. Координатите на оваа точка одговараат на равенката x - 2 · y + C = 0 , т.е. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Оттука C = 11. Потребната правилна равенка има форма: x - 2 · y + 11 = 0 .

Одговор: x - 2 y + 11 = 0 .

Пример 4

Дадена е права 2 3 x - y - 1 2 = 0 и точка M 0 што лежи на оваа права. Позната е само апсцисата на оваа точка и таа е еднаква на - 3. Потребно е да се одреди ординатата на дадената точка.

Решение

Да го поставиме означувањето на координатите на точката M 0 како x 0 и y 0 . Првичните податоци покажуваат дека x 0 \u003d - 3. Бидејќи точката припаѓа на дадена права, тогаш нејзините координати одговараат на општата равенка на оваа права. Тогаш следнава еднаквост ќе биде вистинита:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Дефинирајте y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Одговор: - 5 2

Премин од општата равенка на права линија на други видови равенки на права линија и обратно

Како што знаеме, постојат неколку видови на равенка на иста права линија во рамнината. Изборот на типот на равенката зависи од условите на проблемот; можно е да се избере оној кој е попогоден за неговото решение. Ова е местото каде што вештината за претворање на равенка од еден вид во равенка од друг вид доаѓа многу корисна.

Прво, разгледајте го преминот од општата равенка на формата A x + B y + C = 0 до канонската равенка x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Ако A ≠ 0, тогаш го пренесуваме поимот B y на десната страна од општата равенка. На левата страна го вадиме А од загради. Како резултат на тоа, добиваме: A x + C A = - B y .

Оваа еднаквост може да се запише како пропорција: x + C A - B = y A .

Ако B ≠ 0, го оставаме само поимот A x на левата страна од општата равенка, ги пренесуваме другите на десната страна, добиваме: A x \u003d - B y - C. Извадуваме - B од загради, потоа: A x \u003d - B y + C B.

Ајде да ја преработиме еднаквоста како пропорција: x - B = y + C B A .

Се разбира, нема потреба да ги меморирате добиените формули. Доволно е да се знае алгоритмот на дејства при преминот од општата равенка во канонската.

Пример 5

Дадена е општата равенка на правата 3 y - 4 = 0. Треба да се претвори во канонска равенка.

Решение

Оригиналната равенка ја пишуваме како 3 y - 4 = 0 . Следно, дејствуваме според алгоритмот: терминот 0 x останува на левата страна; а од десната страна вадиме - 3 од загради; добиваме: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Добиената еднаквост да ја запишеме како пропорција: x - 3 = y - 4 3 0 . Така, добивме равенка на канонската форма.

Одговор: x - 3 = y - 4 3 0.

За да се трансформира општата равенка на права линија во параметарски, прво се врши преминот кон канонската форма, а потоа преминот од канонската равенка на права линија во параметарски равенки.

Пример 6

Правата линија е дадена со равенката 2 x - 5 y - 1 = 0 . Запишете ги параметарските равенки на оваа линија.

Решение

Да го направиме преминот од општата равенка во канонската:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Сега да ги земеме двата дела од добиената канонска равенка еднаква на λ, тогаш:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Одговор:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Општата равенка може да се претвори во праволиниска равенка со наклон y = k x + b, но само кога B ≠ 0. За преминот на левата страна, го оставаме терминот B y, останатите се пренесуваат надесно. Добиваме: B y = - A x - C . Да ги поделиме двата дела од добиената еднаквост со B , што е различно од нула: y = - A B x - C B .

Пример 7

Дадена е општата равенка на права линија: 2 x + 7 y = 0 . Треба да ја претворите таа равенка во равенка на наклон.

Решение

Ајде да ги извршиме потребните дејства според алгоритмот:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Одговор: y = - 2 7 x.

Од општата равенка на права линија, доволно е едноставно да се добие равенка во отсечки од формата x a + y b \u003d 1. За да направиме таква транзиција, го пренесуваме бројот C на десната страна на еднаквоста, ги делиме двата дела од добиената еднаквост со - С и, конечно, ги пренесуваме коефициентите за променливите x и y на именителот:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Пример 8

Потребно е да се претвори општата равенка на права линија x - 7 y + 1 2 = 0 во равенка на права линија во отсечки.

Решение

Да се поместиме 1 2 на десната страна: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Поделете со -1/2 двете страни на равенката: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Одговор: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Општо земено, и обратната транзиција е исто така лесна: од други видови равенки кон општата.

Равенката на права линија во отсечки и равенката со наклон лесно може да се претворат во општа со едноставно собирање на сите поими од левата страна на равенката:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Канонската равенка се претвора во општата според следнава шема:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

За да се помине од параметарот, прво се врши преминот кон канонскиот, а потоа кон општото:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 9

Дадени се параметарските равенки на правата x = - 1 + 2 · λ y = 4. Неопходно е да се запише општата равенка на оваа линија.

Решение

Да го направиме преминот од параметарски равенки во канонски:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Да преминеме од канонско на општо:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Одговор: y - 4 = 0

Пример 10

Дадена е равенката на права линија во отсечки x 3 + y 1 2 = 1. Неопходно е да се изврши преминот кон општата форма на равенката.

Решение:

Ајде само да ја преработиме равенката во потребната форма:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Одговор: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Изработка на општа равенка на права линија

Погоре кажавме дека општата равенка може да се запише со познати координати на нормалниот вектор и координатите на точката низ која минува правата. Таквата права линија е дефинирана со равенката A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . На истото место го анализиравме соодветниот пример.

Сега да погледнеме посложени примери во кои, прво, е неопходно да се одредат координатите на нормалниот вектор.

Пример 11

Дадена е права паралелна на правата 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Позната е и точката M 0 (4 , 1) низ која минува дадената права. Потребно е да се запише равенката на дадена права линија.

Решение

Почетните услови ни кажуваат дека правите се паралелни, додека, како нормален вектор на правата чија равенка треба да се запише, го земаме насочувачкиот вектор на правата n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. Сега ги знаеме сите потребни податоци за составување на општата равенка на права линија:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Одговор: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Пример 12

Дадената права минува низ потеклото нормално на правата x - 2 3 = y + 4 5 . Потребно е да се напише општата равенка на дадена права линија.

Решение

Нормалниот вектор на дадената права ќе биде насочен вектор на правата x - 2 3 = y + 4 5 .

Потоа n → = (3 , 5) . Правата линија минува низ потеклото, т.е. низ точката О (0, 0) . Да ја составиме општата равенка на дадена права линија:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Одговори: 3 x + 5 y = 0 .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Оваа статија доби равенка на права што минува низ две дадени точкиво правоаголен Декартов координатен систем на рамнината, како и равенките на права линија што минува низ две дадени точки во правоаголен координатен систем во тридимензионален простор. По излагањето на теоријата, прикажани се решенија на типични примери и проблеми во кои се бара да се состават равенки на права линија од различни типови, кога се познати координатите на две точки од оваа права линија.

Навигација на страница.

Равенка на права линија што минува низ две дадени точки на рамнина.

Пред да ја добиеме равенката на права линија што минува низ две дадени точки во правоаголен координатен систем на рамнина, да се потсетиме на некои факти.

Една од аксиомите на геометријата вели дека преку две несовпаѓачки точки на рамнина, може да се повлече една права линија. Со други зборови, со одредување на две точки на рамнината, ние единствено ја одредуваме правата линија што минува низ овие две точки (доколку е потребно, погледнете го делот како да наведете права линија на рамнината).

Окси нека биде фиксиран во авионот. Во овој координатен систем, секоја права линија одговара на некоја равенка на права линија на рамнина. Векторот на насоката на правата е нераскинливо поврзан со истата права. Ова знаење е сосема доволно за да се состави равенката на права линија што минува низ две дадени точки.

Да го формулираме условот на задачата: состави ја равенката на правата a , која во правоаголниот Декартов координатен систем Oxy поминува низ две неусогласени точки и .

Дозволете ни да го покажеме наједноставното и најуниверзалното решение за овој проблем.

Знаеме дека канонската равенка на права во рамнината на формата дефинира права линија во правоаголниот координатен систем Oxy што минува низ точката и има вектор на насока .

Да ја запишеме канонската равенка на правата а која минува низ две дадени точки и .

Очигледно, насочувачкиот вектор на правата а, која минува низ точките М 1 и М 2, е вектор, има координати (ако е потребно, видете ја статијата). Така, ги имаме сите потребни податоци за да ја запишеме канонската равенка на права линија a - координатите на нејзиниот вектор на насока и координатите на точката што лежи на неа (и ). Изгледа како (или ).

Можеме да ги напишеме и параметарските равенки на права линија на рамнина што минува низ две точки и . Тие изгледаат како или .

Ајде да погледнеме пример решение.

Пример.

Напишете ја равенката за права што минува низ две дадени точки. .

Решение.

Дознавме дека канонската равенка на права линија што минува низ две точки со координати и има форма .

Од состојбата на проблемот што го имаме . Заменете ги овие податоци во равенката . Добиваме .

Одговор:

Ако не ни треба канонска равенка на права линија и не параметарски равенки на права линија што минува низ две дадени точки, туку равенка на права линија од различен вид, тогаш од канонската равенка на права линија секогаш може да се дојде на тоа.

Пример.

Состави ја општата равенка на правата линија, која во правоаголниот координатен систем Oxy на рамнината минува низ две точки и.

Решение.

Прво, ја пишуваме канонската равенка на права линија што минува низ две дадени точки. Изгледа како. Сега ја доведуваме добиената равенка во потребната форма: .

Одговор:

На ова, можете да завршите со равенката на права линија што минува низ две дадени точки во правоаголен координатен систем на рамнина. Но, би сакал да ве потсетам како решивме таков проблем во средно училиште на часовите по алгебра.

На училиште ја знаевме само равенката на права линија со наклон на формата. Да ја најдеме вредноста на коефициентот на наклон k и бројот b , при што равенката дефинира во правоаголниот координатен систем Oxy на рамнината права линија што минува низ точките и во . (Ако x 1 \u003d x 2, тогаш наклонот на правата линија е бесконечен, а правата линија M 1 M 2 ја одредува општата нецелосна равенка на права линија од формата x-x 1 \u003d 0).

Бидејќи точките M 1 и M 2 лежат на права линија, координатите на овие точки ја задоволуваат равенката на права линија, односно равенките и важат. Решавање на систем од равенки на формата во однос на непознатите променливи k и b, наоѓаме или . За овие вредности на k и b, равенката на права линија што минува низ две точки и добива форма или .

Запомнувањето на овие формули нема смисла, кога се решаваат примери, полесно е да се повторат наведените дејства.

Пример.

Напишете ја равенката на права линија со наклон ако оваа права минува низ точките и .

Решение.

Во општ случај, равенката на права линија со наклон има форма . Најдете ги k и b за кои равенката одговара на права линија што минува низ две точки и .

Бидејќи точките M 1 и M 2 лежат на права линија, тогаш нивните координати ја задоволуваат равенката на права линија, односно еднаквостите се вистинити и . Вредностите на k и b се наоѓаат како решение на системот на равенки (погледнете ја статијата доколку е потребно):

Останува да се заменат пронајдените вредности и во равенката. Така, саканата равенка на права линија што минува низ две точки и има форма .

Колосална работа, нели?

Многу е полесно да се напише канонската равенка на права линија што минува низ две точки и има форма , и од него оди на равенката на права линија со наклон: .

Одговор:

Равенки на права линија што минува низ две дадени точки во тродимензионален простор.

Нека правоаголен координатен систем Oxyz е фиксиран во тродимензионален простор и да се дадат две неусогласени точки и низ кој минува правата М 1 М 2. Ги добиваме равенките на оваа линија.

Знаеме дека канонските равенки на права во просторот на формата и параметарски равенки на права линија во просторот на формата дефинирајте права линија во правоаголниот координатен систем Oxyz што минува низ точката со координати и има вектор на насока .

Упатувачкиот вектор на правата M 1 M 2 е векторот , и оваа права минува низ точката (и ), тогаш канонските равенки од оваа линија имаат форма (или ), и параметарските равенки - (или ).

Ако треба да поставите права линија M 1 M 2 користејќи ги равенките на две рамнини што се сечат, тогаш прво треба да ги составите канонските равенки на права линија што минува низ две точки и , и од овие равенки да се добијат саканите равенки на рамнините.

Библиографија.

Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позњак Е.Г., Јудина И.И. Геометрија. Одделение 7 - 9: учебник за образовни институции.
Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позњак Е.Г. Геометрија. Учебник за 10-11 одд од гимназијата.
Погорелов А.В., Геометрија. Учебник за 7-11 одделение на образовните институции.
Бугров Ја.С., Николски С.М. Виша математика. Том прв: Елементи на линеарна алгебра и аналитичка геометрија.
Илин В.А., Позњак Е.Г. Аналитичка геометрија.

Својства на права линија во Евклидовата геометрија.

Има бескрајно многу линии кои можат да се повлечат низ која било точка.

Низ кои било две точки кои не се совпаѓаат, има само една права линија.

Две несовпаѓачки линии во рамнината или се сечат во една точка, или се

паралелно (следи од претходниот).

Во тридимензионалниот простор, постојат три опции за релативна положба на две линии:

линиите се сечат;

прави линии се паралелни;

права линии се сечат.

Директно линија- алгебарска крива од прв ред: во Декартовиот координатен систем, права линија

се дава на рамнината со равенка од прв степен (линеарна равенка).

Општа равенка на права линија.

Дефиниција. Секоја линија во рамнината може да се даде со равенка од прв ред

Ах + Ву + С = 0,

и постојана А, Бне е еднакво на нула во исто време. Оваа равенка од прв ред се нарекува општо

права линија равенка.Во зависност од вредностите на константите А, Би ОДСледниве посебни случаи се можни:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- линијата минува низ потеклото

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Со + C = 0)- права линија паралелна на оската О

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- права линија паралелна на оската ОУ

. B = C = 0, A ≠ 0- линијата се совпаѓа со оската ОУ

. A = C = 0, B ≠ 0- линијата се совпаѓа со оската О

Равенката на права линија може да биде претставена во различни форми во зависност од даденото

почетни услови.

Равенка на права линија по точка и нормален вектор.

Дефиниција. Во Декартов правоаголен координатен систем, вектор со компоненти (А, Б)

нормално на правата дадена со равенката

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точка A(1, 2)нормално на векторот (3, -1).

Решение. Ајде да ја составиме на A \u003d 3 и B \u003d -1 равенката на права линија: 3x - y + C \u003d 0. Да го најдеме коефициентот C

ги заменуваме координатите на дадената точка А во добиениот израз Добиваме: 3 - 2 + C = 0, значи

C = -1. Вкупно: саканата равенка: 3x - y - 1 \u003d 0.

Равенка на права линија што минува низ две точки.

Нека се дадени две точки во просторот M 1 (x 1 , y 1 , z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2),тогаш права линија равенка,

поминувајќи низ овие точки:

Ако некој од именителот е еднаков на нула, соодветниот броител треба да се постави еднаков на нула. На

рамнина, равенката на права линија напишана погоре е поедноставена:

ако x 1 ≠ x 2и x = x 1, ако x 1 = x 2 .

Дропка = kповикани фактор на наклон директно.

Пример. Најдете ја равенката на права линија што минува низ точките A(1, 2) и B(3, 4).

Решение. Применувајќи ја горната формула, добиваме:

Равенка на права линија по точка и наклон.

Ако општата равенка на права линија Ах + Ву + С = 0донесе во форма:

и назначи , тогаш се нарекува добиената равенка

равенка на права линија со наклон k.

Равенката на права линија на точка и насочувачки вектор.

По аналогија со точката што ја разгледува равенката на права линија низ нормалниот вектор, можете да ја внесете задачата

права линија низ точка и вектор на насока на права линија.

Дефиниција. Секој вектор без нула (α 1 , α 2), чии компоненти ја задоволуваат состојбата

Aα 1 + Bα 2 = 0повикани вектор на насока на права линија.

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Најдете ја равенката на права линија со вектор на насока (1, -1) и минува низ точката A(1, 2).

Решение. Равенката на саканата права линија ќе ја бараме во форма: Ax + By + C = 0.Според дефиницијата,

коефициентите мора да ги задоволуваат условите:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.

на x=1, y=2добиваме C/A = -3, т.е. саканата равенка:

x + y - 3 = 0

Равенка на права линија во отсечки.

Ако во општата равенка на права линија Ah + Wu + C = 0 C≠0, тогаш, делејќи се со -C, добиваме:

или , каде

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот a е координата на пресечната точка

директно со оска О,а б- координатата на точката на пресек на правата со оската ОУ.

Пример. Дадена е општата равенка на права линија x - y + 1 = 0.Најдете ја равенката на оваа права линија во отсечки.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Нормална равенка на права линија.

Ако двете страни на равенката Ах + Ву + С = 0подели со број , кој се нарекува

нормализирачки фактор, тогаш добиваме

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормална равенка на права линија.

Знакот ± на нормализирачкиот фактор мора да биде избран така што μ * В< 0.

Р- должината на нормалната паднала од потеклото до правата,

а φ - аголот формиран од оваа нормална со позитивната насока на оската О.

Пример. Дадена е општата равенка на права линија 12x - 5y - 65 = 0. Потребно е за пишување различни видови равенки

оваа права линија.

Равенката на оваа права линија во отсечки:

Равенката на оваа линија со наклон: (поделете со 5)

Равенка на права линија:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Треба да се забележи дека не секоја права линија може да биде претставена со равенка во отсечки, на пример, прави линии,

паралелно со оските или минува низ потеклото.

Агол помеѓу линиите на рамнина.

Дефиниција. Ако се дадени два реда y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, потоа акутниот агол помеѓу овие линии

ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 = k 2. Две прави се нормални

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директно Ах + Ву + С = 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0се паралелни кога коефициентите се пропорционални

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ако исто така С 1 \u003d λС, тогаш линиите се совпаѓаат. Координати на точката на пресек на две прави

се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.

Равенката на права што минува низ дадена точка е нормална на дадена права.

Дефиниција. Права што минува низ точка M 1 (x 1, y 1)и нормално на правата y = kx + b

претставено со равенката:

Растојанието од точка до права.

Теорема. Ако се даде поен M(x 0, y 0),потоа растојанието до линијата Ах + Ву + С = 0дефинирано како:

Доказ. Нека поентата M 1 (x 1, y 1)- основата на нормалната падна од точката Мза дадено

директно. Потоа растојанието помеѓу точките Ми М 1:

(1)

Координати x 1и 1може да се најде како решение за системот на равенки:

Втората равенка на системот е равенката на права линија што минува низ дадена точка M 0 нормално

дадена линија. Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Со 0 + C = 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенката (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Оваа статија ја открива изведбата на равенката на права линија што минува низ две дадени точки во правоаголен координатен систем лоциран на рамнина. Ја изведуваме равенката на права линија што минува низ две дадени точки во правоаголен координатен систем. Визуелно ќе прикажеме и решиме неколку примери поврзани со опфатениот материјал.

Пред да се добие равенката на права линија што минува низ две дадени точки, потребно е да се обрне внимание на некои факти. Постои една аксиома која вели дека преку две неслучајни точки на рамнина е можно да се повлече права линија и само една. Со други зборови, две дадени точки на рамнината се одредуваат со права линија што минува низ овие точки.

Ако рамнината е дадена со правоаголниот координатен систем Oxy, тогаш секоја права линија прикажана во неа ќе одговара на равенката на правата линија на рамнината. Има врска и со насочувачкиот вектор на правата линија.Овие податоци се доволни за да се изготви равенката на права што минува низ две дадени точки.

Размислете за пример за решавање на сличен проблем. Неопходно е да се состави равенката на права линија a која поминува низ две неусогласени точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) лоцирани во Декартовиот координатен систем.

Во канонската равенка на права линија на рамнина, со форма x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, правоаголен координатен систем O x y е наведен со права линија што се вкрстува со неа во точка со координати М 1 (x 1, y 1) со водечки вектор a → = (a x , a y) .

Потребно е да се состави канонската равенка на правата a, која ќе помине низ две точки со координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) .

Правата а има насочен вектор M 1 M 2 → со координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), бидејќи ги пресекува точките M 1 и M 2. Ги добивме потребните податоци за да ја трансформираме канонската равенка со координатите на векторот на насока M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1 што лежат на нив (x 1, y 1) и M 2 (x 2 , y 2) . Добиваме равенка од формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Размислете за сликата подолу.

Следејќи ги пресметките, ги запишуваме параметарските равенки на права линија во рамнина што минува низ две точки со координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) . Добиваме равенка од формата x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ или x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Да разгледаме подетално неколку примери.

Пример 1

Напишете ја равенката на права линија што минува низ 2 дадени точки со координати M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Решение

Канонската равенка за права линија што се вкрстува во две точки со координати x 1 , y 1 и x 2 , y 2 има форма x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Според состојбата на проблемот, имаме дека x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Неопходно е да се заменат нумеричките вредности во равенката x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Од тука добиваме дека канонската равенка ќе има форма x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Одговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ако е неопходно да се реши проблем со различен тип равенка, тогаш за почеток можете да отидете на канонската, бидејќи е полесно да се дојде до кој било друг од него.

Пример 2

Составете ја општата равенка на права линија што минува низ точки со координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) во координатен систем O x y.

Решение

Прво треба да ја запишете канонската равенка на дадена права што минува низ дадените две точки. Добиваме равенка од формата x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Ја доведуваме канонската равенка до саканата форма, а потоа добиваме:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Одговор: x - 3 y + 2 = 0 .

Примери за такви задачи се разгледуваа во училишните учебници на часовите по алгебра. Училишните задачи се разликуваа по тоа што беше позната равенката на права линија со коефициент на наклон, со форма y \u003d k x + b. Ако треба да ја пронајдете вредноста на наклонот k и бројот b, на кој равенката y \u003d k x + b дефинира линија во системот O x y што поминува низ точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) , каде што x 1 ≠ x 2 . Кога x 1 = x 2 , тогаш наклонот ја зема вредноста на бесконечноста, а правата линија M 1 M 2 се дефинира со општа нецелосна равенка од формата x - x 1 = 0 .

Бидејќи точките М 1и М 2се на права линија, тогаш нивните координати ја задоволуваат равенката y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Потребно е да се реши системот на равенки y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b во однос на k и b.

За да го направите ова, наоѓаме k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Со такви вредности на k и b, равенката на права линија што минува низ дадени две точки ја добива следната форма y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Меморирањето на толку огромен број формули одеднаш нема да работи. За да го направите ова, неопходно е да се зголеми бројот на повторувања во решавањето на проблемите.

Пример 3

Напишете ја равенката на права линија со наклон што минува низ точки со координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.

Решение

За да го решиме проблемот, користиме формула со наклон што има форма y \u003d k x + b. Коефициентите k и b мора да имаат таква вредност што оваа равенка одговара на права линија што минува низ две точки со координати M 1 (- 7 , - 5) и M 2 (2 , 1) .

поени М 1и М 2лоцирани на права линија, тогаш нивните координати треба да ја инвертираат равенката y = k x + b правилната еднаквост. Од тука добиваме дека - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b. Ајде да ја споиме равенката во системот - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и да решиме.

По замена, го добиваме тоа

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Сега вредностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заменети во равенката y = k x + b. Добиваме дека саканата равенка која минува низ дадените точки ќе биде равенка која има форма y = 2 3 x - 1 3 .

Овој начин на решавање предодредува трошење на големо време. Постои начин на кој задачата се решава буквално во два чекори.

Ја пишуваме канонската равенка на права линија што минува низ M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5) , со форма x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Сега да преминеме на равенката на наклонот. Добиваме дека: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Одговор: y = 2 3 x - 1 3 .

Ако во тродимензионалниот простор постои правоаголен координатен систем O x y z со две дадени точки кои не се совпаѓаат со координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), права линија М поминува низ нив 1 М 2, потребно е да се добие равенката на оваа права.

Имаме дека канонски равенки од формата x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметарски равенки од формата x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ се способни да постават права во координатниот систем O x y z што минува низ точки со координати (x 1, y 1, z 1) со насочен вектор a → = (a x, a y, a z) .

Директно М 1 М 2 има вектор на насока од формата M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , каде што правата минува низ точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), па оттука канонската равенка може да биде од формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, пак, параметарски x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Размислете за слика која покажува 2 дадени точки во просторот и равенката на права линија.

Пример 4

Напиши ја равенката на права линија дефинирана во правоаголен координатен систем O x y z од тридимензионален простор, кој минува низ дадените две точки со координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5). ) .

Решение

Треба да ја најдеме канонската равенка. Бидејќи зборуваме за тродимензионален простор, тоа значи дека кога права линија минува низ дадени точки, саканата канонска равенка ќе ја добие формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

По услов, имаме дека x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Следи дека потребните равенки можат да се напишат на следниов начин:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Одговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter