Запишете ја дефиницијата за лимит. Граници во математиката за кукли: објаснување, теорија, примери на решенија

(x)во точката x 0 :
,
Ако
1) има такво пробиено соседство на точката x 0
2) за која било низа (xn), конвергирање на x 0 :
, чии елементи припаѓаат на соседството,
последователна секвенца (f(xn))конвергира на:
.

Еве x 0 а a може да биде или конечни броеви или точки на бесконечност. Соседството може да биде или двострано или еднострано.

.

Втора дефиниција на границата на функцијата (според Коши)

Бројот a се нарекува граница на функцијата f (x)во точката x 0 :
,
Ако
1) има такво пробиено соседство на точката x 0 , на која е дефинирана функцијата;
2) за кој било позитивен број ε > 0 има таков број δ ε > 0 , во зависност од ε, дека за сите x кои припаѓаат на пробиената δ ε - соседството на точката x 0 :
,
функционални вредности ѓ (x)припаѓаат на ε-соседството на точка а:
.

Поени x 0 а a може да биде или конечни броеви или точки на бесконечност. Соседството исто така може да биде или двострано или еднострано.

Да ја напишеме оваа дефиниција користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност:
.

Оваа дефиниција користи населби со еднакво оддалечени краеви. Може да се даде еквивалентна дефиниција користејќи произволни соседства на точки.

Дефиниција користејќи произволни населби
Бројот a се нарекува граница на функцијата f (x)во точката x 0 :
,
Ако
1) има такво пробиено соседство на точката x 0 , на која е дефинирана функцијата;
2) за секое маало У (а)од точката а постои такво пробиено соседство на точката x 0 дека за сите x кои припаѓаат на пробиеното соседство на точката x 0 :
,
функционални вредности ѓ (x)припаѓаат на населбата У (а)точки а:
.

Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, оваа дефиниција може да се напише на следниов начин:
.

Еднострани и двострани граници

Горенаведените дефиниции се универзални во смисла дека можат да се користат за секаков вид на соседство. Ако користиме како лево дупнато соседство на крајната точка, ја добиваме дефиницијата за левострана граница. Ако го користиме соседството на точка во бесконечност како соседство, ја добиваме дефиницијата на границата во бесконечност.

За да се одреди границата на Хајне, ова се сведува на фактот дека дополнително ограничување е наметнато на произволна низа што се конвергира во: нејзините елементи мора да припаѓаат на соодветното пробиено соседство на точката.

За да се одреди границата на Коши, во секој случај потребно е да се трансформираат изразите и во неравенки, користејќи соодветни дефиниции за соседството на точка.
Видете „Соседство на точка“.

Утврдувањето на таа точка a не е граница на функцијата

Често станува неопходно да се користи условот дека точката a не е граница на функцијата во . Дозволете ни да конструираме негации на горенаведените дефиниции. Во нив претпоставуваме дека функцијата f (x)е дефинирано на некое пробиено соседство на точката x 0 . Точките a и x 0 може да биде или конечни броеви или бесконечно далечни. Сè што е наведено подолу се однесува и на билатералните и на едностраните граници.

Според Хајне.
Број а не еграница на функцијата f (x)во точката x 0 : ,
доколку постои таква низа (xn), конвергирање на x 0 :
,
чии елементи припаѓаат на соседството,
која е низата (f(xn))не конвергира на:
.
.

Според Коши.
Број а не еграница на функцијата f (x)во точката x 0 :
,
ако има таков позитивен број ε > 0 , па за секој позитивен број δ > 0 , постои x што припаѓа на пробиеното δ-соседство на точката x 0 :
,
дека вредноста на функцијата f (x)не припаѓа на ε-соседството на точка а:
.
.

Се разбира, ако точката a не е граница на функцијата во , тоа не значи дека таа не може да има граница. Може да има граница, но не е еднаква на a. Исто така, можно е функцијата да е дефинирана во пробиено соседство на точката, но да нема ограничување во.

Функција f(x) = грев (1/x)нема ограничување како x → 0.

На пример, функцијата е дефинирана на , но нема ограничување. За да го докажеме тоа, да ја земеме низата. Се спојува до точка 0 : . Затоа што тогаш.
Да ја земеме низата. Исто така, конвергира до точка 0 : . Но, од тогаш.
Тогаш границата не може да биде еднаква на кој било број a. Навистина, за , постои низа со која . Затоа, кој било број што не е нула не е ограничување. Но, тоа исто така не е граница, бидејќи постои низа со која .

Еквивалентност на дефинициите Хајне и Коши на границата

Теорема
Дефинициите Хајне и Коши за границата на функцијата се еквивалентни.

Доказ

Во доказот, претпоставуваме дека функцијата е дефинирана во некое пробиено соседство на точка (конечно или во бесконечност). Точката а може да биде и конечна или во бесконечност.

Доказ на Хајне ⇒ Коши

Нека функцијата има граница a во точка според првата дефиниција (според Хајне). Односно, за која било низа што припаѓа на соседство на точка и има граница
(1) ,
границата на низата е:
(2) .

Да покажеме дека функцијата има граница на Коши во една точка. Односно, за секого има нешто што е за секого.

Да го претпоставиме спротивното. Нека условите (1) и (2) се задоволени, но функцијата нема граница на Коши. Односно, постои нешто што постои за секого, па
.

Да земеме , каде n е природен број. Потоа постои, и
.
Така, конструиравме низа која конвергира кон , но границата на низата не е еднаква на a . Ова е во спротивност со условите на теоремата.

Првиот дел е докажан.

Доказ на Коши ⇒ Хајне

Нека функцијата има граница a во точка според втората дефиниција (според Коши). Тоа е, за секој постои тоа
(3) за сите .

Да покажеме дека функцијата има граница a во точка според Хајне.
Да земеме произволен број. Според дефиницијата на Коши, бројот постои, така што важи (3).

Дозволете ни да земеме произволна низа што припаѓа на пробиеното соседство и се приближува до . Според дефиницијата за конвергентна низа, за која било постои таква
во .
Потоа од (3) следува дека
во .
Бидејќи ова важи за секого, тогаш
.

Теоремата е докажана.

Референци:
Л.Д. Кудрјавцев. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.

Постојан број Аповикани граница секвенци(x n ), ако за кој било произволно мал позитивен бројε > 0 има број N кој ги има сите вредности x n, за кои n>N ја задоволуваат неравенката

|x n - a|< ε. (6.1)

Запишете го на следниов начин: или x n →а.

Неравенката (6.1) е еквивалентна на двојната неравенка

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

што значи дека точките x n, почнувајќи од некој број n>N, лежи во интервалот (a-ε, a+ ε ), т.е. спаѓаат во било која малаε -соседство на точка А.

Се нарекува низа со граница конвергентенинаку - дивергентни.

Концептот на функционална граница е генерализација на концептот на граница на низа, бидејќи границата на низата може да се смета како граница на функцијата x n = f(n) на цел број аргумент n.

Нека е дадена функцијата f(x) и нека а - гранична точкадомен на дефиниција на оваа функција D(f), т.е. таква точка, чие соседство содржи точки од множеството D(f) освен а. Точка аможе или не може да припаѓа на множеството D(f).

Дефиниција 1.Се повикува константниот број А граница функции f(x) на x→a, ако за која било низа (x n ) на вредности на аргументи кои се стремат кон А, соодветните низи (f(x n)) имаат иста граница А.

Оваа дефиниција се нарекува со дефинирање на границата на функцијата според Хајне,или " во секвенцискиот јазик”.

Дефиниција 2. Се повикува константниот број А граница функции f(x) на x→а, ако, со наведување на произволно произволно мал позитивен број ε, може да се најде таков δ>0 (во зависност од ε), што е за секого x, лежејќи внатреε-населби на бројот А, т.е. За x, задоволувајќи ја нееднаквоста
0 < x-a< ε , ќе лежат вредностите на функцијата f(x).ε-соседство на бројот А, т.е.|f(x)-A|< ε.

Оваа дефиниција се нарекува со дефинирање на границата на функцијата според Коши,или „во јазикот ε - δ “.

Дефинициите 1 и 2 се еквивалентни. Ако функцијата f(x) како x →а има граница, еднакво на А, ова е напишано во форма

. (6.3)

Во случај низата (f(x n)) да се зголеми (или да се намали) без ограничување за кој било метод на приближување xдо вашата граница А, тогаш ќе кажеме дека функцијата f(x) има бесконечна граница,и напишете го во форма:

Се повикува променлива (т.е. низа или функција) чија граница е нула бескрајно мал.

Се нарекува променлива чија граница е еднаква на бесконечност бескрајно голем.

За да се најде границата во пракса, се користат следните теореми.

Теорема 1 . Ако постои секоја граница

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Коментар. Изрази како 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - се неизвесни, на пример, односот на две бесконечно мали или бесконечно големи количини, а наоѓањето на граница од овој тип се нарекува „откривање несигурности“.

Теорема 2. (6.7)

тие. може да се оди до границата врз основа на моќноста со константен експонент, особено, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

Каде д » 2.7 - основа на природен логаритам. Формулите (6.10) и (6.11) се нарекуваат први прекрасна границаи втората извонредна граница.

Последиците од формулата (6.11) исто така се користат во пракса:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

особено границата,

Ако x → a и во исто време x > a, па напишете x→a + 0. Ако, особено, a = 0, тогаш наместо симболот 0+0 напишете +0. Слично ако x→а и во исто време x а-0. Броеви и соодветно се повикуваат десна границаИ левата граница функции f(x) во точката А. За да постои граница на функцијата f(x) како x→а е неопходно и доволно за да . Се повикува функцијата f(x). континуирано во точката x 0 ако лимит

. (6.15)

Условот (6.15) може да се преработи како:

,

односно премин до границата под знакот на функција е возможен ако е континуиран во дадена точка.

Ако се наруши еднаквоста (6.15), тогаш тоа го велиме на x = xo функција f(x) Тоа има јазРазмислете за функцијата y = 1/x. Доменот на дефиниција на оваа функција е множеството Р, освен x = 0. Точката x = 0 е гранична точка на множеството D(f), бидејќи во кое било соседство од него, т.е. во кој било отворен интервал кој ја содржи точката 0, има точки од D(f), но самиот тој не припаѓа на ова множество. Вредноста f(x o)= f(0) не е дефинирана, па во точката x o = 0 функцијата има дисконтинуитет.

Се повикува функцијата f(x). континуирано десно во точката x o ако лимитот

,

И континуирано лево во точката x o, ако лимитот

.

Континуитет на функција во точка xoе еквивалентно на неговиот континуитет во оваа точка и десно и лево.

За да може функцијата да биде континуирана во точка xo, на пример, од десната страна, потребно е, прво, да има конечна граница, и второ, оваа граница да биде еднаква на f(x o). Според тоа, доколку барем еден од овие два услови не е исполнет, тогаш функцијата ќе има дисконтинуитет.

1. Ако границата постои и не е еднаква на f(x o), тогаш велат дека функција f(x) во точката x o има руптура од прв вид,или скок.

2. Ако границата е+∞ или -∞ или не постои, тогаш велат дека во точка xo функцијата има дисконтинуитет втор вид.

На пример, функцијата y = cot x на x→ +0 има граница еднаква на +∞, што значи дека во точката x=0 има дисконтинуитет од втор вид. Функција y = E(x) (целоброен дел од x) на точките со цели апсциси има дисконтинуитети од прв вид, или скокови.

Се повикува функцијата која е континуирана во секоја точка од интервалот континуираноВ. Континуираната функција е претставена со цврста крива.

Многу проблеми поврзани со континуираниот раст на одредена количина доведуваат до втората извонредна граница. Таквите задачи, на пример, вклучуваат: раст на наслаги според законот за сложена камата, раст на населението во земјата, распаѓање на радиоактивни материи, размножување на бактерии итн.

Ајде да размислиме пример на Ya. I. Perelman, давајќи толкување на бројот дво проблемот со сложената камата. Број дима граница . Во штедилниците, парите од камата се додаваат на основниот капитал годишно. Ако пристапувањето се прави почесто, тогаш капиталот расте побрзо, бидејќи поголема сума е вклучена во формирањето на каматата. Да земеме чисто теоретски, многу поедноставен пример. Нека се депонираат 100 деманти во банка. единици врз основа на 100% годишно. Ако парите од камати се додадат на основниот капитал дури по една година, тогаш до овој период 100 ден. единици ќе се претвори во 200 парични единици. Сега да видиме во што ќе се претворат 100 дени. единици, доколку парите од камата се додаваат на основниот капитал на секои шест месеци. По шест месеци 100 ден. единици ќе порасне на 100× 1,5 = 150, а по уште шест месеци - 150× 1,5 = 225 (ден. единици). Ако пристапувањето се прави на 1/3 од годината, тогаш после една година 100 ден. единици ќе се претвори во 100× (1 +1/3) 3" 237 (ден. единици). Условите за додавање каматни пари ќе ги зголемиме на 0,1 година, на 0,01 година, на 0,001 година итн. Потоа од 100 ден. единици после една година ќе биде:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. единици),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. единици),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. единици).

Со неограничено намалување на условите за додавање камата, акумулираниот капитал не расте на неодредено време, туку се приближува до одредена граница еднаква на приближно 271. Капиталот депониран на 100% годишно не може да се зголеми за повеќе од 2,71 пати, дури и ако пресметаната камата се додаваа на главниот град секоја секунда бидејќи лимитот

Пример 3.1.Користејќи ја дефиницијата за граница на бројна низа, докажете дека низата x n =(n-1)/n има граница еднаква на 1.

Решение.Тоа треба да го докажеме, без разлика на сеε > 0, што и да земеме, за него има природен број N таков што за сите n N важи неравенката|x n -1|< ε.

Да земеме било која e > 0. Бидејќи ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тогаш за да се најде N доволно е да се реши неравенството 1/n< д. Оттука n>1/ e и, според тоа, N може да се земе како цел дел од 1/ e , N = E(1/ e ). Со тоа докажавме дека лимитот .

Пример 3.2 . Најдете ја границата на низата дадена со заеднички член .

Решение.Да ја примениме границата на теоремата за збир и да ја најдеме границата на секој член. Кога н→ ∞ броителот и именителот на секој член тежнеат кон бесконечност и не можеме директно да ја примениме теоремата за гранични количници. Затоа, прво се трансформираме x n, делејќи ги броителот и именителот на првиот член со n 2, а вториот на n. Потоа, применувајќи ја границата на количникот и границата на теоремата за збир, наоѓаме:

.

Пример 3.3. . Најдете .

Решение. .

Овде ја користевме границата на теоремата за степен: границата на степен е еднаква на степенот на границата на основата.

Пример 3.4 . Најдете ( ).

Решение.Невозможно е да се примени теоремата за граница на разлика, бидејќи имаме несигурност на формата ∞-∞ . Ајде да ја трансформираме формулата за општиот термин:

.

Пример 3.5 . Дадена е функцијата f(x)=2 1/x. Докажете дека нема ограничување.

Решение.Да ја користиме дефиницијата 1 за граница на функција преку низа. Да земеме низа ( x n ) која конвергира на 0, т.е. Да покажеме дека вредноста f(x n)= се однесува различно за различни секвенци. Нека x n = 1/n. Очигледно, тогаш границата Сега да избереме како x nниза со заеднички член x n = -1/n, исто така со тенденција на нула. Затоа нема ограничување.

Пример 3.6 . Докажете дека нема ограничување.

Решение.Нека x 1 , x 2 ,..., x n ,... е низа за која
. Како се однесува низата (f(x n)) = (sin x n) за различни x n → ∞

Ако x n = p n, тогаш sin x n = грев стр n = 0 за сите nи границата Ако
x n =2 p n+ p /2, потоа sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 за сите nа со тоа и границата. Значи не постои.

Виџет за пресметување на лимити на интернет

Во горниот прозорец, наместо sin(x)/x внесете ја функцијата чија граница сакате да ја најдете. Во долниот прозорец внесете го бројот кон кој се стреми x и кликнете на копчето Calcular, добијте ја саканата граница. И ако во прозорецот со резултати кликнете на Прикажи чекори во горниот десен агол, ќе добиете детално решение.

Правила за внесување функции: sqrt(x) - квадратен корен, cbrt(x) - корен од коцка, exp(x) - експонент, ln(x) - природен логаритам, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan (x) - тангента, cot(x) - котангента, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Знаци: * множење, / делење, ^ степенување, наместо бесконечностБесконечност. Пример: функцијата се внесува како sqrt(tan(x/2)).

Дефиниција 1. Нека Е- бесконечен број. Ако некое соседство содржи точки од множеството Е, различно од поентата А, Тоа Аповикани крајна точка на сетот Е.

Дефиниција 2. (Хајнрих Хајне (1821-1881)). Нека функцијата
дефинирани на сетот XИ Аповикани граница функции
во точката (или кога
, ако за која било низа вредности на аргументи
, конвергирање на , соодветната низа од вредностите на функциите конвергира до бројот А. Тие пишуваат:
.

Примери. 1) Функција
има граница еднаква на Со, во која било точка на бројната права.

Навистина, за која било точка и секоја низа од вредности на аргументите
, конвергирање на и се состои од броеви различни од , соодветната низа на вредности на функции ја има формата
, и знаеме дека оваа низа конвергира во Со. Затоа
.

2) За функција

.

Ова е очигледно, бидејќи ако
, тогаш
.

3) Дирихлеова функција
нема ограничување во ниту еден момент.

Навистина, нека
И
, и се – рационални броеви. Потоа
за сите n, Затоа
. Ако
и тоа е се тогаш се ирационални броеви
за сите n, Затоа
. Затоа, гледаме дека условите од Дефиницијата 2 не се задоволени
не постои.

4)
.

Навистина, да земеме произволна низа
, конвергирање на

број 2. Потоа . Q.E.D.

Дефиниција 3. (Коши (1789-1857)). Нека функцијата
дефинирани на сетот XИ е граничната точка на ова множество. Број Аповикани граница функции
во точката (или кога
, доколку има некој
ќе биде
, така што за сите вредности на аргументот X, задоволувајќи ја нееднаквоста

,

нееднаквоста е вистина

.

Тие пишуваат:
.

Дефиницијата на Коши може да се даде и со користење на соседства, ако забележиме дека:

нека функционира
дефинирани на сетот XИ е граничната точка на ова множество. Број Анаречена граница функции
во точката , доколку има некој -соседство на точка А
има еден прободен - соседство на точка
, такво што
.

Корисно е да се илустрира оваа дефиниција со цртеж.

Пример 5.
.

Навистина, да земеме
по случаен избор и најдете
, таков што за секого X, задоволувајќи ја нееднаквоста
нееднаквоста важи
. Последната неравенка е еквивалентна на неравенката
, па гледаме дека е доволно да се земе
. Изјавата е докажана.

Фер

Теорема 1. Дефинициите за граница на функција според Хајн и според Коши се еквивалентни.

Доказ. 1) Нека
според Коши. Да докажеме дека истиот број е и граница според Хајне.

Ајде да земеме
произволно. Според дефиницијата 3 постои
, таков што за секого
нееднаквоста важи
. Нека
– произволна низа таква што
на
. Потоа има број Нтаква што за секого
нееднаквоста важи
, Затоа
за сите
, т.е.

според Хајне.

2) Нека сега
според Хајне. Да го докажеме тоа
и според Коши.

Да го претпоставиме спротивното, т.е. Што
според Коши. Потоа постои
таква што за било кој
ќе биде
,
И
. Размислете за низата
. За наведеното
и било кој nпостои

И
. Тоа значи дека
, Иако
, т.е. број Ане е граница
во точката според Хајне. Добивме контрадикторност, што ја докажува изјавата. Теоремата е докажана.

Теорема 2 (за единственоста на границата). Ако има граница на функција во точка , тогаш тој е единствениот.

Доказ. Ако границата е дефинирана според Хајне, тогаш нејзината единственост произлегува од единственоста на границата на низата. Ако граница е дефинирана според Коши, тогаш нејзината единственост произлегува од еквивалентноста на дефинициите за граница според Коши и според Хајн. Теоремата е докажана.

Слично на Коши-критериумот за низи, важи и Коши-критериумот за постоење на граница на функција. Пред да го формулираме, да дадеме

Дефиниција 4. Велат дека функцијата
ја задоволува состојбата на Коши во точката , доколку има некој
постои

, така што
И
, нееднаквоста важи
.

Теорема 3 (критериум на Коши за постоење на граница). Со цел за функцијата
имаше во точката конечна граница, потребно е и доволно во овој момент функцијата да ја задоволува состојбата на Коши.

Доказ.Потреба. Нека
. Тоа мора да го докажеме
задоволува во точка Коши состојба.

Ајде да земеме
произволно и стави
. По дефиниција на границата за постои
, така што за какви било вредности
, задоволувајќи ги нееднаквостите
И
, нееднаквостите се задоволени
И
. Потоа

Потребата е докажана.

Адекватност. Нека функцијата
задоволува во точка Коши состојба. Мораме да докажеме дека има во моментот конечна граница.

Ајде да земеме
произволно. По дефиниција има 4
, така што од нееднаквостите
,
следи тоа
- ова е дадено.

Ајде прво да го покажеме тоа за која било низа
, конвергирање на , последователна
вредностите на функциите конвергираат. Навистина, ако
, тогаш, врз основа на дефинирањето на границата на низата, за дадена
има број Н, таков што за било кој

И
. Затоа што
во точката ја задоволува состојбата на Коши, имаме
. Потоа, според критериумот Коши за секвенци, низата
конвергира. Дозволете ни да покажеме дека сите такви низи
се спојуваат до истата граница. Да го претпоставиме спротивното, т.е. што се низи
И
,
,
, така што. Ајде да ја разгледаме низата. Јасно е дека се спојува кон , затоа, според она што беше погоре докажано, низата конвергира, што е невозможно, бидејќи последователните
И
имаат различни граници И . Произлегуваната противречност го покажува тоа =. Затоа, според дефиницијата на Хајне, функцијата има во точката конечна граница. Доволноста, а со тоа и теоремата, е докажана.

Функција y = f (x)е закон (правило) според кој секој елемент x од множеството X се поврзува со еден и само еден елемент y од множеството Y.

Елемент x ∈ Xповикани функционален аргументили независната променлива.
Елемент y ∈ Yповикани вредност на функцијатаили зависна променлива.

Множеството X се нарекува домен на функцијата.
Множество елементи y ∈ Y, кои имаат претслики во множеството X, се нарекува област или множество на вредности на функции.

Вистинската функција се нарекува ограничен од горе (од долу), ако има број M таков што неравенството важи за сите:
.
Се повикува функцијата број ограничен, ако има број М таков што за сите:
.

Горниот рабили точната горна границаВистинската функција се нарекува најмал број што го ограничува неговиот опсег на вредности одозгора. Односно, ова е број s за кој, за секого и за кој било, постои аргумент чија вредност на функцијата надминува s′: .
Горната граница на функцијата може да се означи на следниов начин:
.

Соодветно долниот рабили точната долна границаВистинската функција се нарекува најголем број што го ограничува неговиот опсег на вредности од долу. Односно, ова е број i за кој, за секого и за кој било, постои аргумент чија вредност на функцијата е помала од i′: .
Инфимумот на функцијата може да се означи на следниов начин:
.

Одредување на граница на функција

Определување на граница на функција според Коши

Конечни граници на функцијата на крајните точки

Нека функцијата е дефинирана во некое соседство на крајната точка, со можен исклучок на самата точка. во точка, ако за некој постои такво нешто, во зависност од , дека за сите x за кои важи неравенката
.
Границата на функцијата се означува на следниов начин:
.
Или во.

Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, дефиницијата на границата на функцијата може да се напише на следниов начин:
.

Еднострани граници.
Лева граница во точка (ограничување од лево):
.
Десна граница во точка (граница од десната страна):
.
Левата и десната граница често се означуваат на следниов начин:
; .

Конечни граници на функција во точки на бесконечност

Границите во точките на бесконечност се одредуваат на сличен начин.
.
.
.
Тие често се нарекуваат:
; ; .

Користење на концептот соседство на точка

Ако го воведеме концептот на пробиено соседство на точка, тогаш можеме да дадеме унифицирана дефиниција за конечната граница на функција на конечни и бесконечно оддалечени точки:
.
Еве за крајните точки
; ;
.
Секое соседство на точки на бесконечност е пробиено:
; ; .

Бесконечни функционални граници

Дефиниција
Нека функцијата е дефинирана во некое пробиено соседство на точка (конечно или на бесконечност). Граница на функцијата f (x)како x → x 0 еднакво на бесконечност, ако за кој било произволно голем број М > 0 , постои број δ M > 0 , во зависност од M, дека за сите x кои припаѓаат на пробиената δ M - соседството на точката: , важи следнава неравенка:
.
Бесконечната граница е означена на следниов начин:
.
Или во.

Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, дефиницијата за бесконечната граница на функцијата може да се напише на следниов начин:
.

Можете исто така да воведете дефиниции за бесконечни граници на одредени знаци еднакви на и:
.
.

Универзална дефиниција на граница на функција

Користејќи го концептот за соседство на точка, можеме да дадеме универзална дефиниција за конечната и бесконечната граница на функцијата, применлива и за конечни (двострани и еднострани) и бесконечно оддалечени точки:
.

Определување на граница на функција според Хајне

Нека функцијата е дефинирана на некое множество X:.
Бројот a се нарекува граница на функцијатаво точка:
,
ако за која било низа што конвергира на x 0 :
,
чии елементи припаѓаат на множеството X: ,
.

Да ја напишеме оваа дефиниција користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност:
.

Ако го земеме левото соседство на точката x како множество X 0 , тогаш ја добиваме дефиницијата за левата граница. Ако е деснак, тогаш ја добиваме дефиницијата за десната граница. Ако го земеме соседството на точка во бесконечност како множество X, ќе ја добиеме дефиницијата на границата на функцијата во бесконечност.

Теорема
Дефинициите на Коши и Хајн за границата на функцијата се еквивалентни.
Доказ

Својства и теореми на граница на функција

Понатаму, претпоставуваме дека функциите што се разгледуваат се дефинирани во соодветното соседство на точката, што е конечен број или еден од симболите: . Може да биде и еднострана гранична точка, односно да има форма или . Соседството е двострано за двострана граница и еднострано за еднострана граница.

Основни својства

Ако вредностите на функцијата f (x)промени (или направи недефиниран) конечен број точки x 1, x 2, x 3, ... x n, тогаш оваа промена нема да влијае на постоењето и вредноста на границата на функцијата во произволна точка x 0 .

Ако има конечна граница, тогаш има пробиено соседство на точката x 0 , на која функцијата f (x)ограничено:
.

Нека функцијата има во точката x 0 конечна не-нулта граница:
.
Тогаш, за кој било број c од интервалот , постои такво пробиено соседство на точката x 0 , за што ,
, Ако ;
, Ако .

Ако, на некое пробиено соседство на точката, , е константа, тогаш .

Ако има конечни граници и и на некое пробиено соседство на точката x 0
,
Тоа .

Ако , и на некое соседство на точката
,
Тоа .
Конкретно, ако во некое соседство на точка
,
тогаш ако , тогаш и ;
ако , тогаш и .

Ако на некое издупчено соседство на точка x 0 :
,
и има конечни (или бесконечни од одреден знак) еднакви граници:
, Тоа
.

Доказите за главните својства се дадени на страницата
„Основни својства на границите на функцијата“.

Аритметички својства на граница на функција

Нека се дефинираат функциите во некое пробиено соседство на точката. И нека има конечни граници:
И .
И нека C е константа, односно даден број. Потоа
;
;
;
, Ако .

Ако тогаш.

Доказите за аритметички својства се дадени на страницата
„Аритметички својства на границите на функцијата“.

Коши критериум за постоење на граница на функција

Теорема
Со цел за функција дефинирана на некое пробиено соседство на конечна или во бесконечна точка x 0 , имаше конечна граница во оваа точка, потребно е и доволно што за кое било ε > 0 имаше вакво дупнато соседство на точката x 0 , дека за која било точка и од ова соседство, важи следнава неравенка:
.

Граница на сложена функција

Теорема за граница на сложена функција
Нека функцијата има граница и мапира пробиено соседство на точка на пробиено соседство на точка. Нека функцијата е дефинирана на оваа населба и нека има ограничување на неа.
Еве ги конечните или бескрајно оддалечените точки: . Населбите и нивните соодветни граници можат да бидат или двострани или еднострани.
Тогаш постои граница на сложена функција и таа е еднаква на:
.

Граничната теорема на сложена функција се применува кога функцијата не е дефинирана во точка или има вредност различна од границата. За да се примени оваа теорема, мора да има пробиено соседство на точката каде што множеството вредности на функцијата не ја содржи точката:
.

Ако функцијата е континуирана во точката , тогаш знакот за граница може да се примени на аргументот на континуираната функција:
.
Следното е теорема што одговара на овој случај.

Теорема за граница на континуирана функција на функција
Нека има граница на функцијата g (т)како t → t 0 , и тоа е еднакво на x 0 :
.
Еве ја точката т 0 може да биде конечна или бесконечно далечна: .
И нека функцијата f (x)е континуиран во точката x 0 .
Тогаш постои граница на комплексната функција f (g(t)), и тоа е еднакво на f (x0):
.

Доказите за теоремите се дадени на страницата
„Граница и континуитет на сложена функција“.

Бесконечно мали и бесконечно големи функции

Бесконечно мали функции

Дефиниција
Се вели дека функцијата е бесконечно мала ако
.

Збир, разлика и производна конечен број на бесконечно мали функции во е бесконечно мала функција во .

Производ на ограничена функцијана некое пробиено соседство на точката, до бесконечно мало во е бесконечно мала функција во.

За да има една функција конечна граница потребно е и доволно тоа
,
каде е бесконечно мала функција во.

„Својства на бесконечно мали функции“.

Бесконечно големи функции

Дефиниција
Се вели дека функцијата е бесконечно голема ако
.

Збирот или разликата на ограничена функција, на некое пробиено соседство на точката, и бесконечно голема функција во е бесконечно голема функција во .

Ако функцијата е бесконечно голема за , и функцијата е ограничена на некое пробиено соседство на точката , тогаш
.

Ако функцијата , на некое пробиено соседство на точката , ја задоволува нееднаквоста:
,
а функцијата е бесконечно мала на:
, и (на некое дупнато соседство на точката), потоа
.

Доказите за својствата се претставени во делот
„Својства на бесконечно големи функции“.

Врска помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции

Од двете претходни својства следува врската помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции.

Ако функцијата е бесконечно голема во , тогаш функцијата е бесконечно мала на .

Ако функцијата е бесконечно мала за , и , тогаш функцијата е бесконечно голема за .

Односот помеѓу бесконечно мала и бесконечно голема функција може да се изрази симболично:
, .

Ако бесконечно мала функција има одреден знак на , односно е позитивна (или негативна) на некое пробиено соседство на точката, тогаш овој факт може да се изрази на следниов начин:
.
На ист начин, ако бесконечно голема функција има одреден знак на , тогаш тие пишуваат:
.

Тогаш симболичката врска помеѓу бесконечно малите и бесконечно големите функции може да се надополни со следните односи:
, ,
, .

Дополнителни формули кои се однесуваат на симболите за бесконечност може да се најдат на страницата
„Точки во бесконечност и нивните својства“.

Граници на монотони функции

Дефиниција
Се повикува функција дефинирана на некое множество реални броеви X строго се зголемува, ако за сите такви што важи следнава неравенка:
.
Според тоа, за строго се намалувафункцијата важи следнава неравенка:
.
За неопаѓачки:
.
За не-зголемување:
.

Следи дека строго растечката функција исто така не се намалува. Строго опаѓачка функција исто така не се зголемува.

Функцијата се нарекува монотоно, доколку е неопаѓачки или нерастечки.

Теорема
Нека функцијата не се намалува на интервалот каде .
Ако горе е ограничен со бројот М: тогаш постои конечна граница. Ако не е ограничено одозгора, тогаш .
Ако е ограничен од долу со бројот m: тогаш постои конечна граница. Ако не е ограничено одоздола, тогаш .

Ако точките a и b се на бесконечност, тогаш во изразите граничните знаци значат дека .
Оваа теорема може да се формулира покомпактно.

Нека функцијата не се намалува на интервалот каде . Тогаш има еднострани граници во точките a и b:
;
.

Слична теорема за функција која не се зголемува.

Нека функцијата не се зголемува на интервалот каде што . Потоа, постојат еднострани граници:
;
.

Доказот за теоремата е претставен на страницата
„Граници на монотони функции“.

Референци:
Л.Д. Кудрјавцев. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.
ЦМ. Николски. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 1983 година.

Денес на час ќе разгледаме строго секвенционирањеИ строго дефинирање на границата на функцијата, а исто така да научат да решаваат релевантни проблеми од теоретска природа. Статијата е наменета првенствено за студенти од прва година од природните науки и инженерските специјалности кои почнале да ја проучуваат теоријата на математичка анализа и наидоа на потешкотии во разбирањето на овој дел од вишата математика. Покрај тоа, материјалот е доста достапен за средношколците.

Низ годините на постоење на страницата, добив десетина писма со приближно следнава содржина: „Не ја разбирам добро математичката анализа, што да правам?“, „Воопшто не разбирам математика, јас сум размислувајќи да ги напуштам студиите“ итн. И навистина, матан е тој што често ја истенчува студентската група по првата сесија. Зошто е тоа така? Затоа што темата е незамисливо сложена? Воопшто не! Теоријата на математичка анализа не е толку тешка колку што е чудна. И треба да ја прифатиш и сакаш таква каква што е =)

Да почнеме со најтешкиот случај. Првата и најважна работа е дека не мора да се откажете од студиите. Разбирај правилно, секогаш можеш да се откажеш;-) Се разбира, ако после година или две ви се гади од избраната специјалност, тогаш да, треба да размислите за тоа (и не се лути!)за промена на активноста. Но, засега вреди да се продолжи. И ве молиме заборавете на фразата „Јас ништо не разбирам“ - не се случува воопшто да не разбирате ништо.

Што да направите ако теоријата е лоша? Ова, патем, не се однесува само на математичката анализа. Ако теоријата е лоша, тогаш прво треба СЕРИОЗНО да се фокусирате на практиката. Во овој случај, две стратешки задачи се решаваат одеднаш:

– Прво, значителен дел од теоретското знаење се појави преку практиката. И затоа многу луѓе ја разбираат теоријата преку... – така е! Не, не, не размислуваш за тоа =)

– И, второ, практичните вештини најверојатно ќе ве „повлечат“ на испит, дури и ако... но да не се возбудуваме толку! Сè е реално и сè може да се „подигне“ за прилично кратко време. Математичката анализа е мојот омилен дел од вишата математика и затоа едноставно не можев а да не ви подадам рака за помош:

На почетокот на првиот семестар, обично се покриваат границите на низата и границите на функциите. Не разбирате што се тоа и не знаете како да ги решите? Започнете со статијата Ограничувања на функциите, во кој самиот концепт се испитува „на прсти“ и се анализираат наједноставните примери. Следно, работете на други лекции на темата, вклучително и лекција за во секвенци, за што всушност веќе формулирав строга дефиниција.

Кои симболи освен знаците за нееднаквост и модулот ги знаете?

– долго вертикално стапче гласи вака: „Такво тоа“, „Таквото“, „Таквото“ или „Таквото она“, во нашиот случај, очигледно, зборуваме за бројка - затоа „таков што“;

– за сите „en“ поголемо од ;

– знакот за модул значи растојание, т.е. овој запис ни кажува дека растојанието помеѓу вредностите е помало од ипсилон.

Па, дали е смртоносно тешко? =)

Откако ќе ја совладам практиката, со нетрпение очекувам да се видиме во следниот пасус:

И всушност, да размислиме малку - како да формулираме строга дефиниција за низата? ...Првото нешто што ми паѓа на ум во светот практична лекција: „границата на низата е бројот до кој членовите на низата се приближуваат бесконечно блиску“.

Добро, ајде да го запишеме последователна секвенца :

Не е тешко да се разбере тоа последователна секвенца пристапи бесконечно блиску до бројот –1 и парните членови – до „еден“.

Или можеби има две граници? Но, зошто тогаш ниту една низа не може да има десет или дваесет од нив? Можете да одите далеку на овој начин. Во овој поглед, логично е да се претпостави дека ако низата има граница, тогаш таа е единствена.

Забелешка : низата нема ограничување, но од неа може да се разликуваат две потсеквенци (види погоре), од кои секоја има своја граница.

Така, горната дефиниција се покажува како неодржлива. Да, работи за случаи како (што не го користев сосема правилно во поедноставените објаснувања на практични примери), но сега треба да најдеме строга дефиниција.

Обид два: „границата на низата е бројот до кој се приближуваат СИТЕ членови на низата, освен можеби нивниот конечнаколичини“. Ова е поблиску до вистината, но сепак не е целосно точно. Така, на пример, низата половина од поимите воопшто не се приближуваат до нула - тие се едноставно еднакви на него =) Патем, „трепкачкото светло“ генерално зема две фиксни вредности.

Формулацијата не е тешко да се разјасни, но тогаш се поставува друго прашање: како да се напише дефиницијата во математички симболи? Научниот свет долго време се бореше со овој проблем додека не се реши ситуацијата познат маестро, што, во суштина, ја официјализираше класичната математичка анализа со сета своја строгост. Коши предложи операција околината , што значително ја унапреди теоријата.

Размислете за некоја точка и нејзината произволна- околината:

Вредноста на „епсилон“ е секогаш позитивна, а згора на тоа, имаме право сами да го избереме. Да претпоставиме дека во оваа населба има многу членови (не мора сите)некоја низа. Како да се запише фактот дека, на пример, десеттиот термин е во соседството? Нека биде на десната страна. Тогаш растојанието помеѓу точките и треба да биде помало од „епсилон“: . Меѓутоа, ако „x десетина“ се наоѓа лево од точката „а“, тогаш разликата ќе биде негативна и затоа знакот мора да се додаде на неа модул: .

Дефиниција: број се нарекува граница на низа ако за се `неговата околина (предизбрано)има природен број ТАКВ што СИТЕчленовите на низата со поголеми броеви ќе бидат внатре во соседството:

Или накратко: ако

Со други зборови, без разлика колку е мала вредноста на „епсилон“ што ја земаме, порано или подоцна „бесконечната опашка“ на низата ЦЕЛОСНО ќе биде во оваа населба.

На пример, „бесконечната опашка“ на низата ЦЕЛОСНО ќе влезе во секое произволно мало соседство на точката . Значи оваа вредност е граница на низата по дефиниција. Да ве потсетам дека се нарекува низа чија граница е нула бесконечно мало.

Треба да се напомене дека за низа веќе не е можно да се каже „бескрајна опашка“ ќе влезе„- членовите со непарни броеви се всушност еднакви на нула и „не оди никаде“ =) Затоа во дефиницијата се користи глаголот „ќе се појави“. И, се разбира, членовите на ваква низа исто така „не одат никаде“. Патем, проверете дали бројот е неговата граница.

Сега ќе покажеме дека низата нема ограничување. Размислете, на пример, соседството на точката. Апсолутно е јасно дека не постои таков број по кој СИТЕ поими ќе завршат во дадено соседство - непарните поими секогаш ќе „скокнуваат“ на „минус еден“. Од слична причина, во точката нема ограничување.

Ајде да го консолидираме материјалот со пракса:

Пример 1

Докажете дека границата на низата е нула. Наведете го бројот по кој се гарантира дека сите членови на низата ќе бидат внатре во кое било произволно мало соседство на точката.

Забелешка : За многу секвенци, потребниот природен број зависи од вредноста - оттука и ознаката .

Решение: да се разгледа произволна има либрој – таков што СИТЕ членови со поголем број ќе бидат во оваа населба:

За да го прикажеме постоењето на потребниот број, го изразуваме преку .

Бидејќи за која било вредност на „en“, знакот за модул може да се отстрани:

Користиме „училишни“ дејства со нееднаквости што ги повторив на часот Линеарни неравенкиИ Функциски домен. Во овој случај, важна околност е дека „epsilon“ и „en“ се позитивни:

Бидејќи зборуваме за природни броеви лево, а десната страна е генерално фракционална, таа треба да се заокружи:

Забелешка : понекогаш се додава единица на правото за да се биде на безбедна страна, но во реалноста ова е претерување. Релативно кажано, ако го ослабиме резултатот со заокружување надолу, тогаш најблискиот соодветен број („три“) сепак ќе ја задоволи првобитната неравенка.

Сега гледаме на нееднаквоста и се сеќаваме на она што првично го разгледувавме произволна-маало, т.е. „епсилон“ може да биде еднаков на било којпозитивен број.

Заклучок: за кое било произволно мало соседство на точка, вредноста е пронајдена . Така, бројот е граница на низа по дефиниција. Q.E.D.

Патем, од добиениот резултат природна шема е јасно видлива: колку е помалото соседство, толку е поголем бројот, по што СИТЕ членови на низата ќе бидат во оваа населба. Но, без разлика колку е мал „епсилонот“, секогаш ќе има „бесконечна опашка“ внатре и надвор - дури и ако е голема, сепак конечнаброј на членови.

Како ви се впечатоците? =) Се согласувам дека е малку чудно. Но строго!Ве молиме препрочитајте и размислете за сè повторно.

Ајде да погледнеме сличен пример и да се запознаеме со други технички техники:

Пример 2

Решение: по дефиниција на низа потребно е тоа да се докаже (кажи го гласно!!!).

Ајде да размислиме произволна-соседство на точката и проверка, дали постоиприроден број – таков што за сите поголеми броеви важи следнава неравенка:

За да се прикаже постоењето на такво , треба да се изрази „ен“ преку „епсилон“. Го поедноставуваме изразот под знакот на модул:

Модулот го уништува знакот минус:

Именителот е позитивен за кое било „en“, затоа, стапчињата може да се отстранат:

Мешај:

Сега треба да го извлечеме квадратниот корен, но фаќањето е дека за некој „епсилон“ десната страна ќе биде негативна. За да се избегне оваа неволја да зајакнеменееднаквост по модул:

Зошто може да се направи ова? Ако, релативно кажано, се покаже дека , тогаш условот исто така ќе биде задоволен. Модулот може само зголеметебаран број, а тоа ќе ни одговара и нам! Грубо кажано, ако стотиот е погоден, тогаш одговара и двесте! Според дефиницијата, треба да покажете самиот факт на постоењето на бројот(барем некои), по што сите членови на низата ќе бидат во - соседството. Патем, затоа не се плашиме од конечно заокружување на десната страна нагоре.

Извлекување на коренот:

И заокружете го резултатот:

Заклучок: затоа што вредноста „епсилон“ беше избрана произволно, а потоа за кое било произволно мало соседство на точката вредноста беше пронајдена , така што за сите поголеми броеви важи неравенството . Така, а-приоритет. Q.E.D.

советувам особеноразбирањето на зајакнувањето и слабеењето на нееднаквостите е типична и многу честа техника во математичката анализа. Единственото нешто што треба да го следите е исправноста на оваа или онаа акција. Така, на пример, нееднаквост под никакви околности не е можно олабави, одземајќи, да речеме, еден:

Повторно, условно: ако бројот точно одговара, тогаш претходниот може повеќе да не одговара.

Следниот пример за независно решение:

Пример 3

Користејќи ја дефиницијата за низа, докажете го тоа

Кратко решение и одговор на крајот од часот.

Ако низата бескрајно голем, тогаш дефиницијата за граница е формулирана на сличен начин: точката се нарекува граница на низата ако има, голема колку сакашброј, има број таков што за сите поголеми броеви ќе се задоволи неравенството. Се повикува бројот близина на точката „плус бесконечност“:

Со други зборови, без разлика колку е голема вредноста што ја земаме, „бесконечната опашка“ на низата нужно ќе оди во -соседството на точката, оставајќи само конечен број членови лево.

Стандарден пример:

И скратена нотација: , ако

За случајот, запишете ја самите дефиниција. Точната верзија е на крајот од лекцијата.

Откако ќе се опфатите со практични примери и ќе ја сфатите дефиницијата за границата на низата, можете да се свртите кон литературата за пресметување и/или тетратката за предавање. Препорачувам да го преземете том 1 од Bohan (поедноставно - за дописни студенти)и Фихтенхолц (подетално и подетално). Помеѓу другите автори го препорачувам Пискунов, чиј курс е наменет за техничките универзитети.

Обидете се совесно да ги проучувате теоремите што се однесуваат на границата на низата, нивните докази, последици. На почетокот, теоријата може да изгледа „облачно“, но ова е нормално - само треба да се навикнете. И многумина дури и ќе добијат вкус за тоа!

Ригорозно дефинирање на граница на функција

Да почнеме со истото - како да го формулираме овој концепт? Вербалната дефиниција на границата на функцијата е формулирана многу поедноставно: „бројот е граница на функцијата ако „x“ има тенденција да (и лево и десно), соодветните функционални вредности имаат тенденција да » (види цртеж). Се чини дека сè е нормално, но зборовите се зборови, значењето е значење, иконата е икона и нема доволно строги математички ознаки. И во вториот пасус ќе се запознаеме со два пристапи за решавање на ова прашање.

Нека функцијата е дефинирана на одреден интервал, со можен исклучок на точката. Во образовната литература општо е прифатено дека функцијата таму Недефинирано:

Овој избор нагласува суштината на границата на функцијата: "x" бескрајно блискупристапи, а соодветните вредности на функцијата се бескрајно блискуДо . Со други зборови, концептот на граница не подразбира „точен пристап“ кон точките, туку имено бескрајно блиско приближување, не е важно дали функцијата е дефинирана во точката или не.

Првата дефиниција на границата на функцијата, не е изненадувачки, е формулирана со користење на две секвенци. Прво, концептите се поврзани и, второ, границите на функциите обично се проучуваат по границите на низите.

Размислете за низата поени (не на цртежот), кои припаѓаат на интервалот и различно од, кои конвергираДо . Потоа, соодветните функционални вредности формираат и нумеричка низа, чии членови се наоѓаат на оската на ординатите.

Граница на функција според Хајне за се `низи од точки (припаѓаат и се разликуваат од), што се конвергира до точката, соодветната низа на вредности на функциите конвергира во.

Едуард Хајне е германски математичар. ...И нема потреба да се мисли такво нешто, има само еден геј во Европа - Геј-Лусак =)

Создадена е втората дефиниција за лимитот... да, да, во право си. Но, прво, да го разбереме неговиот дизајн. Размислете за произволно соседство на точката („црно“ маало). Врз основа на претходниот став, внесот значи дека некоја вредностфункцијата се наоѓа во населбата „епсилон“.

Сега го наоѓаме -соседството кое одговара на даденото -соседство (ментално нацртајте црни точки линии од лево кон десно, а потоа од врвот до дното). Забележете дека вредноста е избрана по должината на помалиот сегмент, во овој случај - по должината на пократкиот лев сегмент. Згора на тоа, „малина“ - соседството на точка може дури и да се намали, бидејќи во следната дефиниција битен е самиот факт на постоењеоваа населба. И, слично, ознаката значи дека одредена вредност е во соседството „делта“.

Ограничување на функцијата Коши: број се нарекува граница на функција во точка ако за се ` претходно избранимаало (колку што сакате), постои- соседството на точката, ТАКВИ, тоа: КАКО САМО вредности (припаѓа на)вклучени во оваа област: (црвени стрелки)– ЗАТОА ВЕДНАШ се гарантира дека соодветните функциски вредности ќе влезат во – соседството: (сини стрелки).

Морам да ве предупредам дека за јасност, малку импровизирав, затоа не претерувајте =)

Краток запис: , ако

Која е суштината на дефиницијата? Фигуративно кажано, со бескрајно намалување на -соседството, ги „придружуваме“ вредностите на функциите до нивната граница, не оставајќи им алтернатива за приближување на некое друго место. Сосема необично, но повторно строго! За целосно да ја разберете идејата, повторно прочитајте ја формулацијата.

! Внимание: ако треба само да формулирате Дефиниција на Хајнеили само Коши дефиницијаве молам не заборавајте за значајнипрелиминарни коментари: „Размислете за функција која е дефинирана на одреден интервал, со можен исклучок на точка“. Ова еднаш го кажав на самиот почеток и не го повторував секој пат.

Според соодветната теорема на математичката анализа, дефинициите Хајне и Коши се еквивалентни, но втората опција е најпозната (сè уште би!), кој исто така се нарекува „јазична граница“:

Пример 4

Користејќи ја дефиницијата за лимит, докажете го тоа

Решение: функцијата е дефинирана на целата бројна права освен точката. Користејќи ја дефиницијата, докажуваме постоење на граница во дадена точка.

Забелешка : вредноста на соседството „делта“ зависи од „епсилонот“, па оттука и ознаката

Ајде да размислиме произволна- околината. Задачата е да се користи оваа вредност за да се провери дали дали постои- околината, ТАКВИ, што од нееднаквоста следи нееднаквост .

Претпоставувајќи го тоа, ја трансформираме последната неравенка:
(го проширил квадратниот трином)