Aritmetisk progression a n. Aritmetisk progression

Matematik har sin egen skönhet, liksom målning och poesi.

Rysk vetenskapsman, mekaniker N.E. Zjukovsky

Mycket vanliga uppgifter i inträdesproven i matematik är uppgifter relaterade till begreppet en aritmetisk progression. För att framgångsrikt lösa sådana problem är det nödvändigt att känna till egenskaperna hos en aritmetisk progression väl och ha vissa färdigheter i deras tillämpning.

Låt oss först komma ihåg huvudegenskaperna för en aritmetisk progression och presentera de viktigaste formlerna, förknippas med detta koncept.

Definition. Numerisk sekvens, där varje efterföljande term skiljer sig från den föregående med samma siffra, kallas en aritmetisk progression. Samtidigt numretkallas progressionsskillnaden.

För en aritmetisk progression är formlerna giltiga

, (1)

var . Formel (1) kallas formeln för den gemensamma termen för en aritmetisk progression, och formel (2) är huvudegenskapen för en aritmetisk progression: varje medlem av progressionen sammanfaller med det aritmetiska medelvärdet för dess närliggande medlemmar och .

Observera att det är just på grund av denna egenskap som progressionen i fråga kallas "aritmetik".

Formlerna (1) och (2) ovan sammanfattas enligt följande:

(3)

För att räkna ut summan först medlemmar av en aritmetisk progressionformeln används vanligtvis

(5) var och .

Om vi ​​tar hänsyn till formeln (1), då antyder formel (5).

Om vi ​​utser

var . Eftersom formlerna (7) och (8) är en generalisering av motsvarande formler (5) och (6).

Särskilt , av formel (5) följer det, Vad

Bland de föga kända för de flesta studenter är egenskapen hos en aritmetisk progression, formulerad med hjälp av följande teorem.

Sats. Om då

Bevis. Om då

Teoremet har bevisats.

Till exempel , med hjälp av satsen, det kan man visa att

Låt oss gå vidare till övervägandet av typiska exempel på att lösa problem på ämnet "Aritmetisk progression".

Exempel 1 Låt och . Hitta .

Lösning. Genom att tillämpa formel (6) får vi . Sedan och , då eller .

Exempel 2 Låt tre gånger mer, och när man dividerar med i kvoten blir det 2 och resten är 8. Bestäm och.

Lösning. Ekvationssystemet följer av exemplets tillstånd

Eftersom , , och , sedan från ekvationssystemet (10) får vi

Lösningen av detta ekvationssystem är och .

Exempel 3 Hitta om och .

Lösning. Enligt formel (5) har vi eller . Men med hjälp av egenskap (9) får vi .

Sedan och , då från jämställdheten ekvationen följer eller .

Exempel 4 Hitta om .

Lösning.Genom formel (5) har vi

Men med hjälp av satsen kan man skriva

Härifrån och från formel (11) får vi .

Exempel 5. Givet: . Hitta .

Lösning. Sedan dess . Emellertid därför.

Exempel 6 Låt , och . Hitta .

Lösning. Med formel (9) får vi . Därför, om , då eller .

Sedan och då har vi här ett ekvationssystem

Löser vi vilka, vi får och .

Ekvationens naturliga rotär .

Exempel 7 Hitta om och .

Lösning. Eftersom vi enligt formel (3) har det , så följer ekvationssystemet av problemets tillstånd

Om vi ​​ersätter uttrycketin i systemets andra ekvation, då får vi eller .

Rötterna till andragradsekvationen är och .

Låt oss överväga två fall.

1. Låt då . Sedan och , då .

I det här fallet, enligt formel (6), har vi

2. Om , då , och

Svar: och.

Exempel 8 Det är känt att och Hitta .

Lösning. Med hänsyn till formel (5) och exemplets tillstånd skriver vi och .

Detta innebär ekvationssystemet

Om vi ​​multiplicerar den första ekvationen i systemet med 2 och sedan adderar den till den andra ekvationen får vi

Enligt formel (9) har vi. I detta sammanhang följer av (12). eller .

Sedan och , då .

Svar: .

Exempel 9 Hitta om och .

Lösning. Sedan , och efter villkor , då eller .

Från formel (5) är det känt, Vad . Sedan dess .

Följaktligen här har vi ett system av linjära ekvationer

Härifrån får vi och . Med hänsyn till formel (8) skriver vi .

Exempel 10 Lös ekvationen.

Lösning. Det följer av den givna ekvationen att . Låt oss anta att , , och . I detta fall .

Enligt formel (1) kan vi skriva eller .

Eftersom , ekvation (13) har en unik lämplig rot .

Exempel 11. Hitta det maximala värdet förutsatt att och .

Lösning. Sedan minskar den betraktade aritmetiska progressionen. I detta avseende får uttrycket ett maximalt värde när det är numret på den minsta positiva medlemmen av progressionen.

Vi använder formel (1) och faktum, vilken och . Då får vi det eller .

För då eller . Dock i denna ojämlikhetstörsta naturliga talet, det är därför .

Om värdena och ersätts med formel (6), får vi .

Svar: .

Exempel 12. Hitta summan av alla tvåsiffriga naturliga tal som, när de divideras med 6, har en återstod av 5.

Lösning. Beteckna med mängden av alla tvåvärdiga naturliga tal, dvs. . Därefter konstruerar vi en delmängd som består av de element (tal) i mängden som, när de divideras med talet 6, ger en återstod av 5.

Lätt att installera, Vad . Självklart , att elementen i uppsättningenbilda ett aritmetiskt fortskridande, där och .

För att bestämma kardinalitet (antal element) av mängden, antar vi att . Eftersom och , då innebär formel (1) eller . Med hänsyn till formel (5) får vi .

Ovanstående exempel på att lösa problem kan inte på något sätt göra anspråk på att vara uttömmande. Denna artikel är skriven på grundval av en analys av moderna metoder för att lösa typiska problem inom ett givet ämne. För en djupare studie av metoder för att lösa problem relaterade till aritmetisk progression är det lämpligt att hänvisa till listan med rekommenderad litteratur.

1. Samling av uppgifter i matematik för sökande till tekniska högskolor / Ed. MI. Scanavi. - M .: Värld och utbildning, 2013. - 608 sid.

2. Suprun V.P. Matematik för gymnasieelever: ytterligare avsnitt i skolans läroplan. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 sid.

3. Medynsky M.M. En komplett kurs i elementär matematik i uppgifter och övningar. Bok 2: Nummersekvenser och progressioner. – M.: Editus, 2015. - 208 sid.

Har du några frågor?

För att få hjälp av en handledare – anmäl dig.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Någon behandlar ordet "progression" med försiktighet, som en mycket komplex term från sektionerna av högre matematik. Under tiden är den enklaste aritmetiska utvecklingen taxiräknarens arbete (där de fortfarande finns kvar). Och att förstå essensen (och i matematik finns det inget viktigare än "att förstå essensen") i en aritmetisk sekvens är inte så svårt, efter att ha analyserat några elementära begrepp.

Matematisk nummerföljd

Det är vanligt att kalla en numerisk sekvens för en serie nummer, som vart och ett har sitt eget nummer.

och 1 är den första medlemmen av sekvensen;

och 2 är den andra medlemmen av sekvensen;

och 7 är den sjunde medlemmen av sekvensen;

och n är den n:te medlemmen av sekvensen;

Men ingen godtycklig uppsättning siffror och siffror intresserar oss. Vi kommer att fokusera vår uppmärksamhet på en numerisk sekvens där värdet av den n:te medlemmen är relaterad till dess ordningsnummer genom ett beroende som kan formuleras tydligt matematiskt. Med andra ord: det numeriska värdet för det n:e talet är någon funktion av n.

a - värde för en medlem av den numeriska sekvensen;

n är dess serienummer;

f(n) är en funktion där ordningen i den numeriska sekvensen n är argumentet.

Definition

En aritmetisk progression brukar kallas en numerisk sekvens där varje efterföljande term är större (mindre) än den föregående med samma siffra. Formeln för den n:e medlemmen i en aritmetisk sekvens är följande:

a n - värdet av den aktuella medlemmen av den aritmetiska progressionen;

a n+1 - formeln för nästa nummer;

d - skillnad (ett visst antal).

Det är lätt att avgöra att om skillnaden är positiv (d>0), så kommer varje efterföljande medlem av serien i fråga att vara större än den föregående, och en sådan aritmetisk progression kommer att öka.

I grafen nedan är det lätt att se varför nummerföljden kallas "ökande".

I fall där skillnaden är negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Värdet på den angivna medlemmen

Ibland är det nödvändigt att bestämma värdet av någon godtycklig term a n för en aritmetisk progression. Du kan göra detta genom att successivt beräkna värdena för alla medlemmar av den aritmetiska progressionen, från den första till den önskade. Det här sättet är dock inte alltid acceptabelt om det till exempel är nödvändigt att hitta värdet på den femtusendel eller åtta miljonte termen. Den traditionella beräkningen kommer att ta lång tid. En specifik aritmetisk progression kan dock undersökas med hjälp av vissa formler. Det finns också en formel för den n:e termen: värdet av en medlem av en aritmetisk progression kan bestämmas som summan av den första medlemmen av progressionen med skillnaden i progressionen, multiplicerad med numret på den önskade medlemmen, minus en .

Formeln är universell för att öka och minska progression.

Ett exempel på att beräkna värdet av en given medlem

Låt oss lösa följande problem med att hitta värdet på den n:te medlemmen av en aritmetisk progression.

Villkor: det finns en aritmetisk progression med parametrar:

Den första medlemmen i sekvensen är 3;

Skillnaden i nummerserien är 1,2.

Uppgift: det är nödvändigt att hitta värdet på 214 termer

Lösning: för att bestämma värdet på en given medlem använder vi formeln:

a(n) = a1 + d(n-1)

Genom att ersätta data från problemformuleringen med uttrycket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Den 214:e medlemmen i sekvensen är lika med 258,6.

Fördelarna med denna beräkningsmetod är uppenbara - hela lösningen tar inte mer än 2 rader.

Summan av ett givet antal medlemmar

Mycket ofta, i en given aritmetisk serie, är det nödvändigt att bestämma summan av värdena för några av dess segment. Den behöver inte heller beräkna värdena för varje term och sedan summera dem. Denna metod är tillämplig om antalet termer vars summa måste hittas är litet. I andra fall är det bekvämare att använda följande formel.

Summan av medlemmarna i en aritmetisk progression från 1 till n är lika med summan av de första och n:te medlemmarna, multiplicerat med medlemsnumret n och dividerat med två. Om i formeln värdet på den n-te medlemmen ersätts med uttrycket från föregående stycke i artikeln får vi:

Räkneexempel

Låt oss till exempel lösa ett problem med följande villkor:

Den första termen i sekvensen är noll;

Skillnaden är 0,5.

I problemet är det nödvändigt att bestämma summan av termerna i serien från 56 till 101.

Lösning. Låt oss använda formeln för att bestämma summan av progressionen:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Först bestämmer vi summan av värdena för 101 medlemmar av progressionen genom att ersätta de givna villkoren för vårt problem i formeln:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Uppenbarligen, för att ta reda på summan av villkoren för progressionen från den 56:e till den 101:a, är det nödvändigt att subtrahera S 55 från S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Så summan av den aritmetiska progressionen för detta exempel är:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5

Exempel på praktisk tillämpning av aritmetisk progression

I slutet av artikeln, låt oss återgå till exemplet på den aritmetiska sekvensen som ges i första stycket - en taxameter (taxibilmätare). Låt oss överväga ett sådant exempel.

Att sätta sig i en taxi (som inkluderar 3 km) kostar 50 rubel. Varje efterföljande kilometer betalas med en hastighet av 22 rubel / km. Resväg 30 km. Beräkna kostnaden för resan.

1. Låt oss kassera de första 3 km, vars pris ingår i landningskostnaden.

30 - 3 = 27 km.

2. Ytterligare beräkning är inget annat än att analysera en aritmetisk talserie.

Medlemsnumret är antalet tillryggalagda kilometer (minus de tre första).

Medlemmens värde är summan.

Den första termen i detta problem kommer att vara lika med en 1 = 50 rubel.

Progressionsskillnad d = 22 p.

numret av intresse för oss - värdet på den (27 + 1):e medlemmen av den aritmetiska progressionen - mätarställningen i slutet av den 27:e kilometern - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Beräkningar av kalenderdata för en godtyckligt lång period baseras på formler som beskriver vissa numeriska sekvenser. Inom astronomi är banans längd geometriskt beroende av himlakroppens avstånd till armaturen. Dessutom används olika numeriska serier framgångsrikt i statistik och andra tillämpade grenar av matematik.

En annan typ av talföljd är geometrisk

En geometrisk progression kännetecknas av en stor, jämfört med en aritmetisk, förändringshastighet. Det är ingen slump att man inom politik, sociologi, medicin ofta, för att visa hur snabbt ett visst fenomen sprids, till exempel en sjukdom under en epidemi, säger att processen utvecklas exponentiellt.

Den N:te medlemmen av den geometriska nummerserien skiljer sig från den föregående genom att den multipliceras med något konstant tal - nämnaren, till exempel, den första medlemmen är 1, nämnaren är 2, respektive, sedan:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - värdet av den nuvarande medlemmen av den geometriska progressionen;

b n+1 - formeln för nästa medlem av den geometriska progressionen;

q är nämnaren för en geometrisk progression (konstant tal).

Om grafen för en aritmetisk progression är en rät linje, så ritar den geometriska en något annorlunda bild:

Som i fallet med aritmetik har en geometrisk progression en formel för värdet av en godtycklig medlem. Varje n:te term i en geometrisk progression är lika med produkten av den första termen och nämnaren av progressionen i potensen av n reducerat med ett:

Exempel. Vi har en geometrisk progression med den första termen lika med 3 och nämnaren för progressionen lika med 1,5. Hitta den 5:e termen av progressionen

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15.1875

Summan av ett givet antal medlemmar beräknas också med hjälp av en speciell formel. Summan av de första n medlemmarna av en geometrisk progression är lika med skillnaden mellan produkten av den n:e medlemmen av progressionen och dess nämnare och den första medlemmen av progressionen, dividerat med nämnaren reducerad med ett:

Om b n ersätts med formeln som diskuterats ovan kommer värdet av summan av de första n medlemmarna i den övervägda nummerserien att ha formen:

Exempel. Den geometriska progressionen börjar med den första termen lika med 1. Nämnaren sätts lika med 3. Låt oss hitta summan av de första åtta termerna.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Tja, vänner, om ni läser den här texten, då säger de interna capbevisen mig att ni fortfarande inte vet vad en aritmetisk progression är, men ni vill verkligen (nej, så här: SÅÅÅÅ!) veta. Därför kommer jag inte att plåga dig med långa introduktioner och kommer omedelbart att sätta igång.

För att börja, ett par exempel. Tänk på flera uppsättningar siffror:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Vad har alla dessa uppsättningar gemensamt? Vid första anblicken ingenting. Men det finns faktiskt något. Nämligen: varje nästa element skiljer sig från det föregående med samma nummer.

Döm själv. Den första uppsättningen är bara på varandra följande nummer, var och en mer än den föregående. I det andra fallet är skillnaden mellan angränsande tal redan lika med fem, men denna skillnad är fortfarande konstant. I det tredje fallet finns det rötter i allmänhet. Men $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, medan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. i vilket fall varje nästa element helt enkelt ökar med $\sqrt(2)$ (och var inte rädd för att detta nummer är irrationellt).

Alltså: alla sådana sekvenser kallas bara aritmetiska progressioner. Låt oss ge en strikt definition:

Definition. En sekvens av tal där varje nästa skiljer sig från den föregående med exakt samma mängd kallas en aritmetisk progression. Själva summan med vilken siffrorna skiljer sig kallas progressionsskillnaden och betecknas oftast med bokstaven $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ är själva progressionen, $d$ är dess skillnad.

Och bara ett par viktiga kommentarer. För det första betraktas endast progression ordnad nummersekvens: de får läsas strikt i den ordning som de är skrivna - och inget annat. Du kan inte ordna om eller byta nummer.

För det andra kan sekvensen i sig vara antingen finit eller oändlig. Till exempel är mängden (1; 2; 3) uppenbarligen en ändlig aritmetisk progression. Men om du skriver något i stil med (1; 2; 3; 4; ...) - är detta redan en oändlig utveckling. Ellipsen efter de fyra antyder så att säga att ganska många siffror går längre. Oändligt många, till exempel. :)

Jag vill också notera att utvecklingen ökar och minskar. Vi har redan sett ökande - samma uppsättning (1; 2; 3; 4; ...). Här är exempel på minskande progressioner:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okej, okej: det sista exemplet kan verka alltför komplicerat. Men resten tror jag du förstår. Därför introducerar vi nya definitioner:

Definition. En aritmetisk progression kallas:

1. ökar om varje nästa element är större än det föregående;
2. minskande, om tvärtom varje efterföljande element är mindre än det föregående.

Dessutom finns det så kallade "stationära" sekvenser - de består av samma repeterande nummer. Till exempel (3; 3; 3; ...).

Bara en fråga återstår: hur skiljer man en ökande progression från en minskande? Som tur är beror allt här bara på tecknet för talet $d$, d.v.s. progressionsskillnader:

1. Om $d \gt 0$, så ökar progressionen;
2. Om $d \lt 0$, så minskar uppenbarligen progressionen;
3. Slutligen finns det fallet $d=0$ — i detta fall reduceras hela progressionen till en stationär sekvens av identiska tal: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Låt oss försöka beräkna skillnaden $d$ för de tre minskande stegen ovan. För att göra detta räcker det att ta två intilliggande element (till exempel det första och det andra) och subtrahera från talet till höger, talet till vänster. Det kommer att se ut så här:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som du kan se visade sig skillnaden i alla tre fallen verkligen vara negativ. Och nu när vi mer eller mindre har listat ut definitionerna är det dags att ta reda på hur progressioner beskrivs och vilka egenskaper de har.

Medlemmar av progressionen och den återkommande formeln

Eftersom elementen i våra sekvenser inte kan bytas ut kan de numreras:

\[\vänster(((a)_(n)) \höger)=\vänster\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \höger\)\]

Individuella delar av denna uppsättning kallas medlemmar av progressionen. De indikeras på detta sätt med hjälp av ett nummer: den första medlemmen, den andra medlemmen, och så vidare.

Dessutom, som vi redan vet, är angränsande medlemmar av progressionen relaterade med formeln:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\högerpil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, för att hitta den $n$:te termen i progressionen måste du känna till den $n-1$:e termen och skillnaden $d$. En sådan formel kallas återkommande, för med dess hjälp kan du hitta vilket nummer som helst, bara känna till den föregående (och faktiskt alla tidigare). Detta är väldigt obekvämt, så det finns en mer knepig formel som reducerar alla beräkningar till den första termen och skillnaden:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\vänster(n-1 \höger)d\]

Du har förmodligen stött på denna formel tidigare. De gillar att ge det i alla möjliga uppslagsböcker och reshebniks. Och i vilken vettig lärobok som helst i matematik är den en av de första.

Jag föreslår dock att du tränar lite.

Uppgift nummer 1. Skriv ner de tre första termerna i den aritmetiska progressionen $\left(((a)_(n)) \right)$ om $((a)_(1))=8,d=-5$.

Lösning. Så vi känner till den första termen $((a)_(1))=8$ och progressionsskillnaden $d=-5$. Låt oss använda den nyss angivna formeln och ersätta $n=1$, $n=2$ och $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\vänster(2-1 \höger)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\vänster(3-1 \höger)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; -2)

Det är allt! Observera att vår utveckling minskar.

Naturligtvis kunde $n=1$ inte ha ersatts - vi känner redan till den första termen. Men genom att ersätta enheten såg vi till att vår formel fungerar även under den första termen. I andra fall handlade allt om banal aritmetik.

Uppgift nummer 2. Skriv ut de tre första termerna i en aritmetisk progression om dess sjunde term är -40 och dess sjuttonde term är -50.

Lösning. Vi skriver tillståndet för problemet i vanliga termer:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \höger.\]

Jag sätter tecknet på systemet eftersom dessa krav måste uppfyllas samtidigt. Och nu noterar vi att om vi subtraherar den första ekvationen från den andra ekvationen (vi har rätt att göra detta, eftersom vi har ett system), får vi detta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Precis så hittade vi progressionsskillnaden! Det återstår att ersätta det hittade talet i någon av systemets ekvationer. Till exempel, i den första:

\[\begin(matris) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]

Nu, med att känna till den första termen och skillnaden, återstår det att hitta den andra och tredje termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Redo! Problemet löst.

Svar: (-34; -35; -36)

Lägg märke till en märklig egenskap hos progressionen som vi upptäckte: om vi tar termerna $n$th och $m$th och subtraherar dem från varandra, får vi skillnaden i progressionen multiplicerad med talet $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \höger)\]

En enkel men mycket användbar egenskap som du definitivt borde känna till - med dess hjälp kan du avsevärt påskynda lösningen av många progressionsproblem. Här är ett utmärkt exempel på detta:

Uppgift nummer 3. Den femte termen i den aritmetiska progressionen är 8,4 och dess tionde term är 14,4. Hitta den femtonde termen i denna progression.

Lösning. Eftersom $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, och vi behöver hitta $((a)_(15))$, noterar vi följande:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men enligt villkoret $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, så $5d=6$, därifrån har vi:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det är allt! Vi behövde inte komponera några ekvationssystem och beräkna den första termen och skillnaden - allt avgjordes på bara ett par rader.

Låt oss nu överväga en annan typ av problem - sökandet efter negativa och positiva medlemmar av progressionen. Det är ingen hemlighet att om progressionen ökar, medan dess första term är negativ, så kommer förr eller senare positiva termer att dyka upp i den. Och vice versa: villkoren för en minskande progression kommer förr eller senare att bli negativa.

Samtidigt är det långt ifrån alltid möjligt att hitta detta ögonblick "på pannan", sekventiellt sortera genom elementen. Ofta är problem utformade på ett sådant sätt att utan att känna till formlerna skulle beräkningar ta flera ark - vi skulle bara somna tills vi hittade svaret. Därför kommer vi att försöka lösa dessa problem på ett snabbare sätt.

Uppgift nummer 4. Hur många negativa termer i en aritmetisk progression -38,5; -35,8; …?

Lösning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, från vilka vi omedelbart finner skillnaden:

Observera att skillnaden är positiv, så progressionen ökar. Den första termen är negativ, så någon gång kommer vi verkligen att stöta på positiva siffror. Frågan är bara när detta kommer att hända.

Låt oss försöka ta reda på: hur länge (dvs. upp till vilket naturligt tal $n$) negativiteten hos termerna bevaras:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Högerpil ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Högerpil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den sista raden behöver förtydligas. Så vi vet att $n \lt 15\frac(7)(27)$. Å andra sidan är det bara heltalsvärden av talet som passar oss (dessutom: $n\in \mathbb(N)$), så det största tillåtna talet är just $n=15$, och i inget fall 16.

Uppgift nummer 5. I aritmetisk progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hitta numret på den första positiva termen i denna progression.

Detta skulle vara exakt samma problem som det föregående, men vi vet inte $((a)_(1))$. Men närliggande termer är kända: $((a)_(5))$ och $((a)_(6))$, så vi kan enkelt hitta progressionsskillnaden:

Dessutom, låt oss försöka uttrycka den femte termen i termer av den första och skillnaden med standardformeln:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nu fortsätter vi analogt med det tidigare problemet. Vi tar reda på vid vilken punkt i vår sekvens positiva tal kommer att visas:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Högerpil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minsta heltalslösning för denna ojämlikhet är talet 56.

Observera att i den senaste uppgiften reducerades allt till strikt ojämlikhet, så alternativet $n=55$ kommer inte att passa oss.

Nu när vi har lärt oss hur man löser enkla problem, låt oss gå vidare till mer komplexa. Men först, låt oss lära oss en annan mycket användbar egenskap hos aritmetiska progressioner, som kommer att spara oss mycket tid och ojämlika celler i framtiden. :)

Aritmetiskt medelvärde och lika indrag

Betrakta flera på varandra följande termer av den ökande aritmetiska progressionen $\left(((a)_(n)) \right)$. Låt oss försöka markera dem på en nummerrad:

Jag noterade specifikt de godtyckliga medlemmarna $((a)_(n-3)),...,(a)_(n+3))$, och inte några $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ osv. Eftersom regeln, som jag nu ska berätta, fungerar likadant för alla "segment".

Och regeln är väldigt enkel. Låt oss komma ihåg den rekursiva formeln och skriva ner den för alla markerade medlemmar:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Dessa likheter kan dock skrivas om på olika sätt:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Vadå då? Men det faktum att termerna $((a)_(n-1))$ och $((a)_(n+1))$ ligger på samma avstånd från $((a)_(n)) $ . Och detta avstånd är lika med $d$. Detsamma kan sägas om termerna $((a)_(n-2))$ och $((a)_(n+2))$ - de är också borttagna från $((a)_(n) )$ med samma avstånd lika med $2d$. Du kan fortsätta i det oändliga, men bilden illustrerar innebörden väl

Vad betyder detta för oss? Det betyder att du kan hitta $((a)_(n))$ om närliggande siffror är kända:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har härlett ett magnifikt uttalande: varje medlem av en aritmetisk progression är lika med det aritmetiska medelvärdet för de angränsande medlemmarna! Dessutom kan vi avvika från våra $((a)_(n))$ till vänster och till höger, inte med ett steg, utan med $k$-steg - och fortfarande kommer formeln att vara korrekt:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De där. vi kan lätt hitta några $((a)_(150))$ om vi känner till $((a)_(100))$ och $((a)_(200))$, eftersom $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Vid första anblicken kan det tyckas att detta faktum inte ger oss något användbart. Men i praktiken är många uppgifter speciellt "vässade" för användning av det aritmetiska medelvärdet. Ta en titt:

Uppgift nummer 6. Hitta alla värden på $x$ så att talen $-6((x)^(2))$, $x+1$ och $14+4((x)^(2))$ är på varandra följande medlemmar av en aritmetisk progression (i angiven ordning).

Lösning. Eftersom dessa tal är medlemmar av en progression, är det aritmetiska medelvärdet uppfyllt för dem: det centrala elementet $x+1$ kan uttryckas i termer av angränsande element:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Resultatet är en klassisk andragradsekvation. Dess rötter: $x=2$ och $x=-3$ är svaren.

Svar: -3; 2.

Uppgift nummer 7. Hitta värdena på $$ så att siffrorna $-1;4-3;(()^(2))+1$ bildar en aritmetisk progression (i den ordningen).

Lösning. Återigen uttrycker vi mellantermen i termer av det aritmetiska medelvärdet av angränsande termer:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\höger.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Ännu en andragradsekvation. Och återigen två rötter: $x=6$ och $x=1$.

Svar: 1; 6.

Om du i processen att lösa ett problem får några brutala siffror, eller om du inte är helt säker på att svaren är korrekta, så finns det ett underbart knep som låter dig kontrollera: löste vi problemet korrekt?

Låt oss säga att vi i uppgift 6 fick svaren -3 och 2. Hur kan vi kontrollera att dessa svar är korrekta? Låt oss bara koppla in dem i originalskicket och se vad som händer. Låt mig påminna dig om att vi har tre siffror ($-6(()^(2))$, $+1$ och $14+4(()^(2))$), som bör bilda en aritmetisk progression. Ersätt $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Högerpil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fick siffrorna -54; −2; 50 som skiljer sig med 52 är utan tvekan en aritmetisk progression. Samma sak händer för $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Högerpil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Återigen en progression, men med en skillnad på 27. Därmed är problemet löst korrekt. De som vill kan kontrollera den andra uppgiften på egen hand, men jag säger genast: allt är korrekt där också.

I allmänhet, när vi löste de sista problemen, snubblade vi över ett annat intressant faktum som också måste komma ihåg:

Om tre tal är sådana att det andra är medelvärdet av det första och det sista, så bildar dessa tal en aritmetisk fortsättning.

I framtiden kommer förståelsen av detta uttalande att tillåta oss att bokstavligen "konstruera" de nödvändiga utvecklingen baserat på problemets tillstånd. Men innan vi ägnar oss åt en sådan "konstruktion" bör vi uppmärksamma ytterligare ett faktum, som direkt följer av vad som redan har övervägts.

Gruppering och summa av element

Låt oss gå tillbaka till nummerraden igen. Vi noterar där flera medlemmar av progressionen, mellan vilka kanske. värt många andra medlemmar:

Låt oss försöka uttrycka "vänster svans" i termer av $((a)_(n))$ och $d$, och "höger svans" i termer av $((a)_(k))$ och $ d$. Det är väldigt enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Notera nu att följande summor är lika:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Enkelt uttryckt, om vi som en början betraktar två element av progressionen, som totalt är lika med något tal $S$, och sedan börjar vi kliva från dessa element i motsatta riktningar (mot varandra eller vice versa för att flytta bort), sedan summan av de element som vi kommer att snubbla över kommer också att vara lika$S$. Detta kan bäst representeras grafiskt:

Att förstå detta faktum kommer att tillåta oss att lösa problem med en fundamentalt högre komplexitetsnivå än de som vi ansåg ovan. Till exempel dessa:

Uppgift nummer 8. Bestäm skillnaden för en aritmetisk progression där den första termen är 66, och produkten av den andra och tolfte termen är den minsta möjliga.

Lösning. Låt oss skriva ner allt vi vet:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Så vi vet inte skillnaden mellan progressionen $d$. Egentligen kommer hela lösningen att byggas kring skillnaden, eftersom produkten $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan skrivas om enligt följande:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

För dem i tanken: Jag har tagit den gemensamma faktorn 11 ur den andra fästet. Den önskade produkten är alltså en kvadratisk funktion med avseende på variabeln $d$. Tänk därför på funktionen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - dess graf kommer att vara en parabel med grenar uppåt, eftersom om vi öppnar parenteserna får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se är koefficienten med den högsta termen 11 - detta är ett positivt tal, så vi har egentligen att göra med en parabel med grenar uppåt:

graf av en kvadratisk funktion - parabel

Observera: denna parabel tar sitt lägsta värde vid sin spets med abskissan $((d)_(0))$. Naturligtvis kan vi beräkna denna abskissa enligt standardschemat (det finns en formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det skulle vara mycket mer rimligt att Observera att den önskade vertexen ligger på parabelns axelsymmetri, så punkten $((d)_(0))$ är lika långt från rötterna till ekvationen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Det var därför jag inte hade bråttom att öppna fästena: i den ursprungliga formen var rötterna väldigt, väldigt lätta att hitta. Därför är abskissan lika med det aritmetiska medelvärdet av talen −66 och −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Vad ger oss det upptäckta numret? Med den tar den önskade produkten det minsta värdet (förresten, vi beräknade inte $((y)_(\min ))$ - detta krävs inte av oss). Samtidigt är detta nummer skillnaden mellan den initiala progressionen, dvs. vi hittade svaret :)

Svar: -36

Uppgift nummer 9. Infoga tre tal mellan talen $-\frac(1)(2)$ och $-\frac(1)(6)$ så att de tillsammans med de givna talen bildar en aritmetisk fortsättning.

Lösning. Faktum är att vi måste göra en sekvens av fem nummer, med det första och sista numret redan kända. Ange de saknade talen med variablerna $x$, $y$ och $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Observera att talet $y$ är "mitten" i vår sekvens - det är lika långt från talen $x$ och $z$, och från talen $-\frac(1)(2)$ och $-\frac (1)(6)$. Och om vi för tillfället inte kan få $y$ från siffrorna $x$ och $z$, så är situationen annorlunda med ändarna av progressionen. Kom ihåg det aritmetiska medelvärdet:

Nu, när vi känner till $y$, kommer vi att hitta de återstående siffrorna. Observera att $x$ ligger mellan $-\frac(1)(2)$ och $y=-\frac(1)(3)$ just hittat. Det är därför

Om vi ​​argumenterar på samma sätt hittar vi det återstående antalet:

Redo! Vi hittade alla tre siffrorna. Låt oss skriva ner dem i svaret i den ordning som de ska infogas mellan de ursprungliga siffrorna.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Uppgift nummer 10. Mellan talen 2 och 42, infoga flera tal som tillsammans med de givna talen bildar en aritmetisk fortsättning, om man vet att summan av det första, andra och sista av de infogade talen är 56.

Lösning. En ännu svårare uppgift, som dock löses på samma sätt som de tidigare - genom det aritmetiska medelvärdet. Problemet är att vi inte vet exakt hur många siffror som ska infogas. Därför antar vi för tydlighetens skull att det efter infogning kommer att finnas exakt $n$-tal, och det första av dem är 2, och det sista är 42. I det här fallet kan den önskade aritmetiska progressionen representeras som:

\[\vänster(((a)_(n)) \höger)=\vänster\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \höger\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Observera dock att siffrorna $((a)_(2))$ och $((a)_(n-1))$ erhålls från siffrorna 2 och 42 som står vid kanterna ett steg mot varandra , dvs. till mitten av sekvensen. Och detta betyder det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men då kan uttrycket ovan skrivas om så här:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Genom att känna till $((a)_(3))$ och $((a)_(1))$, kan vi enkelt hitta progressionsskillnaden:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\vänster(3-1 \höger)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Högerpil d=5. \\ \end(align)\]

Det återstår bara att hitta de återstående medlemmarna:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Redan vid det 9:e steget kommer vi alltså till den vänstra änden av sekvensen - siffran 42. Totalt behövde endast 7 siffror infogas: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textuppgifter med progressioner

Avslutningsvis skulle jag vilja överväga ett par relativt enkla problem. Jo, som enkla sådana: för de flesta elever som läser matematik i skolan och inte har läst det som står ovan kan dessa uppgifter verka som en gest. Ändå är det just sådana uppgifter som stöter på i OGE och USE i matematik, så jag rekommenderar att du bekantar dig med dem.

Uppgift nummer 11. Teamet producerade 62 delar i januari, och varje efterföljande månad producerade de 14 fler delar än i föregående. Hur många delar tillverkade brigaden i november?

Lösning. Uppenbarligen kommer antalet delar, målade per månad, att vara en ökande aritmetisk progression. Och:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\vänster(n-1 \höger)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November är den 11:e månaden på året, så vi måste hitta $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Därför kommer 202 delar att tillverkas i november.

Uppgift nummer 12. Bokbinderiverkstaden band 216 böcker i januari och varje månad band 4 fler böcker än föregående månad. Hur många böcker band verkstaden i december?

Lösning. Alla likadana:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\vänster(n-1 \höger)\cdot 4. \\ \end(align)$

December är den sista, 12:e månaden på året, så vi letar efter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Detta är svaret – 260 böcker kommer att bindas in i december.

Tja, om du har läst så här långt, skyndar jag mig att gratulera dig: du har framgångsrikt genomfört "unga kämparkursen" i aritmetiska progressioner. Vi kan säkert gå vidare till nästa lektion, där vi kommer att studera progressionssummans formel, samt viktiga och mycket användbara konsekvenser av den.

Lektionstyp: lära sig nytt material.

Lektionens mål:

• utvidgning och fördjupning av elevernas idéer om uppgifter lösta med hjälp av aritmetisk progression; organisering av elevers sökaktivitet vid härledning av formeln för summan av de första n medlemmarna av en aritmetisk progression;
• utveckling av färdigheter för att självständigt skaffa ny kunskap, använda redan förvärvad kunskap för att uppnå uppgiften;
• utveckling av önskan och behovet av att generalisera de erhållna fakta, utvecklingen av oberoende.

Uppgifter:

• generalisera och systematisera befintlig kunskap om ämnet "Aritmetisk progression";
• härleda formler för att beräkna summan av de första n medlemmarna av en aritmetisk progression;
• lära ut hur man tillämpar de erhållna formlerna för att lösa olika problem;
• uppmärksamma eleverna på proceduren för att hitta värdet av ett numeriskt uttryck.

Utrustning:

• kort med uppgifter för arbete i grupper och par;
• utvärderingspapper;
• presentation"Aritmetisk progression".

I. Förverkligande av grundläggande kunskaper.

1. Självständigt arbete i par.

1:a alternativet:

Definiera en aritmetisk progression. Skriv ner en rekursiv formel som definierar en aritmetisk progression. Ge ett exempel på en aritmetisk progression och ange dess skillnad.

Alternativ 2:

Skriv ner formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression. Hitta den 100:e termen i en aritmetisk progression ( en}: 2, 5, 8 …
Vid det här laget förbereder två elever på baksidan av tavlan svar på samma frågor.
Eleverna utvärderar partnerns arbete genom att jämföra det med styrelsen. (Bedlar med svar överlämnas).

2. Spelmoment.

Övning 1.

Lärare. Jag tänkte på en viss aritmetisk progression. Ställ bara två frågor till mig så att du efter svaren snabbt kan namnge den 7:e medlemmen i denna progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Frågor från studenter.

1. Vilken är den sjätte termen av progressionen och vad är skillnaden?
2. Vilken är den åttonde termen av progressionen och vad är skillnaden?

Om det inte finns fler frågor kan läraren stimulera dem - ett "förbud" mot d (skillnad), det vill säga det är inte tillåtet att fråga vad skillnaden är. Du kan ställa frågor: vad är den 6:e terminen av progressionen och vad är den 8:e terminen av progressionen?

Uppgift 2.

Det finns 20 nummer skrivna på tavlan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Läraren står med ryggen mot tavlan. Eleverna säger numret på numret, och läraren ringer direkt upp numret. Förklara hur jag kan göra det?

Läraren kommer ihåg formeln för den n:e terminen a n \u003d 3n - 2 och, genom att ersätta de givna värdena på n, hittar du motsvarande värden en .

II. Redogörelse för utbildningsuppgiften.

Jag föreslår att lösa ett gammalt problem som går tillbaka till det 2:a årtusendet f.Kr., som finns i egyptisk papyrus.

En uppgift:"Låt det sägas till er: dela 10 mått korn mellan 10 personer, skillnaden mellan varje person och hans granne är 1/8 av måttet."

• Hur hänger detta problem ihop med ämnet aritmetisk progression? (Varje nästa person får 1/8 av måttet mer, så skillnaden är d=1/8, 10 personer, så n=10.)
• Vad tror du att siffran 10 betyder? (Summan av alla medlemmar i progressionen.)
• Vad mer behöver du veta för att göra det enkelt och enkelt att dela korn efter problemets tillstånd? (Första terminen av progressionen.)

Lektionens mål- att erhålla beroendet av summan av termerna för progressionen på deras antal, den första termen och skillnaden, och kontrollera om problemet löstes korrekt i antiken.

Innan vi härleder formeln, låt oss se hur de gamla egyptierna löste problemet.

Och de löste det så här:

1) 10 mått: 10 = 1 mått - genomsnittlig andel;
2) 1 mått ∙ = 2 mått - fördubblats medel dela med sig.
fördubblats medel andelen är summan av andelarna för den 5:e och 6:e personen.
3) 2 mått - 1/8 mått = 1 7/8 mått - två gånger andelen av den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - andelen av den femte; och så vidare kan du hitta andelen för varje föregående och efterföljande person.

Vi får sekvensen:

III. Lösningen av uppgiften.

1. Arbeta i grupp

1:a gruppen: Hitta summan av 20 naturliga tal i följd: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

I allmänhet

II grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Slutsats:

III grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 21.

Lösning: 1+21=2+20=3+19=4+18...

Slutsats:

IV grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 101.

Slutsats:

Denna metod för att lösa de övervägda problemen kallas "Gauss-metoden".

2. Varje grupp presenterar lösningen på problemet på tavlan.

3. Generalisering av de föreslagna lösningarna för en godtycklig aritmetisk progression:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Vi finner denna summa genom att argumentera på liknande sätt:

4. Har vi löst uppgiften?(Ja.)

IV. Primär förståelse och tillämpning av de erhållna formlerna för att lösa problem.

1. Kontrollera lösningen av ett gammalt problem med formeln.

2. Tillämpning av formeln för att lösa olika problem.

3. Övningar för bildning av förmågan att tillämpa formeln vid problemlösning.

A) nr 613

Givet :( och n) - aritmetisk progression;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Hitta: S 1500

Lösning: , och 1 = 1, och 1500 = 1500,

B) Givet: ( och n) - aritmetisk progression;
(och n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Hitta: n
Lösning:

V. Självständigt arbete med ömsesidig verifiering.

Denis gick till jobbet som kurir. Under den första månaden var hans lön 200 rubel, varje efterföljande månad ökade den med 30 rubel. Hur mycket tjänade han på ett år?

Givet :( och n) - aritmetisk progression;
ai = 200, d=30, n=12
Hitta: S 12
Lösning:

Svar: Denis fick 4380 rubel för året.

VI. Läxundervisning.

1. s. 4.3 - lär dig härledningen av formeln.
2. №№ 585, 623 .
3. Komponera ett problem som skulle lösas med hjälp av formeln för summan av de första n termerna i en aritmetisk progression.

VII. Sammanfattning av lektionen.

1. Resultatblad

2. Fortsätt meningarna

• Idag på lektionen lärde jag mig...
• Lär dig formler...
• Jag tror det …

3. Kan du hitta summan av siffror från 1 till 500? Vilken metod kommer du att använda för att lösa detta problem?

Bibliografi.

1. Algebra, 9:e klass. Lärobok för läroanstalter. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskva: Upplysning, 2009.

När man studerar algebra i en gymnasieskola (årskurs 9) är ett av de viktiga ämnena studiet av numeriska sekvenser, som inkluderar progressioner - geometriska och aritmetiska. I den här artikeln kommer vi att överväga en aritmetisk progression och exempel med lösningar.

Vad är en aritmetisk progression?

För att förstå detta är det nödvändigt att ge en definition av progressionen som övervägs, samt att ge de grundläggande formlerna som kommer att användas vidare för att lösa problem.

En aritmetisk eller algebraisk progression är en sådan uppsättning ordnade rationella tal, där varje medlem skiljer sig från den föregående med någon konstant mängd. Detta värde kallas skillnaden. Det vill säga, genom att känna till någon medlem av en ordnad talserie och skillnaden, kan du återställa hela aritmetiska progressionen.

Låt oss ta ett exempel. Nästa talsekvens kommer att vara en aritmetisk progression: 4, 8, 12, 16, ..., eftersom skillnaden i detta fall är 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men uppsättningen av siffror 3, 5, 8, 12, 17 kan inte längre hänföras till den övervägda typen av progression, eftersom skillnaden för det inte är ett konstant värde (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Viktiga formler

Vi ger nu de grundläggande formlerna som kommer att behövas för att lösa problem med hjälp av en aritmetisk progression. Låt a n beteckna den n:te medlemmen av sekvensen, där n är ett heltal. Skillnaden betecknas med den latinska bokstaven d. Då är följande uttryck sanna:

1. För att bestämma värdet på den n:e termen är formeln lämplig: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. För att bestämma summan av de första n termerna: S n = (a n + a 1)*n/2.

För att förstå några exempel på en aritmetisk progression med en lösning i årskurs 9 räcker det att komma ihåg dessa två formler, eftersom alla problem av den typ som övervägs bygger på deras användning. Glöm inte heller att progressionsskillnaden bestäms av formeln: d = a n - a n-1 .

Exempel #1: Hitta en okänd medlem

Vi ger ett enkelt exempel på en aritmetisk progression och de formler som måste användas för att lösa.

Låt sekvensen 10, 8, 6, 4, ... ges, det är nödvändigt att hitta fem termer i den.

Redan av problemets villkor följer att de första 4 termerna är kända. Den femte kan definieras på två sätt:

1. Låt oss först beräkna skillnaden. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samma sätt kan man ta vilka två andra termer som helst som står bredvid varandra. Till exempel, d = 4 - 6 = -2. Eftersom det är känt att d \u003d a n - a n-1, då d \u003d a 5 - a 4, varifrån vi får: a 5 \u003d a 4 + d. Vi ersätter de kända värdena: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andra metoden kräver också kunskap om skillnaden mellan progressionen i fråga, så du måste först bestämma den, som visas ovan (d = -2). När vi vet att den första termen a 1 = 10 använder vi formeln för n-talet i sekvensen. Vi har: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Genom att ersätta n = 5 i det sista uttrycket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du kan se leder båda lösningarna till samma resultat. Observera att i detta exempel är skillnaden d för progressionen negativ. Sådana sekvenser kallas minskande eftersom varje på varandra följande term är mindre än den föregående.

Exempel #2: progressionsskillnad

Låt oss nu komplicera uppgiften lite, ge ett exempel på hur

Det är känt att i vissa är den första termen lika med 6, och den sjunde termen är lika med 18. Det är nödvändigt att hitta skillnaden och återställa denna sekvens till den sjunde termen.

Låt oss använda formeln för att bestämma den okända termen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Vi ersätter kända data från villkoret i det, det vill säga siffrorna a 1 och a 7, vi har: 18 \u003d 6 + 6 * d. Från detta uttryck kan du enkelt beräkna skillnaden: d = (18 - 6) / 6 = 2. Därmed besvarades den första delen av problemet.

För att återställa sekvensen till den 7:e medlemmen bör du använda definitionen av en algebraisk progression, det vill säga a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, och så vidare. Som ett resultat återställer vi hela sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 och 7 = 18.

Exempel #3: göra en progression

Låt oss komplicera problemets tillstånd ännu mer. Nu måste du svara på frågan om hur man hittar en aritmetisk progression. Vi kan ge följande exempel: två tal ges, till exempel 4 och 5. Det är nödvändigt att göra en algebraisk progression så att ytterligare tre termer passar mellan dessa.

Innan du börjar lösa detta problem är det nödvändigt att förstå vilken plats de givna numren kommer att uppta i den framtida utvecklingen. Eftersom det kommer att finnas ytterligare tre termer mellan dem, då en 1 \u003d -4 och en 5 \u003d 5. Efter att ha fastställt detta fortsätter vi till en uppgift som liknar den föregående. Återigen, för den n:e termen använder vi formeln, vi får: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Från: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Här är skillnaden inte ett heltalsvärde, utan det är ett rationellt tal, så formlerna för den algebraiska progressionen förblir desamma.

Låt oss nu lägga till den hittade skillnaden till en 1 och återställa de saknade medlemmarna i progressionen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u0 som sammanföll med problemets tillstånd.

Exempel #4: Den första medlemmen i progressionen

Vi fortsätter att ge exempel på en aritmetisk progression med en lösning. I alla tidigare problem var det första numret av den algebraiska progressionen känt. Tänk nu på ett problem av en annan typ: låt två tal ges, där en 15 = 50 och en 43 = 37. Det är nödvändigt att hitta från vilket nummer denna sekvens börjar.

Formlerna som hittills har använts förutsätter kunskap om a 1 och d. Ingenting är känt om dessa siffror i tillståndet för problemet. Låt oss ändå skriva ut uttrycken för varje term som vi har information om: a 15 = a 1 + 14 * d och a 43 = a 1 + 42 * d. Vi har två ekvationer där det finns 2 okända storheter (a 1 och d). Detta innebär att problemet reduceras till att lösa ett system av linjära ekvationer.

Det angivna systemet är lättast att lösa om du uttrycker en 1:a i varje ekvation och sedan jämför de resulterande uttrycken. Första ekvationen: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andra ekvationen: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Genom att likställa dessa uttryck får vi: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, varav skillnaden d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (endast 3 decimaler ges).

Genom att känna till d kan du använda vilket som helst av de två uttrycken ovan för en 1 . Till exempel, först: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Om det finns tvivel om resultatet kan du kontrollera det, till exempel bestämma den 43:e medlemmen av progressionen, som anges i villkoret. Vi får: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ett litet fel beror på att avrundning till tusendelar användes i beräkningarna.

Exempel #5: Summa

Låt oss nu titta på några exempel med lösningar för summan av en aritmetisk progression.

Låt en numerisk utveckling av följande form ges: 1, 2, 3, 4, ...,. Hur beräknar man summan av 100 av dessa siffror?

Tack vare utvecklingen av datorteknik kan detta problem lösas, det vill säga sekventiellt lägga ihop alla siffror, vilket datorn kommer att göra så snart en person trycker på Enter-tangenten. Problemet kan dock lösas mentalt om du uppmärksammar att den presenterade sifferserien är en algebraisk progression, och dess skillnad är 1. Genom att tillämpa formeln för summan får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det är märkligt att notera att detta problem kallas "Gaussian", eftersom den berömda tysken i början av 1700-talet, fortfarande vid en ålder av bara 10 år gammal, kunde lösa det i hans sinne på några sekunder. Pojken visste inte formeln för summan av en algebraisk progression, men han märkte att om du lägger till talpar som ligger vid kanterna av sekvensen får du alltid samma resultat, det vill säga 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., och eftersom dessa summor blir exakt 50 (100 / 2), så räcker det för att få rätt svar att multiplicera 50 med 101.

Exempel #6: summan av termer från n till m

Ett annat typiskt exempel på summan av en aritmetisk progression är följande: givet en serie tal: 3, 7, 11, 15, ... måste du hitta summan av dess termer från 8 till 14.

Problemet löses på två sätt. Den första av dem går ut på att hitta okända termer från 8 till 14 och sedan summera dem sekventiellt. Eftersom det finns få termer är denna metod inte tillräckligt mödosam. Ändå föreslås det att lösa detta problem med den andra metoden, som är mer universell.

Tanken är att få en formel för summan av en algebraisk progression mellan termerna m och n, där n > m är heltal. För båda fallen skriver vi två uttryck för summan:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Eftersom n > m är det uppenbart att 2-summan inkluderar den första. Den sista slutsatsen innebär att om vi tar skillnaden mellan dessa summor, och lägger till termen a m (i fallet med att ta skillnaden, subtraheras den från summan S n), så får vi det nödvändiga svaret på problemet. Vi har: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Det är nödvändigt att ersätta formler för ett n och ett m i detta uttryck. Då får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterande formeln är något besvärlig, men summan S mn beror bara på n, m, a 1 och d. I vårt fall är a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Om vi ​​ersätter dessa tal får vi: S mn = 301.

Som framgår av ovanstående lösningar är alla problem baserade på kunskapen om uttrycket för den n:e termen och formeln för summan av mängden första termer. Innan du börjar lösa något av dessa problem, rekommenderas det att du noggrant läser igenom villkoret, förstår tydligt vad du vill hitta och först därefter fortsätter med lösningen.

Ett annat tips är att sträva efter enkelhet, det vill säga om du kan svara på frågan utan att använda komplexa matematiska beräkningar, måste du göra just det, eftersom sannolikheten för att göra ett misstag i det här fallet är mindre. Till exempel, i exemplet med en aritmetisk progression med lösning nr 6, skulle man kunna stanna vid formeln S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, och dela upp den allmänna uppgiften i separata deluppgifter (i det här fallet, hitta först termerna a n och a m).

Om det finns tvivel om det erhållna resultatet, rekommenderas det att kontrollera det, vilket gjordes i några av de givna exemplen. Hur man hittar en aritmetisk progression, fick reda på. När du väl har listat ut det är det inte så svårt.