Vad är en rationell rot? Rationella rötter till ett polynom

I den här artikeln börjar vi utforska rationella nummer. Här kommer vi att ge definitioner av rationella tal, ge nödvändiga förklaringar och ge exempel på rationella tal. Efter detta kommer vi att fokusera på hur man avgör om ett givet tal är rationellt eller inte.

Sidnavigering.

Definition och exempel på rationella tal

I det här avsnittet kommer vi att ge flera definitioner av rationella tal. Trots skillnader i formuleringar har alla dessa definitioner samma betydelse: rationella tal förenar heltal och bråk, precis som heltal förenar naturliga tal, deras motsatser och talet noll. Med andra ord generaliserar rationella tal heltal och bråktal.

Låt oss börja med definitioner av rationella tal, vilket uppfattas mest naturligt.

Av den angivna definitionen följer att ett rationellt tal är:

Vilket naturligt tal n som helst. Du kan faktiskt representera vilket naturligt tal som helst som ett vanligt bråktal, till exempel 3=3/1.
Vilket heltal som helst, särskilt talet noll. Faktum är att vilket heltal som helst kan skrivas som antingen ett positivt bråktal, ett negativt bråktal eller noll. Till exempel, 26=26/1, .
Vilken vanlig bråkdel som helst (positiv eller negativ). Detta bekräftas direkt av den givna definitionen av rationella tal.
Vilket blandat nummer som helst. Du kan faktiskt alltid representera ett blandat tal som ett oegentligt bråk. Till exempel och.
Vilken ändlig decimalbråk som helst eller oändlig periodisk bråkdel. Detta beror på det faktum att de angivna decimalbråken omvandlas till vanliga bråk. Till exempel, och 0,(3)=1/3.

Det är också tydligt att varje oändligt icke-periodiskt decimalbråk INTE är ett rationellt tal, eftersom det inte kan representeras som ett gemensamt bråktal.

Nu kan vi enkelt ge exempel på rationella tal. Siffrorna 4, 903, 100 321 är rationella tal eftersom de är naturliga tal. Heltalen 58, −72, 0, −833,333,333 är också exempel på rationella tal. Vanliga bråk 4/9, 99/3 är också exempel på rationella tal. Rationella tal är också tal.

Från exemplen ovan är det tydligt att det finns både positiva och negativa rationella tal, och det rationella talet noll är varken positivt eller negativt.

Ovanstående definition av rationella tal kan formuleras i en mer kortfattad form.

Definition.

Rationella nummerär tal som kan skrivas som en bråkdel z/n, där z är ett heltal och n är ett naturligt tal.

Låt oss bevisa att denna definition av rationella tal är ekvivalent med den tidigare definitionen. Vi vet att vi kan betrakta linjen i ett bråk som ett tecken på division, sedan från egenskaperna för att dividera heltal och reglerna för att dividera heltal, följer giltigheten av följande likheter och. Det är alltså beviset.

Låt oss ge exempel på rationella tal baserat på denna definition. Talen −5, 0, 3, och är rationella tal, eftersom de kan skrivas som bråk med en heltalstäljare och en naturlig nämnare av formen resp.

Definitionen av rationella tal kan ges i följande formulering.

Definition.

Rationella nummerär tal som kan skrivas som en ändlig eller oändlig periodisk decimalbråk.

Denna definition är också ekvivalent med den första definitionen, eftersom varje vanligt bråktal motsvarar ett ändligt eller periodiskt decimalbråk och vice versa, och vilket heltal som helst kan associeras med ett decimalbråk med nollor efter decimalkomma.

Till exempel är talen 5, 0, −13 exempel på rationella tal eftersom de kan skrivas som följande decimalbråk 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 och −7, (18).

Låt oss avsluta teorin om denna punkt med följande påståenden:

heltal och bråk (positiva och negativa) utgör mängden rationella tal;
varje rationellt tal kan representeras som ett bråk med en heltalstäljare och en naturlig nämnare, och varje sådant bråktal representerar ett visst rationellt tal;
varje rationellt tal kan representeras som ett ändligt eller oändligt periodiskt decimaltal, och varje sådant bråktal representerar ett rationellt tal.

Är denna siffra rationell?

I föregående stycke fick vi reda på att vilket naturligt tal som helst, vilket heltal som helst, vilket vanligt bråk som helst, vilket blandat tal, vilket ändligt decimalbråk som helst, såväl som vilket periodiskt decimaltal som helst, är ett rationellt tal. Denna kunskap tillåter oss att "känna igen" rationella tal från en uppsättning skrivna tal.

Men vad händer om talet ges i form av några , eller som , etc., hur ska man svara på frågan om detta nummer är rationellt? I många fall är det väldigt svårt att svara på. Låt oss ange några tankeriktningar.

Om ett tal ges som ett numeriskt uttryck som endast innehåller rationella tal och aritmetiska tecken (+, −, · och:), så är värdet på detta uttryck ett rationellt tal. Detta följer av hur operationer med rationella tal definieras. Till exempel, efter att ha utfört alla operationer i uttrycket, får vi det rationella talet 18.

Ibland, efter att ha förenklat uttrycken och gjort dem mer komplexa, blir det möjligt att avgöra om ett givet tal är rationellt.

Låt oss gå längre. Talet 2 är ett rationellt tal, eftersom alla naturliga tal är rationella. Hur är det med numret? Är det rationellt? Det visar sig att nej, det är inte ett rationellt tal, det är ett irrationellt tal (beviset för detta faktum genom motsägelse ges i algebraläroboken för årskurs 8, listad nedan i referenslistan). Det har också bevisats att kvadratroten ur ett naturligt tal är ett rationellt tal endast i de fall då det under roten finns ett tal som är den perfekta kvadraten av något naturligt tal. Till exempel, och är rationella tal, eftersom 81 = 9 2 och 1 024 = 32 2, och talen och är inte rationella, eftersom talen 7 och 199 inte är perfekta kvadrater av naturliga tal.

Är talet rationellt eller inte? I det här fallet är det lätt att märka att detta nummer därför är rationellt. Är talet rationellt? Det har bevisats att den k:te roten av ett heltal är ett rationellt tal endast om talet under rottecknet är den k:te potensen av något heltal. Därför är det inte ett rationellt tal, eftersom det inte finns något heltal vars femte potens är 121.

Metoden genom motsägelse låter dig bevisa att logaritmerna för vissa tal inte är rationella tal av någon anledning. Låt oss till exempel bevisa att - inte är ett rationellt tal.

Låt oss anta motsatsen, det vill säga låt oss säga att det är ett rationellt tal och kan skrivas som ett vanligt bråktal m/n. Då ger vi följande likheter: . Den sista jämlikheten är omöjlig, eftersom det finns på vänster sida udda nummer 5 n, och på höger sida är det jämna talet 2 m. Därför är vårt antagande felaktigt, alltså inte ett rationellt tal.

Avslutningsvis är det särskilt värt att notera att när man bestämmer rationaliteten eller irrationaliteten hos siffror, bör man avstå från att dra plötsliga slutsatser.

Till exempel bör du inte omedelbart hävda att produkten av de irrationella talen π och e är ett irrationellt tal; detta är "till synes uppenbart", men inte bevisat. Detta väcker frågan: "Varför skulle en produkt vara ett rationellt tal?" Och varför inte, för du kan ge ett exempel på irrationella tal, vars produkt ger ett rationellt tal: .

Det är också okänt om siffror och många andra siffror är rationella eller inte. Till exempel finns det irrationella tal vars irrationella styrka är ett rationellt tal. Som illustration presenterar vi en grad av formen , basen för denna grad och exponenten är inte rationella tal, utan , och 3 är ett rationellt tal.

Bibliografi.

Matematik. 6:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [N. Ya. Vilenkin och andra]. - 22:a uppl., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: lärobok för 8:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Som vi redan har noterat är ett av de viktigaste problemen i teorin om polynom problemet med att hitta sina rötter. För att lösa detta problem kan du använda urvalsmetoden, d.v.s. ta ett tal slumpmässigt och kontrollera om det är roten till ett givet polynom.

I det här fallet kan du snabbt "stöta in" roten, eller så kanske du aldrig hittar den. Det är trots allt omöjligt att kontrollera alla siffror, eftersom det finns oändligt många av dem.

Det vore en annan sak om vi kunde begränsa sökområdet, till exempel att veta att rötterna vi letar efter, säg, finns bland de trettio angivna siffrorna. Och för trettio nummer kan du göra en kontroll. I samband med allt som har sagts ovan verkar detta uttalande viktigt och intressant.

Om den irreducerbara bråkdelen l/m (l,m är heltal) är roten till ett polynom f (x) med heltalskoefficienter, så divideras den ledande koefficienten för detta polynom med m, och den fria termen divideras med 1.

Faktum är att om f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, där an, an-1,...,a1, a0 är heltal, då är f (l/ m) =0, dvs. an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+aO=0.

Låt oss multiplicera båda sidor av denna likhet med mn. Vi får anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Detta innebär:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Vi ser att heltal anln är delbart med m. Men l/m är en irreducerbar bråkdel, d.v.s. talen l och m är coprima, och sedan, som är känt från teorin om delbarhet av heltal, är talen ln och m också coprima. Så anln är delbart med m och m är coprime till ln, vilket betyder att an är delbart med m.

Det beprövade ämnet tillåter oss att avsevärt begränsa sökområdet för rationella rötter av ett polynom med heltalskoefficienter. Låt oss visa detta med ett specifikt exempel. Låt oss hitta de rationella rötterna till polynomet f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Enligt satsen är de rationella rötterna till detta polynom bland de irreducerbara bråken av formen l/m, där l är divisorn för den fria termen a0=8 och m är divisorn för den ledande koefficienten a4=6. Dessutom, om bråkdelen l/m är negativ, kommer "-"-tecknet att tilldelas täljaren. Till exempel, - (1/3) = (-1) /3. Så vi kan säga att l är en divisor av talet 8, och m är en positiv divisor av talet 6.

Eftersom divisorerna för talet 8 är ±1, ±2, ±4, ±8, och de positiva divisorerna för talet 6 är 1, 2, 3, 6, är de rationella rötterna för polynomet i fråga bland talen ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Låt oss komma ihåg att vi bara skrev ut irreducerbara bråk.

Således har vi tjugo nummer - "kandidater" för rötter. Allt som återstår är att kontrollera var och en av dem och välja de som verkligen är rötter. Men återigen, du kommer att behöva göra en hel del kontroller. Men följande teorem förenklar detta arbete.

Om den irreducerbara bråkdelen l/m är roten till ett polynom f (x) med heltalskoefficienter, så är f (k) delbart med l-km för vilket heltal k som helst, förutsatt att l-km?0.

För att bevisa detta teorem, dividera f (x) med x-k med en rest. Vi får f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Eftersom f (x) är ett polynom med heltalskoefficienter, så är polynomet s (x), och f (k) ett heltal. Låt s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Då f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Låt oss sätta x=l/m i denna likhet. Med tanke på att f (l/m) =0 får vi

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+...+b1 (l/m) +b0) .

Låt oss multiplicera båda sidor av den sista likheten med mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Det följer att heltal mnf (k) är delbart med l-km. Men eftersom l och m är coprime, så är mn och l-km också coprime, vilket betyder att f (k) är delbart med l-km. Teoremet har bevisats.

Låt oss nu återgå till vårt exempel och med hjälp av den beprövade satsen kommer vi att ytterligare begränsa cirkeln av sökningar efter rationella rötter. Låt oss tillämpa detta teorem för k=1 och k=-1, dvs. om den irreducerbara bråkdelen l/m är roten till polynomet f (x), då f (1) / (l-m), och f (-1) / (l+m). Vi finner lätt att i vårt fall f (1) = -5, och f (-1) = -15. Observera att vi samtidigt uteslöt ±1 från övervägande.

Så de rationella rötterna till vårt polynom bör sökas bland talen ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Betrakta l/m=1/2. Då divideras l-m=-1 och f (1) =-5 med detta tal. Vidare är l+m=3 och f (1) =-15 också delbart med 3. Detta betyder att bråkdelen 1/2 förblir bland "kandidaterna" för rötter.

Låt nu lm=- (1/2) = (-1) /2. I det här fallet är l-m=-3 och f (1) =-5 inte delbart med - 3. Det betyder att bråket - 1/2 inte kan vara roten till detta polynom, och vi utesluter det från vidare övervägande. Låt oss kontrollera vart och ett av bråken skrivna ovan och se att de nödvändiga rötterna är bland talen 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Således, med en ganska enkel teknik, har vi avsevärt minskat sökområdet för rationella rötter av det polynom som övervägs. Tja, för att kontrollera de återstående siffrorna använder vi Horners schema:

Tabell 10

Vi fann att resten när man dividerar g (x) med x-2/3 är lika med - 80/9, dvs. 2/3 är inte en rot av polynomet g (x), och därför är inte heller f (x).

Därefter finner vi lätt att - 2/3 är roten till polynomet g (x) och g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Sedan f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Ytterligare verifiering kan utföras för polynomet x2+2x-4, vilket naturligtvis är enklare än för g (x) eller ännu mer för f (x). Som ett resultat finner vi att talen 2 och - 4 inte är rötter.

Så polynomet f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 har två rationella rötter: 1/2 och - 2/3.

Kom ihåg att metoden som beskrivs ovan gör det möjligt att bara hitta rationella rötter till ett polynom med heltalskoefficienter. Samtidigt kan ett polynom också ha irrationella rötter. Så, till exempel, polynomet som betraktas i exemplet har ytterligare två rötter: - 1±v5 (dessa är rötterna till polynomet x2+2x-4). Och generellt sett kan ett polynom inte ha rationella rötter alls.

Låt oss nu ge några tips.

När man testar "kandidater" för rötterna till polynomet f (x) med den andra av satserna som bevisats ovan, används den senare vanligtvis för fallen k=±1. Med andra ord, om l/m är en "kandidat"-rot, kontrollera då om f (1) och f (-1) är delbara med l-m respektive l+m. Men det kan hända att till exempel f (1) = 0, dvs 1 är en rot, och då är f (1) delbart med valfritt tal, och vår check blir meningslös. I det här fallet ska du dividera f (x) med x-1, d.v.s. erhåll f(x) = (x-1)s(x), och testa för polynomet s(x). Samtidigt bör vi inte glömma att vi redan har hittat en rot av polynomet f (x) - x1=1. Om, när vi kontrollerar "kandidaterna" för rötter som finns kvar efter att ha använt den andra satsen om rationella rötter, med hjälp av Horners schema, finner vi att till exempel l/m är en rot, så bör dess multiplicitet hittas. Om det är lika med, säg, k, då f (x) = (x-l/m) ks (x), och ytterligare testning kan göras för s (x), vilket minskar beräkningarna.

Således har vi lärt oss att hitta rationella rötter till ett polynom med heltalskoefficienter. Det visar sig att vi genom att göra detta har lärt oss att hitta de irrationella rötterna till ett polynom med rationella koefficienter. Faktum är att om vi t.ex. har ett polynom f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, då, genom att föra koefficienterna till en gemensam nämnare och placera den inom parentes, få f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Det är tydligt att rötterna till polynomet f (x) sammanfaller med polynomets rötter inom parentes, och dess koefficienter är heltal. Låt oss till exempel bevisa att sin100 är ett irrationellt tal. Låt oss använda den välkända formeln sin3?=3sin?-4sin3?. Därav sin300=3sin100-4sin3100. Med tanke på att sin300=0,5 och genom att utföra enkla transformationer får vi 8sin3100-6sin100+1=0. Därför är sin100 roten till polynomet f (x) =8x3-6x+1. Om vi letar efter rationella rötter till detta polynom kommer vi att vara övertygade om att det inte finns några. Det betyder att roten sin100 inte är ett rationellt tal, dvs. sin100 är ett irrationellt tal.

Frågan om att hitta rationella rötter till ett polynom f(x)Q[x] (med rationella koefficienter) reducerar till frågan om att hitta rationella rötter till polynom k ∙ f(x)Z[x] (med heltalskoefficienter). Här är numret kär den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för koefficienterna för ett givet polynom.

Nödvändiga men inte tillräckliga förutsättningar för existensen av rationella rötter till ett polynom med heltalskoefficienter ges av följande sats.

Sats 6.1 (om rationella rötter av ett polynom med heltalskoefficienter). Om – rationell rot av ett polynomf(x) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 Med hela koefficienter och(sid, q) = 1, sedan täljaren för bråketsidär en divisor av den fria termen a 0 , och nämnarenqär en divisor av den ledande koefficienten a 0 .

Sats 6.2.Om Q ( Var (sid, q) = 1) är den rationella roten till polynomet f(x) med heltalskoefficienter alltså
–heltal.

Exempel. Hitta alla rationella rötter till polynomet

f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.

1. Genom sats 6.1: om – rationell rot av ett polynom f(x), ( Var( sid, q) = 1), Den där a 0 = 1 sid, a n = 6 q. Det är därför sid { 1}, q (1, 2, 3, 6), vilket betyder

2. Det är känt att (Korollary 5.3) numret Aär roten till polynomet f(x) om och endast om f(x) delat med ( x – a).

Kontrollera därför om talen 1 och –1 är rötter till ett polynom f(x) du kan använda Horners schema:

f(1) = 60,f(–1) = 120, så 1 och –1 är inte rötter till polynomet f(x).

3. Att sålla bort några av de återstående siffrorna
, låt oss använda sats 6.2. Om uttryck eller
accepterar heltalsvärden för motsvarande täljarvärden sid och nämnare q, sedan i motsvarande celler i tabellen (se nedan) kommer vi att skriva bokstaven "ts", annars - "dr".


=
=

4. Med hjälp av Horners schema kontrollerar vi om siffrorna som återstår efter sållningen kommer att vara
rötter f(x). Låt oss först dela f(x) på ( X – ).

Som ett resultat har vi: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) och – rot f(x). Privat q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - dividera 2 med ( X + ).

Därför att q (–) = 30, då är (–) inte en rot av polynomet q(x), och därav polynomet f(x).

Slutligen delar vi polynomet q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 på ( X – ).

Fick: q () = 0, dvs – rot q(x), och är därför roten f (x). Alltså polynomet f (x) har två rationella rötter: och.

Befrielse från algebraisk irrationalitet i bråkets nämnare

I skolkursen, när man löser vissa typer av problem för att bli av med irrationalitet i nämnaren för ett bråk, räcker det att multiplicera bråkets täljare och nämnare med talet konjugat till nämnaren.

Exempel. 1.t =
.

Här fungerar den förkortade multiplikationsformeln (skillnad på kvadrater) i nämnaren, vilket gör att du kan frigöra dig från irrationalitet i nämnaren.

2. Befria dig från irrationalitet i bråkets nämnare

t =
. Uttryck – ofullständig kvadrat av skillnaden mellan tal A=
Och b= 1. Använd den förkortade multiplikationsformeln A 3 – b 3 = (ett +b) · ( a 2 – ab + b 2 ), kan vi bestämma multiplikatorn m = (ett +b) =
+ 1, med vilken bråkets täljare och nämnare ska multipliceras t för att bli av med irrationalitet i bråkets nämnare t. Således,

I situationer där förkortade multiplikationsformler inte fungerar kan andra tekniker användas. Nedan kommer vi att formulera ett teorem, vars bevis i synnerhet gör att vi kan hitta en algoritm för att bli av med irrationalitet i nämnaren av en bråkdel i mer komplexa situationer.

Definition 6.1. siffra z kallad algebraisk över fältet F, om det finns ett polynom f(x) F[x], vars rot är z, annars numret z kallad transcendental över fältetF.

Definition 6.2.Grad av algebraisk över fält F tal z kallas graden av en irreducibel över ett fält F polynom sid(x)F[x], vars rot är numret z.

Exempel. Låt oss visa att talet z =
är algebraisk över fältet Q och hitta dess examen.

Låt oss hitta en irreducibel över fältet Q polynom sid(X), vars rot är x =
. Låt oss lyfta båda sidor av jämställdheten x =
till fjärde makten får vi X 4 = 2 eller X 4 – 2 = 0. Så, sid(X) = X 4 – 2, och talets makt z lika med deg sid(X) = 4.

Sats 6.3 (om befrielse från algebraisk irrationalitet i bråkets nämnare).Låtaz– algebraiskt tal över ett fältFgradern. Formens uttryckt = ,Var f(x), (x)F[x], (z) 0

kan endast representeras i formen:

t = Med n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Vi kommer att demonstrera algoritmen för att bli av med irrationalitet i nämnaren för ett bråk med hjälp av ett specifikt exempel.

Exempel. Befria dig från irrationalitet i nämnaren av en bråkdel:

t =

1. Bråkets nämnare är värdet på polynomet (X) = X 2 – X+1 när X =
. Det föregående exemplet visar det
– algebraiskt tal över ett fält Q grad 4, eftersom det är roten till en irreducibel över Q polynom sid(X) = X 4 – 2.

2. Låt oss hitta den linjära expansionen av GCD ( (X), sid(x)) med den euklidiska algoritmen.

_x 4 – 2 | x 2 –x + 1

x 4 –x 3 +x 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 –x 2 – 2

x 3 –x 2 +x

x 2 –x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Så, GCD ( (X), sid(x)) = r 2 = 7. Låt oss hitta dess linjära expansion.

Låt oss skriva ner den euklidiska sekvensen med polynomnotation.

sid(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =sid(x) – (x) · q 1 (x)

(x) = r 1 (x) · q 2 (x) + r 2 (x)
r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x)

r 1 (x) = r 2 (x) · q 2 (x).

Låt oss ersätta 7= med jämlikhet r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x) restvärde r 1 (x) = sid(x) – (x) · q 1 (x), efter transformationer får vi en linjär expansion av GCD( (X), sid(x)): 7 = sid(x) · (– q 2 (x)) + (x) · . Om vi ersätter motsvarande polynom i den sista likheten istället för notationer och tar hänsyn till det sid(
) = 0, då har vi:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. Av likhet (1) följer att om bråkens nämnare t multiplicera med tal m= , då får vi 7. Alltså,

t =
=.

METOD 16. Lektionsämne: Standardform av ett polynom

Lektionstyp: lektionstestning och övervakning av kunskaper och färdigheter

Lektionens mål:

Testa din förmåga att reducera ett polynom till standardform

Utveckla elevernas logiska tänkande och uppmärksamhet

Främja självständighet

Lektionens struktur:

Att organisera tid

Briefing

Självständigt arbete.

1. Slutför meningarna:

a) Ett uttryck som innehåller summan av monomer kallas ... (polynom).

b) Ett polynom som består av standardmonomer och som inte innehåller liknande termer kallas ... (standardpolynom).

c) Den största av potenserna för monomialerna som ingår i ett polynom av standardformen kallas ... (graden av polynomet).

d) Innan du bestämmer graden av ett polynom måste du... (föra det till standardform).

e) För att hitta värdet på ett polynom måste du göra det första... (presentera polynomet i standardform), det andra... (ersätt variabelns värde i detta uttryck).

2. Hitta värdet på polynomet:

A) 2 a 4 - ab+2 b 2 på a=-1, b=-0,5

b) x 2 +2 xy+ y 2 på x=1,2, y=-1,2

3. Reducera polynomet till standardform:

A) -5ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4ah 2 – 8a 2 X;

b) (5x 2 – 7x – 13) – (3x 2 – 8x + 17);

V) 2a – (1,4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6,4 av);

G) (2s 2 – 1,6s + 4) – ((10,6s 2 + 4,4 s – 0,3) – (3,6 s 2 – 7s – 0,7));

4. Ta polynomet till standardform och ta reda på vilka värden X dess värde är 1:

A) 2 x 2 -3 x- x 2 -5+2 x- x 2 +10;

b) 0,3 x 3 - x 2 + x- x 3 +3 x 2 +0,7 x 3 -2 x 2 +0,07

Biljett nummer 17.Delbarhet av heltal

När man löser ekvationer och olikheter är det ofta nödvändigt att faktorisera ett polynom vars grad är tre eller högre. I den här artikeln kommer vi att titta på det enklaste sättet att göra detta.

Som vanligt, låt oss vända oss till teorin för att få hjälp.

Bezouts teorem anger att resten när man dividerar ett polynom med ett binomium är .

Men det som är viktigt för oss är inte själva satsen, utan en följd av det:

Om talet är roten till ett polynom är polynomet delbart med binomet utan rest.

Vi står inför uppgiften att på något sätt hitta åtminstone en rot av polynomet, och sedan dividera polynomet med , där är roten till polynomet. Som ett resultat får vi ett polynom vars grad är en mindre än graden av den ursprungliga. Och sedan, om det behövs, kan du upprepa processen.

Denna uppgift delas upp i två: hur man hittar roten till ett polynom och hur man delar ett polynom med ett binom.

Låt oss ta en närmare titt på dessa punkter.

1. Hur man hittar roten till ett polynom.

Först kontrollerar vi om talen 1 och -1 är rötter till polynomet.

Följande fakta kommer att hjälpa oss här:

Om summan av alla koefficienter för ett polynom är noll, så är talet roten till polynomet.

Till exempel, i ett polynom är summan av koefficienterna noll: . Det är lätt att kontrollera vad roten till ett polynom är.

Om summan av koefficienterna för ett polynom vid jämna potenser är lika med summan av koefficienterna vid udda potenser, då är talet roten till polynomet. Den fria termen anses vara en koefficient för en jämn grad, eftersom , a är ett jämnt tal.

Till exempel, i ett polynom är summan av koefficienterna för jämna potenser: , och summan av koefficienterna för udda potenser är: . Det är lätt att kontrollera vad roten till ett polynom är.

Om varken 1 eller -1 är rötter till polynomet, så går vi vidare.

För ett reducerat polynom av grad (det vill säga ett polynom där den ledande koefficienten - koefficienten vid - är lika med enhet), är Vieta-formeln giltig:

Var finns polynomets rötter.

Det finns också Vieta-formler för polynomets återstående koefficienter, men vi är intresserade av denna.

Av denna Vieta-formel följer det om rötterna till ett polynom är heltal, så är de divisorer av dess fria term, som också är ett heltal.

Baserat på det här, vi måste faktorisera polynomets fria term i faktorer, och sekventiellt, från minsta till största, kontrollera vilken av faktorerna som är roten till polynomet.

Betrakta till exempel polynomet

Dividers av den fria terminen: ; ; ;

Summan av alla koefficienter för ett polynom är lika med , därför är talet 1 inte roten till polynomet.

Summan av koefficienter för jämna potenser:

Summan av koefficienter för udda potenser:

Därför är talet -1 inte heller en rot av polynomet.

Låt oss kontrollera om talet 2 är roten till polynomet: därför är talet 2 roten till polynomet. Detta betyder, enligt Bezouts sats, polynomet är delbart med ett binomial utan rest.

2. Hur man delar upp ett polynom i ett binomial.

Ett polynom kan delas in i ett binomial med en kolumn.

Dela polynomet med ett binomial med hjälp av en kolumn:

Det finns ett annat sätt att dela ett polynom med ett binomial - Horners schema.

Titta på den här videon för att förstå hur man delar ett polynom med ett binomial med en kolumn, och med hjälp av Horners diagram.

Jag noterar att om, när vi dividerar med en kolumn, någon grad av det okända saknas i det ursprungliga polynomet, skriver vi 0 i dess ställe - på samma sätt som när vi kompilerar en tabell för Horners schema.

Så om vi behöver dividera ett polynom med ett binomium och som ett resultat av divisionen får vi ett polynom, kan vi hitta koefficienterna för polynomet med hjälp av Horners schema:

Vi kan också använda Horner-schema för att kontrollera om ett givet tal är roten till ett polynom: om talet är roten till ett polynom, så är resten när polynomet divideras med lika med noll, det vill säga i den sista kolumnen i den andra raden av Horners diagram får vi 0.

Med hjälp av Horners schema "dräpar vi två flugor i en smäll": vi kontrollerar samtidigt om talet är roten till ett polynom och dividerar detta polynom med ett binomium.

Exempel. Lös ekvationen:

1. Låt oss skriva ner divisorerna för den fria termen och leta efter polynomets rötter bland den fria termens divisorer.

Delare på 24:

2. Låt oss kontrollera om talet 1 är roten till polynomet.

Summan av koefficienterna för ett polynom, därför är talet 1 roten till polynomet.

3. Dela det ursprungliga polynomet i ett binomial med hjälp av Horners schema.

A) Låt oss skriva ner koefficienterna för det ursprungliga polynomet i den första raden i tabellen.

Eftersom den innehållande termen saknas, skriver vi i tabellens kolumn där koefficienten ska skrivas 0. Till vänster skriver vi den hittade roten: talet 1.

B) Fyll i den första raden i tabellen.

I den sista kolumnen fick vi som förväntat noll; vi dividerade det ursprungliga polynomet med ett binomial utan rest. Koefficienterna för polynomet som härrör från division visas i blått i den andra raden i tabellen:

Det är lätt att kontrollera att talen 1 och -1 inte är rötter till polynomet

B) Låt oss fortsätta tabellen. Låt oss kontrollera om talet 2 är roten till polynomet:

Så graden av polynomet, som erhålls som ett resultat av division med ett, är mindre än graden av det ursprungliga polynomet, därför är antalet koefficienter och antalet kolumner en mindre.

I den sista kolumnen fick vi -40 - ett tal som inte är lika med noll, därför är polynomet delbart med ett binomium med en rest, och talet 2 är inte roten till polynomet.

C) Låt oss kontrollera om talet -2 är roten till polynomet. Eftersom det tidigare försöket misslyckades, för att undvika förväxling med koefficienterna, kommer jag att radera raden som motsvarar detta försök:

Bra! Vi fick noll som en rest, därför delades polynomet i ett binomium utan en rest, därför är talet -2 roten till polynomet. Koefficienterna för polynomet som erhålls genom att dividera ett polynom med ett binomium visas i grönt i tabellen.

Som ett resultat av division får vi ett kvadratiskt trinomium , vars rötter lätt kan hittas med hjälp av Vietas teorem:

Så rötterna till den ursprungliga ekvationen är:

{}

Svar: ( }

Låta

- polynom av grad n ≥ 1 av en reell eller komplex variabel z med reella eller komplexa koefficienter a i. Låt oss acceptera följande teorem utan bevis.

Sats 1

Ekvation Pn (z) = 0 har minst en rot.

Låt oss bevisa följande lemma.

Lemma 1

Låt Pn (z)- polynom av grad n, z 1 - roten av ekvationen:
P n (z 1) = 0.
Sedan P n (z) kan representeras på det enda sättet i formen:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
där Pn- 1(z)- polynom av grad n - 1 .

Bevis

För att bevisa det tillämpar vi satsen (se Division och multiplikation av ett polynom med ett polynom med ett hörn och en kolumn), enligt vilken P n för vilka två polynom som helst (z) och Qk (z), grader n och k, med n ≥ k, finns det en unik representation i formen:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
där P n-k (z)- polynom av grad n-k, U k- 1(z)- polynom av grad som inte är högre än k- 1 .

Låt oss sätta k = 1 , Q k (z) = z - z 1, Då
P n (z) = (z - z1) Pn-1 (z) + c,
där c är en konstant. Låt oss ersätta z = z här 1 och ta hänsyn till att P n (z 1) = 0:
P n (zi) = (z1 - z1) Pn-1 (zi) + c;
0 = 0 + c.
Därför c = 0 . Sedan
Pn,
Q.E.D.

Faktorering av ett polynom

Så, baserat på sats 1, polynomet P n (z) har minst en rot. Låt oss beteckna det som z 1 ,Pn (z 1) = 0. Sedan, baserat på Lemma 1:
P n (z) = (z - z1) Pn-1 (z).
Vidare, om n > 1 , sedan polynomet P n- 1(z) har också minst en rot, som vi betecknar som z 2 ,Pn- 1 (z 2) = 0. Sedan
Pn- 1 (z) = (z - z2) Pn-2 (z);
P n (z) = (z - z1)(z - z2) Pn-2 (z).

Om vi fortsätter med denna process kommer vi till slutsatsen att det finns n nummer z 1, z 2, ..., z n Så att
P n (z) = (z - z1)(z - z2) ... (z - zn) Po (z).
Men P 0(z)- det här är en konstant. Genom att likställa koefficienterna för z n finner vi att den är lika med a n. Som ett resultat får vi formeln för faktorisering av ett polynom:
(1) P n (z) = an (z - z1)(z - z2) ... (z - zn).

Talen z i är rötterna till polynomet P n (z).

I allmänhet ingår inte alla z i (1) , är olika. Bland dem kan det finnas samma värden. Faktorisera sedan polynomet (1) kan skrivas som:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 ( z - z 2 ) n 2 ... ( z - z k ) n k;
.
Här är z i ≠ z j för i ≠ j. Om n i = 1 , Den där rot z i kallas enkel. Det går in i faktorisering i formen (z-z i). Om n i > 1 , Den där rot z i kallas multipelroten av multiplicitet n i. Det går in i faktorisering som en produkt av n i primfaktorer: (z-zi)(z-zi) ... (z-zi) = (z-zi) ni.

Polynom med reella koefficienter

Lemma 2

Om är en komplex rot av ett polynom med reella koefficienter, , Då är det komplexa konjugerade talet också en rot av polynomet, .

Bevis

Faktum är att om , och koefficienterna för polynomet är reella tal, då .

Således går komplexa rötter in i faktorisering i par med sina komplexa konjugerade värden:
,
där , är reella tal.
Sedan nedbrytningen (2) ett polynom med reella koefficienter till faktorer kan representeras i en form där endast reella konstanter är närvarande:
(3) ;
.

Metoder för att faktorisera ett polynom

Med hänsyn till ovanstående, för att faktorisera ett polynom, måste du hitta alla rötterna till ekvationen P n (z) = 0 och bestämma deras mångfald. Faktorer med komplexa rötter måste grupperas med komplexa konjugat. Sedan bestäms expansionen av formeln (3) .

Således är metoden för att faktorisera ett polynom som följer:
1. Hitta roten z 1 ekvationer Pn (z 1) = 0.
2.1. Om roten z 1 real, då lägger vi till faktorn till expansionen (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1(z), med början från punkt (1) tills vi hittar alla rötter.
2.2. Om roten är komplex, är det komplexa konjugerade talet också roten till polynomet. Då inkluderar expansionen faktorn

,
var b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
I det här fallet lägger vi till faktorn till expansionen (z 2 + b 1 z + c 1) och dividera polynomet P n (z) med (z 2 + b 1 z + c 1). Som ett resultat får vi ett polynom med graden n - 2 :
.
Därefter upprepar vi processen för polynomet P n- 2(z), med början från punkt (1) tills vi hittar alla rötter.

Hitta rötterna till ett polynom

Huvuduppgiften när man faktoriserar ett polynom är att hitta dess rötter. Tyvärr kan detta inte alltid göras analytiskt. Här kommer vi att titta på flera fall när du kan hitta rötterna till ett polynom analytiskt.

Rötter till ett polynom av första graden

Ett förstagradspolynom är en linjär funktion. Den har en rot. Expansionen har bara en faktor som innehåller variabeln z:
.

Rötter till ett polynom av andra graden

För att hitta rötterna till ett polynom av andra graden måste du lösa andragradsekvationen:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Om diskriminanten är , då har ekvationen två reella rötter:
, .
Då har faktoriseringen formen:
.
Om diskriminant D = 0 , då har ekvationen en dubbelrot:
;
.
Om diskriminerande D< 0 , då är rötterna till ekvationen komplexa,
.

Polynom med högre grad än två

Det finns formler för att hitta rötterna till polynom av 3:e och 4:e graden. De används dock sällan eftersom de är skrymmande. Det finns inga formler för att hitta rötterna till polynom med högre grad än 4:e. Trots detta är det i vissa fall möjligt att faktorisera polynomet.

Att hitta hela rötter

Om det är känt att ett polynom vars koefficienter är heltal har en heltalsrot, så kan den hittas genom att söka igenom alla möjliga värden.

Lemma 3

Låt polynomet
,
vars koefficienter a i är heltal, har en heltalsrot z 1 . Då är denna rot en divisor av talet a 0 .

Bevis

Låt oss skriva om ekvationen P n (z 1) = 0 som:
.
Sedan hela
M z 1 = - en 0.
Dividera med z 1 :
.
Eftersom M är ett heltal så är M ett heltal. Q.E.D.

Därför, om koefficienterna för polynomet är heltal, kan du försöka hitta heltalsrötter. För att göra detta måste du hitta alla divisorer för den fria termen a 0 och genom att ersätta in i ekvationen P n (z) = 0, kontrollera om de är rötter till denna ekvation.
Notera. Om koefficienterna för polynomet är rationella tal, multiplicera ekvationen P n (z) = 0 med den gemensamma nämnaren för talen a i får vi en ekvation för ett polynom med heltalskoefficienter.

Att hitta rationella rötter

Om koefficienterna för polynomet är heltal och det inte finns några heltalsrötter, då för a n ≠ 1 , kan du försöka hitta rationella rötter. För att göra detta måste du göra ett byte
z = y/a n
och multiplicera ekvationen med a n n- 1 . Som ett resultat får vi en ekvation för ett polynom i variabeln y med heltalskoefficienter. Därefter letar vi efter heltalsrötter för detta polynom bland divisorerna för den fria termen. Om vi har hittat en sådan rot y i, då vi går över till variabeln x, får vi en rationell rot
z i = y i/a n .

Användbara formler

Vi presenterar formler som kan användas för att faktorisera ett polynom.

Mer allmänt, att expandera ett polynom
P n (z) = zn - a 0,
där en 0 - komplex, du måste hitta alla dess rötter, det vill säga lösa ekvationen:
z n = a 0 .
Denna ekvation kan enkelt lösas genom att uttrycka a 0 via modul r och argument φ:
.
Sedan a 0 kommer inte att ändras om vi lägger till argumentet 2π, föreställ dig sedan en 0 som:
,
där k är ett heltal. Sedan
;
.
Tilldela k värdena k = 0, 1, 2, ... n-1, får vi n rötter av polynomet. Sedan har dess faktorisering formen:
.

Biquadratisk polynom

Betrakta det biquadratiska polynomet:
.
Ett biquadratiskt polynom kan faktoriseras utan att hitta rötterna.

När har vi:

,
Var .

Bikubiska och andragradspolynom

Tänk på polynomet:
.
Dess rötter bestäms från ekvationen:
.
Den reduceras till en andragradsekvation genom att ersätta t = z n:
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Efter att ha löst denna ekvation finner vi dess rötter, t 1 t 2 . Sedan hittar vi expansionen i formen:
.
Därefter, med hjälp av metoden som anges ovan, faktoriserar vi z n - t 1 och zn - t 2 . Slutligen grupperar vi de faktorer som innehåller komplexa konjugerade rötter.

Återkommande polynom

Polynomet kallas retur-, om dess koefficienter är symmetriska:

Ett exempel på ett reflexivt polynom:
.

Om graden av ett reflexivt polynom n är udda, så har ett sådant polynom en rot z = -1 . Att dividera ett sådant polynom med z + 1 , får vi ett återkommande polynom av grad