Cirkulär rörelse. Ekvation för cirkulär rörelse

Ämnen för kodifieraren för Unified State Examination: rörelse i en cirkel med konstant absolut hastighet, centripetalacceleration.

Enhetlig rörelse runt en cirkel – Det här är ett ganska enkelt exempel på rörelse med en accelerationsvektor som beror på tiden.

Låt punkten rotera längs en cirkel med radie. Punktens hastighet är konstant i absolut värde och lika med . Hastighet kallas linjär hastighet poäng.

Cirkulationsperiod - det här är tiden för en hel revolution. För perioden har vi en självklar formel:

. (1)

Frekvens är periodens ömsesidighet:

Frekvens visar hur många hela varv en punkt gör per sekund. Frekvensen mäts i rps (varv per sekund).

Låt till exempel . Det betyder att under tiden punkten gör en komplett
omsättning Frekvensen är då lika med: r/s; per sekund gör spetsen 10 hela varv.

Vinkelhastighet.

Låt oss betrakta den enhetliga rotationen av en punkt i ett kartesiskt koordinatsystem. Låt oss placera ursprunget för koordinaterna i mitten av cirkeln (Fig. 1).

Ris. 1. Enhetlig rörelse i en cirkel

Låt vara den initiala positionen för punkten; med andra ord, vid punkten hade koordinater . Låt punkten vända sig genom en vinkel och ta position.

Förhållandet mellan rotationsvinkeln och tiden kallas vinkelhastighet punktrotation:

. (2)

Vinkel mäts vanligtvis i radianer, så vinkelhastighet mäts i rad/s. Under en tid lika med rotationsperioden roterar punkten genom en vinkel. Det är därför

. (3)

Genom att jämföra formlerna (1) och (3), får vi förhållandet mellan linjära och vinkelhastigheter:

. (4)

Rörelselag.

Låt oss nu hitta beroendet av koordinaterna för den roterande punkten på tiden. Vi ser från fig. 1 det

Men från formel (2) har vi: . Därav,

. (5)

Formler (5) är lösningen på mekanikens huvudproblem för den enhetliga rörelsen av en punkt längs en cirkel.

Centripetal acceleration.

Nu är vi intresserade av accelerationen av den roterande punkten. Det kan hittas genom att differentiera relationer (5) två gånger:

Med hänsyn till formler (5) har vi:

(6)

De resulterande formlerna (6) kan skrivas som en vektorlikhet:

(7)

var är radievektorn för den roterande punkten.

Vi ser att accelerationsvektorn är riktad motsatt radievektorn, dvs mot cirkelns mittpunkt (se fig. 1). Därför kallas accelerationen av en punkt som rör sig jämnt runt en cirkel centripetal.

Dessutom får vi från formel (7) ett uttryck för centripetalaccelerationsmodulen:

(8)

Låt oss uttrycka vinkelhastigheten från (4)

och ersätt det med (8). Låt oss få en annan formel för centripetalacceleration.

I den här lektionen kommer vi att titta på kurvlinjär rörelse, nämligen den enhetliga rörelsen av en kropp i en cirkel. Vi kommer att lära oss vad linjär hastighet är, centripetalacceleration när en kropp rör sig i en cirkel. Vi kommer också att introducera storheter som kännetecknar rotationsrörelse (rotationsperiod, rotationsfrekvens, vinkelhastighet), och koppla dessa storheter med varandra.

Med likformig cirkulär rörelse menar vi att kroppen roterar i samma vinkel under en lika lång tidsperiod (se fig. 6).

Ris. 6. Enhetlig rörelse i en cirkel

Det vill säga modulen för momentan hastighet ändras inte:

Denna hastighet kallas linjär.

Även om storleken på hastigheten inte ändras, ändras riktningen på hastigheten kontinuerligt. Låt oss betrakta hastighetsvektorerna vid punkter A Och B(se fig. 7). De är riktade åt olika håll, så de är inte lika. Om vi ​​subtraherar från hastigheten vid punkten B hastighet vid punkten A, får vi vektorn .

Ris. 7. Hastighetsvektorer

Förhållandet mellan hastighetsändringen () och den tid under vilken denna förändring inträffade () är accelerationen.

Därför accelereras varje kurvlinjär rörelse.

Om vi ​​betraktar hastighetstriangeln som erhålls i figur 7, då med ett mycket nära arrangemang av punkter A Och B till varandra kommer vinkeln (α) mellan hastighetsvektorerna att vara nära noll:

Det är också känt att denna triangel är likbent, därför är hastighetsmodulerna lika (likformig rörelse):

Därför är båda vinklarna vid basen av denna triangel obestämt nära:

Det betyder att accelerationen, som är riktad längs vektorn, faktiskt är vinkelrät mot tangenten. Det är känt att en linje i en cirkel vinkelrät mot en tangent är därför en radie accelerationen riktas längs radien mot cirkelns centrum. Denna acceleration kallas centripetal.

Figur 8 visar den tidigare diskuterade hastighetstriangeln och en likbent triangel (två sidor är cirkelns radier). Dessa trianglar är lika eftersom de har lika stora vinklar som bildas av ömsesidigt vinkelräta linjer (radien och vektorn är vinkelräta mot tangenten).

Ris. 8. Illustration för härledning av formeln för centripetalacceleration

Linjesegmentet ABär move(). Vi överväger enhetlig rörelse i en cirkel, därför:

Låt oss ersätta det resulterande uttrycket AB in i triangellikhetsformeln:

Begreppen "linjär hastighet", "acceleration", "koordinat" räcker inte för att beskriva rörelse längs en krökt bana. Därför är det nödvändigt att införa kvantiteter som kännetecknar rotationsrörelse.

1. Rotationsperiod (T ) kallas tiden för en hel revolution. Mäts i SI-enheter i sekunder.

Exempel på perioder: Jorden roterar runt sin axel på 24 timmar (), och runt solen - på 1 år ().

Formel för att beräkna perioden:

var är den totala rotationstiden; - antal varv.

2. Rotationsfrekvens (n ) - antalet varv som en kropp gör per tidsenhet. Mäts i SI-enheter i reciproka sekunder.

Formel för att hitta frekvens:

var är den totala rotationstiden; - antal varv

Frekvens och period är omvänt proportionella storheter:

3. Vinkelhastighet () kalla förhållandet mellan förändringen i vinkeln genom vilken kroppen vred sig och den tid under vilken denna rotation inträffade. Mäts i SI-enheter i radianer dividerat med sekunder.

Formel för att hitta vinkelhastighet:

var är förändringen i vinkeln; - tid under vilken svängen genom vinkeln inträffade.

Cirkulär rörelse är det enklaste fallet av krökt rörelse av en kropp. När en kropp rör sig runt en viss punkt, tillsammans med förskjutningsvektorn, är det bekvämt att ange vinkelförskjutningen ∆ φ (rotationsvinkel i förhållande till cirkelns mitt), mätt i radianer.

Genom att känna till vinkelförskjutningen kan du beräkna längden på cirkelbågen (banan) som kroppen har korsat.

∆ l = R ∆ φ

Om vridningsvinkeln är liten, då ∆ l ≈ ∆ s.

Låt oss illustrera vad som har sagts:

Vinkelhastighet

Med kurvlinjär rörelse introduceras begreppet vinkelhastighet ω, det vill säga förändringshastigheten i rotationsvinkeln.

Definition. Vinkelhastighet

Vinkelhastigheten vid en given punkt av banan är gränsen för förhållandet mellan vinkelförskjutningen ∆ φ och tidsintervallet ∆ t under vilken den inträffade. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Måttenheten för vinkelhastighet är radian per sekund (r a d s).

Det finns ett samband mellan vinkel- och linjärhastigheten för en kropp när den rör sig i en cirkel. Formel för att hitta vinkelhastighet:

Med likformig rörelse i en cirkel förblir hastigheterna v och ω oförändrade. Endast riktningen för den linjära hastighetsvektorn ändras.

I detta fall påverkar likformig rörelse i en cirkel kroppen genom centripetal eller normal acceleration, riktad längs cirkelns radie till dess centrum.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Centripetalaccelerationsmodulen kan beräknas med formeln:

a n = v 2 R = ω 2 R

Låt oss bevisa dessa relationer.

Låt oss överväga hur vektorn v → förändras under en kort tidsperiod ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

I punkterna A och B är hastighetsvektorn riktad tangentiellt mot cirkeln, medan hastighetsmodulerna vid båda punkterna är desamma.

Per definition av acceleration:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Låt oss titta på bilden:

Trianglar OAB och BCD liknar varandra. Av detta följer att O A A B = B C C D .

Om värdet på vinkeln ∆ φ är litet, är avståndet A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Med hänsyn till att O A = R och C D = ∆ v för de liknande trianglarna som betraktas ovan, får vi:

R v ∆ t = v ∆ v eller ∆ v ∆ t = v 2 R

När ∆ φ → 0, närmar sig vektorns riktning ∆ v → = v B → - v A → riktningen till cirkelns mittpunkt. Om vi ​​antar att ∆ t → 0 får vi:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0 ; an → = v2R.

Med enhetlig rörelse runt en cirkel förblir accelerationsmodulen konstant, och vektorns riktning ändras med tiden, vilket bibehåller orienteringen mot cirkelns mitt. Det är därför denna acceleration kallas centripetal: vektorn är vid varje tidpunkt riktad mot cirkelns mittpunkt.

Att skriva centripetalacceleration i vektorform ser ut så här:

a n → = - w2R → .

Här är R → radievektorn för en punkt på en cirkel med dess origo i centrum.

Generellt sett består acceleration när man rör sig i en cirkel av två komponenter - normal och tangentiell.

Låt oss överväga fallet när en kropp rör sig ojämnt runt en cirkel. Låt oss introducera begreppet tangentiell (tangentiell) acceleration. Dess riktning sammanfaller med riktningen för kroppens linjära hastighet och vid varje punkt i cirkeln riktas tangenten till den.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Här ∆ v τ = v 2 - v 1 - förändring i hastighetsmodul över intervallet ∆ t

Riktningen för den totala accelerationen bestäms av vektorsumman av normal- och tangentiell acceleration.

Cirkulär rörelse i ett plan kan beskrivas med två koordinater: x och y. Vid varje tidpunkt kan kroppens hastighet delas upp i komponenterna v x och v y.

Om rörelsen är likformig kommer storheterna v x och v y samt motsvarande koordinater att förändras i tiden enligt en harmonisk lag med en period T = 2 π R v = 2 π ω

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter