Historien om utvecklingen av sannolikhetsteorin. Ämne

Libert Elena

Spänningen och önskan att bli rik gav impulser till framväxten av en ny extremt viktig matematisk disciplin: sannolikhetsteorin. Matematiker av en sådan skala som Pascal och Fermat, Huygens deltog i utvecklingen av dess grunder.

Ladda ner:

Förhandsvisning:

MBOU gymnasieskola nr 8, Yartsevo, Smolensk-regionen

Matteprojekt:

"Historia om uppkomsten av sannolikhetsteorin"

Utarbetad av: 11:e klass elev

gymnasieskola №8 Libert Elena

Ledare: mattelärare

Borisenkova Olga Vladimirovna

Yartsevo, 2015

Sannolikhetsteorins historia…………………………………………………………………………..…...3

Medeltida Europa och början av den nya tiden……………………….4

XVII-talet: Pascal, Fermat, Huygens…..………………………………………….5

XVIII-talet……..……………………………………………………………………………….7

XIX århundradet. Allmänna trender och kritik………………………………………..7

Tillämpning av sannolikhetsteori under XIX-XX århundradena……………….…..…8

Astronomi……………………………………………………………….8
Fysik…………………………………………………………………………………9
Biometri…………………………………………………………………………………9
Jordbruk………………………..………………………………..9
Industri …………………………………………………………..10
Medicin……………………………………………………………………………… 10
Bioinformatik………………………………………………………………………….10
Ekonomi och bank…….……………………………………….11

Historien om uppkomsten av sannolikhetsteorin

En fransk adelsman, en viss Monsieur de Mere, var en spelare med tärningar och ville passionerat bli rik. Han tillbringade mycket tid för att upptäcka hemligheten med tärningsspelet. Han uppfann olika alternativ för spelet och antog att han på detta sätt skulle skaffa sig en stor förmögenhet. Så till exempel erbjöd han sig att kasta en tärning i tur och ordning 4 gånger och övertygade partnern om att minst en gång i sexan skulle falla ut. Om de sex inte kom ut för 4 kast, vann motståndaren.

På den tiden fanns det ingen gren av matematiken, som vi idag kallar sannolikhetsteori, och därför, för att försäkra sig om att hans antaganden var korrekta, vände sig Mr. Mere till sin vän, den berömde matematikern och filosofen B. Pascal, med en begäran att han skulle studera två kända frågor, varav den första han försökte lösa själv. Frågorna var:

Hur många gånger behöver du slå två tärningar så att det blir mer än hälften av det totala antalet kast med två sexor på en gång?

Hur man rättvist fördelar pengarna som satsas av två spelare, om de av någon anledning stoppade spelet i förtid?

Pascal blev inte bara själv intresserad av detta, utan skrev också ett brev till den berömda matematikern P. Fermat, som provocerade honom att studera tärningarnas allmänna lagar och sannolikheten att vinna.

Således gav spänning och önskan att bli rik drivkraft till framväxten av en ny extremt viktig matematisk disciplin: sannolikhetsteorin. Matematiker av en sådan skala som Pascal och Fermat, Huygens (1629-1695), som skrev avhandlingen "On Calculations in Gambling", Jacob Bernoulli (1654-1705), Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855) och Poisson (1781-1840). Numera används sannolikhetsteorin inom nästan alla kunskapsgrenar: inom statistik, väderprognoser (väderprognos), biologi, ekonomi, teknik, konstruktion m.m.

Medeltida Europa och början av modern tid

De första problemen av probabilistisk karaktär uppstod i olika hasardspel - tärningar, kort etc. Den franske 1200-talets kanon Richard de Fournival beräknade korrekt alla möjliga poängsummor efter att ha kastat tre tärningar och angav antalet sätt på vilka var och en av dessa summor kan erhållas. Detta antal sätt kan ses som det första numeriska måttet på förväntan av en händelse, analogt med sannolikhet. Före Fournival, och ibland efter det, beräknades detta mått ofta felaktigt, till exempel med tanke på att summan av 3 och 4 poäng är lika sannolika, eftersom båda kan visa sig "bara på ett sätt": enligt resultaten av kast, "tre enheter" respektive "två med två enheter. Samtidigt togs det inte med i beräkningen att tre ettor faktiskt erhålls på bara ett sätt: ~1+1+1, och en tvåa med två ettor - tre: ~1+1+2;\;1+2 +1;\;2+ 1+1, så dessa händelser är inte lika sannolika. Liknande misstag påträffades upprepade gånger i vetenskapens vidare historia.

Det omfattande matematiska uppslagsverket "Summan av aritmetik, geometri, förhållanden och proportioner" av italienaren Luca Pacioli (1494) innehåller originalproblem på ämnet: hur man delar insatsen mellan två spelare om en serie spel avbryts före schemat. Ett exempel på ett liknande problem: spelet går upp till 60 poäng, vinnaren får hela insatsen på 22 dukater, under spelet fick den första spelaren 50 poäng, den andra - 30, och sedan måste spelet stoppas; det krävs att den ursprungliga kursen delas rättvist. Beslutet beror på vad som menas med en "rättvis" uppdelning; Pacioli själv föreslog att dela i proportion till poängen (55/4 och 33/4 dukater); hans beslut visade sig senare vara felaktigt.

Fördelning av poäng efter att ha kastat två tärningar

Den framstående algebraisten på 1500-talet, Gerolamo Cardano, ägnade en informativ monografi åt analysen av spelet, The Book of Dice (1526, publicerad postumt). Cardano genomförde en fullständig och omisskännlig kombinatorisk analys för värdena av summan av poäng och angav för olika händelser det förväntade värdet av andelen "gynnsamma" händelser: till exempel, när man kastar tre tärningar, andelen fall där värdena på alla 3 tärningarna är desamma är 6/216 eller 1/36. Cardano gjorde en insiktsfull observation: det faktiska antalet studerade händelser kan skilja sig mycket från det teoretiska för ett litet antal spel, men ju fler spel i serien, desto mindre andel av denna skillnad. I huvudsak kom Cardano nära begreppet sannolikhet:

Så det finns en allmän regel för beräkning: du måste ta hänsyn till det totala antalet möjliga förekomster och antalet sätt på vilka dessa förekomster kan förekomma, och sedan hitta förhållandet mellan det sista talet och antalet återstående möjliga förekomster .

En annan italiensk algebraist, Niccolò Tartaglia, kritiserade Paciolis tillvägagångssätt för att lösa problemet med insatsdelning: trots allt, om en av spelarna ännu inte har lyckats få en enda poäng, så ger Paciolis algoritm hela vadet till sin motståndare, men detta kan knappast kallas rättvist, eftersom det finns vissa chanser att vinna eftersläntrare fortfarande har. Cardano och Tartaglia föreslog sina egna (olika) metoder för delning, men senare erkändes dessa metoder också som misslyckade.

Galileo Galilei, som skrev avhandlingen "Om frågan om poäng när man spelar tärningar" (1718, publicerad postumt), var också involverad i studiet av detta ämne. Galileos presentation av spelteori kännetecknas av dess uttömmande fullständighet och klarhet. I sin huvudbok, Dialogue on the Two Major Systems of the World, Ptolemaic and Copernican, påpekade Galileo också möjligheten att uppskatta felet i astronomiska och andra mätningar, och konstaterade att små mätfel är mer sannolika än stora, avvikelser i båda riktningarna är lika sannolika, och medelresultatet bör vara nära det verkliga värdet av det uppmätta värdet. Detta kvalitativa resonemang blev den första förutsägelsen någonsin om normalfördelningen av fel.

1600-talet: Pascal, Fermat, Huygens

På 1600-talet började en tydlig uppfattning om problemen med sannolikhetsteori bildas, och de första matematiska (kombinatoriska) metoderna för att lösa sannolikhetsproblem dök upp. Grundarna av den matematiska sannolikhetsteorin var Blaise Pascal och Pierre de Fermat.

Innan dess vände sig amatörmatematikern Chevalier de Mere till Pascal om det så kallade "poängproblemet": hur många gånger behöver du kasta två tärningar för att satsa på den samtidiga förlusten av minst en gång två sexor var lönsam? Pascal och Fermat ingick korrespondens med varandra om detta problem och relaterade frågor (1654). Som en del av denna korrespondens diskuterade forskare ett antal problem relaterade till probabilistiska beräkningar; i synnerhet övervägdes det gamla problemet med att dela insatsen, och båda forskarna kom till beslutet att det är nödvändigt att dela insatsen efter de återstående vinstchanserna. Pascal påpekade för de Mere det misstag han hade gjort när han löste "problemet om poäng": medan de Mere felaktigt identifierade lika sannolika händelser, efter att ha fått svaret: 24 kast, gav Pascal rätt svar: 25 kast.

Pascal i sina skrifter avancerade långt med användningen av kombinatoriska metoder, som han systematiserade i sin bok Treatise on the Arithmetic Triangle (1665). Baserat på ett probabilistiskt synsätt hävdade Pascal till och med (i sina postumt publicerade anteckningar) att det är mer lönsamt att vara troende än ateist.

Huygens använde först termen "kostnad", och termen "förväntning" dök upp för första gången när Van Schouten översatte Huygens avhandling till latin och blev allmänt accepterad inom vetenskapen.

Boken innehåller ett stort antal problem, några med lösningar, andra "för oberoende lösning". Av de senare väckte "problemet att förstöra en spelare" särskilt intresse och livlig diskussion. I en något generaliserad form formuleras det så här: spelare A och B har a- respektive b-mynt, ett mynt vinner i varje spel, sannolikheten för att A vinner i varje spel är lika med p, det krävs att hitta sannolikheten för hans fullständiga undergång. Den fullständiga allmänna lösningen av "fördärvningsproblemet" gavs av Abraham de Moivre ett halvt sekel senare (1711). Nuförtiden används det probabilistiska schemat för "ruinproblemet" för att lösa många problem av typen "random walk".

Huygens analyserade också uppgiften att dela insatsen och gav sin slutgiltiga lösning: insatsen måste delas upp i proportion till sannolikheterna att vinna om spelet fortsätter. Han var också banbrytande för tillämpningen av probabilistiska metoder på befolkningsstatistik och visade hur man beräknar medellivslängden.

Publikationerna av de engelska statistikerna John Graunt (1662) och William Petty (1676, 1683) tillhör samma period. Efter att ha bearbetat data i mer än ett sekel visade de att många av de demografiska egenskaperna hos Londonbefolkningen, trots slumpmässiga fluktuationer, är ganska stabila - till exempel avviker förhållandet mellan antalet nyfödda pojkar och flickor sällan från andelen 14 till 13, fluktuationerna är små och andelen dödsfall från specifika slumpmässiga orsaker. Dessa data förberedde det vetenskapliga samfundet för uppfattningen av nya idéer.

Graunt var också först med att sammanställa livstabeller – tabeller över sannolikheten för död som funktion av ålder. Problemen med sannolikhetsteorin och dess tillämpning på demografisk statistik togs också upp av Johann Hudde och Jan de Witt i Nederländerna, som 1671 även sammanställde dödlighetstabeller och använde dem för att beräkna storleken på livräntan. Denna rad frågor beskrevs mer i detalj 1693 av Edmund Halley.

1700-talet

Huygens bok byggde på Pierre de Montmors avhandlingar, som utkom i början av 1700-talet, "The Experience of the Study of Gambling" (utgiven 1708 och omtryckt med tillägg 1713) och Jacob Bernoullis "The Art of Assumptions" " (publicerad efter vetenskapsmannens död, samma 1713). Det senare var av särskild betydelse för sannolikhetsteorin.

1800-talet

Allmänna trender och kritik

Under 1800-talet fortsatte antalet verk om sannolikhetsteorin att växa, det gjordes till och med försök att kompromissa med vetenskapen för att utvidga dess metoder långt bortom rimliga gränser - till exempel till området moral, psykologi, brottsbekämpning och t.o.m. teologi. I synnerhet den walesiske filosofen Richard Price, följt av Laplace, ansåg att det var möjligt att beräkna sannolikheten för den kommande soluppgången med hjälp av Bayes formler, Poisson försökte göra en probabilistisk analys av rättvisa domar och tillförlitligheten av vittnesuppgifter. Filosofen J. S. Mill, 1843, påpekade sådana spekulativa tillämpningar, kallade sannolikhetskalkylen "matematikens skam". Denna och andra uppskattningar vittnade om den otillräckliga noggrannheten av sannolikhetsteorin.

Sannolikhetsteorins matematiska apparat fortsatte under tiden att förbättras. Det huvudsakliga tillämpningsområdet för dess tillämpning vid den tiden var den matematiska bearbetningen av observationsresultat som innehöll slumpmässiga fel, liksom beräkningen av risker i försäkringsverksamheten och andra statistiska parametrar. Bland de huvudsakliga tillämpade problemen med sannolikhetsteori och matematisk statistik på 1800-talet är följande:

hitta sannolikheten att summan av oberoende stokastiska variabler med samma (kända) fördelningslag ligger inom de givna gränserna. Detta problem var av särskild betydelse för teorin om mätfel, främst för att uppskatta observationsfelet;

fastställa den statistiska signifikansen av skillnader i slumpmässiga värden eller serier av sådana värden. Exempel: jämföra resultaten av att använda nya och gamla typer av läkemedel för att avgöra om det nya läkemedlet verkligen är bättre;

studie av en given faktors inverkan på en stokastisk variabel (faktoriell analys).

I mitten av 1800-talet bildades en probabilistisk teori om artilleriskjutning. De flesta av de stora europeiska länderna har etablerat nationella statistikorganisationer. I slutet av seklet började tillämpningsområdet för probabilistiska metoder framgångsrikt spridas till fysik, biologi, ekonomi och sociologi.

Tillämpning av sannolikhetsteorin under XIX-XX århundradena.

På 1800- och 1900-talen trängde sannolikhetsteorin först in i vetenskapen (astronomi, fysik, biologi), sedan i praktiken (jordbruk, industri, medicin) och slutligen, efter datorernas uppfinning, i varje persons dagliga liv. använda moderna metoder för att ta emot och överföra information. Låt oss spåra applikationen inom olika områden.

1. Astronomi.

Det var för användning inom astronomi som den berömda "minsta kvadraters metoden" utvecklades (Legendre 1805, Gauss 1815). Huvudproblemet som det ursprungligen användes för var beräkningen av kometernas banor, som måste göras från ett litet antal observationer. Det är tydligt att en tillförlitlig bestämning av typen av omloppsbana (en ellips eller en hyperbel) och en exakt beräkning av dess parametrar är svår, eftersom omloppsbanan endast observeras i ett litet område. Metoden visade sig vara effektiv, universell och väckte het debatt om prioritering. Det började användas inom geodesi och kartografi. Nu när konsten att manuella beräkningar har gått förlorad är det svårt att föreställa sig att man vid kartläggningen av världshaven i England på 1880-talet löste ett system med cirka 6 000 ekvationer med flera hundra okända numeriskt med hjälp av minsta kvadratmetoden.

2. Fysik.

Under andra hälften av 1800-talet, i verk av Maxwell, Boltzmann och Gibbs, utvecklades statistisk mekanik, som beskrev tillståndet för försålda system som innehåller ett stort antal partiklar (av storleksordningen Avogadro-numret). Om tidigare konceptet med fördelningen av en slumpvariabel huvudsakligen var associerad med fördelningen av mätfel, visade sig nu en mängd olika kvantiteter vara fördelade - hastigheter, energier, fria vägar.

3. Biometri.

1870-1900 grundade belgiska Quetelet och britterna Francis Galton och Karl Pearson en ny vetenskaplig riktning - biometri, där man för första gången systematiskt och kvantitativt började studera den osäkra variabiliteten hos levande organismer och nedärvningen av kvantitativa egenskaper. Nya begrepp introducerades i den vetenskapliga cirkulationen - regressioner och korrelationer.

Så fram till början av 1900-talet var de huvudsakliga tillämpningarna av sannolikhetsteorin kopplade till vetenskaplig forskning. Implementering i praktiken - jordbruk, industri, medicin inträffade på 1900-talet.

4. Jordbruk.

I början av 1900-talet i England var uppgiften att kvantitativt jämföra effektiviteten hos olika jordbruksmetoder. För att lösa detta problem utvecklades teorin om planering av experiment och variansanalys. Huvudförtjänsten i utvecklingen av denna redan rent praktiska användning av statistik tillhör Sir Ronald Fisher, en astronom till sin utbildning, och senare en bonde, statistiker, genetiker, president för engelska Royal Society. Modern matematisk statistik, lämplig för bred tillämpning i praktiken, utvecklades i England (Karl Pearson, Student, Fisher). Student var den första som löste problemet med att uppskatta en okänd fördelningsparameter utan att använda Bayesiansk metod.

5. Industri.

Införande av statistiska kontrollmetoder i produktionen (Shewhart kontrolldiagram). Minska det erforderliga antalet produktkvalitetstester. Matematiska metoder är redan så viktiga att de har blivit sekretessbelagda. Så en bok som beskrev en ny teknik som gjorde det möjligt att minska antalet tester ("Sequential Analysis" av Wald) publicerades först efter andra världskrigets slut 1947.

6. Medicin.

Den utbredda användningen av statistiska metoder inom medicinen började relativt nyligen (andra hälften av 1900-talet). Utvecklingen av effektiva behandlingsmetoder (antibiotika, insulin, effektiv anestesi, kardiopulmonell bypass) krävde tillförlitliga metoder för att utvärdera deras effektivitet. Ett nytt koncept för "Evidensbaserad medicin" har dykt upp. En mer formell, kvantitativ metod för behandling av många sjukdomar började utvecklas - införandet av protokoll, riktlinjer.

Sedan mitten av 1980-talet har en ny och viktig faktor dykt upp som har revolutionerat alla tillämpningar av sannolikhetsteori – möjligheten till utbredd användning av snabba och prisvärda datorer. Du kan känna den enorma revolutionen som har ägt rum om du betänker att en modern persondator i hastighet och minne överträffar alla datorer i Sovjetunionen och USA som fanns 1968, den tid då projekt relaterade till byggandet av kärnkraft. växter, flyg till månen och skapandet av en termonukleär bomb. Nu, genom direkta experiment, är det möjligt att erhålla resultat som tidigare var otillgängliga - tänkbara.

7. Bioinformatik.

Sedan 1980-talet har antalet kända protein- och nukleinsyrasekvenser vuxit snabbt. Mängden ackumulerad information är sådan att endast en datoranalys av dessa data kan lösa problemet med att extrahera information.

8. Ekonomi och bank.

Riskteorin har en bred tillämpning. Riskteori är en teori om beslutsfattande under förhållanden av probabilistisk osäkerhet. Ur en matematisk synvinkel är det en gren av sannolikhetsteorin, och tillämpningarna av riskteorin är nästan obegränsade. Det mest avancerade finansiella applikationsområdet: bank och försäkring, marknads- och kreditriskhantering, investeringar, affärsrisker, telekommunikation. Icke-finansiella tillämpningar relaterade till hot mot hälsa, miljö, risker för olyckor och miljökatastrofer och andra områden utvecklas också.

Skicka ditt goda arbete i kunskapsbasen är enkelt. Använd formuläret nedan

Studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.

Liknande dokument

Framväxten och utvecklingen av sannolikhetsteorin och dess tillämpningar. Att lösa de klassiska paradoxerna med tärningar och "gambling". Paradoxen i lagen om ett stort antal Bernoulli och Bertrand, födelsedag och presentutdelning. Studiet av paradoxer från G. Sekeys bok.

test, tillagt 2016-05-29

Kärnan och ämnet för sannolikhetsteorin, som återspeglar mönstren som är inneboende i slumpmässiga fenomen av massnatur. Hennes studie av regelbundenhet hos masshomogena slumpmässiga fenomen. Beskrivning av de mest populära experimenten inom sannolikhetsteori.

presentation, tillagd 2015-08-17

Kärnan i begreppet "kombinatorik". Historisk referens från vetenskapens utvecklingshistoria. Regeln om summa och produkt, placering och permutation. Generell bild av formeln för att beräkna antalet kombinationer med repetitioner. Ett exempel på att lösa problem inom sannolikhetsteorin.

test, tillagt 2014-01-30

Sannolikhetsteori som en matematisk vetenskap som studerar regelbundenhet i masshomogena fall, fenomen och processer, ämne, grundläggande begrepp och elementära händelser. Bestämma sannolikheten för en händelse. Analys av sannolikhetslärans huvudsatser.

fuskblad, tillagt 2010-12-24

Framväxten av sannolikhetsteorin som en vetenskap, bidraget från utländska forskare och St. Petersburg Mathematical School till dess utveckling. Begreppet statistisk sannolikhet för en händelse, beräkningen av det mest sannolika antalet förekomster av en händelse. Kärnan i den lokala Laplace-satsen.

presentation, tillagd 2015-07-19

Principer för problemlösning i sannolikhetsteorin: slumpmässiga händelser och deras tillåtlighet, ofrivilliga storheter, fördelningar och numeriska egenskaper för betygsättning, grundläggande gränssatser för summor av oberoende probabilistiska storheter.

test, tillagt 2010-03-12

Fördelen med att använda Bernoullis formel, dess plats i sannolikhetsteorin och dess tillämpning i oberoende tester. Historisk skiss över den schweiziske matematikern Jacob Bernoullis liv och arbete, hans prestationer inom differentialkalkyl.

presentation, tillagd 2012-11-12

Forskning av J. Cardano och N. Tartaglia inom området för att lösa primära problem inom sannolikhetsteorin. Pascals och Fermats bidrag till utvecklingen av sannolikhetsteorin. H. Huygens verk. De första studierna om demografi. Bildande av begreppet geometrisk sannolikhet.

terminsuppsats, tillagd 2010-11-24

Definition. Sannolikhetsteori är en vetenskap som studerar mönster i slumpmässiga fenomen.

Definition. Ett slumpmässigt fenomen är ett fenomen som, när det testas upprepade gånger, fortskrider olika varje gång.

Definition. Erfarenhet är en mänsklig aktivitet eller process, tester.

Definition. En händelse är resultatet av en upplevelse.

Definition.Ämnet för sannolikhetsteorin är slumpmässiga fenomen och specifika mönster av slumpmässiga massfenomen.

Händelseklassificering:

Evenemanget kallas äkta om det, som ett resultat av experimentet, definitivt kommer att inträffa.

Exempel. Skollektionen kommer definitivt att ta slut.

Evenemanget kallas omöjlig om det under de givna förhållandena aldrig inträffar.

Exempel. Om det inte finns någon elektrisk ström i kretsen tänds inte lampan.

Evenemanget kallas slumpmässig eller omöjlig om det, som ett resultat av experimentet, kan inträffa eller inte.

Exempel. Event – klara provet.

Evenemanget kallas lika möjligt , om utseendeförhållandena är desamma och det inte finns anledning att hävda att den ena till följd av experimentet har större chans att dyka upp än den andra.

Exempel. Förlust av vapen eller svans när du kastar ett mynt.

Händelserna kallas gemensam om förekomsten av en av dem inte utesluter möjligheten av förekomsten av den andra.

Exempel. När man avfyras är en miss och en flygning gemensamma händelser.

Evenemanget kallas oförenlig om förekomsten av den ena utesluter möjligheten för den andra.

Exempel. Med ett skott är träff och miss inte gemensamma händelser.

Två inkompatibla händelser kallas motsatt om, som ett resultat av experimentet, en av dem är skyldig att inträffa.

Exempel. Vid godkänd tentamen kallas händelserna "godkänd på tentan" och "underkänd på tentan" motsatta.

Beteckning: - normal händelse, - motsatt händelse.

Flera evenemang bildas komplett grupp av inkompatibla händelser , om bara en av dem inträffar som ett resultat av experimentet.

Exempel. När du klarar ett prov är det möjligt: "Jag klarade inte provet", "godkänt för "3", "godkänt för "4", - en komplett grupp av inkompatibla händelser.

Summa och produktregler.

Definition. Summan av två produkter a och b ring evenemanget c , som består i att en händelse inträffar a eller händelser b eller båda samtidigt.

Summan av händelser kallas kombinera evenemang (framträdande av minst en av händelserna).

Om det är uppenbart i uppgiften vad som ska visas a ELLER b , då säger de att de hittar summan.

Definition. Produkten av händelser a och b ring evenemanget c , som består i att händelser inträffar samtidigt a och b .

Produkten är skärningspunkten mellan två händelser.

Om uppgiften säger att de hittar a Och b , så att de hittar produkten.

Exempel. Med två skott:

om det är nödvändigt att hitta en träff minst en gång, hitta summan.
om det är nödvändigt att hitta en träff två gånger, hitta produkten.

Sannolikhet. Sannolikhetsegenskap.

Definition. Frekvensen av någon händelse kallas antalet lika med förhållandet mellan antalet experiment där händelsen uppträdde och antalet utförda experiment.

Notation: r() – händelsefrekvens .

Exempel. Genom att kasta ett mynt 15 gånger, och på så sätt, kommer vapnet att falla ut 10 gånger, då frekvensen av uppkomsten av vapnet: r () =.

Definition. Med ett oändligt stort antal experiment blir händelsens frekvens lika med sannolikheten för händelsen.

Definition av klassisk sannolikhet. Sannolikheten för en händelse är förhållandet mellan antalet fall som är gynnsamt för att denna händelse inträffar och antalet av alla de enda möjliga och lika möjliga fallen.

Beteckning: , där P är sannolikheten,

m är antalet fall som är gynnsamma för händelsen.

n är det totala antalet unika och lika möjliga fall.

Exempel. 60 elever av CHIEP deltar i löptävlingarna. Alla har ett nummer. Hitta sannolikheten att numret på eleven som vann loppet inte innehåller talet 5.

Sannolikhetsegenskaper:

sannolikhetsvärdet är icke-negativt och ligger mellan värdena 0 och 1.
sannolikheten är 0 om och endast om det är sannolikheten för en omöjlig händelse.
sannolikheten är 1 om och endast om det är sannolikheten för en viss händelse.
sannolikheten för samma händelse är oföränderlig, beror inte på antalet utförda experiment och ändras endast när förutsättningarna för att genomföra experimentet ändras.

Definition av geometrisk sannolikhet. Den geometriska sannolikheten är förhållandet mellan den del av området, träffen i vilken den valda punkten måste finnas i hela området, träffen i vilken vid denna punkt är lika möjlig.

Area kan vara ett mått på area, längd eller volym.

Exempel. Hitta sannolikheten för att en viss punkt kommer att falla på en sektion med längden 10 km, om det är nödvändigt att den faller nära ändarna av segmentet, inte längre än 1 km från varje.

Kommentar.

Om måtten för området s och S har olika måttenheter beroende på problemets tillstånd, så är det för lösningen nödvändigt att ge s och S samma dimension.

Förening. Element av kombinatorik.

Definition. Kombinationer av grundämnen av olika grupper som skiljer sig åt i grundämnenas ordning eller åtminstone ett grundämne kallas föreningar.

Anslutningar är:

boende

Kombination

Permutationer

Definition. Ett arrangemang av n - element m gånger kallas en koppling som skiljer sig från varandra med minst ett element och ordningen på elementen.

Definition. En kombination av n element med m är en förening som består av samma element som skiljer sig åt med minst ett element.

Definition. Permutationer av n element är föreningar som består av samma element, som skiljer sig från varandra endast i ordningen av elementen.

Exempel.

1) På hur många sätt kan en konvoj på 5 bilar bildas?

2) på hur många sätt kan man utse 3 skötare i klassen, om det är 25 personer i klassen.

Eftersom ordningen på elementen inte är viktig och grupperna av föreningar skiljer sig åt i antalet element, beräknar vi antalet kombinationer av 25 element med 3.

sätt.

3) På hur många sätt kan ett 4-siffrigt tal bildas av talen 1,2,3,4,5,6. Därför, sedan anslutningar skiljer sig åt i ordningsföljden och minst ett element, då beräknar vi placeringen av 6 element med 4.

Ett exempel på användningen av element av kombinatorik, om beräkning av sannolikhet.

I ett parti av n produkter - m - defekt. Vi väljer godtyckligt l-produkter. Hitta sannolikheten att det kommer att finnas exakt k äktenskap bland dem.

Exempel.

10 kylskåp fördes till butiken till lagret, varav 4-3-kammare, resten - 2-kammare.

Hitta sannolikheten att bland 5 kullar som väljs godtyckligt - 3 kommer att vara 3-kammare.

Grundläggande sannolikhetsteorem.

Sats 1.

Sannolikheten för summan av 2 inkompatibla händelser är lika med summan av sannolikheterna för dessa händelser.

Följd.

1) om en händelse bildar en komplett grupp av inkompatibla händelser, är summan av deras sannolikheter lika med 1.

2) summan av sannolikheterna för två motsatta händelser är 1.

Sats 2.

Sannolikheten för en produkt av 2 oberoende händelser är lika med produkten av deras sannolikheter.

Definition. Händelse A sägs vara oberoende av händelse B om sannolikheten för att händelse A inträffar inte beror på om händelse B inträffar eller inte.

Definition. 2 händelser kallas oberoende om sannolikheten för att en av dem inträffar beror på förekomsten eller utebliven av den andra.

Definition. Sannolikheten för händelse B, beräknad under antagande av att händelse A har ägt rum, kallas villkorlig sannolikhet.

Sats 3.

Sannolikheten för produkten av 2 oberoende händelser är lika med sannolikheten för att en händelse inträffar med den villkorade sannolikheten för den andra, givet att den första händelsen har inträffat.

Exempel.

Biblioteket har 12 läroböcker i matematik. Av dessa 2 läroböcker om elementär matematik, 5 - om sannolikhetsteorin, resten - om högre matematik. Välj slumpmässigt 2 läroböcker. Hitta sannolikheten att de båda poppar elementär matematik.

Sats 4. Sannolikhet för att en händelse inträffar minst en gång.

Sannolikheten för förekomsten av minst en av händelserna som bildar en komplett grupp av inkompatibla händelser är lika med skillnaden mellan den första och produkten av sannolikheterna för de motsatta händelserna.

Låt då

Följd.

Om sannolikheten för att var och en av händelserna ska inträffa är densamma och lika med p, är sannolikheten att minst en av dessa händelser inträffar lika med

N är antalet utförda experiment.

Exempel.

Skjut 3 skott mot målet. Sannolikheten att träffa med det första skottet är 0,7, med det andra - 0,8, med det tredje - 0,9. hitta sannolikheten att efter tre oberoende skott mot målet kommer att vara:

A) 0 träffar;

B) 1 träff;

C) 2 träffar;

D) 3 träffar;

D) minst en träff.

Sats 5. Formel för total sannolikhet.

Låt händelsen A visas tillsammans med en av hypoteserna , då hittas sannolikheten för att händelsen A inträffade av formeln:

och . Vi tar fram en gemensam nämnare.

Den där. det är mer sannolikt att vinna en match av 2 mot en motsvarande motståndare än att vinna 2 matcher av 4.

INLEDNING 3 KAPITEL 1. SANNOLIKHET 5 1.1. BEGREPPET SANNOLIKHET 5 1.2. SANNOLIKHET OCH Slumpmässiga VARIABLER 7 KAPITEL 2. TILLÄMPNING AV SANNOLIKHETSTEORIN I TILLÄMPAD INFORMATIK 10 2.1. SANNOLIKHETSMETODEN 10 2.2. SANNOLIKHETS- ELLER INNEHÅLLSSÄTT 11 2.3. ALFABETISK INFORMATIONSMÄTNING 12

Introduktion

Tillämpad informatik kan inte existera separat från andra vetenskaper, den skapar nya informationstekniker och teknologier som används för att lösa olika problem inom olika områden inom vetenskap, teknik och i vardagen. De huvudsakliga utvecklingsriktningarna för tillämpad informatik är teoretisk, teknisk och tillämpad informatik. Tillämpad informatik utvecklar allmänna teorier om sökning, bearbetning och lagring av information, förtydligande av lagarna för skapande och omvandling av information, användning inom olika områden av vår verksamhet, studie av förhållandet "man - dator", bildandet av informationsteknik. Tillämpad informatik antar ett område av den nationella ekonomin, vilket inkluderar automatiserade system för att bearbeta information, bildandet av den senaste generationen av datorteknik, elastiska tekniska system, robotar, artificiell intelligens, etc. Tillämpad informatik utgör kunskapsbasen för informatik, utvecklar rationella metoder för att automatisera tillverkning, teoretiska designbaser, etablera sambandet mellan vetenskap och produktion, etc. Informatik anses nu vara en katalysator för vetenskapliga och tekniska framsteg, bidrar till aktiveringen av den mänskliga faktorn , fyller alla områden av mänsklig aktivitet med information. Relevansen av det valda ämnet ligger i det faktum att sannolikhetsteorin används inom olika teknik- och naturvetenskapliga områden: inom datavetenskap, tillförlitlighetsteori, köteori, teoretisk fysik och inom andra teoretiska och tillämpade vetenskaper. Om du inte kan sannolikhetsteorin kan du inte bygga så viktiga teoretiska kurser som "Kontrollteori", "Operationsforskning", "Mathematical Modeling". Sannolikhetsteori används flitigt i praktiken. Många slumpvariabler, såsom mätfel, slitage på delar av olika mekanismer och dimensionsavvikelser från standard följer en normalfördelning. I teorin om tillförlitlighet används normalfördelningen vid uppskattning av tillförlitligheten hos föremål, med förbehåll för åldrande och slitage, och naturligtvis feljustering, d.v.s. vid utvärdering av gradvisa misslyckanden. Syfte med arbetet: att överväga tillämpningen av sannolikhetsteori inom tillämpad informatik. Sannolikhetsteori anses vara ett mycket kraftfullt verktyg för att lösa tillämpade problem och ett multifunktionellt vetenskapsspråk, men också ett objekt för en gemensam kultur. Informationsteori är grunden för informatiken, och samtidigt ett av huvudområdena inom teknisk kybernetik.

Slutsats

Så efter att ha analyserat sannolikhetsteorin, dess krönika och tillstånd och möjligheter, kan vi säga att uppkomsten av detta koncept inte var ett oavsiktligt fenomen i vetenskapen, utan var en nödvändighet för den efterföljande bildandet av teknik och cybernetik. Eftersom mjukvarukontrollen som redan finns inte kan hjälpa en person i utvecklingen av cybernetiska maskiner som tänker som en person utan hjälp av andra. Och direkt bidrar sannolikhetsteorin till framväxten av artificiell intelligens. "Kontrollproceduren där de äger rum - i levande organismer, maskiner eller samhället - utförs enligt vissa lagar," sa cybernetik. Detta innebär att, inte helt känt, de procedurer som sker i den mänskliga hjärnan och gör det möjligt för den att anpassa sig elastiskt till en föränderlig atmosfär, är det möjligt att spela artificiellt i de mest komplexa automatiska enheterna. En viktig definition av matematik är definitionen av en funktion, men det har alltid sagts om en enkelvärdig funktion, som associerar ett enda värde av argumentet med ett värde av funktionen och det funktionella förhållandet mellan dem är väldefinierat. Men i verkligheten inträffar ofrivilliga fenomen, och många händelser har en icke-konkret karaktär av inbördes samband. Att hitta mönster i slumpmässiga fenomen är sannolikhetsteoriernas uppgift. Sannolikhetsteorin är ett verktyg för att studera de osynliga och mångvärdiga sambanden mellan olika fenomen inom många områden inom vetenskap, teknik och ekonomi. Sannolikhetsteorin gör det möjligt att korrekt beräkna fluktuationer i efterfrågan, utbud, priser och andra ekonomiska indikatorer. Sannolikhetsteori är en del av grundläggande vetenskap som statistik och tillämpad datavetenskap. Eftersom inte ett applikationsprogram, och datorn som helhet, inte kan fungera utan sannolikhetsteorin. Och i spelteorin är det också det viktigaste.

Bibliografi

1. Belyaev Yu.K. och Nosko V.P. "Grundläggande begrepp och uppgifter för matematisk statistik." - M.: Publishing House of Moscow State University, CheRo, 2012. 2. V.E. Gmurman, Sannolikhetsteori och matematisk statistik. - M.: Högre skola, 2015. 3. Korn G., Korn T. ”Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. - St Petersburg: Förlaget "Lan" 2013. 4. Peheletsky I. D. "Matematik lärobok för studenter" - M. Academy, 2013. 5. Sukhodolsky V.G. "Föreläsningar om högre matematik för humaniora." - St. Petersburgs förlag vid St. Petersburg State University. 2013; 6. Gnedenko B. V. och Khinchin A. Ya. "Elementary introduction to theory of probability" 3:e upplagan, M. - L., 2012. 7. Gnedenko B. V. "Course of probability theory" 4:e upplagan, M. , 2015. 8. Feller V. "Introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpning" (Diskreta distributioner), övers. från engelska, 2:a upplagan, volym 1-2, M., 2012. 9. Bernstein S. N. “Probability Theory”, 4:e upplagan, M. - L., 2014. 10. Gmurman, Vladimir Efimovich. Sannolikhetsteori och matematisk statistik: lärobok för universitet /V. E. Gmurman - Ed. 12:a, reviderade.-M.: Högre skola, 2009.-478s.

Uppdaterad 2009-12-09

En liten utvikning i historien om tillämpningen av sannolikhetsteorin i praktiken.

Fram till slutet av 1700-talet hade tillämpad statistik, utan vilken statlig redovisning och kontroll är otänkbar och därför funnits länge, en elementär, rent aritmetisk karaktär. Sannolikhetsteorin förblev en rent akademisk disciplin, med endast spel som dess jämförelsevis komplexa "tillämpningar". Förbättringen av tärningsproduktionsteknologin på 1700-talet stimulerade utvecklingen av sannolikhetsteorin. Spelarna började omedvetet sätta reproducerbara experiment i massor, eftersom tärningarna blev samma standard. Således uppstod ett exempel på vad som senare kommer att kallas ett "statistiskt experiment" - ett experiment som kan upprepas ett obegränsat antal gånger under samma förhållanden.

Under 1800- och 1900-talen trängde sannolikhetsteorin först in i vetenskapen (astronomi, fysik, biologi), sedan i praktiken (jordbruk, industri, medicin) och slutligen, efter datorernas uppfinning, i varje persons dagliga liv. med hjälp av moderna metoder för att ta emot och överföra information. Låt oss spåra huvudstadierna.

1. Astronomi.

Det var för användning inom astronomi som den berömda "minsta kvadraters metoden" utvecklades (Legendre 1805, Gauss 1815). Huvudproblemet som det ursprungligen användes för var beräkningen av kometernas banor, som måste göras från en litet antal observationer. Det är tydligt att en tillförlitlig bestämning av typen av omloppsbana (en ellips eller en hyperbel) och en exakt beräkning av dess parametrar är svår, eftersom omloppsbanan endast observeras i ett litet område. Metoden visade sig vara effektiv, universell och väckte het debatt om prioritering. Det började användas inom geodesi och kartografi. Nu när konsten att manuella beräkningar har gått förlorad är det svårt att föreställa sig att man vid kartläggningen av världshaven i England på 1880-talet löste ett system med cirka 6 000 ekvationer med flera hundra okända numeriskt med hjälp av minsta kvadratmetoden.

3. Biometri.

Under åren 1870-1900 grundade belgiska Quetelet och britterna Francis Galton och Karl Pearson en ny vetenskaplig riktning - biometri, där den osäkra variabiliteten hos levande organismer och nedärvningen av kvantitativa egenskaper för första gången började ske systematiskt och kvantitativt. studerat. Nya begrepp introducerades i den vetenskapliga cirkulationen - regressioner och korrelationer.

4. Jordbruk.

I början av 1900-talet i England var uppgiften att kvantitativt jämföra effektiviteten hos olika jordbruksmetoder. För att lösa detta problem utvecklades teorin om planering av experiment och variansanalys. Den främsta förtjänsten i utvecklingen av denna redan rent praktiska användning av statistik tillhör Sir Ronald Fisher, en astronom (!) Till sin utbildning, och senare en bonde, statistiker, genetiker, president för engelska Royal Society. Modern matematisk statistik, lämplig för bred tillämpning i praktiken, utvecklades i England (Karl Pearson, Student, Fisher). Student var den första som löste problemet med att uppskatta en okänd fördelningsparameter utan att använda Bayesiansk metod.

5. Industri. Införande av statistiska kontrollmetoder i produktionen (Shewhart kontrolldiagram). Minska det erforderliga antalet produktkvalitetstester. Matematiska metoder är redan så viktiga att de har blivit sekretessbelagda. Så en bok som beskrev en ny teknik som gjorde det möjligt att minska antalet tester ("Sequential Analysis" av Wald) publicerades först efter andra världskrigets slut 1947.

6. Medicin. Den utbredda användningen av statistiska metoder inom medicinen började relativt nyligen (andra hälften av 1900-talet). Utvecklingen av effektiva behandlingsmetoder (antibiotika, insulin, effektiv anestesi, kardiopulmonell bypass) krävde tillförlitliga metoder för att utvärdera deras effektivitet. Ett nytt koncept för "Evidensbaserad medicin" har dykt upp. En mer formell, kvantitativ metod för behandling av många sjukdomar började utvecklas - införandet av protokoll, riktlinjer.

Sedan mitten av 1980-talet har en ny och viktig faktor dykt upp som har revolutionerat alla tillämpningar av sannolikhetsteori – möjligheten till utbredd användning av snabba och prisvärda datorer. Du kan känna den enorma revolutionen som har ägt rum, med tanke på att en (!) modern persondator i hastighet och minne överträffar alla (!) datorer i Sovjetunionen och USA som fanns 1968, den tid då projekt relaterade till byggandet av kärnkraftverk redan genomförts , flyg till månen, skapandet av en termonukleär bomb. Nu kan du genom att experimentera direkt få resultat som tidigare var otillgängliga - tänkbara.

7. Bioinformatik. Sedan 1980-talet har antalet kända protein- och nukleinsyrasekvenser vuxit snabbt. Mängden ackumulerad information är sådan att endast en datoranalys av dessa data kan lösa problemet med att extrahera information.

8. Mönsterigenkänning.