Hur man hittar summan av en aritmetisk progression. Summan av de första n-termerna i en aritmetisk progression

Vissa människor behandlar ordet "progression" med försiktighet, som en mycket komplex term från grenarna av högre matematik. Under tiden är den enklaste aritmetiska progressionen taxameterns arbete (där de fortfarande finns). Och att förstå essensen (och i matematik finns det inget viktigare än att "få essensen") i en aritmetisk sekvens är inte så svårt, efter att ha analyserat några elementära begrepp.

Matematisk nummerföljd

En numerisk sekvens brukar kallas en serie av tal, som vart och ett har sitt eget nummer.

a 1 är den första medlemmen av sekvensen;

och 2 är den andra termen i sekvensen;

och 7 är den sjunde medlemmen av sekvensen;

och n är den n:te medlemmen av sekvensen;

Men ingen godtycklig uppsättning siffror och siffror intresserar oss. Vi kommer att fokusera vår uppmärksamhet på en numerisk sekvens där värdet av den n:e termen är relaterad till dess ordningsnummer genom ett samband som kan formuleras tydligt matematiskt. Med andra ord: det numeriska värdet för det n:e talet är någon funktion av n.

a är värdet av en medlem av en numerisk sekvens;

n är dess serienummer;

f(n) är en funktion, där ordningstalet i den numeriska sekvensen n är argumentet.

Definition

En aritmetisk progression brukar kallas en numerisk sekvens där varje efterföljande term är större (mindre) än den föregående med samma siffra. Formeln för den n:e termen i en aritmetisk sekvens är följande:

a n - värdet av den aktuella medlemmen av den aritmetiska progressionen;

en n+1 - formel för nästa nummer;

d - skillnad (visst antal).

Det är lätt att avgöra att om skillnaden är positiv (d>0), så kommer varje efterföljande medlem av serien i fråga att vara större än den föregående och en sådan aritmetisk progression kommer att öka.

I grafen nedan är det lätt att se varför nummerföljden kallas för "ökande".

I fall där skillnaden är negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Angivet medlemsvärde

Ibland är det nödvändigt att bestämma värdet av en godtycklig term a n för en aritmetisk progression. Detta kan göras genom att sekventiellt beräkna värdena för alla medlemmar av den aritmetiska progressionen, från den första till den önskade. Den här vägen är dock inte alltid acceptabel om det till exempel är nödvändigt att hitta värdet av den femtusende eller åtta miljonte termen. Traditionella beräkningar kommer att ta mycket tid. En specifik aritmetisk progression kan dock studeras med hjälp av vissa formler. Det finns också en formel för den n:e termen: värdet av vilken term som helst i en aritmetisk progression kan bestämmas som summan av den första termen av progressionen med skillnaden i progressionen, multiplicerad med numret på den önskade termen, reducerad med ett.

Formeln är universell för att öka och minska progression.

Ett exempel på att beräkna värdet av en given term

Låt oss lösa följande problem med att hitta värdet på den n:e termen i en aritmetisk progression.

Villkor: det finns en aritmetisk progression med parametrar:

Den första termen i sekvensen är 3;

Skillnaden i nummerserien är 1,2.

Uppgift: du måste hitta värdet på 214 termer

Lösning: för att bestämma värdet på en given term använder vi formeln:

a(n) = a1 + d(n-1)

Genom att ersätta data från problemformuleringen med uttrycket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Den 214:e termen i sekvensen är lika med 258,6.

Fördelarna med denna beräkningsmetod är uppenbara - hela lösningen tar inte mer än 2 rader.

Summan av ett givet antal termer

Mycket ofta, i en given aritmetisk serie, är det nödvändigt att bestämma summan av värdena för några av dess segment. För att göra detta behöver du inte heller beräkna värdena för varje term och sedan lägga ihop dem. Denna metod är tillämplig om antalet termer vars summa behöver hittas är litet. I andra fall är det bekvämare att använda följande formel.

Summan av termerna för en aritmetisk progression från 1 till n är lika med summan av den första och n:e termen, multiplicerad med numret på termen n och dividerad med två. Om i formeln värdet på den n:e termen ersätts med uttrycket från föregående stycke i artikeln får vi:

Räkneexempel

Låt oss till exempel lösa ett problem med följande villkor:

Den första termen i sekvensen är noll;

Skillnaden är 0,5.

Problemet kräver att man bestämmer summan av termerna i serien från 56 till 101.

Lösning. Låt oss använda formeln för att bestämma graden av progression:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Först bestämmer vi summan av värdena för 101 termer av progressionen genom att ersätta de givna villkoren för vårt problem i formeln:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Uppenbarligen, för att ta reda på summan av villkoren för progressionen från den 56:e till den 101:a, är det nödvändigt att subtrahera S 55 från S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Således är summan av den aritmetiska progressionen för detta exempel:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Exempel på praktisk tillämpning av aritmetisk progression

I slutet av artikeln, låt oss återgå till exemplet på en aritmetisk sekvens som ges i första stycket - en taxameter (taxibilmätare). Låt oss överväga detta exempel.

Att gå ombord på en taxi (som inkluderar 3 km resor) kostar 50 rubel. Varje efterföljande kilometer betalas med en hastighet av 22 rubel/km. Reseavståndet är 30 km. Beräkna kostnaden för resan.

1. Låt oss kassera de första 3 km, vars pris ingår i kostnaden för landning.

30 - 3 = 27 km.

2. Ytterligare beräkning är inget annat än att analysera en aritmetisk talserie.

Medlemsnummer - antal tillryggalagda kilometer (minus de tre första).

Medlemmens värde är summan.

Den första termen i detta problem kommer att vara lika med en 1 = 50 rubel.

Progressionsskillnad d = 22 r.

talet vi är intresserade av är värdet på den (27+1):e termen i den aritmetiska progressionen - mätarställningen i slutet av den 27:e kilometern är 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberäkningar för en godtyckligt lång period baseras på formler som beskriver vissa numeriska sekvenser. Inom astronomi är banans längd geometriskt beroende av himlakroppens avstånd till stjärnan. Dessutom används olika nummerserier framgångsrikt inom statistik och andra tillämpade områden inom matematiken.

En annan typ av talföljd är geometrisk

Geometrisk progression kännetecknas av större förändringshastigheter jämfört med aritmetisk progression. Det är ingen slump att man inom politik, sociologi och medicin, för att visa den höga spridningshastigheten för ett visst fenomen, till exempel en sjukdom under en epidemi, säger att processen utvecklas i geometrisk progression.

Den N:te termen i den geometriska talserien skiljer sig från den föregående genom att den multipliceras med något konstant tal - nämnaren, till exempel, den första termen är 1, nämnaren är på motsvarande sätt lika med 2, sedan:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - värdet av den aktuella termen för den geometriska progressionen;

b n+1 - formeln för nästa term i den geometriska progressionen;

q är nämnaren för den geometriska progressionen (ett konstant tal).

Om grafen för en aritmetisk progression är en rät linje, målar en geometrisk progression en något annorlunda bild:

Liksom i fallet med aritmetik har geometrisk progression en formel för värdet av en godtycklig term. Varje n:te term i en geometrisk progression är lika med produkten av den första termen och nämnaren för progressionen i potensen av n reducerat med ett:

Exempel. Vi har en geometrisk progression med den första termen lika med 3 och nämnaren för progressionen lika med 1,5. Låt oss hitta den femte termen av progressionen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Summan av ett givet antal termer beräknas också med hjälp av en speciell formel. Summan av de första n termerna av en geometrisk progression är lika med skillnaden mellan produkten av den n:te termen av progressionen och dess nämnare och den första termen av progressionen, dividerat med nämnaren reducerad med ett:

Om b n ersätts med formeln som diskuterats ovan, kommer värdet av summan av de första n termerna i den aktuella nummerserien att ha formen:

Exempel. Den geometriska progressionen börjar med den första termen lika med 1. Nämnaren sätts till 3. Låt oss hitta summan av de första åtta termerna.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

När man studerar algebra i en gymnasieskola (9:e klass) är ett av de viktiga ämnena studiet av numeriska sekvenser, som inkluderar progressioner - geometriska och aritmetiska. I den här artikeln ska vi titta på en aritmetisk progression och exempel med lösningar.

Vad är en aritmetisk progression?

För att förstå detta är det nödvändigt att definiera progressionen i fråga, samt tillhandahålla de grundläggande formlerna som kommer att användas senare för att lösa problem.

En aritmetisk eller algebraisk progression är en uppsättning ordnade rationella tal, vars termer skiljer sig från den föregående med något konstant värde. Detta värde kallas skillnaden. Det vill säga, genom att känna till någon medlem av en ordnad talserie och skillnaden, kan du återställa hela aritmetiska progressionen.

Låt oss ge ett exempel. Följande talföljd kommer att vara en aritmetisk progression: 4, 8, 12, 16, ..., eftersom skillnaden i detta fall är 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men uppsättningen med siffror 3, 5, 8, 12, 17 kan inte längre hänföras till den typ av progression som övervägs, eftersom skillnaden för det inte är ett konstant värde (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Viktiga formler

Låt oss nu presentera de grundläggande formlerna som kommer att behövas för att lösa problem med aritmetisk progression. Låt oss beteckna med symbolen a n den n:e medlemmen av sekvensen, där n är ett heltal. Vi betecknar skillnaden med den latinska bokstaven d. Då är följande uttryck giltiga:

1. För att bestämma värdet på den n:e termen är följande formel lämplig: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. För att bestämma summan av de första n termerna: S n = (a n +a 1)*n/2.

För att förstå några exempel på aritmetisk progression med lösningar i 9:e klass räcker det att komma ihåg dessa två formler, eftersom eventuella problem av den typ som övervägs baseras på deras användning. Du bör också komma ihåg att progressionsskillnaden bestäms av formeln: d = a n - a n-1.

Exempel #1: hitta en okänd term

Låt oss ge ett enkelt exempel på en aritmetisk progression och de formler som behöver användas för att lösa den.

Låt sekvensen 10, 8, 6, 4, ... ges, du måste hitta fem termer i den.

Av villkoren för problemet följer redan att de första 4 termerna är kända. Den femte kan definieras på två sätt:

1. Låt oss först beräkna skillnaden. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samma sätt kan du ta vilka två andra medlemmar som helst som står bredvid varandra. Till exempel, d = 4 - 6 = -2. Eftersom det är känt att d = a n - a n-1, då d = a 5 - a 4, från vilket vi får: a 5 = a 4 + d. Vi ersätter de kända värdena: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andra metoden kräver också kunskap om skillnaden mellan progressionen i fråga, så du måste först bestämma den enligt ovan (d = -2). När vi vet att den första termen a 1 = 10 använder vi formeln för n-talet i sekvensen. Vi har: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Genom att ersätta n = 5 i det sista uttrycket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du kan se ledde båda lösningarna till samma resultat. Observera att i detta exempel är progressionsskillnaden d ett negativt värde. Sådana sekvenser kallas minskande, eftersom varje nästa term är mindre än den föregående.

Exempel #2: progressionsskillnad

Låt oss nu komplicera uppgiften lite, låt oss ge ett exempel på hur

Det är känt att i vissa är den första termen lika med 6, och den sjunde termen är lika med 18. Det är nödvändigt att hitta skillnaden och återställa denna sekvens till den sjunde termen.

Låt oss använda formeln för att bestämma den okända termen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Låt oss ersätta kända data från villkoret i det, det vill säga siffrorna a 1 och a 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Från detta uttryck kan du enkelt beräkna skillnaden: d = (18 - 6) /6 = 2. Vi har alltså besvarat den första delen av problemet.

För att återställa sekvensen till den 7:e termen bör du använda definitionen av en algebraisk progression, det vill säga a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, och så vidare. Som ett resultat återställer vi hela sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exempel nr 3: rita upp en progression

Låt oss komplicera problemet ännu mer. Nu måste vi svara på frågan om hur man hittar en aritmetisk progression. Följande exempel kan ges: två siffror ges, till exempel - 4 och 5. Det är nödvändigt att skapa en algebraisk progression så att ytterligare tre termer placeras mellan dessa.

Innan du börjar lösa det här problemet måste du förstå vilken plats de givna numren kommer att uppta i den framtida utvecklingen. Eftersom det kommer att finnas ytterligare tre termer mellan dem, då är en 1 = -4 och en 5 = 5. Efter att ha fastställt detta går vi vidare till problemet, som liknar det föregående. Återigen, för den n:e termen använder vi formeln, vi får: a 5 = a 1 + 4 * d. Från: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Det vi har här är inte ett heltalsvärde för skillnaden, utan det är ett rationellt tal, så formlerna för den algebraiska progressionen förblir desamma.

Låt oss nu lägga till den hittade skillnaden till en 1 och återställa de saknade termerna i progressionen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, vilket sammanföll med förutsättningarna för problemet.

Exempel nr 4: första terminen av progression

Låt oss fortsätta att ge exempel på aritmetisk progression med lösningar. I alla tidigare problem var det första numret av den algebraiska progressionen känt. Låt oss nu överväga ett problem av en annan typ: låt två tal ges, där en 15 = 50 och en 43 = 37. Det är nödvändigt att hitta vilket nummer denna sekvens börjar med.

De formler som hittills använts förutsätter kunskap om a 1 och d. I problemformuleringen är ingenting känt om dessa siffror. Ändå kommer vi att skriva ner uttryck för varje term som det finns information om: a 15 = a 1 + 14 * d och a 43 = a 1 + 42 * d. Vi fick två ekvationer där det finns 2 okända storheter (a 1 och d). Detta innebär att problemet reduceras till att lösa ett system av linjära ekvationer.

Det enklaste sättet att lösa detta system är att uttrycka en 1:a i varje ekvation och sedan jämföra de resulterande uttrycken. Första ekvationen: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andra ekvationen: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Genom att likställa dessa uttryck får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, varav skillnaden d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (endast 3 decimaler anges).

Genom att känna till d kan du använda vilket som helst av de två uttrycken ovan för en 1. Till exempel, först: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Om du har tvivel om det erhållna resultatet kan du kontrollera det, till exempel bestämma den 43:e terminen av progressionen, som anges i villkoret. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Det lilla felet beror på att avrundning till tusendelar användes i beräkningarna.

Exempel nr 5: belopp

Låt oss nu titta på flera exempel med lösningar för summan av en aritmetisk progression.

Låt en numerisk utveckling av följande form ges: 1, 2, 3, 4, ...,. Hur beräknar man summan av 100 av dessa siffror?

Tack vare utvecklingen av datorteknik är det möjligt att lösa detta problem, det vill säga lägga till alla siffror sekventiellt, vilket datorn kommer att göra så snart en person trycker på Enter-tangenten. Problemet kan dock lösas mentalt om du uppmärksammar att den presenterade sifferserien är en algebraisk progression, och dess skillnad är lika med 1. Genom att tillämpa formeln för summan får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det är intressant att notera att detta problem kallas "Gaussian" eftersom den berömda tysken, fortfarande bara 10 år gammal, i början av 1700-talet kunde lösa det i hans huvud på några sekunder. Pojken visste inte formeln för summan av en algebraisk progression, men han märkte att om du adderar talen i slutet av sekvensen i par, får du alltid samma resultat, det vill säga 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., och eftersom dessa summor blir exakt 50 (100 / 2), så räcker det för att få rätt svar att multiplicera 50 med 101.

Exempel nr 6: summan av termer från n till m

Ett annat typiskt exempel på summan av en aritmetisk progression är följande: givet en serie tal: 3, 7, 11, 15, ..., måste du hitta vad summan av dess termer från 8 till 14 kommer att vara lika med .

Problemet löses på två sätt. Den första av dem går ut på att hitta okända termer från 8 till 14 och sedan summera dem sekventiellt. Eftersom det finns få termer är denna metod inte särskilt arbetskrävande. Ändå föreslås det att lösa detta problem med en andra metod, som är mer universell.

Tanken är att få fram en formel för summan av den algebraiska progressionen mellan termerna m och n, där n > m är heltal. För båda fallen skriver vi två uttryck för summan:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Eftersom n > m är det uppenbart att den 2:a summan inkluderar den första. Den sista slutsatsen innebär att om vi tar skillnaden mellan dessa summor och adderar termen a m till den (om vi tar skillnaden, subtraheras den från summan S n), får vi det nödvändiga svaret på problemet. Vi har: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Det är nödvändigt att ersätta formler för ett n och ett m i detta uttryck. Då får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterande formeln är något besvärlig, men summan S mn beror bara på n, m, a 1 och d. I vårt fall är a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Om vi ​​ersätter dessa tal får vi: S mn = 301.

Som framgår av ovanstående lösningar är alla problem baserade på kunskap om uttrycket för den n:e termen och formeln för summan av mängden första termer. Innan du börjar lösa något av dessa problem, rekommenderas det att du noggrant läser villkoret, förstår tydligt vad du behöver hitta och först därefter fortsätter med lösningen.

Ett annat tips är att sträva efter enkelhet, det vill säga om du kan svara på en fråga utan att använda komplexa matematiska beräkningar, måste du göra just det, eftersom sannolikheten för att göra ett misstag i det här fallet är mindre. Till exempel, i exemplet med en aritmetisk progression med lösning nr 6, skulle man kunna stanna vid formeln S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, och dela upp det övergripande problemet i separata deluppgifter (i det här fallet, hitta först termerna a n och a m).

Om du har tvivel om det erhållna resultatet, rekommenderas det att kontrollera det, vilket gjordes i några av de givna exemplen. Vi fick reda på hur man hittar en aritmetisk progression. Om du räknar ut det är det inte så svårt.

Till exempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(elva\); \(14\)... är en aritmetisk progression, eftersom varje efterföljande element skiljer sig från det föregående med tre (kan erhållas från det föregående genom att lägga till tre):

I denna progression är skillnaden \(d\) positiv (lika med \(3\)), och därför är varje nästa term större än den föregående. Sådana progressioner kallas ökande.

Men \(d\) kan också vara ett negativt tal. Till exempel, i aritmetisk progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressionsskillnaden \(d\) är lika med minus sex.

Och i det här fallet kommer varje nästa element att vara mindre än det föregående. Dessa progressioner kallas minskar.

Aritmetisk progressionsnotation

Progression indikeras med en liten latinsk bokstav.

Tal som bildar en progression kallas medlemmar(eller element).

De betecknas med samma bokstav som en aritmetisk progression, men med ett numeriskt index som är lika med numret på elementet i ordning.

Till exempel består den aritmetiska progressionen \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) av elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) och så vidare.

Med andra ord, för progressionen \(a_n = \vänster\(2; 5; 8; 11; 14...\höger\)\)

Lösa aritmetiska progressionsproblem

I princip räcker informationen ovan redan för att lösa nästan alla aritmetiska progressionsproblem (inklusive de som erbjuds vid OGE).

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren \(b_1=7; d=4\). Hitta \(b_5\).
Lösning:

Svar: \(b_5=23\)

Exempel (OGE). De tre första termerna i en aritmetisk progression ges: \(62; 49; 36...\) Hitta värdet på den första negativa termen i denna progression..
Lösning:

Svar: \(-3\)

Exempel (OGE). Givet flera på varandra följande element i en aritmetisk progression: \(…5; x; 10; 12,5...\) Hitta värdet på elementet som anges med bokstaven \(x\).
Lösning:

Svar: \(7,5\).

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen definieras av följande villkor: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hitta summan av de första sex termerna i denna progression.
Lösning:

Svar: \(S_6=9\).

Exempel (OGE). I aritmetisk progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hitta skillnaden i denna utveckling.
Lösning:

Svar: \(d=7\).

Viktiga formler för aritmetisk progression

Som du kan se kan många problem med aritmetisk progression lösas helt enkelt genom att förstå huvudsaken - att en aritmetisk progression är en kedja av tal, och varje efterföljande element i denna kedja erhålls genom att lägga till samma tal till den föregående (den skillnaden i progressionen).

Men ibland finns det situationer då det är väldigt obekvämt att bestämma sig för att "direkt". Föreställ dig till exempel att vi i det allra första exemplet inte behöver hitta det femte elementet \(b_5\), utan det trehundraåttiosjätte \(b_(386)\). Ska vi lägga till fyra \(385\) gånger? Eller föreställ dig att du i det näst sista exemplet behöver hitta summan av de första sjuttiotre elementen. Du kommer att bli trött på att räkna...

Därför löser de i sådana fall inte saker "head-on", utan använder speciella formler härledda för aritmetisk progression. Och de viktigaste är formeln för den n:te termen i progressionen och formeln för summan av \(n\) första termer.

Formel för \(n\):e termen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), där \(a_1\) är den första termen i progressionen;
\(n\) – nummer på det obligatoriska elementet;
\(a_n\) – term för progressionen med nummer \(n\).

Den här formeln gör att vi snabbt kan hitta till och med det trehundrade eller miljonte elementet, med bara kunskap om det första och skillnaden i progressionen.

Exempel. Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hitta \(b_(246)\).
Lösning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel för summan av de första n termerna: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), där

\(a_n\) – den senast summerade termen;

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren \(a_n=3,4n-0,6\). Hitta summan av de första \(25\) termerna i denna progression.
Lösning:

Svar: \(S_(25)=1090\).

För summan \(n\) av de första termerna kan du få en annan formel: du behöver bara \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) (\cdot 25\ ) istället för \(a_n\) ersätt formeln för det \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel för summan av de första n termerna: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), där

\(S_n\) – den nödvändiga summan av \(n\) första element;
\(a_1\) – den första summerade termen;
\(d\) – progressionsskillnad;
\(n\) – antal element totalt.

Exempel. Hitta summan av de första \(33\)-ex termerna i den aritmetiska progressionen: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Lösning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mer komplexa aritmetiska progressionsproblem

Nu har du all information du behöver för att lösa nästan alla aritmetiska progressionsproblem. Låt oss avsluta ämnet med att överväga problem där du inte bara behöver tillämpa formler utan också tänka lite (i matematik kan detta vara användbart ☺)

Exempel (OGE). Hitta summan av alla negativa termer i progressionen: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Lösning:

Svar: \(S_(65)=-630.5\).

Exempel (OGE). Den aritmetiska progressionen specificeras av villkoren: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hitta summan från \(26\):e till och med \(42\) elementet.
Lösning:

Svar: \(S=1683\).

För aritmetisk progression finns det flera fler formler som vi inte övervägde i den här artikeln på grund av deras låga praktiska användbarhet. Men du kan lätt hitta dem.

Så låt oss sätta oss ner och börja skriva några siffror. Till exempel:
Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur många som helst (i vårt fall finns det dem). Oavsett hur många siffror vi skriver kan vi alltid säga vilket som är först, vilket som är tvåa, och så vidare tills det sista, det vill säga vi kan numrera dem. Detta är ett exempel på en nummersekvens:

Nummerföljd
Till exempel för vår sekvens:

Det tilldelade numret är specifikt för endast ett nummer i sekvensen. Det finns med andra ord inga tresekundersnummer i sekvensen. Den andra siffran (som det th siffran) är alltid densamma.
Talet med nummer kallas sekvensens:e term.

Vi brukar kalla hela sekvensen med någon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens är samma bokstav med ett index som är lika med numret på denna medlem: .

I vårat fall:

Låt oss säga att vi har en talföljd där skillnaden mellan intilliggande tal är densamma och lika.
Till exempel:

etc.
Denna talsekvens kallas en aritmetisk progression.
Termen "progression" introducerades av den romerske författaren Boethius redan på 600-talet och uppfattades i en vidare mening som en oändlig numerisk sekvens. Namnet "aritmetik" överfördes från teorin om kontinuerliga proportioner, som studerades av de gamla grekerna.

Detta är en nummersekvens där varje medlem är lika med den föregående som läggs till samma nummer. Detta tal kallas skillnaden för en aritmetisk progression och betecknas.

Försök att avgöra vilka talsekvenser som är en aritmetisk progression och vilka som inte är det:

a)
b)
c)
d)

Jag fattar? Låt oss jämföra våra svar:
Är aritmetisk progression - b, c.
Är inte aritmetisk progression - a, d.

Låt oss återgå till den givna progressionen () och försöka hitta värdet av dess :e term. Existerar två sätt att hitta det.

1. Metod

Vi kan lägga till progressionsnumret till det föregående värdet tills vi når progressionens tredje term. Det är bra att vi inte har så mycket att sammanfatta - bara tre värden:

Så, den e termen i den beskrivna aritmetiska progressionen är lika med.

2. Metod

Tänk om vi behövde hitta värdet av progressionens tredje term? Summeringen skulle ta oss mer än en timme, och det är inte ett faktum att vi inte skulle göra misstag när vi lägger till siffror.
Naturligtvis har matematiker kommit på ett sätt där det inte är nödvändigt att lägga till skillnaden mellan en aritmetisk progression till det tidigare värdet. Titta närmare på den ritade bilden... Du har säkert redan lagt märke till ett visst mönster, nämligen:

Låt oss till exempel se vad värdet av den e termen i denna aritmetiska progression består av:


Med andra ord:

Försök själv hitta värdet av en medlem av en given aritmetisk progression på detta sätt.

Har du räknat? Jämför dina anteckningar med svaret:

Observera att du fick exakt samma nummer som i den föregående metoden, när vi sekventiellt lade till termerna för den aritmetiska progressionen till det föregående värdet.
Låt oss försöka "avpersonifiera" denna formel - låt oss sätta den i allmän form och få:

Aritmetiska progressioner kan vara ökande eller minskande.

Ökande- progressioner där varje efterföljande värde av termerna är större än det föregående.
Till exempel:

Nedåtgående- förlopp där varje efterföljande värde av termerna är mindre än det föregående.
Till exempel:

Den härledda formeln används vid beräkning av termer i både ökande och minskande termer av en aritmetisk progression.
Låt oss kontrollera detta i praktiken.
Vi får en aritmetisk progression som består av följande siffror: Låt oss kontrollera vad det e talet i denna aritmetiska progression kommer att bli om vi använder vår formel för att beräkna det:

Sedan dess:

Således är vi övertygade om att formeln fungerar i både minskande och ökande aritmetisk progression.
Försök själv hitta de e och e termerna för denna aritmetiska progression.

Låt oss jämföra resultaten:

Aritmetisk progressionsegenskap

Låt oss komplicera problemet - vi kommer att härleda egenskapen för aritmetisk progression.
Låt oss säga att vi får följande villkor:
- aritmetisk progression, hitta värdet.
Lätt, säger du och börjar räkna enligt formeln du redan känner till:

Låt, ah, då:

Fullständigt rätt. Det visar sig att vi först hittar, sedan lägger vi till det första numret och får det vi letar efter. Om progressionen representeras av små värden, så är det inget komplicerat med det, men vad händer om vi får siffror i tillståndet? Håller med, det finns en möjlighet att göra fel i beräkningarna.
Fundera nu på om det är möjligt att lösa detta problem i ett steg med någon formel? Naturligtvis ja, och det är vad vi ska försöka få fram nu.

Låt oss beteckna den nödvändiga termen för den aritmetiska progressionen som formeln för att hitta den är känd för oss - detta är samma formel som vi härledde i början:
, Sedan:

• föregående termin av progressionen är:
• nästa termin av progressionen är:

Låt oss summera de föregående och efterföljande termerna för progressionen:

Det visar sig att summan av föregående och efterföljande termer av progressionen är det dubbla värdet av progressionstermen som ligger mellan dem. Med andra ord, för att hitta värdet av en progressionsterm med kända tidigare och successiva värden måste du lägga till dem och dividera med.

Det stämmer, vi fick samma nummer. Låt oss säkra materialet. Beräkna värdet för progressionen själv, det är inte alls svårt.

Bra gjort! Du vet nästan allt om progression! Det återstår att ta reda på bara en formel, som enligt legenden lätt härleddes av en av de största matematikerna genom tiderna, "matematikernas kung" - Karl Gauss ...

När Carl Gauss var 9 år gammal tilldelade en lärare, upptagen med att kontrollera elevernas arbete i andra klasser, följande uppgift i klassen: "Beräkna summan av alla naturliga tal från till (enligt andra källor till) inklusive." Föreställ dig lärarens förvåning när en av hans elever (det här var Karl Gauss) en minut senare gav rätt svar på uppgiften, medan de flesta av våghalsens klasskamrater, efter långa beräkningar, fick fel resultat...

Unge Carl Gauss märkte ett visst mönster som du också lätt kan lägga märke till.
Låt oss säga att vi har en aritmetisk progression som består av -th termer: Vi måste hitta summan av dessa termer av den aritmetiska progressionen. Naturligtvis kan vi manuellt summera alla värden, men tänk om uppgiften kräver att man hittar summan av dess termer, som Gauss letade efter?

Låt oss skildra den utveckling vi fått. Ta en närmare titt på de markerade siffrorna och försök utföra olika matematiska operationer med dem.


Har du provat det? Vad märkte du? Höger! Deras summor är lika

Säg mig nu, hur många sådana par finns det totalt i den progression som vi fått? Naturligtvis exakt hälften av alla siffror, alltså.
Baserat på det faktum att summan av två termer i en aritmetisk progression är lika, och liknande par är lika, får vi att den totala summan är lika med:
.
Således kommer formeln för summan av de första termerna i varje aritmetisk progression att vara:

I vissa problem känner vi inte till den e termen, men vi vet skillnaden i progressionen. Försök att ersätta formeln för den e termen i summaformeln.
Vad fick du?

Bra gjort! Låt oss nu återgå till problemet som ställdes till Carl Gauss: beräkna själv vad summan av tal som börjar från th är lika med och summan av siffror som börjar från th.

Hur mycket fick du?
Gauss fann att summan av termerna är lika, och summan av termerna. Var det det du bestämde dig för?

Faktum är att formeln för summan av termerna för en aritmetisk progression bevisades av den antika grekiska vetenskapsmannen Diophantus redan på 300-talet, och under hela denna tid utnyttjade kvicka människor till fullo egenskaperna hos den aritmetiska progressionen.
Föreställ dig till exempel det antika Egypten och dåtidens största byggprojekt - byggandet av en pyramid... Bilden visar en sida av den.

Var är utvecklingen här säger du? Titta noga och hitta ett mönster i antalet sandblock i varje rad av pyramidväggen.


Varför inte en aritmetisk progression? Beräkna hur många block som behövs för att bygga en vägg om blockstenar placeras vid basen. Jag hoppas att du inte räknar när du flyttar fingret över monitorn, kommer du ihåg den senaste formeln och allt vi sa om aritmetisk progression?

I det här fallet ser utvecklingen ut så här: .
Aritmetisk progressionsskillnad.
Antalet termer i en aritmetisk progression.
Låt oss ersätta våra data med de sista formlerna (beräkna antalet block på 2 sätt).

Metod 1.

Metod 2.

Och nu kan du beräkna på monitorn: jämför de erhållna värdena med antalet block som finns i vår pyramid. Jag fattar? Bra gjort, du har bemästrat summan av de n:te termerna i en aritmetisk progression.
Naturligtvis kan du inte bygga en pyramid från block vid basen, men från? Försök att beräkna hur många sandtegel som behövs för att bygga en vägg med detta tillstånd.
Klarade du dig?
Rätt svar är block:

Träning

Uppgifter:

1. Masha kommer i form inför sommaren. Varje dag ökar hon antalet knäböj med. Hur många gånger kommer Masha att köra knäböj på en vecka om hon körde knäböj vid första träningspasset?
2. Vad är summan av alla udda tal som finns i.
3. Vid lagring av stockar staplar loggare dem på ett sådant sätt att varje översta lager innehåller en stock mindre än den föregående. Hur många stockar är det i ett murverk, om murverkets grund är stockar?

Svar:

1. Låt oss definiera parametrarna för den aritmetiska progressionen. I detta fall
   (veckor = dagar).

   Svar: Om två veckor ska Masha göra knäböj en gång om dagen.

2. Första udda nummer, sista nummer.
   Aritmetisk progressionsskillnad.
   Antalet udda tal i är hälften, men låt oss kontrollera detta faktum med hjälp av formeln för att hitta den tredje termen i en aritmetisk progression:

   Siffror innehåller udda tal.
   Låt oss ersätta den tillgängliga informationen i formeln:

   Svar: Summan av alla udda tal som finns i är lika.

3. Låt oss komma ihåg problemet med pyramider. För vårt fall, en , eftersom varje översta lager reduceras med en stock, så finns det totalt ett gäng lager, det vill säga.
   Låt oss ersätta data i formeln:

   Svar: Det finns stockar i murverket.

Låt oss sammanfatta det

1. - en talföljd där skillnaden mellan angränsande tal är densamma och lika. Det kan vara ökande eller minskande.
2. Hitta formel Den e termen i en aritmetisk progression skrivs av formeln - , där är antalet tal i progressionen.
3. Egenskapen för medlemmar i en aritmetisk progression- - var är antalet siffror på gång.
4. Summan av termerna för en aritmetisk progression kan hittas på två sätt:
   
   , var är antalet värden.

ARITMETISK PROGRESSION. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Nummerföljd

Låt oss sätta oss ner och börja skriva några siffror. Till exempel:

Du kan skriva vilka siffror som helst, och det kan finnas hur många som helst. Men vi kan alltid säga vilken som är först, vilken som är tvåa och så vidare, det vill säga vi kan numrera dem. Detta är ett exempel på en nummersekvens.

Nummerföljdär en uppsättning nummer som vart och ett kan tilldelas ett unikt nummer.

Med andra ord kan varje nummer associeras med ett visst naturligt tal, och ett unikt. Och vi kommer inte att tilldela detta nummer till något annat nummer från denna uppsättning.

Numret med nummer kallas den:e medlemmen i sekvensen.

Vi brukar kalla hela sekvensen med någon bokstav (till exempel), och varje medlem i denna sekvens är samma bokstav med ett index som är lika med numret på denna medlem: .

Det är mycket bekvämt om den :e termen i sekvensen kan specificeras med någon formel. Till exempel formeln

ställer in sekvensen:

Och formeln är följande sekvens:

Till exempel är en aritmetisk progression en sekvens (den första termen här är lika, och skillnaden är det). Eller (, skillnad).

formel för n:e termen

Vi kallar en formel återkommande där du, för att ta reda på den e termen, behöver känna till de föregående eller flera tidigare:

För att till exempel hitta den tredje termen av progressionen med denna formel måste vi beräkna de föregående nio. Till exempel, låt det. Sedan:

Nåväl, är det klart nu vad formeln är?

I varje rad lägger vi till, multiplicerat med något tal. Vilken? Mycket enkelt: detta är numret på den nuvarande medlemmen minus:

Mycket bekvämare nu, eller hur? Vi kontrollerar:

Bestäm själv:

I en aritmetisk progression, hitta formeln för den n:e termen och hitta den hundrade termen.

Lösning:

Den första termen är lika. Vad är skillnaden? Här är vad:

(Det är därför det kallas skillnad eftersom det är lika med skillnaden mellan successiva termer av progressionen).

Så formeln:

Då är den hundrade termen lika med:

Vad är summan av alla naturliga tal från till?

Enligt legenden beräknade den store matematikern Carl Gauss, som en 9-årig pojke, denna mängd på några minuter. Han märkte att summan av de första och sista siffrorna är lika, summan av den andra och den näst sista är densamma, summan av den tredje och 3:e från slutet är densamma, och så vidare. Hur många sådana par finns det totalt? Det stämmer, exakt hälften av alla siffror, alltså. Så,

Den allmänna formeln för summan av de första termerna i varje aritmetisk progression kommer att vara:

Exempel:
Hitta summan av alla tvåsiffriga multiplar.

Lösning:

Det första sådana numret är detta. Varje efterföljande nummer erhålls genom att lägga till föregående nummer. Således bildar talen vi är intresserade av en aritmetisk progression med den första termen och skillnaden.

Formel för den e termen för denna progression:

Hur många termer finns det i progressionen om alla måste vara tvåsiffriga?

Väldigt lätt: .

Den sista terminen av progressionen kommer att vara lika. Sedan summan:

Svar: .

Bestäm nu själv:

1. Varje dag springer idrottaren fler meter än föregående dag. Hur många kilometer totalt kommer han att springa på en vecka om han sprang km m den första dagen?
2. En cyklist färdas fler kilometer varje dag än föregående dag. Första dagen reste han km. Hur många dagar behöver han resa för att klara en kilometer? Hur många kilometer kommer han att resa under den sista dagen av sin resa?
3. Priset på ett kylskåp i butik minskar lika mycket varje år. Bestäm hur mycket priset på ett kylskåp minskade varje år om det, säljs för rubel, sex år senare såldes för rubel.

Svar:

1. Det viktigaste här är att känna igen den aritmetiska progressionen och bestämma dess parametrar. I det här fallet (veckor = dagar). Du måste bestämma summan av de första termerna i denna progression:
   .
   Svar:
2. Här anges: , måste hittas.
   Självklart måste du använda samma summaformel som i föregående problem:
   .
   Byt ut värdena:

   Roten passar uppenbarligen inte, så svaret är.
   Låt oss beräkna vägen tillryggalagd den senaste dagen med hjälp av formeln för den e termen:
   (km).
   Svar:

3. Givet: . Hitta: .
   Det kan inte vara enklare:
   (gnugga).
   Svar:

ARITMETISK PROGRESSION. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Detta är en nummersekvens där skillnaden mellan intilliggande tal är densamma och lika.

Aritmetisk progression kan vara ökande () och minskande ().

Till exempel:

Formel för att hitta den n:e termen i en aritmetisk progression

skrivs av formeln, där är antalet siffror på gång.

Egenskapen för medlemmar i en aritmetisk progression

Det låter dig enkelt hitta en term för en progression om dess närliggande termer är kända - var är antalet siffror i progressionen.

Summan av termer av en aritmetisk progression

Det finns två sätt att hitta beloppet:

Var är antalet värden.

Var är antalet värden.

DE ÅTERSTÅENDE 2/3 ARTIKLAR ÄR ENDAST TILLGÄNGLIGA FÖR DINA STUDENTER!

Bli en YouClever-student,

Förbered dig för Unified State Exam eller Unified State Exam i matematik till priset av "en kopp kaffe per månad",

Och få även obegränsad tillgång till "YouClever"-läroboken, "100gia"-förberedelseprogrammet (lösarbok), ett obegränsat prov på Unified State Exam och Unified State Exam, 6000 problem med analys av lösningar och andra YouClever- och 100gia-tjänster.

Lektionstyp: lära sig nytt material.

Lektionens mål:

• utöka och fördjupa elevernas förståelse för problem lösta med aritmetisk progression; organisera elevernas sökaktiviteter när man härleder formeln för summan av de första n termerna i en aritmetisk progression;
• utveckla förmågan att självständigt förvärva ny kunskap och använda redan förvärvad kunskap för att uppnå en given uppgift;
• utveckla önskan och behovet av att generalisera de erhållna fakta, utveckla självständighet.

Uppgifter:

• sammanfatta och systematisera befintlig kunskap om ämnet "Aritmetisk progression";
• härleda formler för att beräkna summan av de första n termerna av en aritmetisk progression;
• lära ut hur man tillämpar de erhållna formlerna när man löser olika problem;
• uppmärksamma eleverna på proceduren för att hitta värdet av ett numeriskt uttryck.

Utrustning:

• kort med uppgifter för att arbeta i grupper och par;
• utvärderingspapper;
• presentation"Aritmetisk progression."

I. Uppdatering av grundläggande kunskaper.

1. Självständigt arbete i par.

1:a alternativet:

Definiera aritmetisk progression. Skriv ner en återkommande formel som definierar en aritmetisk progression. Ge ett exempel på en aritmetisk progression och ange dess skillnad.

Alternativ 2:

Skriv ner formeln för den n:e termen i en aritmetisk progression. Hitta den 100:e termen i den aritmetiska progressionen ( en}: 2, 5, 8 …
Vid det här laget förbereder två elever på baksidan av tavlan svar på samma frågor.
Eleverna utvärderar sin partners arbete genom att kontrollera dem på tavlan. (Ark med svar lämnas in.)

2. Spelmoment.

Övning 1.

Lärare. Jag tänkte på en viss aritmetisk utveckling. Ställ bara två frågor till mig så att du efter svaren snabbt kan namnge den 7:e terminen i denna progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Frågor från studenter.

1. Vilken är den sjätte termen av progressionen och vad är skillnaden?
2. Vilken är den åttonde termen av progressionen och vad är skillnaden?

Om det inte finns fler frågor kan läraren stimulera dem - ett "förbud" mot d (skillnad), det vill säga det är inte tillåtet att fråga vad skillnaden är lika med. Du kan ställa frågor: vad är den 6:e termen av progressionen lika med och vad är den 8:e termen av progressionen lika med?

Uppgift 2.

Det finns 20 nummer skrivna på tavlan: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Läraren står med ryggen mot tavlan. Eleverna ropar upp numret och läraren ropar omedelbart upp numret själv. Förklara hur jag kan göra detta?

Läraren kommer ihåg formeln för den n:e terminen a n = 3n – 2 och genom att ersätta de angivna värdena n, hittar motsvarande värden en.

II. Att ställa in en inlärningsuppgift.

Jag föreslår att lösa ett uråldrigt problem som går tillbaka till det 2:a årtusendet f.Kr., som finns i egyptisk papyrus.

Uppgift:"Låt det sägas till er: dela 10 mått korn mellan 10 personer, skillnaden mellan varje person och hans granne är 1/8 av måttet."

• Hur är detta problem relaterat till ämnet aritmetisk progression? (Varje nästa person får 1/8 av måttet mer, vilket betyder att skillnaden är d=1/8, 10 personer, vilket betyder n=10.)
• Vad tror du att mått 10 betyder? (Summa av alla termer av progressionen.)
• Vad mer behöver du veta för att göra det enkelt och enkelt att dela upp kornet efter förutsättningarna för problemet? (Första terminen av progression.)

Lektionens mål– att erhålla beroendet av summan av termerna för progressionen på deras antal, den första termen och skillnaden, och kontrollera om problemet löstes korrekt i antiken.

Innan vi härleder formeln, låt oss titta på hur de gamla egyptierna löste problemet.

Och de löste det på följande sätt:

1) 10 mått: 10 = 1 mått – genomsnittlig andel;
2) 1 mått ∙ = 2 mått – dubbelt genomsnitt dela med sig.
Fördubblats genomsnitt aktie är summan av andelarna för den 5:e och 6:e personen.
3) 2 mått – 1/8 mått = 1 7/8 mått – dubbla andelen av den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – bråkdel av en femtedel; och så vidare kan du hitta andelen för varje föregående och efterföljande person.

Vi får sekvensen:

III. Löser problemet.

1. Arbeta i grupp

Grupp I: Hitta summan av 20 naturliga tal i följd: S20 =(20+1)∙10 =210.

I allmänhet

II grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Slutsats:

III grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 21.

Lösning: 1+21=2+20=3+19=4+18...

Slutsats:

IV grupp: Hitta summan av naturliga tal från 1 till 101.

Slutsats:

Denna metod för att lösa de övervägda problemen kallas "Gauss-metoden".

2. Varje grupp presenterar lösningen på problemet på tavlan.

3. Generalisering av de föreslagna lösningarna för en godtycklig aritmetisk progression:

a 1, a 2, a 3,..., a n-2, a n-1, a n.
Sn =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +...+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Låt oss hitta denna summa med liknande resonemang:

4. Har vi löst problemet?(Ja.)

IV. Primär förståelse och tillämpning av de erhållna formlerna vid problemlösning.

1. Kontrollera lösningen på ett gammalt problem med hjälp av formeln.

2. Tillämpning av formeln för att lösa olika problem.

3. Övningar för att utveckla förmågan att tillämpa formler vid problemlösning.

A) nr 613

Givet: ( en) - aritmetisk progression;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Hitta: S 1500

Lösning: , a 1 = 1 och 1500 = 1500,

B) Givet: ( en) - aritmetisk progression;
(a n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Hitta: n
Lösning:

V. Självständigt arbete med ömsesidig verifiering.

Denis började jobba som kurir. Under den första månaden var hans lön 200 rubel, varje efterföljande månad ökade den med 30 rubel. Hur mycket tjänade han totalt på ett år?

Givet: ( en) - aritmetisk progression;
ai = 200, d=30, n=12
Hitta: S 12
Lösning:

Svar: Denis fick 4380 rubel för året.

VI. Läxundervisning.

1. Avsnitt 4.3 – lär dig härledningen av formeln.
2. №№ 585, 623 .
3. Skapa ett problem som kan lösas med hjälp av formeln för summan av de första n termerna i en aritmetisk progression.

VII. Sammanfattning av lektionen.

1. Resultatblad

2. Fortsätt meningarna

• Idag på lektionen lärde jag mig...
• Formler lärde sig...
• Jag tror det …

3. Kan du hitta summan av siffror från 1 till 500? Vilken metod kommer du att använda för att lösa detta problem?

Bibliografi.

1. Algebra, 9:e klass. Lärobok för allmänna läroanstalter. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Enlightenment", 2009.