Normalplanekvation i vektorform. Planekvationer: allmän, genom tre punkter, normal

Ekvation för ett plan. Hur man skriver en ekvation för ett plan?
Inbördes arrangemang av plan. Uppgifter

Rumslig geometri är inte mycket mer komplicerad än "platt" geometri, och våra flygningar i rymden börjar med den här artikeln. För att behärska ämnet behöver du ha god förståelse för vektorer, dessutom är det lämpligt att vara bekant med planets geometri - det kommer att finnas många likheter, många analogier, så informationen kommer att smältas mycket bättre. I en serie av mina lektioner öppnar 2D-världen med en artikel Ekvation för en rät linje på ett plan. Men nu har Batman lämnat platt-tv-skärmen och lanserar från Baikonur Cosmodrome.

Låt oss börja med ritningar och symboler. Schematiskt kan planet ritas i form av ett parallellogram, vilket skapar intrycket av rymden:

Planet är oändligt, men vi har möjlighet att avbilda bara en bit av det. I praktiken, förutom parallellogrammet, ritas också en oval eller till och med ett moln. Av tekniska skäl är det bekvämare för mig att avbilda planet på exakt detta sätt och i exakt denna position. Verkliga plan, som vi kommer att överväga i praktiska exempel, kan placeras på vilket sätt som helst - ta ritningen mentalt i dina händer och rotera den i rymden, vilket ger planet vilken lutning som helst, vilken vinkel som helst.

Beteckningar: flygplan betecknas vanligtvis med små grekiska bokstäver, tydligen för att inte förväxla dem med rak linje på ett plan eller med rak linje i rymden. Jag är van vid att använda bokstaven. På ritningen är det bokstaven "sigma", och inte ett hål alls. Även om det håliga planet verkligen är ganska roligt.

I vissa fall är det bekvämt att använda samma grekiska bokstäver med lägre teckningar för att beteckna plan, till exempel .

Det är uppenbart att planet är unikt definierat av tre olika punkter som inte ligger på samma linje. Därför är trebokstavsbeteckningar på plan ganska populära - av de punkter som tillhör dem, till exempel, etc. Ofta är bokstäver inom parentes: , för att inte förväxla planet med en annan geometrisk figur.

För erfarna läsare kommer jag att ge snabbåtkomstmenyn:

• Hur skapar man en ekvation för ett plan med hjälp av en punkt och två vektorer?
• Hur skapar man en ekvation för ett plan med hjälp av en punkt och en normalvektor?

och vi kommer inte att tyna bort i långa väntan:

Allmän planekvation

Planets allmänna ekvation har formen , där koefficienterna inte är lika med noll samtidigt.

Ett antal teoretiska beräkningar och praktiska problem är giltiga både för den vanliga ortonormala basen och för den affina basen av rymd (om oljan är olja, gå tillbaka till lektionen Linjärt (icke) beroende av vektorer. Grund för vektorer). För enkelhetens skull kommer vi att anta att alla händelser sker i en ortonormal basis och ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem.

Låt oss nu öva vår rumsliga fantasi lite. Det är okej om din är dålig, nu ska vi utveckla den lite. Även att spela på nerver kräver träning.

I det mest allmänna fallet, när talen inte är lika med noll, skär planet alla tre koordinataxlarna. Till exempel, så här:

Jag upprepar ännu en gång att planet fortsätter i all oändlighet åt alla håll, och vi har möjlighet att avbilda bara en del av det.

Låt oss överväga de enklaste ekvationerna av plan:

Hur förstår man denna ekvation? Tänk på det: "Z" är ALLTID lika med noll, för alla värden på "X" och "Y". Detta är ekvationen för det "naturliga" koordinatplanet. Faktiskt, formellt kan ekvationen skrivas om enligt följande: , varifrån du tydligt kan se att vi inte bryr oss om vilka värden "x" och "y" tar, är det viktigt att "z" är lika med noll.

Likaså:
– ekvation för koordinatplanet;
– koordinatplanets ekvation.

Låt oss komplicera problemet lite, betrakta ett plan (här och vidare i stycket antar vi att de numeriska koefficienterna inte är lika med noll). Låt oss skriva om ekvationen i formen: . Hur ska man förstå det? "X" är ALLTID, för alla värden på "Y" och "Z", lika med ett visst tal. Detta plan är parallellt med koordinatplanet. Till exempel är ett plan parallellt med ett plan och passerar genom en punkt.

Likaså:
– ekvation för ett plan som är parallellt med koordinatplanet;
– ekvation för ett plan som är parallellt med koordinatplanet.

Låt oss lägga till medlemmar: . Ekvationen kan skrivas om enligt följande: , det vill säga "zet" kan vara vad som helst. Vad betyder det? "X" och "Y" är förbundna med relationen, som ritar en viss rät linje i planet (du kommer att få reda på ekvation för en linje i ett plan?). Eftersom "z" kan vara vad som helst, "replikeras" denna raka linje på vilken höjd som helst. Således definierar ekvationen ett plan parallellt med koordinataxeln

Likaså:
– ekvation för ett plan som är parallellt med koordinataxeln;
– ekvation för ett plan som är parallellt med koordinataxeln.

Om de fria termerna är noll, kommer planen att passera direkt genom motsvarande axlar. Till exempel den klassiska "direkt proportionalitet": . Rita en rak linje i planet och multiplicera den mentalt upp och ner (eftersom "Z" är vilket som helst). Slutsats: planet som definieras av ekvationen passerar genom koordinataxeln.

Vi slutför granskningen: planets ekvation passerar genom ursprunget. Tja, här är det ganska uppenbart att poängen uppfyller denna ekvation.

Och slutligen, fallet som visas på ritningen: – planet är vänligt med alla koordinataxlar, medan det alltid "klipper av" en triangel, som kan placeras i vilken som helst av de åtta oktanterna.

Linjära ojämlikheter i rymden

För att förstå informationen behöver du studera väl linjära ojämlikheter i planet, eftersom många saker kommer att vara liknande. Paragrafen kommer att vara av kortfattad översiktskaraktär med flera exempel, eftersom materialet är ganska ovanligt i praktiken.

Om ekvationen definierar ett plan, så är ojämlikheterna
fråga halva utrymmen. Om ojämlikheten inte är strikt (de två sista i listan), så inkluderar lösningen av ojämlikheten, förutom halvrummet, även själva planet.

Exempel 5

Hitta enhetens normalvektor för planet .

Lösning: En enhetsvektor är en vektor vars längd är en. Låt oss beteckna denna vektor med . Det är helt klart att vektorerna är kolinjära:

Först tar vi bort normalvektorn från ekvationen för planet: .

Hur hittar man en enhetsvektor? För att hitta enhetsvektorn behöver du varje dividera vektorkoordinaten med vektorlängden.

Låt oss skriva om normalvektorn i formen och hitta dess längd:

Enligt ovanstående:

Svar:

Verifiering: vad som krävdes för att verifieras.

Läsare som noggrant studerade det sista stycket i lektionen märkte förmodligen det koordinaterna för enhetsvektorn är exakt vektorns riktningscosinus:

Låt oss ta en paus från problemet: när du får en godtycklig vektor som inte är noll, och enligt tillståndet krävs det för att hitta dess riktningskosinus (se de sista problemen i lektionen Punktprodukt av vektorer), så hittar du i själva verket en enhetsvektor i linje med denna. Egentligen två uppgifter på en flaska.

Behovet av att hitta enhetens normalvektor uppstår i vissa problem med matematisk analys.

Vi har kommit på hur man fiskar upp en normal vektor, låt oss nu svara på den motsatta frågan:

Hur skapar man en ekvation för ett plan med hjälp av en punkt och en normalvektor?

Denna stela konstruktion av en normalvektor och en punkt är välkänd för darttavlan. Vänligen sträck ut handen framåt och välj mentalt en godtycklig punkt i rymden, till exempel en liten katt i skänken. Självklart kan du genom denna punkt rita ett enda plan vinkelrätt mot din hand.

Ekvationen för ett plan som går genom en punkt vinkelrät mot vektorn uttrycks med formeln:

Normalplanekvation.

Formens allmänna planekvation kallas normalplanekvationen, om vektorlängden lika med ett, dvs. , Och .

Du kan ofta se att normalekvationen för ett plan skrivs som . Här är riktningscosinuserna för normalvektorn för ett givet längdenhetsplan, det vill säga och sid– ett icke-negativt tal lika med avståndet från origo till planet.

Normalekvationen för ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz definierar ett plan som avlägsnas från origo med ett avstånd sid i positiv riktning för normalvektorn i detta plan . Om p=0, sedan passerar planet genom origo.

Låt oss ge ett exempel på en normalplanekvation.

Låt planet specificeras i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz formens allmänna planekvation . Denna allmänna ekvation för planet är den normala ekvationen för planet. Den normala vektorn för detta plan är faktiskt har längd lika med enhet, eftersom .

Ekvationen för ett plan i normal form låter dig hitta avståndet från en punkt till ett plan.

Avstånd från en punkt till ett plan.

Avståndet från en punkt till ett plan är det minsta av avstånden mellan denna punkt och planets punkter. Det är känt att distans från en punkt till ett plan är lika med längden på vinkelrät ritat från denna punkt till planet.

Om och ursprunget för koordinater ligger på olika sidor av planet, i motsatt fall. Avståndet från en punkt till ett plan är

Inbördes arrangemang av plan. Villkor för parallellitet och vinkelräthet hos plan.

Avstånd mellan parallella plan

Relaterade begrepp

Planen är parallella , Om

eller (Vektorprodukt)

Planen är vinkelräta, Om

Eller . (Skalär produkt)

Rakt i rymden. Olika typer av räta linjeekvationer.

Ekvationer för en rät linje i rymden - initial information.

Ekvation för en rät linje på ett plan Oxyär en linjär ekvation i två variabler x Och y, som är uppfylld av koordinaterna för någon punkt på en linje och inte uppfylls av koordinaterna för några andra punkter. Med en rät linje i det tredimensionella rummet är situationen lite annorlunda - det finns ingen linjär ekvation med tre variabler x, y Och z, som endast skulle uppfyllas av koordinaterna för punkter på en linje specificerad i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz. Faktum är att en ekvation av formen , där x, y Och zär variabler och A, B, C Och D– några reella tal, och A, I Och MEDär inte lika med noll samtidigt, representerar generell planekvation. Då uppstår frågan: ”Hur kan en rät linje beskrivas i ett rektangulärt koordinatsystem? Oxyz»?

Svaret på detta finns i följande stycken i artikeln.

Ekvationerna för en rät linje i rymden är ekvationerna för två plan som skär varandra.

Låt oss komma ihåg ett axiom: om två plan i rymden har en gemensam punkt, så har de en gemensam rät linje på vilken alla de gemensamma punkterna för dessa plan är belägna. Således kan en rät linje i rymden definieras genom att specificera två plan som skär längs denna räta linje.

Låt oss översätta det sista påståendet till algebraspråket.

Låt ett rektangulärt koordinatsystem fixeras i tredimensionellt rum Oxyz och det är känt att den räta linjen aär skärningslinjen mellan två plan och, som motsvarar de allmänna ekvationerna för formens plan och resp. Eftersom det är rakt aär mängden av alla gemensamma punkter i planen och då kommer koordinaterna för någon punkt på linjen a samtidigt att uppfylla både ekvationen och ekvationen, koordinaterna för inga andra punkter kommer samtidigt att uppfylla båda ekvationerna för planen. Därför koordinaterna för valfri punkt på linjen a i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz representera särskild lösning på ett system av linjära ekvationer snäll och den allmänna lösningen till ekvationssystemet bestämmer koordinaterna för varje punkt på en linje a, det vill säga definierar en rät linje a.

Alltså en rak linje i rymden i ett rektangulärt koordinatsystem Oxyz kan ges av ett ekvationssystem av två skärande plan .

Här är ett exempel på att definiera en rät linje i rymden med hjälp av ett system med två ekvationer - .

Att beskriva en rät linje med ekvationerna för två skärande plan är utmärkt för hitta koordinaterna för skärningspunkten för en linje och ett plan, och även när hitta koordinaterna för skärningspunkten mellan två linjer i rymden.

Vi rekommenderar ytterligare studier av detta ämne genom att hänvisa till artikeln ekvationer för en linje i rymden - ekvationer av två plan som skär varandra. Den ger mer detaljerad information, diskuterar i detalj lösningar på typiska exempel och problem, och visar också en metod för att övergå till ekvationer av en rät linje i ett rum av en annan typ.

Det bör noteras att det finns olika sätt att definiera en linje i rymden, och i praktiken definieras en rät linje ofta inte av två skärande plan, utan av den räta linjens riktningsvektor och en punkt som ligger på denna räta linje. I dessa fall är det lättare att få kanoniska och parametriska ekvationer för en linje i rymden. Vi kommer att prata om dem i följande stycken.

Parametriska ekvationer för en linje i rymden.

Parametriska ekvationer för en linje i rymden ser ut som ,

Var x 1 ,y 1 Och z 1 – koordinater för någon punkt på linjen, a x , a y Och a z (a x , a y Och a zär inte lika med noll samtidigt) - motsvarande koordinaterna för den räta linjens riktningsvektor, a är någon parameter som kan ta vilket verkligt värde som helst.

För valfritt värde på parametern, med hjälp av de parametriska ekvationerna för en linje i rymden, kan vi beräkna en trippel av tal,

det kommer att motsvara någon punkt på linjen (därav namnet på denna typ av linjeekvation). Till exempel när

från de parametriska ekvationerna för en rät linje i rymden får vi koordinaterna x 1 , y 1 Och z 1 : .

Som ett exempel, betrakta en rät linje definierad av parametriska ekvationer av formen . Denna linje passerar genom en punkt, och riktningsvektorn för denna linje har koordinater.

Vi rekommenderar att du fortsätter att studera ämnet genom att hänvisa till artikeln parametriska ekvationer för en linje i rymden. Den visar härledning av parametriska ekvationer för en linje i rymden, undersöker specialfall av parametriska ekvationer för en linje i rymden, ger grafiska illustrationer, ger detaljerade lösningar på karakteristiska problem och indikerar sambandet mellan parametriska ekvationer för en linje och andra typer av ekvationer av en linje.

Kanoniska ekvationer av en rät linje i rymden.

Efter att ha löst var och en av de parametriska räta linjeekvationerna i formen angående parametern är den lätt att gå till kanoniska ekvationer av en rät linje i rymden snäll .

De kanoniska ekvationerna för en linje i rymden bestämmer en linje som går genom en punkt , och riktningsvektorn för den räta linjen är vektorn . Till exempel ekvationerna för en rät linje i kanonisk form motsvarar en linje som går genom en punkt i rymden med koordinater, riktningsvektorn för denna linje har koordinater.

Det bör noteras att ett eller två av talen i en linjes kanoniska ekvationer kan vara lika med noll (alla tre talen kan inte vara lika med noll samtidigt, eftersom riktningsvektorn för en linje inte kan vara noll). Sedan en notering av formen anses formell (eftersom nämnare för ett eller två bråk har nollor) och ska förstås som , Var.

Om ett av talen i en linjes kanoniska ekvationer är lika med noll, så ligger linjen i ett av koordinatplanen, eller i ett plan parallellt med det. Om två av talen är noll, så sammanfaller linjen antingen med en av koordinataxlarna eller är parallell med den. Till exempel en linje som motsvarar de kanoniska ekvationerna för en linje i formens rymd , ligger i planet z=-2, som är parallell med koordinatplanet Oxy, och koordinataxeln Oj bestäms av kanoniska ekvationer.

För grafiska illustrationer av dessa fall, härledningen av de kanoniska ekvationerna för en linje i rymden, detaljerade lösningar av typiska exempel och problem, samt övergången från en linjes kanoniska ekvationer till andra ekvationer för en linje i rymden, se artikel kanoniska ekvationer för en linje i rymden.

Allmän ekvation för en rät linje. Övergång från den allmänna till den kanoniska ekvationen.

Planets position i rymden kommer att bestämmas fullständigt om vi anger dess avstånd från origo O, dvs längden på den vinkelräta OT ritad från punkt O till planet, och enhetsvektor nr vinkelrät mot planet och riktad från origo O till planet (fig. 110).

När punkt M rör sig längs ett plan ändras dess radievektor så att den alltid är bunden av något villkor. Låt oss se vad detta tillstånd är. Uppenbarligen, för varje punkt som ligger på planet, har vi:

Detta villkor gäller endast för punkter på planet; den bryts om punkt M ligger utanför planet. Således uttrycker likhet (1) en egenskap som är gemensam för alla punkter på planet och endast för dem. Enligt 7 kap. 11 vi har:

och därför kan ekvation (1) skrivas om som:

Ekvation (G) uttrycker villkoret under vilket punkt ) ligger på ett givet plan, och kallas normalekvationen för detta plan. Radievektorn för en godtycklig punkt M i planet kallas den aktuella radievektorn.

Ekvation (1) för planet är skriven i vektorform. Om vi ​​går vidare till koordinaterna och placerar ursprunget för koordinaterna vid utgångspunkten för vektorerna - punkt O, noterar vi att projektionerna av enhetsvektorn på koordinataxlarna är cosinus för vinklarna som axlarna gör med denna vektor, och projektioner av radievektorn för punkten M

tjäna som punktens koordinater, dvs vi har:

Ekvation (G) blir koordinat:

När vi översatte planets vektorekvation (G) till koordinatekvationen (2) använde vi formel (15) § 9 kap. 11, som uttrycker den skalära produkten genom projektioner av vektorer. Ekvation (2) uttrycker villkoret under vilket punkten M(x, y, z) ligger på ett givet plan, och kallas normalekvationen för detta plan i koordinatform. Den resulterande ekvationen (2) är av den första graden i förhållande till , d.v.s. vilket plan som helst kan representeras av en ekvation av den första graden i förhållande till de aktuella koordinaterna.

Observera att de härledda ekvationerna (1") och (2) förblir giltiga även när , dvs. det givna planet passerar genom origo för koordinater. I detta fall kan vi ta vilken som helst av två enhetsvektorer vinkelräta mot planet och som skiljer sig med en från ett annat håll.

Kommentar. Normalplanekvationen (2) kan härledas utan att använda vektormetoden.

Låt oss ta ett godtyckligt plan och rita en linje I genom utgångspunkten för koordinater vinkelrät mot den. Sätt på denna linje en positiv riktning från koordinaternas utgångspunkt till planet (om det valda planet passerade genom koordinaternas origo, då valfri riktning på linjen kunde tas).

Detta plans position i rymden bestäms helt av dess avstånd från koordinaternas utgångspunkt, det vill säga längden på segmentet av l-axeln från koordinaternas utgångspunkt till punkten för dess skärningspunkt med planet (i fig. 111 - segment) och vinklarna mellan axeln och koordinataxlarna. När en punkt rör sig längs ett plan med koordinater ändras dess koordinater så att de alltid är bundna av något villkor. Låt oss se vad detta tillstånd är.

Låt oss bygga det i fig. 111 koordinat streckad linje OPSM för en godtycklig punkt M i planet. Låt oss ta projektionen av denna streckade linje på l-axeln. Notera att projektionen av en streckad linje är lika med projektionen av dess avslutande segment (kapitel I, § 3), vi har.

För att få den allmänna ekvationen för ett plan, låt oss analysera planet som passerar genom en given punkt.

Låt det finnas tre koordinataxlar som vi redan känner till i rymden - Oxe, Oj Och Uns. Håll pappersarket så att det förblir plant. Planet kommer att vara själva arket och dess fortsättning i alla riktningar.

Låta P godtyckligt plan i rymden. Varje vektor som är vinkelrät mot den kallas normal vektor till detta plan. Naturligtvis talar vi om en vektor som inte är noll.

Om någon punkt på planet är känd P och någon normal vektor till den, så är planet i rymden helt definierat genom dessa två förhållanden(genom en given punkt kan du rita ett enda plan vinkelrätt mot den givna vektorn). Den allmänna ekvationen för planet kommer att vara:

Så, villkoren som definierar ekvationen för planet är. För att få dig själv plan ekvation, med ovanstående form, ta på planet P slumpmässig punkt M med variabla koordinater x, y, z. Denna punkt tillhör planet endast om vektor vinkelrätt mot vektorn(Figur 1). För detta, enligt villkoret för vinkelräta vektorer, är det nödvändigt och tillräckligt att skalärprodukten av dessa vektorer är lika med noll, dvs.

Vektorn specificeras av villkor. Vi hittar vektorns koordinater med hjälp av formeln :

.

Nu använder vi formeln för skalärprodukten av vektorer , uttrycker vi den skalära produkten i koordinatform:

Sedan poängen M(x; y; z) väljs godtyckligt på planet, så är den sista ekvationen uppfylld av koordinaterna för någon punkt som ligger på planet P. För en poäng N, inte ligga på ett givet plan, dvs. jämställdhet (1) kränks.

Exempel 1. Skriv en ekvation för ett plan som går genom en punkt och vinkelrätt mot vektorn.

Lösning. Låt oss använda formel (1) och titta på den igen:

I den här formeln siffrorna A , B Och C vektorkoordinater och siffror x0 , y0 Och z0 - punktens koordinater.

Beräkningarna är mycket enkla: vi ersätter dessa siffror i formeln och får

Vi multiplicerar allt som ska multipliceras och lägger bara till siffror (som inte har bokstäver). Resultat:

.

Den erforderliga ekvationen för planet i detta exempel visade sig uttryckas av en allmän ekvation av första graden med avseende på variabla koordinater x, y, z godtycklig punkt i planet.

Alltså en formekvation

kallad generell planekvation .

Exempel 2. Konstruera i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem ett plan givet av ekvationen .

Lösning. För att konstruera ett plan är det nödvändigt och tillräckligt att känna till vilka tre av dess punkter som helst som inte ligger på samma räta linje, till exempel skärningspunkterna mellan planet och koordinataxlarna.

Hur hittar man dessa punkter? För att hitta skärningspunkten med axeln Uns, måste du ersätta nollor för X och Y i ekvationen i problemsatsen: x = y= 0 . Därför får vi z= 6. Således skär det givna planet axeln Uns vid punkten A(0; 0; 6) .

På samma sätt hittar vi skärningspunkten mellan planet och axeln Oj. På x = z= 0 får vi y= −3, det vill säga punkten B(0; −3; 0) .

Och slutligen hittar vi skärningspunkten för vårt plan med axeln Oxe. På y = z= 0 får vi x= 2, det vill säga en punkt C(2; 0; 0). Baserat på de tre punkter som erhållits i vår lösning A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) och C(2; 0; 0) konstruera det givna planet.

Låt oss nu överväga specialfall av den allmänna planekvationen. Dessa är fall då vissa koefficienter i ekvation (2) blir noll.

1. När D= 0 ekvation definierar ett plan som går genom origo, eftersom punktens koordinater 0 (0; 0; 0) uppfyller denna ekvation.

2. När A= 0 ekvation definierar ett plan parallellt med axeln Oxe, eftersom normalvektorn för detta plan är vinkelrät mot axeln Oxe(dess projektion på axeln Oxe lika med noll). Likaså när B= 0 plan parallellt med axeln Oj, och när C= 0 plan parallellt med axeln Uns.

3. När A=D= 0-ekvationen definierar ett plan som passerar genom axeln Oxe eftersom den är parallell med axeln Oxe (A=D= 0). På samma sätt passerar planet genom axeln Oj, och planet genom axeln Uns.

4. När A=B= 0-ekvationen definierar ett plan parallellt med koordinatplanet xOy, eftersom den är parallell med axlarna Oxe (A= 0) och Oj (B= 0). På liknande sätt är planet parallellt med planet yOz, och planet är planet xOz.

5. När A=B=D= 0 ekvation (eller z = 0) definierar koordinatplanet xOy eftersom den är parallell med planet xOy (A=B= 0) och passerar genom origo ( D= 0). Likaså, Eq. y = 0 i rymden definierar koordinatplanet xOz, och ekvationen x = 0 - koordinatplan yOz.

Exempel 3. Skapa en ekvation för planet P, som passerar genom axeln Oj och period.

Lösning. Så planet passerar genom axeln Oj. Därför i hennes ekvation y= 0 och denna ekvation har formen . För att bestämma koefficienterna A Och C låt oss dra fördel av det faktum att punkten tillhör planet P .

Därför finns det bland dess koordinater de som kan ersättas i planekvationen som vi redan har härlett (). Låt oss återigen titta på punktens koordinater:

M0 (2; −4; 3) .

Bland dem x = 2 , z= 3 . Vi ersätter dem i den allmänna ekvationen och får ekvationen för vårt specifika fall:

2A + 3C = 0 .

Lämna 2 A på vänster sida av ekvationen, flytta 3 C till höger sida och vi får

A = −1,5C .

Ersätter det hittade värdet A in i ekvationen får vi

eller .

Detta är ekvationen som krävs i exempelvillkoret.

Lös problemet med planekvationen själv och titta sedan på lösningen

Exempel 4. Definiera ett plan (eller plan, om fler än ett) med avseende på koordinataxlar eller koordinatplan om planet/planen ges av ekvationen.

Lösningar på typiska problem som uppstår under tester finns i läroboken "Problem på ett plan: parallellitet, vinkelräthet, skärning av tre plan vid en punkt."

Ekvation för ett plan som passerar genom tre punkter

Som redan nämnts är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att konstruera ett plan, förutom en punkt och normalvektorn, också tre punkter som inte ligger på samma linje.

Låt tre olika punkter , och , inte ligga på samma linje, ges. Eftersom de angivna tre punkterna inte ligger på samma linje, är vektorerna inte kolinjära, och därför ligger vilken punkt som helst i planet i samma plan med punkterna, och om och endast om vektorerna , och coplanar, dvs. då och bara när blandad produkt av dessa vektorerär lika med noll.

Med hjälp av uttrycket för den blandade produkten i koordinater får vi planets ekvation

(3)

Efter att ha avslöjat determinanten blir denna ekvation en ekvation av formen (2), dvs. planets allmänna ekvation.

Exempel 5. Skriv en ekvation för ett plan som går genom tre givna punkter som inte ligger på samma räta linje:

och bestäm ett specialfall av den allmänna ekvationen för en linje, om en sådan förekommer.

Lösning. Enligt formel (3) har vi:

Normalplanekvation. Avstånd från punkt till plan

Normalekvationen för ett plan är dess ekvation, skriven i formen

Låt oss betrakta planet Q i rymden. Dess position bestäms helt genom att specificera vektorn N vinkelrätt mot detta plan och någon fixpunkt som ligger i Q-planet. Vektorn N vinkelrät mot Q-planet kallas normalvektorn för detta plan. Om vi ​​betecknar med A, B och C projektionerna av normalvektorn N, då

Låt oss härleda ekvationen för planet Q som passerar genom en given punkt och har en given normalvektor. För att göra detta, överväg en vektor som förbinder en punkt med en godtycklig punkt på Q-planet (fig. 81).

För varje position av punkt M på planet Q är vektorn MHM vinkelrät mot normalvektorn N i planet Q. Därför, skalärprodukten Låt oss skriva skalärprodukten i termer av projektioner. Eftersom , och är en vektor, alltså

och därför

Vi har visat att koordinaterna för vilken punkt som helst i Q-planet uppfyller ekvation (4). Det är lätt att se att koordinaterna för punkter som inte ligger på Q-planet inte uppfyller denna ekvation (i det senare fallet ). Följaktligen har vi erhållit den erforderliga ekvationen för planet Q. Ekvation (4) kallas ekvationen för planet som passerar genom en given punkt. Den är av första graden i förhållande till de aktuella koordinaterna

Så vi har visat att varje plan motsvarar en ekvation av första graden med avseende på de nuvarande koordinaterna.

Exempel 1. Skriv ekvationen för ett plan som går genom en punkt vinkelrät mot vektorn.

Lösning. Här . Baserat på formel (4) får vi

eller, efter förenkling,

Genom att ge koefficienterna A, B och C i ekvation (4) olika värden kan vi erhålla ekvationen för vilket plan som helst som passerar genom punkten. Uppsättningen av plan som passerar genom en given punkt kallas en bunt av plan. Ekvation (4), där koefficienterna A, B och C kan ha vilka värden som helst, kallas ekvationen för ett gäng plan.

Exempel 2. Skapa en ekvation för ett plan som går genom tre punkter (Fig. 82).

Lösning. Låt oss skriva ekvationen för ett gäng plan som passerar genom punkten