Rätt triangel motsatt av Pythagoras sats. Lektion "Sat - inversen av Pythagoras sats"

Lösningen på problemet:

252 = 242 + 72, vilket betyder att triangeln är rätvinklig och dess area är lika med halva produkten av dess ben, d.v.s. S = hс * с: 2, där с är hypotenusan, hс är höjden till hypotenusan, sedan hс = = = 6,72 (cm)

Svar: 6,72 cm.

Syftet med scenen:

Bild nummer 4

"4" - 1 felaktigt svar

"3" - svaren är felaktiga.

Jag föreslår att du gör:

Bild nummer 5

Syftet med scenen:

I slutet av lektionen:

Följande fraser är skrivna på tavlan:

Lektionen är användbar, allt är klart.

Du måste fortfarande arbeta hårt.

Ja, det är fortfarande svårt att studera!

Visa dokumentinnehåll
"Matematiklektionsprojekt "Sats invers till Pythagoras sats""

Lektionsprojekt "Sat inverst till Pythagoras sats"

En lektion i att "upptäcka" ny kunskap

Lektionens mål:

aktivitet: utveckla hos eleverna förmågan att självständigt konstruera nya handlingsmetoder baserade på metoden för reflexiv självorganisering;

pedagogisk: utvidgning av den konceptuella basen genom att inkludera nya element i den.

Motivationsstadium för lärandeaktiviteter (5 min)

Ömsesidig hälsning av läraren och eleverna, kontrollera beredskapen för lektionen, organisera uppmärksamhet och intern beredskap, snabbt integrera eleverna i affärsrytmen genom att lösa problem med hjälp av färdiga ritningar:

Hitta BC om ABCD är en romb.

ABCD är en rektangel. AB:AD = 3:4. Hitta AD.

Hitta AD.

Hitta AB.

Hitta solen.

Svar på problem baserat på färdiga ritningar:

1.BC = 3; 2. BP = 4 cm; 3.AB = 3√2cm.

Stadium av "upptäckt" av ny kunskap och handlingsmetoder (15 min)

Syftet med scenen: formulering av ämnet och målen för lektionen med hjälp av inledande dialog (tekniken ”problemsituation”).

Formulera påståenden omvända till data och ta reda på om de är sanna:bild nummer 1

I det senare fallet kan eleverna formulera ett påstående som är motsatsen till det givna.

Instruktioner för att arbeta i par för att studera beviset för satsen omvänt till Pythagoras sats.

Jag instruerar eleverna om aktivitetssättet, om materialets placering.

Uppdrag för par: bild nummer 2

Arbeta självständigt i par för att studera beviset för satsen omvänt till Pythagoras sats. Offentligt skydd av bevis.

Ett av paren börjar sin presentation med att ange satsen. Det pågår en aktiv diskussion om beviset, under vilken ett eller annat alternativ motiveras med hjälp av frågor från lärare och elever.

Jämför beviset för satsen med lärarens bevis

Läraren arbetar vid svarta tavlan och tilltalar eleverna som arbetar i sina anteckningsböcker.

Given: ABC – triangel, AB 2 = AC 2 + BC 2

Ta reda på om ABC är rektangulärt. Bevis:

Betrakta A 1 B 1 C 1 så att ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. Sedan, enligt Pythagoras sats, A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

Eftersom A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, då: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 = AC 2 + BC 2 = AB 2, därför AB 2 = A 1 B 1 2 och AB = A 1 B 1.

A 1 B 1 C 1 = ABC på tre sidor, varifrån ˂C = ˂C 1 = 90 0, det vill säga ABC är rektangulär. Så om kvadraten på en sida av en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna, är triangeln rätvinklig.

Detta uttalande kallas en sats i riktning mot Pythagoras sats.

Offentligt tal av en av eleverna om pythagoras trianglar (förberedd information).

Bild nummer 3

Efter informationen ställer jag några frågor till eleverna.

Är följande trianglar pytagoreiska trianglar?

med hypotenusa 25 och ben 15;

med ben 5 och 4?

Stadium av primär konsolidering med uttal i externt tal (10 min)

Syftet med scenen: demonstrera tillämpningen av den inversa satsen på Pythagoras sats i processen att lösa problem.

Jag föreslår att lösa problem nr 499 a) från läroboken. En av eleverna bjuds in till styrelsen, löser problemet med hjälp av läraren och eleverna, uttalar lösningen i externt tal. Under gäststudentens presentation ställer jag flera frågor:

Hur kontrollerar man om en triangel är rätvinklig?

Till vilken sida kommer triangelns kortare höjd att ritas?

Vilken metod för att beräkna höjden på en triangel används ofta i geometri?

Använd formeln för att beräkna arean av en triangel, hitta önskad höjd.

Lösningen på problemet:

25 2 = 24 2 + 7 2, vilket betyder att triangeln är rätvinklig och dess area är lika med halva produkten av dess ben, d.v.s. S = h с * с: 2, där с är hypotenusan, h с är höjden till hypotenusan, sedan h с = = = 6,72 (cm)

Svar: 6,72 cm.

Stadium av självständigt arbete med självtest enligt standarden (10 min)

Syftet med scenen: förbättra självständig aktivitet i klassrummet genom att utföra självtester, lära sig att utvärdera aktiviteter, analysera och dra slutsatser.

Oberoende arbete föreslås med ett förslag för att adekvat utvärdera ditt arbete och ge ett lämpligt betyg.

Bild nummer 4

Betygskriterier: "5" - alla svar är korrekta

"4" - 1 felaktigt svar

"3" - svaren är felaktiga.

Stadiet att informera eleverna om läxor, instruktioner om hur de ska slutföras (3 min).

Jag informerar eleverna om deras läxor, förklarar hur de ska slutföra dem och kontrollerar deras förståelse av arbetets innehåll.

Jag föreslår att du gör:

Bild nummer 5

Reflektionsstadium av pedagogiska aktiviteter i lektionen (2 min)

Syftet med scenen: lära eleverna att bedöma sin beredskap att upptäcka okunnighet, hitta orsakerna till svårigheter och fastställa resultatet av sina aktiviteter.

I det här skedet uppmanar jag varje elev att bara välja en av killarna som jag skulle vilja tacka för samarbetet och förklara hur exakt detta samarbete tog sig uttryck.

Lärarens tackord är slutgiltigt. Samtidigt väljer jag de som fått minst antal komplimanger.

I slutet av lektionen:

Följande fraser är skrivna på tavlan:

Lektionen är användbar, allt är klart.

Det är bara en sak som är lite otydlig.

Du måste fortfarande arbeta hårt.

Ja, det är fortfarande svårt att studera!

Barn kommer fram och sätter en skylt (bocka) bredvid de ord som passar dem bäst i slutet av lektionen.

Enligt Van der Waerden är det mycket troligt att förhållandet i allmän form var känt i Babylon runt 1700-talet f.Kr. e.

Omkring 400 f.Kr. BC, enligt Proclus, gav Platon en metod för att hitta pythagoras trillingar, kombinera algebra och geometri. Omkring 300 f.Kr. e. Det äldsta axiomatiska beviset för Pythagoras sats dök upp i Euklids element.

Formuleringar

Grundformuleringen innehåller algebraiska operationer - i en rätvinklig triangel, vars längder är lika a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b), och längden på hypotenusan är c (\displaystyle c), följande relation är uppfylld:

En ekvivalent geometrisk formulering är också möjlig, med hjälp av begreppet area av en figur: i en rätvinklig triangel är arean av kvadraten byggd på hypotenusan lika med summan av arean av kvadraterna byggda på ben. Satsen är formulerad i denna form i Euklids element.

Omvänd Pythagoras sats- ett uttalande om rektanguläriteten hos en triangel, vars längder på sidorna är relaterade av relationen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Som en konsekvens, för varje trippel positiva tal a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Och c (\displaystyle c), Så att a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), det finns en rätvinklig triangel med ben a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b) och hypotenusa c (\displaystyle c).

Bevis

Det finns minst 400 bevis för Pythagoras sats inspelade i den vetenskapliga litteraturen, vilket förklaras av både dess grundläggande betydelse för geometrin och resultatets elementära karaktär. De viktigaste riktningarna för bevis är: algebraisk användning av relationer mellan elementen i en triangel (till exempel den populära metoden för likhet), metoden för områden, det finns också olika exotiska bevis (till exempel genom att använda differentialekvationer).

Genom liknande trianglar

Det klassiska beviset för Euklid syftar till att fastställa likheten mellan områden mellan rektanglar som bildas genom att dissekera kvadraten ovanför hypotenusan med höjden av den räta vinkeln med kvadraterna ovanför benen.

Konstruktionen som används för beviset är som följer: för en rätvinklig triangel med en rät vinkel C (\displaystyle C), rutor över benen och och rutor över hypotenusan A B I K (\displaystyle ABIK) höjd byggs CH och strålen som fortsätter det s (\displaystyle s), dividera kvadraten ovanför hypotenusan i två rektanglar och . Beviset syftar till att fastställa likheten mellan rektangelns ytor A H J K (\displaystyle AHJK) med en fyrkant över benet A C (\displaystyle AC); likheten mellan områdena för den andra rektangeln, som utgör kvadraten ovanför hypotenusan, och rektangeln ovanför det andra benet fastställs på liknande sätt.

Likhet mellan områden i en rektangel A H J K (\displaystyle AHJK) Och A C E D (\displaystyle ACED) etableras genom kongruensen av trianglar △ A C K(\displaystyle \triangle ACK) Och △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), vars yta är lika med hälften av kvadraternas yta A H J K (\displaystyle AHJK) Och A C E D (\displaystyle ACED) följaktligen, i samband med följande egenskap: arean av en triangel är lika med halva arean av en rektangel om figurerna har en gemensam sida, och triangelns höjd till den gemensamma sidan är den andra sidan av rektangeln. Trianglarnas kongruens följer av likheten mellan två sidor (sidor av kvadrater) och vinkeln mellan dem (som består av en rät vinkel och en vinkel vid A (\displaystyle A).

Således fastställer beviset att arean av en kvadrat ovanför hypotenusan, sammansatt av rektanglar A H J K (\displaystyle AHJK) Och B H J I (\displaystyle BHJI), är lika med summan av kvadraternas area över benen.

Bevis på Leonardo da Vinci

Områdesmetoden innehåller också ett bevis hittat av Leonardo da Vinci. Låt en rätvinklig triangel ges △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) med rät vinkel C (\displaystyle C) och rutor A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Och A B H J (\displaystyle ABHJ)(se bild). I detta bevis på sidan HJ (\displaystyle HJ) av den senare är en triangel konstruerad på yttersidan, kongruent △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) reflekteras dessutom både relativt hypotenusan och relativt höjden till den (det vill säga, J I = B C (\displaystyle JI=BC) Och H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Hetero C I (\displaystyle CI) delar kvadraten byggd på hypotenusan i två lika delar, eftersom trianglar △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) Och △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) lika i konstruktion. Beviset fastställer kongruensen av fyrhörningar C A J I (\displaystyle CAJI) Och D A B G (\displaystyle DABG), vars yta visar sig å ena sidan vara lika med summan av hälften av kvadraterna på benen och arean av den ursprungliga triangeln, å andra sidan hälften av arean av kvadraten på hypotenusan plus arean av den ursprungliga triangeln. Totalt är halva summan av kvadraternas ytor över benen lika med halva kvadratens area över hypotenusan, vilket motsvarar den geometriska formuleringen av Pythagoras sats.

Bevis med den oändliga metoden

Det finns flera bevis som använder tekniken med differentialekvationer. I synnerhet krediteras Hardy med ett bevis som använder oändligt små steg av ben a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b) och hypotenusa c (\displaystyle c), och bevara likheten med den ursprungliga rektangeln, det vill säga att säkerställa uppfyllandet av följande differentialrelationer:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Med hjälp av metoden att separera variabler härleds en differentialekvation från dem c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), vars integration ger relationen c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Tillämpning av initiala villkor a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definierar konstanten som 0, vilket resulterar i satsen.

Det kvadratiska beroendet i den slutliga formeln uppträder på grund av den linjära proportionaliteten mellan triangelns sidor och inkrementen, medan summan är associerad med oberoende bidrag från ökningen av olika ben.

Variationer och generaliseringar

Liknande geometriska former på tre sidor

En viktig geometrisk generalisering av Pythagoras sats gavs av Euklid i elementen, som flyttade från områdena med kvadrater på sidorna till områdena för godtyckliga liknande geometriska figurer: summan av areorna för sådana figurer byggda på benen kommer att vara lika med området för en liknande figur byggd på hypotenusan.

Huvudidén med denna generalisering är att arean för en sådan geometrisk figur är proportionell mot kvadraten på någon av dess linjära dimensioner och i synnerhet mot kvadraten på längden på vilken sida som helst. Därför för liknande siffror med områden A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Och C (\displaystyle C), byggd på ben med längder a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b) och hypotenusa c (\displaystyle c) Följaktligen gäller följande förhållande:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Högerpil \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Eftersom enligt Pythagoras sats a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), sedan gjort.

Dessutom, om det är möjligt att bevisa utan att åberopa Pythagoras sats att arean av tre liknande geometriska figurer på sidorna av en rätvinklig triangel uppfyller förhållandet A + B = C (\displaystyle A+B=C), sedan genom att använda det omvända av beviset för Euklids generalisering, kan man härleda ett bevis för Pythagoras sats. Till exempel, om vi på hypotenusan konstruerar en rätvinklig triangel kongruent med den initiala med en area C (\displaystyle C), och på sidorna - två liknande rätvinkliga trianglar med ytor A (\displaystyle A) Och B (\displaystyle B), då visar det sig att trianglar på sidorna bildas som ett resultat av att dividera den initiala triangeln med dess höjd, det vill säga summan av de två mindre områdena i trianglarna är lika med arean av den tredje, alltså A + B = C (\displaystyle A+B=C) och genom att tillämpa relationen för liknande figurer härleds Pythagoras sats.

Cosinussats

Pythagoras sats är ett specialfall av den mer allmänna cosinussatsen, som relaterar längderna på sidorna i en godtycklig triangel:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

var är vinkeln mellan sidorna a (\displaystyle a) Och b (\displaystyle b). Om vinkeln är 90°, då cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), och formeln förenklar till den vanliga Pythagoras sats.

Gratis triangel

Det finns en generalisering av Pythagoras sats till en godtycklig triangel, som enbart verkar på förhållandet mellan längderna på sidorna, man tror att den först etablerades av den sabiske astronomen Thabit ibn Qurra. I den, för en godtycklig triangel med sidor, passar en likbent triangel med en bas på sidan in i den c (\displaystyle c), spetsen sammanfaller med spetsen på den ursprungliga triangeln, mittemot sidan c (\displaystyle c) och vinklar vid basen lika med vinkeln θ (\displaystyle \theta ), motsatta sidan c (\displaystyle c). Som ett resultat bildas två trianglar, liknande den ursprungliga: den första - med sidor a (\displaystyle a), sidan längst därifrån av den inskrivna likbenta triangeln, och r (\displaystyle r)- sidodelar c (\displaystyle c); den andra - symmetriskt till den från sidan b (\displaystyle b) med sidan s (\displaystyle s)- motsvarande del av sidan c (\displaystyle c). Som ett resultat är följande relation uppfylld:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

urartar till Pythagoras sats kl θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Relationen är en konsekvens av likheten mellan de bildade trianglarna:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Högerpil \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappus sats om arealer

Icke-euklidisk geometri

Pythagoras sats är härledd från euklidisk geometris axiom och är inte giltig för icke-euklidisk geometri - uppfyllelsen av Pythagoras sats motsvarar det euklidiska parallellismpostulatet.

I icke-euklidisk geometri kommer förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel nödvändigtvis att ha en annan form än Pythagoras sats. Till exempel, i sfärisk geometri har alla tre sidorna i en rätvinklig triangel, som binder enhetssfärens oktant, en längd π / 2 (\displaystyle \pi /2), vilket motsäger Pythagoras sats.

Dessutom är Pythagoras sats giltig i hyperbolisk och elliptisk geometri om kravet på att triangeln är rektangulär ersätts av villkoret att summan av triangelns två vinklar måste vara lika med den tredje.

Sfärisk geometri

För vilken rätvinklig triangel som helst på en sfär med radie R (\displaystyle R)(till exempel om vinkeln i en triangel är rät) med sidor a , b , c (\displaystyle a,b,c) förhållandet mellan sidorna är:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\höger)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\höger)).

Denna likhet kan härledas som ett specialfall av den sfäriska cosinussatsen, som är giltig för alla sfäriska trianglar:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\höger)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatörsnamn (ch) c=\operatörsnamn (ch) a\cdot \operatörsnamn (ch) b),

Var ch (\displaystyle \operatörsnamn (ch))- hyperbolisk kosinus. Denna formel är ett specialfall av hyperbolisk cosinussats, som är giltig för alla trianglar:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatörsnamn (ch) c=\operatörsnamn (ch) a\cdot \operatörsnamn (ch) b-\operatörsnamn (sh) a\cdot \operatörsnamn (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Var γ (\displaystyle \gamma )- en vinkel vars spets är motsatt sidan c (\displaystyle c).

Använder Taylor-serien för den hyperboliska cosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatörsnamn (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) kan det visas att om en hyperbolisk triangel minskar (det vill säga när a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Och c (\displaystyle c) tenderar till noll), då närmar sig de hyperbolska relationerna i en rätvinklig triangel relationen för den klassiska Pythagoras sats.

Ansökan

Avstånd i tvådimensionella rektangulära system

Den viktigaste tillämpningen av Pythagoras sats är att bestämma avståndet mellan två punkter i ett rektangulärt koordinatsystem: avstånd s (\displaystyle s) mellan punkter med koordinater (a, b) (\displaystyle (a,b)) Och (c , d) (\displaystyle (c,d))är lika med:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

För komplexa tal ger Pythagoras sats en naturlig formel för att hitta modulen för ett komplext tal - för z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) den är lika med längden

Att granska ämnen i skolans läroplan med hjälp av videolektioner är ett bekvämt sätt att studera och bemästra materialet. Videon hjälper till att fokusera elevernas uppmärksamhet på de huvudsakliga teoretiska begreppen och inte missa viktiga detaljer. Vid behov kan eleverna alltid lyssna på videolektionen igen eller gå tillbaka flera ämnen.

Den här videolektionen för årskurs 8 hjälper eleverna att lära sig ett nytt ämne i geometri.

I det föregående ämnet studerade vi Pythagoras sats och analyserade dess bevis.

Det finns också en sats som är känd som den omvända Pythagoras sats. Låt oss ta en närmare titt på det.

Sats. En triangel är rätvinklig om den har följande likhet: värdet på en sida av triangeln i kvadrat är detsamma som summan av de andra två sidorna i kvadrat.

Bevis. Låt oss säga att vi får en triangel ABC, där likheten AB 2 = CA 2 + CB 2 gäller. Det är nödvändigt att bevisa att vinkeln C är lika med 90 grader. Betrakta en triangel A 1 B 1 C 1 där vinkeln C 1 är lika med 90 grader, sidan C 1 A 1 är lika med CA och sidan B 1 C 1 är lika med BC.

Genom att tillämpa Pythagoras sats skriver vi förhållandet mellan sidorna i triangeln A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Om uttrycket ersätts med lika sidor får vi A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Från satsens villkor vet vi att AB 2 = CA 2 + CB 2. Då kan vi skriva A 1 B 1 2 = AB 2, varav det följer att A 1 B 1 = AB.

Vi fann att i trianglarna ABC och A 1 B 1 C 1 är tre sidor lika: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Så dessa trianglar är lika. Av trianglarnas likhet följer att vinkeln C är lika med vinkeln C 1 och följaktligen lika med 90 grader. Vi har bestämt att triangeln ABC är rätvinklig och dess vinkel C är 90 grader. Vi har bevisat detta teorem.

Därefter ger författaren ett exempel. Antag att vi får en godtycklig triangel. Storlekarna på dess sidor är kända: 5, 4 och 3 enheter. Låt oss kontrollera påståendet från satsen invers till Pythagoras sats: 5 2 = 3 2 + 4 2. Påståendet är sant, vilket betyder att denna triangel är rätvinklig.

I följande exempel kommer trianglar också att vara rätvinkliga trianglar om deras sidor är lika:

5, 12, 13 enheter; likheten 13 2 = 5 2 + 12 2 är sann;

8, 15, 17 enheter; likheten 17 2 = 8 2 + 15 2 är sann;

7, 24, 25 enheter; likheten 25 2 = 7 2 + 24 2 är sann.

Konceptet med en pythagoras triangel är känt. Detta är en rätvinklig triangel vars sidor är lika med heltal. Om benen i den pytagoreiska triangeln betecknas med a och c, och hypotenusan med b, kan värdena på sidorna i denna triangel skrivas med följande formler:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

där m, n, k är alla naturliga tal och värdet på m är större än värdet på n.

Intressant faktum: en triangel med sidorna 5, 4 och 3 kallas också en egyptisk triangel; en sådan triangel var känd i det antika Egypten.

I den här videolektionen lärde vi oss satsen i motsats till Pythagoras sats. Vi granskade bevisen i detalj. Eleverna lärde sig också vilka trianglar som kallas pytagoreiska trianglar.

Elever kan enkelt bekanta sig med ämnet "Pythagoras omvända sats" på egen hand med hjälp av den här videolektionen.

Ämne: Satsen överensstämmer med Pythagoras sats.

Lektionens mål: 1) betrakta satsen omvänd till Pythagoras sats; dess tillämpning i processen för problemlösning; konsolidera Pythagoras sats och förbättra problemlösningsförmågan för dess tillämpning;

2) utveckla logiskt tänkande, kreativt sökande, kognitivt intresse;

3) att hos elever odla en ansvarsfull inställning till lärande och en kultur av matematiskt tal.

Lektionstyp. En lektion i att lära sig ny kunskap.

Under lektionerna

І. Att organisera tid

ІІ. Uppdatering kunskap

Lektion för migskullejag villebörja med en kvaträn.

Ja, kunskapens väg är inte smidig

Men vi vet från vår skoltid,

Det finns fler mysterier än svar,

Och det finns ingen gräns för sökningen!

Så i den senaste lektionen lärde du dig Pythagoras sats. Frågor:

Pythagoras sats är sant för vilken figur?

Vilken triangel kallas en rätvinklig triangel?

Ange Pythagoras sats.

Hur kan Pythagoras sats skrivas för varje triangel?

Vilka trianglar kallas lika?

Formulera kriterierna för trianglars likhet?

Låt oss nu göra lite självständigt arbete:

Lösa problem med ritningar.

№1

(1 b.) Hitta: AB.

№2

(1 b.) Hitta: VS.

№3

( 2 b.)Hitta: AC

№4

(1 poäng)Hitta: AC

№5 Givet av: ABCDromb

(2 b.) AB = 13 cm

AC = 10 cm

Hitta iD

Självtest nr 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Studerar ny material.

De gamla egyptierna byggde räta vinklar på marken på detta sätt: de delade repet i 12 lika delar med knutar, knöt ändarna, varefter repet sträcktes på marken så att en triangel bildades med sidorna 3, 4 och 5 divisioner. Vinkeln på triangeln som låg mitt emot sidan med 5 indelningar var rätt.

Kan du förklara riktigheten av denna dom?

Som ett resultat av att söka efter ett svar på frågan bör eleverna förstå att ur en matematisk synvinkel ställs frågan: kommer triangeln att vara rätvinklig?

Vi ställer till ett problem: hur man bestämmer, utan att göra mätningar, om en triangel med givna sidor kommer att vara rektangulär. Att lösa detta problem är målet med lektionen.

Skriv ner ämnet för lektionen.

Sats. Om summan av kvadraterna på två sidor i en triangel är lika med kvadraten på den tredje sidan, då är triangeln rätvinklig.

Bevisa satsen självständigt (gör en bevisplan med hjälp av läroboken).

Av denna sats följer att en triangel med sidorna 3, 4, 5 är rätvinklig (egyptisk).

I allmänhet siffror för vilka jämställdhet gäller , kallas Pythagoras trillingar. Och trianglar vars sidolängder uttrycks av pytagoreiska trianglar (6, 8, 10) är pytagoreiska trianglar.

Konsolidering.

Därför att , då är en triangel med sidorna 12, 13, 5 inte rätvinklig.

Därför att , då är en triangel med sidorna 1, 5, 6 rätvinklig.

№ 430 (a, b, c)

( - är inte)

Pythagoras sats säger:

I en rätvinklig triangel är summan av benens kvadrater lika med kvadraten på hypotenusan:

a 2 + b 2 = c 2,

a Och b– benen bildar en rät vinkel.
Med– triangelns hypotenusa.

Formler för Pythagoras sats

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Bevis för Pythagoras sats

Arean av en rätvinklig triangel beräknas med formeln:

S = \frac(1)(2)ab

För att beräkna arean av en godtycklig triangel är areaformeln:

sid– semi-perimeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
r– radien för den inskrivna cirkeln. För en rektangel r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Sedan likställer vi de högra sidorna av båda formlerna för arean av triangeln:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \vänster((a+b)^(2) -c^(2) \höger)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Converse Pythagoras sats:

Om kvadraten på en sida av en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna, är triangeln rätvinklig. Det vill säga för varje trippel av positiva tal a, b Och c, Så att