Jämförelse av finita och oändliga decimalbråk, regler, exempel, lösningar. Läsa decimaler Regler för att jämföra decimaler, exempel, lösningar

3.4 Rätt ordning
I föregående avsnitt jämförde vi tal efter deras placering på tallinjen. Detta är ett bra sätt att jämföra storleken på tal i decimalnotation. Denna metod fungerar alltid, men det är mödosamt och obekvämt att göra det varje gång du behöver jämföra två siffror. Det finns ett annat bra sätt att ta reda på vilket av två tal som är störst.

Exempel A

Betrakta siffrorna från föregående avsnitt och jämför 0,05 och 0,2.

För att ta reda på vilket nummer som är störst jämför vi först deras heltalsdelar. Båda talen i vårt exempel har lika många heltal - 0. Jämför sedan deras tiondelar. Siffran 0,05 har 0 tiondelar och siffran 0,2 har 2 tiondelar. Att talet 0,05 har 5 hundradelar spelar ingen roll, eftersom tiondelarna bestämmer att talet 0,2 är större. Vi kan alltså skriva:

Båda talen har 0 heltal och 6 tiondelar, och vi kan ännu inte avgöra vilket som är störst. Däremot har talet 0,612 bara 1 hundradels del, och talet 0,62 har två. Då kan vi bestämma det

0,62 > 0,612

Att talet 0,612 har 2 tusendelar spelar ingen roll, det är fortfarande mindre än 0,62.

Vi kan illustrera detta med en bild:

		0,612
		0,62

För att avgöra vilket av de två talen i decimalnotation som är störst måste du göra följande:

1. Jämför hela delar. Det tal vars heltalsdel är större och kommer att bli större.

2 . Om heltalsdelarna är lika, jämför tiondelar. Den siffran, som har fler tiondelar, blir fler.

3 . Om tiondelar är lika, jämför hundradelar. Den siffran, som har fler hundradelar, kommer att bli fler.

4 . Om hundradelar är lika, jämför tusendelar. Den siffran, som har fler tusendelar, kommer att bli fler.

Ett decimalbråk skiljer sig från ett vanligt bråk genom att dess nämnare är en bitenhet.

Till exempel:

Decimalbråk har separerats från vanliga bråk till en separat form, vilket har lett till egna regler för att jämföra, addera, subtrahera, multiplicera och dividera dessa bråk. I princip kan man arbeta med decimalbråk enligt reglerna för vanliga bråk. Egna regler för omvandling av decimalbråk förenklar beräkningar, och regler för omvandling av vanliga bråk till decimaler och vice versa fungerar som en länk mellan dessa typer av bråk.

Att skriva och läsa decimalbråk låter dig skriva, jämföra och operera på dem enligt regler som är väldigt lika reglerna för operationer med naturliga tal.

För första gången beskrevs systemet med decimalbråk och operationer på dem på 1400-talet. Samarkands matematiker och astronom Jamshid ibn-Masudal-Kashi i boken "Nyckeln till bokföringskonsten".

Heltalsdelen av decimalbråket separeras från bråkdelen med ett kommatecken, i vissa länder (USA) sätter de en punkt. Om det inte finns någon heltalsdel i decimalbråket, sätt sedan talet 0 före decimalkomma.

Valfritt antal nollor kan läggas till bråkdelen av decimalbråket till höger, detta ändrar inte bråkdelens värde. Bråkdelen av decimalbråket läses av den sista signifikanta siffran.

Till exempel:
0,3 - tre tiondelar
0,75 - sjuttiofem hundradelar
0,000005 - fem miljondelar.

Att läsa heltalsdelen av en decimal är detsamma som att läsa naturliga tal.

Till exempel:
27.5 - tjugosju ...;
1,57 - en...

Efter heltalsdelen av decimalbråket uttalas ordet "hela".

Till exempel:
10,7 - tio komma sju

0,67 - noll komma sextiosju hundradelar.

Decimaler är bråksiffror. Bråkdelen läses inte av siffror (till skillnad från naturliga tal), utan som en helhet, därför bestäms bråkdelen av ett decimalbråk av den sista signifikanta siffran till höger. Bitsystemet för bråkdelen av ett decimalbråk skiljer sig något från det för naturliga tal.

1:a siffran efter upptagen - tiondels siffra
2:a plats efter decimalkomma - hundrade plats
3:e plats efter decimal - tusende plats
4:e plats efter decimalkomma - tiotusendelplats
5:e plats efter decimalkomma - hundra tusende plats
6:e plats efter decimalkomma - miljonplats
7:e plats efter decimalkomma - tiomiljonte plats
Den 8:e platsen efter decimalen är den hundra miljonte platsen

I beräkningar används oftast de tre första siffrorna. Det stora bitdjupet för bråkdelen av decimalbråk används endast i specifika kunskapsgrenar, där infinitesimala värden beräknas.

Omvandling av decimal till blandad bråkdel består av följande: skriv talet före decimalkomma som heltalsdelen av det blandade bråket; talet efter decimalkomma är täljaren för dess bråkdel, och i bråkdelens nämnare skriver du en med lika många nollor som det finns siffror efter decimalkomma.

Decimalbråket måste innehålla ett kommatecken. Den numeriska delen av bråket, som ligger till vänster om decimalkomma, kallas helheten; till höger - bråktal:

5,28 5 - heltalsdel 28 - bråkdel

Bråkdelen av en decimal består av decimaler(decimaler):

tiondelar - 0,1 (en tiondel);
hundradelar - 0,01 (en hundradel);
tusendelar - 0,001 (en tusendel);
tiotusendelar - 0,0001 (en tiotusendel);
hundra tusendelar - 0,00001 (hundra tusendelar);
miljondelar - 0,000001 (en miljondel);
tio miljondelar - 0,0000001 (en tio miljondelar);
hundra miljondel - 0,00000001 (hundra miljondel);
miljarddelar - 0,000000001 (en miljarddel), etc.

läs talet som är heltalsdelen av bråket och lägg till ordet " hela";
läs talet som utgör bråkdelen av bråket och lägg till namnet på den minst signifikanta siffran.

Till exempel:

0,25 - nollpunkt tjugofem hundradelar;
9.1 - nio komma en tiondel;
18.013 - arton komma tretton tusendelar;
100.2834 är hundra och två tusen åtta hundra och trettiofyra tio tusendelar.

Skriva decimaler

För att skriva ett decimaltal måste du:

skriv ner heltalsdelen av bråket och sätt ett kommatecken (talet som betyder att heltalsdelen av bråket slutar alltid med ordet " hela");
skriv bråkdelen på ett sådant sätt att den sista siffran hamnar i den önskade siffran (om det inte finns några signifikanta siffror i vissa decimaler ersätts de med nollor).

Till exempel:

tjugo komma nio - 20,9 - i det här exemplet är allt enkelt;
fem poäng en hundradel - 5,01 - ordet "hundradel" betyder att det ska finnas två siffror efter decimalkomma, men eftersom det inte finns någon tionde plats i talet 1 ersätts det med noll;
nollpunkt åttahundraåtta tusendelar - 0,808;
tre komma femton - det är omöjligt att skriva ett sådant decimalbråk, eftersom ett misstag gjordes i uttalet av bråkdelen - talet 15 innehåller två siffror, och ordet "tiondelar" betyder bara en. Rätt kommer att vara tre komma femton hundradelar (eller tusendelar, tio tusendelar, etc.).

Decimaljämförelse

Jämförelse av decimalbråk görs på liknande sätt jämförelse av naturliga tal.

först jämförs bråkdelens heltalsdelar - decimaldelen med den större heltalsdelen blir större;
om heltalsdelarna i bråken är lika, jämförs bråkdelarna bit för bit, från vänster till höger, med början från kommatecken: tiondelar, hundradelar, tusendelar osv. Jämförelsen utförs fram till den första avvikelsen - det decimaltalet blir större, vilket kommer att ha en större ojämn siffra i motsvarande siffra i bråkdelen. Till exempel: 1.2 8 3 > 1,27 9, för i hundradelar har den första bråkdelen 8 och den andra har 7.

I den här artikeln kommer vi att täcka ämnet decimal jämförelse". Låt oss först diskutera den allmänna principen för att jämföra decimalbråk. Efter det kommer vi att ta reda på vilka decimalbråk som är lika och vilka som är ojämna. Därefter kommer vi att lära oss hur man bestämmer vilket decimaltal som är större och vilket som är mindre. För att göra detta kommer vi att studera reglerna för att jämföra finita, oändliga periodiska och oändliga icke-periodiska bråk. Vi kommer att förse hela teorin med exempel med detaljerade lösningar. Låt oss avslutningsvis uppehålla oss vid jämförelsen av decimalbråk med naturliga tal, vanliga bråk och blandade tal.

Låt oss säga direkt att vi här bara kommer att prata om att jämföra positiva decimalbråk (se positiva och negativa tal). De återstående fallen analyseras i artiklarna där man jämför rationella tal och jämförelse av reella tal.

Sidnavigering.

Allmän princip för att jämföra decimalbråk

Utifrån denna jämförelseprincip härleds reglerna för att jämföra decimalbråk, som gör det möjligt att göra utan att omvandla de jämförda decimalbråken till vanliga bråk. Dessa regler, såväl som exempel på deras tillämpning, kommer vi att analysera i följande stycken.

Enligt en liknande princip jämförs ändliga decimalbråk eller oändliga periodiska decimalbråk med naturliga tal, ordinarie bråk och blandade tal: de jämförda talen ersätts med sina motsvarande ordinarie bråk, varefter vanliga bråk jämförs.

Rörande jämförelser av oändliga icke-återkommande decimaler, då handlar det oftast om att jämföra slutliga decimalbråk. För att göra detta, överväg ett sådant antal tecken på jämförda oändliga icke-periodiska decimalfraktioner, vilket gör att du kan få resultatet av jämförelsen.

Lika och ojämlika decimaler

Först presenterar vi definitioner av lika och ojämlika slutdecimaler.

Definition.

De två efterföljande decimalerna kallas likvärdig om deras motsvarande vanliga bråk är lika, annars kallas dessa decimalbråk olika.

Baserat på denna definition är det lätt att motivera följande påstående: om vi i slutet av ett givet decimalbråk tillskriver eller förkastar flera siffror 0, får vi ett decimalbråk som är lika med det. Till exempel, 0,3=0,30=0,300=… och 140,000=140,00=140,0=140 .

Faktum är att att lägga till eller förkasta noll i slutet av decimalbråket till höger motsvarar att multiplicera eller dividera med 10 täljaren och nämnaren för motsvarande ordinarie bråktal. Och vi känner till den grundläggande egenskapen för ett bråk, som säger att multiplicera eller dividera täljaren och nämnaren för ett bråk med samma naturliga tal ger ett bråktal lika med det ursprungliga. Detta bevisar att om man lägger till eller förkastar nollor till höger i bråkdelen av ett decimalbråk får man ett bråk som är lika med det ursprungliga.

Till exempel motsvarar ett decimalbråk 0,5 ett vanligt bråk 5/10, efter att ha lagt till noll till höger erhålls ett decimalbråk 0,50, vilket motsvarar ett vanligt bråktal 50/100, och. Alltså 0,5=0,50. Omvänt, om i decimalbråk 0,50 släng 0 till höger, får vi bråk 0,5, så från ett vanligt bråktal 50/100 kommer vi till bråk 5/10, men . Därför är 0,50=0,5 .

Låt oss gå vidare till definition av lika och ojämlika oändliga periodiska decimalbråk.

Definition.

Två oändliga periodiska bråk likvärdig, om de ordinarie fraktionerna som motsvarar dem är lika; om de vanliga bråken som motsvarar dem inte är lika, så är de jämförda periodiska bråken det också inte lika med.

Tre slutsatser följer av denna definition:

Om posterna för periodiska decimalbråk är exakt samma, så är sådana oändliga periodiska decimalbråk lika. Till exempel är de periodiska decimalerna 0,34(2987) och 0,34(2987) lika.
Om perioderna för de jämförda decimala periodiska bråken börjar från samma position, har det första bråket en period på 0 , det andra har en period på 9 , och värdet på siffran som föregår period 0 är en större än siffrans värde före period 9, då är sådana oändliga periodiska decimalbråk lika. Till exempel är de periodiska bråken 8.3(0) och 8.2(9) lika, och bråken 141,(0) och 140,(9) är också lika.
Alla två andra periodiska bråk är inte lika. Här är exempel på ojämna oändliga periodiska decimalbråk: 9,0(4) och 7,(21) , 0,(12) och 0,(121), 10,(0) och 9,8(9) .

Det återstår att ta itu med lika och ojämlika oändliga icke-periodiska decimalbråk. Som ni vet kan sådana decimalbråk inte omvandlas till vanliga bråk (sådana decimalbråk representerar irrationella tal), så jämförelsen av oändliga icke-periodiska decimalbråk kan inte reduceras till jämförelsen av vanliga bråk.

Definition.

Två oändliga icke-återkommande decimaler likvärdig om deras poster matchar exakt.

Men det finns en nyans: det är omöjligt att se den "färdiga" posten med oändliga icke-periodiska decimalbråk, därför är det omöjligt att vara säker på den fullständiga sammanträffandet av deras poster. Hur man är?

När man jämför oändliga icke-periodiska decimalbråk, beaktas endast ett ändligt antal tecken för de jämförda bråken, vilket gör att vi kan dra de nödvändiga slutsatserna. Således reduceras jämförelsen av oändliga icke-periodiska decimalbråk till jämförelsen av ändliga decimalbråk.

Med detta tillvägagångssätt kan vi prata om likheten mellan oändliga icke-periodiska decimalbråk endast upp till den betraktade siffran. Låt oss ge exempel. Oändliga icke-periodiska decimalbråk 5,45839 ... och 5,45839 ... är lika med inom hundra tusendelar, eftersom de sista decimalbråken 5,45839 och 5,45839 är lika; icke-återkommande decimalbråk 19,54 ... och 19,54810375 ... är lika med närmaste hundradel, eftersom bråken 19,54 och 19,54 är lika.

Olikheten mellan oändliga icke-periodiska decimalbråk med detta tillvägagångssätt är ganska definitivt fastställd. Till exempel är de oändliga icke-periodiska decimalbråken 5,6789... och 5,67732... inte lika, eftersom skillnaderna i deras poster är uppenbara (de sista decimalbråken 5,6789 och 5,6773 är inte lika). De oändliga decimalerna 6,49354... och 7,53789... är inte heller lika.

Regler för att jämföra decimalbråk, exempel, lösningar

Efter att ha fastställt det faktum att två decimalbråk inte är lika, är det ofta nödvändigt att ta reda på vilket av dessa bråk som är större och vilket som är mindre än det andra. Nu kommer vi att analysera reglerna för att jämföra decimalbråk, så att vi kan svara på frågan.

I många fall räcker det att jämföra heltalsdelarna i de jämförda decimalerna. Följande är sant regel för decimaljämförelse: större än decimalbråket, vars heltalsdel är större, och mindre än decimalbråket, vars heltalsdel är mindre.

Denna regel gäller både ändliga decimaler och oändliga decimaler. Låt oss överväga exempel.

Exempel.

Jämför decimaler 9,43 och 7,983023….

Lösning.

Uppenbarligen är dessa decimalbråk inte lika. Heltalsdelen av det sista decimalbråket 9,43 är lika med 9, och heltalsdelen av det oändliga icke-periodiska bråket 7,983023 ... är lika med 7. Sedan 9>7 (se jämförelse av naturliga tal), sedan 9,43>7,983023.

Svar:

9,43>7,983023 .

Exempel.

Vilken av decimalerna 49,43(14) och 1 045,45029... är mindre?

Lösning.

Heltalsdelen av det periodiska bråket 49.43(14) är mindre än heltalsdelen av det oändliga icke-periodiska decimalbråket 1 045.45029..., därför 49.43(14)<1 045,45029… .

Svar:

49,43(14) .

Om heltalsdelarna i de jämförda decimalbråken är lika, måste man jämföra bråkdelarna för att ta reda på vilken av dem som är större och vilken som är mindre. Jämförelse av bråkdelar av decimalbråk utförs bit för bit- från kategorin tiondelar till de yngre.

Låt oss först titta på ett exempel på att jämföra två sista decimalbråk.

Exempel.

Jämför slutdecimalerna 0,87 och 0,8521 .

Lösning.

Heltalsdelarna i dessa decimalbråk är lika (0=0 ), så låt oss gå vidare till att jämföra bråkdelarna. Värdena på tiondelsplatsen är lika (8=8 ), och värdet på hundradelsplatsen för bråkdelen 0,87 är större än värdet på hundradelsplatsen för bråkdelen 0,8521 (7>5 ). Därför 0,87>0,8521 .

Svar:

0,87>0,8521 .

Ibland, för att jämföra efterföljande decimaler med olika antal decimaler, måste du lägga till ett antal nollor till höger om bråket med färre decimaler. Det är ganska bekvämt att jämna ut antalet decimaler innan man börjar jämföra de sista decimalbråken genom att lägga till ett visst antal nollor till höger om en av dem.

Exempel.

Jämför de efterföljande decimalerna 18.00405 och 18.0040532.

Lösning.

Uppenbarligen är dessa bråkdelar ojämlika, eftersom deras poster är olika, men samtidigt har de lika heltalsdelar (18=18).

Innan en bitvis jämförelse av bråkdelarna i dessa bråk jämnar vi ut antalet decimaler. För att göra detta tilldelar vi två siffror 0 i slutet av bråket 18,00405, medan vi får decimalbråket lika med det 18,0040500.

Decimalerna på 18,0040500 och 18,0040532 är lika med upp till hundra tusendelar, och värdet på miljonteplatsen på 18,0040500 är mindre än värdet på motsvarande bråkdel på 18,0040532 (0)<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Svar:

18,00405<18,0040532 .

När man jämför ett ändligt decimalbråk med ett oändligt, ersätts det slutliga bråktalet av ett oändligt periodiskt bråktal lika med det med en period på 0, varefter en jämförelse görs med siffror.

Exempel.

Jämför slutdecimalen 5,27 med den oändliga icke-återkommande decimalen 5,270013….

Lösning.

Heltalsdelarna av dessa decimaler är lika. Värdena på siffrorna för tiondels och hundradelar av dessa bråk är lika, och för att kunna utföra ytterligare jämförelse ersätter vi det sista decimalbråket med ett oändligt periodiskt bråktal lika med det med en period på 0 av formen 5,270000 .... Före den femte decimalen är värdena för decimalerna 5,270000... och 5,270013... lika, och på den femte decimalen har vi 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Svar:

5,27<5,270013… .

Jämförelse av oändliga decimalbråk utförs också bit för bit, och slutar så snart värdena för någon bit är annorlunda.

Exempel.

Jämför de oändliga decimalerna 6,23(18) och 6,25181815….

Lösning.

Heltalsdelarna i dessa bråk är lika, värdena på den tionde platsen är också lika. Och värdet på hundradelsplatsen för det periodiska bråket 6,23(18) är mindre än hundradelsplatsen för det oändliga icke-periodiska decimalbråket 6,25181815..., därför 6,23(18)<6,25181815… .

Svar:

6,23(18)<6,25181815… .

Exempel.

Vilken av de oändliga periodiska decimalerna 3,(73) och 3,(737) är störst?

Lösning.

Det är tydligt att 3,(73)=3,73737373… och 3,(737)=3,737737737…. Vid fjärde decimalen slutar den bitvisa jämförelsen, eftersom vi där har 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Svar:

3,(737) .

Jämför decimaler med naturliga tal, vanliga bråktal och blandade tal.

För att få resultatet av att jämföra ett decimalbråk med ett naturligt tal, kan du jämföra heltalsdelen av detta bråk med ett givet naturligt tal. I det här fallet måste periodiska bråk med perioderna 0 eller 9 först ersättas med deras lika slutliga decimalbråk.

Följande är sant regel för att jämföra decimalbråk och naturligt tal: om heltalsdelen av ett decimalbråk är mindre än ett givet naturligt tal, så är hela bråket mindre än detta naturliga tal; om heltalsdelen av ett bråk är större än eller lika med ett givet naturligt tal, så är bråket större än det givna naturliga talet.

Betrakta exempel på tillämpningen av denna jämförelseregel.

Exempel.

Jämför naturligt tal 7 med decimalbråk 8,8329….

Lösning.

Eftersom det givna naturliga talet är mindre än heltalsdelen av det givna decimaltalet, är detta tal mindre än det givna decimaltalet.

Svar:

7<8,8329… .

Exempel.

Jämför det naturliga talet 7 och decimaltalet 7.1.