Summan av siffror från 1 till 5. Underhållande matematik: Gauss regel

Innehåll:

Heltal är tal som inte innehåller en bråkdel eller decimaldel. Om problemet kräver att ett visst antal heltal från 1 adderas till ett givet värde N, behöver du inte lägga till dem manuellt. Använd istället formeln (N(N+1))/2, där N är det största talet i serien.

Steg

1. 1 Bestäm det största heltal (N). Genom att summera heltal från 1 till ett givet tal N måste du bestämma värdet på N (N kan inte vara en decimal eller ett bråktal eller ett negativt tal).
   • Exempel. Hitta summan av alla heltal från 1 till 100. I det här fallet är N=100, eftersom det är det största (och sista) talet i talserien som du fått.
2. 2 Multiplicera N med (N +1) och dividera resultatet med 2. När du har bestämt heltalsvärdet N, koppla in det i formeln (N(N+1))/2 och du hittar summan av alla heltal från 1 till N.
   • Exempel. Ersätt N=100 och få (100(100+1))/2.
3. 3 Skriv ner ditt svar. Det slutliga svaret är summan av alla heltal från 1 till det givna N.
   • Exempel.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • Summan av alla heltal från 1 till 100 är 5050.
4. 4 Härledning av formeln (N(N+1))/2. Låt oss titta på exemplet ovan igen. Mentalt dela raden 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 i två rader - den första från 1 till 50 och den andra från 51 till 100. Om du lägger till den första siffran (1) av den första rad och sista siffran (100 ) på den andra raden, då får du 101. Du får också 101 om du lägger till 2 och 99, 3 och 98, 4 och 97 osv. Om varje nummer i den första gruppen läggs till med motsvarande nummer i den andra gruppen, får vi i slutändan 50 tal, som var och en är lika med 101. Därför är 50 * 101 = 5050 summan av talen från 1 till 100. Observera att 50 = 100/2 och 101 = 100 + 1. Detta är faktiskt sant för summan av alla positiva heltal: deras summering kan delas upp i två steg med två rader med tal, och motsvarande tal i varje rad kan läggas till varandra, och resultatet av tillägget blir detsamma.
   • Vi kan säga att summan av heltal från 1 till N är lika med (N/2)(N+1). En förenklad representation av denna formel är formeln (N(N+1))/2.

Beräkna summan av siffror mellan två tal med hjälp av summan från 1 till N

1. 1 Bestäm summeringsalternativet (inklusive eller inte). Ofta i problem, istället för att hitta summan av siffror från 1 till ett givet tal N, uppmanas de att hitta summan av heltal från N 1 till N 2, där N 2 > N 1 och båda talen > 1. Beräkna en sådan summan är ganska enkel, men först Innan du börjar beräkningarna måste du avgöra om de givna talen i N 1 och N 2 ingår i slutsumman eller inte.
2. 2 För att hitta summan av heltal mellan två tal N 1 och N 2, separat hitta summan upp till N 1, separat hitta summan upp till N 2 och subtrahera dem från varandra (subtrahera summan upp till det mindre värdet N från summan upp till det större värdet N). Det är viktigt att veta om man ska summera inkluderande eller inte. När du summerar inklusive, måste du subtrahera 1 från det givna värdet N 1 ; annars måste du subtrahera 1 från det givna värdet på N 2 .
   • Exempel. Låt oss hitta summan ("inklusive") av heltal från N 1 = 75 till N 2 = 100. Med andra ord måste vi hitta 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. För att lösa problemet måste vi måste hitta summan av heltal från 1 till N 1 -1 och sedan subtrahera den från summan av talen från 1 till N 2 (kom ihåg: när vi summerar inklusive, subtraherar vi 1 från N 1):
     • (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. Summan av siffror från 75 till 100 ("inklusive") är 2275.
   • Låt oss nu hitta summan av talen utan att inkludera de givna talen (med andra ord, vi måste hitta 76 + 77 + ... + 99). I det här fallet subtraherar vi 1 från N 2:
     • ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. Summan av talen från 75 till 100 (utan att inkludera dessa siffror) är 2100.
3. 3 Förstå processen. Tänk på summan av heltal från 1 till 100 som 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 och summan av heltal från 1 till 75 som 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Summan av heltal från 75 till 100 ("inklusive") är beräkningen: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Summan av tal från 1 till 75 och summan av tal från 1 till 100 är lika upp till talet 75, men summan av talen från 1 till 100 efter talet 75 fortsätter: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Således, genom att subtrahera summan av talen från 1 till 75 från summan av talen från 1 till 100 "isolerar" vi summan av heltal från 75 till 100.
   • Om vi ​​räknar ihop, måste vi använda summan från 1 till 74 istället för summan från 1 till 75 för att inkludera talet 75 i slutsumman.
   • På samma sätt, om vi adderar utan att inkludera de givna talen, måste vi använda summan från 1 till 99 istället för summan från 1 till 100 för att utesluta talet 100 från den slutliga summan. Vi kan använda summan från 1 till 75 eftersom att subtrahera den från summan från 1 till 99 eliminerar talet 75 från slutsumman.

• Resultatet av att beräkna summan är alltid ett heltal, eftersom antingen N eller N +1 är ett jämnt tal som är delbart med 2 utan rest.
• Belopp = Belopp – Belopp.
• Med andra ord: Summa = n(n+1)/2

Varningar

• Även om det inte är särskilt svårt att utvidga denna metod till negativa tal, tar den här artikeln endast hänsyn till eventuella positiva heltal N där N är större än eller lika med 1.

snälla hjälp mig!! Beräkna summan av naturliga tal från 1+2+3+4+...+97+98+99+100. och fick det bästa svaret

Svar från Alexander Heinonen[guru]
Den enastående tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777-1855) kallades av sina samtida "matematikens kung".
Redan i tidig barndom visade han extraordinära matematiska förmågor. Redan vid tre års ålder korrigerade Gauss sin fars räkenskaper.
De säger att i grundskolan där Gauss (6 år) studerade, gav läraren, för att ockupera klassen under lång tid med självständigt arbete, eleverna en uppgift - att beräkna summan av alla naturliga tal från 1 till 100. Lille Gauss svarade nästan omedelbart på frågan, vilket är otroligt förvånat alla och framför allt läraren.
Låt oss försöka verbalt lösa problemet med att hitta summan av ovanstående siffror. Låt oss först ta summan av siffror från 1 till 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Gauss upptäckte att 1 + 10 = 11, och 2 + 9 = 11, och så vidare. Han bestämde att när man adderar naturliga tal från 1 till 10, erhålls 5 sådana par, och att 5 gånger 11 är lika med 55.
Gauss såg att man skulle lägga till siffrorna för hela serien i par, och han skapade en algoritm för att snabbt lägga till tal från 1 till 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Det är nödvändigt att räkna antalet par av nummer i sekvensen från 1 till 100. Vi får 50 par.
2. Lägg till det första och sista numret i hela sekvensen. I vårt fall är dessa 1 och 100. Vi får 101.
3. Multiplicera antalet par av tal i sekvensen med mängden som erhölls i steg 2. Vi får 5050.
Således är summan av de naturliga talen från 1 till 100 5050.
En enkel formel: summan av siffror från 1 till n = n * (n+1) : 2. Istället för n, ersätt det sista talet och beräkna.
Kolla in det! Det fungerar!

Svar från Yanya Fertikova[nybörjare]
5050

Svar från Mikhail Medvedev[aktiva]
5050

Svar från Pavel Solomennikov[nybörjare]
5050

Svar från Alevtina Bashkova[nybörjare]
5050

Svar från Ђigr Tikhomirov[aktiva]
5050

Svar från Maria Dubrovina[nybörjare]
5050

Svar från Yavil Badirov[nybörjare]
5050

Svar från Dmitriy[aktiva]
5050

Svar från Evgenij Sayapov[aktiva]
5050

Svar från 2 svar[guru]

Serien "Entertaining Mathematics" är tillägnad barn som är intresserade av matematik och föräldrar som ägnar tid åt sina barns utveckling och "ger" dem intressanta och underhållande problem och pussel.

Den första artikeln i denna serie ägnas åt Gauss styre.

Lite historia

Den berömda tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777-1855) skilde sig från sina kamrater från tidig barndom. Trots att han kom från en fattig familj lärde han sig läsa, skriva och räkna ganska tidigt. Det finns till och med ett omnämnande i hans biografi att han vid 4-5 års ålder kunde korrigera felet i sin fars felaktiga beräkningar helt enkelt genom att titta på honom.

En av hans första upptäckter gjordes vid 6 års ålder under en matematiklektion. Läraren behövde fängsla barnen under lång tid och han föreslog följande problem:

Hitta summan av alla naturliga tal från 1 till 100.

Unge Gauss slutförde denna uppgift ganska snabbt och hittade ett intressant mönster som har blivit utbrett och som fortfarande används än idag i mentalräkning.

Låt oss försöka lösa detta problem muntligen. Men först, låt oss ta siffrorna från 1 till 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Titta noga på denna mängd och försök gissa vilken ovanlig sak Gauss kunde se? För att svara behöver du ha en god förståelse för siffrornas sammansättning.

Gauss grupperade siffrorna enligt följande:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Sålunda fick lille Karl 5 par siffror, som var och en för sig summerar till 11. Sedan, för att beräkna summan av naturliga tal från 1 till 10, behöver du

Låt oss återgå till det ursprungliga problemet. Gauss märkte att innan du lägger till är det nödvändigt att gruppera siffror i par och därigenom uppfann en algoritm som låter dig snabbt lägga till siffror från 1 till 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Hitta antalet par i en serie naturliga tal. I det här fallet finns det 50 av dem.

Låt oss summera de första och sista siffrorna i denna serie. I vårt exempel är dessa 1 och 100. Vi får 101.

Vi multiplicerar den resulterande summan av de första och sista termerna i serien med antalet par i denna serie. Vi får 101 * 50 = 5050

Därför är summan av de naturliga talen från 1 till 100 5050.

Problem med att använda Gauss regel

Och nu presenterar vi problem där Gauss regel används i en eller annan grad. En fjärdeklassare är ganska kapabel att förstå och lösa dessa problem.

Du kan ge barnet möjligheten att resonera för sig själv så att han själv "uppfinner" denna regel. Eller så kan ni ta isär den tillsammans och se hur han kan använda den. Bland problemen nedan finns exempel där du behöver förstå hur man modifierar Gauss regel för att tillämpa den på en given sekvens.

I alla fall, för att ett barn ska kunna arbeta med detta i sina beräkningar, är en förståelse för Gauss-algoritmen nödvändig, det vill säga förmågan att korrekt dela upp i par och räkna.

Viktig! Om en formel memoreras utan att förstå, kommer den att glömmas bort mycket snabbt.

Problem 1

Hitta summan av siffror:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Lösning.

Först kan du ge barnet möjlighet att själv lösa det första exemplet och erbjuda sig att hitta ett sätt på vilket detta enkelt kan göras i hans sinne. Analysera sedan detta exempel med barnet och visa hur Gauss gjorde det. För tydlighetens skull är det bäst att skriva ner en serie och koppla ihop talpar med linjer som summerar till samma nummer. Det är viktigt att barnet förstår hur par bildas - vi tar det minsta och största av de återstående talen, förutsatt att antalet nummer i serien är jämnt.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Uppgift2

Det finns 9 vikter som väger 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Är det möjligt att placera dessa vikter i tre högar med lika vikt?

Lösning.

Med hjälp av Gauss regel hittar vi summan av alla vikter:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)

Det betyder att om vi kan gruppera vikterna så att varje hög innehåller vikter med en totalvikt på 15g, så är problemet löst.

Ett av alternativen:

• 9g, 6g
• 8g, 7g
• 5g, 4g, 3g, 2g, 1g

Hitta andra möjliga alternativ själv med ditt barn.

Uppmärksamma ditt barn på det faktum att när du löser liknande problem är det bättre att alltid börja gruppera med en större vikt (antal).

Problem 3

Är det möjligt att dela en urtavla i två delar med en rät linje så att summan av siffrorna i varje del är lika?

Lösning.

Till att börja med, tillämpa Gauss regel på serien av siffror 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: hitta summan och se om den är delbar med 2:

Så det går att dela upp. Låt oss nu se hur.

Därför är det nödvändigt att rita en linje på urtavlan så att 3 par faller i ena halvan och tre i den andra.

Svar: linjen går mellan siffrorna 3 och 4, och sedan mellan siffrorna 9 och 10.

Uppgift4

Är det möjligt att rita två raka linjer på en urtavla så att summan av siffrorna i varje del blir densamma?

Lösning.

Till att börja med, tillämpa Gauss regel på talserien 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: hitta summan och se om den är delbar med 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 är delbart med 3 utan rest, vilket betyder att det kan delas. Låt oss nu se hur.

Enligt Gauss regel får vi 6 par med tal, som vart och ett summerar till 13:

1 och 12, 2 och 11, 3 och 10, 4 och 9, 5 och 8, 6 och 7.

Därför är det nödvändigt att rita linjer på urtavlan så att varje del innehåller 2 par.

Svar: den första raden kommer att passera mellan siffrorna 2 och 3, och sedan mellan siffrorna 10 och 11; den andra raden är mellan siffrorna 4 och 5, och sedan mellan 8 och 9.

Problem 5

En flock fåglar flyger. Det finns en fågel (ledaren) framför, två bakom den, sedan tre, fyra osv. Hur många fåglar finns i flocken om det finns 20 av dem i sista raden?

Lösning.

Vi finner att vi måste lägga till tal från 1 till 20. Och för att beräkna en sådan summa kan vi tillämpa Gauss regel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Problem 6

Hur placerar man 45 kaniner i 9 burar så att alla burar har olika antal kaniner?

Lösning.

Om barnet har bestämt sig och förstått exemplen från uppgift 1 med förståelse, kommer han genast ihåg att 45 är summan av siffrorna från 1 till 9. Därför planterar vi kaninerna så här:

• första cellen - 1,
• andra - 2,
• tredje - 3,
• åttonde - 8,
• nionde - 9.

Men om barnet inte kan ta reda på det direkt, försök att ge honom idén att sådana problem kan lösas med brutalt våld och att man bör börja med det minsta antalet.

Problem 7

Beräkna summan med Gaussteknik:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Lösning.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Problem 8

Det finns ett set med 12 vikter som väger 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. 4 vikter togs bort från setet, vars totala massa är lika med en tredjedel av den totala vikten av hela viktuppsättningen. Går det att lägga resterande vikter på två vågar, 4 stycken på varje våg, så att de är i balans?

Lösning.

Vi tillämpar Gauss regel för att hitta vikternas totala massa:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)

Vi beräknar massan av vikterna som togs bort:

Därför måste de återstående vikterna (med en total massa på 78-26 = 52 g) placeras på 26 g på varje våg så att de är i jämvikt.

Vi vet inte vilka vikter som togs bort, så vi måste överväga alla möjliga alternativ.

Med hjälp av Gauss regel kan du dela upp vikterna i 6 par med lika vikt (13g vardera):

1g och 12g, 2g och 11g, 3g och 10, 4g och 9g, 5g och 8g, 6g och 7g.

Då är det bästa alternativet när man tar bort 4 vikter tar bort två par från ovanstående. I det här fallet kommer vi att ha 4 par kvar: 2 par på den ena skalan och 2 par på den andra.

Det värsta scenariot är när 4 borttagna vikter bryter 4 par. Vi kommer att sitta kvar med 2 obrutna par med en totalvikt på 26g, vilket innebär att vi placerar dem på en panna av vågen, och de återstående vikterna kan placeras på den andra pannan av vågen och de kommer också att vara 26g.

Lycka till i dina barns utveckling.