Ano ang polygon? Mga polygon. Detalyadong teorya na may mga halimbawa Polygons kung ano ang hugis

Mga Seksyon: Math

Paksa, edad ng mga mag-aaral: geometry, grade 9

Ang layunin ng aralin: ang pag-aaral ng mga uri ng polygons.

Gawain sa pag-aaral: i-update, palawakin at gawing pangkalahatan ang kaalaman ng mga mag-aaral sa mga polygon; bumuo ng isang ideya ng "mga bahagi" ng isang polygon; magsagawa ng pag-aaral ng bilang ng mga elemento ng constituent ng mga regular na polygon (mula sa isang tatsulok hanggang sa n-gon);

Pagbuo ng gawain: upang mabuo ang kakayahang pag-aralan, ihambing, gumawa ng mga konklusyon, bumuo ng mga kasanayan sa computational, oral at nakasulat na pagsasalita sa matematika, memorya, pati na rin ang pagsasarili sa mga aktibidad sa pag-iisip at pag-aaral, ang kakayahang magtrabaho sa mga pares at grupo; bumuo ng mga aktibidad sa pananaliksik at pang-edukasyon;

Pang-edukasyon na gawain: upang turuan ang kalayaan, aktibidad, responsibilidad para sa gawaing itinalaga, tiyaga sa pagkamit ng layunin.

Sa panahon ng mga klase: isang quote ang nakasulat sa pisara

"Ang kalikasan ay nagsasalita ng wika ng matematika, ang mga titik ng wikang ito ... mga numero ng matematika." G. Gallilei

Sa simula ng aralin, ang klase ay nahahati sa mga nagtatrabaho na grupo (sa aming kaso, ang paghahati sa mga grupo ng 4 na tao bawat isa - ang bilang ng mga miyembro ng grupo ay katumbas ng bilang ng mga grupo ng tanong).

1. Yugto ng tawag-

Mga layunin:

a) pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral sa paksa;

b) ang paggising ng interes sa paksang pinag-aaralan, ang pagganyak ng bawat mag-aaral para sa mga aktibidad sa pag-aaral.

Pagtanggap: Ang larong "Naniniwala ka ba na ...", organisasyon ng trabaho na may teksto.

Mga anyo ng trabaho: pangharap, pangkat.

"Naniniwala ka ba dun…."

1. ... ang salitang "polygon" ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga pigura ng pamilyang ito ay may "maraming sulok"?

2. … ang isang tatsulok ay kabilang sa isang malaking pamilya ng mga polygon, na nakikilala sa maraming iba't ibang mga geometric na hugis sa eroplano?

3. …ang parisukat ba ay isang regular na octagon (apat na gilid + apat na sulok)?

Ngayon sa aralin ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga polygon. Nalaman namin na ang figure na ito ay bounded sa pamamagitan ng isang saradong putol na linya, na kung saan ay maaaring maging simple, sarado. Pag-usapan natin ang katotohanan na ang mga polygon ay flat, regular, convex. Ang isa sa mga flat polygon ay isang tatsulok na pamilyar sa iyo sa loob ng mahabang panahon (maaari mong ipakita sa mga mag-aaral ang mga poster na naglalarawan ng mga polygon, isang putol na linya, ipakita ang kanilang iba't ibang uri, maaari mo ring gamitin ang TCO).

2. Yugto ng pag-unawa

Layunin: pagkuha ng bagong impormasyon, pag-unawa nito, pagpili.

Pagtanggap: zigzag.

Mga anyo ng trabaho: indibidwal->pares->grupo.

Ang bawat pangkat ay binibigyan ng isang teksto sa paksa ng aralin, at ang teksto ay idinisenyo sa paraang kasama nito ang parehong impormasyon na alam na ng mga mag-aaral at ganap na bagong impormasyon. Kasama ng teksto, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng mga tanong, ang mga sagot na dapat matagpuan sa tekstong ito.

Mga polygon. Mga uri ng polygon.

Sino ang hindi nakarinig ng mahiwagang Bermuda Triangle, kung saan nawawala ang mga barko at eroplano nang walang bakas? Ngunit ang tatsulok na pamilyar sa amin mula pagkabata ay puno ng maraming kawili-wili at mahiwagang mga bagay.

Bilang karagdagan sa mga uri ng mga tatsulok na alam na natin, na hinati sa mga gilid (scalene, isosceles, equilateral) at mga anggulo (acute-angled, obtuse-angled, right-angled), ang tatsulok ay kabilang sa isang malaking pamilya ng mga polygon, na nakikilala sa maraming iba't ibang mga geometric na hugis sa eroplano.

Ang salitang "polygon" ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga pigura ng pamilyang ito ay may "maraming sulok". Ngunit hindi ito sapat upang makilala ang pigura.

Isang putol na linya A 1 A 2 ... Ang A n ay isang pigura na binubuo ng mga puntos A 1, A 2, ... A n at mga segment A 1 A 2, A 2 A 3, ... na nagdudugtong sa kanila. Ang mga punto ay tinatawag na vertices ng polyline, at ang mga segment ay tinatawag na mga link ng polyline. (fig.1)

Ang putol na linya ay tinatawag na simple kung wala itong mga intersection sa sarili (Larawan 2,3).

Ang putol na linya ay tinatawag na sarado kung ang mga dulo nito ay magkasabay. Ang haba ng isang putol na linya ay ang kabuuan ng mga haba ng mga link nito (Larawan 4).

Ang isang simpleng saradong putol na linya ay tinatawag na polygon kung ang mga katabing link nito ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya (Larawan 5).

Palitan sa salitang "polygon" sa halip na "marami" na bahagi ang isang tiyak na numero, halimbawa 3. Makakakuha ka ng isang tatsulok. O 5. Pagkatapos - isang pentagon. Tandaan na may mga anggulo kasing dami ng mga gilid, kaya ang mga figure na ito ay matatawag na multilateral.

Ang vertices ng polyline ay tinatawag na vertices ng polygon, at ang mga link ng polyline ay tinatawag na mga gilid ng polygon.

Hinahati ng polygon ang eroplano sa dalawang rehiyon: panloob at panlabas (Larawan 6).

Ang isang plane polygon o polygonal na rehiyon ay isang may hangganang bahagi ng isang eroplanong napapaligiran ng isang polygon.

Dalawang vertices ng isang polygon na mga dulo ng parehong gilid ay tinatawag na kapitbahay. Ang mga vertices na hindi mga dulo ng isang gilid ay hindi magkatabi.

Ang isang polygon na may n vertices at samakatuwid ay n panig ay tinatawag na n-gon.

Kahit na ang pinakamaliit na bilang ng mga gilid ng isang polygon ay 3. Ngunit ang mga tatsulok, na nag-uugnay sa isa't isa, ay maaaring bumuo ng iba pang mga hugis, na siya namang mga polygons.

Tinatawag na mga diagonal ang mga segment na nagkokonekta sa mga hindi kalapit na vertices ng isang polygon.

Ang isang polygon ay tinatawag na matambok kung ito ay nasa isang kalahating eroplano na may paggalang sa anumang linya na naglalaman ng gilid nito. Sa kasong ito, ang tuwid na linya mismo ay itinuturing na kabilang sa kalahating eroplano.

Ang anggulo ng isang convex polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagtatagpo sa tuktok na iyon.

Patunayan natin ang theorem (sa kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon): Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay katumbas ng 180 0 *(n - 2).

Patunay. Sa kaso n=3 ang teorama ay wasto. Hayaang ang А 1 А 2 …А n ay isang binigay na convex polygon at n>3. Gumuhit tayo ng mga diagonal dito (mula sa isang vertex). Dahil ang polygon ay matambok, hinahati ito ng mga diagonal sa n - 2 tatsulok. Ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon ay kapareho ng kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok na ito. Ang kabuuan ng mga anggulo ng bawat tatsulok ay 180 0, at ang bilang ng mga tatsulok na ito ay n - 2. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok n - anggulo A 1 A 2 ... A n ay 180 0 * ( n - 2). Ang teorama ay napatunayan.

Ang panlabas na anggulo ng isang convex polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na katabi ng panloob na anggulo ng polygon sa tuktok na iyon.

Ang convex polygon ay tinatawag na regular kung ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay pantay.

Kaya ang parisukat ay maaaring tawaging naiiba - isang regular na may apat na gilid. Ang mga equilateral triangle ay regular din. Ang ganitong mga figure ay matagal nang interesado sa mga masters na pinalamutian ang mga gusali. Gumawa sila ng magagandang pattern, halimbawa, sa parquet. Ngunit hindi lahat ng regular na polygon ay maaaring gamitin upang bumuo ng parquet. Ang parquet ay hindi mabuo mula sa mga regular na octagon. Ang katotohanan ay mayroon silang bawat anggulo na katumbas ng 135 0. At kung ang anumang punto ay ang vertex ng dalawang naturang mga octagon, magkakaroon sila ng 270 0, at walang lugar para sa ikatlong octagon na magkasya: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ngunit sapat na para sa isang parisukat. Samakatuwid, posible na tiklop ang parquet mula sa mga regular na octagon at mga parisukat.

Tama ang mga bituin. Ang aming five-pointed star ay isang regular na pentagonal star. At kung paikutin mo ang parisukat sa paligid ng gitna ng 45 0, makakakuha ka ng regular na octagonal na bituin.

1 pangkat

Ano ang putol na linya? Ipaliwanag kung ano ang mga vertex at link ng isang polyline.

Aling putol na linya ang tinatawag na simple?

Aling putol na linya ang tinatawag na sarado?

Ano ang polygon? Ano ang tawag sa vertex ng isang polygon? Ano ang mga gilid ng polygon?

2 pangkat

Ano ang isang flat polygon? Magbigay ng mga halimbawa ng polygons.

Ano ang n-gon?

Ipaliwanag kung aling mga vertex ng polygon ang katabi at alin ang hindi.

Ano ang dayagonal ng isang polygon?

3 pangkat

Ano ang convex polygon?

Ipaliwanag kung aling mga sulok ng polygon ang panlabas at alin ang panloob?

Ano ang isang regular na polygon? Magbigay ng mga halimbawa ng mga regular na polygon.

4 na pangkat

Ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon? Patunayan mo.

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa teksto, naghahanap ng mga sagot sa mga tanong na ibinibigay, pagkatapos kung saan nabuo ang mga grupo ng dalubhasa, kung saan ang gawain ay isinasagawa sa parehong mga isyu: i-highlight ng mga mag-aaral ang pangunahing bagay, gumuhit ng isang sumusuportang abstract, nagpapakita ng impormasyon sa isa sa mga mga graphic na anyo. Sa pagtatapos ng gawain, ang mga mag-aaral ay bumalik sa kanilang mga grupo sa pagtatrabaho.

3. Yugto ng pagninilay -

a) pagtatasa ng kanilang kaalaman, hamon sa susunod na hakbang ng kaalaman;

b) pag-unawa at paglalaan ng natanggap na impormasyon.

Pagtanggap: gawaing pananaliksik.

Mga anyo ng trabaho: indibidwal->pares->grupo.

Ang mga nagtatrabahong grupo ay mga eksperto sa mga sagot sa bawat seksyon ng mga iminungkahing tanong.

Pagbabalik sa nagtatrabaho na grupo, ipinakilala ng eksperto ang iba pang miyembro ng grupo na may mga sagot sa kanilang mga tanong. Sa grupo mayroong pagpapalitan ng impormasyon ng lahat ng miyembro ng working group. Kaya, sa bawat pangkat ng pagtatrabaho, salamat sa gawain ng mga eksperto, isang pangkalahatang ideya ang nabuo sa paksang pinag-aaralan.

Pananaliksik ng mga mag-aaral - pagpuno sa talahanayan.

Paglutas ng mga kawili-wiling suliranin sa paksa ng aralin.

• Sa quadrilateral, gumuhit ng isang linya upang ito ay hatiin sa tatlong tatsulok.
• Ilang panig mayroon ang isang regular na polygon, na ang bawat isa ay ang mga panloob na anggulo ay katumbas ng 135 0 ?
• Sa isang tiyak na polygon, ang lahat ng mga panloob na anggulo ay pantay sa bawat isa. Ang kabuuan ba ng mga panloob na anggulo ng polygon na ito ay: 360 0 , 380 0 ?

Pagbubuod ng aralin. Pagre-record ng takdang-aralin.

Mayroong iba't ibang mga punto ng view sa kung ano ang itinuturing na isang polygon. Sa isang kursong geometry ng paaralan, ginagamit ang isa sa mga sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 1

Polygon

ay isang pigura na binubuo ng mga segment

upang ang mga katabing segment(iyon ay, katabing mga segment na may karaniwang vertex, halimbawa, A1A2 at A2A3) huwag magsinungaling sa isang tuwid na linya, at ang mga hindi katabing segment ay walang mga karaniwang punto.

Kahulugan 2

Ang isang simpleng closed polygon ay tinatawag na polygon.

puntos

tinawag polygon vertices, mga segment

— mga gilid ng polygon.

Ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig ay tinatawag polygon perimeter.

Tinatawag ang isang polygon na may n vertices (at samakatuwid ay n panig). n - parisukat.

Ang isang polygon na nasa isang eroplano ay tinatawag patag. Kapag pinag-uusapan ang isang polygon, maliban kung iba ang nakasaad, nauunawaan na pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang flat polygon.

Dalawang vertices sa parehong gilid ng isang polygon ay tinatawag kapitbahay. Halimbawa, ang A1 at A2, A5 at A6 ay magkalapit na mga vertex.

Tinatawag ang isang segment ng linya na nag-uugnay sa dalawang di-katabing vertice polygon diagonal.

Alamin kung gaano karaming mga diagonal ang mayroon ang polygon.

Mula sa bawat isa sa n vertices ng polygon ay nagmumula ang n-3 diagonal

(May mga n vertex sa kabuuan. Hindi namin binibilang ang vertex mismo at dalawang kalapit na vertex na hindi bumubuo ng diagonal sa vertex na ito. Para sa vertex A1, halimbawa, hindi namin isinasaalang-alang ang A1 mismo at ang mga kalapit na vertex na A2 at A3 ).

Kaya, ang bawat isa sa n vertices ay tumutugma sa n-3 diagonal. Dahil ang isang dayagonal ay tumutukoy sa dalawang vertice nang sabay-sabay, upang mahanap ang bilang ng mga diagonal ng isang polygon, ang produkto n (n-3) ay dapat na hatiin sa kalahati.

Samakatuwid, mayroon si n-gon

diagonal.

Ang anumang polygon ay naghahati sa eroplano sa dalawang bahagi - ang panloob at panlabas na mga rehiyon ng polygon. Ang figure na binubuo ng isang polygon at ang loob nito ay tinatawag ding polygon.

Mga Katangian ng Polygon

Ang polygon ay isang geometric na pigura, kadalasang tinutukoy bilang isang saradong polyline na walang mga intersection sa sarili (isang simpleng polygon (Fig. 1a)), ngunit kung minsan ay pinapayagan ang mga self-intersection (kung gayon ang polygon ay hindi simple).

Ang vertices ng polyline ay tinatawag na vertices ng polygon, at ang mga segment ay tinatawag na mga gilid ng polygon. Ang mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na mga kapitbahay kung ang mga ito ay ang mga dulo ng isa sa mga gilid nito. Tinatawag na mga diagonal ang mga segment ng linya na nagdudugtong sa mga hindi kalapit na vertices ng isang polygon.

Ang isang anggulo (o panloob na anggulo) ng isang matambok na polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagtatagpo sa tuktok na ito, at ang anggulo ay isinasaalang-alang mula sa gilid ng polygon. Sa partikular, ang anggulo ay maaaring lumampas sa 180° kung ang polygon ay hindi matambok.

Ang panlabas na anggulo ng isang convex polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na katabi ng panloob na anggulo ng polygon sa tuktok na iyon. Sa pangkalahatan, ang anggulo sa labas ay ang pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang anggulo sa loob. Mula sa bawat vertex ng -gon para sa > 3, mayroong - 3 diagonal, kaya ang kabuuang bilang ng mga diagonal ng -gon ay pantay.

Ang isang polygon na may tatlong vertices ay tinatawag na isang tatsulok, na may apat - isang quadrilateral, na may limang - isang pentagon, at iba pa.

Polygon na may n peaks ay tinatawag n- parisukat.

Ang flat polygon ay isang figure na binubuo ng isang polygon at ang may hangganang bahagi ng lugar na napapaligiran nito.

Ang polygon ay tinatawag na convex kung ang isa sa mga sumusunod (katumbas) na kondisyon ay natutugunan:

• 1. ito ay namamalagi sa isang gilid ng anumang tuwid na linya na nag-uugnay sa mga kalapit na vertice nito. (ibig sabihin, ang mga extension ng mga gilid ng isang polygon ay hindi nagsalubong sa iba pang mga gilid nito);
• 2. ito ay ang intersection (i.e. karaniwang bahagi) ng ilang kalahating eroplano;
• 3. anumang segment na may mga dulo sa mga puntong kabilang sa polygon ay ganap na kabilang dito.

Ang convex polygon ay tinatawag na regular kung ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay pantay, halimbawa, isang equilateral triangle, isang parisukat, at isang pentagon.

Ang isang matambok na polygon ay sinasabing nakasulat tungkol sa isang bilog kung ang lahat ng mga gilid nito ay padaplis sa ilang bilog

Ang regular na polygon ay isang polygon kung saan ang lahat ng mga anggulo at lahat ng panig ay pantay.

Mga katangian ng polygon:

1 Ang bawat dayagonal ng isang convex -gon, kung saan >3, ay nabubulok ito sa dalawang convex polygons.

2 Ang kabuuan ng lahat ng anggulo ng isang convex -gon ay katumbas ng.

D-in: Patunayan natin ang theorem sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction. Para sa = 3 ito ay halata. Ipagpalagay na ang teorama ay totoo para sa isang -gon, kung saan <, at patunayan ito para kay -gon.

Hayaan ay isang ibinigay na polygon. Gumuhit ng dayagonal ng polygon na ito. Sa pamamagitan ng Theorem 3, ang polygon ay nabubulok sa isang tatsulok at isang convex -gon (Larawan 5). Sa pamamagitan ng induction hypothesis. Sa kabilang kamay, . Pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito at isinasaalang-alang iyon (- panloob na anggulo ng sinag ) at (- panloob na anggulo ng sinag ), makuha natin.Kapag nakuha natin: .

3 Tungkol sa anumang regular na polygon posible na ilarawan ang isang bilog, at higit pa rito, isa lamang.

D-in: Hayaan ang isang regular na polygon, at at maging mga bisector ng mga anggulo, at (Fig. 150). Dahil, samakatuwid, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Patunayan natin yan O = OA 2 = O =… = OA P . Tatsulok O isosceles, samakatuwid O= O. Ayon sa pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, samakatuwid, O = O. Katulad nito, ito ay pinatunayan na O = O atbp. Kaya ang punto O equidistant mula sa lahat ng vertices ng polygon, kaya ang bilog na may gitna O radius O ay circumscribed tungkol sa isang polygon.

Patunayan natin ngayon na iisa lang ang naka-circumscribed na bilog. Isaalang-alang ang ilang tatlong vertice ng isang polygon, halimbawa, PERO 2 , . Dahil isang bilog lamang ang dumadaan sa mga puntong ito, pagkatapos ay tungkol sa polygon … Hindi mo maaaring ilarawan ang higit sa isang bilog.

• 4 Sa anumang regular na polygon, maaari kang mag-inscribe ng isang bilog at, bukod dito, isa lamang.
• 5 Ang isang bilog na nakasulat sa isang regular na polygon ay dumadampi sa mga gilid ng polygon sa kanilang mga midpoint.
• 6 Ang gitna ng isang bilog na nakapalibot sa isang regular na polygon ay tumutugma sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa parehong polygon.
• 7 Simetrya:

Ang isang pigura ay sinasabing simetriko (symmetric) kung mayroong ganoong paggalaw (hindi magkapareho) na nagbabago sa pigurang ito sa sarili nito.

• 7.1. Ang isang pangkalahatang tatsulok ay walang mga palakol o mga sentro ng simetrya, hindi ito simetriko. Ang isosceles (ngunit hindi equilateral) na tatsulok ay may isang axis ng symmetry: ang perpendicular bisector sa base.
• 7.2. Ang isang equilateral triangle ay may tatlong axes ng symmetry (perpendicular bisectors sa mga gilid) at rotational symmetry sa gitna na may rotation angle na 120°.

7.3 Anumang regular na n-gon ay may n axes ng symmetry, na lahat ay dumadaan sa gitna nito. Mayroon din itong rotational symmetry tungkol sa gitna na may anggulo ng pag-ikot.

Kahit na n ang ilang mga palakol ng mahusay na proporsyon ay dumadaan sa magkasalungat na mga vertice, ang iba ay sa pamamagitan ng mga midpoint ng magkabilang panig.

Para sa kakaiba n bawat axis ay dumadaan sa vertex at midpoint ng kabaligtaran na bahagi.

Ang sentro ng isang regular na polygon na may pantay na bilang ng mga gilid ay ang sentro ng simetrya nito. Ang isang regular na polygon na may kakaibang bilang ng mga gilid ay walang sentro ng simetrya.

8 Pagkakatulad:

May pagkakatulad, at -gon ay napupunta sa isang -gon, kalahating eroplano - sa isang kalahating eroplano, samakatuwid ay matambok n-gon nagiging matambok n-gon.

Theorem: Kung ang mga gilid at anggulo ng convex polygons at natutugunan ang mga pagkakapantay-pantay:

nasaan ang podium coefficient

pagkatapos ay magkatulad ang mga polygon na ito.

• 8.1 Ang ratio ng mga perimeter ng dalawang magkatulad na polygon ay katumbas ng koepisyent ng pagkakatulad.
• 8.2. Ang ratio ng mga lugar ng dalawang matambok na magkatulad na polygon ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

polygon triangle perimeter theorem

Polygon- ito ay isang geometric na figure na nakatali ng isang saradong polyline na walang mga intersection sa sarili.

Ang mga link ng putol na linya ay tinatawag mga gilid ng polygon, at ang mga vertex nito polygon vertices.

mga sulok polygons ay tinatawag na panloob na mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng katabing panig. Ang bilang ng mga sulok ng isang polygon ay katumbas ng bilang ng mga vertice at gilid nito.

Ang mga polygon ay pinangalanan ayon sa bilang ng mga panig. Ang polygon na may pinakamaliit na bilang ng mga gilid ay tinatawag na tatsulok, mayroon lamang itong tatlong panig. Ang isang polygon na may apat na panig ay tinatawag na isang quadrilateral, na may limang - isang pentagon, atbp.

Ang pagtatalaga ng isang polygon ay binubuo ng mga titik sa mga vertices nito, pinangalanan ang mga ito sa pagkakasunud-sunod (clockwise o counterclockwise). Halimbawa, sinasabi o isinulat nila: pentagon ABCDE :

Sa isang pentagon ABCDE puntos A, B, C, D at E ay ang mga vertex ng pentagon, at ang mga segment AB, BC, CD, DE at EA gilid ng isang pentagon.

Matambok at malukong

Ang polygon ay tinatawag matambok kung wala sa mga gilid nito, pinalawak sa isang tuwid na linya, bumalandra ito. Kung hindi, ang polygon ay tinatawag malukong:

Perimeter

Ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig ng isang polygon ay tinatawag na nito perimeter.

Polygon Perimeter ABCDE katumbas ng:

AB + BC+ CD + DE + EA

Kung ang isang polygon ay may lahat ng panig at lahat ng mga anggulo ay pantay, kung gayon ito ay tinatawag tama. Tanging ang mga convex na polygon ay maaaring maging mga regular na polygon.

dayagonal

Polygon Diagonal ay isang segment ng linya na nag-uugnay sa mga vertice ng dalawang anggulo na walang karaniwang panig. Halimbawa, ang hiwa AD ay isang dayagonal:

Ang tanging polygon na walang iisang dayagonal ay isang tatsulok, dahil walang mga sulok dito na walang mga karaniwang panig.

Kung ang lahat ng posibleng mga diagonal ay iginuhit mula sa anumang vertex ng polygon, pagkatapos ay hahatiin nila ang polygon sa mga tatsulok:

Magkakaroon ng eksaktong dalawang mas kaunting tatsulok kaysa sa mga gilid:

t = n - 2

saan t ay ang bilang ng mga tatsulok, at n- ang bilang ng mga panig.

Ang paghahati ng isang polygon sa mga tatsulok gamit ang mga diagonal ay ginagamit upang mahanap ang lugar ng isang polygon, dahil upang mahanap ang lugar ng isang polygon, kailangan mong hatiin ito sa mga tatsulok, hanapin ang lugar ng mga tatsulok na ito at idagdag ang mga resulta.

Tinatawag na polygon ang bahagi ng eroplano na nakatali sa saradong putol na linya.

Tinatawag ang mga segment ng putol na linyang ito mga partido polygon. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - mga gilid ng polygon ABCDE. Ang kabuuan ng lahat ng panig ng isang polygon ay tinatawag na nito perimeter.

Ang polygon ay tinatawag matambok, kung ito ay matatagpuan sa isang gilid ng alinman sa mga gilid nito, pinalawig nang walang katiyakan lampas sa magkabilang vertice.

Ang polygon MNPKO (Fig. 1) ay hindi matambok, dahil ito ay matatagpuan sa higit sa isang gilid ng tuwid na linya KP.

Isasaalang-alang lamang namin ang convex polygons.

Ang mga anggulo na nabuo ng dalawang magkatabing gilid ng isang polygon ay tinatawag na nito panloob mga sulok, at ang kanilang mga tuktok - polygon vertices.

Ang isang segment ng linya na nagkokonekta sa dalawang di-katabing vertices ng isang polygon ay tinatawag na diagonal ng polygon.

AC, AD - diagonal ng polygon (Larawan 2).

Ang mga sulok na katabi ng mga panloob na sulok ng polygon ay tinatawag na mga panlabas na sulok ng polygon (Larawan 3).

Depende sa bilang ng mga anggulo (panig), ang polygon ay tinatawag na tatsulok, may apat na gilid, pentagon, atbp.

Ang dalawang polygon ay sinasabing pantay-pantay kung maaari silang i-superimpose.

Mga inscribed at circumscribed polygons

Kung ang lahat ng mga vertices ng isang polygon ay nasa isang bilog, kung gayon ang polygon ay tinatawag nakasulat sa isang bilog, at sa bilog inilarawan malapit sa polygon (fig.).

Kung ang lahat ng panig ng isang polygon ay padaplis sa isang bilog, kung gayon ang polygon ay tinatawag inilarawan sa paligid ng bilog, at ang bilog ay tinatawag nakasulat sa isang polygon (fig.).

Pagkakatulad ng mga polygon

Dalawang polygons ng parehong pangalan ay tinatawag na magkatulad kung ang mga anggulo ng isa sa mga ito ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng mga anggulo ng isa pa, at ang magkatulad na mga gilid ng polygons ay proporsyonal.

Ang mga polygon na may parehong bilang ng mga gilid (anggulo) ay tinatawag na mga polygon ng parehong pangalan.

Ang mga gilid ng magkatulad na polygons ay tinatawag na magkatulad kung ikinonekta nila ang mga vertices ng katumbas na pantay na mga anggulo (Fig.).

Kaya, halimbawa, para ang polygon ABCDE ay katulad ng polygon A'B'C'D'E', kinakailangan na: E = ∠E' at, bilang karagdagan, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Perimeter ratio ng magkatulad na polygons

Una, isaalang-alang ang pag-aari ng isang serye ng pantay na mga ratio. Magkaroon tayo, halimbawa, ng mga relasyon: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Hanapin natin ang kabuuan ng mga nakaraang miyembro ng mga ugnayang ito, pagkatapos - ang kabuuan ng kanilang mga kasunod na miyembro at hanapin ang ratio ng mga natanggap na kabuuan, nakukuha natin:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Makukuha natin ang pareho kung kukuha tayo ng ilang iba pang mga ugnayan, halimbawa: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 at pagkatapos ay makikita natin ang ratio ng mga kabuuan na ito , nakukuha natin ang:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Sa parehong mga kaso, ang kabuuan ng mga nakaraang miyembro ng isang serye ng mga pantay na relasyon ay nauugnay sa kabuuan ng mga kasunod na miyembro ng parehong serye, dahil ang nakaraang miyembro ng alinman sa mga relasyon na ito ay nauugnay sa susunod nito.

Hinulaan namin ang pag-aari na ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilang mga numerong halimbawa. Maaari itong mahihinuha nang mahigpit at sa pangkalahatang anyo.

Ngayon isaalang-alang ang ratio ng mga perimeter ng magkatulad na polygons.

Hayaang ang polygon ABCDE ay katulad ng polygon A'B'C'D'E' (fig.).

Ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga polygon na ito na

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Batay sa pag-aari ng isang serye ng pantay na ugnayan na aming nakuha, maaari naming isulat:

Ang kabuuan ng mga nakaraang termino ng mga relasyon na kinuha namin ay ang perimeter ng unang polygon (P), at ang kabuuan ng mga kasunod na termino ng mga relasyon na ito ay ang perimeter ng pangalawang polygon (P '), kaya P / P ' = AB / A'B '.

Dahil dito, ang mga perimeter ng magkatulad na polygon ay magkakaugnay bilang kanilang mga kaukulang panig.

Ratio ng mga lugar ng magkatulad na polygons

Hayaan ang ABCDE at A'B'C'D'E' na magkatulad na polygons (fig.).

Ito ay kilala na ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' at ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Bukod sa,

;

Dahil ang pangalawang ratio ng mga proporsyon na ito ay pantay, na sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga polygon, kung gayon

Gamit ang pag-aari ng isang serye ng pantay na ratios, nakukuha namin ang:

O kaya

kung saan ang S at S' ay ang mga lugar ng mga katulad na polygon na ito.

Dahil dito, ang mga lugar ng magkatulad na polygon ay nauugnay bilang mga parisukat ng magkatulad na panig.

Ang resultang formula ay maaaring i-convert sa form na ito: S / S '= (AB / A'B ') 2

Lugar ng isang di-makatwirang polygon

Hayaang kailanganin upang kalkulahin ang lugar ng isang di-makatwirang quadrilateral ABDC (Fig.).

Gumuhit tayo ng dayagonal dito, halimbawa AD. Nakakuha kami ng dalawang tatsulok na ABD at ACD, ang mga lugar kung saan maaari naming kalkulahin. Pagkatapos ay makikita natin ang kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok na ito. Ang resultang kabuuan ay magpapahayag ng lugar ng ibinigay na quadrangle.

Kung kailangan mong kalkulahin ang lugar ng isang pentagon, pagkatapos ay magpatuloy kami sa parehong paraan: gumuhit kami ng mga diagonal mula sa isa sa mga vertices. Nakakuha kami ng tatlong tatsulok, ang mga lugar kung saan maaari naming kalkulahin. Kaya't mahahanap natin ang lugar ng pentagon na ito. Ginagawa namin ang parehong kapag kinakalkula ang lugar ng anumang polygon.

Lugar ng projection ng polygon

Alalahanin na ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay ang anggulo sa pagitan ng isang ibinigay na linya at ang projection nito papunta sa eroplano (Fig.).

Teorama. Ang lugar ng orthogonal projection ng polygon papunta sa eroplano ay katumbas ng lugar ng inaasahang polygon na pinarami ng cosine ng anggulo na nabuo ng eroplano ng polygon at ng projection plane.

Ang bawat polygon ay maaaring nahahati sa mga tatsulok, ang kabuuan ng mga lugar kung saan ay katumbas ng lugar ng polygon. Samakatuwid, ito ay sapat na upang patunayan ang teorama para sa isang tatsulok.

Hayaang maipakita ang ΔABC sa eroplano R. Isaalang-alang ang dalawang kaso:

a) ang isa sa mga gilid ΔABS ay kahanay sa eroplano R;

b) wala sa mga panig na ΔABC ang magkatulad R.

Isipin mo unang kaso: hayaan [AB] || R.

Gumuhit sa pamamagitan ng (AB) na eroplano R 1 || R at i-project ang orthogonally ΔABC sa R 1 at sa R(bigas.); nakukuha namin ang ΔABC 1 at ΔA'B'C'.

Sa pamamagitan ng projection property, mayroon tayong ΔABC 1 (cong) ΔA'B'C', at samakatuwid

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Gumuhit tayo ng ⊥ at ang bahaging D 1 C 1 . Pagkatapos ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ ay ang anggulo sa pagitan ng eroplanong ΔABC at ng eroplano R isa. kaya lang

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

at, samakatuwid, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang pangalawang kaso. Gumuhit ng eroplano R 1 || R sa pamamagitan ng vertex na iyon ΔАВС, ang distansya mula sa kung saan papunta sa eroplano R ang pinakamaliit (hayaan itong maging vertex A).

Idisenyo natin ang ΔABC sa eroplano R 1 at R(bigas.); hayaan ang mga projection nito ay ΔAB 1 C 1 at ΔA'B'C'.

Hayaan ang (BC) ∩ p 1 = D. Pagkatapos

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ