Ano ang rational root? Rational roots ng isang polynomial

Sa artikulong ito sisimulan nating tuklasin mga rational na numero. Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng mga rational na numero, magbibigay ng mga kinakailangang paliwanag at magbigay ng mga halimbawa ng mga rational na numero. Pagkatapos nito, tututukan natin kung paano matukoy kung ang isang ibinigay na numero ay makatwiran o hindi.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan at mga halimbawa ng mga rational na numero

Sa seksyong ito ay magbibigay kami ng ilang mga kahulugan ng mga rational na numero. Sa kabila ng mga pagkakaiba sa mga salita, ang lahat ng mga kahulugan na ito ay may parehong kahulugan: ang mga rational na numero ay pinagsasama ang mga integer at fraction, tulad ng mga integer na pinagsasama ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran, at ang numerong zero. Sa madaling salita, ang mga rational na numero ay nag-generalize ng buo at fractional na mga numero.

Magsimula tayo sa mga kahulugan ng mga rational na numero, na pinaka-natural na nakikita.

Mula sa nakasaad na kahulugan ay sumusunod na ang isang rational number ay:

• Anumang natural na numero n. Sa katunayan, maaari mong katawanin ang anumang natural na numero bilang isang ordinaryong fraction, halimbawa, 3=3/1.
• Anumang integer, lalo na ang numerong zero. Sa katunayan, ang anumang integer ay maaaring isulat bilang positibong bahagi, negatibong bahagi, o zero. Halimbawa, 26=26/1, .
• Anumang karaniwang fraction (positibo o negatibo). Ito ay direktang kinumpirma ng ibinigay na kahulugan ng mga rational na numero.
• Anumang mixed number. Sa katunayan, maaari mong palaging kumakatawan sa isang halo-halong numero bilang isang hindi tamang fraction. Halimbawa, at.
• Anumang finite decimal fraction o infinite periodic fraction. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang ipinahiwatig na mga fraction ng decimal ay na-convert sa mga ordinaryong fraction. Halimbawa, , at 0,(3)=1/3.

Malinaw din na ang anumang infinite non-periodic decimal fraction ay HINDI rational number, dahil hindi ito maaaring katawanin bilang common fraction.

Ngayon ay madali na tayong magbigay mga halimbawa ng mga rational na numero. Ang mga numerong 4, 903, 100,321 ay mga rational na numero dahil natural na mga numero ang mga ito. Ang mga integer na 58, −72, 0, −833,333,333 ay mga halimbawa rin ng mga rational na numero. Ang mga karaniwang praksiyon 4/9, 99/3 ay mga halimbawa rin ng mga rational na numero. Ang mga rational na numero ay mga numero din.

Mula sa mga halimbawa sa itaas, malinaw na mayroong parehong positibo at negatibong mga rational na numero, at ang rational number na zero ay hindi positibo o negatibo.

Ang kahulugan sa itaas ng mga rational na numero ay maaaring buuin sa isang mas maigsi na anyo.

Kahulugan.

Mga rational na numero ay mga numero na maaaring isulat bilang isang fraction z/n, kung saan ang z ay isang integer at n ay isang natural na numero.

Patunayan natin na ang kahulugang ito ng mga rational na numero ay katumbas ng naunang kahulugan. Alam namin na maaari naming isaalang-alang ang linya ng isang fraction bilang isang tanda ng paghahati, pagkatapos ay mula sa mga katangian ng paghahati ng mga integer at ang mga patakaran para sa paghahati ng mga integer, ang bisa ng mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay sumusunod at. Kaya, iyon ang patunay.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga rational na numero batay sa kahulugang ito. Ang mga numerong −5, 0, 3, at mga rational na numero, dahil maaari silang isulat bilang mga fraction na may integer numerator at natural na denominator ng form at, ayon sa pagkakabanggit.

Ang kahulugan ng mga rational na numero ay maaaring ibigay sa sumusunod na pagbabalangkas.

Kahulugan.

Mga rational na numero ay mga numero na maaaring isulat bilang isang finite o infinite periodic decimal fraction.

Ang kahulugan na ito ay katumbas din ng unang kahulugan, dahil ang bawat ordinaryong fraction ay tumutugma sa isang may hangganan o periodic decimal fraction at vice versa, at anumang integer ay maaaring iugnay sa isang decimal fraction na may mga zero pagkatapos ng decimal point.

Halimbawa, ang mga numerong 5, 0, −13, ay mga halimbawa ng mga rational na numero dahil maaari silang isulat bilang mga sumusunod na decimal fraction na 5.0, 0.0, −13.0, 0.8, at −7, (18).

Tapusin natin ang teorya ng puntong ito sa mga sumusunod na pahayag:

• mga integer at fraction (positibo at negatibo) ang bumubuo sa hanay ng mga rational na numero;
• bawat rational number ay maaaring katawanin bilang isang fraction na may integer numerator at isang natural na denominator, at ang bawat naturang fraction ay kumakatawan sa isang tiyak na rational number;
• bawat rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang may hangganan o walang katapusan na periodic decimal fraction, at ang bawat naturang fraction ay kumakatawan sa isang rational na numero.

Makatuwiran ba ang numerong ito?

Sa nakaraang talata, nalaman namin na ang anumang natural na numero, anumang integer, anumang ordinaryong fraction, anumang halo-halong numero, anumang finite decimal fraction, pati na rin ang anumang periodic decimal fraction ay isang rational number. Ang kaalamang ito ay nagpapahintulot sa amin na "kilalanin" ang mga rational na numero mula sa isang hanay ng mga nakasulat na numero.

Ngunit paano kung ang numero ay ibinigay sa anyo ng ilang , o bilang , atbp., paano sasagutin ang tanong kung ang numerong ito ay makatwiran? Sa maraming pagkakataon, napakahirap sagutin. Ipahiwatig natin ang ilang direksyon ng pag-iisip.

Kung ang isang numero ay ibinigay bilang isang numeric na expression na naglalaman lamang ng mga rational na numero at arithmetic sign (+, −, · at:), kung gayon ang halaga ng expression na ito ay isang rational na numero. Ito ay sumusunod mula sa kung paano tinukoy ang mga operasyon na may mga rational na numero. Halimbawa, pagkatapos isagawa ang lahat ng mga operasyon sa expression, nakukuha namin ang makatwirang numero 18.

Minsan, pagkatapos pasimplehin ang mga expression at gawing mas kumplikado ang mga ito, nagiging posible upang matukoy kung ang isang naibigay na numero ay makatwiran.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Ang numero 2 ay isang rational na numero, dahil ang anumang natural na numero ay makatwiran. Paano ang tungkol sa numero? Ito ba ay makatuwiran? Lumalabas na hindi, hindi ito isang rational na numero, ito ay isang hindi makatwiran na numero (ang patunay ng katotohanang ito sa pamamagitan ng kontradiksyon ay ibinigay sa algebra textbook para sa grade 8, na nakalista sa ibaba sa listahan ng mga sanggunian). Napatunayan din na ang square root ng isang natural na numero ay isang rational na numero lamang sa mga kasong iyon kapag sa ilalim ng ugat ay mayroong isang numero na perpektong parisukat ng ilang natural na numero. Halimbawa, at ang mga rational na numero, dahil ang 81 = 9 2 at 1 024 = 32 2, at ang mga numero at ay hindi makatwiran, dahil ang mga numero 7 at 199 ay hindi perpektong mga parisukat ng natural na mga numero.

Makatwiran ba ang bilang o hindi? Sa kasong ito, madaling mapansin na, samakatuwid, ang numerong ito ay makatuwiran. Rational ba ang numero? Napatunayan na ang kth root ng isang integer ay isang rational number lamang kung ang numero sa ilalim ng root sign ay ang kth power ng ilang integer. Samakatuwid, hindi ito isang rational na numero, dahil walang integer na ang ikalimang kapangyarihan ay 121.

Ang pamamaraan sa pamamagitan ng kontradiksyon ay nagpapahintulot sa iyo na patunayan na ang logarithms ng ilang mga numero ay hindi mga makatwirang numero para sa ilang kadahilanan. Halimbawa, patunayan natin na - ay hindi isang makatwirang numero.

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran, iyon ay, sabihin natin na iyon ay isang rational na numero at maaaring isulat bilang isang ordinaryong fraction m/n. Pagkatapos ay ibibigay namin ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay: . Ang huling pagkakapantay-pantay ay imposible, dahil sa kaliwang bahagi ay mayroon kakaibang numero 5 n, at sa kanang bahagi ay ang kahit na numero 2 m. Samakatuwid, ang aming palagay ay mali, kaya hindi isang makatwirang numero.

Sa konklusyon, ito ay nagkakahalaga lalo na tandaan na kapag tinutukoy ang katwiran o hindi makatwiran ng mga numero, ang isa ay dapat pigilin ang sarili mula sa paggawa ng mga biglaang konklusyon.

Halimbawa, hindi mo dapat igiit kaagad na ang produkto ng mga hindi makatwirang numero π at e ay isang hindi makatwirang numero; ito ay "tila halata", ngunit hindi napatunayan. Itinaas nito ang tanong: "Bakit magiging rational number ang isang produkto?" At bakit hindi, dahil maaari kang magbigay ng isang halimbawa ng mga hindi makatwirang numero, ang produkto kung saan ay nagbibigay ng isang makatwirang numero: .

Hindi rin alam kung ang mga numero at marami pang mga numero ay makatwiran o hindi. Halimbawa, may mga hindi makatwirang numero na ang di-makatwirang kapangyarihan ay isang makatwirang numero. Para sa paglalarawan, ipinapakita namin ang isang antas ng form , ang base ng antas na ito at ang exponent ay hindi mga rational na numero, ngunit , at 3 ay isang rational na numero.

Bibliograpiya.

• Mathematics. Ika-6 na baitang: pang-edukasyon. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [N. Oo. Vilenkin at iba pa]. - 22nd ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Tulad ng nabanggit na natin, ang isa sa pinakamahalagang problema sa teorya ng polynomial ay ang problema sa paghahanap ng kanilang mga ugat. Upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang paraan ng pagpili, i.e. kumuha ng numero nang random at suriin kung ito ang ugat ng isang binigay na polynomial.

Sa kasong ito, maaari mong mabilis na "mabangga" ang ugat, o maaaring hindi mo ito mahanap. Pagkatapos ng lahat, imposibleng suriin ang lahat ng mga numero, dahil walang hanggan ang marami sa kanila.

Ito ay magiging isa pang usapin kung magagawa nating paliitin ang lugar ng paghahanap, halimbawa, upang malaman na ang mga ugat na hinahanap natin ay, sabihin, kabilang sa tatlumpung tinukoy na mga numero. At para sa tatlumpung numero maaari kang gumawa ng tseke. Kaugnay ng lahat ng nasabi sa itaas, ang pahayag na ito ay tila mahalaga at kawili-wili.

Kung ang irreducible fraction l/m (l,m ay integers) ay ang ugat ng polynomial f (x) na may integer coefficients, kung gayon ang nangungunang coefficient ng polynomial na ito ay hinati sa m, at ang libreng term ay hinati sa 1.

Sa katunayan, kung f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, kung saan ang an, an-1,...,a1, a0 ay mga integer, kung gayon ang f (l/ m) =0, ibig sabihin, isang (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa mn. Nakukuha namin ang anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Ito ay nagpapahiwatig:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Nakikita natin na ang integer anln ay nahahati sa m. Ngunit ang l/m ay isang irreducible fraction, i.e. ang mga numerong l at m ay coprime, at pagkatapos, gaya ng nalalaman mula sa teorya ng divisibility ng mga integer, ang mga numerong ln at m ay coprime din. Kaya, ang anln ay nahahati ng m at ang m ay coprime sa ln, na nangangahulugang ang isang ay nahahati ng m.

Ang napatunayang paksa ay nagbibigay-daan sa amin na makabuluhang paliitin ang lugar ng paghahanap para sa mga makatwirang ugat ng isang polynomial na may integer coefficients. Ipakita natin ito sa isang partikular na halimbawa. Hanapin natin ang mga nakapangangatwiran na ugat ng polynomial f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Ayon sa theorem, ang mga nakapangangatwiran na ugat ng polynomial na ito ay kabilang sa mga hindi mababawasang fraction ng anyong l/m, kung saan ang l ay ang divisor ng libreng term na a0=8, at ang m ay ang divisor ng nangungunang koepisyent a4=6. Bukod dito, kung ang fraction l/m ay negatibo, ang "-" sign ay itatalaga sa numerator. Halimbawa, - (1/3) = (-1) /3. Kaya masasabi natin na ang l ay isang divisor ng numero 8, at ang m ay isang positibong divisor ng numero 6.

Dahil ang mga divisors ng number 8 ay ±1, ±2, ±4, ±8, at ang positive divisors ng number 6 ay 1, 2, 3, 6, kung gayon ang rational roots ng polynomial na pinag-uusapan ay kabilang sa mga numero. ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Alalahanin natin na isinulat lamang natin ang mga hindi mababawasang praksyon.

Kaya, mayroon kaming dalawampung numero - "mga kandidato" para sa mga ugat. Ang natitira lamang ay suriin ang bawat isa sa kanila at piliin ang mga talagang ugat. Ngunit muli, kakailanganin mong gumawa ng maraming pagsusuri. Ngunit ang sumusunod na teorama ay nagpapasimple sa gawaing ito.

Kung ang irreducible fraction l/m ay ang ugat ng polynomial f (x) na may integer coefficients, kung gayon ang f (k) ay nahahati sa l-km para sa anumang integer k, sa kondisyon na l-km?0.

Upang patunayan ang teorama na ito, hatiin ang f (x) sa x-k na may natitira. Nakukuha namin ang f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Dahil ang f (x) ay isang polynomial na may integer coefficients, gayundin ang polynomial s (x), at ang f (k) ay isang integer. Hayaan ang (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Pagkatapos f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Ilagay natin ang x=l/m sa pagkakapantay-pantay na ito. Isinasaalang-alang na f (l/m) =0, nakukuha natin

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

I-multiply natin ang magkabilang panig ng huling pagkakapantay-pantay sa mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Kasunod nito na ang integer mnf (k) ay nahahati sa l-km. Ngunit dahil ang l at m ay coprime, ang mn at l-km ay coprime din, na nangangahulugang ang f (k) ay nahahati ng l-km. Ang teorama ay napatunayan.

Bumalik tayo ngayon sa ating halimbawa at, gamit ang napatunayang teorama, lalo nating paliitin ang bilog ng mga paghahanap para sa mga makatwirang ugat. Ilapat natin ang theorem na ito para sa k=1 at k=-1, i.e. kung ang irreducible fraction l/m ay ang ugat ng polynomial f (x), kung gayon ang f (1) / (l-m), at f (-1) / (l+m). Madali nating makita na sa ating kaso f (1) = -5, at f (-1) = -15. Tandaan na kasabay nito ay hindi namin isinama ang ±1 mula sa pagsasaalang-alang.

Kaya, ang mga makatwirang ugat ng ating polynomial ay dapat hanapin sa mga numerong ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Isaalang-alang ang l/m=1/2. Pagkatapos l-m=-1 at f (1) =-5 ay hinati sa numerong ito. Dagdag pa, ang l+m=3 at f (1) =-15 ay nahahati din sa 3. Nangangahulugan ito na ang fraction na 1/2 ay nananatili sa mga "kandidato" para sa mga ugat.

Hayaan ngayon lm=- (1/2) = (-1) /2. Sa kasong ito, ang l-m=-3 at f (1) =-5 ay hindi mahahati ng - 3. Nangangahulugan ito na ang fraction - 1/2 ay hindi maaaring maging ugat ng polynomial na ito, at hindi namin ito isasama sa karagdagang pagsasaalang-alang. Suriin natin ang bawat isa sa mga fraction na nakasulat sa itaas at hanapin na ang mga kinakailangang ugat ay kabilang sa mga numerong 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Kaya, gamit ang isang medyo simpleng pamamaraan, makabuluhang pinaliit namin ang lugar ng paghahanap para sa mga makatwirang ugat ng polynomial na isinasaalang-alang. Well, para suriin ang natitirang mga numero, gagamitin namin ang scheme ni Horner:

Talahanayan 10

Nalaman namin na ang natitira kapag hinahati ang g (x) sa x-2/3 ay katumbas ng - 80/9, ibig sabihin, ang 2/3 ay hindi ugat ng polynomial g (x), at samakatuwid ay hindi rin f (x).

Susunod, madali nating makita na - 2/3 ang ugat ng polynomial g (x) at g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Pagkatapos f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Ang karagdagang pagpapatunay ay maaaring isagawa para sa polynomial x2+2x-4, na, siyempre, ay mas simple kaysa para sa g (x) o higit pa para sa f (x). Bilang resulta, nalaman namin na ang mga numero 2 at - 4 ay hindi mga ugat.

Kaya, ang polynomial f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 ay may dalawang rasyonal na ugat: 1/2 at - 2/3.

Alalahanin na ang pamamaraang inilarawan sa itaas ay ginagawang posible na makahanap lamang ng mga makatwirang ugat ng isang polynomial na may integer coefficients. Samantala, ang isang polynomial ay maaari ding magkaroon ng hindi makatwiran na mga ugat. Kaya, halimbawa, ang polynomial na isinasaalang-alang sa halimbawa ay may dalawa pang ugat: - 1±v5 (ito ang mga ugat ng polynomial x2+2x-4). At, sa pangkalahatan, ang isang polynomial ay maaaring walang makatwirang mga ugat.

Ngayon magbigay tayo ng ilang mga tip.

Kapag sinusuri ang "mga kandidato" para sa mga ugat ng polynomial f (x) gamit ang pangalawa sa mga theorems na pinatunayan sa itaas, ang huli ay karaniwang ginagamit para sa mga kaso k=±1. Sa madaling salita, kung ang l/m ay isang "kandidato" na ugat, suriin kung ang f (1) at f (-1) ay nahahati sa l-m at l+m, ayon sa pagkakabanggit. Ngunit maaaring mangyari na, halimbawa, ang f (1) = 0, ibig sabihin, ang 1 ay isang ugat, at pagkatapos ay ang f (1) ay nahahati sa anumang numero, at ang aming tseke ay nagiging walang kahulugan. Sa kasong ito, dapat mong hatiin ang f (x) sa x-1, i.e. kumuha ng f(x) = (x-1)s(x), at subukan ang polynomial na s(x). Kasabay nito, hindi natin dapat kalimutan na natagpuan na natin ang isang ugat ng polynomial f (x) - x1=1. Kung, kapag sinusuri ang "mga kandidato" para sa mga ugat na natitira pagkatapos gamitin ang pangalawang teorem sa mga nakapangangatwiran na mga ugat, gamit ang pamamaraan ni Horner nalaman namin na, halimbawa, ang l / m ay isang ugat, kung gayon ang multiplicity nito ay dapat matagpuan. Kung ito ay katumbas ng, sabihin nating, k, kung gayon ang f (x) = (x-l/m) ks (x), at ang karagdagang pagsubok ay maaaring gawin para sa s (x), na binabawasan ang mga kalkulasyon.

Kaya, natutunan nating maghanap ng mga makatwirang ugat ng isang polynomial na may mga coefficient ng integer. Lumalabas na sa paggawa nito natutunan nating hanapin ang hindi makatwirang mga ugat ng isang polynomial na may rational coefficients. Sa katunayan, kung mayroon tayong, halimbawa, isang polynomial f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, kung gayon, dinadala ang mga coefficient sa isang common denominator at ilalabas ito sa mga bracket, makuha ang f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Malinaw na ang mga ugat ng polynomial f (x) ay nag-tutugma sa mga ugat ng polynomial sa mga panaklong, at ang mga coefficient nito ay mga integer. Patunayan natin, halimbawa, na ang sin100 ay isang hindi makatwirang numero. Gamitin natin ang kilalang formula sin3?=3sin?-4sin3?. Kaya sin300=3sin100-4sin3100. Isinasaalang-alang na ang sin300=0.5 at pagsasagawa ng mga simpleng pagbabagong-anyo, makakakuha tayo ng 8sin3100-6sin100+1=0. Samakatuwid, ang sin100 ay ang ugat ng polynomial f (x) =8x3-6x+1. Kung hahanapin natin ang mga makatwirang ugat ng polynomial na ito, tayo ay kumbinsido na wala. Nangangahulugan ito na ang root sin100 ay hindi isang rational number, i.e. Ang sin100 ay isang hindi makatwirang numero.

Ang tanong ng paghahanap ng mga makatwirang ugat ng isang polynomial f(x)Q[x] (na may rational coefficients) ay bumababa sa tanong ng paghahanap ng mga rational roots ng polynomials k ∙ f(x)Z[x] (na may mga integer coefficient). Narito ang numero k ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient ng isang binigay na polynomial.

Ang kailangan ngunit hindi sapat na mga kundisyon para sa pagkakaroon ng mga makatwirang ugat ng isang polynomial na may mga integer coefficient ay ibinibigay ng sumusunod na theorem.

Theorem 6.1 (sa rational roots ng isang polynomial na may integer coefficients). Kung – makatwirang ugat ng isang polynomialf(x) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 Sa buo coefficients, at(p, q) = 1, pagkatapos ay ang numerator ng fractionpay isang divisor ng libreng termino a 0 , at ang denominatorqay isang divisor ng nangungunang koepisyent a 0 .

Teorama 6.2.Kung Q ( saan (p, q) = 1) ay ang makatwirang ugat ng polynomial f(x) na may mga integer coefficients, kung gayon
–buong numero.

Halimbawa. Hanapin ang lahat ng makatwirang ugat ng polynomial

f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.

1. Sa pamamagitan ng Theorem 6.1: kung – makatwirang ugat ng isang polynomial f(x), ( saan( p, q) = 1), yun a 0 = 1 p, a n = 6 q. kaya lang p { 1}, q (1, 2, 3, 6), na nangangahulugang

.

2. Alam na (Corollary 5.3) ang bilang A ay ang ugat ng polynomial f(x) kung at kung lamang f(x) hinati ng ( x – a).

Samakatuwid, upang suriin kung ang mga numero 1 at –1 ay mga ugat ng isang polynomial f(x) maaari mong gamitin ang scheme ni Horner:

f(1) = 60,f(–1) = 120, kaya ang 1 at –1 ay hindi mga ugat ng polynomial f(x).

3. Upang alisin ang ilan sa mga natitirang numero
, gamitin natin ang Theorem 6.2. Kung expression o
tumatanggap ng mga halaga ng integer para sa kaukulang mga halaga ng numerator p at denominador q, pagkatapos ay sa kaukulang mga cell ng talahanayan (tingnan sa ibaba) isusulat namin ang titik na "ts", kung hindi - "dr".

4. Gamit ang scheme ni Horner, tinitingnan namin kung magiging ang mga numerong natitira pagkatapos ng pagsasala
mga ugat f(x). Hatiin muna natin f(x) sa ( X – ).

Bilang resulta mayroon kaming: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) at – ugat f(x). Pribado q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - hatiin ang 2 sa ( X + ).

kasi q (–) = 30, kung gayon ang (–) ay hindi ugat ng polynomial q(x), at samakatuwid ay ang polynomial f(x).

Sa wakas, hinati namin ang polynomial q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 sa ( X – ).

Nakakuha: q () = 0, ibig sabihin – ugat q(x), at samakatuwid ay ang ugat f (x). Kaya ang polynomial f (x) ay may dalawang makatwirang ugat: at.

Paglaya mula sa algebraic irrationality sa denominator ng isang fraction

Sa kurso ng paaralan, kapag nilulutas ang ilang mga uri ng mga problema upang mapupuksa ang irrationality sa denominator ng isang fraction, sapat na upang i-multiply ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng numero na conjugate sa denominator.

Mga halimbawa. 1.t =
.

Dito gumagana ang pinaikling pormula ng multiplikasyon (pagkakaiba ng mga parisukat) sa denominator, na nagpapahintulot sa iyo na palayain ang iyong sarili mula sa irrationality sa denominator.

2. Palayain ang iyong sarili mula sa irrationality sa denominator ng fraction

t =
. Expression – hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga numero A=
At b= 1. Gamit ang pinaikling multiplication formula A 3 – b 3 = (isang +b) · ( a 2 – ab + b 2 ), matutukoy natin ang multiplier m = (isang +b) =
+ 1, kung saan dapat i-multiply ang numerator at denominator ng fraction t upang maalis ang irrationality sa denominator ng fraction t. kaya,

Sa mga sitwasyon kung saan hindi gumagana ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami, maaaring gumamit ng ibang mga diskarte. Sa ibaba ay bubuo kami ng isang teorama, ang patunay kung saan, sa partikular, ay nagbibigay-daan sa amin upang makahanap ng isang algorithm para sa pag-alis ng irrationality sa denominator ng isang fraction sa mas kumplikadong mga sitwasyon.

Kahulugan 6.1. Numero z tinawag algebraic sa ibabaw ng field F, kung mayroong polynomial f(x) F[x], na ang ugat ay z, kung hindi man ang numero z tinawag transendental sa ibabaw ng laranganF.

Kahulugan 6.2.Degree ng algebraic sa ibabaw ng field F numero z ay tinatawag na antas ng isang hindi mababawasan sa isang larangan F polinomyal p(x)F[x], na ang ugat ay ang numero z.

Halimbawa. Ipakita natin na ang bilang na z =
ay algebraic sa ibabaw ng field Q at hanapin ang antas nito.

Maghanap tayo ng hindi mababawasan sa larangan Q polinomyal p(X), na ang ugat ay x =
. Itaas natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay x =
sa ikaapat na kapangyarihan, nakukuha namin X 4 = 2 o X 4 – 2 = 0. Kaya, p(X) = X 4 – 2, at ang kapangyarihan ng numero z katumbas ng deg p(X) = 4.

Teorama 6.3 (sa pagpapalaya mula sa algebraic irrationality sa denominator ng isang fraction).Hayaanz– algebraic na numero sa ibabaw ng isang fieldFdegreesn. Pagpapahayag ng anyot = ,saan f(x), (x)F[x], (z) 0

maaari lamang irepresenta sa anyo:

t = Sa n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Ipapakita namin ang algorithm para sa pag-alis ng irrationality sa denominator ng isang fraction gamit ang isang partikular na halimbawa.

Halimbawa. Palayain ang iyong sarili mula sa irrationality sa denominator ng isang fraction:

t =

1. Ang denominator ng fraction ay ang halaga ng polynomial (X) = X 2 – X+1 kung kailan X =
. Ang nakaraang halimbawa ay nagpapakita na
– algebraic na numero sa ibabaw ng isang field Q degree 4, dahil ito ang ugat ng irreducible over Q polinomyal p(X) = X 4 – 2.

2. Hanapin natin ang linear expansion ng GCD ( (X), p(x)) gamit ang Euclidean algorithm.

_x 4 – 2 | x 2 –x + 1

x 4 –x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 –x 2 – 2

x 3 –x 2 + x

x 2 –x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Kaya, GCD ( (X), p(x)) = r 2 = 7. Hanapin natin ang linear expansion nito.

Isulat natin ang Euclidean sequence gamit ang polynomial notation.

p(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =p(x) – (x) · q 1 (x)

(x) = r 1 (x) · q 2 (x) + r 2 (x)
r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x)

r 1 (x) = r 2 (x) · q 2 (x).

Ipalit natin ang 7= sa pagkakapantay-pantay r 2 (x) = (x) – r 1 (x) · q 2 (x) natitirang halaga r 1 (x) = p(x) – (x) · q 1 (x), pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo ay nakakakuha tayo ng linear expansion ng GCD( (X), p(x)): 7 = p(x) · (– q 2 (x)) + (x) · . Kung papalitan natin ang mga kaukulang polynomial sa huling pagkakapantay-pantay sa halip na mga notasyon at isasaalang-alang iyon p(
) = 0, pagkatapos ay mayroon kaming:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. Mula sa pagkakapantay-pantay (1) sumusunod na kung ang denominator ng fraction t multiply sa numero m= , pagkatapos ay makakakuha tayo ng 7. Kaya,

t =
=.

PARAAN 16. Paksa ng aralin: Pamantayang anyo ng isang polynomial

Uri ng aralin: pagsubok ng aralin at pagsubaybay sa kaalaman at kasanayan

Mga layunin ng aralin:

Subukan ang iyong kakayahang bawasan ang isang polynomial sa karaniwang anyo

Paunlarin ang lohikal na pag-iisip at atensyon ng mga mag-aaral

Itaguyod ang kalayaan

Istraktura ng aralin:

Oras ng pag-aayos

Briefing

Pansariling gawain.

1. Kumpletuhin ang mga pangungusap:

a) Ang isang expression na naglalaman ng kabuuan ng mga monomial ay tinatawag na ... (polynomial).

b) Ang isang polynomial na binubuo ng mga karaniwang monomial at hindi naglalaman ng mga katulad na termino ay tinatawag na ... (standard polynomial).

c) Ang pinakadakilang kapangyarihan ng mga monomial na kasama sa isang polynomial ng karaniwang anyo ay tinatawag na ... (ang antas ng polynomial).

d) Bago matukoy ang antas ng isang polynomial, kailangan mong... (dalhin ito sa karaniwang anyo).

e) Upang mahanap ang halaga ng isang polynomial, kailangan mong gawin ang una... (ipakita ang polynomial sa karaniwang anyo), ang pangalawa... (palitan ang halaga ng variable sa expression na ito).

2. Hanapin ang halaga ng polynomial:

A) 2 a 4 - ab+2 b 2 sa a=-1, b=-0,5

b) x 2 +2 xy+ y 2 sa x=1,2, y=-1,2

3. Bawasan ang polynomial sa karaniwang anyo:

A) -5ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4ah 2 – 8a 2 X;

b) (5x 2 – 7x – 13) – (3x 2 – 8x + 17);

V) 2a – (1.4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6.4av);

G) (2s 2 – 1.6s + 4) – ((10.6s 2 + 4.4s – 0.3) – (3.6s 2 – 7s – 0.7));

4. Dalhin ang polynomial sa karaniwang anyo at alamin kung anong mga halaga X ang halaga nito ay 1:

A) 2 x 2 -3 x- x 2 -5+2 x- x 2 +10;

b) 0,3 x 3 - x 2 + x- x 3 +3 x 2 +0,7 x 3 -2 x 2 +0,07

Numero ng tiket 17.Divisibility ng integers

Kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, madalas na kinakailangang i-factor ang isang polynomial na ang degree ay tatlo o mas mataas. Sa artikulong ito ay titingnan natin ang pinakamadaling paraan upang gawin ito.

Gaya ng dati, buksan natin ang teorya para sa tulong.

Ang teorama ni Bezout nagsasaad na ang natitira kapag hinahati ang isang polynomial sa isang binomial ay .

Ngunit kung ano ang mahalaga para sa amin ay hindi ang teorama mismo, ngunit bunga nito:

Kung ang numero ay ang ugat ng isang polynomial, kung gayon ang polynomial ay mahahati ng binomial na walang natitira.

Kami ay nahaharap sa gawain ng paghahanap ng hindi bababa sa isang ugat ng polynomial, pagkatapos ay hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , kung saan ang ugat ng polynomial. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng polynomial na ang antas ay mas mababa ng isa kaysa sa antas ng orihinal. At pagkatapos, kung kinakailangan, maaari mong ulitin ang proseso.

Ang gawaing ito ay nahahati sa dalawa: kung paano hanapin ang ugat ng isang polynomial, at kung paano hatiin ang isang polynomial sa isang binomial.

Tingnan natin ang mga puntong ito.

1. Paano hanapin ang ugat ng isang polynomial.

Una, suriin natin kung ang mga numero 1 at -1 ay mga ugat ng polynomial.

Ang mga sumusunod na katotohanan ay makakatulong sa atin dito:

Kung ang kabuuan ng lahat ng mga coefficient ng isang polynomial ay zero, kung gayon ang numero ay ang ugat ng polynomial.

Halimbawa, sa isang polynomial ang kabuuan ng mga coefficient ay zero: . Madaling suriin kung ano ang ugat ng isang polynomial.

Kung ang kabuuan ng mga coefficient ng isang polynomial sa even na kapangyarihan ay katumbas ng kabuuan ng mga coefficient sa kakaibang kapangyarihan, kung gayon ang numero ay ang ugat ng polynomial. Ang libreng termino ay itinuturing na isang koepisyent para sa pantay na antas, dahil ang , a ay isang even na numero.

Halimbawa, sa isang polynomial ang kabuuan ng mga coefficient para sa kahit na kapangyarihan ay: , at ang kabuuan ng mga coefficient para sa mga kakaibang kapangyarihan ay: . Madaling suriin kung ano ang ugat ng isang polynomial.

Kung hindi 1 o -1 ang mga ugat ng polynomial, pagkatapos ay magpatuloy tayo.

Para sa isang pinababang polynomial ng degree (iyon ay, isang polynomial kung saan ang nangungunang coefficient - ang coefficient sa - ay katumbas ng pagkakaisa), ang Vieta formula ay wasto:

Nasaan ang mga ugat ng polynomial.

Mayroon ding mga pormula ng Vieta hinggil sa natitirang mga coefficient ng polynomial, ngunit interesado kami sa isang ito.

Mula sa Vieta formula na ito ay sinusundan iyon kung ang mga ugat ng isang polynomial ay mga integer, kung gayon sila ay mga divisors ng libreng termino nito, na isa ring integer.

Batay sa mga ito, kailangan nating i-factor ang libreng termino ng polynomial sa mga salik, at sunud-sunod, mula sa pinakamaliit hanggang sa pinakamalaki, suriin kung alin sa mga salik ang ugat ng polynomial.

Isaalang-alang, halimbawa, ang polynomial

Mga divisors ng libreng termino: ; ; ;

Ang kabuuan ng lahat ng mga coefficient ng isang polynomial ay katumbas ng , samakatuwid, ang numero 1 ay hindi ang ugat ng polynomial.

Kabuuan ng mga coefficient para sa kahit na kapangyarihan:

Kabuuan ng mga coefficient para sa mga kakaibang kapangyarihan:

Samakatuwid, ang bilang -1 ay hindi rin ugat ng polynomial.

Suriin natin kung ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial: samakatuwid, ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial. Nangangahulugan ito, ayon sa teorem ni Bezout, ang polynomial ay nahahati sa isang binomial na walang natitira.

2. Paano hatiin ang isang polynomial sa isang binomial.

Ang isang polynomial ay maaaring hatiin sa isang binomial sa pamamagitan ng isang hanay.

Hatiin ang polynomial sa isang binomial gamit ang isang column:

May isa pang paraan upang hatiin ang isang polynomial sa isang binomial - ang pamamaraan ni Horner.

Panoorin ang video na ito upang maunawaan kung paano hatiin ang polynomial sa isang binomial na may column, at gamit ang diagram ni Horner.

Pansinin ko na kung, kapag naghahati sa isang hanay, ang ilang antas ng hindi alam ay nawawala sa orihinal na polynomial, isinusulat namin ang 0 sa lugar nito - sa parehong paraan tulad ng pag-compile ng isang talahanayan para sa scheme ni Horner.

Kaya, kung kailangan nating hatiin ang isang polynomial sa isang binomial at bilang isang resulta ng dibisyon ay nakakakuha tayo ng isang polynomial, pagkatapos ay mahahanap natin ang mga coefficient ng polynomial gamit ang scheme ng Horner:

Magagamit din natin Horner scheme upang masuri kung ang isang ibinigay na numero ay ang ugat ng isang polynomial: kung ang numero ay ang ugat ng isang polynomial, kung gayon ang natitira kapag hinahati ang polynomial sa ay katumbas ng zero, iyon ay, sa huling hanay ng ikalawang hanay ng Ang diagram ni Horner ay nakakuha tayo ng 0.

Gamit ang scheme ni Horner, "pumapatay tayo ng dalawang ibon gamit ang isang bato": sabay-sabay nating sinusuri kung ang numero ay ugat ng isang polynomial at hinahati ang polynomial na ito sa isang binomial.

Halimbawa. Lutasin ang equation:

1. Isulat natin ang mga divisors ng free term at hanapin ang mga ugat ng polynomial sa mga divisors ng free term.

Mga divisors ng 24:

2. Suriin natin kung ang numero 1 ang ugat ng polynomial.

Ang kabuuan ng mga coefficient ng isang polynomial, samakatuwid, ang numero 1 ay ang ugat ng polynomial.

3. Hatiin ang orihinal na polynomial sa isang binomial gamit ang scheme ni Horner.

A) Isulat natin ang mga coefficient ng orihinal na polynomial sa unang hilera ng talahanayan.

Dahil nawawala ang naglalaman ng termino, sa hanay ng talahanayan kung saan dapat isulat ang koepisyent ay isusulat namin ang 0. Sa kaliwa ay isinusulat namin ang natagpuang ugat: ang numero 1.

B) Punan ang unang hilera ng talahanayan.

Sa huling column, tulad ng inaasahan, nakakuha kami ng zero; hinati namin ang orihinal na polynomial sa isang binomial na walang natitira. Ang mga coefficient ng polynomial na nagreresulta mula sa paghahati ay ipinapakita sa asul sa pangalawang hilera ng talahanayan:

Madaling suriin na ang mga numero 1 at -1 ay hindi mga ugat ng polynomial

B) Ipagpatuloy natin ang talahanayan. Suriin natin kung ang numero 2 ay ang ugat ng polynomial:

Kaya ang antas ng polynomial, na nakuha bilang resulta ng paghahati ng isa, ay mas mababa kaysa sa antas ng orihinal na polynomial, samakatuwid, ang bilang ng mga coefficient at ang bilang ng mga haligi ay mas mababa ng isa.

Sa huling hanay nakuha namin -40 - isang numero na hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang polynomial ay nahahati sa isang binomial na may natitira, at ang numero 2 ay hindi ang ugat ng polynomial.

C) Suriin natin kung ang numero -2 ay ang ugat ng polynomial. Dahil nabigo ang nakaraang pagtatangka, upang maiwasan ang pagkalito sa mga coefficient, tatanggalin ko ang linyang naaayon sa pagtatangkang ito:

Malaki! Nakuha namin ang zero bilang isang natitira, samakatuwid, ang polynomial ay nahahati sa isang binomial na walang nalalabi, samakatuwid, ang numero -2 ay ang ugat ng polynomial. Ang mga coefficient ng polynomial na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa isang binomial ay ipinapakita sa berde sa talahanayan.

Bilang resulta ng paghahati nakakakuha tayo ng quadratic trinomial , na ang mga ugat ay madaling mahanap gamit ang teorama ni Vieta:

Kaya, ang mga ugat ng orihinal na equation ay:

{}

Sagot: ( }

Hayaan

- polynomial ng degree n ≥ 1 ng isang real o complex variable z na may real o complex coefficients a i. Tanggapin natin ang sumusunod na teorama nang walang patunay.

Teorama 1

Equation Pn (z) = 0 may hindi bababa sa isang ugat.

Patunayan natin ang sumusunod na lemma.

Lemma 1

Hayaan ni Pn (z)- polynomial ng degree n, z 1 - ugat ng equation:
P n (z 1) = 0.
Pagkatapos P n (z) ay maaaring katawanin sa tanging paraan sa anyo:
P n (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
kung saan Pn- 1(z)- polynomial ng degree n - 1 .

Patunay

Upang patunayan ito, inilalapat namin ang teorama (tingnan ang Dibisyon at pagpaparami ng isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng isang sulok at isang haligi), ayon sa kung saan para sa anumang dalawang polynomial P n (z) at Qk (z), degrees n at k, na may n ≥ k, mayroong isang natatanging representasyon sa anyo:
P n (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
kung saan P n-k (z)- polynomial ng degree n-k, U k- 1(z)- polynomial ng degree na hindi mas mataas sa k- 1 .

Ilagay natin ang k = 1 , Q k (z) = z - z 1, Pagkatapos
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c,
kung saan ang c ay isang pare-pareho. Palitan natin ang z = z dito 1 at isaalang-alang na ang P n (z 1) = 0:
P n (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Samakatuwid c = 0 . Pagkatapos
Pn,
Q.E.D.

Pag-factor ng isang Polynomial

Kaya, batay sa Theorem 1, ang polynomial P n (z) may hindi bababa sa isang ugat. Tukuyin natin ito bilang z 1 ,Pn (z 1) = 0. Pagkatapos, batay sa Lemma 1:
P n (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z).
Dagdag pa, kung n > 1 , pagkatapos ay ang polynomial P n- 1(z) mayroon ding hindi bababa sa isang ugat, na tinutukoy namin bilang z 2 ,Pn- 1 (z 2) = 0. Pagkatapos
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z);
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z).

Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakarating kami sa konklusyon na mayroong n mga numero z 1 , z 2 , ... , z n ganyan
P n (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z).
Ngunit si P 0(z)- ito ay isang pare-pareho. Ang equating ng mga coefficient para sa z n, nakita namin na ito ay katumbas ng isang n. Bilang resulta, nakukuha namin ang formula para sa factoring ng isang polynomial:
(1) P n (z) = a n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ).

Ang mga numerong z i ay ang mga ugat ng polynomial na P n (z).

Sa pangkalahatan, hindi lahat ng z i kasama sa (1) , ay magkaiba. Kabilang sa mga ito ay maaaring may parehong mga halaga. Pagkatapos ay i-factor ang polynomial (1) maaaring isulat bilang:
(2) P n (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Dito z i ≠ z j para sa i ≠ j. Kung n i = 1 , Iyon ugat z i tinatawag na simple. Pumapasok ito sa factorization sa form (z-z i). Kung n i > 1 , Iyon ugat z i tinatawag na multiple root of multiplicity n i. Ito ay pumapasok sa factorization bilang isang produkto ng n i prime factor: (z-z i )(z-z i ) ... (z-z i ) = (z-z i ) n i.

Mga polynomial na may tunay na coefficient

Lemma 2

Kung ay isang kumplikadong ugat ng isang polynomial na may tunay na coefficients, , kung gayon ang kumplikadong conjugate number ay isang ugat din ng polynomial, .

Patunay

Sa katunayan, kung , at ang mga coefficient ng polynomial ay tunay na mga numero, kung gayon .

Kaya, ang mga kumplikadong ugat ay pumapasok sa factorization nang pares sa kanilang mga kumplikadong conjugate na halaga:
,
kung saan , ay tunay na mga numero.
Tapos yung decomposition (2) ang isang polynomial na may totoong coefficients sa mga salik ay maaaring katawanin sa isang anyo kung saan ang mga tunay na constant lamang ang naroroon:
(3) ;
.

Mga pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial

Isinasaalang-alang ang nasa itaas, upang mai-factor ang isang polynomial, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation P n (z) = 0 at matukoy ang kanilang multiplicity. Ang mga salik na may kumplikadong mga ugat ay dapat igrupo sa mga kumplikadong conjugates. Pagkatapos ang pagpapalawak ay tinutukoy ng formula (3) .

Kaya, ang pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial ay ang mga sumusunod:
1. Paghahanap ng ugat z 1 equation Pn (z 1) = 0.
2.1. Kung ang ugat z 1 tunay, pagkatapos ay idinagdag namin ang kadahilanan sa pagpapalawak (z - z 1) (z - z 1) 1 :
.
1(z), simula sa punto (1) hanggang sa matagpuan natin ang lahat ng ugat.
2.2. Kung ang ugat ay kumplikado, kung gayon ang kumplikadong conjugate number ay ang ugat din ng polynomial. Pagkatapos ay kasama sa pagpapalawak ang kadahilanan

,
saan b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Sa kasong ito, idinaragdag namin ang kadahilanan sa pagpapalawak (z 2 + b 1 z + c 1) at hatiin ang polynomial P n (z) sa (z 2 + b 1 z + c 1). Bilang resulta, nakakakuha tayo ng polynomial ng degree n - 2 :
.
Susunod na ulitin namin ang proseso para sa polynomial P n- 2(z), simula sa punto (1) hanggang sa matagpuan natin ang lahat ng ugat.

Paghahanap ng mga ugat ng isang polynomial

Ang pangunahing gawain kapag ang pag-factor ng isang polynomial ay upang mahanap ang mga ugat nito. Sa kasamaang palad, hindi ito palaging magagawa nang analytical. Dito ay titingnan natin ang ilang mga kaso kung kailan mo mahahanap ang mga ugat ng isang polynomial analytically.

Mga ugat ng isang polynomial ng unang antas

Ang first degree polynomial ay isang linear function. Ito ay may isang ugat. Ang pagpapalawak ay may isang salik lamang na naglalaman ng variable na z:
.

Mga ugat ng isang polynomial ng ikalawang antas

Upang mahanap ang mga ugat ng isang polynomial ng pangalawang degree, kailangan mong lutasin ang quadratic equation:
P 2 (z) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0.
Kung ang discriminant ay , kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
, .
Pagkatapos ang factorization ay may anyo:
.
Kung may diskriminasyon D = 0 , pagkatapos ang equation ay may isang double root:
;
.
Kung may diskriminasyon D< 0 , kung gayon ang mga ugat ng equation ay kumplikado,
.

Mga polynomial ng degree na mas mataas sa dalawa

May mga pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng polynomial ng ika-3 at ika-4 na digri. Gayunpaman, ang mga ito ay bihirang ginagamit dahil sila ay napakalaki. Walang mga formula para sa paghahanap ng mga ugat ng polynomial na may degree na mas mataas sa ika-4. Sa kabila nito, sa ilang mga kaso posible na i-factor ang polynomial.

Paghahanap ng buong ugat

Kung alam na ang isang polynomial na ang mga coefficient ay mga integer ay may integer na ugat, kung gayon ito ay mahahanap sa pamamagitan ng paghahanap sa lahat ng posibleng mga halaga.

Lemma 3

Hayaan ang polynomial
,
ang mga coefficients a i kung saan ay mga integer, ay may integer root z 1 . Kung gayon ang ugat na ito ay isang divisor ng numero a 0 .

Patunay

Isulat muli natin ang equation na P n (z 1) = 0 bilang:
.
Pagkatapos ang kabuuan
M z 1 = - a 0.
Hatiin sa z 1 :
.
Dahil ang M ay isang integer, kung gayon ang M ay isang integer. Q.E.D.

Samakatuwid, kung ang mga coefficient ng polynomial ay mga integer, maaari mong subukang hanapin ang mga integer na ugat. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga divisors ng libreng termino a 0 at, sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation na P n (z) = 0, suriin kung ang mga ito ay mga ugat ng equation na ito.
Tandaan. Kung ang mga coefficient ng polynomial ay mga rational na numero, pagkatapos ay i-multiply ang equation P n (z) = 0 sa pamamagitan ng karaniwang denominator ng mga numerong a i , nakakakuha tayo ng equation para sa isang polynomial na may integer coefficients.

Paghahanap ng mga makatwirang ugat

Kung ang mga coefficient ng polynomial ay mga integer at walang mga integer na ugat, kung gayon para sa isang n ≠ 1 , maaari mong subukang maghanap ng mga makatwirang ugat. Upang gawin ito kailangan mong gumawa ng isang pagpapalit
z = y/a n
at i-multiply ang equation sa isang n n- 1 . Bilang resulta, nakakakuha tayo ng equation para sa isang polynomial sa variable y na may mga integer coefficients. Susunod, hinahanap natin ang mga integer na ugat ng polynomial na ito sa mga divisors ng free term. Kung nahanap natin ang ganoong ugat na y i, pagkatapos ay dumaan sa variable na x, nakakakuha tayo ng rational root
z i = y i /a n .

Mga kapaki-pakinabang na formula

Nagpapakita kami ng mga formula na maaaring magamit upang i-factor ang isang polynomial.

Sa pangkalahatan, upang palawakin ang isang polynomial
P n (z) = z n - a 0,
saan a 0 - kumplikado, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga ugat nito, iyon ay, lutasin ang equation:
z n = a 0 .
Ang equation na ito ay madaling malutas sa pamamagitan ng pagpapahayag ng a 0 sa pamamagitan ng modulus r at argumento φ:
.
Dahil a 0 hindi magbabago kung magdadagdag tayo sa argumento 2π, pagkatapos ay isipin a 0 bilang:
,
kung saan ang k ay isang integer. Pagkatapos
;
.
Pagtatalaga ng k ang mga halaga k = 0, 1, 2, ... n-1, nakakakuha tayo ng n mga ugat ng polynomial. Pagkatapos ang factorization nito ay may anyo:
.

Biquadratic polynomial

Isaalang-alang ang biquadratic polynomial:
.
Ang isang biquadratic polynomial ay maaaring i-factorize nang hindi nahahanap ang mga ugat.

Kapag , mayroon tayong:

,
saan .

Bicubic at quadratic polynomials

Isaalang-alang ang polynomial:
.
Ang mga ugat nito ay tinutukoy mula sa equation:
.
Ito ay binabawasan sa isang quadratic equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = z n:
a 2 n t 2 + a n t + a 0 = 0.
Ang pagkakaroon ng malutas ang equation na ito, nakita namin ang mga ugat nito, t 1 , t 2 . Pagkatapos ay nakita namin ang pagpapalawak sa form:
.
Susunod, gamit ang pamamaraan na ipinahiwatig sa itaas, pina-factor namin ang z n - t 1 at z n - t 2 . Sa wakas, pinagsama namin ang mga kadahilanan na naglalaman ng mga kumplikadong conjugate na ugat.

Mga paulit-ulit na polynomial

Ang polynomial ay tinatawag maibabalik, kung ang mga coefficient nito ay simetriko:

Isang halimbawa ng isang reflexive polynomial:
.

Kung ang antas ng isang reflexive polynomial n ay kakaiba, kung gayon ang naturang polynomial ay may ugat z = -1 . Ang paghahati ng naturang polynomial sa z + 1 , nakakakuha tayo ng paulit-ulit na polynomial ng degree