Binigyan ng tamang pabilog na kono na may vertex. Aralin "Dami ng isang kono"

V silindro = S pangunahing. ∙h

Halimbawa 2. Ibinigay ang tamang pabilog na kono ABC, equilateral, BO = 10. Hanapin ang volume ng kono.

Solusyon

Hanapin natin ang radius ng base ng kono. C=60 0, B=30 0,

Hayaan ang OS = A, pagkatapos ay BC = 2 A. Ayon sa Pythagorean theorem:

Sagot: .

Halimbawa 3. Kalkulahin ang mga volume ng mga figure na nabuo sa pamamagitan ng umiikot na mga lugar na nakatali sa mga ipinahiwatig na linya.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Mga limitasyon ng pagsasama a = 0, b = 4.

V= | =32π

Mga gawain

Opsyon 1

1. Ang seksyon ng axial ng silindro ay isang parisukat, ang dayagonal nito ay 4 dm. Hanapin ang volume ng silindro.

2. Ang panlabas na diameter ng isang guwang na bola ay 18 cm, ang kapal ng mga dingding ay 3 cm. Hanapin ang dami ng mga dingding ng bola.

X figure na nililimitahan ng mga linyang y 2 = x, y = 0, x = 1, x = 2.

Opsyon 2

1. Ang radii ng tatlong bola ay 6 cm, 8 cm, 10 cm Tukuyin ang radius ng bola na ang volume ay katumbas ng kabuuan ng mga volume ng mga bolang ito.

2. Ang base area ng cone ay 9 cm 2, ang kabuuang surface area nito ay 24 cm 2. Hanapin ang volume ng kono.

3. Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng O axis X isang figure na nililimitahan ng mga linyang y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4.

Mga tanong sa pagkontrol:

1. Isulat ang mga katangian ng mga volume ng katawan.

2. Sumulat ng pormula upang makalkula ang volume ng katawan ng rebolusyon sa paligid ng Oy axis.

TEXT TRANSCRIPT NG ARALIN:

Patuloy naming pinag-aaralan ang seksyon ng stereometry na "Bodies of Rotation".

Ang mga katawan ng pag-ikot ay kinabibilangan ng: mga silindro, cones, bola.

Tandaan natin ang mga kahulugan.

Ang taas ay ang distansya mula sa tuktok ng isang pigura o katawan hanggang sa base ng pigura (katawan). Kung hindi, isang segment na nagkokonekta sa tuktok at base ng figure at patayo dito.

Tandaan, upang mahanap ang lugar ng isang bilog kailangan mong i-multiply ang pi sa parisukat ng radius.

Ang lugar ng bilog ay pantay.

Tandaan natin kung paano hanapin ang lugar ng isang bilog na alam ang diameter? kasi

Ilagay natin ito sa formula:

Ang isang kono ay isang katawan din ng pag-ikot.

Ang isang kono (mas tiyak, isang pabilog na kono) ay isang katawan na binubuo ng isang bilog - ang base ng kono, isang punto na hindi nakahiga sa eroplano ng bilog na ito - ang tuktok ng kono at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa tuktok ng kono na may mga base point.

Kilalanin natin ang formula para sa paghahanap ng dami ng isang kono.

Teorama. Ang dami ng isang kono ay katumbas ng isang ikatlo ng produkto ng lugar ng base at taas.

Patunayan natin ang teorama na ito.

Ibinigay: kono, S - lugar ng base nito,

h - taas ng kono

Patunayan: V=

Patunay: Isaalang-alang ang isang kono na may volume V, base radius R, taas h at tuktok sa punto O.

Ipakilala natin ang Ox axis sa pamamagitan ng OM - ang axis ng cone. Ang isang arbitrary na seksyon ng isang kono sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa axis ng Ox ay isang bilog na may sentro sa punto.

M1 - ang punto ng intersection ng eroplanong ito sa axis ng Ox. Tukuyin natin ang radius ng bilog na ito sa pamamagitan ng R1, at ang cross-sectional area ng S(x), kung saan ang x ay ang abscissa ng point M1.

Mula sa pagkakapareho ng mga tamang tatsulok ОМ1A1 at ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА - mga tuwid na linya, ے MOA-pangkalahatan, na nangangahulugan na ang mga tatsulok ay magkatulad sa dalawang anggulo) ito ay sumusunod na

Ipinapakita ng figure na OM1=x, OM=h

o mula sa kung saan, sa pamamagitan ng pag-aari ng proporsyon, makikita natin ang R1 = .

Dahil ang cross-section ay isang bilog, pagkatapos ay S(x)=πR12, palitan ang nakaraang expression sa halip na R1, ang cross-sectional area ay katumbas ng ratio ng produkto ng pi er square ng square ng x sa square ng taas:

Ilapat natin ang pangunahing pormula

pagkalkula ng mga volume ng katawan, na may a=0, b=h, nakakakuha tayo ng expression (1)

Dahil ang base ng kono ay isang bilog, ang lugar S ng base ng kono ay magiging katumbas ng pi er square

sa formula para sa pagkalkula ng dami ng isang katawan, pinapalitan namin ang halaga ng pier square sa lugar ng base at nalaman na ang dami ng kono ay katumbas ng isang katlo ng produkto ng lugar ng base at taas

Ang teorama ay napatunayan.

Corollary ng theorem (formula para sa dami ng isang pinutol na kono)

Ang dami ng V ng isang pinutol na kono, ang taas nito ay h, at ang lugar ng mga base S at S1, ay kinakalkula ng formula

Ang Ve ay katumbas ng isang ikatlong palakol na pinarami ng kabuuan ng mga lugar ng mga base at ang square root ng produkto ng mga lugar ng base.

Pagtugon sa suliranin

Ang isang kanang tatsulok na may mga binti na 3 cm at 4 cm ay umiikot sa hypotenuse. Tukuyin ang dami ng nagresultang katawan.

Kapag pinaikot namin ang isang tatsulok sa paligid ng hypotenuse, nakakakuha kami ng isang kono. Kapag nilutas ang problemang ito, mahalagang maunawaan na posible ang dalawang kaso. Sa bawat isa sa kanila ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang kono: ang dami ng isang kono ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng base at ang taas.

Sa unang kaso, ang pagguhit ay magiging ganito: binigyan ng isang kono. Hayaan ang radius r = 4, taas h = 3

Ang lugar ng base ay katumbas ng π beses ang parisukat ng radius

Kung gayon ang dami ng kono ay katumbas ng isang ikatlo ng produkto ng π sa pamamagitan ng parisukat ng radius at ang taas.

Palitan natin ang halaga sa formula, lumalabas na ang dami ng kono ay 16π.

Sa pangalawang kaso, tulad nito: binigyan ng isang kono. Hayaan ang radius r = 3, taas h = 4

Ang dami ng isang kono ay katumbas ng isang katlo ng produkto ng lugar ng base at taas:

Ang lugar ng base ay katumbas ng π beses ang parisukat ng radius:

Kung gayon ang dami ng kono ay katumbas ng isang ikatlo ng produkto ng π sa pamamagitan ng parisukat ng radius at ang taas:

Ang pagpapalit ng halaga sa formula, lumalabas na ang dami ng kono ay 12π.

Sagot: Ang volume ng isang kono V ay 16 π o 12 π

Problema 2. Nabigyan ng tamang pabilog na kono na may radius na 6 cm, anggulo BCO = 45.

Hanapin ang volume ng kono.

Solusyon: Ang isang handa na pagguhit ay ibinigay para sa problemang ito.

Isulat natin ang formula para sa paghahanap ng volume ng isang kono:

Ipahayag natin ito sa pamamagitan ng radius ng base R:

Nahanap namin ang h = BO sa pamamagitan ng konstruksiyon - hugis-parihaba, dahil anggulo BOC = 90 (kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok), ang mga anggulo sa base ay pantay, na nangangahulugang ang tatsulok na ΔBOC ay isosceles at BO = OC = 6 cm.

Hayaang magbigay ng tamang pabilog na silindro, ang pahalang na projection plane ay parallel sa base nito. Kapag ang isang silindro ay na-intersect ng isang eroplano sa pangkalahatang posisyon (ipinapalagay namin na ang eroplano ay hindi bumalandra sa mga base ng silindro), ang linya ng intersection ay isang ellipse, ang seksyon mismo ay may hugis ng isang ellipse, ang pahalang na projection nito ay tumutugma sa projection ng base ng silindro, at ang harap ay mayroon ding hugis ng isang ellipse. Ngunit kung ang secant plane ay gagawa ng isang anggulo na 45° sa axis ng cylinder, kung gayon ang seksyon, na may hugis ng isang ellipse, ay i-project ng isang bilog papunta sa projection plane kung saan ang seksyon ay nakahilig sa parehong anggulo.

Kung ang cutting plane ay bumalandra sa gilid na ibabaw ng silindro at isa sa mga base nito (Larawan 8.6), kung gayon ang linya ng intersection ay may hugis ng isang hindi kumpletong ellipse (bahagi ng isang ellipse). Ang pahalang na projection ng seksyon sa kasong ito ay bahagi ng isang bilog (projection ng base), at ang frontal projection ay bahagi ng isang ellipse. Ang eroplano ay matatagpuan patayo sa anumang projection plane, pagkatapos ang seksyon ay ipapakita sa projection plane na ito bilang isang tuwid na linya (bahagi ng bakas ng secant plane).

Kung ang silindro ay intersected ng isang plane parallel sa generatrix, pagkatapos ay ang mga linya ng intersection sa gilid ibabaw ay tuwid, at ang seksyon mismo ay may hugis ng isang parihaba kung ang silindro ay tuwid, o isang parallelogram kung ang silindro ay hilig.

Tulad ng nalalaman, ang parehong silindro at ang kono ay nabuo sa pamamagitan ng pinasiyahan na mga ibabaw.

Ang intersection line (cut line) ng isang pinasiyahan na ibabaw at isang eroplano sa pangkalahatang kaso ay isang tiyak na curve, na itinayo mula sa mga punto ng intersection ng mga generatrice na may cutting plane.

Hayaan itong ibigay tuwid na pabilog na kono. Kapag ito ay tinawid ng isang eroplano, ang intersection line ay maaaring magkaroon ng hugis ng: tatsulok, ellipse, bilog, parabola, hyperbola (Larawan 8.7) depende sa lokasyon ng eroplano.

Ang isang tatsulok ay nakuha kapag ang isang cutting plane, intersecting isang kono, ay dumaan sa tuktok nito. Sa kasong ito, ang mga linya ng intersection na may gilid na ibabaw ay mga tuwid na linya na intersecting sa tuktok ng kono, na, kasama ang linya ng intersection ng base, ay bumubuo ng isang tatsulok na inaasahang papunta sa projection planes na may pagbaluktot. Kung ang eroplano ay bumalandra sa axis ng kono, ang seksyon ay gumagawa ng isang tatsulok na ang anggulo sa vertex na tumutugma sa vertex ng kono ay magiging maximum para sa mga seksyon ng tatsulok ng isang naibigay na kono. Sa kasong ito, ang seksyon ay inaasahang papunta sa pahalang na projection plane (ito ay parallel sa base nito) sa pamamagitan ng isang tuwid na linya ng segment.

Ang intersection ng isang eroplano at isang kono ay magiging isang ellipse kung ang eroplano ay hindi parallel sa alinman sa mga generatrice ng kono. Ito ay katumbas ng katotohanan na ang eroplano ay sumasalubong sa lahat ng mga generator (ang buong lateral surface ng kono). Kung ang secant plane ay parallel sa base ng cone, kung gayon ang intersection line ay isang bilog, ang seksyon mismo ay inaasahang papunta sa horizontal projection plane nang walang distortion, at papunta sa frontal plane bilang isang straight line segment.

Ang intersection line ay magiging parabola kapag ang cutting plane ay parallel sa isang generatrix lamang ng cone. Kung ang cutting plane ay parallel sa dalawang generatrice sa parehong oras, kung gayon ang linya ng intersection ay isang hyperbola.

Ang isang pinutol na kono ay nakuha kung ang isang tuwid na pabilog na kono ay intersected ng isang eroplano na kahanay sa base at patayo sa axis ng kono, at ang itaas na bahagi ay itinapon. Sa kaso kapag ang pahalang na eroplano ng mga projection ay parallel sa mga base ng isang pinutol na kono, ang mga base na ito ay inaasahang papunta sa pahalang na eroplano ng mga projection nang walang pagbaluktot ng mga concentric na bilog, at ang frontal projection ay isang trapezoid. Kapag ang isang pinutol na kono ay na-intersect ng isang eroplano, depende sa lokasyon nito, ang cut line ay maaaring magkaroon ng hugis ng isang trapezoid, ellipse, bilog, parabola, hyperbola, o bahagi ng isa sa mga curve na ito, ang mga dulo nito ay konektado ng isang tuwid na linya.

Ang gawaing diagnostic ay binubuo ng dalawang bahagi, kabilang ang 19 na gawain. Ang Bahagi 1 ay naglalaman ng 8 gawain ng isang pangunahing antas ng kahirapan na may maikling sagot. Ang Bahagi 2 ay naglalaman ng 4 na gawain ng mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang maikling sagot at 7 mga gawain ng isang mas mataas at mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot.
3 oras 55 minuto (235 minuto) ang inilaan upang makumpleto ang gawaing diagnostic sa matematika.
Ang mga sagot sa mga gawain 1-12 ay isinusulat bilang isang buong numero o isang panghuling bahagi ng decimal. Isulat ang mga numero sa mga patlang ng sagot sa teksto ng gawain, at pagkatapos ay ilipat ang mga ito sa sagot na form Blg.
Ang lahat ng mga form ay dapat punan sa maliwanag na itim na tinta. Maaari kang gumamit ng gel, capillary o fountain pen.
Kapag kumukumpleto ng mga takdang-aralin, maaari kang gumamit ng draft. Ang mga entry sa draft ay hindi isinasaalang-alang kapag gumagawa ng pagmamarka.
Ang mga puntos na natatanggap mo para sa mga natapos na gawain ay buod.
Nais ka naming tagumpay!

Mga kondisyon ng problema

1. Hanapin kung
2. Upang makakuha ng pinalaki na imahe ng isang bombilya sa screen sa laboratoryo, ginagamit ang isang collecting lens na may pangunahing focal length = 30 cm Ang distansya mula sa lens hanggang sa light bulb ay maaaring mag-iba mula 40 hanggang 65 cm, at ang distansya mula sa lens hanggang sa screen - mula 75 hanggang 100 cm Ang imahe sa screen ay magiging malinaw kung ang ratio ay natutugunan. Ipahiwatig kung anong maximum na distansya mula sa lens ang maaaring ilagay ang bumbilya upang malinaw ang imahe nito sa screen. Ipahayag ang iyong sagot sa sentimetro.
3. Ang barkong de-motor ay naglalakbay sa kahabaan ng ilog patungo sa destinasyon nito sa loob ng 300 km at, pagkatapos huminto, babalik sa punto ng pag-alis. Hanapin ang bilis ng agos kung ang bilis ng barko sa matahimik na tubig ay 15 km/h, ang pananatili ay tumatagal ng 5 oras, at ang barko ay babalik sa kanyang punto ng pag-alis 50 oras pagkatapos ng pag-alis. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
4. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa segment
5. a) Lutasin ang equation b) Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment
6. Binigyan ng tamang pabilog na kono na may vertex M. Ang axial section ng kono ay isang tatsulok na may anggulo na 120° sa tuktok M. Ang generatrix ng kono ay . Sa pamamagitan ng punto M ang isang seksyon ng kono ay iginuhit patayo sa isa sa mga generatrice.
   a) Patunayan na ang resultang tatsulok sa cross-section ay mapurol.
   b) Hanapin ang distansya mula sa gitna TUNGKOL SA ang base ng kono sa eroplano ng seksyon.
7. Lutasin ang equation
8. Bilog na may gitna TUNGKOL SA humawak sa gilid AB isosceles triangle ABC, extension ng gilid AC at pagpapatuloy ng pundasyon Araw sa punto N. Dot M- gitna ng base Araw.
   a) Patunayan iyon MN = AC.
   b) Hanapin OS, kung ang mga gilid ng isang tatsulok ABC ay katumbas ng 5, 5 at 8.
9. Ipinapalagay ng proyekto ng negosyo na "A" ang pagtaas sa mga halagang namuhunan dito ng 34.56% taun-taon sa unang dalawang taon at ng 44% taun-taon sa susunod na dalawang taon. Ipinapalagay ng Project B ang paglago sa pamamagitan ng isang pare-parehong integer n porsyento taun-taon. Hanapin ang pinakamaliit na halaga n, kung saan sa unang apat na taon ang proyektong "B" ay magiging mas kumikita kaysa sa proyektong "A".
10. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter , , para sa bawat isa kung saan ang sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon
11. Naglalaro si Anya: dalawang magkaibang natural na numero ang nakasulat sa pisara at , pareho ay mas mababa sa 1000. Kung pareho ang natural, pagkatapos ay gagawa si Anya ng hakbang - pinapalitan niya ang mga nauna ng dalawang numerong ito. Kung hindi bababa sa isa sa mga numerong ito ay hindi natural, pagkatapos ay magtatapos ang laro.
    a) Maaari bang tumagal ng eksaktong tatlong liko ang laro?
    b) Mayroon bang dalawang paunang numero na ang laro ay tatagal ng hindi bababa sa 9 na galaw?
    c) Si Anya ang gumawa ng unang hakbang sa laro. Hanapin ang pinakamalaking posibleng ratio ng produkto ng dalawang numerong nakuha sa produkto