Paikot na paggalaw. Equation ng circular motion

Mga paksa ng USE codifier: paggalaw sa isang bilog na may pare-pareho ang bilis ng modulo, centripetal acceleration.

Unipormeng pabilog na galaw ay isang medyo simpleng halimbawa ng paggalaw na may isang acceleration vector na nakadepende sa oras.

Hayaang umikot ang punto sa isang bilog na radius . Ang bilis ng isang punto ay pare-parehong modulo at katumbas ng . Ang bilis tawag linear na bilis puntos.

Panahon ng sirkulasyon ay ang oras para sa isang kumpletong rebolusyon. Para sa panahon, mayroon kaming malinaw na formula:

. (1)

Dalas ng sirkulasyon ay ang kapalit ng panahon:

Ang dalas ay nagpapahiwatig kung gaano karaming mga kumpletong rebolusyon ang ginagawa ng punto bawat segundo. Ang dalas ay sinusukat sa rpm (revolutions per second).

Hayaan, halimbawa, . Nangangahulugan ito na sa panahon ng punto na ginagawang kumpleto ang isa
turnover. Ang dalas sa kasong ito ay katumbas ng: tungkol sa / s; Ang punto ay gumagawa ng 10 kumpletong rebolusyon bawat segundo.

Angular na bilis.

Isaalang-alang ang pare-parehong pag-ikot ng isang punto sa Cartesian coordinate system. Ilagay natin ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng bilog (Larawan 1).

kanin. 1. Unipormeng pabilog na paggalaw

Hayaan ang unang posisyon ng punto; sa madaling salita, para sa , ang punto ay may mga coordinate . Hayaang lumiko ang punto sa isang anggulo sa oras at kunin ang posisyon.

Ang ratio ng anggulo ng pag-ikot sa oras ay tinatawag angular velocity pag-ikot ng punto:

. (2)

Ang anggulo ay karaniwang sinusukat sa radians, kaya ang angular velocity ay sinusukat sa rad/s. Para sa isang oras na katumbas ng panahon ng pag-ikot, ang punto ay umiikot sa isang anggulo. kaya lang

. (3)

Paghahambing ng mga formula (1) at (3), nakukuha natin ang kaugnayan sa pagitan ng mga linear at angular na bilis:

. (4)

Ang batas ng paggalaw.

Hanapin natin ngayon ang dependence ng mga coordinate ng umiikot na punto sa oras. Nakikita natin mula sa Fig. 1 iyon

Ngunit mula sa formula (2) mayroon tayong: . Dahil dito,

. (5)

Ang mga formula (5) ay ang solusyon sa pangunahing problema ng mekanika para sa pare-parehong paggalaw ng isang punto sa kahabaan ng bilog.

centripetal acceleration.

Ngayon kami ay interesado sa acceleration ng umiikot na punto. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng mga ugnayan (5) dalawang beses:

Isinasaalang-alang ang mga formula (5), mayroon kaming:

(6)

Ang mga resultang formula (6) ay maaaring isulat bilang isang solong pagkakapantay-pantay ng vector:

(7)

saan ang radius vector ng umiikot na punto.

Nakita namin na ang acceleration vector ay nakadirekta sa tapat ng radius vector, ibig sabihin, patungo sa gitna ng bilog (tingnan ang Fig. 1). Samakatuwid, ang acceleration ng isang punto na gumagalaw nang pantay sa isang bilog ay tinatawag sentripetal.

Bilang karagdagan, mula sa formula (7) nakakakuha kami ng isang expression para sa modulus ng centripetal acceleration:

(8)

Ipinapahayag namin ang angular velocity mula sa (4)

at palitan sa (8) . Kumuha tayo ng isa pang formula para sa centripetal acceleration.

Sa araling ito, isasaalang-alang natin ang curvilinear motion, katulad ng pare-parehong paggalaw ng isang katawan sa isang bilog. Malalaman natin kung ano ang linear speed, centripetal acceleration kapag ang isang katawan ay gumagalaw sa isang bilog. Ipinakilala rin namin ang mga dami na nagpapakilala sa paggalaw ng pag-ikot (panahon ng pag-ikot, dalas ng pag-ikot, angular na bilis), at ikinonekta ang mga dami na ito sa isa't isa.

Sa pamamagitan ng pare-parehong paggalaw sa isang bilog ay nauunawaan na ang katawan ay umiikot sa parehong anggulo para sa anumang magkaparehong tagal ng panahon (tingnan ang Fig. 6).

kanin. 6. Unipormeng pabilog na paggalaw

Iyon ay, ang module ng agarang bilis ay hindi nagbabago:

Ang bilis na ito ay tinatawag linear.

Kahit na ang modulus ng bilis ay hindi nagbabago, ang direksyon ng bilis ay patuloy na nagbabago. Isaalang-alang ang mga vector ng bilis sa mga punto A at B(tingnan ang Fig. 7). Nakadirekta sila sa iba't ibang direksyon, kaya hindi sila pantay. Kung ibawas sa bilis sa punto B bilis ng punto A, nakakakuha tayo ng vector .

kanin. 7. Mga vector ng bilis

Ang ratio ng pagbabago sa bilis () sa oras kung kailan naganap ang pagbabagong ito () ay acceleration.

Samakatuwid, ang anumang curvilinear motion ay pinabilis.

Kung isasaalang-alang natin ang velocity triangle na nakuha sa Figure 7, pagkatapos ay may napakalapit na pag-aayos ng mga puntos A at B sa isa't isa, ang anggulo (α) sa pagitan ng mga velocity vector ay magiging malapit sa zero:

Ito ay kilala rin na ang tatsulok na ito ay isosceles, kaya ang mga module ng mga bilis ay pantay (uniform na paggalaw):

Samakatuwid, ang parehong mga anggulo sa base ng tatsulok na ito ay malapit sa:

Nangangahulugan ito na ang acceleration na nakadirekta kasama ang vector ay aktwal na patayo sa tangent. Ito ay kilala na ang isang linya sa isang bilog na patayo sa isang tangent ay isang radius, kaya ang acceleration ay nakadirekta sa radius patungo sa gitna ng bilog. Ang acceleration na ito ay tinatawag na centripetal.

Ipinapakita ng Figure 8 ang tatsulok ng mga tulin na tinalakay kanina at isang isosceles triangle (dalawang panig ang radii ng isang bilog). Ang mga tatsulok na ito ay magkatulad, dahil mayroon silang pantay na mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng magkabilang patayo na mga linya (ang radius, tulad ng vector, ay patayo sa tangent).

kanin. 8. Ilustrasyon para sa derivation ng centripetal acceleration formula

Segment ng linya AB ay move(). Isinasaalang-alang namin ang unipormeng pabilog na paggalaw, kaya:

Pinapalitan namin ang nagresultang expression para sa AB sa formula ng pagkakatulad ng tatsulok:

Ang mga konsepto ng "linear speed", "acceleration", "coordinate" ay hindi sapat upang ilarawan ang paggalaw sa isang curved trajectory. Samakatuwid, kinakailangang ipakilala ang mga dami na nagpapakilala sa paggalaw ng pag-ikot.

1. Ang panahon ng pag-ikot (T ) ay tinatawag na panahon ng isang kumpletong rebolusyon. Ito ay sinusukat sa mga yunit ng SI sa mga segundo.

Mga halimbawa ng mga panahon: Umiikot ang Earth sa paligid ng axis nito sa loob ng 24 na oras (), at sa paligid ng Araw - sa loob ng 1 taon ().

Formula para sa pagkalkula ng panahon:

saan ang kabuuang oras ng pag-ikot; - bilang ng mga rebolusyon.

2. dalas ng pag-ikot (n ) - ang bilang ng mga rebolusyon na ginagawa ng katawan sa bawat yunit ng oras. Ito ay sinusukat sa mga yunit ng SI sa reciprocal na segundo.

Formula para sa paghahanap ng dalas:

saan ang kabuuang oras ng pag-ikot; - bilang ng mga rebolusyon

Ang dalas at panahon ay inversely proportional:

3. angular velocity () tinatawag na ratio ng pagbabago sa anggulo kung saan lumiko ang katawan sa oras kung kailan nangyari ang pagliko na ito. Ito ay sinusukat sa mga yunit ng SI sa mga radian na hinati sa mga segundo.

Formula para sa paghahanap ng angular velocity:

saan ang pagbabago sa anggulo; ay ang oras na kinuha para sa turn na maganap.

Ang circular motion ay ang pinakasimpleng kaso ng curvilinear motion ng isang katawan. Kapag ang isang katawan ay gumagalaw sa isang tiyak na punto, kasama ang displacement vector, ito ay maginhawa upang ipakilala ang angular displacement ∆ φ (ang anggulo ng pag-ikot na nauugnay sa gitna ng bilog), na sinusukat sa radians.

Alam ang angular displacement, posibleng kalkulahin ang haba ng circular arc (landas) na naipasa ng katawan.

∆ l = R ∆ φ

Kung ang anggulo ng pag-ikot ay maliit, pagkatapos ay ∆ l ≈ ∆ s .

Ilarawan natin ang sinabi:

Angular na bilis

Sa pamamagitan ng curvilinear motion, ang konsepto ng angular velocity ω ay ipinakilala, iyon ay, ang rate ng pagbabago sa anggulo ng pag-ikot.

Kahulugan. Angular na bilis

Ang angular velocity sa isang naibigay na punto ng trajectory ay ang limitasyon ng ratio ng angular displacement ∆ φ sa agwat ng oras ∆ t kung saan ito nangyari. ∆t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Ang yunit ng sukat para sa angular na bilis ay radians bawat segundo (r a d s).

May kaugnayan sa pagitan ng angular at linear velocities ng katawan kapag gumagalaw sa isang bilog. Formula para sa paghahanap ng angular velocity:

Sa pare-parehong paggalaw sa isang bilog, ang bilis v at ω ay nananatiling hindi nagbabago. Tanging ang direksyon ng linear velocity vector ang nagbabago.

Sa kasong ito, ang isang pare-parehong paggalaw sa isang bilog sa katawan ay apektado ng centripetal, o normal na acceleration, na nakadirekta sa radius ng bilog hanggang sa gitna nito.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Ang centripetal acceleration module ay maaaring kalkulahin ng formula:

a n = v 2 R = ω 2 R

Patunayan natin ang mga relasyong ito.

Isaalang-alang natin kung paano nagbabago ang vector v → sa isang maliit na yugto ng panahon ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

Sa mga puntong A at B, ang velocity vector ay nakadirekta nang tangential sa bilog, habang ang mga velocity module sa parehong mga punto ay pareho.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng acceleration:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Tingnan natin ang larawan:

Ang mga tatsulok na OAB at BCD ay magkatulad. Ito ay sumusunod mula dito na O A A B = B C C D .

Kung ang halaga ng anggulo ∆ φ ay maliit, ang distansya A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Isinasaalang-alang na ang O A \u003d R at C D \u003d ∆ v para sa mga katulad na tatsulok na isinasaalang-alang sa itaas, nakukuha namin:

R v ∆ t = v ∆ v o ∆ v ∆ t = v 2 R

Kapag ∆ φ → 0 , ang direksyon ng vector ∆ v → = v B → - v A → ay lumalapit sa direksyon sa gitna ng bilog. Ipagpalagay na ∆ t → 0 , nakukuha natin ang:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R .

Sa pare-parehong paggalaw sa isang bilog, ang acceleration module ay nananatiling pare-pareho, at ang direksyon ng vector ay nagbabago sa paglipas ng panahon, habang pinapanatili ang oryentasyon sa gitna ng bilog. Iyon ang dahilan kung bakit ang acceleration na ito ay tinatawag na centripetal: ang vector sa anumang oras ay nakadirekta patungo sa gitna ng bilog.

Ang talaan ng centripetal acceleration sa vector form ay ang mga sumusunod:

a n → = - ω 2 R → .

Narito ang R → ay ang radius vector ng isang punto sa isang bilog na may pinanggalingan sa gitna nito.

Sa pangkalahatang kaso, ang acceleration kapag gumagalaw sa isang bilog ay binubuo ng dalawang bahagi - normal at tangential.

Isaalang-alang ang kaso kapag ang katawan ay gumagalaw sa bilog na hindi pantay. Ipakilala natin ang konsepto ng tangential (tangential) acceleration. Ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng linear velocity ng katawan at sa bawat punto ng bilog ay nakadirekta nang tangential dito.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0

Narito ang ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 ay ang pagbabago sa velocity module sa pagitan ng ∆ t

Ang direksyon ng buong acceleration ay tinutukoy ng vector sum ng normal at tangential accelerations.

Ang circular motion sa isang eroplano ay mailalarawan gamit ang dalawang coordinate: x at y. Sa bawat sandali ng oras, ang bilis ng katawan ay maaaring mabulok sa mga bahagi v x at v y.

Kung ang paggalaw ay pare-pareho, ang mga halaga v x at v y pati na rin ang kaukulang mga coordinate ay magbabago sa oras ayon sa isang harmonic law na may period T = 2 π R v = 2 π ω

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter