Pagsisiyasat ng function y x 2 4x 1. Paano imbestigahan ang function at bumuo ng graph nito? Paghahanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes

Paano mag-imbestiga sa isang function at i-plot ang graph nito?

Tila nagsisimula na akong maunawaan ang madamdaming mukha ng pinuno ng pandaigdigang proletaryado, ang may-akda ng mga nakolektang akda sa 55 na tomo .... Nagsimula ang mahabang paglalakbay sa elementarya na impormasyon tungkol sa mga function at graph, at ngayon magtrabaho sa isang matrabahong paksa ay nagtatapos sa isang natural na resulta - isang artikulo tungkol sa buong pag-aaral ng function. Ang pinakahihintay na gawain ay nabuo tulad ng sumusunod:

Siyasatin ang function sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng differential calculus at, batay sa mga resulta ng pag-aaral, buuin ang graph nito

O sa madaling salita: suriin ang function at i-plot ito.

Bakit mag-explore? Sa mga simpleng kaso, hindi magiging mahirap para sa amin na harapin ang mga elementarya na pag-andar, gumuhit ng isang graph na nakuha gamit elementarya na mga pagbabagong geometriko atbp. Gayunpaman, ang mga katangian at graphic na representasyon ng mas kumplikadong mga function ay malayo sa halata, kung kaya't kailangan ang isang buong pag-aaral.

Ang mga pangunahing hakbang ng solusyon ay ibinubuod sa sangguniang materyal Function Study Scheme, ito ang iyong gabay sa seksyon. Ang mga dummies ay nangangailangan ng sunud-sunod na paliwanag ng paksa, ang ilang mga mambabasa ay hindi alam kung saan magsisimula at kung paano ayusin ang pag-aaral, at ang mga advanced na mag-aaral ay maaaring interesado lamang sa ilang mga punto. Ngunit kung sino ka man, mahal na bisita, ang iminungkahing buod na may mga payo sa iba't ibang mga aralin ay magtuturo at magdidirekta sa iyo sa direksyon ng interes sa pinakamaikling panahon. Ang mga robot ay lumuha =) Ang manwal ay ginawa sa anyo ng isang pdf file at kinuha ang nararapat na lugar nito sa pahina Mga pormula at talahanayan ng matematika.

Dati kong hinati ang pag-aaral ng function sa 5-6 na puntos:

6) Mga karagdagang puntos at graph batay sa mga resulta ng pag-aaral.

Tulad ng para sa pangwakas na aksyon, sa palagay ko naiintindihan ng lahat ang lahat - ito ay magiging lubhang nakakadismaya kung sa loob ng ilang segundo ay maitawid ito at ang gawain ay ibabalik para sa rebisyon. ISANG TAMA AT TUMPAK NA PAGguhit ang pangunahing resulta ng solusyon! Malamang na "pagtakpan" ang mga analytical oversight, habang ang isang hindi tama at/o palpak na iskedyul ay magdudulot ng mga problema kahit na may perpektong isinasagawang pag-aaral.

Dapat pansinin na sa iba pang mga mapagkukunan, ang bilang ng mga item sa pananaliksik, ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad at ang estilo ng disenyo ay maaaring magkaiba nang malaki mula sa pamamaraan na iminungkahi ko, ngunit sa karamihan ng mga kaso ito ay sapat na. Ang pinakasimpleng bersyon ng problema ay binubuo lamang ng 2-3 yugto at binabalangkas ng ganito: "galugad ang function gamit ang derivative at plot" o "explore ang function gamit ang 1st at 2nd derivative, plot".

Naturally, kung ang isa pang algorithm ay nasuri nang detalyado sa iyong manwal sa pagsasanay o ang iyong guro ay mahigpit na hinihiling sa iyo na sumunod sa kanyang mga lektura, pagkatapos ay kailangan mong gumawa ng ilang mga pagsasaayos sa solusyon. Walang mas mahirap kaysa sa pagpapalit ng tinidor ng isang kutsarang chainsaw.

Suriin natin ang function para sa even / odd:

Sinusundan ito ng isang template na mag-unsubscribe:
, kaya ang function na ito ay hindi kahit na o kakaiba.

Dahil tuloy-tuloy ang function sa , walang vertical asymptotes.

Wala ring oblique asymptotes.

Tandaan : Ipinaaalala ko sa iyo na ang mas mataas pagkakasunud-sunod ng paglago kaysa sa , kaya ang huling limitasyon ay eksaktong " isang plus kawalang-hanggan."

Alamin natin kung paano kumikilos ang function sa infinity:

Sa madaling salita, kung pupunta tayo sa kanan, kung gayon ang graph ay tataas nang walang hanggan, kung pupunta tayo sa kaliwa, walang katapusang malayo sa ibaba. Oo, mayroon ding dalawang limitasyon sa ilalim ng iisang entry. Kung nahihirapan kang tukuyin ang mga palatandaan, mangyaring bisitahin ang aralin tungkol sa infinitesimal function.

Kaya ang function hindi limitado mula sa itaas at hindi limitado mula sa ibaba. Isinasaalang-alang na wala kaming mga break point, ito ay nagiging malinaw at saklaw ng pag-andar: ay anumang tunay na numero.

MAHALAGANG TEKNIK

Ang bawat hakbang sa gawain ay nagdadala ng bagong impormasyon tungkol sa graph ng function, kaya sa kurso ng solusyon ay maginhawang gumamit ng isang uri ng LAYOUT. Gumuhit tayo ng Cartesian coordinate system sa draft. Ano ang tiyak na kilala? Una, ang graph ay walang asymptotes, samakatuwid, hindi na kailangang gumuhit ng mga tuwid na linya. Pangalawa, alam natin kung paano kumikilos ang function sa infinity. Ayon sa pagsusuri, iginuhit namin ang unang pagtatantya:

Tandaan na may bisa pagpapatuloy gumagana at ang katotohanang , ang graph ay dapat tumawid sa axis kahit isang beses. O baka may ilang punto ng intersection?

3) Mga zero ng function at pagitan ng pare-parehong pag-sign.

Una, hanapin ang intersection point ng graph na may y-axis. Simple lang. Kinakailangang kalkulahin ang halaga ng function kapag:

Kalahati sa ibabaw ng dagat.

Upang mahanap ang mga punto ng intersection sa axis (mga zero ng function), kailangan mong lutasin ang equation, at dito naghihintay sa amin ang isang hindi kasiya-siyang sorpresa:

Sa dulo, isang libreng miyembro ang nagtatago, na makabuluhang nagpapalubha sa gawain.

Ang nasabing equation ay may hindi bababa sa isang tunay na ugat, at kadalasan ang ugat na ito ay hindi makatwiran. Sa pinakamasamang fairy tale, tatlong maliliit na baboy ang naghihintay sa amin. Ang equation ay nalulusaw gamit ang tinatawag na Mga formula ni Cardano, ngunit ang pagkasira ng papel ay maihahambing sa halos buong pag-aaral. Sa bagay na ito, mas matalinong pasalita o sa isang draft na subukang kunin ang kahit isa buo ugat. Tingnan natin kung ang mga numerong ito ay:
- hindi kasya;
- meron!

Ang swerte dito. Sa kaso ng pagkabigo, maaari mo ring subukan at, at kung ang mga numerong ito ay hindi magkasya, pagkatapos ay natatakot ako na mayroong napakakaunting mga pagkakataon para sa isang kumikitang solusyon sa equation. Kung gayon, mas mainam na laktawan nang buo ang punto ng pananaliksik - marahil ay may isang bagay na maging mas malinaw sa huling hakbang, kapag ang mga karagdagang puntos ay lumampas. At kung ang ugat (ugat) ay malinaw na "masama", kung gayon mas mahusay na manatiling katamtaman na tahimik tungkol sa mga agwat ng patuloy na mga palatandaan at upang mas tumpak na makumpleto ang pagguhit.

Gayunpaman, mayroon kaming magandang ugat, kaya hinahati namin ang polynomial para sa walang natitira:

Ang algorithm para sa paghahati ng polynomial sa isang polynomial ay tinalakay nang detalyado sa unang halimbawa ng aralin. Kumplikadong Limitasyon.

Bilang resulta, ang kaliwang bahagi ng orihinal na equation lumalawak sa isang produkto:

At ngayon ay kaunti tungkol sa isang malusog na pamumuhay. Syempre naiintindihan ko yun quadratic equation kailangang lutasin araw-araw, ngunit ngayon ay gagawa tayo ng eksepsiyon: ang equation may dalawang tunay na ugat.

Sa linya ng numero, inilalagay namin ang mga nahanap na halaga at paraan ng pagitan tukuyin ang mga palatandaan ng pag-andar:

og Kaya, sa mga pagitan matatagpuan ang tsart
sa ibaba ng x-axis, at sa pagitan - sa itaas ng axis na ito.

Ang mga resultang natuklasan ay nagpapahintulot sa amin na pinuhin ang aming layout, at ang pangalawang pagtatantya ng graph ay ganito ang hitsura:

Pakitandaan na ang function ay dapat magkaroon ng hindi bababa sa isang maximum sa pagitan, at hindi bababa sa isang minimum sa pagitan. Pero hindi natin alam kung ilang beses, saan at kailan "paikot-ikot" ang schedule. Sa pamamagitan ng paraan, ang isang function ay maaaring magkaroon ng walang katapusan na marami sukdulan.

4) Pagtaas, pagbaba at labis na paggana.

Hanapin natin ang mga kritikal na punto:

Ang equation na ito ay may dalawang tunay na ugat. Ilagay natin ang mga ito sa linya ng numero at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative:

Samakatuwid, ang pag-andar ay tumataas ng at bumababa ng .
Sa puntong ang function ay umabot sa maximum nito: .
Sa puntong ang pag-andar ay umabot sa pinakamababa: .

Ang itinatag na mga katotohanan ay nagtutulak sa aming template sa isang medyo mahigpit na balangkas:

Hindi na kailangang sabihin, ang differential calculus ay isang makapangyarihang bagay. Sa wakas, haharapin natin ang hugis ng graph:

5) Convexity, concavity at inflection point.

Hanapin ang mga kritikal na punto ng pangalawang derivative:

Tukuyin natin ang mga palatandaan:

Ang function graph ay convex on at concave on . Kalkulahin natin ang ordinate ng inflection point: .

Halos lahat ay lumiwanag.

6) Ito ay nananatili upang makahanap ng mga karagdagang puntos na makakatulong upang mas tumpak na bumuo ng isang graph at magsagawa ng self-test. Sa kasong ito, kakaunti sila, ngunit hindi namin pababayaan:

Isagawa natin ang pagguhit:

Ang inflection point ay minarkahan ng berde, ang mga karagdagang puntos ay minarkahan ng mga krus. Ang graph ng isang cubic function ay simetriko tungkol sa inflection point nito, na palaging eksaktong nasa gitna sa pagitan ng maximum at minimum.

Sa kurso ng takdang-aralin, nagbigay ako ng tatlong hypothetical intermediate na mga guhit. Sa pagsasagawa, ito ay sapat na upang gumuhit ng isang coordinate system, markahan ang mga puntos na natagpuan, at pagkatapos ng bawat punto ng pag-aaral, isip isip kung ano ang hitsura ng graph ng function. Hindi magiging mahirap para sa mga mag-aaral na may mahusay na antas ng paghahanda na isakatuparan ang naturang pagsusuri sa kanilang isipan lamang nang hindi nagsasangkot ng isang draft.

Para sa isang nakapag-iisang solusyon:

Halimbawa 2

Galugarin ang function at bumuo ng isang graph.

Ang lahat ay mas mabilis at mas masaya dito, isang tinatayang halimbawa ng pagtatapos sa pagtatapos ng aralin.

Maraming mga lihim ang ipinahayag sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga fractional rational function:

Halimbawa 3

Gamit ang mga pamamaraan ng differential calculus, siyasatin ang function at, batay sa mga resulta ng pag-aaral, buuin ang graph nito.

Solusyon: ang unang yugto ng pag-aaral ay hindi naiiba sa anumang bagay na kapansin-pansin, maliban sa isang butas sa lugar ng kahulugan:

1) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero maliban sa punto , domain: .

, kaya ang function na ito ay hindi kahit na o kakaiba.

Malinaw, ang pag-andar ay hindi pana-panahon.

Ang graph ng function ay binubuo ng dalawang tuloy-tuloy na sangay na matatagpuan sa kaliwa at kanang kalahating eroplano - ito marahil ang pinakamahalagang konklusyon ng 1st paragraph.

2) Asymptotes, ang pag-uugali ng isang function sa infinity.

a) Sa tulong ng mga one-sided na limitasyon, pinag-aaralan namin ang pag-uugali ng function na malapit sa kahina-hinalang punto, kung saan ang patayong asymptote ay dapat na malinaw na:

Sa katunayan, ang mga pag-andar ay tumatagal walang katapusang agwat sa punto
at ang tuwid na linya (axis) ay patayong asymptote sining ng grapiko.

b) Suriin kung mayroong mga oblique asymptotes:

Oo, ang linya ay pahilig na asymptote graphics kung .

Walang saysay na pag-aralan ang mga limitasyon, dahil malinaw na ang pag-andar sa isang yakap kasama ang pahilig na asymptote nito. hindi limitado mula sa itaas at hindi limitado mula sa ibaba.

Ang pangalawang punto ng pag-aaral ay nagdala ng maraming mahalagang impormasyon tungkol sa pag-andar. Gumawa tayo ng isang magaspang na sketch:

Ang Konklusyon Blg. 1 ay may kinalaman sa mga agwat ng katatagan ng tanda. Sa "minus infinity" ang graph ng function ay natatanging matatagpuan sa ibaba ng x-axis, at sa "plus infinity" ito ay nasa itaas ng axis na ito. Bilang karagdagan, sinabi sa amin ng mga one-sided na limitasyon na pareho sa kaliwa at sa kanan ng punto, ang function ay mas malaki rin sa zero. Pakitandaan na sa kaliwang kalahating eroplano, ang graph ay dapat tumawid sa x-axis kahit isang beses. Sa kanang kalahating eroplano, maaaring walang mga zero ng function.

Konklusyon Blg. 2 ay ang pagpapaandar ay tumataas sa at sa kaliwa ng punto (pumupunta "mula sa ibaba hanggang sa itaas"). Sa kanan ng puntong ito, bumababa ang function (pumupunta "mula sa itaas hanggang sa ibaba"). Ang tamang sangay ng graph ay dapat na may hindi bababa sa isang minimum. Sa kaliwa, hindi garantisado ang mga sukdulan.

Ang Konklusyon Blg. 3 ay nagbibigay ng maaasahang impormasyon tungkol sa kabulukan ng graph sa paligid ng punto. Wala pa kaming masasabi tungkol sa convexity/concavity sa infinity, dahil ang linya ay maaaring pinindot laban sa asymptote nito mula sa itaas at mula sa ibaba. Sa pangkalahatan, mayroong isang analytical na paraan upang malaman ito sa ngayon, ngunit ang hugis ng tsart "para sa wala" ay magiging mas malinaw sa susunod na yugto.

Bakit ang daming salita? Upang makontrol ang kasunod na mga punto ng pananaliksik at maiwasan ang mga pagkakamali! Ang mga karagdagang kalkulasyon ay hindi dapat sumalungat sa mga konklusyong ginawa.

3) Mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes, mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function.

Ang graph ng function ay hindi tumatawid sa axis.

Gamit ang paraan ng agwat, tinutukoy namin ang mga palatandaan:

, kung ;
, kung .

Ang mga resulta ng talata ay ganap na naaayon sa Konklusyon Blg. 1. Pagkatapos ng bawat hakbang, tingnan ang draft, isiping sumangguni sa pag-aaral, at tapusin ang pagguhit ng graph ng function.

Sa halimbawang ito, ang numerator ay hinati ng termino sa pamamagitan ng termino ng denominator, na lubhang kapaki-pakinabang para sa pagkita ng kaibhan:

Sa totoo lang, nagawa na ito kapag naghahanap ng mga asymptotes.

- kritikal na punto.

Tukuyin natin ang mga palatandaan:

tumataas ng at bumababa sa

Sa puntong ang pag-andar ay umabot sa pinakamababa: .

Wala ring mga pagkakaiba sa Konklusyon Blg. 2, at, malamang, nasa tamang landas tayo.

Nangangahulugan ito na ang graph ng function ay malukong sa buong domain ng kahulugan.

Mahusay - at hindi mo kailangang gumuhit ng kahit ano.

Walang mga inflection point.

Ang concavity ay pare-pareho sa Konklusyon No. 3, bukod dito, ito ay nagpapahiwatig na sa infinity (kapwa doon at doon) ang graph ng function ay matatagpuan sa itaas pahilig na asymptote nito.

6) Maingat naming i-pin ang gawain na may mga karagdagang puntos. Dito kailangan nating magsumikap, dahil dalawang puntos lang ang alam natin mula sa pag-aaral.

At isang larawan na, marahil, matagal nang ipinakita ng marami:

Sa kurso ng takdang-aralin, kailangang mag-ingat upang matiyak na walang mga kontradiksyon sa pagitan ng mga yugto ng pag-aaral, ngunit kung minsan ang sitwasyon ay apurahan o kahit na lubhang dead-end. Narito ang analytics "ay hindi nagtatagpo" - at iyon lang. Sa kasong ito, inirerekumenda ko ang isang diskarteng pang-emerhensiya: nakita namin ang maraming puntos na kabilang sa graph hangga't maaari (kung gaano karaming pasensya ang sapat), at markahan ang mga ito sa coordinate plane. Ang graphical analysis ng mga nahanap na halaga sa karamihan ng mga kaso ay magsasabi sa iyo kung saan ang katotohanan at kung saan ang kasinungalingan. Bilang karagdagan, ang graph ay maaaring pre-built gamit ang ilang programa, halimbawa, sa parehong Excel (malinaw na nangangailangan ito ng mga kasanayan).

Halimbawa 4

Gamit ang mga pamamaraan ng differential calculus, siyasatin ang function at i-plot ang graph nito.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Sa loob nito, ang pagpipigil sa sarili ay pinahuhusay ng pagkapantay-pantay ng function - ang graph ay simetriko tungkol sa axis, at kung may bagay sa iyong pag-aaral na sumasalungat sa katotohanang ito, maghanap ng isang error.

Ang isang even o odd na function ay maaari lamang imbestigahan para sa , at pagkatapos ay magagamit ang symmetry ng graph. Ang solusyon na ito ay pinakamainam, ngunit mukhang, sa palagay ko, napaka hindi pangkaraniwan. Sa personal, isinasaalang-alang ko ang buong numerical axis, ngunit nakakahanap pa rin ako ng mga karagdagang puntos sa kanan lamang:

Halimbawa 5

Magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng function at i-plot ang graph nito.

Solusyon: nagmamadali ng husto:

1) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong tunay na linya: .

Nangangahulugan ito na ang function na ito ay kakaiba, ang graph nito ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan.

Malinaw, ang pag-andar ay hindi pana-panahon.

2) Asymptotes, ang pag-uugali ng isang function sa infinity.

Dahil tuloy-tuloy ang function sa , walang vertical asymptotes

Para sa isang function na naglalaman ng isang exponent, karaniwan magkahiwalay ang pag-aaral ng "plus" at "minus infinity", gayunpaman, ang ating buhay ay pinadali lamang ng simetrya ng graph - maaaring mayroong isang asymptote sa kaliwa at sa kanan, o hindi. Samakatuwid, ang parehong walang katapusang limitasyon ay maaaring isaayos sa ilalim ng isang entry. Sa kurso ng solusyon, ginagamit namin Ang panuntunan ng L'Hopital:

Ang tuwid na linya (axis) ay ang pahalang na asymptote ng graph sa .

Bigyang-pansin kung paano ko matalinong iniwasan ang buong algorithm para sa paghahanap ng oblique asymptote: ang limitasyon ay medyo legal at nililinaw ang pag-uugali ng function sa infinity, at ang pahalang na asymptote ay natagpuan "na parang sabay."

Ito ay sumusunod mula sa pagpapatuloy sa at ang pagkakaroon ng isang pahalang na asymptote na ang function limitado mula sa itaas at limitado mula sa ibaba.

3) Mga punto ng intersection ng graph na may mga coordinate axes, mga pagitan ng constancy.

Dito rin natin paikliin ang solusyon:
Ang graph ay dumadaan sa pinagmulan.

Walang ibang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes. Bukod dito, ang mga pagitan ng constancy ay halata, at ang axis ay hindi maaaring iguhit: , na nangangahulugan na ang tanda ng function ay nakasalalay lamang sa "x":
, kung ;
, kung .

4) Tumataas, bumababa, extrema ng function.

ay mga kritikal na puntos.

Ang mga punto ay simetriko tungkol sa zero, gaya ng nararapat.

Tukuyin natin ang mga palatandaan ng derivative:

Ang function ay tumataas sa pagitan at bumababa sa pagitan

Sa puntong ang function ay umabot sa maximum nito: .

Dahil sa ari-arian (kakaiba ng function) ang minimum ay maaaring tanggalin:

Dahil bumababa ang function sa pagitan , kung gayon, malinaw naman, ang graph ay matatagpuan sa "minus infinity" sa ilalim kasama ang asymptote nito. Sa pagitan, ang pag-andar ay bumababa din, ngunit dito ang kabaligtaran ay totoo - pagkatapos na dumaan sa pinakamataas na punto, ang linya ay lumalapit sa axis mula sa itaas.

Ito rin ay sumusunod mula sa itaas na ang graph ng function ay matambok sa "minus infinity" at malukong sa "plus infinity".

Pagkatapos ng puntong ito ng pag-aaral, ang lugar ng mga halaga ng function ay iginuhit din:

Kung mayroon kang hindi pagkakaunawaan sa anumang mga punto, muli kitang hinihimok na gumuhit ng mga coordinate axes sa iyong kuwaderno at, na may lapis sa iyong mga kamay, muling suriin ang bawat konklusyon ng gawain.

5) Convexity, concavity, inflections ng graph.

ay mga kritikal na puntos.

Ang simetrya ng mga punto ay napanatili, at, malamang, hindi kami nagkakamali.

Tukuyin natin ang mga palatandaan:

Naka-on ang graph ng function at malukong sa .

Convexity/concavity sa matinding pagitan ay nakumpirma.

Sa lahat ng kritikal na punto ay may mga inflection sa graph. Hanapin natin ang mga ordinate ng mga inflection point, habang binabawasan muli ang bilang ng mga kalkulasyon, gamit ang kakaiba ng function:

Kung sa gawain ay kinakailangan upang magsagawa ng isang kumpletong pag-aaral ng function f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 kasama ang pagtatayo ng graph nito, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang prinsipyong ito nang detalyado.

Upang malutas ang isang problema ng ganitong uri, dapat gamitin ng isa ang mga katangian at mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Kasama sa algorithm ng pananaliksik ang mga sumusunod na hakbang:

Paghahanap ng domain ng kahulugan

Dahil ang pananaliksik ay isinasagawa sa domain ng function, kinakailangan na magsimula sa hakbang na ito.

Halimbawa 1

Kasama sa ibinigay na halimbawa ang paghahanap ng mga zero ng denominator upang maibukod ang mga ito sa DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Bilang resulta, maaari kang makakuha ng mga ugat, logarithms, at iba pa. Pagkatapos ay maaaring hanapin ang ODZ para sa ugat ng pantay na antas ng uri g (x) 4 sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay g (x) ≥ 0 , para sa logarithm log a g (x) ng hindi pagkakapantay-pantay g (x) > 0 .

Pagsisiyasat ng mga hangganan ng ODZ at paghahanap ng mga patayong asymptotes

May mga vertical na asymptotes sa mga hangganan ng function, kapag ang mga one-sided na limitasyon sa naturang mga punto ay walang katapusan.

Halimbawa 2

Halimbawa, isaalang-alang ang mga border point na katumbas ng x = ± 1 2 .

Pagkatapos ito ay kinakailangan upang pag-aralan ang function upang mahanap ang isang panig na limitasyon. Pagkatapos ay makukuha natin iyon: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ipinapakita nito na ang mga one-sided na limitasyon ay walang katapusan, na nangangahulugang ang mga linyang x = ± 1 2 ay ang mga patayong asymptotes ng graph.

Pagsisiyasat ng function at para sa kahit o kakaiba

Kapag ang kundisyong y (- x) = y (x) ay natugunan, ang function ay itinuturing na pantay. Iminumungkahi nito na ang graph ay matatagpuan sa simetriko na may paggalang sa O y. Kapag ang kundisyon y (- x) = - y (x) ay natugunan, ang function ay itinuturing na kakaiba. Nangangahulugan ito na ang symmetry ay napupunta sa paggalang sa pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang hindi bababa sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay nabigo, makakakuha tayo ng isang function ng pangkalahatang anyo.

Ang katuparan ng pagkakapantay-pantay na y (- x) = y (x) ay nagpapahiwatig na ang function ay pantay. Kapag nagtatayo, kinakailangang isaalang-alang na magkakaroon ng simetrya na may paggalang sa O y.

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ay ginagamit sa mga kondisyong f "(x) ≥ 0 at f" (x) ≤ 0, ayon sa pagkakabanggit.

Kahulugan 1

Mga nakatigil na puntos ay mga puntos na nagiging zero ang derivative.

Mga kritikal na puntos ay mga panloob na punto mula sa domain kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng zero o wala.

Kapag gumagawa ng desisyon, dapat isaalang-alang ang mga sumusunod na puntos:

para sa mga umiiral na pagitan ng pagtaas at pagbaba ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyo f "(x) > 0, ang mga kritikal na punto ay hindi kasama sa solusyon;
Ang mga punto kung saan ang pag-andar ay tinukoy nang walang isang may hangganan na derivative ay dapat isama sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba (halimbawa, y \u003d x 3, kung saan ang punto x \u003d 0 ay gumagawa ng function na tinukoy, ang derivative ay may halaga ng infinity sa puntong ito, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ay kasama sa pagitan ng pagtaas);
upang maiwasan ang mga hindi pagkakasundo, inirerekumenda na gumamit ng literatura sa matematika, na inirerekomenda ng Ministri ng Edukasyon.

Ang pagsasama ng mga kritikal na punto sa mga pagitan ng pagtaas at pagbaba kung sakaling matugunan ng mga ito ang domain ng function.

Kahulugan 2

Para sa pagtukoy ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function, ito ay kinakailangan upang mahanap:

derivative;
kritikal na mga punto;
hatiin ang domain ng kahulugan sa tulong ng mga kritikal na punto sa mga pagitan;
tukuyin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan, kung saan ang + ay isang pagtaas at - ay isang pagbaba.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative sa domain f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solusyon

Upang malutas kailangan mo:

maghanap ng mga nakatigil na puntos, ang halimbawang ito ay may x = 0 ;
hanapin ang mga zero ng denominator, ang halimbawa ay kumukuha ng halagang zero sa x = ± 1 2 .

Inilalantad namin ang mga punto sa numerical axis upang matukoy ang derivative sa bawat pagitan. Upang gawin ito, ito ay sapat na upang kumuha ng anumang punto mula sa pagitan at gumawa ng isang pagkalkula. Kung positibo ang resulta, gumuhit kami ng + sa graph, na nangangahulugan ng pagtaas sa function, at - nangangahulugan ng pagbaba nito.

Halimbawa, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, na nangangahulugan na ang unang agwat sa kaliwa ay may + sign. Isaalang-alang ang numero linya.

Sagot:

mayroong pagtaas sa function sa pagitan - ∞ ; - 1 2 at (- 1 2 ; 0 ] ;
mayroong pagbaba sa pagitan [0; 1 2) at 1 2; +∞ .

Sa diagram, gamit ang + at -, ang positivity at negatibiti ng function ay inilalarawan, at ang mga arrow ay nagpapahiwatig ng pagbaba at pagtaas.

Ang mga extremum point ng isang function ay ang mga punto kung saan tinukoy ang function at kung saan nag-sign ang derivative.

Halimbawa 4

Kung isasaalang-alang namin ang isang halimbawa kung saan ang x \u003d 0, kung gayon ang halaga ng function sa loob nito ay f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kapag ang tanda ng derivative ay nagbabago mula + hanggang - at dumaan sa punto x \u003d 0, kung gayon ang punto na may mga coordinate (0; 0) ay itinuturing na pinakamataas na punto. Kapag binago ang tanda mula sa - hanggang +, nakukuha natin ang pinakamababang punto.

Ang convexity at concavity ay natutukoy sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f "" (x) ≥ 0 at f "" (x) ≤ 0 . Mas madalas na ginagamit nila ang pangalang bulge down sa halip na concavity, at bulge up sa halip na bulge.

Kahulugan 3

Para sa pagtukoy ng mga puwang ng concavity at convexity kailangan:

hanapin ang pangalawang derivative;
hanapin ang mga zero ng function ng pangalawang derivative;
hatiin ang domain ng kahulugan sa pamamagitan ng mga puntos na lumilitaw sa mga pagitan;
matukoy ang tanda ng puwang.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangalawang derivative mula sa domain ng kahulugan.

Solusyon

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nahanap natin ang mga zero ng numerator at denominator, kung saan, gamit ang ating halimbawa, mayroon tayong mga zero ng denominator x = ± 1 2

Ngayon ay kailangan mong maglagay ng mga puntos sa linya ng numero at matukoy ang tanda ng pangalawang derivative mula sa bawat pagitan. Nakukuha namin iyon

Sagot:

ang function ay matambok mula sa pagitan - 1 2 ; 12 ;
ang function ay malukong mula sa mga gaps - ∞ ; - 1 2 at 1 2 ; +∞ .

Kahulugan 4

inflection point ay isang punto ng anyong x 0 ; f(x0) . Kapag ito ay may padaplis sa graph ng function, at kapag ito ay dumaan sa x 0, ang function ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.

Sa madaling salita, ito ay isang punto kung saan ang pangalawang derivative ay pumasa at nagbabago ng tanda, at sa mga punto mismo ay katumbas ng zero o wala. Ang lahat ng mga punto ay itinuturing na domain ng function.

Sa halimbawa, nakita na walang mga inflection point, dahil ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign habang dumadaan sa mga puntos na x = ± 1 2 . Sila naman ay hindi kasama sa domain ng kahulugan.

Paghahanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes

Kapag tinutukoy ang isang function sa infinity, dapat maghanap ng pahalang at pahilig na mga asymptotes.

Kahulugan 5

Oblique asymptotes ay iginuhit gamit ang mga linyang ibinigay ng equation na y = k x + b, kung saan k = lim x → ∞ f (x) x at b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Para sa k = 0 at b hindi katumbas ng infinity, nalaman namin na ang oblique asymptote ay nagiging pahalang.

Sa madaling salita, ang mga asymptotes ay ang mga linya na lumalapit ang graph ng function sa infinity. Nag-aambag ito sa mabilis na pagbuo ng graph ng function.

Kung walang mga asymptotes, ngunit ang function ay tinukoy sa parehong infinity, kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng function sa mga infinity na ito upang maunawaan kung paano kikilos ang graph ng function.

Halimbawa 6

Bilang halimbawa, isaalang-alang iyon

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ay isang pahalang na asymptote. Pagkatapos ng pagsasaliksik sa function, maaari mong simulan ang pagbuo nito.

Kinakalkula ang halaga ng isang function sa mga intermediate na punto

Upang gawing pinakatumpak ang pag-plot, inirerekumenda na makahanap ng ilang mga halaga ng pag-andar sa mga intermediate na punto.

Halimbawa 7

Mula sa halimbawa na aming isinasaalang-alang, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function sa mga puntos na x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Dahil ang pag-andar ay pantay, nakuha namin na ang mga halaga ay tumutugma sa mga halaga sa mga puntong ito, iyon ay, nakukuha namin ang x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Isulat at lutasin natin:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

Upang matukoy ang maxima at minima ng function, inflection point, intermediate point, kinakailangan na bumuo ng mga asymptotes. Para sa maginhawang pagtatalaga, ang mga pagitan ng pagtaas, pagbaba, convexity, concavity ay naayos. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng mga linya ng graph sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, na magbibigay-daan sa iyo upang makakuha ng mas malapit sa mga asymptotes, kasunod ng mga arrow.

Tinatapos nito ang kumpletong pag-aaral ng function. May mga kaso ng pagbuo ng ilang elementarya na pag-andar kung saan ginagamit ang mga pagbabagong geometriko.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Reshebnik Kuznetsov.
III Mga Graph

Gawain 7. Magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng function at buuin ang graph nito.

Bago mo simulan ang pag-download ng iyong mga opsyon, subukang lutasin ang problema ayon sa sample sa ibaba para sa opsyon 3. Ang ilan sa mga opsyon ay naka-archive sa .rar na format

7.3 Magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng function at i-plot ito

Solusyon.

1) Saklaw: o ibig sabihin, .
.
Kaya: .

2) Walang mga punto ng intersection sa Ox axis. Sa katunayan, ang equation na ay walang mga solusyon.
Walang mga punto ng intersection sa Oy axis dahil .

3) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba. Walang simetrya tungkol sa y-axis. Wala ring simetrya tungkol sa pinagmulan. kasi
.
Nakikita namin na at .

4) Ang function ay tuloy-tuloy sa domain
.

; .

; .
Samakatuwid, ang puntong ay isang discontinuity point ng pangalawang uri (walang katapusan na discontinuity).

5) Mga patayong asymptotes:

Hanapin ang oblique asymptote . Dito

;
.
Samakatuwid, mayroon kaming isang pahalang na asymptote: y=0. Walang mga pahilig na asymptotes.

6) Hanapin ang unang derivative. Unang derivative:
.
At dahil jan
.
Maghanap tayo ng mga nakatigil na punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero, ibig sabihin
.

7) Hanapin ang pangalawang derivative. Pangalawang derivative:
.
At ito ay madaling i-verify, dahil